U T E - L V T

2º de ingeniería mecánica

Veira Tenorio Daniel Yesid

Ing. Arcesio Ortiz Ballestero

Hiperboloide

El hiperboloide es la superficie de revolución generada por la rotación de una hipérbola alrededor de uno de sus dos ejes de simetría. Dependiendo del eje elegido, el

hiperboloide puede ser de una o dos hojas.

Para entenderlo mejor, se considera a continuación el caso de la hipérbola de referencia, cuya ecuación es

,

en el sistema de coordenadas (ver el esquema siguiente).

La revolución alrededor del eje de simetría rojo genera un hiperboloide conexo, mientras que la rotación alrededor del eje azul, que atraviesa dos veces la hipérbola, da un hiperboloide de dos hojas.

Hiperboloide de una hoja.

Hiperboloide de dos hojas.

Ecuación Cartesiana

Generación de un hiperboloide.

Para hallar las ecuaciones de estas superficies, resulta más cómodo trabajar en el

sistema de coordenadas , cuyos ejes son los de simetría. Sean X e Y las coordenadas en este sistema, entonces tenemos la igualdad:

es decir

.

Luego, identificando los coeficientes de sendos vectores:

la ecuación inicial se escribe también xy = 1, es decir (X-Y)·(X+Y) = 1, luego:

Si se gira alrededor del eje Y, de vector director , entonces se otorga a la tercera coordenada Z el mismo papel que a X, por tanto Z y X aparecen bajo la misma forma en la ecuación, concretamente precedido del signo «+»:

Del mismo modo, Si se gira alrededor del eje X, de vector director , entonces Z

aparece bajo la misma forma que Y en la ecuación, es decir con un signo «-»:

Reagrupando las coordenadas del mismo signo, cambiando los signos si hay dos

negativos, y renombrando las variables para obtener el orden habitual x, y, z, se obtiene una de estas dos ecuaciones:

(una hoja) (dos hojas)

Se generalizan estos dos ejemplos así: un hiperboloide es una cuádrica cuya ecuación

es, en un sistema de coordenadas adecuado, (con el centro situado en el centro de simetría, y cuyos planos son planos de simetría de la superficie), de la forma:

Estas superficies se obtienen, de las mostradas en el ejemplo, estirando en la dirección

de los x por el factor a, multiplicando las distancias en los y por b, y en los z por c. Es decir que, fundamentalmente, tienen la misma forma.

Clasificación de las superficies alabeadas

La línea recta generatriz debe apoyarse, en su movimiento, sobre tres directrices.

Podemos dividir las superficies alabeadas en las tres siguientes clasificaciones:

1. Sobre dos líneas directrices, rectas o curvas, sin perder el contacto con ellas.

2. Sobre dos líneas directrices y paralelas a un plano director.

3. Sobre dos líneas directrices y formando esa generatriz un ángulo constante con algún

plano.

La clasificación puede reducirse a la clase 1, con solo hacer que algunas de las tres

líneas estén sobre la superficie como las tres líneas directrices.

Esta clasificación es muy útil pudiéndose incluir la clase dos en la tres. Algunas de las

superficies no tienen un nombre especial, pero si la mayoría, que vamos a indicar a

continuación:

1. Tres líneas directrices.

a. Tres líneas rectas. Hiperboloide elíptico e hiperboloide de revolución.

b. Dos líneas rectas y unas líneas curva.

c. Una línea recta y dos curvas. LA SUPERFICIE CÓNICA ALABEADA; CUERNO DE

VACA.

d. Tres líneas curvas.

2. Dos líneas directrices y un plano director.

a. Dos líneas rectas. Paraboloide hiperboloide.

b. Una línea recta y una curva. Conoide, helicoide recto.

c. Dos líneas curvas Cilindroide

3. Dos líneas directrices y un ángulo constante con un plano director

a. Dos líneas rectas. Hiperboloide concoideo (líneas perpendiculares).

b. Una línea recta y una curva. Helicoide oblicuo.

c. Dos líneas curva. Helicoide oblicuo.

El hiperboloide elíptico

Generación. Las directrices para esta superficie alabeada, deben ser tres rectas que no se

corten ni sean paralelas y ninguna paralela a un plano que lo fuera a las otras dos. Si las tres

líneas fueran paralelas al mismo plano entonces la superficies llegara a ser un paraboloide

hiperboloide

Cardioide

Una cardioide generada por una circunferencia que rueda.

Una cardiode dada como la envoltura de las circunferencias cuyos centros pertenecen a una

circunferencia dada y que pasan a través de un punto fijo de una circunferencia dada.

Se llama cardiode a la curva cuya ecuación polar es: ρ=a (1+cos θ), por su semejanza

con el dibujo de un corazón.

La cardiode es una curva ruleta de tipo epicicloide, con k=1. También es un caracol de

Pascal, cuando 2a=h.

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:CardioidCircleEnvelope.svg