Ia unidad ii_sem2_2012

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2.1 Mapas conceptuales

2.2 Redes semánticas.

2.3 Razonamiento

monótono.

2.4 La lógica de predicados:sintaxis, semántica, validez einferencia.

2.5 La demostración y susmétodos.

2.6 El método de Resoluciónde Robinson

2.7 Conocimiento no-monótono

y Otras lógicas.

2.8 Razonamiento probabi-lístico.

2.9 Teorema de Bayes.

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Ahora, lo que nos interesa, es larepresentación del conocimiento,

es decir,

la modelización del conocimiento,tratando de encontrar la forma demodelizar que sea apropiada para eltratamiento computacional de lainferencia.

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Hemos visto,• Definiciones, modelos y teorías acerca del concepto de inteligenciahumana,

que involucra

• Modelos de adquisición deconocimiento

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En organismos biológicos se estima que el conocimiento esalmacenado como estructuras complejas de neuronasinterconectadas.

En las computadoras, el conocimiento también se almacenacomo estructuras simbólicas, pero en forma de estadoseléctricos y magnéticos

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En forma natural, el ser humano representa el conocimientosimbólicamente: imágenes, lenguaje hablado y lenguaje escrito.

Adicionalmente, ha desarrollado otros sistemas de representacióndel conocimiento: literal, numérico, estadístico, estocástico, lógico.

Además, se debe considerar que el conocimiento puedes estar incompleto.

http://www.monografias.com/trabajos15/todorov/todorov.shtml

http://www.monografias.com/trabajos15/computadoras/computadoras.shtml

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Orientaciones:

• Conexionista: para describir el comportamiento inteligente semodelizan sistemas neuronales

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• Simbólica: la descripción del comportamiento inteligente se basa ensistemas simbólicos, más o menos formalizados

Formalismos de representación

• Mapas Conceptuales

•Redes semánticas y causales (bayesianas)

• Frames (marcos) y guiones

• Lógicas• clásica,

• multivaluadas,

• modales y

• difusa

• Reglas de producción •con incertidumbre -MYCIN

•Redes neuronales y sistemas neurodifusos.

•Otros

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Los mapas conceptuales se empezaron a utilizar

•En la didáctica para las disciplinas científicas [Novak,1984]•Término concept map

•"un dispositivo esquemático que representa unconjunto de significados conceptuales incluidos en unaestructura de proposiciones".

Ventajas

Método que

•Ilustra gráficamente las relaciones entre la información.

• Motiva la comprensión al ayudar a los estudiantes a organizar ymejorar sus conocimientos sobre cualquier tema.

•Ayuda a los estudiantes a aprender nueva información integrando cadaidea nueva en sus áreas existentes de conocimiento.

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http://www.hipertexto.info/documentos/maps_concep.htm

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Un mapa conceptual

es una técnica sencilla que permite representar el conocimiento deforma gráfica como redes conceptuales compuestas por

• nodos que representan los conceptos, y

•enlaces, que representan las relaciones entre los conceptos

Esto es:

• En un mapa conceptual, se vinculan dos o más conceptos por palabras quedescriben sus relaciones.

Para formar un mapa conceptual

• se parte de un concepto central y

• se plasman alrededor los conceptos relacionados,

• estos, a su vez,

•se pueden presentar en relación a otros conceptos.

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Mapa conceptual. Fuente: Emilio Sáez Soro. La invención del ordenador.

http://apolo.uji.es/Emilio/IS/tema1-4.html

La noción de mapa conceptual precisa de tres niveles de análisis:

1. desde una perspectiva abstracta un mapa conceptual muestra cómolos nodos unidos por arcos pueden verse como representaciones degrafos, usando el término tal y como se define en matemáticas;

2. desde la perspectiva de visualización un mapa conceptual puedeverse como diagramas, usando el término para significar un dibujoque utiliza una semiótica razonablemente bien entendida paraalguna comunidad;

3. desde la perspectiva del discurso (lenguaje) un mapa conceptualpuede verse como un modo de representar la comunicación delconocimiento por medio de un lenguaje visual.

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Cada perspectiva tiene aspectos comunes y diferentes entre sí.

La perspectiva abstracta

Considera la estructura básica de los datos de un mapa conceptual como un hipergrafo clasificado que consta de nodos,

• algunos de los cuales se unen,

• cada nodo tiene

• un tipo,

• un identificador único y

• un contenido (que puede ser estructurado, por ejemplo, como una etiqueta más otros datos).

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Cada perspectiva tiene aspectos comunes y diferentes entre sí.

La perspectiva abstracta…

un nodo puede incluir otros nodos

• que dan al grafo una estructura de hipergrafo

• en el que un solo enlace puede conectar un conjunto de nodos.

• los enlaces pueden ser

• dirigidos (líneas entre nodos con cabezas de flecha) o

• no dirigidos (líneas entre nodos sin cabezas de flecha)

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La perspectiva de visualización

•Considera representar una relación constante entre

• los rasgos visuales como signos y

• su infraestructura semiótica,

• los atributos visuales de nodos y enlaces tienen que darse

•en una correspondencia única de uno a uno con sus tipos.

•

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Perspectiva de discurso

•Considera la estructura abstracta representada como

• un diagrama en términos visuales se entiende como una forma derepresentar la comunicación del conocimiento porque está sujeto a lainterpretación por alguna comunidad de referencia.

• En esto hay un paralelismo exacto entre

• el lenguaje natural y

• el lenguaje visual

es decir,

• las estructuras abstractas gramaticales y

• sus expresiones en un medio

toman el significado sólo por las prácticas de una comunidad de discurso.

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Perspectiva de discurso…

• Algunas comunidades pueden encontrar que de esta forma se asigna • un uso del lenguaje de una manera

• laxa y

• asociativa,

• mientras que otras comunidades •pueden creer que se usa con gran precisión técnica.

•De cualquier forma, siempre puede mezclarse este uso con sublenguajes•informales y

•formales combinados con el discurso real.

•

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Ejemplo de un mapa conceptual que representa el concepto demembrana celular.

.

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Generación de mapas conceptuales

Los mapas conceptuales pueden ser generados • manualmente por un usuario que introduzca los datos, • pero existen ya numerosas herramientas que los hacen de forma

• automática o •semiautomática.

También existen otros métodos que generan los mapas conceptuales a partir de documentoso hipertextos existentes.

Tarea: hacer un mapa conceptual del tema LA HIST

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ÓRIA DE LA IA

Programas específicos para generar mapas conceptuales son, por ejemplo,

• Knowledge Manager http://www.knowledgemanager.it/, • MindMapper http://www.mindmapper.com/ o • FreeMind http://freemind.sourceforge.net/wiki/index.php/Main_Page, •http://www.youtube.com/watch?v=S70wIB0EBEo&feature=related

http://www.knowledgemanager.it/

http://www.mindmapper.com/

http://freemind.sourceforge.net/wiki/index.php/Main_Page

http://www.youtube.com/watch?v=S70wIB0EBEo&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=S70wIB0EBEo&feature=related

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En Inteligencia Artificial, Quillian desarrolló una forma de mapaconceptual que se denominó redes semánticas y que se usaampliamente para la representar el conocimiento formal.

Quillian'66

• Modelo de memoria humana para capturar la semántica de las palabrasy lograr uso del significado parecido a los humanos.

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http://www.hipertexto.info/documentos/maps_concep.htm

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Definición:

Representación declarativa de objetos, atributos y relaciones

Realmente

es una estructura de datos sofisticada y mucho depende delprograma que la mantiene y la usa.

Se llama red semántica porque

se usaron originalmente para representar el sentido en expresiones delenguaje natural.

Redes Semánticas (R. Quillian, 1968)

Utilidad:

• representación en procesamiento de lenguaje natural

• formalismo muy limitado para dominios más complejos

• limitado para tratar con formas de inferencia sofisticada

• precursor de las frames

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Una red semántica se representa como un grafo dirigido etiquetado (enalgunos casos se exige que dicho grafo sea aciclico), constituido por:

• Nodos:

• representan conceptos (un objeto individual o una clase de objetos,conceptos, propiedades o situaciones )

• son llamados atributos

•Arcos:

•representan relaciones binarias entre los conceptos (es_un, parte_de,tiene, etc.)

•Herencia:

•de propiedades como mecanismo inferencial básico

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Donde:

• Los nodos: conceptos de palabras (entidades, atributos , sucesos y estados)

• Los arcos: ligan conceptos para establecer la definición (asocian conceptos)

•Etiquetas: identifica el tipo de relación (espacial, temporal, causal, rol desempeñado)

• Cada palabra o nodo conceptual se consideraba la cabeza de un ``plano'‘• que tiene su definición • e.g., si banco tiene 3 significados, entonces

•existen 3 planos para él

• Las ligas en el plano representan su definición.

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Ejemplo

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Ejemplo

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•El error más común es usar la liga es-un para representar pertenencia a unaclase y propiedades de una clase,

• e.g. Existen propiedades que no se heredan a los miembros de la clase,

•e.g., Se pueden hacer preguntas como,

•Qué es lo que Piolín tiene? O

•Quién es una ave?

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Ejemplo

• "El corazón es partedel sistemacardiovascular"

• "Las arterias sonparte del sistemacardiovascular"

• "Las arterias grandesson arterias“

• "La aorta es unaarteria"

Pueden existir apuntadores o ligas principales a:

• superclases (is-a),•las clases de ``arriba'' están definidas en términos de conceptos generales quese asumen que se cumplen en todas sus subclases

• modificaciones, propiedades particulares de conceptos específicos

•disjunciones, conjunciones y sujeto/objeto.

• Los apuntadores fuera del plano hacen referencia a otros objetos (yplanos) en donde se definen.

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Ejemplo

• "Las arterias pequeñas•son arterias“

• "La arteria branquializquierda es una arteriagrande"

Puede existir

Herencia

•es el mecanismo de razonamiento utilizado en redes semánticas

Esto es

• Herencia: cuando un concepto (nodo) hereda las propiedades de losconceptos "más altos en la jerarquía" a través de las relaciones subclase-de einstancia-de.

e.g.,

• un canario

• es un animal, y

• herencia de propiedades e.g.,

• un canario come

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Ejemplo

•“ Un vaso sanguíneo esparte del sistemacardiovascular”

•“Las arterias son vasossanguíneos”

•"Las arterias contienensangre rica en oxigeno“

•"Las arterias tienen paredmuscular“

•"La arteria pulmonarizquierda es una arteriagrande"

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Ejemplo

A partir de la red semántica podemos deducir:

•“Las arterias grandes sonricas en oxigeno” / “Lasarterias grandes tienenpared muscular” /

•"La aorta contiene sangrerica en oxigeno" / "La aortatiene pared muscular"

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Excepciones en la Herencia

a) No heredar propiedades queproducen inconsistencias.

"La arteria pulmonar izquierdacontiene sangre pobre en oxigeno“

“La arteria pulmonar izquierdatiene pared muscular y es rica enoxigeno

La propiedad “las arteriastransportan sangre rica enoxigeno” no debe ser heredada(excepción) por la arteriapulmonar izquierda.

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Excepciones en la Herencia

Una posible solución es:

- almacenar la propiedadcomo información explícitaen cada concepto en el quese cumple la propiedad,

-eliminando la propiedadgeneral.

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• Representación de conocimiento la cual podemos analizarla desde 4

puntos:

1. Léxicamente:

nodos, enlaces y etiquetas de enlace.

2. Estructuralmente:

cada enlace conecta dos nodos.

3. Operativamente:

constructores, lectores, etc.

4. Semánticamente:

los nodos y enlaces representan entidades de aplicación especifica.

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• Varios subtipos:

– Espacio de estados,

– árboles de búsqueda,

– árboles de decisión y

– árboles de juegos

– entre otros.

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Redes Semánticas Extendidas

• Las Redes Semánticas Extendidas (A. Deliyanni y R. A. Kowalski):

– formalismo de representación alternativo a la forma clausal de la lógica conla restricción de solo poder utilizar símbolos de predicado binarios.

• Debido a la equivalencia sintáctica entre redes semánticas extendidas yla forma clausal de la lógica,

– las reglas de inferencia definidas para la forma clausal de la lógica puedenser aplicadas para manipular arcos y nodos de una red semánticaextendida.

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Redes Semánticas Extendidas

Un predicado binario puede ser traducido en una red en la que:

• los nodos representan términos

• el arco representa la relación (predicado)

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• Pruebas:

• dar dos palabras y buscar intersecciones en las redes,

•para obtener la relación (cosas en común) entre ellas.

•Esta activación de todo lo que rodea a una palabra se espera querepresente la definición completa de un concepto.

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SCHOLAR

SCHOLAR (Carbonell): una red semántica para enseñar la geografía desudamérica.

•Carbonell distingue entre: unidades conceptuales (clases) y unidadesde ejemplos (instancias).

•Explota el uso de etiquetas (tags). e.g., la etiqueta de irrelevanciaaumenta la distancia semántica y guía hacia los atributos másrelevantes.

•También utilizó etiquetas temporales y permitió ponerprocedimientos mezclados dentro de la red (i.e., para inferir hechos).

Ejemplos de Algunos Sistemas

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ARCH

Winston: sistema para aprender conceptos de estructuras físicas a partirde ejemplos de estructuras descritos en forma de redes.

•El proceso de generalización permite cambiar relaciones entre objetos.

•Problema de los 3: uniformidad, i.e., no se distingue entre propiedadesgenerales o específicas del dominio.

•Estructuras de casos: Fillmore concentró el trabajo en lenguaje natural yverbos.•Oración: modalidad (captura información del tiempo, modo, aspecto)acoplada con una proposición (verbo con casos).

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ARCH

Otros trabajos:

• Rumelhart et al.,• Shank (dependencias conceptuales).

Desafortunadamente

• poca semántica (falta reconocimiento explícito de los principios fundamentales deldiseño de la representacion).• poco entendibles,• muy uniformes (no había distinción entre superset y member).

Shapiro: distingue conceptos relacionales (e.g., amar se representa como un nodo).

Hendrix utiliza particiones (grupos de nodos).

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Existen sistemas de razonamiento (Monótono y No-monótono), los cuales sonutilizados para inferir conclusiones a partir de información dada, y sonrepresentados por medio de programas lógicos.Razonamientos monótonos: lógica proposicional, Deducción lógica y Lógica deprimer Orden.

La mayoría de los sistemas lógicos tienen una relación de consecuenciamonotónicalo que quiere decir que el agregar una fórmula a una teoría nunca seproduce una reducción de su conjunto de consecuencias. Intuitivamente, lamonotonicidad indica que el agregar nuevos conocimientos no se reduce elconjunto de las cosas conocidas

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Razonamiento Monotóno

El razonamiento monótono, es el que utiliza contradicciones para procesar. Elimina un hecho (factor de conocimiento) obteniendo la contradicción hasta que llega a una conclusión final.

EJEMPLO:

“Cuando se ve a una persona tirando basura en la calle y pensamos en lo mal que se ve, la criticamos, pero cuando realizamos el mismo acto sin pensar, caemos en una contradicción y concluimos que somos igual a la persona que estaba tirando basura en la calle”.

El razonamiento monótono es parte de la lógica clásica y abarca temas de la misma los cuales son: Lógica Proposicional, Deducción Lógica y Lógica de Primer Orden.

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http://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmula_bien_formada

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Lógica proposicional

La lógica proposicional es un sistema formal diseñado para analizar ciertos tipos de argumentos. En la lógica proposicional, las fórmulas representan proposiciones y las constantes lógicas son operaciones sobre las fórmulas que producen otras fórmulas de mayor complejidad. Como otros sistemas lógicos, la lógica proposicional intenta esclarecer nuestra comprensión de la noción de consecuencia lógica para el rango de argumentos que analiza.

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La lógica proposicional es la parte de la lógica que estudia la formación de proposiciones complejas a partir de proposiciones simples, y la inferencia de proposiciones a partir de proposiciones, pero sin tener en cuenta la estructura interna de las proposiciones más simples.[1]

Una lógica proposicional es un sistema formal cuyos elementos más simples representan proposiciones, y cuyas constantes lógicas, llamadas conectivas, representan operaciones sobre proposiciones, capaces de formar otras proposiciones de mayor complejidad.[2]

http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica

http://es.wikipedia.org/wiki/Proposici%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Inferencia

http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_formal

http://es.wikipedia.org/wiki/Constante_l%C3%B3gica

http://es.wikipedia.org/wiki/Operaci%C3%B3n_matem%C3%A1tica

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Deducción lógica

La deducción lógica consiste en que a partir de unas premisas, representadas consímbolos, y a través de unas reglas, obtenemos una conclusión (deducimos laconclusión).De manera general, en lógica se considera siempre un conjunto (conjunción) deproposiciones P= { C 1 , C 2 ,..., C n } que constituirán lo que se denomina unateoría, una base de conocimientos o un programa lógico. El objetivoes establecer que una cierta proposición T es una consecuencia lógica (esdeducible) (es un teorema) de P lo cual denotaremos por:C1, C2,…, Cn |= TSe lee T es una consecuencia lógica de C1, C2,…, Cn.Sea, P1, P2, P3,…, Pn |= QSe define como correcta, cuando no existe ningunainterpretación que simultáneamente haga P1, P2, P3,…, Pn verdaderos y Q falso,es decir, cuando todo modelo de las premisas, es un modelo de la conclusión.

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Lógica de primer orden

La lógica de primer orden, también llamada lógica de predicados o cálculo de predicados, es un sistema formal diseñado para estudiar la inferencia en los lenguajes de primer orden.

La lógica de primer orden tiene el poder expresivo suficiente para definir a prácticamente todas las matemáticas.

Una lógica de primer orden (LPO) consta de un lenguaje L y un concepto de inferencia C, con la siguiente caracterización: El lenguaje L se describe en sus dos dimensiones fundamentales: Sintaxis y Semántica.

Sintácticamente L consta de un alfabeto y de dos clases de expresiones bien definidas a partir de los símbolos de este alfabeto: términos y fórmulas.

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Una lógica monotónica no puede manejar varios tipos de razonamiento talescomo el razonamiento por defecto (los hechos pueden ser conocidosúnicamente por la incertidumbre o carencia de evidencia de lo contrario), elrazonamiento abductivo (los hechos sólo se deducen en calidad deexplicaciones probables), el razonamiento acerca del conocimiento (laignorancia de un hecho debe ser retractada cuando el hecho sea conocido), yla revisión de creencias (nuevo conocimiento puede contradecir creenciasanteriores, obligando a revisarlas). Estas limitaciones son un inconvenienteen gran cantidad de problemas que se presentan en inteligencia artificial,que tienen un carácter no monótono.

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http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_por_defecto





http://es.wikipedia.org/wiki/Razonamiento_abductivo



http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Revisi%C3%B3n_de_creencias&action=edit&redlink=1





http://es.wikipedia.org/wiki/Inteligencia_artificial



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• Ejemplos

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a)b)c) d)

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d)

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Ejemplo:

Todas las Venezolanas son bellas

•Conocimiento general: DayanaMendoza es venezolana

Luego

Dayana Mendoza es bella

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2.5 La demostración y sus métodos.

Qué es una demostración?

El médodo deductivo es unproceso que parte de unconocimiento general y arriba auno particular La aplicación delmétodo deductivo nos lleva a unconocimiento con grado decerteza absoluta, y esta cimentadoen proposiciones llamadasSILOGISMOS

Las demostraciones, introducenconceptos como:

• axiomas, teoremas, definiciones, ...;

además se introduce la práctica dehabilidades:

•conjeturar, realizar un contraejemplo,inducir, deducir, justificar y generalizar.



El proceso demostrativo consistebásicamente en:

A partir de unas proposicionesdadas que llamaremos premisas,obtener otra proposición quellamaremos conclusión mediante laaplicación de unas reglas lógicas.

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Generalmente, la enseñanza de la demostración de una implicación sedesarrolla de dos maneras:

1. Desde la lógica matemática.

conectivas lógicas, tablas de verdad, leyes de la lógica, las inferenciaslógicas y posteriormente la demostración de proposiciones d la forma(H =>) C

2. Desde la lógica intuitiva.

Se recurre a una interpretación intuitiva de la implicación, se asume

la hipótesis H y se utiliza junto con axiomas, definiciones y teoremas

demostrados para deducir la conclusión C:



Para demostrar que una proposición específica es un teorema en una teoríadeductiva dada procedemos así:

1. Se enuncian explícitamente los axiomas de la teoría.

2. Se fijan las reglas que validan el proceso demostrativo:

Regla de validez 1: Todo axioma puede figurar en cualquier paso de unademostración.Regla de validez 2: Si P=>Q aparece en una demostración y P también figura enla misma demostración, entonces se puede concluir Q en la demostración (ModusPonendo Ponens)Regla de validez 3: Si dos proposiciones son equivalentes se puede sustituir la unapor la otra en cualquier parte de una demostración. Esta regla se conoce con elnombre de sustitución por equivalencia.

3. Efectuar una demostración de una proposición específica Q, consiste enobtener la proposición Q como la última en el proceso demostrativo poraplicación reiterada de las reglas de validez 1, 2 y 3.



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Validez

Un argumento es válido

si en todas las situaciones pensables o en todos los modelos posibles enlos que las premisas se cumplen, la conclusión también debe cumplirse.

Una argumentación en la que todos los pasos se apoyen en argumentosválidos se llama deducción , y se dice que la conclusión está demostrada ;

una conclusión demostrada a partir de axiomas de una teoría se llamateorema de esa teoría.



Definiciones

Axioma o postulado:Es una proposición primitiva que se admite como cierta. En la construcción de una teoríaaxiomática se ha de partir de un conjunto de axiomas, escogidos de tal forma que dichoconjunto ha de ser: compatible, suficiente, independiente.

“EL TODO ES MAYOR QUE LA PARTE”---- Concepto MAYOR“DOS COSAS SON IGUALES ENTRE SI”--- Concepto IGUAL

Compatibilidad: Dos axiomas no pueden formular en ellos, ni producir en sus resultadosderivados, relaciones contradictorias.Suficiencia: Toda proposición verdadera ha de ser deducible dentro del sistema.Independencia: Ningún axioma ha de poderse deducir de otros.Estableciendo el sistema de axiomas (que por cierto, no tienen porque ser "evidentes"), secomienza a construir la teoría enunciando y demostrando los teoremas.

Teorema

Es una proposición que ha de demostrarse cierta, mediante un razonamiento lógico a partirde los axiomas o de otros teoremas previamente justificados.

Conjunto de HIPOTESIS+DEMOSTRACION+CONCLUSION



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Reglas de inferencia básicas

Cualquier razonamiento deductivo que hagamos tomará la forma de uncondicional.

Cada vez que empleemos reglas válidas para construir pruebas, observaremosque existe una conexión lógica entre las hipótesis y la conclusión,

de tal manera que estaremos obligados a aceptar la conclusión, cuandohayamos aceptado las hipótesis.

Esto quiere decir que una inferencia requiere

una conexión lógica entre hipótesis y conclusión la cual se expresa como

"hipótesis => conclusión“.



Métodos de demostración más comunes

•Método Directo

•Método de Contradicción

•Método de Reducción de Absurdo



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Método directo o Método de la hipótesis auxiliar o demostración condicional

"Dado un conjunto de premisas en una teoría, si bajo el supuesto de queuna proposición P es verdadera y utilizando las premisas disponibles sepuede hacer una demostración de que una proposición Q es verdadera,entonces en esa teoría puede concluirse que es verdadero”.

Es decir:

Este método se parte de que H es verdadero y por medio de las reglas deinferencias, leyes de la lógica, axiomas, definiciones o teoremas, sededuce que C es verdadero.




Modelo:



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Esquema operativo general:

1. Suponemos como verdadero el antecedente P. Esta ladenominamos hipótesis auxiliar.

2. A partir de la hipótesis construimos una argumentación lógica en lacual podemos utilizar los axiomas y teoremas demostrados paraobtener mediante la aplicación de las reglas de validez y deinferencia, la validez de Q.

3. En este punto concluye la prueba y queda establecida la validez de .




Ejemplo 1:

Demostrar utilizando el método directo que la siguiente proposición es un teorema.

Debemos identificar con absoluta claridad cual es el antecedente y el consecuente en la implicación principal; designémoslos por A1 y C1 respectivamente.



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Ejemplo:

Debemos identificar con absoluta claridad cual es el antecedente y elconsecuente en la implicación principal; designémoslos por A1 y C1respectivamente.




demostración del teorema:



m.p.p

m.p.p

3,5

2,6

1,7

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Observaciones

1) Puede observarse en una demostración con diferentes niveles desubordinación como al obtenerse la conclusión buscada en dicho nivel, elrespectivo nivel se "cierra" estableciendo una implicación entre la hipótesissupuesta para este y la conclusión lograda.

Dicha implicación pasa a ser la última proposición en el nivelinmediatamente anterior.

2) Debe tenerse en cuenta además que las proposiciones intermedias que seobtienen en un nivel determinado no pueden utilizarse posteriormente a laclausura del respectivo nivel.




Ejemplo 2:

Demostrar utilizando el método directo que la siguiente proposición es un teorema.



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demostración del teorema:



m.p.p

m.p.p

Método de contradicción (contrarrecíproco)

El teorema del contrarrecíproco da lugar a una variante del métododirecto, que se utiliza mucho en matemáticas y es conocido comométodo del contrarrecíproco.

Este método consiste en:

Supongamos que se quiere demostrar que una proposición específica esteorema y al intentar su demostración por el método directo nologramos obtener la conclusión deseada.

Se procede entonces a demostrar por el método directo sucontrarrecíproca, si se consigue este objetivo entonces quedaestablecida la validez de al hacer sustitución por equivalencia.



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Modelo:



Esquema operativo general

1. Suponemos como hipótesis auxiliar no Q.

2. Utilizando el método directo construimos una argumentación lógicahasta concluir no P.

3. Concluimos por el método directo que es teorema.

4. La regla de validez 3 nos permite concluir que es válida mediante laequivalencia del contra recíproco.



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Ejemplo

Demostrar utilizando el método del contrarrecíproco el siguiente teorema:

Si el producto de dos enteros es par, al menos uno de ellos es par.

Enunciado explícito: Para a y b números enteros. Si a.b es par entonces a es par ob es par.

Enunciado contrarrecíproco: Si no es cierto que a es par o b es par entonces a.bes impar.

Este enunciado es equivalente a : Si a es impar y b es impar entonces a.b esimpar.

Supongamos que a es impar y b es impar (Hip. aux.)




Demostración



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Método de demostración por reducción al absurdo

Este método suele ser confundido con el método de contradicción.

Conceptos:

Contradicción: Designamos en esta forma, toda proposicióncorrespondiente a la conjunción entre una proposición y su negación.

Teoría contradictoria o inconsistente: Se dice que una teoría escontradictoria o inconsistente, cuando en dicha teoría es posible demostraruna contradicción.

En una teoría contradictoria podemos concluir que una proposición esverdadera y falsa a la vez.



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El método de demostración por reducción al absurdo se fundamenta en lacondición de no contradicción para una teoría, básicamente la estrategiaconsiste en:

• suponer explícitamente la negación de la proposición a demostrar,

• a partir de esta hipótesis se trata de generar una contradicción, esto es:

que la teoría con ese supuesto es inconsistente y, en consecuencia, talhipótesis es falsa,

o lo que es equivalente, que su negación es verdadera, quedando validada laproposición inicial.




Modelo



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Estructura




Esquema operativo general

Supongamos que se quiere demostrar que una proposición específica P es teorema. Poreste método procedemos así:

1. Suponemos la negación de la tesis (no P) como hipótesis auxiliar.

2. A partir de las premisas de la teoría y de la hipótesis auxiliar se razona por el métododirecto, hasta obtener como conclusión una contradicción por ejemplo, Q y no Q.

3. Por el método directo concluimos

4. El teorema anterior nos permite concluir del paso 3) la validez de P.

Nota: En la práctica, cuando se usa este método, al obtener una contradicción,inmediatamente se valida la negación de la hipótesis supuesta dando por terminada laprueba.



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Observaciones

Observación 1: Cuando se emplea este método para la demostración de unaimplicación supongamos el caso ; podemos proceder en cualquiera de las dosformas esquemáticas siguientes:

Primera forma:

1) Supongamos no ( ) Hipótesis auxiliar. Reducción al absurdo.

2) P y no Q Equivalencia en (1). Ley de Morgan.

3) P Simplificación en (2).

4) no Q Simplificación en (2).

Con estas dos premisas se inicia la construcción de la contradicción.




Segunda forma:

Integramos los métodos directo y reducción al absurdo, así:

1) Supongamos: P Hipótesis auxiliar 1.

2) Supongamos: no Q Hipótesis auxiliar 2. Reducción al absurdo.


Como puede observarse los procedimientos son equivalentes.

Observación 2) Al emplear este método y una vez supuesta la negación de la tesiscomo hipótesis auxiliar, el objetivo es construir una contradicción cualquiera, estapuede aparecer directamente como la conclusión de la afirmación de la tesis; pero noes la única forma, la contradicción también puede construirse con proposicionesderivadas dentro del proceso de la demostración. A continuación ilustramos lasituación descrita.



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Segunda forma:

Integramos los métodos directo y reducción al absurdo, así:

1) Supongamos: P Hipótesis auxiliar 1.

2) Supongamos: no Q Hipótesis auxiliar 2. Reducción al absurdo.


Como puede observarse los procedimientos son equivalentes.

Observación 2) Al emplear este método y una vez supuesta la negación de la tesiscomo hipótesis auxiliar, el objetivo es construir una contradicción cualquiera, estapuede aparecer directamente como la conclusión de la afirmación de la tesis; pero noes la única forma, la contradicción también puede construirse con proposicionesderivadas dentro del proceso de la demostración. A continuación ilustramos lasituación descrita.




Ejemplo:

Utilizar el método de reducción al absurdo para obtener la conclusión a partir de las premisas dadas.



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