Hola chic@s!! Esta semana os envío mucho ánimo y toda mi ... MATEMÁ… · triángulos...

UNIDAD DIDÁCTICA 10. GEOMETRÁ PLANA (PARTE II). MATEMÁTICAS 2º ESO

MERCEDES RAMONDE SIXTO. IES DE ORTIGUEIRA 1

¡¡Hola chic@s!! Esta semana os envío mucho ánimo y toda mi

admiración, por lo mucho que estáis trabajando. Ya os lo he

dicho más veces, pero esta vez lo digo más alto:

¡¡¡SOIS UNOS CAMPEÓNES!!!

Ahora comenzamos resolviendo de forma detallada los

ejercicios que os propuse relativos a la primera parte de la

unidad 10. Como siempre, tenéis que comparar los

resultados que os explico a continuación con los desarrollos

que realizasteis vosotros. Ojo: hay que dedicar algún tiempo

a esa tarea:

Ejercicio 10.1: Comprueba si las siguientes medidas corresponden a los lados de

un triángulo rectángulo:

a) 21 cm, 29 cm y 40 cm

b) 33 cm, 56 cm y 68 cm

Solución:

a) 212 + 292 = 441 + 841 = 1282 ≠ 1600 = 402 → No es triángulo rectángulo

b) 332 + 562 = 1089 + 3136 = 4225 ≠ 4624 = 682 → No es triángulo rectángulo

Ejercicio 10.2: Desde un balcón de un castillo en la playa

se ve un barco a 85 metros, cuando realmente se

encuentra a 84 metros del castillo. ¿A qué altura se

encuentra ese balcón?

Solución: Aplicamos el teorema de Pitágoras para calcular el

tercer lado desconocido:

hipotenusa 2=cateto2+cateto2 ⇒ 852=a2+842 ⇒ a 2= 85 2-842 =169 ⇒

⇒ a= ±√169=±√132 = ±13

Como hablamos de una altura, sabemos que el resultado debería es positivo. Entonces el

balcón se encuentra a 13 metros de altura.

Ejercicio 10.3: Si nos situamos a 120 metros de

distancia de un cohete, la visual al extremo superior

del mismo recorre un total de 130 metros. ¿Cuál es

la altura total del cohete?



Solución: Como tenemos un triángulo rectángulo podemos usar el teorema de Pitágoras

para calcular el tercer lado desconocido, que sería “h” la altura del cohete:

hipotenusa 2=cateto2+cateto2 ⇒ 1302=h

2+1202 ⇒ h

2= 130 2-1202 =2500 ⇒

⇒ h= ±√2500=±√54.22=±52.2=±50

La altura del cohete es de 50 m.

Nota: ¿Os fijáis cómo usamos las descomposiciones en potencias de números primos

para calcular las raíces?. Fueron las cuentas que aprendimos a hacer en la unidad

didáctica 3 de potencias y raíces. Ya sé, que ahora, como no os veo, en casa usáis

calculadora, ja, ja.

Ejercicio 10.4: La altura de una portería de fútbol

reglamentaria es de 2,4 metros (ya lo puse, para que

no os falte ningún dato) y la distancia desde el punto

de penalti hasta la raya de gol es de 10,8 metros. ¿Qué

distancia recorre un balón que se lanza desde el punto

de penalti y se estrella en el punto central del

larguero?

Solución: Recordad que el teorema de Pitágoras sólo se puede aplicar sobre

triángulos rectángulos. En este caso, sí tenemos definido uno así:

hipotenusa 2=cateto2+cateto2 ⇒ d2=2,42+10,82= 122,4 ⇒ d= ±√122,4 = ±11,06

Entonces el balón recorre 11,06 metros.

Ejercicio 10.5: En una rampa inclinada, un ciclista

avanza una distancia real de 85 metros mientras

avanza una distancia horizontal de tan solo 77

metros. ¿Cuál es la altura, en metros, de esa

rampa?

Solución: Nuevamente sobre el triángulo rectángulo usamos el teorema de Pitágoras para

calcular la altura “a” de la rampa:

hipotenusa 2=cateto2+cateto2 ⇒ 852=a2+772 ⇒ a 2= 85 2-772 =1296 ⇒

⇒ a = ±√1296=±√24.34=±22.32=±36

La altura de la rampa es: 36 m.



Ejercicio 10.6: La Torre de Pisa está inclinada de modo

que su pared lateral forma un triángulo rectángulo de

catetos 5 metros y 60 metros. ¿Cuánto mide la pared

lateral?

Solución: Ya estamos viendo la gran utilidad del teorema de Pitágoras para calcular las

medidas desconocidas de algún lado del triángulo rectángulo. Este teorema es muy

sencillo de aplicar, sólo tenemos que reconocer cuál es la hipotenusa y los catetos de

dicho triángulo.

Llamando “x” a la hipotenusa, que es valor desconocido en este ejercicio, resulta que:

hipotenusa 2= cateto2+cateto2 ⇒ x2= 602+52= 3625 ⇒ x = ±√3625=±√52.29=±5√29=±60,2

La pared lateral de la Torre de Pisa mide 60,2 m.

Ejercicio 10.7: Las dimensiones de un rectángulo son: base=24

m y altura=10m. Calcula la longitud de su diagonal y expresa el

resultado en centímetros.

Solución: Ahora no tenemos un triángulo rectángulo, pero podemos extraer uno de la

figura, considerando la base, la altura y la diagonal del rectángulo.

Ahora sí podemos usar el teorema de Pitágoras para la diagonal del rectángulo:

hipotenusa 2=cateto2+cateto2 ⇒ d2=242+102= 676 ⇒ d= ±√676=±√22.132=±2.13=±26

La diagonal del rectángulo es de 26 m, es decir de 2600 cm.

Ejercicio 10.8: La medida que se utiliza en los televisores es la longitud de la

diagonal de la pantalla en unidades de pulgadas. Una pulgada equivale a 2,54

centímetros. Si David desea comprar un televisor para colocarlo en un hueco de

96x79cm, ¿de cuántas pulgadas debe ser el televisor?

Solución: De nuestra pantalla rectangular obtenemos nuevamente un triángulo

rectángulo:

Ahora sí podemos usar el teorema de Pitágoras para calcular la diagonal del rectángulo:



hipotenusa 2=cateto2+cateto2 ⇒ d2=962+792= 15457 ⇒ d= ±√15457=±124,32 cm

La diagonal máxima del rectángulo será de 124,32 cm, es decir el máximo de la diagonal

del televisor sería de 124,32 cm. Qué si lo pasamos a pulgadas, que es la medida con la que

se comercializan, es de un máximo de: 124,32/2,54=48,94 pulgadas

Ejercicio 10.9: Utiliza el teorema de Pitágoras para hallar la altura de

un triángulo isósceles cuya base mide 10 centímetros y sus lados

iguales 13 centímetros.

Solución: Como ya hemos recordado anteriormente, la altura de un triángulo isósceles o

equilátero divide en dos partes iguales a la base de dicho triángulo. Obteniéndose,

entonces, dos triángulos rectángulos idénticos.

Pudiendo usar el teorema de Pitágoras en cualquiera de ellos:

hipotenusa 2=cateto2+cateto2 ⇒ 132=h2+52 ⇒ h 2= 13 2-52 =144 ⇒

⇒ h= ±√144=±√24.32=±22.3=±12 cm

La altura del triángulo isósceles es de 12 cm.

Ejercicio 10.10: Calcula la medida, en decímetros, de cada lado

de un rombo, sabiendo que sus diagonales miden 12 y 16

decímetros.

Solución: Buscamos descomponer la figura para encontrar algún triángulo rectángulo en

el cuál podamos trabajar el teorema de Pitágoras.

En este caso, podemos dividir la figura en 4 triángulos

rectángulos idénticos. En los cuales conocemos dos de sus

lados (diagonal/2) y desconocemos el lado del rombo:

Pudiendo usar el teorema de Pitágoras en cualquiera de ellos:

hipotenusa 2=cateto2+cateto2 ⇒ L2=82+62=100 ⇒ L= ±√100=±10 dm

El lado del rombo es de longitud 10 dm.

Ejercicio 10.11: Halla la medida de la altura de un trapecio

rectángulo, cuya base mayor mide 28 metros, su base menor 20

metros y su lado oblicuo 17 metros:



Solución: Nuevamente intentamos descomponer la figura para encontrar algún triángulo

rectángulo en el cuál podamos trabajar el teorema de Pitágoras.

Para esta figura, la descomposición viene dada por un rectángulo y un triángulo

rectángulo

Pudiendo entonces el teorema de Pitágoras:

Hipotenusa 2=cateto2+cateto2 ⇒ 172=h2+82 ⇒ h2=172-82=225 ⇒

⇒ h= ±√225=±√32.52 = ±3.5=±15 m

La altura del trapecio es de longitud 15 m.

Ejercicio 10.12: Halla la altura de un trapecio isósceles de

bases 4 y 6 centímetros, y lados iguales de 5 centímetros.

Solución: Podemos descomponer la figura en un rectángulo y dos triángulos rectángulos

idénticos:

Pudiendo entonces el teorema de Pitágoras, en cualquiera de ellos, por ejemplo:

Hipotenusa 2=cateto2+cateto2 ⇒ 52=h2+12 ⇒ h2=52-12=24 ⇒

⇒ h= ±√24=±√23.3 =±2√2.3 =±2√6=±4,9 cm

La altura del trapecio es de 4,9 cm.

Ejercicio 10.13: Calcula el perímetro de este trapecio rectángulo.

Solución: Sabemos que el perímetro de la figura es la suma de las longitudes de sus lados,

pero en este caso, desconocemos uno de ellos. Tendremos que recurrir a la

descomposición de la figura en otras más sencillas para encontrar el dato que nos falta.

La descomposición para este trapecio viene dada por un rectángulo y un triángulo

rectángulo:

Pudiendo entonces el teorema de Pitágoras:



Hipotenusa 2=cateto2+cateto2 ⇒ 52=x2+32 ⇒ x2=52-32=16 ⇒ x= ±√16=±4 cm

Entonces, tenemos que:

El perímetro es: 8+5+4+3= 20 cm.

Ejercicio 10.14: Calcula el perímetro de este trapecio isósceles.

Solución: Para hallar el perímetro necesitamos saber el valor de la incógnita y.

Recurrimos nuevamente a la descomposición de la figura en otras más sencillas para

encontrar el dato buscado.

Ahora, la descomposición para este trapecio vuelve a ser un rectángulo y dos triángulos

rectángulos iguales.

Usamos el teorema de Pitágoras, en uno de los triángulos, para obtener el valor de x

primero:

Hipotenusa 2=cateto2+cateto2 ⇒ 102=x2+82 ⇒ x2=102-82=36 ⇒ x= ±√36=±6 cm

Tenemos que: 12+y=24, por tanto: y=12 cm.

El perímetro es: 24+10+10+12 = 56 cm.

Ejercicio 10.15: Calcula el radio del siguiente polígono regular,

sabiendo que tiene perímetro 40.

Solución: Como tenemos que el perímetro es 40, y este polígono es regular, es decir,

sus lados son iguales. Entonces, cada uno de los cinco lados mide: 40/5=8 cm.



Además, como la apotema, que es el segmento rojo divide al lado a la

mitad, tenemos, la siguiente situación:

Usando el teorema de Pitágoras, en el triángulo rectángulos, para obtener el valor de R:

Hipotenusa 2=cateto2+cateto2 ⇒ R2=5,512+42=46,36 ⇒ R= ±√46,36=±6,8 cm

Ejercicio 10.16: Calcula la apotema del del siguiente polígono regular, sabiendo

que su perímetro es de 60 cm.

Solución: Apotema=8,66 cm

Solución: Al igual que el ejercicio anterior, como el perímetro es de 60 cm, y es un

polígono regular (aunque esté un poco torcido, perdón), es decir, sus seis lados son

iguales. Por ello, sabemos que cada uno de ellos mide: 60/6=10 cm.

Y como en un hexágono, tenemos el caso especial, de que su radio es igual a su lado:

Surge así un triángulo rectángulo, en que podemos aplicar el teorema de Pitágoras:

Hipotenusa 2=cateto2+cateto2 ⇒ 102=Ap2+52 ⇒

⇒ Ap2=102-52=75 ⇒ Ap= ±√75=8,66 cm

Os propongo un examen online de la (parte I) unidad didáctica 10 sobre el teorema

de Pitágoras. Para comprobar vuestro trabajo. En este segundo examen, sí tendrá

limitación de tiempo en este caso, de 1 hora, y lo programo para qué esté activo

un solo día: el jueves 25 de abril.

Funciona como en la primera ocasión, entráis en la plataforma “thatquiz.org” en cualquier

momento del día 25 de abril, con el enlace:

2º A: https://www.thatquiz.org/es/classpage?02a0123579a121a

2º B: https://www.thatquiz.org/es/classpage?02a013abcef121b

https://www.thatquiz.org/es/classpage?02a0123579a121a

https://www.thatquiz.org/es/classpage?02a013abcef121b



Usáis la misma contraseña personal que os envié la semana pasada para acceder a

vuestros exámenes. Y trabajáis el examen 2: Teorema de Pitágoras

Al finalizarlo, yo recibo información inmediata de cuánto tiempo os llevó, cuantas

preguntas respondisteis, y cuál es vuestra nota.

Ojo: Recordad que sólo tenéis posibilidad de realizar el examen el jueves día 25 de

abril.

Ahora, continuamos con la unidad didáctica 10 (parte II). En la aplicamos

casi todo los procesos que hemos trabajado durante todo el curso:

fracciones, potencias, raíces, ecuaciones y sistemas lineales, el teorema

de Pitágoras, …. Ya que en la asignatura de matemáticas estamos

constantemente utilizando las herramientas básicas de cálculo de

operaciones que hemos trabajado en el primer y segundo trimestre del

curso. Os recuerdo que los ejemplos son para hacer vosotros otra vez, pero

no para enviar.

Áreas y perímetros de figuras planas:

1. Polígonos

Un polígono es una figura plana delimitada exclusivamente por lados

rectos. Puede decirse que es la porción de un plano que está limitada por una línea

poligonal cerrada.

De estas tres figuras solo la primera es un polígono:

Los elementos de un polígono son:

• Lados: son los segmentos que lo limitan.

• Vértices: son los puntos donde se unen dos lados.

• Diagonales: son los segmentos que unen dos vértices no consecutivos

• Ángulos internos: son los que forman dos lados consecutivos.

• Base: es cualquiera de los lados (normalmente el lado en que se "apoya" la figura).

• Altura: es el segmento perpendicular desde el vértice al lado opuesto.



Clasificación de los polígonos

a) En función del número de lados: Los nombres de los polígonos se forman

anteponiendo a la palabra griega "gono", que significa lado, los prefijos que indican

número:

c) Por el tipo de ángulos

• Se denominan polígonos convexos a aquellos en los que todos sus ángulos son

menores que 180°.

• Llamamos polígonos cóncavos a aquellos que al menos tienen un ángulo

que mide más de 180°.

c) En función de la longitud de sus lados:

Polígonos regulares: Si todos sus ángulos y lados son iguales, en caso contrarío los

llamaremos irregulares.



1. 1. Triángulos

Un triángulo es un polígono que tiene tres lados, tres ángulos y tres

vértices. Es el polígono con menor número de lados. Una propiedad

fundamental del triángulo es que la suma de sus ángulos siempre es

180º.

Los triángulos se clasifican normalmente

a) Según sus lados como:

• Triángulo equilátero:

o Los tres lados son iguales.

o Los ángulos también son iguales y miden exactamente 60º.

• Triángulo isósceles:

o Dos de sus lados son iguales.

o Dos de sus ángulos son iguales.

• Triángulo escaleno:

o Ningún lado es igual.

o Ningún ángulo es igual.

b) Según sus ángulos:

• Triángulo acutángulo: sus tres ángulos son agudos, menores de 90º

• Triángulo rectángulo: Tiene un ángulo recto y los otros dos son agudos.

o El lado mayor de un triángulo rectángulo se llama hipotenusa.

o Los otros dos lados se llaman catetos.

• Triángulo obtusángulo: tiene un lado obtuso, mayor de 90º.

Triángulos:

Elementos:

a, b y c → Lados del triángulo Área = b . h

2

h → Altura del triángulo Perímetro = a + b + c



Ejemplos: Calcula el área y perímetro de las figuras siguientes

a) Triángulo equilátero de lado 15 cm.

Como es equilátero sabemos que su base es de 15 cm, ya que todos sus lados son iguales.

Necesitamos hallar la altura. Como es un triángulo equilátero sabemos que su altura divide

en dos partes iguales a la base:

Usando el teorema de Pitágoras calculamos la altura usando el nuevo triángulo

rectángulo:

152=7,52+h2 ⇒ h= √152-7,52 =√168,75 ≈ 13 cm

Entonces: {Área=

base . altura

2=

15 . 13

2 = 97,5 cm2

Perímetro = 4 . 15 = 60 cm

b) Triángulo rectángulo con la siguiente figura:

En este caso el triángulo es rectángulo así que su altura coincide con uno de sus lados h=

7 m, como vemos en la figura. Pero lo que no tenemos es su base, que podemos obtener

usando Pitágoras:

252=72+x2 ⇒ x= √252-72 =√576 = 24 m

Entonces: {Área=

base . altura

2=

24 . 7

2 = 84 m2

Perímetro = 25 + 7 + 24 = 56 m

c) Triángulo rectángulo con la siguiente figura:

Ahora en este caso del triángulo rectángulo, tenemos el valor de su base b=90 m. No

conocemos la altura, pero la podemos obtener usando Pitágoras:

1062=902+h2 ⇒ h= √1062-902 =√3136 = 56 m

Así: {Área=

base . altura

2=

90 . 56

2 = 2520 m2

Perímetro = 90 + 56 + 106 = 252 m



d) Triángulo isósceles de base 5 m y lados de 6 m.

Sabemos que la base en este triángulo es b= 5 m. Necesitamos conocer la altura h de este

triángulo para hallar su área.

Del mismo modo que el triángulo equilátero, el isósceles también cumple que su altura

divide en dos partes iguales a la base.

Usando el teorema de Pitágoras calculamos la altura del nuevo triángulo rectángulo:

62=2,52+h2 ⇒ h= √62-2,52 =√29,75 = 5,5 m

Entonces: {Área=

base . altura

2=

6 . 5,5

2 = 13,8 m2

Perímetro = 2 . 6 + 5 = 17 m

e) Triángulo isósceles de medidas:

Como nos hace falta la base, entonces dividimos el triángulo en dos triángulos rectángulos

y usamos Pitágoras en ambos:

152=122+x2 ⇒ x= √152-122 =√81 = 9 cm

222=122+y2 ⇒ y= √222-122 =√340 = 18,43 cm

Por tanto, la base mide: b = x+y = 9+18,43 = 27,43 cm, así:

{Área=

27,43 . 12

2 = 164,58 cm2

Perímetro = 15 + 22 + 27,43 = 64,43 cm

Ejercicio propuesto 10.17: Calcula el área de un triángulo equilátero de 6 cm de

lado.

Solución: Altura: 5,20 cm y área: 15,60 cm2

Ejercicio propuesto 10.18: Calcula el área de un triángulo isósceles de 4 cm de

altura y cuyos lados iguales miden 5 cm cada uno.

Solución: Lado: 6 cm y área: 12 cm2



Ejercicio propuesto 10.19: Calcular el área de un triángulo rectángulo isósceles

sabiendo que la hipotenusa vale 8 cm.

Solución: Lado: √32 cm y área: 32 cm2

Ejercicio propuesto 10.20: Calcular el área de un triángulo

escaleno conociendo las siguientes medidas:

Solución: Área: 84 cm2

1. 2. Cuadriláteros

Un cuadrilátero es un polígono que tiene cuatro lados, cuatro ángulos, cuatro vértices

y dos diagonales.

Una propiedad fundamental de cualquier tipo de cuadrilátero es que la suma de sus

ángulos es 360º

Los cuadriláteros se clasifican normalmente según el número de lados que tengan

paralelos, nosotros trabajaremos:

• Paralelogramos: los cuatro lados son paralelos dos a dos (con el lado que tienen

enfrente).

• Trapecios: dos de sus lados son paralelos y los otros no.



A. Paralelogramos

Cuadrados y Rectángulos: Cuadrilátero con lados paralelos e iguales dos a

dos, y con todos sus ángulos rectos.

Elementos:

b → Base del rectángulo Área = b.h

a → Altura del rectángulo Perímetro = 2b + 2a

Ejemplos: Calcula el área y perímetro de las figuras siguientes:

a)

Tenemos que el valor de la altura del rectángulo es h=5 cm. Pero necesitamos hallar la

base de nuestra figura, para ello usamos el teorema de Pitágoras:

132=x2+52 ⇒ x= √132-52=√144=12 m

Por tanto: {Área= base . altura = 12 . 5=60 cm2

Perímetro=12 . 2+5 . 2=34 cm

b)

Ahora trabajamos con un cuadrado, del que sólo conocemos la diagonal. Tenemos que,

tanto la base cómo la altura del cuadrado es igual a su lado L.

Usamos el teorema de Pitágoras para calcular ese lado:

992=L2+L2 ⇒ 9801=2L2 ⇒ L2= 4900,5 ⇒ L= √4900,5 ≈ 70 m

Entonces: {Área= base . altura = 70 . 70 = 4900 m2

Perímetro = 4 . 70 = 280 m

Ejercicio propuesto 10.21: Quiero hacer un tapete para una mesa cuadrada de 85

cm de lado. ¿Qué cantidad de tela necesito? Si le pongo una cinta alrededor,

¿cuánta necesito?

Solución: Cantidad de tela: 7225 cm2 = 0,72 m2 y de cinta: 340 cm=3,4 m



Ejercicio propuesto 10.22: Calcula el perímetro de un cuadrado con área de 49

cm2.

Solución: Perímetro 28 cm.

Ejercicio propuesto 10.23: El ancho de una parcela rectangular es el triple que su

largo. Si el perímetro es 720 m, ¿cuál es el área?

Solución: Área: 243 m2

Ejercicio propuesto 10.24: El abuelo quiere enmarcar una foto que tiene con sus

nietos de dimensiones 50 cm × 70 m. El cristal cuesta: 10 €/m2 y el marco: 15 €/m.

¿Cuánto costará enmarcar la lámina?

Nota: No puedo negar que este ejercicio lo he elegido para recordar todo el cariño

que nos dan nuestros mayores. Y que penséis en que todo lo que estamos haciendo

por ellos, no es ni la milésima parte de lo que ellos harían por nosotros.

Solución: Precio: 39€ y 50 céntimos.

Rombo: Cuadrilátero con todos sus lados iguales, paralelos dos a dos

y sin ángulos rectos. Elementos:

L → Lado del rombo Área = d . D

2

d → Diagonal menor Perímetro = 4L

h → Diagonal mayor

Ojo: Las diagonales dividen al rombo en cuatro triángulos rectángulos, donde uno de los

catetos mide la mitad de la diagonal mayor, el otro cateto mide la mitad de la diagonal

menor y la hipotenusa es igual al lado del rombo:

Aplicando el teorema de Pitágoras en uno de estos triángulo podemos relacionar las

diagonales con los lados.

https://ekuatio.com/lesson/resolucion-de-triangulos-rectangulos/

https://ekuatio.com/lesson/teorema-de-pitagoras-aplicacion-ejercicios-resueltos-paso-a-paso/




a)

Tenemos que la mitad de la diagonal menor, es de 20 cm y la mitad

de la diagonal mayor es de 21 cm. Entonces dividimos el rombo en

cuatro triángulos rectángulos idénticos. Usamos el teorema de

Pitágoras, en cualquiera de ellos para calcular el lado del rombo:

l2=212+202 ⇒ x2 = 841 ⇒ l = √841 = 29 cm

Por tanto: {Área=

d . D

2=

40 . 42

2 = 840 cm2

Perímetro = 4 . 29 = 116 m

b)

Nos dan los lados del rombo y la diagonal mayor, pero

tenemos que calcular el valor de la diagonal menor.

Para ello volvemos a dividir el rombo en cuatro triángulos rectángulos:

Usamos el teorema de Pitágoras en uno de los triángulos rectángulos:

252=x2+242 ⇒ x= √252-242=√49 = 7 cm

Por tanto, la diagonal menor mide 14 cm, la mayor 48 cm y el lado 25 cm. Así:

{Área =

d . D

2=

14 . 48

2=336 cm2

Perímetro = 4 . 25 = 100 cm

c)

Ahora tenemos la diagonal menor y el lado del rombo,

necesitamos además la diagonal mayor, que calcularemos

por

Pitágoras:

12,52=x2+7,52 ⇒ x= √12,52-7,52=√100 = 10 cm

Es decir, la diagonal mayor mide 20 cm. Entonces: {Área =

d . D

2=

15 . 20

2=150 cm2

Perímetro = 4 . 12,5 = 50 cm

d) En este ejercicio sabemos la longitud de la diagonal mayor y



el lado del rombo, pero nos hace falta la diagonal menor, que calcularemos por Pitágoras,

ya que trabajamos con un triángulo rectángulo, del que conocemos dos lados y podemos

hallar el tercero:

532=x2+452 ⇒ x= √532-452=√784 = 28 m

Entones, la diagonal menor mide 56 cm. Entonces: {Área =

56 . 90

2= 2520 m2

Perímetro = 4 . 53 = 212 m

Ejercicio propuesto 10.25: Calcula el área y perímetro de las figuras siguientes:

a)

Solución: Área = 24 m2 , Perímetro = 20 cm.

Puedes comprobar el resultado con el applet: https://www.geogebra.org/m/K8gtDBsT

b)

Solución: Área = 30 cm2 , Perímetro = 16 cm.

Ejercicio propuesto 10.26: Calcula la diagonal mayor de un rombo sabiendo que su

área es de 225 m2 y que la diagonal menor mide 30 m.

Solución: D= 15 m.

Romboide: Cuadrilátero con lados paralelos e iguales dos a dos, y sin ángulos

rectos.

Elementos:

b → Base del romboide Área = b.h

a → Lado oblicuo Perímetro = 2b + 2a

h → Altura del romboide


a)

https://www.geogebra.org/m/K8gtDBsT



Para calcular el área, necesitamos su base y su altura, datos que nos dan directamente

en el enunciado, h=5 cm y b=10 cm respectivamente. Y tenemos además las longitudes

de todos su lados. Entonces:

{Área = base. altura = 10 . 5 = 50 cm2

Perímetro = 2 . 7 + 2 . 10 = 34 cm

b)

Tenemos los datos necesarios para calcular, tanto el área como su perímetro:

{Área = base. altura = 4 . 2,6 = 10,4 cm2

Perímetro = 2 . 4 + 2 . 3 = 14 cm

Ejercicio propuesto 10.27: Calcula el área y perímetro de las figuras siguientes:

Mira la solución con el applet: https://www.geogebra.org/m/TS5YekzU

Vamos a trabajar a modo de repaso, todas las unidades didácticas

anteriores. Lo haremos poco a poco, para que todos los alumnos puedan

alcanzar los contenidos mínimos que se piden en la materia de matemáticas

de 2º de la ESO. Por tanto, será de especial interés para aquellos alumnos

que no aprobaron alguna de las evaluaciones anteriores. Los vamos

repasando todos poco a poco y os avisaré para hacer un examen

próximamente.

Esta semana, os propongo repasar las unidades didácticas 1 y 2, referidas

a: “Los números enteros” y a “Fracciones”. Tenéis que repasar nuestro

boletín teórico y de ejercicios, mostrando especial atención a ejercicios del

tipo:

Operaciones básicas de números enteros (jerarquía de operaciones):

https://www.geogebra.org/m/TS5YekzU



1. Resuelve las operaciones:

a) (-11) . [10 + (-7)] + 36 : [(-1) - (-10)]

b) (-8) . [5 - (-2)] - 48 : [6 + (-14)]

c) 42 : [(-6) - (-3)] + 28 : [-6 - (-8)]

d) 32 : [(-19) + 3] - 24 : [(-11) - (-5)]

Solución:

a) (-11) . [10 + (-7)] + 36 : [(-1) - (-10)] = (-11) . 3 + 36 : 9 = -33 + 4 = -29

b) (-8) . [5 - (-2)] - 48 : [6 + (-14)] = (-8) . 7 - 48 : (-8) = -56 + 6 = -50

c) 42 : [(-6) - (-3)] + 28 : [-6 - (-8)] = 42 : (-3) + 28 : 2 = -14 + 14 = 0

d) 32 : [(-19) + 3] - 24 : [(-11) - (-5)] = 32 : (-16) - 24 : (-6) = -2 + 4 = 2

Descomposición de un número en factores primos. Mínimo común

múltiplo y máximo común divisor:

2. Calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de:

a) 120, 220 y 180.

1º. En primer lugar descomponemos los números en factores primos:

2º. Para el máximo común divisor, tomamos ahora los factores primos comunes

elevados al menor exponente: 22· 5 . Así, el máximo común divisor de 120, 220 y

180 es : M.C.D. ( 120, 220, 180 ) = 22· 5 = 20

3º. Ahora para calcular el mínimo común múltiplo, tomamos ahora los factores

primos comunes elevados al menor exponente y no comunes: 23 · 32 · 5 · 11.

Resultando de este modo, que: m.c.m. ( 120, 220, 180 ) = 23 · 32 · 5 · 11= 3960

b) 12, 15 y 40 (Solución: mcm =120; MCD=1)

c) 84 y 120 (Solución: mcm =840; MCD=12)

d) 150 y 225 (Solución: mcm =450; MCD=75)

e) 120, 180 y 300 (Solución: mcm =1800; MCD=60)

f) 24 y 83 (Solución: mcm =1992; MCD=1)

g) 330 y 495 (Solución: mcm =990; MCD=165)



Problemas de aplicación del mínimo común múltiplo y máximo común divisor:

3.

4.

5. El pasillo de una vivienda tiene 432 cm de largo y 128 cm de ancho. Se quiere

poner baldosas cuadradas del mayor tamaño posible, sin tener que cortar

ninguna. Calcula sus dimensiones y el número de baldosas.

Solución: Como tenemos que: 432 = 24 . 33 ; 128 = 27, entonces: m.c.d. (432, 128) = 24 = 16

Las baldosas medirán 16 cm de lado y serán: 27 . 8 = 216 baldosas

6. Alejandro tiene unas 150 fotografías. Puede pegarlas en un álbum en grupos

de 8, 9 o 12 fotografías y sin que le sobre ninguna. ¿Cuántas fotografías tiene

Alejandro?

Solución: Como tenemos que: 8 = 23 ; 9 = 32 ; 12 = 22 . 3

El número de fotografías ha de ser múltiplo de 8, 9 y 12, por lo que será múltiplo del

m.c.m. (8, 9, 12) = 72. El múltiplo de 72 más cercano a 150 es 144.

Por tanto, Alejandro tiene 144 fotografías.



7. Por una vía ferroviaria pasa un tren con dirección a Zaragoza cada 30 minutos

y otro con dirección a Gijón cada 18 minutos. Si se han cruzado los dos trenes a

las 10 de la mañana, halla a qué hora volverán a cruzarse.

Solución: Como tenemos que: 18 = 2 . 32 ; 30 = 2 . 3 . 5

Los trenes se volverán a cruzar en un número múltiplo de 18 y 30, y como m.c.m. (18,

30) = 90, se cruzan cada 90 minutos.

El próximo cruce será a las 11:30 horas.

8. En una carretera han puesto farolas en ambos lados. En un lado se ha colocado

una farola cada 12 metros, y en el otro, cada 18 metros. Sabiendo que la primera

farola de cada lado está situada a la misma altura, ¿qué distancia debemos

recorrer a partir de ese punto para encontrar dos farolas colocadas una frente

a la otra?

Solución: Como tenemos que: 12 = 22 . 3 ; 18 = 2 . 33, entonces: m.c.m. (12, 18) = 36

Debemos recorrer una distancia de 36 m.

Fracciones

9. Calcula la fracción irreducible de:

a) 24

36 b)

60

25 c)

540

320 d)

120

90

Solución:

a) 24

36= ⏟

2412⁄

3612⁄

=2

3m.c.d.(24,36) = 12

b) 60

25= ⏟

605⁄

255⁄

=12

5

m.c.d.(60,25) = 5

c) 540

320= ⏟

54020⁄

32020⁄

=27

16m.c.d.(540,320) = 20

d) 120

90= ⏟

12030⁄

9030⁄

=4

3m.c.d.(120,90) = 30

10. Reduce a común denominador: 𝟏

𝟑 ,

𝟐

𝟓 ,

𝟏

𝟒 ,

𝟕

𝟔 ,

𝟏

𝟏𝟎

Solución: Como: m.c.m. (3, 5, 4, 6, 10) = 60:

1

3=

(60/3=20).1

60=

20

60

2

5=

(60/5=12).2

60=

24

60

1

4=

(60/4=15).1

60=

15

60

7

6=

(60/6=10).7

60=

70

60

1

10=

(60/10=6).1

60=

6

60



11. Realiza las siguientes operaciones:

a) 5

3- (

2

5.

7

2) -

1

3 f) −𝟑.

𝟒

𝟏𝟓− (

𝟕

𝟖. 𝟓 − 𝟗)

b) (2

3.5-

3

4) .

7

2 g)

𝟒

𝟓−

𝟕

𝟐+ [(

𝟑

𝟐)

𝟐

+ 𝟒 −𝟏

𝟖]

c) (𝟓

𝟒−

𝟑

𝟖.

𝟒

𝟗) −

𝟒

𝟓. 𝟐 h) (

𝟏

𝟓+

𝟕

𝟐) + [(

𝟑

𝟐−

𝟏

𝟕) + 𝟔𝟑]

d) 𝟓

𝟑− (

𝟐

𝟓.

𝟕

𝟐−

𝟏

𝟑) i) (−𝟐)𝟑.

𝟏

𝟐−

𝟓

𝟑+ (−𝟒:

𝟏

𝟖. 𝟑)

e) [(−𝟕

𝟑) .

𝟒

𝟓− 𝟐] .

𝟓

𝟑

Solución:

a) 5

3− (

2

5.

7

2) −

1

3=

5

3− (

7

5) −

1

3=

5

3−

7

5−

1

3=

25−21−5

15=

−1

15

b) (2

3. 5 −

3

4) .

7

2= (

10

3−

3

4) .

7

2= (

40−9

12) .

7

2=

31

12.

7

2=

217

24

c) (5

4−

3

8.

4

9) −

4

5. 2 = (

5

4−

1

6) −

4

5. 2 = (

15−2

12) −

4

5. 2 =

13

12−

4

5. 2 =

13

12−

8

5=

65−96

60=

−31

60

d) 5

3− (

2

5.

7

2−

1

3) =

5

3− (

7

5−

1

3) =

5

3− (

21−5

15) =

5

3− (

16

15) =

25−16

15=

9

15=

3

5

e) [(−7

3) .

4

5− 2] .

5

3= [−

28

15− 2] .

5

3= [

−28−30

15] .

5

3= [

−58

15] .

5

3=

−58

9

f) −3.4

15− (

7

8. 5 − 9) = −3.

4

15− (

35

8− 9) = −3.

4

15− (

35

8− 9) = −3.

4

15− (

35−72

8) =

= −3.4

15− (

−37

8) = −3.

4

15+

37

8=

−12

15+

37

8=

153

40

g) 4

5−

7

2+ [(

3

2)

2

+ 4 −1

8] =

4

5−

7

2+ [

9

4+ 4 −

1

8] =

4

5−

7

2+ [

18+32−1

8] =

4

5−

7

2+ [

18+32−1

8] =

=4

5−

7

2+

49

8=

32 − 140 + 245

40=

137

40

h) (1

5+

7

2) + [(

3

2−

1

7) + 63] = (

1

5+

7

2) + [(

3

2−

1

7) + 216] = (

2+35

10) + [(

21−2

14) + 216] =

= (37

10) + [(

19

14) + 216] = (

37

10) + [

19

14+ 216] =

37

10+

3 043

14=

15474

70=

7737

35

i) (−2)3.1

2−

5

3+ (−4:

1

8. 3) = (−8).

1

2−

5

3+ (−32.3) = −4 −

5

3+ (−96) = −4 −

5

3− 96 =

=−12 − 5 − 288

3=

−305

3



Problemas de aplicación de fracciones

12. En un hotel, la mitad de las habitaciones están en el primer piso; la tercera parte,

en el segundo piso, y el resto, en el ático, que tiene diez habitaciones. ¿Cuántas

habitaciones hay en cada piso?

Como entre el 1.er y 2.° piso hay un total de: 1/2 +1/3 =5/6 de las habitaciones.

En el ático quedan: 1 – 5/6 =1/6 de las habitaciones, que son 10 habitaciones.

En total hay 60 habitaciones.

Así, en el primer piso hay 30 habitaciones, en el segundo, 20 habitaciones y en el ático 10.

13. Los 3/4 de los empleados de una empresa tienen contrato indefinido; 2/3 del resto

tienen contrato temporal, y los demás son eventuales. ¿Qué fracción suponen los

eventuales?

La fracción de eventuales es 1/12.

14. Un embalse está lleno a principios de verano. En julio pierde 3/7 de su contenido,

y en agosto, 3/4 de lo que le quedaba. ¿Qué fracción conserva aún a principios de

septiembre?

La fracción que conserva a principios de septiembre es 1/7.

Recordad, que tenemos muchos boletines de clase para repasar estas unidades, con las

resoluciones realizadas en la libreta. Además, podéis hacer ejercicios del libro de texto,

relativos a estas unidades.

Hola chic@s!! Esta semana os envío mucho ánimo y toda mi ... MATEMÁ… · triángulos...

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