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UNIDAD DIDÁCTICA 10. GEOMETRÁ PLANA (PARTE VI). MATEMÁTICAS 3º ESO

MERCEDES RAMONDE SIXTO. IES DE ORTIGUEIRA 1

¡¡Hola chic@s!! Otra semana más seguimos trabajando desde casa. Pero

cada vez estamos más cerca de las vacaciones, así que mucho ánimo.

Recordad lo que os expliqué la semana pasada:

1. No será obligatoria la entrega de ninguna tarea. Aquellos alumnos

con la 1ª y 2ª evaluación aprobadas y que continúen entregando las

tareas hasta el 12 de junio, verán reconocido el esfuerzo y aumentarán

su nota media. Evidentemente para que esto suceda, las tareas tienen

que ser presentadas en plazo y con la calidad adecuada al nivel

educativo que se está cursando.

2. Aquellos alumnos que tengan alguna evaluación suspensa y que no

trabajen las tareas de repaso correspondientes o bien que no cumplan

los plazos o calidad adecuada, se presentarán directamente al examen

de la evaluación correspondiente en junio, presencial si es posible o vía

online, en caso contrario.

Supongo que aquellas personas que no han enviado material y no han

trabajado las tareas de repaso durante estas últimas semanas, ya han

decidido presentarse al examen correspondiente de recuperación de la

1ª evaluación.

Resolvemos primero de forma detallada los ejercicios que os propuse

de la quinta parte de la unidad 10. Tenéis que comparar los resultados

que os explico a continuación con los desarrollos que realizasteis

vosotros. Ojo: hay que dedicar algún tiempo a esa tarea:

2. Circunferencia y Círculo

Ejercicio resuelto 10.50: Paula está decorando una tarta para el

cumpleaños de su primo Víctor. Le quiere poner gominolas en todo el

borde de la tarta, que tiene un diámetro de 30 cm. Sabiendo que cada

gominola tiene un radio de 1,25 cm. ¿Cuántas gominolas va a necesitar

Paula?



Solución: Tenemos que hallar la longitud de la circunferencia que define el borde de la

tarta de 30 cm de diámetro, es decir de 15 cm de radio:

Longitud = L = 2π.r = 2π.15 = 30π cm= 94,24 cm

Como cada gominola tiene un radio de 1,25 cm, es decir tienen un diámetro de 2,5 cm.

Entonces, vamos a dividir la longitud que queremos cubrir por lo que mide de diámetro

cada una de las gominolas:

94,24/2,5=37,69 gominolas

Por tanto, necesita 37 gominolas (las 38 no le caben en la tarta)

Ejercicio resuelto 10.51: Una mesa de comedor tiene la forma de la figura. Si

sabemos que el precio del m2 de madera es de 180 €. Determinar los costes de la

mesa.

Solución: Vamos a descomponer la figura en tres distintas, un rectángulo y dos

semicircunferencias, que juntas definen un círculo:

a) El rectángulo tiene por medidas:

Área del rectángulo = base. altura =1,8 . 1,2 = 2,16 m2

b) Tenemos dos semicírculos de diámetro 1,20 m, es decir, de radio 0,6 m:

Área del círculo = π.r2 =π.0,62 = 0,36π m2= 1,13 m2

Por tanto:

Área total = Área del rectángulo + Área del círculo = 2,16 + 1,13 = 3,29 m2

Por ello, el coste de la mesa es: 3,29 m2. 180 €/m2 = 592,2 €

Ejercicio resuelto 10.52: ¿Cuántas vueltas da la rueda de una bicicleta de 56 cm de

radio al recorrer un kilómetro?



Solución: Observe que cada vez que una rueda completa un giro, la bicicleta recorre una

distancia igual a la medida del contorno de la llanta. Vamos a calcular dicha longitud, que

serán los centímetros que recorre la bicicleta en cada vuelta de la rueda:

Longitud = L = 2π.r = 2π.56 = 112π cm= 351,85 cm

Como tenemos que recorrer 1 km=100000 cm, entonces, dividimos por los centímetros de

cada vuelta, para obtener el número de vueltas:

100000 / 351,85= 284,2 vueltas

Entonces, tendrá que dar aproximadamente 284 vueltas.

Ejercicio resuelto 10.53: Calcula el área y perímetro de las figuras coloreadas:

a)

Solución: Tenemos que trabajar con dos figuras distintas:

1. El cuadrado de lado 7 mm:

Área del cuadrado = L. L= 7 .7 = 49 mm2

Perímetro del cuadrado = 4 .L = 4 .7 = 28 mm

2. El círculo de diámetro 7 mm, es decir, de radio 3,5 mm:

Área del círculo = π.r2 =π.3,52 = 12,25π = 38,48 mm2

Longitud = L = 2π.r = 2π.3,5 = 7π = 21,99 mm

Por tanto:

Si restamos las áreas de ambas figuras tenemos el área de la región rosa:

Área del cuadrado - Área del círculo = 49 - 12,25π = 10,51 mm2

Si sumamos los perímetros de ambas figuras tenemos el perímetro total de la región rosa:

Perímetro del cuadrado + Longitud del círculo = 28 + 7π = 49,99 mm



b)

Solución: Calculemos las áreas y los perímetros de los dos círculos concéntricos:

1. El pequeño de radio 8 m, tiene:

Área del círculo pequeño = π.r2 = π.82 = 64π m2

Longitud de la circunferencia pequeña = L = 2π.r = 2π.8 = 16π m

2. El grande es de radio 15 m, tiene:

Área del círculo grande = π.r2 = π.152 = 225π m2

Longitud de la circunferencia grande = L = 2π.r = 2π.15 = 30π m

Si restamos las áreas de ambos círculos tenemos el área de la figura de color amarillo:

Área del círculo grande - Área del círculo pequeño = 225π - 64π = 161π = 505,79 m2

Si sumamos los perímetros de ambos círculos tenemos el de la figura de color amarillo:

Longitud de la circunferencia grande + Longitud de la circunferencia pequeña =

= 30π +16π = 46π = 144,51 m perímetro de la figura amarilla

Ejercicio resuelto 10.54: Halla el área y perímetro de:

Solución: Vamos a trabajar con dos figuras distintas:

a) El triángulo equilátero del que sabemos las medidas de sus lados, pero desconocemos su

altura que podemos calcular por Pitágoras:

82=42+h2 ⇒ h= √82-42=√48 = 6,92 cm de altura

Área del triángulo = base. altura

2 =

8 . 6,92

2 = 27,68 cm2

b) El semicírculo de diámetro 8 cm, es decir, de radio 4 cm:

Área del círculo = π.r2 =π.42 = 16π cm2

entonces: Área del semicírculo = 16π

2 = 8π cm2

Por tanto:



Área total = Área del triángulo + Área de la semicircunferencia = 27,68 + 8π = 52,81 cm2

Perímetro total =longitud de la circunferencia

2 + lado del triángulo + lado del triángulo =

=2.π.4

2+ 8+8 =4π + 16 = 28,56 cm2

Ejercicio resuelto 10.55: Un aro da 40 vueltas para recorrer 31,40 m. Calcula el

diámetro del aro.

Solución: En cada vuelta va a recorrer: 31,40/40= 0,785 m= 785 cm. Sabemos entonces que

una vuelta completa de aro, es decir, la longitud de la circunferencia que define al aro es

de 785 cm. Así, podemos obtener el radio de dicho aro:

785 cm =Longitud = 2π.r ⇒ 2π.r = 78,5 cm ⇒ r = 78,5

2π= 12,49 cm

Por tanto: Diámetro = 2r = 2. 12,49 = 24,98 cm

Ejercicio resuelto 10.56: Un cuadrado de 100 m2 de superficie está inscrito en una

circunferencia. Calcula el área del círculo asociados a dicha circunferencia.

Solución: 50π m2

Solución: Como: 100 m2= Área del cuadrado = L. L= L2 ⇒ L= 10 m, entonces usando el

teorema de Pitágoras, tenemos que:

r2=52+52 ⇒ r2=52+52 ⇒ r= √50= 7,07 m

Entonces: Área del círculo = π.r2 = π.50 = 50π m2

Ejercicio resuelto 10.57: Calcula el área de un octógono regular de

4 m de lado inscrito en una circunferencia cuyo círculo asociado

tiene 20π m2 de área.

Solución: Tenemos una circunferencia con radio desconocido r, pero

sabemos que su área de 20π m2, entonces:

20π = Área del circulo = π.r2 ⇒ π.r2= 20π ⇒ r2 = 20 ⇒ r= 4,47 m



Entonces tenemos un octógono regular de 4 m de lado y radio 4,47 m, por tanto:

Área octógono = perímetro . apotema

2=

32. apotema

2

Vamos a hallar la apotema del octógono usando el teorema de Pitágoras:

4,472=22+ap2 ⇒ ap2=4,472-22 = 15,98⇒ ap = 3,99 m ≈ 4 m

Así: Área octógono = perímetro . apotema

2=

32. 4

2≈ 64 m2

Ejercicio resuelto 10.58: Calcular el área de la región de color

negro del siguiente taijitu (símbolo del yin y del yang) inscrito en

un cuadrado de lado 2m

Solución: Si pensamos en algunos cambios en la imagen, nos resultará menos laborioso el

cálculo de su área:

1. Colocamos el círculo pequeño de color negro sobre el de color blanco.

2. En la parte izquierda inferior, tenemos ahora un semicírculo negro. Este semicírculo lo

colocamos en la parte superior derecha.

La región de color negro forma un semicírculo cuyo radio es la mitad del lado del cuadrado.

Como el radio es r=1 m, el área del círculo es:

Área del círculo = π.r2 =π.12 = π m2

Por tanto, el área de la región de color negro es la mitad, es decir, π/2 m2



Terminamos esta semana con la geometría plana:

Sector circular:

Elementos: Área del círculo = 𝛑. 𝐫 𝟐 .𝛂

𝟑𝟔𝟎°

r → Radio Longitud del sector = L= 𝛑. 𝐫.𝛂

𝟏𝟖𝟎°

α → Ángulo del sector Perímetro del sector= 2r+L

Ejemplos: Halla el perímetro y el área de las figuras coloreadas:

a)

El sector circular tiene radio 8 mm, y ángulo 120º:

Área del sector circular = π.r2.𝛼

360°= π.82.

120º

360°= 67,02 mm2

Longitud del sector circular= L= π.r.𝛼

180°=π.8.

120º

180°= 4 π mm=16,75 mm

Perímetro del sector= 2r+L= 2. 8+ 16,75 = 32,75 cm

b)

Calculemos las áreas y los perímetros de la corona circular, definida por dos sectores

circulares:

1. El sector circular blanco es definido por el círculo pequeño de radio 1 m, y ángulo 90 º:

Área del sector blanco = π.r2.𝛼

360°= 𝜋. 12.

90º

360°= 0,25 π m2 = 0,78 m2

Longitud del sector blanco= L= π. r.α

180°= π. 1.

90º

180°= 0,5 π = 1,57 m

2. El sector circular grande suma del blanco y rosa es definido por el círculo grande de

radio 1,5 m, y ángulo 90º:

Área del sector grande = π.r2.𝛼

360°= 𝜋. 1,52.

90º

360°= 0,56 π m2 = 1,76 m2

Longitud del sector grande = L= π. r.α

180°= π.1,5.

90º

180°= 0,75 π = 2,35 m

Si restamos las áreas de ambos sectores circulares tenemos el área de la figura de color

rosa:



Área del sector grande - Área del sector pequeño = 1,76 - 0,78 = 0,98 m2

Si sumamos las longitudes de ambos sectores más las longitudes de los segmentos que los

separan, tenemos el perímetro de la figura de color rosa:

Longitud del sector grande + Longitud del sector pequeño + 0,5 +0,5 =

= 0,75 π +0,5π +1 = 4,92 m perímetro de la figura rosa

Ejemplos: Determine el porcentaje del área de la superficie sombreada respecto del

área total del círculo.

Tenemos una circunferencia de radio desconocido r y un sector en verde del mismo radio y

ángulo 360o-45o= 315o

Área del sector verde = π.r2.𝛼

360°= 𝜋. r2.

315º

360°= 0,875.r2π

Área del círculo = π.r2

Si hacemos una regla de tres, obtenemos el porcentaje pedido: 0,875.r2.π → x

r2.π → 100%

entonces: x= 0,875 .r2 .π. 100

r2 .π = 87,5 %

Ejercicio propuesto 10.59: Halla el perímetro y el área de las figuras coloreadas:

a) b)

Ejercicio propuesto 10.60: En verano chicos, cuando podamos ir con nuestros amigos

a tomar una pizza (que eso momento llegará, seguro), espero que recordéis este

ejercicio:

12 amigos van a comer una pizza al paseo marítimo y

deciden comprar una para llevar que cabe justo en una caja

cuadrada de 45 cm de lado. Calcula la cantidad de pizza y la

medida del borde que le se comerá cada uno de los 12

amigos.



Ejercicio propuesto 10.61: Determina el ángulo de un sector circular de radio 3 cm con

3π cm2 de área.

Ejercicio propuesto 10.62: Calcular el ángulo del sector circular con área igual a 6π

cm2 de un círculo con perímetro de 4π√2 cm.

Ejercicio propuesto 10.63: Un disco tiene seis sectores iguales, 3 rojos y tres

negros. Si el radio del círculo es 3 cm, calcula el área de cada sector.

Ejercicio propuesto 10.64: Un sector circular está limitado por una longitud de arco

de 5 π cm y pertenece a un círculo que tiene el diámetro de 40 cm de largo. Calcular

el área del sector y el ángulo correspondiente.

Ejercicio propuesto 10.65: Un sector circular tiene área de 120 π cm² y un ángulo

central es de 108°. Calcular el radio del círculo.

Segmento circular:

Elementos:

r → Radio

α → Ángulo del segmento

C → Cuerda del segmento= longitud AB

L → Longitud del sector circular

Área del segmento circular = Área del sector circular- Área del triángulo

Perímetro del sector= Longitud del sector circular L + Longitud de la cuerda AB

Ojo: Observa que el área del segmento circular está dada por la diferencia entre el

área del sector circular y el área del triángulo OAB:



Ejemplo: Halla el perímetro y el área de la figura:

Calculemos el área y el perímetro de la figura rosa, definida por un sector circular y un

triángulo:

a) El sector circular está definido por el círculo de radio 5 cm, y ángulo 90º:

Área del sector circular = π.r2.𝛼

360°= 𝜋. 52.

90º

360°= 19,63 cm2

Longitud del sector circular= L= π. r.α

180°= π. 5.

90º

180° = 7,85 cm

b) El triángulo rectángulo de base y altura 5 cm:

Área del triángulo = base. altura

2=

5. 5

2= 12,5 cm2

Si restamos las áreas de ambas figuras tenemos el área del segmento circular:

Área del segmento = Área del sector - Área del triángulo = 19,6 - 12,5 = 7,13 cm2

Si sumamos las longitudes del sector más la cuerda del segmento, tenemos el perímetro

del segmento circular. Pero necesitamos la hipotenusa del triángulo, que podemos hallar

usando Pitágoras:

C2=52+52 ⇒ C= √50 = 7,07 cm de cuerda

Entonces:

Longitud del sector + Longitud de cuerda =

= 7,85 + 7,07 = 14,92 cm perímetro del segmento circular



Vamos a trabajar ahora a modo de repaso, la unidad didáctica 5. Para que

todos los alumnos puedan alcanzar los contenidos mínimos de las matemáticas

académicas de 3º de la ESO. Por tanto, será de especial interés para aquellos

alumnos que no aprobaron la 1ª evaluación.

Tenéis que repasar nuestro boletín teórico y de ejercicios relativos a esta

unidad 5: “Lenguaje algebraico”, mostrando especial atención a ejercicios del

tipo:

Lenguaje algebraico

Solución:

Una expresión algebraica es aquella en la que se utilizan letras (parte literal), números y

signos de operaciones.

• Un número → x

• Su siguiente → x+1

• El doble de su siguiente → 2(x+1)

• El triple de un número → 3x

• El doble de un número menos su mitad → 2x-(x/2)

• La mitad de un número menos cinco → (x/2)-5

• El cuadrado de un número mas su triple → x2 +3x

• Un número mas su anterior → x + (x-1)

• La mitad de un número mas seis unidades →(x/2) + 6

• Un número tres unidades menor que otro → x-3



Monomios

Solución:



Suma y resta de monomios semejantes

Monomios semejantes son aquellos que tienen la misma parte literal. Para sumar o restar

monomios deben ser semejantes. Se suman o restan los coeficientes y se deja la misma

parte literal.

Solución:

Reducir monomios semejantes

Solución:



Polinomios

Suma de polinomios

Para sumar polinomios agrupamos los términos semejantes (son aquellos que tienen la

misma parte literal), sumamos los coeficientes y dejamos la misma parte literal.

Solución:



Resta de polinomios

Para restar polinomios, escribimos entre paréntesis el polinomio que vaya restando, con un

signo menos delante del paréntesis. Quitamos este paréntesis aplicando la regla de los

signos. Agrupamos los términos semejantes (son aquellos que tienen la misma parte

literal), sumamos los coeficientes y dejamos la misma parte literal.

Solución:



Producto de un polinomio por un monomio

Para multiplicar un polinomio por un monomio multiplicamos cada término del polinomio

por el monomio. Multiplicamos los coeficientes y sumamos los grados de las x (producto de

potencias de la misma base).

Solución:



Solución:

Solución:

Solución:



Solución: Multiplicación de polinomios en forma vertical. Escribimos el polinomio P(x)

ordenado. Si falta algún término escribimos 0. Añadimos debajo el polinomio Q(x)

ordenado. Multiplicamos el (-2) por todos los términos de P(x). A continuación, hacemos lo

mismo con 2x colocando los resultados debajo de su grado correspondiente. Hacemos lo

mismo con (-x2). Al final sumamos las columnas que nos han quedado con los términos

semejantes.



División de polinomios

Solución: El dividendo y el divisor deben estar ordenados. En este caso ya nos los dan

ordenados.

Se divide el monomio 3x2 entre el monomio x.

El resultado 3x se multiplica por el divisor y el producto resultante cambiado de signo

se suma al dividendo.

Se divide -4x entre x.

El resultado -4 se multiplica por el divisor y el producto resultante cambiado de signo

se suma al nuevo dividendo (-4x-8). El cociente es 3x-4 y el resto 0. Es una división

exacta.

Comprobar: Dividendo = divisor · cociente + resto

3x2 + 2x -8 = (x+2)· (3x-4) + 0

Solución:



Comentarios:

Solución:



Solución:



Cuando al hacer la división nos da de resto cero podemos factorizar el dividendo.

Dividendo = divisor · cociente → (x3-x) = (x2-1)x

Identidades notables

Cuadrado de una suma

El cuadrado de la suma de dos números es igual al cuadrado del primero más el doble del

producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo.

Solución:



Cuadrado de una diferencia

El cuadrado de la diferencia de dos números es igual al cuadrado del primero menos el

doble del producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo.

Solución:



Suma por diferencia

La suma de dos números multiplicada por su diferencia es igual a la diferencia de sus

cuadrados.

Solución:



Factorizar para obtener la identidad notable

Las igualdades notables las aplicamos para factorizar polinomios y para simplificar

fracciones algebraicas.



Simplificar fracciones algebraicas

Cuando tengamos productos notables los factorizamos. Los factores obtenidos quedan

multiplicando en el numerador y en el denominador, si son iguales los podemos simplificar.



División de polinomios: regla de Ruffini

Aplicamos la regla de Ruffini para dividir polinomios por binomios del tipo x±a. Obtenemos

los coeficientes del cociente y el valor del resto.

Se deben colocar todos los coeficientes del dividendo ordenados de mayor a menor grado y

si falta el de algún grado intermedio colocar un 0.

Ejemplo:



Ejercicios

Solución: El divisor de Ruffini debe ser tipo: x±a, a es un número. En este ejemplo a=-2.

- Multiplicamos 2 por 1, el resultado 2 lo colocamos debajo del 0 y

sumamos.

- Multiplicamos 2 por 2, el resultado 4 lo colocamos debajo del 1 y

sumamos. El 5 es el resto.



Solución:

-Multiplicamos -1 (valor que anula el divisor) por el primer coeficiente

del dividendo 1. El resultado -1 se suma al segundo coeficiente del

dividendo.

- Con el valor obtenido -1 se repite el proceso hasta llegar al final. El

último número obtenido 0 es el resto de la división; los otros números

son los coeficientes del polinomio cociente.



3. Utilizando la regla de Ruffini, halla el cociente y el resto de estas divisiones.

Para que el polinomio P(x) sea divisible por x-2 el resto de la división debe ser cero.

Hacemos la división, igualamos el valor del resto a cero y calculamos el valor de k.



Formas de factorizar un polinomio

Para descomponer en factores un polinomio seguimos estos pasos:

1. Sacamos factor común si se puede.

2. Si no, comprobamos si es una ecuación de 2º grado

3. Y si no es ecuación de segundo grado, hacemos Ruffini.

Ejemplo:



6. Saca factor común e identifica expresiones notables en cada caso:



7. Descompón en factores:



Para simplificar fracciones, se extrae el factor común del numerador y del denominador

por separado. Luego se simplifican los factores iguales en el numerador y en el

denominador.



Instrucciones de trabajo para esta semana:

1. Los alumnos de 3º podéis enviarme, antes del domingo 24 de mayo, los “ejercicios

propuestos” en este boletín correspondientes a la última parte de la unidad 10:

“Geometría plana” al correo:

[email protected]

2. Esta semana, realizaremos un examen online de toda la geometría plana el jueves

21 de mayo de 17:00h a 17:30h.

ESTAS DOS TAREAS SON VOLUNTARIAS PARA TODOS LOS

ALUMNOS.

El examen estará disponible en la plataforma “thatquiz.org”, con el enlace:

3º A: https://www.thatquiz.org/es/classpage?02a5678cdef125a

3º B: https://www.thatquiz.org/es/classpage?02a03567abf125c

Usáis la misma contraseña personal que os envié.

¡¡Ánimo chicos!!

mailto:[email protected]

https://www.thatquiz.org/es/classpage?02a5678cdef125a

https://www.thatquiz.org/es/classpage?02a03567abf125c

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