Historia de Las Matetematicas

5/28/2018 Historia de Las Matetematicas

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Tales de Mileto

Naci en el 624 a.C.en Miletociudad griega en la Jonia (hoy Turqua), ao primero de la XXXV Olimpiada.

Relacionado conAnaximandro,su discpulo, y conAnaxmenes,discpulo de Anaximandro, denominndosea los tres como la Escuela Jnicao "de Mileto". Es el primero de los siete sabios de Grecia, reconocidospor su sabidura prctica.

Ya en su tiempo se le reconocieron sus conocimientos de astronoma tras predecir el eclipse de sol queocurri el 28 de mayo del 585 a.C. Digenes Laerciodijo que "fue el primero que averiguo la carrera de untrpico a otro, y el primero que comparando la magnitud del sol con la de la luna, manifest ser stasetecientas veinte veces menor que aqul, como escriben algunos", que fue el inventor de las estaciones del

ao y asign a este trescientos sesenta y cinco das. Parece ser que fue el introductor de la geometra enGrecia.

Se cuenta que consigui medir la altura de las pirmides por medio de su sombra, proporcionndola con lanuestra cuando esta es igual al cuerpo, esto es, Tales esper a que la sombra de una persona tuviera lamisma longitud que la altura del cuerpo de la misma persona, afirmando entonces que la longitud de lasombra de la pirmide habra de ser igual a la altura de sta.

Sostena que el principio de todas las cosas es el agua, de la que todo procede. Crea que la Tierra era undisco circular plano que flotaba sobre el agua (el mar universal).

Cansado de la burla de sus conciudadanos ya que decan que era raro que siendo tan sabio no fueseigualmente rico. Se enriqueci especulando con el aceite sabiendo que iba a haber una buena cosecha deolivas, tom en arriendo todas las prensas que pudo encontrar, monopolizando el mercado, y luego las alquilal precio que l puso y se hizo rico en un solo ao. Tras esto vendi prensas y tierras y volvi a sus estudios

eliminando al mismo tiempo las chanzas de que era objeto.

No dej escritos; y de lo que de l se sabe, procede de lo que se cuenta en la MetafsicadeAristteles.

Tales de Mileto falleci el 543 a.C. mientras contemplaba unos juegos gimnsticos en la LVIII Olimpiada,segn recoge Digenes Laercio.

Pitgoras de Samos

Naci : hacia el 569 a.C. en Samos, Jonia.

Muri : hacia el 475 a.C. en Metaponto (Lucania, Sur de Italia)
http://www.buscabiografias.com/bios/biografia/verDetalle/484/Anaximandrohttp://www.buscabiografias.com/bios/biografia/verDetalle/484/Anaximandrohttp://www.buscabiografias.com/bios/biografia/verDetalle/485/Anaximeneshttp://www.buscabiografias.com/bios/biografia/verDetalle/485/Anaximeneshttp://www.buscabiografias.com/bios/biografia/verDetalle/9055/Aristoteleshttp://www.buscabiografias.com/bios/biografia/verDetalle/9055/Aristoteleshttp://www.buscabiografias.com/bios/biografia/verDetalle/9055/Aristoteleshttp://www.buscabiografias.com/bios/biografia/verDetalle/9055/Aristoteleshttp://www.buscabiografias.com/bios/biografia/verDetalle/485/Anaximeneshttp://www.buscabiografias.com/bios/biografia/verDetalle/484/Anaximandro


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Filsofo y matemtico griego nacido en la isla de Samos. Fue instruido en las enseanzas de los filsofosjnicos, Tales de Mileto, Anaximandro y Anaxmenes. Posiblemente lleg a conocer a Tales, aunque no sesabe con certeza. Viaj por Babilonia y Egipto, y posiblemente tambin por la India. Durante estos viajes tuvola oportunidad de conocer las matemticas y la astronoma de estos pueblos, siendo influido tambin por lascreencias de tipo religioso. Cuando regresa a Samos la isla est gobernada por el ti rano Policrates. Su espiritu

libre no acepta aquello y decide emigrar a Crotona, en la Magna Grecia, hoy sur de Italia (530 a. de C.). Allfunda una escuela o comunidad, considerada como algunos como una secta, con propsitos religiosos,polticos y filosficos que alcanz gran renombre y expansin. Su influencia poltica provoc levantamientoscontra ellos, por lo que Pitgoras se vi obligado a huir a Tarento. Un ao ms tarde muere en Metaponto.

La comunidad pitagrica tena unas creencias muy particulares, y se rega por unas normas muy estrictas.Una de sus doctrinas era la de la metempsicosis o transmigracin de las almas, que consista bsicamente enque el alma era eterna y se reencarnaba en diferentes cuerpos a lo largo de sucesivas vidas hasta conseguirla perfecta purificacin o catrsis. Por este motivo tenan prohibido comer carne, ya que cualquier animalpoda ser la reencarnacin de un familiar o amigo fallecido. Desde el punto de vista moral, su objetivo eraseguir el camino de la purificacin que lleva a la catrsis. Este fin se alcanzara mediante el conocimiento dela filosofa y las matemticas. Entre los alumnos de la escuela se distinguan los acusmticos (oyentes) a losque les impona silencio y una rigurosa disciplina de aprendizaje, y los matemticos a los que se les permitahacer preguntas y penetrar en las ms profundas enseanzas de la escuela. Un punto fundamental para

entender la filosofa pitagrica es su conocido lema, que en palabras de Filolao dice as:

"Todas las cosas que pueden ser conocidas tienen nmero; pues no es posible que sin nmero nada puedaser concebido ni conocido"

A partir de aqu, desarrollaron la teora de que en el universo todo est armoniosamente ordenado (cosmos) ypor lo tanto, puede ser explicado a travs de las matemticas. Fueron los primeros en entender la actividadmatemtica como una busqueda de la sabidura, independiente de las necesidades de la vida prctica, y enplantearse la necesidad de estructurarla y discutir sus principios. En palabras de Proclo:

" ...transform esta ciencia en una forma de educacin liberal, examinando sus principios desde el comienzo ydemostrando los teoremas de una forma inmaterial e intelectual"

Entre los avances realizados por los pitagricos en el campo de las matemticas, cabe destacar lademostracin del conocido y por siempre famoso teorema de Pitgoras, y el descubrimiento de los nmerosirracionales.

El teorema de Pitgoras

Este teorema era conocido en China, Mesopotamia y Egipto, mucho antes de los tiempos de Pitgoras. Unade las demostraciones ms antiguas es la siguiente. Partiendo de un tringulo rectngulo como el de la figura1 y utilizando cuatro de ellos, construimos la figura 2.

Figura 1 Figura 2

En la figura 2, el rea del cuadrado grande es (a+b)2. Pero la figura 2 se descompone en 4 tringulos y uncuadrado ms pegueo. El rea que obtenemos sumando las cinco partes es c 2+4(ab/2) = c2+2ab. De aquobtenemos que (a+b)2= c2+2ab; es decir, a2+2ab+b2= c2+2ab, y simplificando a2+b2= c2.(q.e.d.)


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Los egipcios lo utilizaron de una forma prctica para la construccin de ngulos rectos, hecho de gran utilidada la hora de realizar obras arquitectnicas. Tomando una cuerda y hacindole una serie de nudos de formaque queden determinada en ella 12 partes iguales, se pona la cuerda formando un triangulo cuyos ladosfuesen 3, 4 y 5 partes. El ngulo opuesto al lado mayor es siempre un ngulo de 90.

Ms mrito tiene todava uno de los pueblos que viva en Mesopotamia, los babilonios. Su mtodo de escriturase conoce con el nombre de cuneiforme. Consista en la grabacin de una serie de marcas sobre tablillas de

arcilla. Una de estas tablillas llamada Plimpton 322 fue descifrada en el siglo XIX, y lo que se encontr en ellafue una lista de ternas pitagricas. Estas ternas consisten en conjuntos de tres nmeros enteros que secorresponden con los tres lados de un trigulo rectangulo (verifican el teorema de Pitgoras). Algunosejemplos de esto son: (3,4,5), (5,12,13), (6,8,10), (7,24,25), (12,16,20)...

Plimpton 322

Existe una cantidad muy numerosa de demostraciones del teorema de Pitgoras, pero quizs la ms famosaes la que aparece en "Los Elementos" de Euclides. La idea es dividir el cuadrado mayor en dos partes deforma que cada parte sea igual al rea de uno de los cuadrados pequeos. Demostraremos primero que elrea del rectangulo amarillo (A'A''BM) es igual al rea del cuadrado amarillo (ABPQ). Comencemos viendoque los tringulos ABM y CBP son congruentes (iguales). Esto es cierto porque:

a) Los ngulos obtusos de ABM y CBP son iguales.b) El lado AB de ABM es igual al lado BP de CBPc) El lado BM de ABM es igual al lado CB de CBP

Es decir, los tringulos tienen dos lados iguales e igual el ngulo comprendido.


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Ahora bien, el tringulo ABM tiene un rea igual a la mitad de la del rectngulo amarillo (A'A''BM) porquetienen la misma base y altura (para verlo tomar BM como base). Asimismo, el rea del tringulo CBP es lamitad de la del cuadrado amarillo (ABPQ) por la misma razn (tomar BP como base). Como los dos tringulosson iguales, el rectngulo y el cuadrado tambin lo son. De forma anloga se procede con el rectngulo y elcuadrado de la izquierda y el teorema queda demostrado.

Los nmeros irracionales

Los pitagricos crean que todas las magnitudes que existan eran conmensurables; es decir, que dadas dosmagnitudes cualesquiera haba una unidad comn que meda a cada una de ellas un nmero entero de veces.Esto es lo mismo que decir que dados dos segmentos, la longitud de uno de ellos deba ser igual que la delotro multiplicada por un nmero racional. Los nmeros irracionales no eran conocidos y, ms todava, segnlas teoras de aquella poca no podan existir. As que cuando se intento medir la diagonal de un cuadrado deradio 1, se lleg a algo sorprendente. Utilizando el teorema de Pitgoras, llegamos a que la diagonal d delcuadrado es tal que d2=2. Como d tiene que poder expresarse como a/b entonces d2=2=a2/b2. Multiplicandopor b2 obtenemos que a2=2b2. Descomponiendo a y b en factores primos y sustituyendo en a 2=2b2,observamos que el nmero de factores 2 en el miembro de la izquierda es par, mientras que en el miembro dela derecha es impar. Esto contradice el teorema fundamental de la aritmtica, que afirma que ladescomposicin en factores primos de un nmero es nica. Concluimos entonces que d no puede serracional. Este hecho represent un duro golpe para los pitagricos ya que echaba por tierra una de suscreencias ms firmes. Adems muchos de sus resultados estaban basados en el hecho de que cualquier par

de magnitudes eran conmensurables. Ms tarde esos mismos resultados seran demostrados por otrosmatemticos siguiendo caminos alternativos (puede verse en los Elementos de Euclides por ejemplo).

Euclides

(330 a.C. - 275 a.C.) Matemtico griego. Poco se conoce a ciencia cierta de la biografa de Euclides, pese aser el matemtico ms famoso de la Antigedad. Es probable que se educara en Atenas, lo que permitiraexplicar su buen conocimiento de la geometra elaborada en la escuela de Platn, aunque no parece queestuviera familiarizado con las obras de Aristteles.

Euclides ense en Alejandra, donde alcanz un gran prestigio en el ejercicio de su magisterio durante elreinado de Tolomeo I Ster; se cuenta que ste lo requiri para que le mostrara un procedimiento abreviadopara acceder al conocimiento de las matemticas, a lo que Euclides repuso que no exista una va regia parallegar a la geometra (el epigrama, sin embargo, se atribuye tambin a Menecmo como rplica a una demandasimilar por parte de Alejandro Magno).

La tradicin ha conservado una imagen de Euclides como hombre de notable amabilidad y modestia, y ha

transmitido as mismo una ancdota relativa a su enseanza, recogida por Juan Estobeo: un jovenprincipiante en el estudio de la geometra le pregunt qu ganara con su aprendizaje; Euclides, tras explicarleque la adquisicin de un conocimiento es siempre valiosa en s misma, orden a su esclavo que diera unasmonedas al muchacho, dado que ste tena la pretensin de obtener algn provecho de sus estudios.

Euclides fue autor de diversos tratados, pero su nombre se asocia principalmente a uno de ellos,losElementos, que rivaliza por su difusin con las obras ms famosas de la literatura universal, como la Bibliao el Quijote. Se trata, en esencia, de una compilacin de obras de autores anteriores (entre los que destacaHipcrates de Quos), que las super de inmediato por su plan general y la magnitud de su propsito.

De los trece libros que la componen, los seis primeros corresponden a lo que se entiende todava comogeometra elemental; en ellos Euclides recoge las tcnicas geomtricas utilizadas por los pitagricos para


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resolver lo que hoy se consideran ejemplos de ecuaciones lineales y cuadrticas, e incluyen tambin la teorageneral de la proporcin, atribuida tradicionalmente a Eudoxo.

Los libros del sptimo al dcimo tratan de cuestiones numricas y los tres restantes se ocupan de geometrade los slidos, hasta culminar en la construccin de los cinco poliedros regulares y sus esferas circunscritas,que haba sido ya objeto de estudio por parte de Teeteto.

La influencia posterior de los Elementosde Euclides fue decisiva; tras su aparicin, se adopt de inmediatocomo libro de texto ejemplar en la enseanza inicial de la matemtica, con lo cual se cumpli el propsito quedebi de inspirar a Euclides. Ms all, incluso, del mbito estrictamente matemtico, fue tomado comomodelo, en su mtodo y exposicin, por autores como Galeno, para la medicina, o Espinoza, para la tica.

De hecho, Euclides estableci lo que, a partir de su contribucin, haba de ser la forma clsica de unaproposicin matemtica: un enunciado deducido lgicamente a partir de unos principios previamenteaceptados. En el caso de los Elementos, los principios que se toman como punto de partida son veintitrsdefiniciones, cinco postulados y cinco axiomas o nociones comunes.

La naturaleza y el alcance de dichos principios han sido objeto de frecuente discusin a lo largo de la historia,en especial por lo que se refiere a los postulados y, en particular, al quinto (postulado de las paralelas). Sucondicin distinta respecto de los restantes postulados fue ya percibida desde la misma Antigedad, y hubodiversas tentativas de demostrarlo como teorema; los esfuerzos por hallarle una demostracin prosiguieronhasta el siglo XIX, cuando se puso de manifiesto que era posible definir geometras consistentes, llamadasno euclidianas, en las que no se cumpliera la existencia de una nica paralela trazada a una recta por unpunto exterior a ella.

Arqumedes de Siracusa

Naci : hacia el 287 a.C. en Siracusa, Sicilia

Muri : en el 212 a.C. en Siracusa, Sicilia

Considerado como el cientfico y matemtico ms importante de la Edad Antigua, y uno de los ms grandesde toda la historia. Su padre Fidias fue astrnomo e influy de forma notable en su educacin. En aquellapoca, Alejandra estaba considerada como el centro de investigacin y estudio ms importante del mundoconocido. Arqumedes viaj hasta esta ciudad y estudi con los discpulos de Euclides, lo cual represent una

influencia importante en su forma de entender las matemticas. El resto de su vida la pas en Siracusa,dedicado por completo a sus trabajos e investigaciones, con una dedicacin y una intensidad tal que...

"... se olvidaba de comer y descuidaba su persona, hasta tal punto que, cuando en ocasiones era obligado porla fuerza a baarse y perfumarse, sola trazar figuras geomtricas en las cenizas del fuego y diagramas en losungentos de su cuerpo, y estaba embargado por una total preocupacin y, en un muy cierto sentido, por una

posesin divina de amor y deleite por la ciencia." (Plutarco)

Algunos de sus descubrimientos son el tornillo sin fin (o de Arqumedes) utilizado para elevar agua, la poleacompuesta, el torno, la rueda dentada, el principio de la hidrosttica y la ley de la palanca. Durante el asediode los romanos a la ciudad de Siracusa, construy mquinas de guerra basadas en palancas, catapultas y unsistema de espejos con el que incendi las naves romanas.


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"...pero cuando Arqumedes comenz a maniobrar con sus mquinas, inmediatamente lanz contra lasfuerzas terrestres toda clase de armas arrojadizas y unas masas inmensas de piedras que caan con un ruidoy violencia terribles; contra las cuales ninguno pudo resistir, ya que abatan a cuantos les caan a montones,rompiendo toda formacin." (Plutarco)

Aunque todo la anterior hubiese sido suficiente para hacer de Arqumedes un personaje famoso, sus logrosms importantes los consigue en el terreno de las matemticas. Fue sta la ciencia que ms le interes y

donde consigui alcanzar las ms altas cumbres. Algunos dicen incluso que su inters por susdescubrimientos ms prcticos radica en los principios matemticos que los mantienen. l mismo seconsider siempre como un gemetra. Sus trabajos representaron un gran avance, no slo por los resultadosconseguidos, sino por los mtodos utilizados, el rigor de sus demostraciones y la solidez de su estructuralgica. Fue precursor de algunos de los descubrimientos de la matemtica moderna, como por ejemplo, el usoque hizo del mtodo de exhaucin de Eudoxo para calcular reas y volmenes, que desemboc casi 2000aos ms tarde en el clculo integral.

Arqumedes determin el volumen de una esfera

"Sus descubrimientos fueron numerosos y admirables; pero se cuenta que le pidi a sus amigos y parientesque, cuando muriera, colocaran sobre su tumba una esfera dentro de un cilindro, inscribindola en la

proporcin del slido continente respecto al contenido; esto es, la razn 3:2"(Plutarco, Vidas Paralelas)

Mencionamos a continuacin, algunas de sus obras ms importantes:

1) Sobre el equilibrio de los planosDonde estudia los centros de gravedad de figuras planas y condiciones de equilibrio de la palanca.

2) Sobre la cuadratura de la parbolaDemuestra que: "Una seccin de parbola excede en un tercio al rea del tringulo de igual base que laseccin y cuyo vrtice es el de la parbola". Dicho de otra forma, la superficie de la seccin de parbola esigual a cuatro tercios de la superficie del tringulo inscrito. A partir de este resultado la cuadratura es obvia.

3) El Mtodo (Sobre el mtodo relativo a los teoremas mecnicos)Donde da a conocer las bases en las que se apoyan sus descubrimientos, como son la teora de las razones y

de las proporciones entre magnitudes geomtricas y sobre todo el mtodo de exhaucin de Eudoxo.

4) Sobre la esfera y el cilindroEl resultado principal es que dados un cilindro y una esfera inscrita en l, el volumen de la esfera es dostercios del volumen del cilindro. Consigue por lo tanto una forma de obtener el volumen de la es fera a partirdel volumen del cilindro. (ms informacin)

5) Sobre espiralesUn estudio bastante complicado y original donde obtiene diversos resultados sobre las espirales. Se cree queel objetivo que se persegua era resolver alguno de los grandes problemas de la poca, como la cuadraturadel circulo o la triseccin de un ngulo. (ms informacin)
http://mimosa.pntic.mec.es/jgomez53/matema/conocer/arquimedes.htm#esfera_cilindrohttp://mimosa.pntic.mec.es/jgomez53/matema/conocer/arquimedes.htm#espiraleshttp://mimosa.pntic.mec.es/jgomez53/matema/conocer/arquimedes.htm#espiraleshttp://mimosa.pntic.mec.es/jgomez53/matema/conocer/arquimedes.htm#esfera_cilindro


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6) Sobre los conoides y esferoidesEstudio sobre las figuras geomtricas que se obtienen al hacer girar las cnicas.

7) Sobre los cuerpos flotantesEstudio sobre hidrosttica. Se cree que descubri el principio de la hidrosttica cuando estaba bandose ypensando en el problema que le haba propuesto el rey Hiern de Siracusa. ste haba encargado una coronade oro a un artesano y sospechaba que haban sustituido parte del oro por plata. Sumergiendo la corona en

agua pudo determinar su volumen (el del agua desalojada) y conocido tambin su peso pudo demostrar que elartesano intentaba engaar al rey. Cuando a Arqumedes se le ocurri la idea sali rpidamente de la baeraexclamando: Eureka! Eureka! (que en griego significa "Lo encontr")

8) Sobre la medida del circuloDonde encuentra la frmula para el rea de un circulo y en un prodigio de clculo e ingenio para aquellostiempos, consigue hacer una buena aproximacin delnmero pi inscribiendo y circunscribiendo polgonos dehasta 96 lados en una circunferencia. La acotacin que encontr fue

3+10/71 < pi < 3+1/7,

aproximadamente 3'140845... < pi < 3'142857...

9) El Arenario

En el que distingue claramente lo infinito de lo muy grande (contando los granos de arena que pueden caberen el Universo) y desarrolla un sistema de numeracin con el que se pueden representar tales magnitudes. Noolvidemos que el sistema de numeracin indo-arbigo no era conocido todava en la cultura occidental.

Sobre la medida del crculo

Los gemetras de la poca conocan que la razn entre la longitud de una circunferencia y su dimetro, erasiempre un valor constante (al que actualmente llamamos pi). En el libro XII de los Elementos de Euclides,aparece la demostracin de que la razn entre el rea de un crculo y su dimetro al cuadrado, tambin esuna constante. Arqumedes consigui demostrar que la constante que aparece en este caso tambin tieneque ver con el (hoy llamado)nmero pi.El primer paso fue demostrar la siguiente:

PROPOSICIN: El rea de un polgono regular es (P*a)/2, donde P representa el permetro y a la apotemadel polgono.La demostracin que hizo es la que todos conocemos actualmente, mediante descomposicin del polgono entringulos congruentes.

A partir de este resultado preliminar consigue demostrar otro mucho ms importante.

PROPOSICIN: El rea de cualquier crculo es igual a la de un tringulo rectngulo en el cual uno de loscatetos es igual al radio y el otro a la circunferencia del crculo.

Demostracin:
http://mimosa.pntic.mec.es/jgomez53/matema/conocer/numpi.htmhttp://mimosa.pntic.mec.es/jgomez53/matema/conocer/numpi.htmhttp://mimosa.pntic.mec.es/jgomez53/matema/conocer/numpi.htmhttp://mimosa.pntic.mec.es/jgomez53/matema/conocer/numpi.htm


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Llamamos A al rea del crculo y T a la del tringulo. C es la longitud de la circunferencia.

Supongamos que A>T; es decir, A-T>0. Podemos inscribir un polgono en la circunferencia de forma que ladiferencia entre sus reas sea tan pequea como queramos. Por tanto, existe un polgono inscrito en lacircunferencia cuya rea es S y tal que A-S


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considerada como una de sus cumbres ms importantes, y quizs la ms apreciada por l mismo, como sepuede ver ensu epitafio . Una de los resultados ms notables del libro es la

PROPOSICIN 33.- La superficie de cualquier esfera es cuatro veces la de su crculo mximo.La demostracin vuelve a ser una doble reduccin al absurdo, suponiendo primero que la superficie de laesfera es mayor que cuatro veces la del circulo y suponiendo luego que es menor, llegando en ambos casos auna contradiccin. La tcnica empleada es el mtodo de exhaucin de Eudoxo; es decir, inscribiendo y

circunscribiendo cuerpos geomtricos, como conos y troncos de cono (cuyas superficies haba demostradopreviamente), y aproximndose desde dentro y desde fuera a la superficie de la esfera. Qued establecido porlo tanto que S=4*pi*r2.

Quedaba sin embargo por demostrar otro de los resultados ms importantes del libro, la

PROPOSICIN 34.- Cualquier esfera es igual a cuatro veces el cono que tiene su base igual al crculomximo de la esfera, y su altura igual al radio de la esfera.La demostracin la hace basndose en los volmenes del cono y del cilindro que haba hallado previamente.Partiendo de una esfera cualquiera, considera un cilindro cuyo radio de la base es igual al radio de la esfera ysu altura igual al radio, y un cono con base igual a la del cilindro y altura igual al radio de la esfera. Haciendoun corte horizontal en los tres cuerpos a una altura inferior al radio, demuestra que la superficie de la seccincorrespondiente al cilindro es igual a la suma de las superficies de las secciones correspondientes al cono y ala esfera.

Si el corte lo hacemos a una distancia d del punto ms alto de la figura, entonces el radio del circulo queaparece en la esfera es la raz de R2-d2. El radio del circulo que aparece en el cono es d. En el cilindro elradio es R. Por tanto, pi*(R2-d2)+pi*d2=pi*R2. Lo que hoy conocemos como principio de Cavalieri implica que

el volumen de media esfera ms el volumen del cono es igual al volumen del cilindro. Como el volumen deeste cilindro es pi*r3y el del cono pi*r3/3, entonces tenemos que el volumen de la esfera completa es 4/3*pi*r3,quod eram demostrandum.

Como corolario de estos resultados obtiene que la relacin entre una esfera y el cilindro que la contiene es2:3, tanto en superficie como en volumen.

Sobre espirales
http://mimosa.pntic.mec.es/jgomez53/matema/conocer/arquimedes.htm#volumen_esferahttp://mimosa.pntic.mec.es/jgomez53/matema/conocer/arquimedes.htm#volumen_esfera


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El objetivo de Arqumedes al estudiar esta curva fue la resolucin de los tres problemas clsicos. La espiralde Arqumedes se define como la curva que describe un punto, movindose a velocidad constante sobre unarecta que gira con velocidad angular constante. En coordenadas polares (r,

fcilmente puede trisecarse un ngulo, dividiendo simplemente el segmento OP en tres partes iguales yobteniendo a continuacin los puntos U y V que resuelven el problema. Lo que ms llama la atencin es quesiendo la geometra griega esencialmente esttica, aqu parece haber determinado la tangente a la espiral por

medio de consideraciones cinemticas que recuerdan al moderno clculo diferencial. Y este clculo de latangente es lo que le permiti cuadrar el crculo a partir de la espiral.

En la figura superior, la recta que contiene al segmento PQ es tangente a la espiral, y OQ es perpendicularal radio vector OP. Arqumedes demuestra utilizando doble reduccin al absurdo que el segmento OQ es iguala la longitud del arco PS. De este teorema se puede deducir fcilmente que la tangente a la espiral en el puntoT (corte con el eje de ordenadas) determina sobre el eje de abcisas un segmento igual a la cuarta parte de lalongitud del crculo.

Apolonio de Prgamo

(Apolonio de Perga o Perge; 262 a.J.C. - 180 a.J.C.) Matemtico griego. Conocido con el sobrenombre de elGran Gemetra, sus extensos trabajos sobre geometra tratan de las secciones cnicas y de las curvas planas

y la cuadratura de sus reas. Acu los trminos elipse, hiprbola y parbola, que responden a lasrespectivas propiedades matemticas de estas tres funciones. Tambin explic el movimiento de los planetassegn la teora de los epiciclos.

Apolonio vivi largo tiempo en Alejandra, primero como discpulo y ms tarde como profesor en la escuela delos sucesores de Euclides, escuela que recibi nuevo impulso del mismo Apolonio. Realiz numerosos viajesy residi tambin durante algn tiempo en feso y en Prgamo, a cuyo rey Atalo I (224-197) dedic el cuartolibro de su tratado sobre las figuras cnicas.

Apolonio

Apolonio hizo con respecto a las figuras cnicas lo que Euclides haba hecho un siglo antes en cuanto alcrculo, y fue l quien dio a las secciones del cono las denominaciones todava en uso: parbola, hiprbola,elipse. Aunque slo cuatro de los ocho libros de que estaba compuesto hayan llegado a nosotros en la lengua


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original (poseemos otros tres en idioma rabe), el tratado es tan completo que haban de pasar siglos antesde que pudiera aadirse algo sobre el tema.

Ya antes de Apolonio, las cnicas y sus propiedades eran conocidas por los griegos, segn lo atestiguan laobra de Menecmo, Los lugares slidos de Aristeo y muchos pasajes deEuclidesy Arqumedes. Apoloniogeneraliz y extendi las investigaciones. Partiendo de un cono cualquiera, cortndolo con un planocualquiera, llega a obtener las tres especies de cnicas que antes de l se consideraban como secciones del

cono acutngulo, rectngulo y obtusngulo.

Los primeros cuatro libros del tratado Las cnicashan llegado a nosotros en su texto original porqueprobablemente eran libros de texto en las escuelas griegas y alejandrinas. Los tres siguientes se conservarondurante el medioevo en una traduccin rabe, y slo el octavo libro, que segn las declaraciones de Apoloniocontena la solucin de los problemas concernientes a la materia tratada en el libro anterior, se ha perdido. Elfamoso astrnomo Halley, en la edicin hecha por l de las obras de Apolonio (1710), se bas en lasinformaciones contenidas en los "lemas" dejados por Pappo en suColeccinpara dar una relacin aproximadade este libro desaparecido.

En conjunto, los libros sobre las cnicas pueden considerarse como una introduccin a la geometra superior,porque en ellos encontramos nociones modernsimas como son los principios de la teora de las polares o lageneracin de una cnica mediante haces de rayos proyectados (teorema de Steiner). La importancia de lascnicas en el sistema universal creci mucho con el descubrimiento de Kepler, segn el cual las rbitas

planetarias son elpticas, ocupando el sol uno de los focos de la elipse. La obra de Apolonio, al reexaminarsehace tres siglos, dio origen a un gran desenvolvimiento de la geometra moderna.

Adems de este libro, escribi otras obras sobre matemticas: han llegado a nosotros, en versin rabe, doslibros sobre Divisiones de las proporciones, una obra sobre Tangenciasy dos libros sobre Lugares planos.Entre los escritos perdidos se conocen los ttulos de una obra sobre Resolucin rpiday otra sobre espejosustorios. Despus deArqumedes,Apolonio de Perga es el ms profundo y original de todos los matemticosgriegos. Los antiguos le atribuyeron la invencin de una forma especial de reloj solar y descubrimientosastronmicos precursores.

Pappus de Alejandra

Pappus de Alejandranace en el 290 aC en Alejandra y muere en el 350 como el ltimo de los grandesgemetras griegos mientras uno de sus Teoremas es citado como un elemento fundamental en el proyectode lageometra moderna.

Nuestro conocimiento sobre la vida de Pappus es casi nulo. Tenemos dos referencias fechadas en la literaturasobre la vida de Pappus las cuales son errneas. Una, referida en SUDA LEXICON (un trabajo del siglo X dela lexicografa griega) en el que est escrito que Pappus era coetneo de Theon de Alejandra.

Pappus de Alejandra, filsofo, vivi en tiempo del Emperador Theodosio el Mayor (379 aC - 395 aC), en lapoca que Theon escribi el Canon de Ptolomeoque destacaba, tambin, como fi lsofo.

Este dato parece convincente pero hay una tabla cronolgica de Theon de Alejandra que cuando fue copiadaaparece tambin junto al nombre de Diocleciano -quien rein del 284 aC al 305 aC-, en el tiempo queescriba Pappus. Inserciones parecidas dan datos o fechas sobre Ptolomeo, Hipparchus y otros matemticosastrnomos.

Sinceramente ambas referencias no pueden ser contrastadas, ni corregidas y el conocimiento inexacto de elSUDA hace que los historiadores situen sus escritos en el periodo 284 dC-305 dC, como asi lo sugiere latabla cronolgica de Theon. Heath est completamente convencido cuando dice que:

"Pappus vivi a finales del siglo III aC (antes de Cristo)."

Sin embargo, sabemos ahora que las fuentes mencionadas anteriormente sobre la poca en que vivi Pappusson errneas. Segn Roma se deduce que por el comentario que hace Pappus en Almagest sobre el eclipsesolar que se observ en Alejandria el 18 de octubre del ao 320, se deduce claramente como el 320 el ao delcomentario de Pappus sobre elAlmagest de Ptolomeo.
http://www.biografiasyvidas.com/biografia/e/euclides.htmhttp://www.biografiasyvidas.com/biografia/e/euclides.htmhttp://www.biografiasyvidas.com/biografia/e/euclides.htmhttp://www.biografiasyvidas.com/biografia/k/kepler.htmhttp://www.biografiasyvidas.com/biografia/k/kepler.htmhttp://www.biografiasyvidas.com/biografia/k/kepler.htmhttp://www.biografiasyvidas.com/biografia/a/arquimedes.htmhttp://www.biografiasyvidas.com/biografia/a/arquimedes.htmhttp://www.biografiasyvidas.com/biografia/a/arquimedes.htmhttp://www.geometriafractal.com/http://www.geometriafractal.com/http://www.biografiasyvidas.com/biografia/a/arquimedes.htmhttp://www.biografiasyvidas.com/biografia/k/kepler.htmhttp://www.biografiasyvidas.com/biografia/e/euclides.htm


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Aparte de esta fecha conocemos mas bien poco sobre la vida de Pappus. Naci en Alejandra y parece quepas toda su vida en esta ciudad. Sabemos que dedic trabajos a Hermodorus, Pandrosion y Megethion.Hermodorus era su hijo pero no tenemos ms informacin sobre l. Pappus menciona a un amigo llamadoHierius que era tambin filsofo y que le anim a estudiar ciertos problemas matemticos, pero no sabemosnada ms sobre l. Finalmente encontramos una referencia sobre Pappus en los escritos de Proclus loscuales nos indican que Pappus dirigi una escuela en Alejandra.

El principal trabajo de Pappus en geometra es Synagoge o Antologa Matemtica,que es una coleccin deescritos matemticos distribuidos en ocho libros y que se cree fueron escritos por el ao 340 (aunque algunoshistoriadores piensan que Pappus complet este trabajo en el ao 325 Heathdescribe laAntologaMatemticacomo sigue:

"Obviamente escrita con el objeto de revivir la Geometra Griega Clsica, ella cubre prcticamente todo estecampo. Es ms bien un vademcum o una gua para conocer la Geometra griega que una simpleenciclopedia. Se intent que fuera leda con los trabajos originales mucho mejor que permitir que se

prescindieran de los mismos."

Parece que este trabajo no fue originariamente escrito como un simple tratado sino que fue escrito como unaserie de libros relacionados con diferentes tpicos. Cada libro tiene su propia introduccin y a menudo unhistrico y valioso nmero de tpicos, que no se encuentran inmediatamente disponibles en otras fuentes.

El libro I cubre la Aritmtica y se perdi, igual que el Libro II , perdido parcialmente. Las partes que seconservan tratan con el mtodo de Apollonio sobre la relacin con los grandes nmeros. El sistema expresalos nmeros como poderes de una mirada, es decir, como poderes de 10.000.

El Libro III est dividido por Pappus en cuatro partes. La primera parte se refiere al problema de encontrar dossignificados proporcionales entre dos lneas rectas. La segunda parte se refiere a la construccin de la

Aritmtica, Geometra y significados armnicos. La tercera parte describe una serie de paradojas geomtricasen las que Pappus cuenta que son tomadas de un trabajo de Erycino. Otra que est incluida en esta parte yde la que no sabemos nada de Erycino y su trabajo. La parte final muestra como cada uno de los cincopoliedros regulares pueden inscribirse en una esfera. Los autores de (9) discuten sobre la confusin quePappus hace en el libro III sobre el problema de demostrar la Aritmtica, Geometra y significados armnicosde dos segmentos en un crculo

El libro IV contiene propiedades sobre curvas incluida la espiral de Arqumides y la cuadratura de Hippiasincluyendo su mtodo triseccional. Pappus presenta varios tipos de curvas que considera asi :

Decimos que hay tres tipos de problemas en geometra, los llamados Plano, slido y lineal. Aquellos quepueden resolverse con lneas rectas y circulares son los llamados, propiamente problemas planos, porque porlas lneas que tales problemas pueden resolverse tienen su origen en un plano. Aquellos problemas que

pueden resolverse por el uso de una o mas secciones de un cono son los llamados problemas slidos. Paraello es necesario que en su construccin se usen superficies de figuras slidas, es decir conos. Por ltimo eltercer tipo el llamado problema lineal Para la construccin, en este caso de curvas u otras de las yamencionadas se requiere, curvas teniendo una mejor variedad y un origen ms forzado y destacando desuperficies ms irregulares y de movimientos ms complejos. De este carcter son las curvas descubiertasen la llamada superficie Loci y otras ms implicadas. Estas curvas tienen muchas propiedades interesantes.

Autores recientes lo han considerado valioso y extenso y una de las curvas es denominada la curvaparadoxical por Menalo. Otras curvas del mismo tipo son espirales, cuadrticas, coloidales y cisoidas.

Pappus presenta algunas de estas ideas en el Libro V describiendo como las abejas construyen sus panales.El concluye su exposicin sobre panales presentando el objeto de su trabajo como sigue (ver ejemplo (3) 0(4):

Las abejas, conocen, en realidad este hecho que les es muy til, saben que el hexgono es mayor que elcuadrado y que el triangulo y que tendrn mas miel por el mismo gasto de material en la construccin de cada

panal. Pero nosotros somos ms sabios que las abejas, e investigaremos ms profundamente el problema,mencionando que de todas las figuras planas, equilaterales y equiangulares de igual permetro, las quetienen el mayor nmero de ngulos son siempre las mayores, y que la mayor de todas ellas es el crculo,teniendo su permetro igual a ellas.


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Tambin en el libro V Pappus trata el decimotercero slido semiregular de Arqumedes. El compara las reasde las figuras con igual permetro y volumen de slidos con igual rea de superficies demostrando el resultadoatribuido a Zenodorus el cual dice que las esfera tiene mayor volumen que cualquier slido corriente con igualrea de superficie. El demuestra, tambin que para dos slidos con igual rea de superficie, el que tiene elmayor numero de caras tiene el volumen ms grande.

Los Libros VI y VII, consideran libros de otros autores (Theodosio, Autolicio, Aristarco, Euclides, Apolonio,

Aristeo y Eratostenes). El libro VI trata con libros sobre Astronoma que estn recogidos dentro de PequeaAstonoma llamada asi en contraste conAlmagest o Gran Astonoma de Ptolomeo.Leyendo estos librosPappus destaca errores que han entrado en los textos.

En el libro VII Pappus escribe sobreEl Tesoro del Anlisis (ver ejemplo 3)

El llamado Tesoro del Anlisis, mi querido Hermodoro, tiene,en parte,un cuerpo de doctrina equipada por eluso de aquellos que,despus de ir a traves de los elementoss comunes,desean obtener poder para resolverlos problemas presentados a ellos sobre curvas y slo es til con este propsito. Es el trabajo de treshombres,Euclides el escritos de Elementos, Apolonio de Perga y Aristeo el mayor, que prosiguieron con elmtodo de anlisis y sntesis.

Pappus, entonces sigue con la explicacin sobre las diferentes aproximaciones del anlisis y del sntesis :

..en anlisis se supone que lo que se busca ya est dado, e investiga lo que de l se desprende y de nuevocual es la causa antecedente de lo ltimo y as hasta que desandando lo andado, nosotros damos luz a algoque ya sabemos o consideramos como lo ms importante..Pero en sntesis siguiendo el camino contrariosuponemos lo dado como lo ltimo alcanzado en anlisis ,y arreglndolo en su orden natural comoconsecuencia de anteriores antecedentes conectados cada uno de ellos con otros ,nosotros llegamos,finalmente a la construccin de lo que estbamos buscando.

El articulo (3) es una amplia gama de tratados sobre anlisis y sntesis,tomamdo este trabajo por Pappuscomo punto de partida.

Es en el libro VII cuando el problema de Pappus aparece. Este problema tiene un mayor impacto en eldesarrollo de la geometra.. Fue tratado por Descartes y Newton y lo que se conoce como el Teorema deGuldin estuvo demostrado por Pappus en el libro VII sobre Recopilacin matemtica.Ver (7) sobre el tratado

o sobre si Guldin conoca el resultado de Pappus cuando publico su trabajo en 1640.

En el libro VIII Pappus trata con mecanismos. Nosotros citamos la propia descripcin de Pappus sobre talasunto(ver ejemplo 3) :

La ciencia de los mecanismos, mi querido Hermoduro ,tiene muchos usos importantes en la vida prctica y estenida por muchos filsofos en la ms alta estima y es estudiada con entusiasmo por matemticos, porquetoma casi en primer plano el trato con la naturaleza de los elementos materiales del universo. Por esto tratageneralmente sobre la estabilidad y movimiento de cuerpos alrededor de sus centros de gravedad,y susmovimientos en el espacio, investigando no slo las causas de aquellos que se mueven en virtud de sunaturaleza, sino los que forzosamente transfieren a otros desde sus propios puestos un movimiento contrarioa su naturaleza; y consigue a hacer esto usando teoremas apropiados al tema.

Todo el trabajo no muestra una gran originalidad sino que muestra el hecho de que Pappus tiene una

profunda comprensin de toda la gama de tpicos matemticos y que domina las mayores tcnicasmatemticas disponibles. El escribe bien, muestra una gran claridad de pensamiento y la RecopilacinMatemtica, es un trabajo de una importancia histrica en el estudio de la Geometra griega.

El comentario de Pappus sobre Almagest de Ptolomeo slo ha sobrevivido la parte en el libro 5 y 6. Nopodemos asegurar que Pappus escribiera un comentario que se extendiera en todos los 13 libros, pero pareceprobable que lo hiciera. Ciertamente es evidente que su comentario cubri los libros 1,3,y 4,existen rastros oestan citados por otros comentaristas sobre el Almagest.Estos comentarios parecen se de calidad maspobre al trabajo de la Geometra de Pappus. Neugebauer escribe :


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...la monotona y pomposidad de esta escuela de tratados es demasiada evidente Cuando Ptolomeo en elcaptulo sobre el aparente dimetro del sol, luna y sombra ,simplemente observa que los conos tangenciales,en cuestin, contactan las esferas dentro de un insignificante error en grandes crculos, entonces Pappus serefiere al Optico de Euclides para mostrar que el crculo de contacto tiene un dimetro menor que el de laesfera. Slo aadir que en un amplio argumento para demostrar que el error cometido en la construccin dePtolomeo es, no obstante, insignificante. O ,cuando Ptolomeo dice que algunos fenmenos no pueden tenerlugar, ni por el mismo clima, ni por latitudes geogrficas diferentes, Pappus se siente obligado a explicar

mismo clima por cualquier en clima 3, o 4,5 o algn otro climae ilustrar diferencias por la referencia aRoma o Alejandra.

Neugebauer destaca, en relacin a estos comentarios sin sentido, que tambin hay comentarios de Pappusque son simplemente incorrectos. Se debe pensar que la cualidad de Mathematic Collection (Recopilacinmatemtica) y el comentario sobre la Almagest de Ptolomeo, como tales diferentes cualidades en las quePappus no ha debido escribir, y estn excluidas segn las referencias que hace en Mathematic Collectionver ejemplo (1):

...como Arqumides ensea y como est demostrado por nosotros en el comentario sobre el libro primero deAlmagest de nuestra propia cosecha.

Por supuesto Pappus no escribi elAlmagestsino el ttulo griego del trabajo.

Otros comentarios sobre los que Pappus escribi incluye uno sobre los Elementos de Euclides. Proclus, en supropio comentario sobre los Elementos refiere tres tiempos sobre el comentario de Pappus y Eutocio tambinse refiere al comentario de Pappus. Parte del comentario de Pappus puede existir en una traduccin al rabe.mencionada en el libro X de los Elementos. Sin embargo, el comentario es muy diferente en el estilo que seobserva en Recoleccin matemtica (Mathematical Collection) y si en verdad Pappus es su autor, estecomentario falla en el fondo y en la comprensin, apreciados en otras partes de su trabajo.

Marinus dice que Pappus tambin escribi un comentario sobre La Data de Euclides, que no ha sobrevivido.Que Pappus escribi sobre Geografa est en el SUDA y un trabajo reclamado por Moses de Khoren, en elsiglo V, parece estar basado sobre la Geografa de Pappus.

Moses, escribe (ver ejemplo 1):

Debemos empezar, por tanto, con la Geografa de Pappus de Alejandra, que sigui el crculo o el mapaespecial de Claudio Ptolomeo.

Otra referencia sobre Pappus en en este trabajo dice:

Habiendo hablado de Geografa en general, ahora debemos de empezar a explicar cada pas segn Pappusde Alejandra.

Otros trabajos que debieron estar escritos por Pappus incluye uno sobre msica y otro sobre Hidrostticos.Ciertamente, se le atribuye un instrumento para medir lquidos.

Hern de Alejandra

Fsico y matemtico griego que vivi en Alejandra en una poca no exactamentedeterminada de los siglos I y II d. de C. Como matemtico, aport modestascontribuciones a la ciencia pura; sin embargo, como cultivador de las ciencias aplicadasfue, en la poca tolemaica, el cientfico ms ilustre despus deClaudio Tolomeo.

Ha sido difcil determinar cules de los numerosos textos llegados hasta nosotros bajosu nombre pertenecen, en realidad, al Hern alejandrino de quien nos habla Pappo; losque hoy se consideran suyos estn reunidos en una edicin crtica de cinco tomos, engriego o en la versin rabe, y con la traduccin alemana (Leipzig, 1899-1914). Lamayor parte de sus obras estn dedicadas a la fsica aplicada y a la geometra prctica.
http://www.biografiasyvidas.com/biografia/t/tolomeo.htmhttp://www.biografiasyvidas.com/biografia/t/tolomeo.htmhttp://www.biografiasyvidas.com/biografia/t/tolomeo.htmhttp://www.biografiasyvidas.com/biografia/t/tolomeo.htm


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LaMecnica, en tres libros, estudia las mquinas simples y la composicin de los movimientos. El textooriginal en griego se perdi, y qued de l slo una traduccin rabe, descubierta por Carra de Vaux, quien lapublic en 1893 con el ttulo de La Mecanique ou l'Elevateur de Hron d'Alexandrie . Hern parte de losprincipios de la mecnica aristotlica y de la ciencia deArqumedes. Desarrolla la teora de las cincomquinas simples: palanca, tornillo, cua, polea y plano inclinado, deducindola del estudio del movimiento deun cuerpo pesado sobre un plano inclinado, y la acompaa de numerosos problemas prcticos. Es notable enel tercero de los tres libros la definicin de la hlice cilndrica y de sus propiedades, que Hern verosmilmente

saca de una obra perdida de Apolonio Pergeo, mientras que la teora de los centros de gravedad, segnconfesin del propio Hern, est tomada de Arqumedes.

Parte de lo que se contiene en los dos libros de laPneumtica es sustancialmente obra de estudiososanteriores y especialmente de Ctesibio, Filn y Arqumedes. La obra comienza con una disertacin tericasobre el "vaco", en la que se repite la errnea hiptesis por medio de la cual los antiguos explicaban todosaquellos fenmenos (accin de las bombas, de las jeringas) que slo mucho ms tarde haban de encontraruna exacta interpretacin gracias al descubrimiento de la presin atmosfrica por obra deTorricelli.

Sigue despus la descripcin de numerossimos aparatos en gran parte movidos por la accin del aire, delagua o del fuego. Algunos de estos aparatos estaban destinados a suscitar en el vulgo ignorante unsentimiento de reverente estupor durante las funciones del culto: as el dispositivo (por medio de la dilatacindel aire) que abra las puertas del templo cuando se encenda el fuego del altar. Entre esta clase de aparatosse encuentran tambin la clebre "fuente de Hern" y la "eolpila" en la que est contenido el germen de la

primera mquina o, mejor dicho, de la primera "turbina" de vapor. Se describen asimismo otros muchosmecanismos, como el odmetro, el distribuidor automtico, el molinillo de vapor o mquinas que funcionancon monedas.

El libro Sobre los autmatasdescribe la maquinaria de los teatros y es un interesante documento acerca de laescenografa y la tramoya griegas. La Diptricahabla de un aparato empleado entonces por los topgrafos yastrnomos, anlogo al moderno teodolito.

La Mtrica, por ltimo, es una obra en tres libros donde aparecen tratadas cuestiones de geodesia y degeometra prctica. Se enumeran las diferentes maneras de hallar las reas de tringulos, cuadrilteros,polgonos regulares de tres a doce lados, crculos y elipses, as como el volumen de cilindros, conos yesferas, con procedimientos rigurosos y clculos aproximados; se trata tambin la divisin de las figurasplanas y slidas en partes relacionadas entre s y con la figura entera.

En el primer libro de la Mtricahallamos la conocida frmula que permite calcular el rea de un tringulo apartir de la longitud de los lados, y un mtodo aproximado para hallar la raz cuadrada de un nmero, usadohoy da por los modernos ordenadores. Segn Proclo (tal noticia fue confirmada luego por el rabe Anaricio),pertenece a Hern un comentario de orden prctico a los ElementosdeEuclides, que enriquece elvocabulario geomtrico y contiene diversas observaciones, entre ellas una concerniente a la demostracineuclidiana del teorema de Pitgoras.

Ren Descartes

(La Haye, Francia, 1596 - Estocolmo, Suecia, 1650) Filsofo y matemtico francs. Ren Descartes se educen el colegio jesuita de La Flche (1604-1612), donde goz de un cierto trato de favor en atencin a sudelicada salud.

Obtuvo el ttulo de bachiller y de licenciado en derecho por la facultad de Poitiers (1616), y a los veintidsaos parti hacia los Pases Bajos, donde sirvi como soldado en el ejrcito de Mauricio de Nassau. En 1619se enrol en las filas del duque de Baviera; el 10 de noviembre, en el curso de tres sueos sucesivos, RenDescartes experiment la famosa revelacin que lo condujo a la elaboracin de su mtodo.
http://www.biografiasyvidas.com/biografia/a/arquimedes.htmhttp://www.biografiasyvidas.com/biografia/a/arquimedes.htmhttp://www.biografiasyvidas.com/biografia/a/arquimedes.htmhttp://www.biografiasyvidas.com/biografia/t/torricelli.htmhttp://www.biografiasyvidas.com/biografia/t/torricelli.htmhttp://www.biografiasyvidas.com/biografia/t/torricelli.htmhttp://www.biografiasyvidas.com/biografia/e/euclides.htmhttp://www.biografiasyvidas.com/biografia/e/euclides.htmhttp://www.biografiasyvidas.com/biografia/e/euclides.htmhttp://www.biografiasyvidas.com/biografia/t/torricelli.htmhttp://www.biografiasyvidas.com/biografia/a/arquimedes.htm


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Ren Descartes

Tras renunciar a la vida militar, Descartes viaj por Alemania y los Pases Bajos y regres a Francia en 1622,para vender sus posesiones y asegurarse as una vida independiente; pas una temporada en Italia (1623-1625) y se afinc luego en Pars, donde se relacion con la mayora de cientficos de la poca. En 1628decidi instalarse en los Pases Bajos lugar que consider ms favorable para cumplir los objetivos filosficosy cientficos que se haba fijado, y residi all hasta 1649.

Los cinco primeros aos los dedic principalmente a elaborar su propio sistema del mundo y su concepcindel hombre y del cuerpo humano, que estaba a punto de completar en 1633 cuando, al tener noticia de lacondena de Galileo, renunci a la publicacin de su obra, que tendra lugar pstumamente.

En 1637 apareci su famoso Discurso del mtodo, presentado como prlogo a tres ensayos cientficos.Descartes propona una duda metdica, que sometiese a juicio todos los conocimientos de la poca, aunque,a diferencia de los escpticos, la suya era una duda orientada a la bsqueda de principios ltimos sobre loscuales cimentar slidamente el saber.

Este principio lo hall en la existencia de la propia conciencia que duda, en su famosa formulacin pienso,luego existo. Sobre la base de esta primera evidencia, pudo desandar en parte el camino de suescepticismo, hallando en Dios el garante ltimo de la verdad de las evidencias de la razn, que semanifiestan como ideas claras y distintas.

El mtodo cartesiano, que Descartes propuso para todas las ciencias y disciplinas, consiste en descomponerlos problemas complejos en partes progresivamente ms sencillas hasta hallar sus elementos bsicos, lasideas simples, que se presentan a la razn de un modo evidente, y proceder a partir de ellas, por sntesis, areconstruir todo el complejo, exigiendo a cada nueva relacin establecida entre ideas simples la mismaevidencia de stas.

Los ensayos cientficos que seguan, ofrecan un compendio de sus teoras fsicas, entre las que destaca suformulacin de la ley de inercia y una especificacin de su mtodo para las matemticas. Los fundamentos desu fsica mecanicista, que haca de la extensin la principal propiedad de los cuerpos materiales, los situ enla metafsica que expuso en 1641, donde enunci as mismo su demostracin de la existencia y la perfeccinde Dios y de la inmortalidad del alma. El mecanicismo radical de las teoras fsicas de Descartes, sin embargo,determin que fuesen superadas ms adelante.

Pronto su filosofa empez a ser conocida y comenz a hacerse famoso, lo cual le acarre amenazas depersecucin religiosa por parte de algunas autoridades acadmicas y eclesisticas, tanto en los Pases Bajoscomo en Francia. En 1649 acept la invitacin de la reina Cristina de Suecia y se desplaz a Estocolmo,donde muri cinco meses despus de su llegada a consecuencia de una neumona.

Descartes es considerado como el iniciador de la filosofa racionalista moderna por su planteamiento yresolucin del problema de hallar un fundamento del conocimiento que garantice la certeza de ste, y como elfilsofo que supone el punto de ruptura definitivo con la escolstica.

Pierre de Fermat

Naci: el 17 de agosto de 1601 en Beaumont-de-Lomagne, Francia


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Muri: el 12 de enero de 1665 en Castres, Francia

Fermat naci el mismo ao que el siglo XVII y aunque sus contribuciones matemticas nunca fueronpublicadas en vida, fueron de tal calidad que la relativamente modesta difusin que tuvieron entre lacomunidad cientfica europea fue suficiente como para que su siglo le recuerde como uno de sus mejoreshijos. Y eso que el diecisiete fue un siglo prdigo en matemticos y cientficos de primera fila: Descartes,Leibniz, Newton, Jacobo y Juan Bernoulli, Huygens, Galileo, Torricelli, Cavalieri, Wallis, etc. La lista se harainterminable. Y, como es lgico, tanta materia gris no poda dejar de producir matemticas de primera calidad.

Tanta, que la produccin del diecisiete marcara un antes y un despus. En el diecisiete la matemtica seempez a consolidar como una ciencia independiente, ms o menos en las lneas que hoy la conocemos.Fermat contribuy decisivamente a ello.

Adems del lgebra, la geometra analtica y el clculo, otras ramas de la matemtica empezaron a cultivarseen ese siglo: por ejemplo, la teora de nmeros (en el sentido moderno) y el clculo de probabilidades. Enesas dos ramas, Fermat tuvo algo que decir. En teora de nmeros, mucho. Hay quien le considera el padrede la teora de nmeros moderna. En ese terreno, su famoso Gran Teorema (o ltimo Teorema como losanglosajones le llaman) le ha dado la fama universal de la cual era mucho ms merecedor por suscontribuciones al lgebra, a la geometra y al clculo.

Fermat naci cerca de Toulouse, en un pueblo llamado Beaumont-de-Lomagne (entonces parte de laGascoa y hoy en el departamento de Tarn et Garonne). Vivi en Toulouse y muri tambin muy cerca, enCastres (Tarn). Durante toda su vida casi no se movi de la regin. Su familia tena una buena posicineconmica y social. Su padre era un rico comerciante y su madre perteneca a una familia de la nobleza local.Tuvo un hermano y dos hermanas. Fermat, probablemente, se cri en su pueblo natal y fue educado en uncercano monasterio franciscano hasta que ingres en la Universidad de Toulouse. Sin que se sepa la razn,interrumpi sus estudios en Toulouse y, durante unos aos, vivi en Burdeos, donde contact con algunosmatemticos que conocan bien la herencia de Vieta: Beaugrand, dEspagnet Ah se form en el lgebra y elsimbolismo de Vieta que tan tiles le seran ms adelante. De esos aos data su primera produccinmatemtica: la restitucin del libro perdido de las Cnicas de Apolonio: Plane Loci y los primeros trabajossobre mximos y mnimos.

Despus de la etapa en Burdeos reingres en la universidad, esta vez en Orlans, donde obtuvo su ttulo enLeyes hacia 1631, ao en que se instala en Toulouse en calidad de consejero del Parlamento de Toulouse.Ese mismo ao se casa con una prima lejana, Louise de Long, que pertenece a la familia de alcurnia de sumadre ligada a la noblesse de robe. Fermat aade el de a su apellido. El matrimonio Fermat tuvo cinco hijos,dos varones y tres hembras. El hijo mayor, Clment-Samuel heredara el inters de su progenitor por lasmatemticas, aunque no su genialidad. A Clment-Samuel le debemos la edicin y publicacin de las obras

completas de su padre en 1679.La vida de Fermat transcurre de una manera muy tranquila en Toulouse; profesionalmente va obteniendopromociones de manera que ingresa en la cmara alta del parlamento de Toulouse en 1638 y accede a lacorte suprema en 1652. En esa poca va regularmente a Castres a ejercer de magistrado. Castres, en el sigloXVII alberg uno de los tribunales establecidos por el Edicto de Nantes para dar un tratamiento justo a loshugonotes en sus litigios. Estos tribunales tenan un determinado nmero de magistrados catlicos yprotestantes. Fermat ocup en diversas ocasiones una plaza del cupo catlico. De hecho muri en Castrespocos das despus de terminar de juzgar un caso.

En Toulouse reanud sus contactos con personajes ligados a la matemtica. Uno de los ms relevantes parael futuro de Fermat fue Monsieur de Carcavi, colega suyo en el parlamento pero tambin matemtico


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aficionado. Carcavi se traslad a Paris en 1636 donde contact con el Padre Mersenne, el personaje que,mediante su abundante correspondencia hara las veces de centro difusor de la ciencia en la Francia del XVII.Mersenne se interes inmediatamente en los trabajos de Fermat gracias a la descripcin que le hizo Carcavide estos y empez a cartearse con l. Inicialmente el inters de Mersenne se centr en algunos comentariosde Fermat sobre la cada libre de graves, tema en el que Fermat objetaba a la descripcin de Galileo.Rpidamente Fermat inform a Mersenne sobre su trabajo sobre espirales (motivado por sus estudios sobrecada libre) y sobre su restitucin del libro perdido de Apolonio. Tambin en esa poca Fermat anuncia a

Mersenne que est en posesin de diversos anlisis para diversos problemas tanto numricos comogeomtricos para cuya solucin el anlisis de Vieta es insuficiente. De hecho, a principios de 1636 Fermathaba concluido su Ad locos planos et solidos isagoge [Introduccin a los lugares planos y slidos], dondemediante el lenguaje algebraico de Vieta estudia las curvas que se pueden expresar mediante ecuaciones deprimero y segundo grado y establece que son precisamente la recta y las cnicas. Tambin establece que, engeneral, una curva tiene una ecuacin y que una ecuacin algebraica representa siempre una curva. Por esarazn se atribuye a Fermat una cierta prioridad sobre la creacin de la Geometra Analtica frente a Descartesque public su Geometria en 1637. En el mismo cruce de cartas con Mersenne, Fermat no puede resistir latentacin de incluir un par de problemas sobre mximos y mnimos para que Mersenne los divulgue a modode desafo entre la comunidad matemtica. Fermat dispone de su Methodus ad disquirendam maximam etminimam et de tangentibus linearum curvarum [Mtodo para determinar mximos y mnimos y trazartangentes a lneas curvas], que le permite resolver este tipos de problemas de manera muy general. Suenfoque se basa en dos hechos:

1) en un mximo o mnimo la tangente a la curva es paralela al eje de abscisas (en lenguaje actual) y en

consecuencia el valor de la funcin en ese punto ha de ser nico (con relacin a sus vecinos);2) los valores cercanos al extremo han de ser alcanzados como mnimo dos veces por la funcin, un pocoantes del extremo y un poco despus.

Comparando pues el valor de la funcin en el extremo, f(a), con un valor muy cercano, f(a+e), donde e es unacantidad muy pequea, esos valores han de ser prcticamente iguales, se pueden adigualar, en lenguaje deFermat. De ese proceso de adigualacin se obtiene una ecuacin que, una vez eliminado el valor e por serdespreciable, permite calcular a. De hecho Fermat llega a la ecuacin que hoy en da escribimos como f(x)=0.Por eso se le considera tambin precursor del clculo diferencial aunque su proceso de adigualacin estlejos de las ideas de lmite que ms tarde entraran en escena. Obviamente Fermat solo trata este tipo deproblemas en funciones algebraicas.

Los problemas de mximos y mnimos que Fermat ha planteado a Mersenne son de tal dificultad queMersenne pide a Fermat la divulgacin de sus mtodos. De esta manera los escritos de Fermat sobre el tema,antes mencionados, empiezan a circular estableciendo al mismo tiempo su reputacin como matemtico de

primera fila. Roberval, Mersenne y otros matemticos de la poca le instan a que publique sus resultados, a locual Fermat se niega. De hecho, en vida slo public un trabajo y hubo que esperar a 1679 a que su hijomayor publicase su obra. No est clara la razn de la negativa de Fermat a publicar. Por un lado Fermat seconsideraba slo un aficionado dado que no se dedicaba por entero a la matemtica. Y por otro lado, Fermatera consciente de que para publicar sus resultados, debera ser mucho ms claro y didctico en susexplicaciones, lo que le acarreara mucho trabajo adicional y consumira una parte importante del tiempo quepoda dedicar a la investigacin.

Aunque su fama crece en Europa, no todo es de color de rosa. A principios de 1637, su amigo Beaugrand lemanda una copia del manuscrito (an no publicado) de la Diptrica de Descartes. Fermat, enfrascado en unaintensa correspondencia con Roberval y tienne Pascal sobre mtodos de cuadratura y su aplicacin a ladeterminacin de centros de gravedad, le presta poca atencin hasta que Mersenne, preocupado por laindiscrecin de Beaugrand (quien haba obtenido la copia de manera poco ortodoxa), le pide que no divulguea nadie ms que a l mismo sus comentarios sobre el trabajo de Descartes.

Fermat contesta a Mersenne de una manera bastante ingenua (no conoca a Descartes ni saba nada delDiscurso del Mtodo ni del mal carcter del filsofo) sealando errores en la deduccin de la ley de la reflexiny de la refraccin y calificando la obra en general como un simple intento de hallar la verdad a tientas entrelas tinieblas. Se ofrece incluso para echar una mano en la clarificacin de algunos problemas.

Mersenne, consciente de la delicada situacin, guard la carta de Fermat durante unos meses hasta que, antela insistencia de Descartes para que le comunicase cualquier crtica a la Diptrica, se la mand. La reaccinde Descartes a la crtica de Fermat fue, al principio paternalista. Fermat no haba entendido sus mtodos.Mientras tanto, Fermat haba obtenido una copia de la Geometria y se apresur a mandar a Mersenne sustrabajos sobre el tema, para demostrar al menos la independencia de sus descubrimientos. Mersenne,mostrando nuevamente poco tacto, le enva esos trabajos a Descartes quien enfurece y emprende un ataquesin cuartel contra el aficionado de Toulouse. La controversia se extiende al mtodo de trazado de tangentes


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y el mtodo para hallar mximos y mnimos. Despus de un sinfn de cartas (aderezadas con el poco tacto deMersenne) Descartes termina por retar a Fermat a usar su mtodo para trazar las tangentes a una curva de suinvencin, el folio, con una ecuacin implcita de tercer grado, x 3 +y 3 =pxy. La respuesta de Fermat con elclculo de las tangentes al folio obliga a Descartes a admitir que el mtodo de Fermat es superior al suyo y, aregaadientes, le reconoce una cierta talla intelectual aunque le sigue atacando en privado. La irritacin queFermat produca en Descartes queda muy bien reflejada en una frase de este ltimo: Fermat es gascn. Yono.

Durante los ltimos aos de la dcada de los 30 y los primeros de la dcada de los 40, Fermat siguetrabajando en su mtodo de mximos y mnimos aplicndolo a varios problemas diferentes y tambin intentageneralizar, sin mucho xito, su geometra analtica a tres dimensiones. Su Isagoge ad locos ad superficiemde 1643 recoge sus ideas al respecto. Del mismo ao, 1643, data su famosa carta a Brlart, dondeFermat resumira de manera bastante clara su mtodo para determinar mximos y mnimos y su clculo detangentes.

La dcada 1645-1655 fue una dcada dura para Francia, sacudida por la guerra civil y por una epidemia deplaga que en 1651 estuvo a punto de costar la vida a Fermat. De hecho Fermat fue dado por muerto poralgunos de sus colegas. En ese perodo, Fermat produce poco y mantiene poca correspondencia. No es hasta1655 que Fermat recupera el ritmo de trabajo. De finales de los aos 50 datan algunos de los trabajos msimportantes de Fermat, en parte recopilaciones de trabajos anteriores, en parte nuevas ideas. De esa pocason su Tratado de cuadraturas y su Tratado sobre rectificacin de curvas y su famosa demostracin de la leyde refraccin basada en su principio del tiempo mnimo, expresado como una ley natural: la naturaleza

siempre acta por el camino ms corto.

Pero el tema que ha de dar a Fermat fama universal es la teora de nmeros. Su inters por los nmerosenteros y sus maravillosas propiedades haba empezado en la dcada de los 1630 cuando Fermat ley latraduccin de Bachet de la Aritmtica de Diofanto. En el estrecho margen justo al lado del problema 8 del libroII: Dado un nmero que sea un cuadrado, descomponerlo como suma de otros dos nmeros cuadrados,Fermat escribi su famosa conjetura: la ecuacin x n +y n =z n no tiene soluciones enteras positivas para n>2.En sus propias palabras:

... [E]s imposible que un cubo se pueda expresar como una suma de dos cubos o que una potencia cuarta seescriba como una suma de potencias cuartas o, en general, que un nmero que sea una potencia de gradomayor que dos se pueda descomponer como suma de dos potencias del mismo grado. He encontrado unademostracin verdaderamente maravillosa de este resultado pero este margen es demasiado estrecho paracontenerla.

La creencia actual es que Fermat haba demostrado el teorema para n=4 (y quizs tambin para n=3) y creaque poda generalizar su demostracin para cualquier valor de n. La demostracin del caso n=4 utilizaba otrogran descubrimiento de Fermat, el mtodo de descenso infinito. Esencialmente el mtodo consiste endemostrar la imposibilidad de una proposicin que depende de un entero positivo n, probando que si hubiesealgn valor estrictamente positivo que hiciese verdadera la proposicin, existira otro valor tambinestrictamente positivo que la hara verdadera pero estrictamente inferior al anterior.

El Gran Teorema de Fermat para el caso n=3 fue demostrado 100 aos ms tarde por Euler, tambin con laayuda del mtodo del descenso infinito. El siglo XIX vio la demostracin de algunos casos particulares ms acargo de grandes matemticos como Lejeune-Dirichlet, Legendre, Lam y Sophie Germain. No sabremosnunca si Fermat realmente dispona de una demostracin maravillosa para cualquier valor de n. Pero encualquier caso, el reto de demostrar el Gran Teorema de Fermat haba empezado con aquella notagarabateada en el margen de un libro. La aventura terminara 350 aos ms tarde cuando, en 1994, AndrewWiles public la demostracin del Gran Teorema de Fermat. Por el camino haban pasado una legin dematemticos de todas las categoras y especialidades (sera difcil hallar un matemtico que en algnmomento de su vida no haya dado alguna vuelta al teorema). Los intentos de demostracin aportarantambin grandes contribuciones a las matemticas (la teora de ideales de Kummer por citar slo un ejemplo).

Antes de la demostracin de Wiles, Gerd Faltings haba conseguido (en 1983) un resultado que acotabatotalmente las soluciones de la ecuacin de Fermat. Faltings demostr que para cada valor de n, la ecuacin xn +y n =z n tiene, a lo sumo, un nmero finito de soluciones enteras (de hecho Faltings demostr lo que seconoca como la Conjetura de Mordell sobre curvas algebraicas que implicaba el Gran Teorema de Fermat).La demostracin de Wiles, sin embargo, no sigue el camino que haba iniciado Faltings sino que da unaenorme vuelta. Se basa en la conjetura Taniyama-Shimura (de hecho Wiles se limita a demostrar estaconjetura) que relaciona de manera espectacular dos campos de las matemticas completamente alejados eluno del otro: la teora de formas modulares y las curvas elpticas. Para conocer ms a fondo la apasionantehistoria del Gran Teorema, los libros de RIBENBOIM [7] y SINGH [8] y constituyen una lectura amena alalcance de todos. Para una historia mucho ms tcnica, se pueden consultar el artculo de COX [17] o el libro


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de EDWARDS [4].

El enorme inters de Fermat por los nmeros enteros era una novedad en la Europa del siglo XVII. Nadietena demasiado inters en perder el tiempo explorando propiedades de nmeros enteros que no tenanninguna aplicacin directa. Slo un par de problemas clsicos atraan la atencin de los matemticos de lapoca: el estudio de nmeros perfectos (aquellos que son iguales a la suma de sus divisores, exceptuandoellos mismos) y la caracterizacin de las ternas pitagricas (tripletes de nmeros enteros (x,y,z) que satisfacen

el teorema de Pitgoras x 2 +y 2 = z 2 ). Como consecuencia del inters de Fermat en el primero de esosproblemas, Fermat descubri el que se conoce hoy en da como el Pequeo Teorema de Fermat, unaverdadera joya en teora de nmeros. En trminos modernos dice que si p es un nmero primo y a es primocon p, entoncesa p a (mod p).No deja de ser paradjico que Fermat sea recordado por su Gran Teorema, en gran parte estril porqueningn resultado importante se deduce de l, y no por su Pequeo Teorema que es crucial en lgebra y en lateora de nmeros moderna y sus aplicaciones, como es por ejemplo, la moderna criptografa, base de laseguridad de las transmisiones en Internet.

El segundo problema, la caracterizacin de las ternas pitagricas, conduce a Fermat a su inters por lasdescomposiciones de potencias y problemas como la descomposicin de los primos de la forma 4n+1 comosuma de dos cuadrados (de manera nica), la descomposicin de un entero positivo como suma de cuatrocuadrados y la resolucin de diferentes ecuaciones diofnticas de segundo grado. La ms famosa es laecuacin diofntica conocida como ecuacin de Pell o ecuacin de Pell-Fermat. Se trata de la ecuacin x 2 -N

y 2 = 1, donde N no es un cuadrado perfecto. Excluyendo la solucin trivial (1,0), Fermat conjetur laexistencia de infinitas soluciones enteras positivas para cualquier valor de N (no cuadrado perfecto) y ret alos matemticos europeos a demostrarlo. El problema fue parcialmente solucionado por Wallis y Brounckermediante el desarrollo en fraccin continua de N. Sera completamente solucionado por Lagrange en 1771. Ellibro de Barbeau [3] es una excelente referencia para este tema.

Fermat es famoso tambin por los nmeros primos que llevan su nombre, los de la forma 22 ^ n +1. Losprimeros nmeros de esta forma: 3, 5, 17, 257, 655537, son primos. El siguiente es ya un nmero respetable,4 294 967 297 y no es fcil, usando slo lpiz y papel, averiguar si es primo o no. De hecho, Fermat no tuvosuficiente paciencia para comprobarlo. Si la hubiera tenido hubiese obtenido (como ms tarde hizo Euler) que4294967297= 641 6700417. Sin embargo tuvo la osada de conjeturar que todos los nmeros de la forma 22^n +1 eran primos. Esta conjetura le tuvo en jaque toda su vida, ya que en varias ocasiones se lament de nohaber podido obtener su demostracin. Vale la pena comentar que no se han hallado otros primos de Fermatadems de los cinco primeros y an no se ha demostrado que existan ms.

Los ltimos aos de Fermat an ven la luz de otra contribucin importante: el clculo de probabilidades. Eljoven Blaise Pascal, hijo de tienne con quien Fermat haba correspondido a travs de Mersenne, le proponea Fermat un problema sobre la reparticin justa de las apuestas si una serie de partidas se interrumpen antesde llegar al final acordado. Concretamente, cmo hay que repartir una apuesta de 64 monedas para elprimero de dos jugadores que gane 3 partidas si el juego se interrumpe antes de que nadie haya ganado? (Sesupone que ambos jugadores tienen, en cada partida, las mismas oportunidades de ganar). Pascal y Fermatintercambian una serie de cartas sobre el tema que puede considerarse como el inicio del moderno clculo deprobabilidades. Los dos llegan al mismo resultado por caminos diferentes: Pascal intuye el resultado medianteuna recurrencia, pero se ve obligado a utilizar el clculo combinatorio y el uso de su Tringulo Aritmtico(Tringulo de Pascal) para demostrarlo mientras que Fermat usa directamente el clculo combinatorio.

Hacia 1660, la salud de Fermat empieza a flaquear. Por motivos de salud, tiene que posponer un encuentrocon Blaise Pascal quien tambin se encuentra enfermo (de hecho muere dos aos ms tarde). Su actividadmatemtica decae casi completamente y en enero de 1665 muere en la ciudad de Castres donde pocos dasantes ha asistido a la sesin del tribunal del Edicto.

Eric T. Bell, en sus famosas biografas de matemticos [Men of Mathematics, Simon and Schuster, NuevaYork,1965 (1 edicin de 1937)] calific a Fermat como el Prncipe de los amateurs. Y aunque es cierto quelas matemticas para Fermat fueron solamente un hobby, tambin es cierto que sus contribuciones fueronde primera categora y dignas del mejor profesional. Su reticencia a publicar y a explicarse mejor hicieron quemuchas de sus contribuciones fueran poco comprendidas y que algunas pasasen incluso desapercibidas perohay que reconocer que, al menos en el campo de la teora de nmeros, cre problemas nuevos y creinstrumentos nuevos para abordarlos. Este fue su principal legado para la posteridad.

Blaise Pascal


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(Clermont-Ferrand, Francia, 1623-Pars, 1662) Filsofo, fsico y matemtico francs. Su madre falleci cuandol contaba tres aos, a raz de lo cual su padre se traslad a Pars con su familia (1630). Fue un genio precoza quien su padre inici muy pronto en la geometra e introdujo en el crculo de Mersenne, la Academia, a laque l mismo perteneca. All Pascal se familiariz con las ideas de Girard Desargues y en 1640 redactsu Ensayo sobre las cnicas(Essai pour les coniques), que contena lo que hoy se conoce como teorema delhexgono de Pascal.

Blaise Pascal

La designacin de su padre como comisario del impuesto real supuso el traslado a Run, donde Pascaldesarroll un nuevo inters por el diseo y la construccin de una mquina de sumar; se conservan todavavarios ejemplares del modelo que ide, algunos de cuyos principios se utilizaron luego en las modernascalculadoras mecnicas.

En Run Pascal comenz tambin a interesarse por la fsica, y en especial por la hidrosttica, y emprendisus primeras experiencias sobre el vaco; intervino en la polmica en torno a la existencia del horror vacuien lanaturaleza y realiz importantes experimentos (en especial el de Puy de Dme en 1647) en apoyo de laexplicacin dada por Torricelli al funcionamiento del barmetro.

La enfermedad indujo a Pascal a regresar a Pars en el verano de 1647; los mdicos le aconsejarondistraccin e inici un perodo mundano que termin con su experiencia mstica del 23 de noviembre de 1654,su segunda conversin (en 1645 haba abrazado el jansenismo); convencido de que el camino hacia Diosestaba en el cristianismo y no en la filosofa, Blaise Pascal suspendi su trabajo cientfico casi por completo.

Pocos meses antes, como testimonia su correspondencia con Fermat, se haba ocupado de las propiedadesdel tringulo aritmtico hoy llamado de Pascal y que da los coeficientes de los desarrollos de las sucesivaspotencias de un binomio; su tratamiento de dicho tringulo en trminos de una geometra del azar loconvirti en uno de los fundadores del clculo matemtico de probabilidades.

En 1658, al parecer con el objeto de olvidarse de un dolor de muelas, Pascal elabor su estudio de la cicloide,que result un importante estmulo en el desarrollo del clculo diferencial. Desde 1655 frecuent Port-Royal,donde se haba retirado su hermana Jacqueline en 1652. Tom partido en favor de Arnauld, el general de los

jansenistas, y public annimamente sus Provinciales.

El xito de las cartas lo llev a proyectar una apologa de la religin cristiana; el deterioro de su salud a partirde 1658 frustr, sin embargo, el proyecto, y las notas dispersas relativas a l quedaron ms tarde recogidasen sus famososPensamientos (Penses sur la religion, 1669). Aunque rechaz siempre la posibilidad deestablecer pruebas racionales de la existencia de Dios, cuya infinitud consider inabarcable para la razn,admiti no obstante que esta ltima poda preparar el camino de la fe para combatir el escepticismo. Lafamosa apuesta de Pascal analiza la creencia en Dios en trminos de apuesta sobre su existencia, pues si elhombre cree y finalmente Dios no existe, nada se pierde en realidad.

La tensin de su pensamiento entre la ciencia y la religin qued reflejada en su admisin de dos principiosdel conocimiento: la razn (esprit gomtrique), orientada hacia las verdades cientficas y que procedesistemticamente a partir de definiciones e hiptesis para avanzar demostrativamente hacia nuevasproposiciones, y el corazn (esprit de finesse), que no se sirve de procedimientos sistemticos porque poseeun poder de comprensin inmediata, repentina y total, en trminos de intuicin. En esta ltima se halla lafuente del discernimiento necesario para elegir los valores en que la razn debe cimentar su labor.

Jakob Bernoullil

tambin conocido como Jacob, James o Jacques , fue un notable cientfico y matemtico de origen suizo quelograra trascender gracias a sus aportes en las materias indicadas, durante la segunda mitad del siglo XVII.

Asimismo y junto a su hermano Johann, sentara la piedra fundamental para conformar la familia Bernoulli,


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una familia que justamente pasara a la posteridad por la calidad de matemticos y cientficos que supoproducir.

Bernoulli solo tuvo un hijo, Nikolaus, que si bien no se dedicara a la misma actividad de su padre, s tendrauna frondosa descendencia que seguira los pasos de su abuelo.

Jakob nacera el 27 de diciembre del ao 1654 en la ciudad suiza de Basilea.

Su padre quera que su hijo se dedicase a la teologa y por ello es que lo envi a estudiar tanto teologa comofilosofa a la Universidad de su ciudad natal, sin embargo, Jakob, se hara de tiempo para ahondarconocimientos en lo que realmente constitua su inters: las matemticas y la fsica.

Entre sus grandes aportes a la matemtica se cuenta aquel que tiene que ver con el clculo infinitesimal, yaque el trabajo de su colega Gottfried Wilhelm Leibniz consigui trasladarlo a nuevos y complejos problemas.

Adems de a sus invetigaciones, Bernoulli, le dedicara su vida a la docencia. Fund una escuela en Basilea yfue profesor de la asignatura matemticas hasta el ltimo da de su vida.

Otra cuestin insoslayable fue la sociedad cientfica que arm junto a su colega y hermano Johann Bernoulli,especialmente en el tema de las curvas trascendentales.

Como era costumbre en la poca y despus tambin, su legado se sistematiz en la que sera su mximaobra: Ars Conjectandi, la cual aportara muchsimo en cuanto a la teora de la probabilidad. Se trata de unaobra pstuma que su sobrino editara en el ao 1713.

Su fallecimiento se produjo a los 50 aos de edad, el 16 de agosto del ao 1705, como consecuencia dehaber contrado la enfermedad de la tuberculosis.

Isaac Newton

Isaac Newton naci en las primeras horas del 25 de diciembre de 1642 (4 de enero de 1643, segn elcalendario gregoriano), en la pequea aldea de Woolsthorpe, en el Lincolnshire. Su padre, un pequeoterrateniente, acababa de fallecer a comienzos de octubre, tras haber contrado matrimonio en abril del mismo

ao con Hannah Ayscough, procedente de una familia en otro tiempo acomodada. Cuando el pequeo Isaacacababa de cumplir tres aos, su madre contrajo de nuevo matrimonio con el reverendo Barnabas Smith,rector de North Witham, lo que tuvo como consecuencia un hecho que influira decisivamente en el desarrollodel carcter de Newton: Hannah se traslad a la casa de su nuevo marido y su hijo qued en Woolsthorpe alcuidado de su abuela materna.

Isaac Newton

Del odio que ello le hizo concebir a Newton contra su madre y el reverendo Smith da buena cuenta el que enuna lista de pecados de los que se autoinculp a los diecinueve aos, el nmero trece fuera el haberdeseado incendiarles su casa con ellos dentro. Cuando Newton contaba doce aos, su madre, otra vez viuda,regres a Woolsthorpe, trayendo consigo una sustanciosa herencia que le haba legado su segundo marido (yde la que Newton se beneficiara a la muerte de ella en 1679), adems de tres hermanastros para Isaac, dosnias y un nio.

La manzana de Newton


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Un ao ms tarde Newton fue inscrito en la King's School de la cercana poblacin de Grantham. Haytestimonios de que en los aos que all pas alojado en la casa del farmacutico, se desarroll su poco usualhabilidad mecnica, que ejercit en la construccin de diversos mecanismos (el ms citado es un reloj deagua) y juguetes (las famosas cometas, a cuya cola ataba linternas que por las noches asustaban a susconvecinos). Tambin se produjo un importante cambio en su carcter: su inicial indiferencia por los estudios,surgida probablemente de la timidez y el retraimiento, se cambi en feroz espritu competitivo que le llev aser el primero de la clase, a raz de una pelea con un compaero de la que sali vencedor.

Fue un muchacho sobrio, silencioso, meditativo, que prefiri construir utensilios, para que las nias jugarancon sus muecas, a compartir las diversiones de los dems muchachos, segn el testimonio de una de suscompaeras femeninas infantiles, quien, cuando ya era una anciana, se atribuy una relacin sentimentaladolescente con Newton, la nica que se le conoce con una mujer.

Cumplidos los diecisis aos, su madre lo hizo regresar a casa para que empezara a ocuparse de los asuntosde la heredad. Sin embargo, el joven Isaac no se mostr en absoluto interesado por asumir susresponsabilidades como terrateniente; su madre, aconsejada por el maestro de Newton y por su propiohermano, accedi a que regresara a la escuela para preparar su ingreso en la universidad.

ste se produjo en junio de 1661, cuando Newton fue admitido en el Trinity College de Cambridge, y sematricul como fmulo, ganando su manutencin a cambio de servicios domsticos, pese a que su situacineconmica no parece que lo exigiera as. All empez a recibir una educacin convencional en los principios

de la filosofa aristotlica (por aquel entonces, los centros que destacaban en materia de estudios cientficosse hallaban en Oxford y Londres), pero en 1663 se despert su inters por las cuestiones relativas a lainvestigacin experimental de la naturaleza, que estudi por su cuenta.

Fruto de esos esfuerzos independientes fueron sus primeras notas acerca de lo que luego sera su clculo defluxiones, estimuladas quiz por algunas de las clases del matemtico y telogo Isaac Barrow; sin embargo,Newton hubo de ser examinado por Barrow en 1664 al aspirar a una beca y no consigui entonces inspirarleninguna opinin especialmente favorable.

Al declararse en Londres la gran epidemia de peste de 1665, Cambridge cerr sus puertas y Newton regresa Woolsthorpe. En marzo de 1666 se reincorpor al Trinity, que de nuevo interrumpi sus actividades en junioal reaparecer la peste, y no reemprendi definitivamente sus estudios hasta abril de 1667. En una cartapstuma, el propio Newton describi los aos de 1665 y 1666 como su poca ms fecunda de invencin,durante la cual pensaba en las matemticas y en la filosofa mucho ms que en ningn otro tiempo desde

entonces.

El mtodo de fluxiones, la teora de los colores y las primeras ideas sobre la atraccin gravitatoria,relacionadas con la permanencia de la Luna en su rbita en torno a la Tierra, fueron los logros que Newtonmencion como fechados en esos aos, y l mismo se encarg de propagar, tambin hacia el final de su vida,la ancdota que relaciona sus primeros pensamientos sobre la ley de la gravedad con la observacin casualde una manzana cayendo de alguno de los frutales de su jardn (Voltaire fue el encargado de propagar enletra impresa la historia, que conoca por la sobrina de Newton).

La ptica

A su regreso definitivo a Cambridge, Newton fue elegido miembro becario del Trinity College en octubre de1667, y dos aos ms tarde sucedi a Barrow en su ctedra. Durante sus primeros aos de docencia noparece que las actividades lectivas supusieran ninguna carga para l, ya que tanto la complejidad del temacomo el sistema docente tutorial favorecan el absentismo a las clases. Por esa poca, Newton redact susprimeras exposiciones sistemticas del clculo infinitesimal que no se publicaron hasta ms tarde. En 1664 o1665 haba hallado la famosa frmula para el desarrollo de la potencia de un binomio con un exponentecualquiera, entero o fraccionario, aunque no dio noticia escrita del descubrimiento hasta 1676, en dos cartasdirigidas a Henry Oldenburg, secretario de la Royal Society; el teorema lo public por vez primera en 1685John Wallis, el ms importante de los matemticos ingleses inmediatamente anteriores a Newton,reconociendo debidamente la prioridad de este ltimo en el hallazgo.

El procedimiento seguido por Newton para establecer la frmula binomial tuvo la virtud de hacerle ver elinters de las series infinitas para el clculo infinitesimal, legitimando as la intervencin de los procesosinfinitos en los razonamientos matemticos y poniendo fin al rechazo tradicional de los mismos impuesto porla matemtica griega. La primera exposicin sustancial de su mtodo de anlisis matemtico por medio de


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series infinitas la escribi Newton en 1669; Barrow conoci e hizo conocer el texto, y Newton recibi presionesencaminadas a que permitiera su publicacin, pese a lo cual (o quiz precisamente por ello) el escrito no llega imprimirse hasta 1711.

Tampoco en las aulas divulg Newton sus resultados matemticos, que parece haber considerado ms comouna herramienta para el estudio de la naturaleza que como un tema merecedor de atencin en s; el captulode la ciencia que eligi tratar en sus clases fue la ptica, a la que vena dedicando su atencin desde que en

1666 tuviera la idea que hubo de llevarle a su descubrimiento de la naturaleza compuesta de la luz. En febrerode 1672 present a la Royal Society su primera comunicacin sobre el tema, pocos das despus de quedicha sociedad lo hubiera elegido como uno de sus miembros en reconocimiento de su construccin de untelescopio reflector. La comunicacin de Newton aportaba la indiscutible evidencia experimental de que la luzblanca era una mezcla de rayos de diferentes colores, caracterizado cada uno por su distinta refrangibilidad alatravesar un prisma ptico.

Rplica del telescopio de Newton

Newton consider, con justicia, que su descubrimiento era el ms singular, cuando no el ms importante, delos que se han hecho hasta ahora relativos al funcionamiento de la naturaleza. Pero sus consecuenciasinmediatas fueron las de marcar el inicio de cuatro aos durante los que, como l mismo le escribi a Leibnizen diciembre de 1675, me vi tan acosado por las discusiones suscitadas a raz de la publicacin de mi teorasobre la luz, que maldije mi imprudencia por apartarme de las considerables ventajas de mi silencio paracorrer tras una sombra.

El contraste entre la obstinacin con que Newton defendi su primaca intelectual all donde corresponda quele fuese reconocida (admitiendo slo a regaadientes que otros pudieran habrsele anticipado) y suretraimiento innato que siempre le hizo ver con desconfianza la posibilidad de haberse de mezclar con elcomn de los mortales, es uno de los rasgos de su biografa que mejor parecen justificar la caracterizacin desu temperamento como neurtico; un diagnstico que la existencia de sus traumas infantiles no ha hecho ms

que abonar, y que ha encontrado su confirmacin en otras componentes de su personalidad como lahipocondra o la misoginia.

Los Princ ipia

El primero en oponerse a las ideas de Newton en materia de ptica fue Robert Hooke, a quien la RoyalSociety encarg que informara acerca de la teora presentada por aqul. Hooke defenda una concepcinondulatoria de la luz, frente a las ideas de Newton, precisadas en una nueva comunicacin de 1675 quehacan de la luz un fenmeno resultante de la emisin de corpsculos luminosos por parte de determinadoscuerpos. La acritud de la polmica determin que Newton renunciara a publicar un tratado que contuviera losresultados de sus investigaciones hasta despus de la muerte de Hooke y, en efecto, su Opticksno se publichasta 1704. Por entonces, la obra mxima de Newton haba ya visto la luz.

En 1676 Newton renunci a proseguir la polmica acerca de su teora de los colores y por unos aos, se

refugi de nuev

Historia de Las Matetematicas

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