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ARITMETICA MODULAR: Una Aritmética Divertida

Luis F. Cáceres

La idea de número debió surgir de la necesidad que tenía el hombre de llevar registro de cosas

importantes del diario vivir. ¿Cuántas ovejas tenemos?, ¿Cuántos somos?, ¿Cuánto falta para la próxima inundación? Estas preguntas nos llevan a pensar en los números naturales 1,2,3,…. La idea abstracta de número vino mucho después que el concepto práctico de lo que los números significan. El hecho de que dos vacas y dos libretas tengan algo en común (el hecho de que son dos) no es obvio a pesar que desde niños sabemos la diferencia entre dos vacas y tres vacas.

Ciertas culturas, de acuerdo a sus necesidades, añadieron otros números a los números para contar (números naturales). Los hindús inventaron el cero. Los negativos tienen que ver con la idea de “deber” y forman junto con los naturales y el cero el conjunto de los enteros …,-3,-2,-1,0,1,2,3,…. Las fracciones fueron introducidas para modelar el hecho de dividir materiales en pedazos y junto con las fracciones

negativas forman el conjunto de los racionales, por ejemplo, 1 3 10

, ,2 8 3

− . La geometría Griega y la

necesidad del Cálculo llevan a la idea de los números reales (números que no se pueden representar como

fracciones) tales como 2, , 3π . Más adelante, y debido a la necesidad de resolver ecuaciones algebraicas, surgen los misterioso números imaginarios o complejos. Para su creación necesitamos la raíz cuadrada de –1, por lo tanto la asumimos y le damos un nombre: i .

En cada uno de estos sistemas es posible desarrollar una aritmética (en los naturales está la suma, en los enteros esta la resta y la suma, etc.) que nos llevan a la larga a poder modelar y entender la naturaleza. A pesar de que el número 2 no existe en la naturaleza, si existe la idea de encontrarnos con dos vacas. De esta forma el hombre ha podido describir ciertas propiedades del mundo real usando los números, y esto es posible simplemente porque los números son construcciones abstractas, basadas a su vez en el comportamiento del mundo real.

Existen otros sistemas, no necesariamente números, en donde también se puede realizar una aritmética. Lo interesante de estos otros sistemas es que muchas veces se comportan como los números y su aritmética comparte propiedades con la aritmética usual. Mas aún, estas aritméticas “extrañas” y divertidas pueden ayudar a entender aún mas la aritmética usual. El hecho de que sean divertidas debería ser razón suficiente para estudiarlas, pero el hecho de que tiene aplicaciones inmediatas en la aritmética usual es quizás lo que ha llevado a muchos matemáticos a desarrollarlas profundamente. Un ejemplo clásico de este tipo de aritmética es la aritmética modular o aritmética finita . Esta aritmética fue descrita por Gauss en su libro Disquisitiones Arithmeticae, un libro que influyó mucho en el desarrollo de la matemática y fue publicado en 1801 cuando Gauss tenía tan solo 24 años. La idea que Gauss investigó en tan vieja como la idea de contar. Uno obtiene una aritmética finita cuando se tiene un sistema de contar que se comporta periódicamente. Auanque la noción de aritmética finita no era nueva, Gauss fue la primera persona en desarrollarla e investigar muchas de sus propiedades. 5+4=2: Una aritmética divertida.

Supongamos que numeramos los días de la semana usando los números del 0 al 6, comenzando con el domingo.

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domingo 0 sábado 6 lunes 1 viernes 5 martes 2 jueves 4 miércoles 3

Si continuamos numerando, el día 7 es domingo nuevamente, el día 8 es lunes, el día 9 es martes, etc. En cierto sentido podemos pensar que 7 08 1,9 2,= = = etc., donde “=” obviamente, no tiene el mismo sentido usual. También podemos trabajar hacia atrás: el día -1 es el sábado, el día -2 es el viernes, etc. Por lo tanto 1 6, 2 5,− = − = etc. La siguiente tabla muestra los números correspondientes a cada día de la semana.

domingo …,-14,-7,0,7,14,… lunes …,-13,-6,1,8,15,… martes …,-12,-5,2,9,16,… miércoles …,-11,-4,3,10,17,… jueves …,-10,-3,4,11,18,… viernes …,-9,-2,5,12,19,… sábado …,-8,-1,6,13,20,…

No es difícil encontrar un patrón para los números correspondientes a cada día, dicho patrón se

ilustra en la siguiente tabla.

domingo números de la forma 7n lunes números de la forma 7 1n + martes números de la forma 7 2n + miércoles números de la forma 7 3n + jueves números de la forma 7 4n + viernes números de la forma 7 5n + sábado números de la forma 7 6n +

Note que los números de la forma 7 7n + , son de la forma 7( 1)n + y por lo tanto son de la forma

7n . Por lo tanto el día que le corresponde a un número entero cualquiera está determinado por el residuo al dividir el número entre 7. Por ejemplo el día que le corresponde al número 38 es el miércoles (ya que 38 7 5 3= ⋅ + ). Estos residuos son siempre 0,1,2,3,4,5,6 y podemos definir una aritmética de residuos. Podemos acordar que 4 5 2+ = , esto significa que el día 4 mas el día 5 es el día 2, lo cual es bastante natural. De esta forma podemos construir la tabla para la suma de los números del 0 al 6 de la siguiente forma:

+ 0 1 2 3 4 5 6 0 0 1 2 3 4 5 6 1 1 2 3 4 5 6 0 2 2 3 4 5 6 0 1 3 3 4 5 6 0 1 2 4 4 5 6 0 1 2 3 5 5 6 0 1 2 3 4 6 6 0 1 2 3 4 5

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Esta tabla modela la estructura cíclica de los siete días de la semana. En este contexto la pregunta ¿Que día es 323 días después del jueves? Puede ser escrita como 4 323 ?+ = . El 323 no esta en nuestra tabla, pero note que 323 7 46 1= ⋅ + el cual es de la forma 7 1n + , luego 323 1= , por lo tanto 4 323 4 1+ = + y buscando en la tabla tenemos que 4 1 5+ = , que es viernes.

Esta suma tiene cosas extrañas como el hecho de que 1 1 1 1 1 1 1 0+ + + + + + = , pero cuando pensamos en términos de días, esto tiene perfecto sentido.

Ahora podemos tratar de definir multiplicación para este sistema. No tiene mucho sentido pensar en multiplicar sábado por jueves, pero si podemos pensar en cuál es el mejor sentido que le podemos dar a 6 4× . Es claro que lo ideal es que 6 4 4 4 4 4 4 4× = + + + + + y mirando en la tabla se obtiene 6 4 3× = . También sería razonable pensar que 6 4 6 6 6 6× = + + + y mirando en la tabla obtenemos (afortunadamente) la misma respuesta: 6 4 3× = .De hecho si hacemos la tabla de multiplicación (que no es otra cosa que sumas repetidas) para los residuos del 0 al 6 obtenemos:

× 0 1 2 3 4 5 6 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 5 6 2 0 2 4 6 1 3 5 3 0 3 6 2 5 1 4 4 0 4 1 5 2 6 3 5 0 5 3 1 6 4 2 6 0 6 5 4 3 2 1

El sistema que hemos desarrollado se conoce como el sistema de los enteros módulo 7. No hay

nada especial acerca del 7, con cualquier otro número natural podemos desarrollar este tipo de aritmética. Si hubiésemos empezado con las horas en un reloj, hubiésemos terminado con los enteros módulo 12, si hubiésemos empezado con los días del año, hubiésemos terminado con los enteros módulo 365, etc. Si por ejemplo desarrollamos la aritmética módulo 4, entonces los residuos que usaríamos serían el 0,1,2,3 y aquí 4 0= ,5 1= , 6 2= , etc. Ejercicios: 1. ¿Qué día de la semana será 93 días después del miércoles?. 2. Completar las tablas de suma y multiplicación para los enteros módulo 4. 3. Completar las tablas de suma y multiplicación para los enteros módulo 5. 4. En la aritmética usual a− es el número tal que cuando se le suma a a da 0. A a− se le llama el inverso

aditivo de a . Hallar los inversos aditivos de los números del 0 al 6 en la aritmética módulo 7. 5. Repetir el ejercicio anterior para los números del 0 al 11 en la aritmética módulo 11.

El siguiente paso, obviamente es pensar en división. Para hacer esto nos conviene formalizar un poco lo que hemos hecho hasta el momento. El primer paso es introducir un símbolo nuevo a nuestro lenguaje ( )≡ que nos sirva para representar la igualdad en la aritmética modular. Recordemos que 9 2= cuando hablamos de los enteros módulo 7. Pero cuando hablamos de los enteros módulo 4, 9 1= . Para evitar ambigüedades, escribiremos en el primer caso 9 2mod 7≡ y en el segundo caso 9 1mod 4≡ . En general escribiremos moda b m≡ y esto quiere decir que al dividir a entre m se obtiene el mismo residuo que al dividir b entre m .

En la aritmética modm se pueden sumar y multiplicar números básicamente de la misma forma que en la aritmética usual. También es posible restar. El problema de la división es mucho más interesante porque la “división usual” solamente se puede hacer en algunos módulos.

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Supongamos que queremos darle sentido a 5

mod 72

. Es importante notar que el símbolo 5

2no tiene

sentido con lo que hemos hecho hasta el momento y por o tanto estamos listos para darle un sentido.

Obviamente el sentido que le demos a 5

2 debe estar de acuerdo, en lo posible, con el sentido que se le da

en la aritmética usual. De lo contrario terminaríamos construyendo una aritmética divertida, pero que quizás tendría propiedades totalmente diferentes a las de la aritmética usual y por lo tanto no tendría aplicaciones inmediatas.

La definición mas natural para 5

2sería el número x que satisface la ecuación

2 5mod 7x ≡ .

En general, si p y q son números entre 0 y 6, queremos definir p

qigual a y donde

mod 7qy p≡ . Note que qy es el número que aparece en la fila q y en la columna y de la tabla de multiplicación. Por lo tanto si queremos que la congruencia tenga una sola solución y , el número p debe aparecer una sola vez en la fila q . Si apareciera dos o mas veces o si n apareciera, no sabríamos cual escoger. La tabla de multiplicación módulo 7 tiene la propiedad de que en cada fila aparecen los números del 0 al 6 y además aparecen una sola vez. Por lo tanto podemos encontrar una solución única para la congruencia anterior

para cualquier q diferente de cero. Esto significa que siempre podemos definir p

q cuando 0q ≠ . Esto no

es una restricción grande pues en la aritmética usual tampoco dividimos por 0.

Por lo tanto, 5

6mod72

= ya que 2 6 5mod 7⋅ ≡ .

Ejercicios: 1. En la aritmética usual, 1/a es el número que cuando se multiplica por a da como resultado 1. A 1/a

se le llama el inverso multiplicativo de a . Hallar 1/1,1/2,1/3,1/4,1/5,1/6 mod 7. 2. Hallar 3/ 4,5 / 3,10 /8. módulo 7.

Las cosas no funcionan igual de bien con otros módulos. Por ejemplo si trabajamos módulo 6 la tabla de multiplicación que se obtiene es la siguiente.

× 0 1 2 3 4 5 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 5 2 0 2 4 0 2 4 3 0 3 0 3 0 3 4 0 4 2 0 4 2 5 0 5 4 3 2 1

Lo primero que notamos en esta tabla de multiplicación es que aparecen muchos ceros. En

particular, 3 2 0⋅ = . Este fenómeno no ocurre en la aritmética tradicional, ya que en la aritmética usual si 0a b⋅ = , entonces obligatoriamente se tiene que 0a = o 0.b = El hecho de que trabajando módulo 6, la

multiplicación de dos números diferentes de cero pueda dar como resultado 0, nos trae problemas pero a la vez crea una aritmética interesante y diferente. Note que por ejemplo no podemos definir 1/3 (por lo menos de la manera usual) ya que no existe un número y en la tabla tal que 3 1.y⋅ =

5

Ejercicio: 3. 1. Tratar de hallar los inversos multiplicativos de los números del 1 al 11 en la aritmética módulo 12.

Descubrirá que algunos de ellos no poseen inverso multiplicativo. 4. Repetir el ejercicio anterior para la aritmética módulo 6 y módulo 8. Encontrar una conjetura para

describir a los números que poseen inverso multiplicativo. 5. Construir las tablas de multiplicación módulo del 2 al 10 y tratar de encontrar una conjetura sobre los

números que producen módulos donde todos los números (excepto el 0) poseen inversos. 6. Para varios valores de 7a < calcular 7 mod 7a . Para varios valores de 5a < calcular 5 mod5a .

Intentar otros cómputos similares. Hacer una conjetura para el resultado que se obtiene. Propiedad: Si , ,a b c y m son enteros, con 0m > , tales que ( )moda b m≡ , entonces

1. ( )moda c b c m+ ≡ +

2. ( )moda c b c m− ≡ −

3. ( )modac bc m≡

Propiedad: Si , , ,a b c d y m son enteros, con 0m > , tales que ( )moda b m≡ y ( )modc d m≡ , entonces

1. ( )moda c b d m+ ≡ +

2. ( )moda c b d m− ≡ −

3. ( )modac bd m≡

Propiedad: Si , ,a b k y m son enteros, con 0, 0k m> > y ( )moda b m≡ , entonces ( )modk ka b m≡

EJERCICIOS:

1. Muestre que las siguientes congruencias son ciertas. a. ( )13 1 mod 2≡

b. ( )13 1 mod 2≡

c. ( )22 7 mod5≡

d. ( )111 9 mod 40≡ −

e. ( )666 0 mod37≡

f. ( )3 30 mod11− ≡

2. Para que valores de m es cierta cada una de las siguientes congruencias:

a. ( )27 5 modm≡

b. ( )1000 1 modm≡

c. ( )1331 0 modm≡

6

3. Probar que si a es un entero par, entonces ( )2 0 mod 4a ≡ y si a es un entero impar, entonces

( )2 1 mod 4a ≡ .

4. Probar que si a es un entero impar, entonces ( )2 1 mod8a ≡ .

5. Dar un ejemplo para probar que ( )2 2 moda b n≡ no necesariamente implica que ( )moda b n≡ .

6. Reducir los siguientes números a módulo 13. a. 22 b. 100 c. 1001 d. -1 e. -100 f. -1000

7. Usando la reducción módulo 6, para construir una tabla para la adición módulo 6, la resta módulo 6 y la multiplicación modulo 6. El residuo que se obtiene en la reducción módulo 6 es el representante de la correspondiente clase de congruencia.

8. Encontrar el residuo cuando 502 y 6541 se dividen entre 7. 9. Hallar el residuo al dividir la suma 5 5 5 51 2 ... 99 100+ + + + entre 7. 10. Dado un entero a , probar que ( )3 0,1 o 6 mod7a ≡ .

11. Dado un entero a , probar que ( )4 0 o 1 mod5a ≡ .

12. ¿Para qué enteros positivos n se cumple que ( ) ( )22 21 2 ... 1 0 modn n+ + + − ≡ ?

13. Probar por inducción que si n es un entero positivo, entonces ( )4 1 3 mod9n n≡ + ..