J.C. Martín/ Microeconomía Superior I/Curso 2008-09

HOJA EJERCICIOS 1(*)

TEMA 1: TEORÍA DEL CONSUMIDOR

1) Considere las preferencias definidas en 2

+ por

( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2, ,x x y y x x y y⇔ + + ¿Satisfacen estas preferencias el supuesto de la insaciabilidad local? Si son los dos únicos bienes de consumo y los precios a los que se enfrenta el consumidor son positivos, ¿gastará el consumidor toda su renta? 2) Un consumidor tiene la función de utilidad 1 2 1 2( , ) max( , )u x x x x= . Halle las demandas marshallianas de los bienes, la función de utilidad indirecta y la función de gasto. Compruebe las propiedades I y II de la teoría de la dualidad. 3) Demuestre que la función de utilidad que estudiamos en el Teorema de la Existencia es continua. 4) Demuestre que la función de utilidad es invariante a transformaciones monótonas crecientes. 5) Demuestre que la función de utilidad es estrictamente creciente sí y sólo sí las preferencias son estrictamente monótonas. 6) Demuestre que la función de utilidad es cuasicóncava sí y sólo sí las preferencias son convexas. 7) Demuestre que la función de utilidad es estrictamente cuasicóncava sí y sólo sí las preferencias son estrictamente convexas. 8) Demuestre que si la función de utilidad es estrictamente creciente, la solución del problema de la elección del consumidor se da satisfaciendo la restricción presupuestaria en condiciones de igualdad. 9) Demuestre que la función de utilidad indirecta es cuasiconvexa en el vector de precios y renta. 10) Discuta y comente el papel de la renta en el desarrollo de las curvas de demanda compensadas. 11) Demuestre que la función de gasto es cóncava respecto al vector de precios. 12) Un consumidor tiene una función de utilidad:

1

1

1 2 2( , ) ( ) , donde 0 1u x x x xρ ρ ρ ρ= + ≠ < .

A esta función se le conoce con el nombre de función de utilidad CES, o de elasticidad de sustitución constante. Halle las funciones de demanda marshalliana y hicksiana, y compruebe las identidades fundamentales de las mismas. 13) Discute la relación existente entre las siguientes funciones: a) la demanda hicksiana del bien i en p y u0. b) la demanda hicksiana del bien i en p y ( , )v p m . c) la demanda marshalliana del bien i en p y m. 14) Demuestre que la subida de un precio de un bien normal hace que la demanda marshalliana de dicho bien disminuya. (Ley de la demanda de la nueva teoría del consumidor). 15) Demuestre que un bien Giffen a la fuerza tiene que ser un bien inferior. 16) Un consumidor tiene una función de utilidad:

11 2 2 1 2( , ) max( , ) min( , ), donde 0 1u x x ax ax x x a= + < < . Halle la función de demanda marshalliana de los bienes. 17) u(x) representa las preferencias monótonas de un consumidor. Para cada una de las funciones siguientes determine si v(x) representa las mismas preferencias del consumidor. a) 3( ) ( ) ( )v x u x u x= + b) 2( ) ( ) ( )v x u x u x= − c) ( ) ( ) iv x u x x= +∑ 18) Suponga que la función de utilidad es lineal. Demuestre que: a) la función de gasto es separable en p y u ya que 0 0( , ) ( ,1)e p u e p u= . b) la utilidad marginal de la renta depende de p exclusivamente. 19) Suponga que la función de gasto es separable en p y u de la siguiente manera:

( , ) ( ) ( )e p u k u g p= , donde k es una función monótona creciente y g es una función derivable en el vector precios. Demuestre que la elasticidad renta de la demanda marshalliana de cada bien es igual a la unidad. 20) Para un consumidor, las funciones de demanda y de gasto son de tal manera que se tiene la siguiente información: a) el gasto en cada uno de los bienes es el mismo b) la elasticidad precio de la demanda del bien 1 es igual a -3 Calcule el valor de la elasticidad cruzada del bien 2 respecto del precio del bien 1. 21) Suponga que la elasticidad renta de la demanda de un bien i está acotada de la siguiente manera:

( , )( , )

i

i

x mp mm x p m

σ σ∂≤ ≤∂

,

para cualquier vector de precios y renta m. Demuestre que para cualquier par de rentas m y m0 se tiene que:

0 0 0

( , )( , )i

i

x p mm mm x p m m

σ σ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

≤ ≤⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

22) La función de utilidad de Cobb-Douglas para n bienes viene representada por: n

i=11

( ) , donde 1i

n

i ii

u x xα α=

= =∑∏ .

Calcule las siguientes funciones: a) Demandas marshallianas. b) La función de utilidad indirecta. c) La función de gasto. d) Las demandas hicksianas.

23) Halle las restricciones sobre los parámetros y las funciones f, w y z, para que las funciones v sean f. de utilidad indirecta. a) 31 2

1 21 2 3 3( , , , ) ( )v p p p m f y p p pαα α= .

b) 1 21 2 1 2

( , )( , , ) ( , ) z p pv p p m w p pm

= + .

24) Suponga que las funciones de demanda marshalliana de los bienes 1 y 2 tienen las misma elasticidad renta en el punto (p, m0). Demuestre que en ese punto se da la siguiente igualdad entre los efectos cruzados de las demandas:

1 20 0

2 1

( , ) ( , )x xp m p mp p∂ ∂

=∂ ∂

.

25) Demuestre que la ecuación de Slutsky se puede expresar de la siguiente forma:

hij ij j isε ε η= − ,

donde hijε es la elasticidad cruzada de la demanda hicksiana del bien i respecto del

precio del bien j, ijε es la elasticidad cruzada de la demanda marshalliana del bien i respecto del precio del bien j, y iη es la elasticidad renta de la demanda marshalliana del bien i. 26) Demuestre la tercera ley de Hicks:

1

( , ) 0, 1, , .hni

o jj j

x p u p i np=

∂= =

∂∑ …

O su forma equivalente con las elasticidades:

1

0, 1, , .n

hij

j

i nε=

= =∑ …

27) La matriz de los efectos de sustitución de un sistema de demanda de un consumidor racional maximizador de su función de utilidad en el vector de precios (8,p) es:

122

a b⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Halle el valor de a, b y p.

28) Un consumidor con renta m0, enfrentándose a un vector de precios p0, disfruta de una satisfacción 0 0 0( , )u v p m= . Cuando los precios cambian a p1, el coste de la vida se ve afectado. Existe una definición del coste de la vida que se basa en la función de gasto, y que viene definido de la siguiente manera:

1 00 1 0

0 0

( , )( , , ) .( , )

e p uI p p ue p u

=

Suponga que la renta del consumidor cambia de m0 a m1. Demuestre que un consumidor mejora en el período final, sí y sólo sí

1 010 1 0

0 0 0

( , )( , , ) .( , )

e p um I p p um e p u

> =

29) Utilizando el coste de la vida del ejercicio anterior, y suponiendo que las preferencias de un consumidor están determinadas por la siguiente función de utilidad:

1 2 1 2( , ) .u x x x x= + a) Calcule el índice del coste de la vida suponiendo que 0 (1,2)p = ,

0 110 y (2,1).m p= = b) Suponga que los vectores de precios no varían, calcule el índice para cualquier

nivel de utilidad. Demuestre que el índice depende del valor de utilidad utilizado.

c) ¿Existe algún nivel de utilidad u0 para el cuál el índice del coste de la vida sea 1? En el caso de respuesta afirmativa, indique porque se produce este hecho.