Ignacio CascosDepto. Estadística, Universidad Carlos III1 Distribuciones habituales Tema 5.
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Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 1
Distribuciones habituales
Tema 5
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Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 2
Descripción breve del tema1. Distribuciones discretas
Bernoulli Binomial Geométrica Poisson
2. Distribuciones continuas Uniforme Exponencial Normal
Teorema Central del Límite Distribuciones derivadas de la normal
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Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 3
Objetivos Adquirir soltura con el manejo de funciones
de distribución, probabilidad y densidad. Reconocer los modelos básicos de
distribución: Binomial, Geométrica, etc. Reconocer el papel central que juega la
distribución Normal. Aplicar con soltura el Teorema Central del
Límite.
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Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 4
Descripción breve del tema1. Distribuciones discretas
Bernoulli Binomial Geométrica Poisson
2. Distribuciones continuas Uniforme Exponencial Normal
Teorema Central del Límite Distribuciones derivadas de la normal
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Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 5
Distribución de BernoulliUna variable aleatoria que describe el número de
éxitos en 1 realización de un experimento, en el
que la probabilidad de éxito es p decimos que
sigue distribución de Bernoulli de parámetro p.
X ~ B(1, p)
X“número de éxitos en 1 realización”
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Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 6
Distribución de Bernoulli Función de probabilidad:
P(X = 1) = p ; P(X = 0) = 1p
Función de distribución:
Parámetros: E[X] = p ; Var[X] = p(1p)
11
101
00
)(
xsi
xsip
xsi
xF
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Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 7
Distribución de Bernoulli
0 1
Bernoulli(0'8)
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Bernoulli(0'8)
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Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 8
Descripción breve del tema1. Distribuciones discretas
Bernoulli Binomial Geométrica Poisson
2. Distribuciones continuas Uniforme Exponencial Normal
Teorema Central del Límite Distribuciones derivadas de la normal
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Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 9
Distribución BinomialUna variable aleatoria que describe el número de
éxitos en n realizaciones independientes de un
experimento, en el que la probabilidad de éxito
en cada realización es p decimos que sigue
distribución binomial de parámetros n y p.
X ~ B(n, p)X“número de éxitos en los n intentos indep.”
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Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 10
Distribución Binomial Función de probabilidad:
Podemos escribir X=X1+…+Xn donde las Xi son variables
de Bernoulli e independientes. Parámetros: E[X] = np ; Var[X] = np(1p)
Si X~B(n1, p) e Y~B(n2, p) son independientes, entonces
X+Y~B(n1+n2, p)
.},,1,0{ ,)1()( nkppk
nkXP knk
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Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 11
Distribución Binomial
0 1 2 3 4 5
B(5,0'7)
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0 3 6 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49
B(50,0'7)
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
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Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 12
Descripción breve del tema1. Distribuciones discretas
Bernoulli Binomial Geométrica Poisson
2. Distribuciones continuas Uniforme Exponencial Normal
Teorema Central del Límite Distribuciones derivadas de la normal
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Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 13
Distribución GeométricaUna variable aleatoria que describe el número de
realizaciones independientes de un experimento para el
que la probabilidad de obtener éxito en cada realización
es p hasta obtener el primer éxito, sigue distribución
Geométrica o de Pascal de parámetro p.
X ~ G(p)X“número de veces que hay que repetir el
experimento hasta conseguir el primer éxito”
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Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 14
Distribución Geométrica Función de probabilidad:
Parámetros: E[X] = 1/p ; Var[X] = (1p)/p2
.},3,2,1{ ,)1()( 1 kppkXP k
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Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 15
Distribución Geométrica
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14
G(0'5)
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14
G(0'3)
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
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Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 16
Descripción breve del tema1. Distribuciones discretas
Bernoulli Binomial Geométrica Poisson
2. Distribuciones continuas Uniforme Exponencial Normal
Teorema Central del Límite Distribuciones derivadas de la normal
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Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 17
Distribución de PoissonUna variable aleatoria que describe el número de
sucesos ocurridos en una región, de tal modo que
dichos sucesos ocurren independientemente y
con una tasa constante decimos que sigue
distribución de Poisson de parámetro .
X ~ ()X“número de sucesos ocurridos en una región”
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Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 18
Distribución de Poisson Función de probabilidad:
Parámetros: E[X] = ; Var[X] =
Si X~() e Y~() son independientes,
entonces X+Y~(+)
.},2,1,0{ ,!
)( kk
ekXPk
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Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 19
Distribución de Poisson
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
P(3)
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
P(1)
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
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Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 20
Descripción breve del tema1. Distribuciones discretas
Bernoulli Binomial Geométrica Poisson
2. Distribuciones continuas Uniforme Exponencial Normal
Teorema Central del Límite Distribuciones derivadas de la normal
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Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 21
Distribución Uniforme (continua)Una variable aleatoria X con distribución
uniforme entre a y b (a<b) representa un número
elegido al azar entre los valores a y b,
de tal modo que la probabilidad de que dicho
número esté en cualquier subconjunto del
intervalo (a,b) depende exclusivamente del
tamaño de dicho conjunto, X~U(a,b)
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Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 22
Distribución Uniforme (continua) Función de densidad:
Función de distribución:
Parámetros: E[X] = (a+b)/2 ; Var[X] = (ba)2/12
),(0
),()(
1
baxsi
baxsixf ab
bxsi
bxasi
axsi
xF abax
1
0
)(
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Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 23
Distribución Uniforme (continua)
Lower limit,Upper limit
1,3
Uniform Distribution
x
dens
ity
0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 40
0,10,20,30,40,50,60,70,80,9
1Lower limit,Upper limit
1,3
Uniform Distribution
x
cum
ulat
ive
prob
abili
ty0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6 4
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
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Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 24
Descripción breve del tema1. Distribuciones discretas
Bernoulli Binomial Geométrica Poisson
2. Distribuciones continuas Uniforme Exponencial Normal
Teorema Central del Límite Distribuciones derivadas de la normal
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Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 25
Distribución ExponencialSi el número de sucesos que ocurren en un
tiempo t sigue distribución de Poisson
proporcional a dicho tiempo (t), entonces la
variable aleatoria
X“tiempo entre sucesos”
sigue distribución exponencial de parámetro .
X ~ Exp()
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Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 26
Distribución Exponencial Función de densidad:
Función de distribución:
Parámetros: E[X] = ; Var[X] =
00
0)(
xsi
xsiexf
x
00
01)(
xsi
xsiexF
x
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Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 27
Distribución Exponencial
Mean10
Exponential Distribution
0 10 20 30 40 50 60
x
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
dens
ity
Mean10
Exponential Distribution
x
cum
ulat
ive
prob
abili
ty-10 0 10 20 30 40 50 60 70
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
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Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 28
Distribución ExponencialLa distribución exponencial no tiene memoria.
Dados t1,t2>0 y una variable aleatoria T con
distribución exponencial
P(T > t1+t2 | T > t1) = P(T > t2)
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Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 29
Descripción breve del tema1. Distribuciones discretas
Bernoulli Binomial Geométrica Poisson
2. Distribuciones continuas Uniforme Exponencial Normal
Teorema Central del Límite Distribuciones derivadas de la normal
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Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 30
Distribución NormalLa distribución Normal o de Gauss es el modelo probabilístico más importante. Se utiliza para modelar gran número de fenómenos aleatorios, entre ellos el ruido y los errores en la medida. Aparece además como distribución límite en el Teorema Central del Límite. Sus parámetros son la media y la desviación típica ,
X ~ N(,)
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Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 31
Distribución Normal Función de densidad normal estándar N(0,1):
Función de densidad N(,):
Parámetros: E[X] = ; Var[X] = 2
2exp
2
1)(
2xxf
2
2
2
)(exp
2
1)(
x
xf
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Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 32
Distribución Normal
Mean,Std. dev.0,1
Normal Distribution
-5 -3 -1 1 3 5
x
0
0,1
0,2
0,3
0,4
dens
ity
Mean,Std. dev.0,1
Normal Distribution
-5 -3 -1 1 3 5
x
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
cum
ulat
ive
prob
abili
ty
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Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 33
Distribución Normal
-6 -4 -2 0 2 4 6
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
N(0,0'5) rojo, N(0,1) negro, N(0,2) azul
r
-6 -4 -2 0 2 4 6
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
N(0,1) negro, N(2,1) rojo
r
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Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 34
Distribución Normal Propiedades de la Normal.1. Si X ~ N(,) , para cualesquiera a y b,
aX+b ~ N(a+b , |a|)2. Si X ~ N(,) e Y ~ N(,) indep, para a, b
aX+bY ~ N(a+b, (ab)) Tipificación. Dada X~N(,), la variable
aleatoria (X)/ sigue distribución N(0,1). A esta transformación se le llama tipificación
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Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 35
Tabla de la normal
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Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 36
Teorema Central de LímiteDada X1,X2,…,Xn n variables aleatorias independientes,
con medias y varianzas finitas E[Xi]=i y Var[Xi]=i2,
su suma sigue aproximadamente distribución normal
X1+X2+…+XnN(i=1,ni , (i=1,ni2)1/2)
Buena aproximación si n > 30.
Si las variables son discretas, para aproximar su suma
por una continua, realizamos corrección por continuidad.
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Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 37
Aproximaciones con la Normal Aproximación Binomial-Normal. Una binomial
B(n,p) puede construirse como suma de n variables de
Bernoulli independientes. Aplicando el TCL, si n > 30
y np(1p) > 5, aproximamos una B(n,p) por una
0 3 6 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49
B(50,0'7) y N(35,3'24)
0.0
00.0
40.0
80.1
2
)1(,N pnpnp
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Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 38
Aproximaciones con la Normal Aproximación Poisson-Normal.
Una Poisson () con > 5 puede aproximarse por
una normal
N(, )
0 6 13 21 29 37 45 53 61 69 77 85 93
P(49) y N(49,7)
0.0
00.0
20.0
4
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Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 39
Descripción breve del tema1. Distribuciones discretas
Bernoulli Binomial Geométrica Poisson
2. Distribuciones continuas Uniforme Exponencial Normal
Teorema Central del Límite Distribuciones derivadas de la normal
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Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 40
Chi cuadradoSi X1,X2,…,Xn son n variables aleatorias
independientes con distribución N(0,1), entonces
Y=X12+X2
2+…+ Xn2 es una variable aleatoria con
distribución chi cuadrado con n grados de
libertad,
Y ~ n2
E[Y] = n ; Var[Y] = 2n
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Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 41
Chi cuadrado
Deg. of freedom10
Chi-Square Distribution
0 10 20 30 40
x
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
dens
ity
Deg. of freedom10
Chi-Square Distribution
0 10 20 30 40
x
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
cum
ulat
ive
prob
abili
ty
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Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 42
t de StudentSi X es una variable aleatoria normal estándar e
Y es independiente de ella con distribución chi
cuadrado con n grados de libertad, entonces
X/(Y/n)1/2 sigue distribución t con n grados de
libertad
E[Z] = 0 si n 2 ; Var[Z] = n/(n2) si n 3
ntnY
XZ ~
/
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Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 43
t de Student
Deg. of freedom10
Student's t Distribution
x
dens
ity
-6 -4 -2 0 2 4 60
0,1
0,2
0,3
0,4 Deg. of freedom10
Student's t Distribution
x
cum
ulat
ive
prob
abili
ty
-6 -4 -2 0 2 4 60
0,2
0,4
0,6
0,8
1
![Page 44: Ignacio CascosDepto. Estadística, Universidad Carlos III1 Distribuciones habituales Tema 5.](https://reader034.fdocumento.com/reader034/viewer/2022051210/54d97897497959ad3a8b49c2/html5/thumbnails/44.jpg)
Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 44
F de FisherSi X es una variable aleatoria chi cuadrado con n1
grados de libertad e Y es independiente de ella
con distribución chi cuadrado con n2 grados de
libertad, entonces (X/n1)/(Y/n2) sigue
distribución F con n1 y n2 grados de libertad
21 ,2
1 F~/
/nnnY
nXZ
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Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos III 45
F de Fisher
Numerator d.f,Denominator d.f.
10,10
dens
ity
0 1 2 3 4 50
0,2
0,4
0,6
0,8 Numerator d.f,Denominator d.f.
10,10
F (variance ratio) Distribution
0 1 2 3 4 5
x
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
cum
ulat
ive
prob
abili
ty