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Resumen

El presente documento contiene el reporte teórico y el análisis de resultados de la implementación del algoritmo de mínimos cuadrados por lotes para la identificación de procesos modelados con una estructura autorregresiva con variable exógena (ARX). El proyecto se realizó como parte de los requisitos de aprobación de la cátedra Identificación de Procesos de la maestría en automatización del Tecnológico de Monterrey.

Palabras Clave— Identificación de Procesos, modelos, mínimos

cuadrados.

I. INTRODUCCIÓN

dentificar significa determinar el modelo de un sistema dinámico a partir de las mediciones de las entradas y salidas. La identificación de un proceso, por tanto requiere el

conocimiento de la señal de estímulo y la respuesta del sistema ante ese estímulo. Se recomienda elegir como señal de excitación, una señal con un contenido rico en el espectro de frecuencias de forma que se permita cubrir todo el ancho de banda de la planta a ser identificada, siendo lo ideal aplicar una señal de ruido blanco. Sin embargo, al ser la señal de ruido blanco ideal, se propone en [1], generar una señal binaria pseudoaleatoria que se asemeja mucho en contenido frecuencial a una señal de ruido blanco. Tal señal, mencionada antes, se conoce como señal PRBS (Pseudo Randomic Binary Sequence), y será la que finalmente se aplique al proceso a identificar.

La identificación de sistemas es un enfoque experimental para determinar el modelo dinámico de un sistema, en el que se involucran 4 pasos:

− Adquisición de los datos de la entrada y salida, bajo un protocolo experimental.

− Selección de la estructura del modelo. − Estimación de los parámetros del modelo.

Artículo sujeto a revisión el 23/09/2010.

− Validación del sistema identificado

A lo largo del presente documento se detallaran los pasos mencionados, a través de las simulaciones generadas en el SCILAB.

Este documento está organizado como sigue: en la sección 2 se presenta el detalle de la implementación del algoritmo para la generación de la señal PRBS en SCILAB. La generación de los datos necesarios para la identificación del proceso, a través de la aplicación de la señal PRBS al sistema se presenta en la sección 3. La sección 4 contiene la lógica utilizada para la estimación del modelo utilizando SCILAB. En la sección 5 se muestran los resultados de aplicar el algoritmo de identificación cuando el proceso contiene ruido, y seguidamente se exponen las conclusiones del trabajo.

II. GENERACIÓN DE LA SEÑAL PRBS

Las secuencias binarias pseudoaleatorias son secuencias de

pulsos rectangulares, modulados en ancho de pulso, que se aproximan a una señal discreta de ruido blanco y por tanto poseen un contenido rico en frecuencia [1]. El nombre Pseudo-aleatorio se debe al hecho de que la señal PRBS tiene una longitud definida dentro de la cual los pulsos poseen una variación aleatoria, pero que sin embargo en un horizonte de tiempo grande, los pulsos de la señal PRBS son periódicos.

La señal PRBS se genera a través de registros de desplazamiento y operaciones XOR entre bits definidos del registro. En la figura 1, se ilustra la idea de generación de una señal PRBS para un registro de 5 bits.

Para generar la señal PRBS, se tomó como referencia el

diagrama de flujo que se presenta en la figura 2. Resulta sencillo notar analizando la figura 2, que la implementación del algoritmo sigue de manera estricta lo que la figura 1 estipula, con la excepción de que la salida de la señal PRBS no se toma del último bit del registro de desplazamiento, sino más bien del resultado de la operación XOR. Cabe resaltar que el resultado es igual al caso de tomar la salida desde el último bit de la salida, nada más que el orden de la secuencia es distinta,

IDENTIFICACIÓN DE PROCESOS USANDO MÍNIMOS CUADRADOS POR LOTES

Ismael Minchala Ávila – A00808366

minchalai@ieee.org

MAT09/ Ago-Dic 2010

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sin embargo debido a la naturaleza aleatoria que se pretende brindar a la señal esto no tiene injerencia en el propósito último que es aplicar esta señal al sistema para observar su respuesta y poder identificarlo.

En la figura 3, se ilustra el resultado de generar la señal

PRBS para el caso de un registro de tamaño 6.

III. GENERACIÓN DE DATOS PARA LA

IDENTIFICACIÓN

Habíamos mencionado en un principio que para la

identificación de un sistema se requiere conocer la señal que se aplica al proceso, que en nuestro caso será la señal PRBS, y asimismo resulta primordial conocer la respuesta del proceso ante dicha señal. Para objetos de ésta simulación, se definió un sistema de segundo orden sin retraso que tiene la siguiente función de transferencia pulso:

( )21

21

2 3679.07859.014834.06806.0

3679.07859.04834.06806.0

−−

−−

+−+=

+−+=

zz

zz

zz

zzGp

El modelo ARX de la función de transferencia elegida, será:

2121 4834.06806.03679.07859.0 −−−− ++−= kkkkk uuyyy

Ya que hemos definido el sistema con el que se trabajará, lo que queda por hacer es aplicar la señal PRBS generada en SCILAB a través de la instrucción 'filter' , de la siguiente manera:

y = filter(num,den,R)

en donde, num y den representan los coeficientes del sistema en z, y R contiene la señal PRBS. Una vez aplicada la señal se procede a guardar los datos en disco para que se puedan utilizar más adelante en el proceso de identificación.

En la figura 4 se ilustra el diagrama de flujo del algoritmo

implementado en esta etapa y en la figura 5 se muestra el resultado de aplicar la señal PRBS al sistema.

Fig. 2. Diagrama de flujo para la implementación de la señal PRBS en SCILAB.

(1)

Fig. 1. Generación de una señal PRBS con un registro de 5 bits.

Fig. 4. Algoritmo implementado en SCILAB para generar los datos de respuesta del sistema ante una entrada PRBS.

Fig. 3. Señal PRBS generada con el algoritmo implementado en SCILAB.

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IV. ESTIMACIÓN DEL MODELO UTILIZANDO

MÍNIMOS CUADRADOS

El método de estimación por mínimos cuadrados es

ampliamente utilizado, debido a su sencillez en la implementación y su confiabilidad. Se trata de ajustar un modelo ideal de estructura autorregresiva con variable exógena (ARX) a los datos obtenidos en el funcionamiento real del sistema [2].

En la figura 6 se ilustra el diagrama de flujo del software implementado en el SCILAB. De la figura 6 se puede observar que las partes claves están en formar las matrices ΨΨΨΨN y YN, para luego aplicar el método de mínimos cuadrados que estima los coeficientes a's y b's que mejor se ajusten al modelo que buscamos.

Luego de haber ejecutado el software implementado en el SCILAB, los resultados obtenidos de Theta (θ) y J, fueron:

12

2

1

2

1

1065.7

4834.0

6806.0

3679.0

7859.0

−×=

==

−==

J

b

b

a

a

Si generamos el modelo ARX a partir de los datos

calculados por nuestro software, el modelo será:

2121 4834.06806.03679.07859.0 −−−− ++−= kkkkk uuyyy que como era de esperarse, en ausencia de ruido, el método fue capaz de estimar los valores de los coeficientes de manera exacta.

V. PRUEBAS DEL ALGORITMO ANTE PRESENCIA DE

RUIDO

En la sección anterior fue posible apreciar la exactitud del

método de mínimos cuadrados para identificar un proceso sin que la planta y/o el proceso contengan ruido. En esta oportunidad, vamos a sumar ruido aleatorio a la planta y a repetir el proceso de identificación detallado en las secciones III y IV, para los casos en que el ruido tenga una amplitud igual al 10% de la señal PRBS, una amplitud igual a la señal PRBS y finalmente cuando sea 10 veces mayor que la señal de prueba.

En la figura 7 se ilustra la forma en que se introduce el ruido en la simulación. Resulta importante resaltar que el ruido sumado al proceso es aleatorio y se genera con la función 'rand' del SCILAB.

Fig. 5. Respuesta del sistema ante la señal PRBS.

Fig. 6. Diagrama de flujo del algoritmo de identificación de procesos implementado en SCILAB.

Fig. 7. Ruido en la planta del proceso.

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− Ruido = 0.1 x PRBS

Estableciendo una amplitud de ruido del 10% de la señal de

ingreso PRBS, la respuesta de la planta difiere ligeramente de su comportamiento ideal, como se ilustra en la figura 8.

Luego de haber ejecutado el software implementado en el SCILAB, los resultados obtenidos de Theta (θ) y J, fueron:

0282340.0

4860484.0

6780075.0

3597223.0

7829170.0

2

1

2

1

===

−==

J

b

b

a

a

Como se puede notar, las constantes tienen valores muy próximos a los valores verdaderos del sistema, no obstante el error de estimación creció de manera significativa con relación al caso analizado en la sección 4, en la que no se incluyó ruido y J = 7.56 E-12. − Ruido = 1 x PRBS

Estableciendo una amplitud de ruido de igual magnitud a la señal de ingreso PRBS, la respuesta de la planta presenta diferencias con relación a su comportamiento ideal, como se ilustra en la figura 9. La línea interpuntada representa el comportamiento ideal del proceso sin ruido.

Luego de haber ejecutado el software implementado en el SCILAB, los resultados obtenidos de Theta (θ) y J, fueron:

7196727.2

4450481.0

6746547.0

3254051.0

8099036.0

2

1

2

1

===

−==

J

b

b

a

a

Los valores de las constantes se parecen todavía a los valores reales de la planta, sin embargo la variación se vuelve notable y el error J tiene un valor mayor a la unidad.

− Ruido = 10 x PRBS

Estableciendo una amplitud de ruido 10 veces mayor a la señal de ingreso PRBS, la respuesta de la planta presenta diferencias notables con relación a su comportamiento ideal, como se ilustra en la figura 10. La línea interpuntada representa el comportamiento ideal del proceso sin ruido.

Luego de haber ejecutado el software implementado en el

SCILAB, los resultados obtenidos de Theta (θ) y J, fueron:

518.218

4315907.0

7165630.0

6034234.0

9908031.0

2

1

2

1

===

−==

J

b

b

a

a

Fig. 8. Respuesta ideal del sistema vs. Respuesta con ruido. N = 0.1 x PRBS.

Fig. 9. Respuesta ideal del sistema vs. Respuesta con ruido. N = 1 x PRBS.

Fig. 10. Respuesta ideal del sistema vs. Respuesta con ruido. N = 10 x PRBS.

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De los resultados obtenidos, se puede notar claramente que el algoritmo en esta ocasión no fue capaz de identificar el proceso, y el ruido termino por enmascarar el comportamiento de la planta.

VI. CONCLUSIONES

− La implementación de un método de identificación por

lotes, como en el caso de éste trabajo a través de mínimos cuadrados, implica adquirir datos del proceso/planta durante una prueba experimental y luego aplicar esta información a un software de identificación. La desventaja de este método de identificación radica en su no-recursividad, sin embargo ofrece una solución de baja complejidad y alta confiabilidad cuando los datos han sido capturados en ausencia de ruido.

− Definir la estructura del modelo a identificar es un

punto clave en el proceso de identificación. En el caso de éste trabajo se conocían a priori el número de coeficientes a's y b's del modelo, por lo que el software fue capaz de identificar con una gran precisión los coeficientes, aún en presencia de ruido moderado.

− El método de identificación a través de mínimos

cuadrados por lotes no es confiable cuando el ruido se torna importante en la adquisición de los datos experimentales. Se pudo notar este hecho en los resultados de la tercera prueba realizada en la validación del modelo, que se explica en la sección V.

− Utilizar software libre tiene la gran ventaja de liberarnos de las ataduras de licencias comerciales, por lo que podemos generar aplicaciones sin tener que remunerar a empresas por costos de ejecución.

VII. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

[1] Ioan D. Landau and Gianluca Zito. Digital Control

Systems. Lab. d’Automatique de Grenoble. Springer, London – 2006.

[2] Antonio Favela C., Método de Identificación por

Mínimos Cuadrados, ITESM – Cátedra de Identificación de Procesos.