Integrantes:

Galiano Sandoval, Stephanie

Huapaya Napán, Marianela

Olazabal Aquise, Diana

Métodos numéricos II Ecuaciones lineales

diferenciales de diferencias finitas con coeficientes constantes de orden n

CONTENIDO:

I. Conceptos previos: TeoríaI. Definición de casosII. Ecuaciones diferenciales homogéneas de orden superior con coeficientes constantes.

II. AlgoritmoI. Aplicación en Matlab

III. Método IV. Aplicación a la Física

I. Conceptos previosII. Análisis del problemaIII. Matlab

CONCEPTOS PREVIOS

Una ecuación diferencial finita se dice lineal y de orden n, si es de la forma

Dada la ecuación de diferencias finitas lineales no homogéneas y de orden n

Se procede de la siguiente manera:

1. Se hallan las raíces del polinomio característico

Cuyas raíces son:

2.Se halla la solución particular de la EDF no homogénea utilizando la tabla respectiva.

3.La solución general de la EDF no homogénea es :

Ecuaciones diferenciales homogéneas de orden superior con coeficientes constantes

Una ecuación diferencial de orden superior que tiene la forma:

En donde si  f(x)=0 la ecuación diferencial se denomina homogénea, pero si  f(x) ≠0 entonces la ecuación diferencial se denomina no homogénea.

Principio de Superposición o linealidad

Dependencia e independencia lineal

Wronskiano

De una ecuación diferencial homogénea de orden n, dicho conjunto de soluciones es linealmente independiente si y solo si, en algún punto de un intervalo se cumple que:

Ejemplo:

MÉTODO

Método de Runge- Kutta

Año: 1900

Matemáticos: Carl Runge y Martin Kutta

Es un método iterativo tanto implícito como explicito para aproximar las soluciones de las ecuaciones ordinarias.

Objetivo: el análisis y solución de los problemas de valor inicial de ecuaciones diferenciales ordinarias

Características

Es una extensión del método de Euler. Es un método de convergencia mayor Utiliza varias derivadas para aproximar la función

desconocidas

PROGRAMANDO EN MATLAB

Ecuaciones de diferencias finitas de orden 3

clear;clc;format longfprintf('Ecuacion de diferencias finitas \n');a=input('ingrese xo:');b1=input('ingrese y(xo):');b2=input('ingrese y´(xo):');b3=input('ingrese y"(xo):');h=input('ingrese h:');n=input('ingrese el numero de iteraciones(n):');

fprintf('Sea la ecuacion de diferencias finitas: an*J(k+3)+t2*J(k+2)+t1*J(k+1)+t0*J(k)=M(x) \n');disp('Donde t0,t1 y t2 son constantes');an=input('Ingrese an=');t2=input('Ingrese t0=');t1=input('Ingrese t1=');t0=input('Ingrese t2=');MM=input('Ingrese M(x)=','s');M=inline(MM,'x');

t2=t2/an;

t1=t1/an;

t0=t0/an;

fprintf('La ecuacion es: \n');

fprintf(' J(k+3) + %f J(k+2) + %f J(k+1) + %f J(k) = ',t2,t1,t0);

disp(MM);

syms F1(x,y,z,u) F2(x,y,z,u);

F1=z;

f=inline(F1,'x','y','z','u');

F2=u;

g=inline(F2,'x','y','z','u');

F3=-t0*y - t1*z -t2*u + MM;

r=inline(F3,'x','y','z','u');

x=a:h:n*h;

y=zeros(n+1,1);

z=zeros(n+1,1);

u=zeros(n+1,1);

y(1)=b1;

z(1)=b2;

u(1)=b3;

fprintf(' x y y´ y" \n');

for i=1:n

k1=h*f( x(i),y(i),z(i),u(i) );

t1=h*g( x(i),y(i),z(i),u(i) );

M1=h*r( x(i),y(i),z(i),u(i) );

k2=h*f( x(i)+(1/2)*h, y(i)+(1/2)*k1, z(i) + (1/2)*t1, u(i)+(1/2)*M1 );

t2=h*g( x(i)+(1/2)*h, y(i)+(1/2)*k1, z(i) + (1/2)*t1, u(i)+(1/2)*M1 );

M2=h*r( x(i)+(1/2)*h, y(i)+(1/2)*k1, z(i) + (1/2)*t1, u(i)+(1/2)*M1 );

 

k3=h*f( x(i)+(1/2)*h, y(i)+(1/2)*k2, z(i) + (1/2)*t2, u(i)+(1/2)*M2 );

t3=h*g( x(i)+(1/2)*h, y(i)+(1/2)*k2, z(i) + (1/2)*t2, u(i)+(1/2)*M2 );

M3=h*r( x(i)+(1/2)*h, y(i)+(1/2)*k2, z(i) + (1/2)*t2, u(i)+(1/2)*M2 );

k4=h*f( x(i)+h, y(i)+k3, z(i) + t3, u(i)+M3 );

t4=h*g( x(i)+h, y(i)+k3, z(i) + t3, u(i)+M3 );

M4=h*r( x(i)+h, y(i)+k3, z(i) + t3, u(i)+M3 );

 

y(i+1)=y(i)+(1/6)*( k1+ 2*k2 +2*k3 +k4 ) ;

z(i+1)=z(i)+(1/6)*( t1+ 2*t2 +2*t3 +t4 ) ;

u(i+1)=u(i)+(1/6)*( M1+ 2*M2 +2*M3 +M4 ) ;

format long

fprintf('%f \t %5.8f \t %5.8f \t %5.8f \n',a,y(i),z(i),u(i));

a=a+h;

end

 

fprintf('%f \t %5.8f \t %5.8f \t %5.8f \n',a,y(n+1),z(n+1),u(n+1));

plot(y,'linewidth',3)

grid

xlabel('dominio');

ylabel('rango');

APLICACIÓN A LA FÍSICA

Conceptos Previos

Preliminares:

Tercera ley de Newton Reacción del resorte

Ley de Robert Hooke

“ La fuerza que ejerce un resorte es directamente proporcional a la deformación que experimenta y está dirigida en sentido contrario a la

fuerza responsable de esta deformación”

La fuerza elástica se calcula como:

F = - k ∆x

Donde:

∆x= desplazamiento de la posición normal

K= constante de la elasticidad del resorte

F= fuerza elástica

La energía de deformación o energía potencial elástica   asociada al estiramiento o acortamiento un resorte lineal viene dada por la integración de trabajo realizado en cada cambio infinitesimal   de su longitud:

Si el resorte no es lineal entonces la rigidez del resorte es dependiente de su deformación y en ese caso se tiene una formula algo más general:

PROBLEMA

Cierto material de forma cubica, con una masa de M= 0.5 kg se pone en el extremo inferior de un resorte sin masa. El extremo superior se fija a una estructura en reposo. El cubo recibe una resistencia de R= -B del aire, donde B es una constante de amortiguamiento. La ecuación de movimiento es

Donde y es el desplazamiento desde la posición estática, es la constante del resorte y B= 10 kg/seg.

a) Calcule y (t), para 0 <t < 10 segundos y h = 0.05.

b) Repita el cálculo con B = 0.

Solución:

La ecuación seria:

a) Con el programa:

En Matlab

En Matlab

Se muestran los resultados computacionales hasta 0.75 segundos:

t(seg)a) y(metros)

(B= 10)b) y(metros)

(B=0)

0 1.000 1.000

0.05 0.823 0.760

0.1 0.508 0.155

0.15 0.238 -0.523

0.2 0.066 -0.951

0.25 -0.016 -0.923

0.3 -0.042 -0.45

0.35 -0.038 0.235

0.4 -0.025 0.810

0.45 -0.013 0.996

0.5 -0.004 0.705

0.55 0.000 0.075

0.6 0.001 -0.590

0.65 0.001 -0.973

0.7 0.001 -0.889

0.75 0.000 -0.378

Bibliografía

MATHEWS.Métodos numéricos con matlab. Genny Alexandra Navarrete Molano. Introducción a las ecuaciones en diferencias. Disponible en:

http://www.konradlorenz.edu.co/images/stories/suma_digital_matematicas/gennyecuacionesl4.pdf Shoichiro Nakamura. Métodos numéricos aplicados con software. Primera edición. México. Prentice-

Hall Hispanoamérica. 1992. Rodríguez Ojeda, Luis. Análisis Numérico Basico . Segunda edición. Guayaquil-Ecuador. http://es.slideshare.net/DesireO/trabajo-range-kutta-computacion Análisis matemático para Ingeniería. M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA (pdf) http://www.monografias.com/trabajos97/ecuaciones-diferenciales-homogeneas-orden-superior/

ecuaciones-diferenciales-homogeneas-orden-superior.shtml Amos Gilat. Matlab, Una introducción con ejemplos prácticos. Primera edición. España. Editorial

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