Identidades Trigonométricas para un mismo Arco

- Identidades Fundamentales

- Deducción de Fórmulas

- Ejercicios aplicativos

Curso: Trigonometría Audis Quinde

Tema:

Identidades Fundamentales:

222 CBA

122 CosSen

Identidades Pitagóricas:

Se denominan de esa manera por que son producto de la aplicación del Teorema de Pitágoras con las razones trigonométricas

(Teorema de Pitágoras)

22 1 SecTg

22 1 CscCtg

B

AC

Identidades Fundamentales:

1. CscSen

1. CtgTg

1. SecCos

Identidades Recíprocas:

Se denominan de esa manera por que son obtenidas al efectuar el producto entre dos razones recíprocas. Ejm: “Seno y Cosecante”

B

AC

No olvides que: ; ;CA

HipOC

Sen .BA

ACOC

Tg ..

CB

HipAC

Cos .

Identidades Fundamentales:

CosSen

Tg

Identidades por Cociente:

Denominadas así por que cada una de ellas representa la división o cociente entre otras dos razones trigonométricas.

B

AC

SenCos

Ctg

OK… pero… ¿de donde salen esas fórmulas?

Deducción de Fórmulas

1: 22 CosSenHipótesis

CB

CosyCA

Sen

22

22

CB

CosyCA

Sen

Veamos este ejemplo:

Como ésta es una “Identidad Pitagórica”, usaremos el “Teorema de Pitágoras” para su demostración … listos?

Del triángulo trigonométrico sabemos que:

… entonces:

2

2222

CBA

CosSen

Por lo tanto: 12

222

CC

CosSen

222 CBA (Teorema de Pitágoras)

B

AC

Deducción de Fórmulas

BA

CBCA

CosSen

Dividiendo

:

CB

CosyCA

Sen

TgBA

Pero :

Una deducción más para que quede clara la idea ok?

CosSen

TgHipótesis :

Como ésta es una “Identidad por Cociente“, vamos a dividir las razones Seno y Coseno para la deducción.

Por lo tanto:

CosSen

Tg

Del triángulo trigonométrico sabemos que:

B

AC

Ejercicios aplicativos

xSenCscxCtgxCosxE 21.

cocienteporIdSenxCosx

Ctgxi ....) RecíprocaIdSenx

Cscxii ....1

)

Ahora veamos cómo se resuelven algunos ejercicios:

1. Simplifica:

Solución: Por lo general, es conveniente convertir todo a Senos y Cosenos. Entonces

PitagóricaIdxCosxSeniii ....1) 22

xCosSenxSenx

CosxCosxE 2.

1. Reemplazando las identidades tenemos:

Multiplicando y agrupando:Senx

xCosxCosSenx

xCosSenx

xCosE

2222

Y llegamos a la respuesta: 00 Senx

E

Ejercicios aplicativos

SenCosSenM .21

1 22 CosSen

SenCosSenCosSenM .222

1. Simplifica:

Solución: Recordemos que una de las identidades Pitagóricas es

Reemplazando tenemos:

SenCosSenM 2

SenCosSenM

Y llegamos a la respuesta: CosM

¿Esto no es un producto notable?... Sí:

1.

1.

1.

:

CtgxTgx

SecxCosx

CscxSenx

Recíprocas

Resumen de Fórmulas

xCtgxCtg

xSecxTg

xCosxSen

sPitagórica

22

22

22

1

1

1

:

SenxCosx

Ctgx

CosxSenx

Tgx

CocientePor

:

Ahora a seguir practicando …

Identidades Fundamentales