HIDRAULICA´ Ingenier´ıa en . Ingenier´ıa en Acuicultura. Omar Jimenez...

HIDRAULICAIngenierıa en Acuicultura.

Omar Jimenez Henrıquez

Departamento de Fısica,Universidad de Antofagasta,

Antofagasta, Chile,

I semestre 2011.

Omar Jim enez. Universidad de Antofagasta. Chile Hidr aulica FS-425. 1

Contenidos

1 HidrodinamicaEcuacion de ContinuidadConservacion de la energıa y ecuacion de BernoulliEcuacion general de la energıa


Hidrodin amica

Fluidos en movimiento

Ahora, analizamos fluidos en movimiento. La cantidad de fluidoque pasa por un sistema por unidad de tiempo puedeexpresarse por:

Q[

m3

s

]

: El flujo volum etrico , que es el volumen de fluido que

circula en una seccion por unidad de tiempo. Se determinacomo,

Q = Av ,

donde, A es el area de la seccion y v es la velocidad promediodel flujo.


Hidrodin amica


M[

kgs

]

: El flujo m asico , que es la masa de fluido que circula

en una seccion por unidad de tiempo. El flujo masico M serelaciona con Q por medio de la ecuacion.

M = ρQ.

donde, ρ es la densidad del fluido.


Hidrodin amica


Considere el conducto de la figura. Unfluido circula con un flujo volumetricoconstante de la seccion 1 a la seccion 2.Es decir, la cantidad de fluido que circulaa traves de cualquier seccion en ciertacantidad de tiempo es constante. Estose conoce como flujo estable.

En el caso de un flujo estable, el flujo masico satisface lasiguiente relacion,

M1 = M2,

dado que M = ρAv , tenemos

ρ1A1v1 = ρ2A2v2,

esta relacion se conoce como ecuacion de continuidad.Omar Jim enez. Universidad de Antofagasta. Chile Hidr aulica FS-425. 5

Hidrodin amica


Si el fluido es incomprensible, es decir ρ1 = ρ2, se tiene que

A1v1 = A2v2,

o bien dado que Q = Av , tenemos que Q1 = Q2 es el mismoflujo volumetrico.

Ejercicio 1: ¿Que diametro debe de tener una tuberıa paratransportar 2[m3/s] a una velocidad media de 3[m/s]?.Sol: d = 0.92[m].

Ejercicio 2: Una tuberıa de 15[cm] de diametro transporta80ℓ/s. La tuberıa se ramifica en otras dos, una de 5[cm] y laotra de 10[cm] de diametro. Si la velocidad en la tuberıa de5[cm] es de 12[m/s]. ¿Cual es la velocidad en la tuberıa de10[cm]?. Sol: v = 7.2[m/s].


Hidrodin amica

Ecuacion de Bernoulli

La energıa no se crea ni se destruye, solo se transforma. Esteenunciado se conoce como la ley de conservacion de laenergıa.

Hay tres formas de energıa que setoman siempre en consideracioncuando se analiza un problema deflujo en tuberıas. Consideramos unelemento de fluido como el queaparece en la figura.

El elemento de fluido se localiza a cierta elevacion z, tienevelocidad v y presion p. El elemento de fluido posee lassiguientes formas de energıa:


Hidrodin amica


1) Energıa potencial debido a su elevacion, la energıapotencial del elemento con respecto al nivel de referencia es

EP = mgz.

2) Energıa cin etica debido a su velocidad, la energıa potencialdel elemento es

EP =12

mv2.

3) Energıa de flujo o energıa de presi on y representa lacantidad de trabajo necesario para mover el elemento de fluidoa traves de cierta seccion contra la presion p. La energıa deflujo es

EF = pV ,

donde, V es el volumen del elemento de fluido.


Hidrodin amica


La cantidad total de energıa de estas tres formas que posee elelemento de fluido es la suma, E

E = EP + EC + EF ,

o bien

E = mgz +12

mv2 + pV ,

donde, la energıa total E se mide en Joule [J].


Hidrodin amica


Ahora consideramos el siguiente caso.

La energıa total en el punto 1 es

E1 = mgz1 +12

mv21 + p1V .

La energıa total en el punto 2 es

E2 = mgz2 +12

mv22 + p2V .

Si no hay energıa que se agregue o pierda en el fluido entre lassecciones 1 y 2 entonces el principio de la conservacion de laenergıa requiere que:

E1 = E2.


Hidrodin amica


mgz1 +12

mv21 + p1V = mgz2 +

12

mv22 + p2V .

Si, ahora dividimos por el peso mg, tenemos dado queγ = mg/V

z1 +v2

1

2g+

p1

γ= z2 +

v22

2g+

p2

γ.

Esta ecuacion es conocida como ecuaci on de Bernoulli ytiene unidad de metros [m]. Ahora,

z: es la altura de elevacion [m].v2

2g : es la altura de velocidad o es la carga de velocidad [m].pγ: es la altura de presion o es la carga de presion [m].

La suma de estos tres terminos se denomina carga total.


Hidrodin amica


La ecuaci on de Bernoulli

z1 +v2

1

2g+

p1

γ= z2 +

v22

2g+

p2

γ.

es valida para fluidos incompresibles, no viscosos y para flujoestacionario. Ademas, no debe haber perdidas de energıadebido a la friccion o transferencia de calor hacia el fluido ofuera de este.

En realidad ningun sistema satisface todas estas restricciones.Sin embargo, hay muchos sistemas donde la ecuacion deBernoulli entrega resultados con pequenos errores.


Hidrodin amica

Ecuacion de BernoulliEjemplo:

Debido a que A1 < A2 ydado que Q1 = Q2, o bienA1v1 = A2v2, tenemos que

v2 =A1

A2v1 < v1,

v2 es menor que v1, luego v22

2g

es mucho menor que v21

2g .

Ademas, cuando crece elarea, la altura de presionaumenta dado que la alturade velocidad disminuye.


Hidrodin amica


Por lo tanto, la ecuaci on de Bernoulli

z1 +v2

1

2g+

p1

γ= z2 +

v22

2g+

p2

γ,

toma en cuenta los cambios en la carga de elevacion z, cargade velocidad v2

2g y carga de presion pγ, entre dos puntos en un

sistema de flujo de fluido. Se asume que no hay perdidas oaumentos de energıa entre los dos puntos, por lo que la cargatotal permanece constante.


Hidrodin amica

Tubo Venturi

La tuberıa horizontal estrechada que semuestra en la figura, conocido comotubo Venturi, se puede usar para medirla velocidad de un flujo en fluidosincompresibles. Determine la velocidaddel flujo en el punto 2 si se conoce laspresiones en los puntos 1 y 2.


Hidrodin amica

Tubo Venturi

La tuberıa horizontal estrechada que semuestra en la figura, conocido comotubo Venturi, se puede usar para medirla velocidad de un flujo en fluidosincompresibles. Determine la velocidaddel flujo en el punto 2 si se conoce laspresiones en los puntos 1 y 2.

Como la tuberıa es horizontal z1 = z2, luego la ecuacion deBernoulli queda de la forma,

v21

2g+

P1

γ=

v22

2g+

P2

γ.

De la ecuacion de continuidad, tenemos Q1 = Q2, con lo cualA1v1 = A2v2, luego

v1 =A2

A1v2.


Hidrodin amica

Tubo Venturi

v21 +

2gP1

γ= v2

2 +2gP2

γ.

v22 = v2

1 +2P1

ρ−

2P2

ρ,

v22 =

[

A2

A1v2

]2

+2ρ(P1 − P2)

v22

(

1 −

[

A2

A1

]2)

=2ρ(P1 − P2)

⇒ v1 = A1

√

2(P1 − P2)

ρ(A21 − A2

2).


Hidrodin amica

Ley de Torricelli

Un tanque que contiene un lıquido dedensidad ρ tiene un orificio pequeno enun lado, a una distancia y1 del fondo. Elaire por sobre el lıquido se mantiene auna presion P. Determine la rapidez conla cual sale el lıquido por el orificio,cuando el nivel del lıquido esta a unadistancia h arriba del orificio.


Hidrodin amica

Ley de Torricelli

Un tanque que contiene un lıquido dedensidad ρ tiene un orificio pequeno enun lado, a una distancia y1 del fondo. Elaire por sobre el lıquido se mantiene auna presion P. Determine la rapidez conla cual sale el lıquido por el orificio,cuando el nivel del lıquido esta a unadistancia h arriba del orificio.

Suponemos que no hay perdidas de energıa, con lo cual

z1 +v2

1

2g+

p1

γ= z2 +

v22

2g+

p2

γ.

Ahora, consideramos que A2 >> A1 y dado que Q1 = Q2, esdecir A2v1 = A2v2 tenemos que v2 = A1

A2v1, con lo cual v2 es

pequeno y lo despreciamos v2 ≈ 0.


Hidrodin amica

Ley de Torricelli

Luego, v21

2g= z2 − z1 +

P2 − P1

γ,

en este caso, z2 − z1 = h, la presion P2 = P y la presionP1 = Patm, tenemos

v1 =

√

2gh + 2(

P − Patm

ρ

)

.

Si el punto 2 esta abierto a la atmosfera, tenemos P = Patm y

v1 =√

2gh.

Luego, la rapidez para un recipiente abierto es igual a la queadquiere un cuerpo en caıda libre cuando cae una distancia h.Esto se conoce como ley de Torricelli.


Hidrodin amica

Sifon

En la figura se muestra un sifon utilizado para conducir aguadesde una alberca. La tuberıa que conforma el sifon tiene undiametro interior de 40[mm] y termina en una tobera de25[mm] de diametro. Si suponemos que en el sistema no hayperdida de energıa, calcule el flujo volumetrico a traves delsifon y la presion en los puntos B al E.


Hidrodin amica

Sifon

La presion en la ecuacion de Bernoulli se puede considerarcomo la presion manometrica.

Puntos A y F:

zA +v2

A

2g+

PA

γ= zF +

v2F

2g+

PF

γ.

La presion en el punto A y F es la presion atmosferica, luegoPA = 0 y PF = 0. Por otro lado, la velocidad del punto A sepuede aproximar a cero, es decir vA = 0, luego

v2F

2g= zA−zF ⇒ vF =

√

2g(zA − zF ) ⇒ vF = 7,67[m/s],

El caudal o flujo volumetrico es

Q = AF vF = 3,76 × 10−3[

m3

s

]

.


Hidrodin amica

Sifon

Puntos A y B:

zA +v2

A

2g+

PA

γ= zB +

v2B

2g+

PB

γ.

Tenemos vA = 0, PA = 0 y zA = zB , luego

v2B

2g+

PB

γ= 0 ⇒ PB = −

ρ

2v2

B .

Ademas, se cumple que

Q = ABvB ⇒ vB =QAB

⇒ vB = 3[

ms

]

,

y finalmentePB = −4500[Pa].


Hidrodin amica

Sifon

Puntos A y C:

zA +v2

A

2g+

PA

γ= zC +

v2C

2g+

PC

γ.

Tenemos vA = 0, PA = 0 y vC = vB , luego

PC

γ= zA − zC −

v2C

2g⇒ PC = ρg(zA − zC)−

ρ

2v2

C .

y finalmente

PB = −16260[Pa] = −16,26[kPa].


Hidrodin amica

Sifon

Puntos A y D:La presion en PD = PB = −4.5[kPa] y vD = vB = 3[m/s].

Puntos A y E:

zA +v2

A

2g+

PA

γ= zE +

v2E

2g+

PE

γ.

Tenemos vA = 0, PA = 0 y vE = vB , luego

PE

γ= zA − zE −

v2E

2g⇒ PE = ρg(zA − zE )−

ρ

2v2

E .

y finalmentePB = 24900[Pa] = 24.9[kPa].


Hidrodin amica

Ejercicio

En la figura se muestra un medidor venturı.La seccion de diametro reducido en B haceque la velocidad del flujo se incremente ahı,con la disminucion correspondiente de lapresion. Demostraremos que la velocidaddel flujo depende de la diferencia depresion entre los puntos A y B. Por lo tantoes conveninente utilizar un manometrodiferencial. El fluido es agua a T = 60◦C yel lıquido en el manometro diferencial tienedensidad relativa igual a ρr = 1.25.Determine el caudal Q que circula por elventurı. Sol: Q = 0.0877[m3/s] = 87.7[ℓ/s].


Hidrodin amica

Ecuacion general de la energıa

La ecuacion de Bernoulli,

z1 +v2

1

2g+

p1

γ= z2 +

v22

2g+

p2

γ, es valida,

1 Para fluidos incompresibles.2 Entre los dos puntos de interes no puede haber

dispositivos mecanicos como bombas o turbinas.3 No puede haber perdida de energıa por la friccion o

turbulencia que generan valvulas y accesorios en elsistema de flujo.

4 No puede existir transferencia de calor hacia el sistema ofuera de este.


Hidrodin amica

Perdidas y ganancias de energıa

Bombas: Es un dispositivo mecanico que anade energıa aun fluido. Una bomba aprovecha la energıacinetica desde un motor electrico y la transmite alfluido, lo que provoca el movimiento de este y elincremento de su presion.

Motores de Fluido: Los motores de fluido, turbinas, actuadoresrotatorios y lineales, son algunos ejemplos dedispositivos que toman energıa de un fluido y laconvierten a una forma de trabajo, por medio de larotacion de un eje o el movomiento de un piston.

Valvulas y accesorios: Siempre que hay una restriccion: porejemplo, un cambio en la velocidad o direccion delflujo, hay perdidas de energıa.


Hidrodin amica


Friccion del fluido: Un fluido en movimiento presentaresistencia por friccion al fluir. Parte de la energıadel sistema se convierte en energıa termica, quese disipa a traves de las paredes de la tuberıa porla que circula el fluido.

Ahora, consideramos los terminos,

hA: Energıa agregada al fluido con un dispositivomecanico, bomba.

hR: Energıa absorvida del fluido por un dispositivomecanico.

hL: Perdidas de energıa del sistema por friccion enlas tuberıas, perdidas en valvulas o accesorios.


Hidrodin amica


Luego, la ecuacion general de la energıa es

z1 +v2

1

2g+

p1

γ+ hA − hR − hL = z2 +

v22

2g+

p2

γ,


Hidrodin amica

Ejercicio

De un deposito grande fluye agua a razon de 0.034[m3/s] porun sistema de tuberıa, como se muestra en la figura. Calcule lacantidad total de energıa que se pierde en el sistema debido ala valvula, codos, entrada de tuberıa y friccion del fluido.


Hidrodin amica

Ejercicio

De la ecuacion general de la energıa, tenemos

E1 + hA − hR − hL = E2,

en este caso no tenemos bombas hA = 0, ni motores de fluidohR = 0, entre los puntos 1 y 2. Luego, la perdida de energıa enlos accesorios hL es

hL = E1 − E2,

donde

E1 = z1 +v2

1

2g+

p1

γ,

E2 = z2 +v2

2

2g+

p2

γ,

como los puntos 1 y 2 estan a presion atmosferica, tenemosp1 = p2 = 0. Ademas, la velocidad del punto 1 es despreciablev1

∼= 0.Omar Jim enez. Universidad de Antofagasta. Chile Hidr aulica FS-425. 32

Hidrodin amica

Ejercicio

Luego,

hL = z1 − z2 −v2

2

2g,

en este caso z1 − z2 = 7.7[m] y el caudal es Q = A2v2 de aquiobtenemos la velocidad del punto 2, igual a v2 = 7.5[m/s].Finalmente, tenemos

hL = 7.7[m]− 2.9[m] = 4.8[m],

de perdida de carga total, en la valvula, en codos, tuberıas, etc.


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