Hueso de Ishango Imagen en la que se muestra el hueso de Ishango, por delante y por detrs. El Hueso de Ishango es una herramienta de hueso que data del Paleoltico Superior, aproximadamente del ao 35.000 a. C. Este objeto consiste en un largo hueso marrn (ms especficamente, el peron de un babuino)1 con un pedazo punzante de cuarzo incrustado en uno de sus extremos, quizs utilizado para grabar o escribir. En un principio se pensaba que se utilizaba para realizar conteos, ya que el hueso tiene una serie de muescas talladas divididas en tres columnas que abarcan toda la longitud de la herramienta, pero algunos cientficos han sugerido que las agrupaciones de muescas indican un entendimiento matemtico que va ms all del conteo. El Hueso de Ishango se exhibe de forma permanente en el Real Instituto Belga de Ciencias Naturales, situado en Bruselas, Blgica. Descubrimiento y datacin El belga Jean de Heinzelin de Braucourt encontr en 1960 el Hueso de Ishango mientras exploraba lo que entonces era el Congo Belga2. Lo descubri en el rea africana de Ishango, cerca de la zona donde nace el ro Nilo: en el Lago Eduardo (que se encuentra entre la frontera de Uganda y la Repblica Democrtica del Congo). Esto significa que la poblacin establecida hace unos 20.000 aos a orillas del lago en Ishango, pudo haber sido una de las primeras sociedades en realizar conteos, pero esta sociedad tan slo sobrevivi unos pocos cientos de aos antes de quedar sepultada por una erupcin volcnica3. En un principio se estim que el hueso databa de entre los aos 9.000 a. C. y 6.500 a.C.4 Sin embargo, la datacin del sitio donde fue descubierto fue reevaluada y ahora se cree que tiene ms de 20.000 aos5.

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A very brief history of pure mathematics: The Ishango Bone. Universidad de Australia Occidental (disponible en http://school.maths.uwa.edu.au/~schultz/3M3/history.html). Mayores detalles pueden ser consultados en Shurkin, J. (1984). W. W. Norton & Co. (ed.)-Engines of the mind: a history of the computer, pp. 21 y Bogoshi, J.; Naidoo, K. and Webb, J. (1987)- The oldest mathematical artifact , Math. Gazette (ed.). 2 Heinzelin, Jean (Junio de1962). Scientific American (ed.). Ishango. 206, pp. 105-116. 3 Williams, Scott W.-Mathematicians of the African Diaspora, Departamento de Matemticas del Estado de Nueva York en Bfalo (http://www.math.buffalo.edu/mad/Ancient-Africa/ishango.html). 4 Gerdes Paulus (1991)-On The History of Mathematics in Africa South of the Sahara, Unin Matemtica Africana, Comisin de la Historia de las Matemticas en frica. 5 Marshack, Alexander (1991). Colonial Hill, Mount Kisco, Nueva York (ed.). The Roots of Civilization y Brooks, A.S.; Smith, CC. (1987)-The African Archaeological Review (ed.). Ishango revisited: new age determinations and cultural interpretations, 5, pp. 65-78.

Significado de las muescas Clculos matemticos? Las tres columnas de muescas agrupadas asimtricamente implican que la herramienta era ms bien funcional que decorativa. El hueso de Ishango pudo ser tallado para establecer un sistema numrico. Columna central La columna central comienza con 3 muescas y luego duplica su nmero. El mismo proceso se repite con el nmero 4, que se duplica a 8 muescas, y luego se invierte el proceso con el nmero 10, que es dividido por la mitad resultando en 5 muescas. Por esto se llega a la conclusin de que estos nmeros no pueden ser Columna izquierda puramente arbitrarios, sino que sugieren algn atisbo de clculos de multiplicacin y divisin por dos. El hueso puede haber Columna derecha sido usado por lo tanto como una herramienta para llevar a cabo procedimientos matemticos simples. Adems, el nmero de muescas de ambos lados de la columna central podra indicar una mayor capacidad de conteo. Tanto los nmeros de la columna izquierda como los de la derecha son todos nmeros impares (9, 11, 13, 17, 19 y 21). Los nmeros de la columna izquierda son todos los nmeros primos comprendidos entre 10 y 20 (que conforman un primo cudruple), mientras que los de la columna derecha consisten en 10 + 1, 10 - 1, 20 + 1 y 20 - 1. Los nmeros de cada una de estas columnas suman 60, y la sumatoria de los nmeros de la columna central es 48. Ambos resultados son mltiplos de 12, lo que vuelve a sugerir la existencia de un entendimiento de la multiplicacin y la divisin6. Calendario lunar? Alexander Marshack examin el hueso de Ishango con un microscopio y concluy que esta antigua herramienta puede representar un calendario lunar6

Williams, Scott W.-Mathematicians of the African Diaspora, Departamento de Matemticas del Estado de Nueva York en Bfalo.

de seis meses7. Claudia Zaslavsky ha sugerido que esto puede indicar que el creador del instrumento era una mujer, investigando la relacin entre las fases lunares con el ciclo menstrual8. Hallazgos similares Se han registrado otros descubrimientos de herramientas de conteo (palos o huesos con varios cortes), encontrados a lo largo de todo el mundo. El Hueso de Lebombo, un peron de babuino de 35.000 aos, fue encontrado en Suazilandia9. Una tibia de lobo de 32.000 aos que cuenta con 57 muescas, agrupadas de a 5 grupos, fue encontrada en Checoslovaquia en 193710.

NUMEROS MAS ANTIGUOS Las matemticas nacieron del peron de un babuino Las matemticas, patrimonio de los griegos, pueden dejar de serlo en breve. La culpa la tiene el peron de un simio babuino donde hace 35.000 aos antes de Cristo, alguien realiz 29 muescas. Es el legado matemtico ms antiguo y se encontr en la parte meridional de Africa. Ms reciente, el Hueso de Ishango, una herramienta de hueso con grupos de muescas dispuestas en columnas, denota registros de cuentas. Era el libro de contabilidad de un poblado neoltico a orillas del lago Edward, en la frontera entre Zaire y Uganda. Estos hallazgos demuestran que si nuestros primeros padres nacieron en Africa, con ellos tambin aparecieron las matemticas. La cresta del pavo real (Las Matemticas y sus races no europeas), de George Gheverghese Joseph, que acaba de ser editado en Espaa por Pirmide, recoge las diferentes pruebas que desmitifican la paternidad griega de las matemticas. Los investigadores que analizaron el Hueso de Ishango observaron ciertos patrones numricos subyacentes dentro de cada fila, conteniendo nmeros primos, e interpretaron el modo en que estn agrupadas las muescas como un signo del concepto de duplicacin o de multiplicacin por dos. Lo que les llev a la conclusin de que este hueso parece haber sido algo ms que una simple cuenta. Pequeas ciudades-estado de Sumeria, como Uhr, Eridu o Nippur (3.500 aos a. de C.) desarrollaron nmeros sexagesimales, y el primer imperio mesopotmico construy tablas de multiplicar y de dividir. Los comienzos del lgebra, de la geometra y la astronoma se localizan en el primer imperio7

Brooks, A. S. and Smith, C C. (1987)-The African Archaeological Review (ed.). Ishango revisited: new age determinations and cultural interpretations, 5, pp. 65-78. 8 Zaslavsky, Claudia (1979). L. Hill (ed.)-Africa Counts: Number and Pattern in African Culture y Zaslavsky, Claudia (Enero de 1992)-International Study Group on Ethnomathematics, Newsletter (ed.), 1, Women as the First Mathematicians. 9 Pegg, Ed Jr. "Lebombo Bone." From MathWorld--A Wolfram Web Resource, created by Eric W. Weisstein. http://mathworld.wolfram.com/LebomboBone.html 10 http://www.math.tamu.edu/~dallen/masters/origins/origins.pdf

babilnico, reinando Hammurabi autor del primer cdigo legislativo de la humanidad (1.700 aos antes de Cristo). Las matemticas fueron puestas al servicio de la religin con los Vedas de la India, que lograron autnticas obras de arte en sus altares sacrificiales en una portentosa simbiosis de geometra, aritmtica y mstica. Los papiros egipcios de Ahmes y de Mosc renen una coleccin de 112 problemas con sus soluciones respectivas. El mtodo de clculo egipcio sigui vigente en toda Europa hasta bien entrada la Edad Media. En fin, que al griego Pitgoras, hindes, africanos, summerios y egipcios le sacaron siglos de ventaja. http://www.elmundo.es/papel/hemeroteca/1996/11/10/cronica/178351.html Lebombo Bone The Lebombo bone is the oldest known mathematical artifact. It dates from BC and consists of 29 distinct notches that were deliberately cut into a baboon's fibula. It was discovered within a cave in the Lebombo mountains of Swaziland. Un baco de hace 20.000 aos RECIENTES ESTUDIOS SOBRE LOS HUESOS DE ISHANGO VIERTEN NUEVOS DATOS SOBRE EL ORIGEN DE LAS MATEMTICAS. El pasado 2 de marzo de 2007 concluy en Bruselas un encuentro cientfico cuya finalidad era descifrar el significado de dos huesos de 10 a 14 centmetros de largo hallados en los aos 1950 en Ishango (Repblica Democrtica del

Congo), por el profesor belga J. De Heinzelin junto a la cabecera del Nilo, y que actualmente se conservan en el Instituto Real de Ciencias Naturales de Blgica. Estos huesos se encuentran cubiertos de muescas transversales grabadas, que lo convierten en la primera herramienta conocida con huellas de razonamiento lgico, su edad se ha estimado en unos 20.000 aos. Segn los expertos que los han examinado, evidencian que los primeros sistemas numricos se inventaron en frica 15.000 aos antes de que la escritura y la numeracin aparecieran en Mesopotamia.

En un extremo del Hueso de Ishango hay una pieza de cuarzo para escribir y el hueso tiene una serie de muescas grabadas en grupos. Primero se pens que esas muescas eran algn tipo de marcas de cuentas similares a otros primitivos registros encontrados en diversos lugares del mundo. Sin embargo, el hueso de Ishango parece ser mucho ms que una simple cuenta Algunos investigadores sostienen que con las muescas de uno de los huesos pueden formarse tres grupos de cifras indicativas de la existencia de un sistema aritmtico complejo en base 10 Si las muescas las organizamos en cifras en uno de los huesos aparecen tres grupos de cifras El primer grupo es de 11, 21, 19 y 9 El segundo 11, 13, 17, y 19

El tercero 3, 6, 4, 8, 10, 5, 5, y 7 El matemtico Dirk Huylebrouck y otros expertos han hecho notar que el primer grupo se puede leer 10 + 1, 20 + 1, 20 1 y 10 1 El segundo grupo son nmeros primos y el tercero es una especie de regla de duplicacin ( de 3 a 6, de 4 a 8 , de 5 a 10 ) otros estudiosos se inclinan ms por un sistema de numeracin en base 6 12. En numerosas tribus africanas, como los yasgua de Nigeria utilizan sistemas en base 12, Con una sola mano con el dedo pulgar se van tocando cada falange de los otros dedos (del 1 al 3 en el dedo ndice, la 4, 5 y 6 del dedo medio o corazn hasta llegar a la 12 en la punta del meique, con el que llegamos a una docena) Por medio de la utilizacin de microscopios se han encontrado ms marcas y hay versiones que se inclinan en considerar a este hueso como un registro de las fases de la luna. Quin sino una mujer que hace seguimiento de sus ciclos podra necesitar un calendario lunar? Fueron las mujeres africanas nuestras primeras matemticas? Pero todava quedan muchas dudas por resolver http://revistasacitametam.blogspot.com/2008/01/un-baco-de-hace-20000aos.html

http://www.math.buffalo.edu/mad/AMU/amu_chma_09.html#beginnings

The Ishango Bone Is This The Worlds Oldest Mathematical Artefact? Most people think that the study of mathematics has its origins in Ancient Egypt and Babylonia, but this view was dramatically challenged in the 1950s with the discovery of a small animal bone, inscribed with markings that appear to represent numbers. This artefact was discovered in the small African fishing village of Ishango, on the border of Zaire and Uganda by the Belgian geologist Jean de Heinzelin. The Ishango Bone now lies at the Museum of Natural Sciences in Brussels, and has been dated to around 20,000 BC. It is thought to be the oldest mathematical artefact ever discovered. The Bone At first glance the bone appears to be a simple writing tool. It is 10 cm long, and at one end is embedded with a piece of quartz thought to be for engraving and tattooing. Closer examination reveals a series of notches running up the side of the bone, in three columns. The notches are clustered together as shown below:

The middle column begins with 3 notches, and then doubles to 6 notches. The process is repeated for the number 4, which doubles to 8 notches, and then reversed for the number 10, which is halved to 5 notches. This suggests that the layout of numbers is not purely random and instead suggests some

understanding of the principle of multiplication and division by 2. The bone may therefore have been used as a counting tool for simple mathematical procedures. This view is further supported by looking at the number of notches on either side of the central column. The numbers on both the left and right column are all odd numbers (9, 11, 13, 17, 19 and 21). Furthermore, the numbers on the left column are all prime numbers, suggesting some mathematical knowledge. The numbers on each side column add up to 60, with the numbers in the central column adding up to 48. Both of these numbers are multiples of 12, again suggesting an understanding of multiplication and division. Is this proof of mathematical insight? There are several critics who feel that the mathematical claims for the Ishango bone are exaggerated. They suggest that, as there are only 4 numbers on the left hand column of the bone, it may be just a simple coincidence that all of these are prime numbers. The most compelling aspect of their argument is the fact that there is no evidence of the knowledge of prime numbers before the Classical Greek period, at least 10,000 years later. It was suggested that the Ishango bone, instead of being a counting device, may instead be some sort of calendar, and there is some circumstantial evidence to suggest this may be the case. One of the oldest known calendars was discovered in 1940 in caves in Lascaux, France, and are consists of drawings representing the various phases of the moon. They indicate the awareness of the 29 day cycle of the moon and are the earliest known examples of a lunar calendar. These drawings were painted at around 18,000 BC, making them of a similar age to the Ishango Bone.

13 dots and an empty square. The dots represent a lunar cycle, up until the 14th day when the moon disappears from view, represented by the empty square.

A horse, and a of 29 dots. The represent the 29 of the lunar cycle.

series dots days

Lunar calendars represent one of the earliest uses of numbers by mankind, and

both the Isturitz Baton (an antler bone found in Isturitz, France engraved with markings) and the Blanchard Bone shown below (found in Abri Blanchard, France) provide examples of the use of bones as possible lunar calendars. Both of these findings can be dated to around the time of the Ishango Bone. They contain markings that coincide with 2, 4 and 5 month lunar phases, and suggestions have been made that the notches on the Ishango Bone correlate to a 6-month lunar calendar. The suggestion is further substantiated by the present day use of bones, strings and other objects as lunar calendars in African civilizations. If the Ishango Bone is indeed a lunar calendar, it would be one of the earliest examples to be unearthed outside of Europe. But most scholars do not consider recording dates to be proper mathematics. The Blanchard Bone Plaque, discovered in Abri Blanchard, France. This bone has been dated back to around 25,000 - 32,000 BCE. Calendar or Calculator? The Ishango Bone is clearly open to interpretation and there is evidence both for and against it being a calendar or some kind of mathematical device. The puzzle will only be solved if other similar items can be unearthed. Only then will we know if these notches represent dates, calculations or coincidences. http://www.simonsingh.net/The_Ishango_Bone.html MATEMTICAS DE LA PREHISTORIA En qu momento, comenz la humanidad a pensar en trminos de relaciones numricas y geomtricas? La tradicin pretende que la ciencia matemtica empez en Grecia, hacia el siglo V a.C., para no dejar a las civilizaciones anteriores ms que parcelas cuyo contenido matemtico es a la vez deslavazado y concreto. Si el origen del hombre sigue siendo todava enigmtico desde distintos puntos de vista, es sin embargo casi seguro que, hacia el ao 40 000 a.C. (hombre de Neandertal), el hombre comenz a pensar. Desde este momento, el hombre de la prehistoria adquiere conciencia del medio en el que vive y tiene que procurar, con toda urgencia, su supervivencia. Las numerosas excavaciones arqueolgicas realizadas en depsitos y sedimentos neolticos revelan ya la existencia de una industria perfeccionada y actividades sociales propias de una sociedad en marcha. Dos elementos matemticos importantes surgen en esta sociedad prehistrica: 1) un lenguaje articulado en el que hay un sistema de nmeros; 2) utensilios y construcciones en los que intervienen relaciones espaciales.

Existen algunos factores que pueden persuadirnos de que el hombre primitivo posea una cierta idea del concepto de nmero. or ejemplo, numerosas tribus primitivas que viven actualmente en Australia P y Polinesia poseen un sistema de nmeros, ms o menos elaborado. Estas tribus, que viven en la edad de piedra (varias de ellas no poseen ni agricultura, ni utensilios perfeccionados como el arco y la flecha), consiguen contar y utilizar un lenguaje de tipo descriptivo. Se conoce el descubrimiento, en Checoslovaquia, de un hueso perteneciente a un lobo joven, hueso sobre el que aparece una sucesin de cincuenta y cinco incisiones, dispuestas en dos series, por grupos de cinco. Este hueso fue descubierto en sedimentos que datan de hace aproximadamente 30 000 aos. FORMACIN DEL NMERO EN EL HOMBRE PRIMITIVO Antes de que existiese un lenguaje capaz de favorecer la comunicacin verbal, el hombre primitivo poda observar en la naturaleza fenmenos cuantitativos: un rbol y un bosque, una piedra y un montn de piedras, un lobo y una manada de lobos, etc. Esta distincin entre la unidad y la pluralidad, la estableci, sin duda, muy pronto. Igualmente, la nocin de par dos pies, dos manos, dos ojos, etc. debi llamar su atencin. A partir de estas rudimentarias observaciones, el hombre primitivo extrae gradualmente la idea de comparacin y asocia, a cada objeto observado, un signo, una cosa que le sea familiar. Puede as asociar a una coleccin de objetos observados un grupo de signos o de cosas. Esta coleccin de signos puede ser muy variada segn las tribus o pueblos primitivos: una tribu (o incluso un individuo) utilizar rayas hechas en la madera, en un hueso o en la arena; otra recurrir a un montn de guijarros o incluso a cocos; y otra preferir los gestos de la mano (posiciones de la mano sobre una parte del cuerpo) o de la cabeza; etc. La enumeracin de un grupo de objetos observados deja paso a la numeracin con la aparicin de un lenguaje articulado (escrito o hablado). Esta transicin corresponde probablemente al cambio de vida del hombre primitivo que se convierte en productor, comerciante, en vez de simple proveedor de alimento. El comerciante necesita un lenguaje articulado para conseguir vender sus productos y debe poseer un sistema de nmeros para contar. El productor evala la cantidad de objetos producidos, el nmero de corderos criados, las prdidas por robo, y todo esto presupone el conocimiento de un sistema de numeracin adecuado al tipo de vida del hombre primitivo. La numeracin presenta tambin variantes segn las tribus:

Por ejemplo, los antiguos sumerios utilizaban las palabras hombre, mujer y varios, en lugar de uno, dos y tres, respectivamente. As el hombre simboliza el nmero 1. Por matrimonio, l y su mujer representaban el nmero dos. Todo lo que sobrepasase numricamente el dos estaba simbolizado por varios. Los pigmeos de Africa utilizan el sistema repetitivo siguiente: a, oa, ua, oa-oa, para los nmeros uno, dos, tres y cuatro, respectivamente. Las tribus kamilarai de Australia utilizan tambin un sistema repetitivo: uno se dice mal; dos se dice bulan; tres es guliba; cuatro corresponde a bulan bulan; etc. No obstante, la sustitucin de los objetos por palabras del lenguaje no significa an que el concepto de nmero est en el pensamiento del que enumera. En esta fase, el hombre primitivo, que asocia a tres vacas tres palabras distintas, no puede, sin las palabras, pensar en el nmero tres. Adems, experiencias etnogrficas efectuadas con tribus primitivas han demostrado que el conocimiento de una sucesin ordenada de palabras numricas no lleva necesariamente consigo la comprensin del concepto de nmero cardinal. Eliminar el soporte material del objeto observado, para no retener ms que el elemento numrico al que corresponde en el proceso de numeracin, equivale de hecho a exigir que el observador sea capaz de abstraer. Esta etapa decisiva no se adquiere sino progresivamente y en la medida en que se distinguen dos conceptos importantes: el nmero cardinal, que proporciona la expresin cuantitativa, y el nmero ordinal, que pone de manifiesto la existencia de un primer elemento seguido de un segundo y de un tercero, etc. El hombre primitivo piensa en un nmero cuando capta bien las relaciones siguientes: 1) la naturaleza de los objetos que se van a contar no desempea ningn papel en la numeracin; 2) el orden en el que los elementos son observados no influye en el resultado final, es decir, en el nmero cardinal; 3) el ltimo elemento contado corresponde de hecho, en la medida en que slo sea necesario el resultado de la cuenta, al nmero cardinal de la coleccin. Por consiguiente, el paso difcil de dar consiste en reconocer al ltimo elemento contado como aquel que expresa cuntos elementos contiene el conjunto que se quiere contar. A qu nivel las tribus de hombres prehistricos cumplieron las condiciones antes citadas? Esta pregunta permanecer probablemente sin respuesta debido a la ausencia casi total de documentos relativos a este tipo de cuestiones. AGRUPAMIENTO DE LOS NMEROS Si los signos para representar los nmeros precedieron cronolgicamente a las palabras, el agrupamiento de

los signos (rayas verticales, guijarros, dedos de la mano, etc.) influenci sin duda, de manera directa, la base del sistema de numeracin elegido. Parece que las tribus ms primitivas utilizaron primero el agrupamiento de dos en dos, despus de cuatro en cuatro y de seis en seis. Ocasionalmente, las variantes corresponden a agrupamientos de tres en tres (tribus americanas). Un sistema muy natural y en boga corresponde a los dedos de la mano y puede as implicar agrupamientos de cinco en cinco (dedos), de diez en diez (dedos) y de veinte en veinte (dedos de los pies y de las manos). En un principio, este sistema presenta la ventaja, no solamente de preferir agrupamientos naturales y fcilmente accesibles, sino tambin de favorecer, por la disposicin de los dedos, una distincin entre nmero cardinal y nmero ordinal. Estos agrupamientos de cinco, diez y veinte objetos aparecen en varias partes del mundo. Otros agrupamientos fueron tambin utilizados por ciertas tribus primitivas, especialmente los agrupamientos de doce, de sesenta y de ocho. Documentacin sobre una investigacin emprendida por la Universidad de Stanford sobre 307 sistemas de numeracin que se encuentran en las tribus primitivas americanas. Aporta que, de estos sistemas, 146 pertenecen a los agrupamientos de diez, 106 a los agrupamientos de cinco y diez, 81 son binarios, 35 sop de base veinte y de base cinco y veinte, 15 pertenecen a los agrupamientos de cuatro, 3 son agrupamientos de tres y uno solo corresponde a la base ocho. Una vez comprendida perfectamente la nocin de agrupamiento, es natural que el hombre primitivo asigne entonces un smbolo particular al agrupamiento utilizado. Est ahora en posesin de los elementos que podr combinar para inventar su sistema de numeracin. SISTEMAS DE NUMERACIN La necesidad de un sistema de numeracin proviene de la naturaleza de las actividades propias de un pueblo primitivo. Las tribus que posean grandes rebaos domesticados o que practicaban una agricultura diversificada y desarrollada sintieron muy pronto la necesidad de elaborar un sistema que les permitiese utilizar nmeros grandes y favoreciese la invencin de un calendario. Cules son los procedimientos utilizados durante la prehistoria (o que tienen en ella su origen) y que dieron lugar a los diferentes sistemas de numeracin? Un primer procedimiento consiste en prolongar el agrupamiento aadiendo unidad a unidad. Por ejemplo, si el hombre primitivo utiliza los cinco dedos de su mano izquierda como agrupamiento, utilizar los dedos (uno a uno) de su mano derecha para prolongar la cuenta hasta diez. Otra posible

extensin consistira en utilizar los dedos de los pies. Este procedimiento, aunque muy simple, introduce dificultades enormes en el lenguaje, puesto que requiere la creacin de nuevas palabras. Otro procedimiento, mucho ms eficaz, consiste en utilizar el principio de la repeticin en la numeracin de los objetos contados. Por ejemplo, en base tres, los pigmeos de Africa emplean el sistema repetitivo siguiente: 1, 2, 3, 4, 5 y 6 se corresponden con a, oa, ua, oa-oa, oa-ua y ua-ua. Al hombre primitivo, que utiliza una mano-de cinco dedos como base, le es suficiente aadir la otra mano para contar hasta diez; despus, una segunda persona registra las cuentas de diez a veinte,y as sucesivamente. Una variante consiste en utilizar los diez dedos como base y proceder as de la misma forma que antes. Este procedimiento est catalogado como sistema aditivo no posicional; su principal defecto es que utiliza un gran nmero de smbolos. El tercer mtodo, muy poco empleado durante la prehistoria, se basa esencialmente en el principio de la posicin. Cualquier smbolo posee el valor indicado por la posicin que ocupa en la sucesin de smbolos que representa un nmero u otro. El ejemplo por excelencia de este tipo de sistema, llamado sistema posicional, es nuestro sistema decimal. El desarrollo de los sistemas de numeracin de la poca prehistrica no fue, probablemente, ms all del tipo aditivo no posicional. No obstante, esto no impidi a los hombres primitivos establecer los primeros elementos de una aritmtica prctica y de una geometra orientada a la medicin de reas y volmenes. Con la aparicin del comercio, la industria y la agricultura, el hombre primitivo debe no solamente saber contar, sino tambin ser capaz de hacer un balance de sus actividades comerciales. Los mtodos primitivos varan enormemente cuando se trata de registrar las diversas formas de actividad econmica: marcas en la madera, nudos en una cuerda, grupos de guijarros o de cocos, rayas en papiros o en tablillas de arcilla, etc. Y hacer el balance implicaba necesariamente conocer las reglas elementales de clculo numrico. No era cuestin en aquella poca de utilizar nmeros que no fuesen los naturales. Los nmeros enteros, racionales, irracionales, complejos. por no citar ms que stos, son invenciones de nuestra era. GEOMETRA EMPRICA. La adquisicin de los rudimentos del clculo aritmtico da lugar a la medicin de longitudes, reas y volmenes. Las unidades de medicin se eligen con frecuencia entre las partes del cuerpo humano: el dedo, el pie, el pulgar, la mano, el antebrazo. Los volmenes se miden con ayuda de cestos o de conchas de tamao standard. La construccin de las casas se lleva a cabo con ayuda de reglas que garantizan la existencia de lneas y ngulos

rectos. La geometra que se utiliza es emprica y est esencialmente dirigida a un fin utilitario o ritual. La justificacin de las reglas utilizadas y de las convenciones elegidas es inexistente, por lo menos en los documentos recogidos sobre esta poca. La geometra aparece tambin en las pinturas y motivos dibujados por estos pueblos primitivos. Una gran riqueza de figuras geomtricas se encuentra en vasos, cestos, muros de cavernas. Son abundantes los ejemplos de semejanza y de distintas formas de simetra en las decoraciones del Neoltico. La imaginacin geomtrica de estos pueblos es de una riqueza difcil de sospechar. Hay que mencionar tambin que el desarrollo de las matemticas estuvo en esta poca muy influenciado por la astronoma. Los pueblos primitivos posean ciertos conocimientos relativos al sol, la luna y las estrellas. Adems, un pueblo agrcola deba llevar la cuenta de los das y de las noches, as como de las distintas estaciones. Los pueblos primitivos adoptan casi todos un calendario lunar con el fin de diferenciar los aspectos cambiantes de la vegetacin y poseer unidades de tiempo tiles y convenientes. Por ltimo, es indispensable subrayar la influencia de la religin sobre la vida primitiva, tanto en el plano espiritual como en el de las acciones diarias del hombre primitivo. Incluso si la civilizacin se estableci sobre un soporte religioso inherente a prcticas rituales, se debe, no obstante, considerar cul fue el papel de la prctica religiosa del hombre primitivo en su concepcin del nmero. Es muy probable que el desarrollo de las matemticas pudiese haber estado influenciado, en sus orgenes, por las prcticas religiosas; en particular, el concepto de nmero y la geometra del hombre primitivo reflejan aspectos ligados al mbito religioso. RESUMEN Las civilizaciones de la poca neoltica o prehistrica, caracterizadas por la caza y una agricultura y un comercio rudimentarios, manifestaron inters por el nmero y la geometra emprica. Este comienzo de las matemticas fue originado por las necesidades de su vida social y econmica, y estuvo influenciado tambin por la religin y la magia. Los hombres primitivos desarrollaron sistemas de numeracin (de tipo aditivo no posicional) que les permitan efectuar clculos elementales con nmeros naturales (adicin, sustraccin, multiplicacin). La geometra emprica del hombre primitivo se reduce a algunas reglas para medir longitudes y volmenes. Los dibujos de rico colorido contienen figuras geomtricas en las que predomina la simetra. La mayora de los pueblos primitivos inventaron un calendario lunar. Bibliografa:

Jean-Paul Collete Historia de las matemticas. Siglo XXI. Jos Luis Carlavilla y Gabriel Fernndez Historia de las Matemticas.Proyecto Sur. http://iesciezadeleon.juntaextremadura.net/descargas/hojamatematica01dic200 9.pdf Las matemticas vienen de frica Los expertos discuten sobre los huesos de Ishango, dos 'bacos' de hace 20.000 aos Dos huesos conservados en el Instituto Real de Ciencias Naturales de Blgica indican, segn los cientficos que los han examinado, que los primeros sistemas numricos se inventaron en frica hace 20.000 aos, es decir, 15.000 aos antes de que la escritura y la numeracin aparecieran en Mesopotamia como culminacin de la revolucin neoltica que propag la civilizacin moderna. Los huesos, de 10 a 14 centmetros de largo y cubiertos de muescas transversales, han protagonizado una reunin cientfica para intentar descifrar su significado, que concluye hoy en Bruselas. Fueron hallados en los aos cincuenta en Ishango (Repblica Democrtica de Congo), junto a la cabecera del Nilo. Aunque no pueden datarse directamente por carbono 14, los estratos circundantes indican una edad cercana a los 20.000 aos. Si las muescas se agrupan en cifras, en uno de los huesos aparecen tres grupos de cifras. El primer grupo es 11, 21, 19 y 9; el segundo es 11, 13, 17 y 19, y el otro es 3, 6, 4, 8, 10, 5, 5 y 7. El matemtico Dirk Huylebrouck y otros expertos han hecho notar que el primer grupo puede leerse como: 10+1, 20+1, 20-1 y 10-1; que el segundo grupo est formado por nmeros primos, y que el tercero parece seguir ms o menos alguna regla de duplicacin (de 3 a 6, de 4 a 8, de 5 a 10). Estos expertos ven ah una indicacin de un sistema aritmtico complejo en base 10, aunque no logran determinar exactamente de qu tipo. De hecho, otros estudiosos han combinado las muescas y los grupos de muescas de otras formas para proponer un sistema de numeracin en base 6 o 12. Esta hiptesis viene apoyada por la observacin de que muchas poblaciones africanas actuales, como los yasgua de Nigeria, utilizan sistemas de base 12 (en la lengua de los yasgua, "13" se dice "12+1"). Viene en apoyo de esta teora una manera de contar habitual en la antigedad. Con una sola mano, el pulgar va tocando cada falange de los dems dedos (1, 2, 3 en el ndice; 4, 5, 6 en el dedo medio, etctera). Al llegar al 12 (la punta del meique), se apunta una docena con un dedo de la otra mano y se vuelve a empezar. Es un sistema muy til para contar con los dedos hasta 72 (seis docenas), y naturalmente est en base 12 (4 por 3 falanges). En el poblado de Vestonice, en Moravia, en Checoslovaquia se descubre una quijada de lobo con ms de 20,000 aos de antigedad. Tiene 55 marcas en grupos de 5. Es la primera evidencia de un sistema de numeracin.

The bone owes its name to the site where it was discovered.

Ishango is in Congo, only 15 km far from of the Equator, on bank of the Edward lake. This large Africa lake, one of the sources of the Nile, is 77 km long and 42 km broad. The area is close to the Virunga National park and the border Congo - Uganda. In the surroundings, the eternal snow of Ruwenzori culminates to 5.109 m. Jean de Heinzelin de Braucourt 6 August 1920 - 4 November 1998 Jean de Heinzelin was a geologist. A kind of a modern adventurer, Jean de Heinzelin was a field worker and a remarkable observer. Africa was his main area of work, but he also took part in various expeditions in Europe, the United States and the Middle East. From 1946 onward, he was associated with the Royal Belgian Institute for Natural Sciences. At the Universities of Ghent and Brussels, he imparted his knowledge enthusiastically to students. A chance in his career - the Ishango Bone discovery - brought him international fame. D. Huylebrouck, ``L'Afrique, berceau des mathematiques'', in Mathematiques exotiques Dossier No. 47, Pour La Science (2005) 46 50 2 G. G. Joseph, The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics London: Penguin Books (1992). 3 A. Marshack, The Roots of Civilization Mount Kisco (1991) 4 D. Olivastro, ``The First Etches'' Ancient Puzzles New York: Bantam Books (1993): 7 - 30 5 V. Pletser & D. Huylebrouck, ``The Ishango artifact: the missing base 12 link'', Proc. Katachi Univ. Symmetry Congress (KUS2), Paper C11, (1999) 339 - 346. 6 Claudia Zaslavsky, Africa Counts New York: Lawrence Hill Books (1973) The most interesting, of a large number of tools discovered in 1960 at Ishango, is a bone tool handle called the Ishango Bone (now located on the 19th floor of the Royal Institute for Natural Sciences of Belgium in Brussels, and can only be seen on special demand). At one end of the Ishango Bone is a piece of quartz for writing, and the bone has a series of notches carved in groups (shown below). It was first thought these notches were some kind of tally marks as found to record counts all over the world. However, the Ishango bone appears to be much more than a simple tally. The markings on rows (a) and (b) each add to 60. Row (b) contains the prime numbers between 10 and 20. Row (a) is quite consistent with a numeration system based on 10, since the notches are

grouped as 20 + 1, 20 - 1, 10 + 1, and 10 - 1. Finally, row (c) seems to illustrate for the method of duplication (multiplication by 2) used more recently in Egyptian multiplication. Recent studies with microscopes illustrate more markings and it is now understood the bone is also a lunar phase counter. Who but a woman keeping track of her cycles would need a lunar calendar? Were women our first mathematicians? The following dating information was sent by email from Professor Charles Finch: The site where the Ishango Bone was found was re-dated by Alison Brooks more than a dozen years ago and found to be 25,000 years old rather than the original estimate of 8,500 years. However, the Lembombo Bone in Swaziland is still 10,000 years older, consistent with iron ore mining there going back 43,000 years ago. Proto-mathematics begins in Paleolithic Central and Southern Africa. references: 1. Shreeve, "The Dating Game," Discover, September 1992, pp. 76-83. 2. Alison Brooks, "Dating and Contex of Three Middle Stone Age Sites with Bone Points in the Upper Semliki Valley, Zaire," Science, 4/28/95, pp. 548-52. 1. AMUCHMA-NEWSLETTER-9: AMUCHMA NEWSLETTER #9 2. J. De Heinzelin, Ishango, Scientific American, 206:6 (June 1962) 105-116. 3. J. Shurkin, Engines of the mind: a history of the computer, W. W. Norton & Co., 1984., p21 4. J. Bogoshi, K. Naidoo and J. Webb, The oldest mathematical artifact, Math. Gazette, 71:458 (1987) 294. 5. Claudia Zaslavsky, Women as the First Mathematicians, the Women in Mathematics Education Newsletter,Volume 7 Number 1, January 1992. http://www.abibitumikasa.com/forums/afrikan-mathematical-scientifictechnological-systems/36803-ishango-bone.html