1.1 Introducción. En esta sección se estudiarán los diferentes métodos de resolver sistemas de ecuaciones lineales.

Una ecuación de la forma  se le llama ecuación lineal de las variables x e y

Definición:  Una ecuación lineal en las variables es una ecuación que se puede expresar en la forma:  

Definición:  La solución de una ecuación lineal es el conjunto de de números  que hacen que la ecuación se satisfaga cuando

Definición:  Un conjunto de ecuaciones lineales en las variables  se le denomina sistema de ecuaciones lineales.   

Ejemplos de ecuaciones lineales:

   

1.2 Solución de un sistema de ecuaciones lineales. 

Definición:  La solución de un sistema de ecuaciones lineales es el conjunto de números  que satisfacen simultáneamente a todas las ecuaciones que forman el sistema cuando

Ejemplo1:

En el sistema  la solución es la pareja ordenada (2,1) o también

Ejemplo 2:

En el sistema  la solución es la terna ordenada

1.3 Sistemas consistentes e inconsistentes. Los sistemas de ecuaciones se clasifican de acuerdo al número de sus soluciones: 

1.     Inconsitente. Cuando el sistema No tiene solución.2.     Consistente. Cuando el sistema Tiene solución.

a.     Consistente determinado. Única solución.b.     Consistente indeterminado. Infinitas soluciones.

 Ejemplos: Dados los sistemas siguientes en las variables x , y

a) inconsistente. No tiene solución.

b)    consistente determinado. Única solución.

c)  consistente indeterminado. Infinitas soluciones.

a) Inconsistente Las rectas son paralelas, por lo tanto no se intersecan.

b) Consistente determinado Las rectas      coinciden en un punto.

c) Consistente indeterminadoLas rectas coinciden en todos sus puntos.

En general, dado un sistema de dos ecuaciones lineales en las variables x, y

1

 

Al resolver el sistema por cualquiera de los métodos se obtiene:

El sistema tiene solución única  si y solo si  No tiene solución o tiene un número infinito de soluciones si y solo si

1.4 Matriz aumentada. En general, un sistema de m ecuaciones lineales en n incógnitas se puede escribir en la forma donde

 son las incógnitas y las letras a y b con sus subíndices representan constantes.

 Los números m y n pueden ser: m > n, m = n ó m < n.

Este sistema puede escribirse abreviadamente mediante un arreglo rectangular de números llamada matriz

ampliada o aumentada de la siguiente forma:

Por ejemplo la matriz ampliada o aumentada del sistema

es

El método básico para resolver un sistema de ecuaciones lineales es sustituir el sistema dado por un nuevo

sistema que tenga el mismo conjunto solución pero que sea más fácil de resolver. Este nuevo sistema se dice

que es equivalente al dado y se obtiene mediante la aplicación de tres tipos de operaciones efectuadas en los

renglones de la matriz aumentada:

i)           Multiplicar un renglón por una constante diferente de cero.ii)         Intercambiar dos renglones.iii)       Sumar un múltiplo de un renglón a otro renglón.                A estas tres operaciones se les llama operaciones elementales en los renglones.Ejemplo:

Dado el sistema y su matriz aumentada conviértelo en un sistema equivalente efectuando las operaciones elementales en los renglones.

Solución: Multiplicando el primer renglón por (- 2) y sumándoselo al segundo y enseguida el primero por ( -3 ) y sumándoselo al tercero:

2

Multiplicando el segundo por :

Multiplicando el segundo por ( 4 ) y sumándoselo al tercero:

Multiplicando el tercero por se tiene

Obteniéndose el sistema equivalente

Luego, como , se sustituye este valor en la segunda ecuaciónA continuación, sustituyendo los valores de  en la primera ecuación

Finalmente, el conjunto solución es Esquemáticamente

1.5 Eliminación Gaussiana. Anteriormente

a uno equivalente

 efectuando operaciones elementales por renglones obteniéndose la matriz

que tiene la forma de una matriz escalonada por renglones.

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Definición: Una matriz está escrita en forma escalonada reducida por renglones si cumple las siguientes

condiciones:

 i)           Si hay un renglón que consta completamente de ceros, deberá estar en la parte inferior de la matriz.

ii)         Si un renglón no consta completamente de ceros, el primer numero diferente de cero de cada renglón (Empezando por la izquierda), deberá ser 1(Llamado 1 principal).

iii)       Si dos renglones consecutivos tienen elementos diferentes de cero, entonces el 1 principal del renglón de inferior está más a la derecha que el 1 principal del renglón superior.

iv)       Cada columna que contenga un 1 principal, tiene ceros en todas las demás posiciones de dicha columna.

Definición: Una matriz está escrita en forma escalonada por renglones si cumple las tres condiciones

( i ) , ( ii ), ( iii ) de la definición del párrafo anterior.

 Los siguientes son ejemplos de matrices escalonadas por renglones:

 Los siguientes son ejemplos de matrices escalonadas reducidas por renglones:

La eliminación Gaussiana  o Método de Gauss para resolver  un sistema de ecuaciones lineales consiste en

convertir la matriz de coeficientes a la forma escalonada por renglones, despejar el valor de la última incógnita y

luego a partir de ésta resolver hacia atrás para encontrar el valor de las demás incógnitas.

Ejemplo 1:

Encuentre la solución del sistema

Solución:

Escribiendo la matriz aumentada y luego escalonándola por renglones se tiene

El valor de la última incógnita es .Luego procediendo hacia arriba, se tiene

Ejemplo 2:Resuelve el siguiente sistema:

Solución:

Escribiendo la matriz aumentada y luego escalonándola por renglones

4

 Luego, procediendo como en el caso anterior, se llega a la solución del sistema:

 

Por lo tanto, se trata de un sistema consistente determinado. Ejemplo 3:

Resuelve el sistema

Solución:

De nueva cuenta, escribiendo la matriz aumentada y luego reduciéndola por renglones

Luego, el sistema equivalente obtenido es:

Resolviendo las ecuaciones desde la última hacia arriba:

 

Puede observarse que el sistema es consistente indeterminado, esto es, el sistema tiene un número infinito de

soluciones que dependerán del valor que se le asigne arbitrariamente a , por lo tanto el conjunto solución

está dado por:

Ejemplo 3:Resuelva el sistema:

5

Solución: Procediendo como en los casos anteriores

Luego el sistema equivalente obtenido tiene la siguiente forma:

Se observa que el sistema es inconsistente, pues no existe un valor   que multiplicado por 0 produzca – 5.

1.6 Eliminación de Gauss-Jordan. Como se mencionó en el capítulo anterior, una matriz está escrita en forma escalonada reducida por renglones

si cumple las condiciones

 i)           Si hay un renglón que consta completamente de ceros, deberá estar en la parte inferior de la matriz.

ii)         Si un renglón no consta completamente de ceros, el primer numero diferente de cero de cada renglón (Empezando por la izquierda), deberá ser 1(Llamado 1 principal).

iii)       Si dos renglones consecutivos tienen elementos diferentes de cero, entonces el 1 principal del renglón de inferior está más a la derecha que el 1 principal del renglón superior.

iv)       Cada columna que contenga un 1 principal, tiene ceros en todas las demás posiciones de dicha columna. La eliminación de Gauss-Jordan o Método de Gauss-Jordan para resolver un sistema de ecuaciones lineales

consiste en convertir la matriz aumentada en una matriz reducida por renglones y a partir de ésta interpretar

directamente la solución del sistema.

Ejemplo 1:Encuentra la solución del sistema

Solución: Escribiendo la matriz aumentada y luego reduciéndola por renglones se tiene:

El sistema equivalente obtenido tiene la forma

 

 Por lo tanto la solución del sistema es:  

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Ejemplo 2: Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

 Solución: Escribiéndolo en la forma escalonada reducida por renglones:

 

Despejando la primera incógnita de cada una de las ecuaciones:

 Puede observarse que el valor de estas incógnitas dependen del valor que se le asigne arbitrariamente a , por lo tanto el sistema es consistente indeterminado, pues tiene un número infinito de soluciones que están representadas por

1.7 Sistemas homogéneos.  Un sistema de ecuaciones lineales es homogéneo, si todos los términos independientes son nulos.

 Consideremos el siguiente sistema homogéneo de m ecuaciones con n incógnitas:

Todo sistema de ecuaciones lineales homogéneo es consistente, pues al menos siempre habrá valores

 que satisfagan el sistema. A esta solución se le denomina solución trivial .

Un sistema homogéneo tiene dos posibilidades:

Consistente determinado: Solución trivial.

Consistente indeterminado: Un número infinito de soluciones.

Para Resolver un sistema homogéneo se le aplica el Método de Gauss o bien el de Gauss-Jordan.

Ejemplo 1: Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:

Solución: Escribiendo la matriz aumentada y luego reduciéndola por renglones se tiene 

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Por lo tanto se obtiene la solución trivial

Ejemplo 2: Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:

Solución: De nuevo, escribiendo la matriz aumentada y luego reduciéndola por renglones 

  Note que ↑ esta matriz tiene un renglón de ceros, por lo tanto podemos

prescindir de él.

Despejando la primera variable del sistema equivalente:

Por lo tanto el sistema tiene un número infinito de soluciones que está representado por

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