III-3. Integral Definida - Área entre Curvas
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Cálculo del área entre dos funciones en un intervalo dado
],[ ba
Prof. León Hurtado
a
Prof. León Hurtado
x
y)(xf
)(xg
],0[ a
Prof. León Hurtado
a x
y
],0[ a
a
f dxxfA0
)(
Af
)(xf
Prof. León Hurtado
a x
y
2227)( xxg
],0[ a
a
g dxxgA0
)(Ag
Prof. León Hurtado
a x
y)(xf
],0[ a
fg AAA
)(xgAf
Ag aa
dxxfdxxgA00
)()(
Prof. León Hurtado
],0[ a
fg AAA
a x
y)(xf
)(xgAf
Ag
aa
dxxfdxxgA00
)()(
a
dxxfxgA0
)]()([
Prof. León Hurtado
a x
y
2)( xxf
2227)( xxg ],0[ a
a
dxxxA0
22 )]()227[(
a
dxxfxgA0
)]()([
a
dxxA0
2 )327(
aa
dxxdxA0
2
0327
aa xxA
0
3
0 3327
Sustituyendo a g(x) y f(x) por las funciones específicas
Agrupamos los términos semejantes y simplificamos
Aplicando las Propiedades de la suma (5) y del Coeficiente (4)
Integramos con las Reglas de la Constante y Potencia
Prof. León Hurtado
)0()0(27 33 aaA
aa
xxA0
3
0
27
Evaluando en los límites de integración
Simplificamos
Solo nos queda determinar el valor de la constante a
327 aaA
¿Qué sucede con las funciones en el valor x = a ?
a x
y
2)( xxf
2227)( xxg ],0[ a
Prof. León Hurtado
2)( aaf Así que evaluamos las funciones en a
las igualamos y despejamos el valor de a
En éste punto a las dos curvas se cortan, es decir valen los mismo
¿Qué sucede con las funciones en el valor x = a ?
x
y
2)( xxf
2227)( xxg ],0[ a 39
9327
273
227
)()(
2
2
22
a
a
a
aa
agaf
2227)( aag
a
Prof. León Hurtado
Ahora sustituimos el valor de a en la ecuación obtenida para el Área
Finalmente damos nuestra Respuesta:
El área entre las curvas es x2 y 27 – x2 es de 54 unidades cuadradas
3)3()3(27 A
x
y
2)( xxf
2227)( xxg ],0[ aa
54
2781
A
A
y resolvemos
Prof. León Hurtado
x
y
2218)( xxf
9)( 2 xxg
a
Así que evaluamos las funciones en a
Determinemos el valor de a, o sea, la coordenada x del punto donde las gráficas de las dos funciones se cortan
39
327
32918
9218
)()(
2
222
22
a
a
aaa
aa
agaf
]3,0[Nuestro intervalo de Integración es:
Prof. León Hurtado
Para obtener el área bajo la curva f(x), desde el origen hasta 3,
simplemente calculamos la Integral:
3
0
23
0)218()( dxadxxfAf
]3,0[Nuestro intervalo de Integración es:
2218)( xxf
3
x
y
Prof. León Hurtado
x
9)( 2 xxg
Ahora, sí recordamos de clases anteriores, sí el área se encuentra por debajo del eje de las x debemos cambiarle el signo. Así que el área será:
Para obtener el área “bajo la curva” g(x) desde el origen hasta 3
Calculamos la siguiente integral:
dxxdxxg )9()(3
0
23
0
y
3
]3,0[Nuestro intervalo de Integración es:
dxxdxxgAg )9()(3
0
23
0
Prof. León Hurtado
x
y
2218)( xxf
9)( 2 xxg
3
Eliminamos el corchete y agrupamos:
Para determinar el área entre las curvas solamente debemos sumar las áreas
“bajo la curva” descritas:
gf AAA Reemplazando por las integrales escritas:
3
0
3
0)()( dxxgdxxfA
3
0)()( dxxgxfA
Como podemos apreciar, llegamos a la misma fórmula que en el caso anterior.
¿Qué podemos sacar en conclusión?
Prof. León Hurtado
x
y
2218)( xxf
9)( 2 xxg
3
En conclusión, cuando queremos obtener el
área entre dos curvas, simplemente
Hallamos la Integral de la diferencia (resta) de la
función que representa la curva superior menos la que
representa a la curva inferior
3
0)()( dxxgxfA
Prof. León Hurtado
x
y
2218)( xxf
9)( 2 xxg
3
Agrupando términos semejantes y simplificando:
Reemplazando por las funciones dadas:
3
0
22 )9()218( dxxxA
3
0)()( dxxgxfA
Calculamos la integral y evaluamos
3
0
2 )327( dxxA
542781
])0()0(27[])3()3(27[
)27(
33
3
0
3
A
xxA
)()()()( aFbFxFdxxfAb
a
b
a
],[ ba
Prof. León Hurtado
Área bajo la curva
Área entre dos curvas
Calculamos la Integral de la diferencia (resta) de la función de la curva superior menos la de la curva inferior en el intervalo dado
b
adxxgxfA )()(
x
y)(xf
)(xga2 a3 a4a1 a5 a6 a7