Hidraulica_-_Unidad_5_-_2_2014
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-• Flujo Impermanente en Tuberías
II SEMESTRE - 2014
Prof. Dr.-Ing. Iván Salazar C.
1
epar amen o e ngen er a vUniversidad Católica del Norte
Hidráulica IC-701
7/18/2019 Hidraulica_-_Unidad_5_-_2_2014
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Oscilación de un liquido en un tubo U
Se presentan 3 situaciones:
• Oscliacion liquido sin fricción• Oscilacion liquido resistencia laminar • Oscilacion li uido resistencia turbulento
Oscilacion liquido sin friccion
1
2
22
22
11
21 ds
t
v
g
1z
g
P
g2
vz
g
P
g2
v
Ya que: v1 = v2 y p1 = p2
1
0dstg
zz
2
12
Fuente: Streeter 2Hidráulica IC-701
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L viene dado como la longitud de la columna liquida.
t
v
g
Lz2zz 12
,
zg2zdvd 2
g2zd 2
t
Cuya solución viene dada por:
Ldt 2
tL
g2senCt
L
g2cosC)t(z 21
C1 y C2 constantes de integración arbitrarias
3Hidráulica IC-701
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Oscilacion liquido resistencia laminar
f
1
2
22
22
11
21 hds
t
v
g
1z
g
P
g2
vz
g
P
g2
v
v
En régimen laminar el esfuerzo cortante en la pared viene dado por
D
Reemplazando e integrando, se llega a:
0D
Lv32
t
vLzzg
212
0zL
g2
dt
zd
D
32
dt
zd22
2
t2
t1 eCeC)t(z
uya so uc n v ene a a por:
C1
y C2
constantes de integración arbitrarias para condiciones forzadas
4Hidráulica IC-701
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Oscilacion liquido resistencia turbulenta
Caso habitual
f
1
2
22
22
11
21 hds
t
v
g
1z
g
P
g2
vz
g
P
g2
v
En régimen turbulento el esfuerzo cortante en la pared viene dado por
v2
80
Reemplazando e integrando, se llega a:
0D2
fv
t
vLzzg
2
12
0zL
g2
dt
zd
dt
zd
D2
f
dt
zd2
2
Nota: El valor absoluto es necesario para que la resistencia se oponga a la velocidad
Ecuación no lineal. Se puede resolver una vez conocida las condiciones iniciales atrav s e método de Runge-Kutta.
Repasar!!! Ver Streeter5Hidráulica IC-701
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Establecimiento de Flujo
En la figura, se abre la válvula y la pregunta es:
En cuanto tiempose logra el régimen
Fuente: Streeter
permanente?
12
222 ds
t
v1
2
v
D
Lf
2
vH
dt
vdL
D
Lf 1
2
vH
22
vdLf
L2dt
vvLvSe inte ra
Dvg 2
vvgH2 f
de 0 a t, 0 a Vf
6Hidráulica IC-701
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El golpe de ariete es un choque violento que se produce sobre las paredesde un conducto cuando el movimiento del liquido es modificado bruscamente. Esto se traduce en una variación brusca de la resióndentro de una tubería conocido como sobrepresión
Operación con dispositivos de cierre y regulación
Encendido y apagado de Bombas
Encendido y apagado de Turbinas
7Hidráulica IC-701
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Fuente: Streeter 8Hidráulica IC-701
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Velocidad y Presión están uniformemente distribuidas sobre lasección
Tubería completamente llena
Altura de velocidad despreciable frente a la altura de presión
Teoría de la columna rigida,
Teoría de la columna flexible 9Hidráulica IC-701
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Hipótesis Adicionales
Fluido ideal (incompresible y sin roce)
Deducción
Tubería rígida
Como consecuencia de la operación de la válvula aparece una fuerza desbalanceada. Lafuerza de sobrepresión F causa un aumento de presión p en el dispositivo.
dt
dQL
dt
dvLA
dt
dvmF
dv
+ha
-ha
dtg sengg a010
1ZLsen
h0 10 ZhgA
Z1
A
gALsen
dt
dv
g
Lha a0 hhgA
L
Ag
10Hidráulica IC-701
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Por otra parte en la valvula se tiene:
Torricelli+ha
-ha 00g0 gh2AQ 0t
h0
A Tt0 a0tg hhg2AQ
LAg Tt 0Q0
: Función de Regulación0gtg AA
0
a0 h
h1QQ
0
ae h
h1QQ
Se llega:
Cierre del dispositivo Abertura del dispositivo
11Hidráulica IC-701
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Obtención de la maxima altura de sobrepresión. Se busca dQ/dt
dt
dh
h
1
h
h1
2
1
h
h1
dt
dQ
dt
dQ a
0
2
1
0
a
0
a0
Reemplazando expresión ha y derivando dha/dt
0h
1h2
h
h1
dt
d
Q
gA
L
h
dt
dh 0
a0
0
a
0
aa
Máximo!!
Para el caso extremo ha = - h0 se cumple:
1a 4K hmax
10 K 2h
2 2
0
01
dtgAh
LQK
0
e2
dtgAh
LQK
12Hidráulica IC-701
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Se busca encontrar una relación entre la sobre presión ha y el tiempo t
Budau
e0a QQgAT2
L3hmax th a
a .
Experiencia indica que para la Teoría de la columna rigida es aplicable cuando
(Bollrich) Tiempo de cierre T (s) > L (km)(Parmakian) Tiempo de cierre T (s) > L/1000 (pies)
Para otra situación utilizar Teoría de la columna Elastica
Sistema de tuberías con cambio de seccion transversal: „L equivalente“
n
1n
3
13
2
121 A
.........AA
LL
13Hidráulica IC-701
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Expresión de Joukowski
.la relación causa efecto ante una variación de presión en el sistema.
Considera que la fase del golpe de ariete directo (solo la onda de reflexión) es la
at0
primaria la más significativa
12 vvQPAF cvv 12
g
cvh a
14Hidráulica IC-701
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Hipótesis Adicionales
Fluido real (compresible, roce)
Deducción
• Ecuación de Movimiento (equilibrio dinamico)
pA
) pA(l
gAdx
dxgAsen
xdx
15Hidráulica IC-701
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dv
dv4 p1 0
dz
dtx 0
dtDx dx
2
ttxdt
tx2dt
t
v
D
4
dx
v
2
1
dx
dzg
x
p1 0
t
v
g
1
gD
4
g
v
2
1
g
pz
x0
vvf v1v2
Dependiendo el régimen, por ejemplo turbulento8vf 0
gD2tgg2gz
x
1era Ec. de Saint Venant
16Hidráulica IC-701
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• Ecuación de Continuidad
Balance de masa
ldx
)Av(Av
t
mQQ msme
dx x
AdxdxAvAvAv 0v1vA1Av
0vd1dA1
x1er termino referido a la elasticidad de la tubería y a su velocidad de deformacióncon la presión
2do
termino tiene en cuenta la compresibilidad del liquido17Hidráulica IC-701
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Análisis del primer término
Equilibrio de fuerzas2D
pT
Variación temporal de la fuerza de Tensión por unidad de longitud
dtdp
2D
dtdT
Velocidad de variación de la Tensión (se divide por el espesor e)
dpDd dte2dt
Al dividir por el modulo de elasticidad del material se encuentra el valor de la velocidad.
sección se encuentra la velocidad del aumento del área. Además introduciendo elcoeficiente de Poisson, se llega a:
dt
dpDc
2
D
eE2
D
dt
dA1
dt
dp
eE
Dc
dt
dA
A
1 1
18Hidráulica IC-701
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Análisis del segundo termino
Utilizando la definición del modulo de elasticidad volumétrico
d/dk
dp1d1
dtk dt
Reemplazando
0x
v
dt
dp
k
1
dt
dp
eE
Dc1
0
x
v
eE
kDc1
dt
dp
k
1 1
Si se multiplica por k, se divide por la densidad y reagrupando se llega
kDc1
/k c
1
0
x
vc
dt
dp1 2
Celeridad de onda transiente
eE
19Hidráulica IC-701
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O escrita de otra manera10
eE
Dc
k
1c
1
e
DK 3,48
c
E
K O bien
Agua
donde c1 es una constante definida en función del tipo de unión entre las tuberías
= – c1= 1 – μ2: tubería anclada contra contra movimiento longitudinal en toda su extensiónc1= 1 – μ/2: tubería con juntas de expansión
Tub. normal Tub. ex andida
Agua normal Agua comprimida
20Hidráulica IC-701
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Como la derivada de dp es:
dtt
pdxx pdp
t pv
x p
dtdp
zHg p
zH
gzH
gvdp z
sen
con
Reemplazando en la ecuación canónica y despreciando algunos términos:
x
vcvgsen
x
Hvg
t
Hg 2
Finalmente al dividir ambos lados de la ecuación por g se llega
2
2da Ec. de Saint Venant
xg
vsenx
vt
21Hidráulica IC-701
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vvf v1H gD2tgx c. e a n enan
2da Ec. de Saint Venant
xv
gcvsen
xHv
tH 2
Éstas son las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales que rigen para el análisis y
calculo del ol e de ariete.
“ ” Autor: John Parmakian
22Hidráulica IC-701
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Expresión de Allievi
xHg
tv
tH
cg
xv
2
BB
Con ayuda del teorema de Swartz
2
2
22
2 H1H
Cuya solución se obtienen utilizando la integral de D’Alembert
cxtf cxtFHH 0
c
xtf
c
xtF
c
gvv 0
23Hidráulica IC-701
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xtF
xtf
unc ones ar rar as epen en o ascondiciones del problema en cuestión
Para el inicio del fenómeno (t=0; x=0) y para un instante t cualquiera y x=L
00f 0F
ctf
ctF
= -
L2tFtf 11 Tiempo critico (periodo de la tubería)
El comportamiento de las funciones queda finalmente sujeto a la maniobra del, , .
habla así de cierre brusco y cierre suave
24Hidráulica IC-701
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2
Disipación de la energía producto del roce, sino la oscilación sería infinita
g2D
hV
h h
2L/a 2L/a2L/a
hV
t
ha
t
hahV
Verschluß desRegelorgans
ha
ha
hV
V
Cierre deldispositivo
hV
Sin roce Con roce25Hidráulica IC-701
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Cierre brusco
de la tubería, t1<Tc. En este caso el cierre se efectúa antes que la onda reflejada alcancela válvula. En las ecuaciones f(t1)=0
101
tFHH
c 001 v
cHH
01 g
Luego par t2=t
1+Tc (v
2=0)
002 vg
HH
Un caso interesante de analizar es la expresión de Joukowski introduciendo las perdidas
pero con celeridad para material flexible.
g
cvJLHH Gmax
1c
g
cvJLHH Gmin
eEk
1
26Hidráulica IC-701
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Cierre Suave
de la tubería, t1>Tc. Además la sección del dispositivo varía de su valor máximo A0
hasta anularse completamente. La variación de estos limites en el tiempo responde auna función del rado de abertura del dis ositivo. Si A es el area del dis ositivo en eltiempo t, se tiene:
tt A
AG
Así surgen las Ecuaciones Conjugadas de Allievi
ttnT C01 TFHH C01 TF
c
gvv
TFT2Fg
vv
CC02 T2FT3FHH c
CC03 T2FT3Fc
gvv
CC0n T1nFnTFHH CC0n T)1n(FnTF
c
gvv
27Hidráulica IC-701
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Si se despeja de ambos sistemas la función F, se obtiene:
1001 vvg
cHH
c21021 vv
g
vvc
H2HH g
n1n0n1n vv
c
H2HH
El análisis mas en detalle de estas ecuaciones y un caso interesante de estudiarcomo el cierre lineal com leto se encuentra en los a untes del curso texto uía
28Hidráulica IC-701
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Expresión de Michaud
dicha válvula. La presión varía desde 0 hasta ΔP, con un valor medio de ΔP/2 y lineal
mv v vg
gT
H
Im ulso ue ex erimenta el li uido en el interior de la tuberia corres onde a lavariacion de su cantidad de movimiento
Igualando la expresion de Allievi con la de Michaud se encuentra una longitud criticaLc. De ahí surge el concepto de Conduccion Corta y de Conduccion Larga.
LcT
2Si L<Lc, Conduccion Corta (cierre lento) y se utiliza Michaud
Si L>Lc, Conduccion larga (cierre rapido) y se utiliza Allievi desde la valvula hasta el
punto critico y el resto por Michaud 29Hidráulica IC-701
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Chimeneas de equilibrio Estanque hidroneumático, cámara de aire vu a e a v o, e segur a o e escarga Válvulas supresoras Volantes Estanque de flujo unidireccional
Válvulas de retención combinadas con válvulas de compuerta
motorizadas Conexión de la línea de bombeo con el pozo de succión, por medio
Instalación de ventosas de doble acción
30Hidráulica IC-701
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perac ones mas vas
•Represas
•Centrales hidroeléctricas
Almacenamiento
Zona deoscilaciones
Perdidas en tubería deconexion
Chimenea
Debido a la disminución de caudal circula el agua hacia la chimenea de equilibrio a.
presión, luego oscila lentamente hasta lograr el equilibrio
31Hidráulica IC-701
7/18/2019 Hidraulica_-_Unidad_5_-_2_2014
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Deducción
hhhAF ,
v0S2 hzhgAF
f Sr g
Cantidad de Movimiento
dtvmF f sS
SS hhzl
gAdt
dQ
2
S
SS
S
S2
S
SS
S
SS
gA2df
gA2z
l
g
dtSS
S
SS QCQzldt (1)
32Hidráulica IC-701
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Continuidad
TWS
En la chimenea se cumple que:
WW Adt
dz
Q (3)
, .chimenea de equlibrio.
dQ1
QQCz
gA1zd TSS
S2
2
Si se desprecia el caudal saliente y las perdidas friccionales
WSW
0zl
g
Adt
z
SWS2
Periodo de oscilación del a ua
gA2T S
S
WAltura máxima ?
33Hidráulica IC-701
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Solución alternativa:
Energía cinetica:
2SSS
2SScinetica vlA
1vm
1E
Energia potencial:
2
zgzAgzmE max
maxWmaxW potencial
lA
se cons era que to a a energ a c net ca se trans orma en energ a potenc a , se t ene:
gAvz
WSmax
34Hidráulica IC-701
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Fuente:Giesecke-Mosonyi, „Wasserkraftanlagen“35Hidráulica IC-701
7/18/2019 Hidraulica_-_Unidad_5_-_2_2014
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H0
Cámara e a re a
presión P0
ConsideracionesSe utiliza para gastos hasta 1,0 m3/s y presiones hasta 150 m.c.a.
e recom en a como una es mac n aprox ma a una capac a e a e gas omáximo del sistema.
36Hidráulica IC-701
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37Hidráulica IC-701
7/18/2019 Hidraulica_-_Unidad_5_-_2_2014
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Definición de variables de interes
Q0: Caudal circulante.Sistema gravitacional = Q máx diario.Impulsión = Q bombeo
H0*: Altura dinamica absoluta. Adicion de 10 mca.
v0: ve oc a me a e escurr m ento
H0: Altura dinamica normal. .Impulsión = punto de funcionamiento del sistema.
*0*
H2
av
aC2T 0
C0: Volumen de aire del estanque hidroneumático
38Hidráulica IC-701
*
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H0* *2Curvas1
2
2
4
0,54
0,5 1
LQ
a
0
0
0,5
A mitad de tramo
2 40,5
-H0
*
unto a om a
394
21
Hidráulica IC-701
7/18/2019 Hidraulica_-_Unidad_5_-_2_2014
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40Hidráulica IC-701
7/18/2019 Hidraulica_-_Unidad_5_-_2_2014
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41Hidráulica IC-701
Di i i t d l E t Hid ti
7/18/2019 Hidraulica_-_Unidad_5_-_2_2014
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Dimensionamiento del Estanque Hidroneumatico
Consideraciones
Caracteristicas topograficas establecen criterios a adoptar para la maxima sobrepresióna aceptar, por ejemplo 30% (0,3 H0*)
Dependiendo de las caracteristicas de fabricación del estanque viene dado el coeficienteK. En esta zona se suele ocupar K=0,5. Por lo general el fabricante establece ese valor para sus equipos.
El volumen del estanque : *00 HC **min
EHH
0mín con
% representa el porcentaje aceptable de sobrepresión, por ejemplo 30%
De acuerdo a esto se elije el modelo de estanque hidroneumatico. Una restricciónimportante es la velocidad a la entrada del estanque (máx 8 m/s)
N° de estanques requeridos:
A8
Qn
42Hidráulica IC-701
7/18/2019 Hidraulica_-_Unidad_5_-_2_2014
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a
b ce c
gh
f
43Hidráulica IC-701
7/18/2019 Hidraulica_-_Unidad_5_-_2_2014
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Ejemplo 7.7.--
Para la situación mostrada en la figura, donde la tubería descargalibremente, determine el valor del golpe de ariete y el valor del esfuerzo
,
5 s. ¿Cuanto vale si la válvula es cerrada en 1 min?.
Dext = 6 pies
60 m.s.n.m
e = 5 mm.
L = 3000 m.
0 m.s.n.m
Tubería de Acero.
44Hidráulica IC-701