Hipótesis de Louis de Broglie - ubiobio.cl
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Hipótesis de Louis de Broglie
� =h
p
viernes, 10 de mayo de 13
Como se ha visto una onda genera un patrón de interferencia:
viernes, 10 de mayo de 13
Un flujo de partículas como los electrones también generan un patrón de interferencia.
viernes, 10 de mayo de 13
Dado que los electrones poseen propiedades ondulatorias, parece lógico considerar la posibilidad de producir ondas electrónicas estacionarias. Si la energía está asociada a la frecuencia de una onda estacionaria, como E=hf, estas ondas exigen para su formación una serie discreta de energías.
viernes, 10 de mayo de 13
Dado que los estados energéticos discretos en los átomos podía explicarse con el concepto de ondas estacionarias condujo a Schrödinger y a otros a una teoría matemática detallada conocida como Mecánica Cuántica.
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En esta mecánica el electrón es descrito mediante una función de onda 𝝭 que obedece a una ecuación llamada ecuación de Schrödinger.
i~@ (t,~r)@t
= � ~22m
�!r2 (t,~r) + V (~r, t) (t,~r)
viernes, 10 de mayo de 13
Interpretación de la función de onda
En una cuerda
@
2u
@x
2=
1
v
2
@
2u
@t
2
@
2d
@x
2=
1
v
2
@
2d
@t
2
d=desplazamiento
El hablamiento también es una onda.
@
2p
@x
2=
1
v
2
@
2p
@t
2
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¿Y en la Luz?
r2 ~E =1
c2@2 ~E
@t2r2 ~B =
1
c2@2 ~B
@t2
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¿Y la función de onda?
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La ecuación de Max Born
pq � qp =h
2⇡i
PosiciónMomentum
Tanto la posición como el momentum son variables físicas reales, entonces?
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Conmutador y anticonmutador
Sean A y B dos cantidades (físicas por ejemplo), se define el conmutador entre ellas como:
[A,B] = AB �BA
{A,B} = AB +BA
Y el anticonmutador como:
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Demostrar:
[A+B,C] = [A,C] + [B,C]
[A,BC] = [A,B]C +B[A,C]
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Constante h de Dirac: ~ =h
2⇡
Con esta constante y haciendo uso del conmutado pordemos escribir la ecuación de Born como:
[q, p] = i~
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[q, p] = i~Tenemos una forma más compacta de escribir dicha ecuación. ¿Pero aún no entendemos su significado?
¿ ?
¿ ?
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[q, p] = i~} }Matriz
Número
Inconsistencia:
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[p, q] =
0
@i~ 0 00 i~ 00 0 i~
1
A = i~
0
@1 0 00 1 00 0 1
1
A = i~I
Para solucionar la inconsistencia notacional debemos notar lo siguiente:
I = i~
0
@1 0 00 1 00 0 1
1
AMatriz Identidad:
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Cuantización
Proceso mediante el cual transformamos variables físicas clásicas en variabls físicas cuánticas (asociadas de matrices).
Ejemplo: el oscilador armónico
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Hamiltoniano del oscilador armónico
H = K + V =1
2mv2 +
1
2kx2
=p
2
2m+
1
2kx
2
=p
2
2m+
1
2m!
2x
2
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Reemplazamos las variables contínuas clásicas por las matrices cuánticas:
H =p2
2m+
1
2m!2x2
H =P2
2m+
1
2m!2Q2
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¿Pero cuáles con los valores de la energía medidos en un laboratorio?
Observable:
Diagonalizar
Los valores 0,3,4 y 1 son los eigenvalores o autovalores del observable = cantidades medidas en un laboratorio.
�
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Operaciones con matrices
Sean:A =
0
@1 2 �1�2 0 00 3 1
1
A B =
0
@0 5 10 1 02 2 2
1
A
Suma: A+B =???
AB =Multiplicación:
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BA =???
AB 6= BAClaramente:
Y?:
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Conjugado de una matriz
El acto de conjugar es simplemente cambiar el signo de los elementos complejos de la matriz:
↵⇤
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Transpuesta de una matriz
El acto de transponer es simplemente cambiar las filas por las columnas de la matriz:
(↵⇤)T
alpha daga
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Observar que:
↵ = ↵†
Cuando lo anterior se cumple estamos frente a una matriz hermítica.
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¿Son las Matrices de Pauli hermíticas?
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Conjugado de un número Z
Z = a+ bi Z⇤ = Z̄ = a� bi
Z⇤ = Z̄ = a+ biZ = a� bi
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Ejercicios
Z = 4e2i
ZZ̄ =
Z = cos(20)� 3isen(20)
Calcular para cada caso.
a)
b)
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Producto escalar
~x = (x1, x2, x3, x4, . . . )
~y = (y1, y2, y3, y4, . . . )~x · ~y = x1y1 + x2y2 + x3y3 + . . . .
~x · ~y =nX
1
xiyi
~x · ~y = xiyiConvención de suma de Einstein:(Índices repetidos implican suma)
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~X = (1p4,1p8,
1p16
,1p32
,1p64
, . . . )Sea
Calcular: ~X · ~X⇤
¿Qué podría representar matemáticamente este resultado?
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~X · ~X⇤ =1
4+
1
8+
1
16+
1
32+
1
64+ . . . = 1
Probabilidades
Certeza
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Consideremos la siguiente matriz diagonalizada:
~X = (1p3,1p3,1p3)Consideremos:
Calcule: ~X · ~XT =< X|X >
A =
< X|A|X >=Calcule:
Interptrete su resultado
EnergíaObservable
Notación de Dirac
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Consideremos la siguiente matriz diagonalizada:
Consideremos:
Calcule: ~X · ~XT =< X|X >
A =
< X|A|X >=Calcule:
Interptrete su resultado
EnergíaObservable
~X = (1, 2, 3)
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