3. HIDRODINÁMICA

3.1 INTRODUCCIÓN: GENERALIDADES.

Como definición tenemos que la hidrodinámica, parte de la mecánica que estudia el movimiento de los líquidos.Aplicando las leyes de los flujos volumétricos de los fluidos en tuberías ya que por fortuna se puede analizar muchas situaciones importantes usando el modelo idealizado sencillo y principios que ya se conocen, como pueden ser las leyes de Newton y la conservación de la energía.

Como historia diríamos que hay muchos procesos físicos que ocurren en la tierra que se describen por la dinámica de los fluidos, fenómenos como circulación atmosférica que determina el comportamiento climático a corto plazo así como otros flujos como la magneto hidrodinámica, la turbulencia entre otros.

Sin embargo, para estudios más amplios, la simulación numérica de modelos matemáticos ó de las ecuaciones hidrodinámicas completas es esencial. Lo sorprendente es que muchos de los flujos arriba mencionados ocurren en el cosmos en escalas verdaderamente grandes, convirtiendo a nuestro Universo en un inimaginable laboratorio hidrodinámico.

Ya que la humanidad a vivido siempre con fluidos, y nos preguntaríamos ¿Cómo y cuando se empezaron a usarlos? Eso solo puede adivinarse, la teoría de los fluidos.

Pues la historia de la hidrodinámica no es sólo una secuencia de nombres, fechas, hechos y las anécdotas que los conectan. Es más bien una explicación e interpretación de éstos a partir de hipótesis fundamentadas y basadas en patrones globales del comportamiento; ya que en nuestro caso es la tarea de los profesionales del campo, los historiadores de la ciencia. No es casual que los cambios y avances importantes que modificaron cualitativamente el conocimiento de la dinámica de los fluidos se llevaran a cabo en forma paralela a los cambios sociales.

Aunque a nosotros nos preguntemos acerca de la flotación de los cuerpos como podríamos decir ¿por qué flotan los barcos que están hechos de acero? Ya que para esto hemos encontrado una respuesta; eso quiere decir que suponiendo que un metro cúbico de agua pesa una tonelada, para hacer flotar (se tendría que reducir su peso a cero.

A un barco de 2000 toneladas es preciso que 2000 m3 de aguaEs decir que el volumen del barco, debajo de su línea de flotación de un cubo de 20 m por lado ya que si es mas largo que ancho no contiene por que estar tan sumergido y esta de menor calado ya que estos son criterios de estabilidad desarrollados por Arquímedes pues estos son algunos de los aspectos que determinan la forma mas adecuada como para el caso del barco la parte que se sumerge.

Si nos pusiéramos a hablar de otro importante personaje den la historia de Leonardo diríamos que en sus estudios de Leonardo versaron sobre el vuelo, la generación y propagación de ondas, el movimiento de remolinos (vórtices) y el papel de éstos en los flujos complicados e irregulares que llamamos turbulentos. Estos estudios de carácter cualitativo o puramente descriptivo influyeron en forma directa e indirecta en el desarrollo de la hidráulica y la hidrodinámica, entendidas éstas como la parte práctica y teórica de la mecánica de fluidos, respectivamente.

La percepción visual de Leonardo fue la herramienta clave de su obra científica, la cual se aprecia en sus detalles de sus penetrantes ilustraciones, y gracias a ella estableció una pauta en la búsqueda del conocimiento.

Otro personaje fue Galileo el se sumergió a la dinámica de los fluidos ya que fue profunda, aunque indirecta, al participar en la fundamentación de la mecánica, de la física y de la ciencia misma. La astronomía fue la motivación de su trabajo y la pasión de su vida.

Después de Galileo le continuo Torricelli y el se enfocaba a diversos problemas en forma teórica y experimental. En el área de fluidos destacan sus estudios sobre el flujo de chorros que salen por el orificio de un recipiente, su descubrimiento del principio del barómetro de mercurio y su uso en el estudio de la presión atmosférica.

Ya que en esos casos el acabo con el mito de la imposibilidad del vació.

Podríamos decir que uno de los experimentos fue en demostrar la existencia de la presión atmosférica y la forma de crear un vacío, usando un dispositivo.

Al paso del tiempo hubo otro personaje llamado pascal, fue quien, repitiendo y extendiendo los experimentos de Torricelli, dio una clara explicación de las observaciones, En el proceso de estudio de la presión atmosférica Pascal inventó la prensa hidráulica, descubriendo el principio físico Según éste la presión en un fluido actúa por igual en todas las direcciones; conocido como el principio de Pascal, ya que es uno de los dos axiomas fundamentales de la hidrostática. A pesar de esto llego las contribcionres más importantes de Bernoulli ya que apareció en el año 1738 en su libro, y en esta se destaca el teorema del que ahora lleva su nombre Bernoulli y que fue la primera formulación del principio de la conservación de la energía para el caso de los fluidos.

Cuya formulación general y correcta se debe a Euler, establece que la suma de tres cantidades es igual a una constante.Como: A+B+C= a una constante. Y en eso tendríamos con el sonido juicio de un científico a una mas técnicamente, los términos que aparecen en el teorema de bernoulli son la energía cinética(A), con energía potencial (B) y la entalpía (C). A depende de la velocidad, a es igual a la densidad por la velocidad al cuadrado sobre dos; B depende la aceleración por la gravedad por la altura y C depende de la presión.

Usando el mismo razonamiento anterior puede explicarse el hecho de que al suspender dos esferas ligeras cercanas una de la otra y soplar en medio de ellas, se aproximen y choquen entre sí, como si apareciera una fuerza de atracción, ya que esta atracón aparente debida a la distinta distribución espacial de presiones, que es sencilla de explicar aplicando el teorema de Bernoulli.

La mecánica de fluidos es la rama de la Mecánica de los medios continuos que describe el movimiento de gases y líquidos y las fuerzas que lo producen, lo limitan o que aparecen debido a la interacción

entre sólidos y fluidos .Para ello asimila la estructura de los fluidos moleculares a un medio continuo.

3.2 APLICACIONES DE LA HIDRODINÁMICA.

La hidrodinámica trata del estudio de los fluidos en movimiento y es una de las ramas más complejas de la mecánica.Afortunadamente muchos casos de importancia practican, pueden presentarse por modelos ideales suficientemente sencillos como para permitir un análisis detallado. Es decir en un principio tratamos únicamente de lo que llamamos fluidos ideal, lo cual uno que es incomprensible y que tiene razonamiento interno o de viscosidad.

El razonamiento interno en un fluido da lugar a la aparición de unos esfuerzos constante cuando dos capas adyacentes del mismo se mueven una respecto de la otra o cuando el fluido se mueve en el interior de un tubo en torno a un obstáculo.

La trayectoria descrita por un elemento de fluido en movimiento se denomina línea de flujo.

En caso general, la velocidad del elemento varia a magnitud y en dirección a lo largo de su línea de flujo, cuando se inicia un flujo determinado, pasa por un estado no estacionario pero en muchos de sus casos se hace estacionario al cabo de cierto tiempo. Ya que para esto hay flujos comprensibles y flujos incomprensibles y nos dice que.

Aquellos flujos donde las variaciones en densidad son insignificantes se denominan incompresibles; cuando las variaciones en densidad dentro de un flujo no se pueden despreciar, se llaman compresibles. Si se consideran los dos estados de la materia incluidos en la definición de fluido, líquido y gas, se podría caer en el error de generalizar diciendo que todos los flujos líquidos son flujos incompresibles y que todos los flujos de gases son flujos compresibles.

La primera parte de esta generalización es correcta para la mayor parte de los casos prácticos, es decir, casi todos los flujos líquidos son esencialmente incompresibles. Por otra parte, los flujos de gases se pueden también considerar como incompresibles si las velocidades son pequeñas respecto a la velocidad del sólido en el fluido; la razón de la velocidad del flujo, V, a la velocidad del sólido, c, en el medio fluido recibe el nombre de número de Mach, M, es decir,

M=V/c ecc. 14

Los cambios en densidad son solamente del orden del 2% de valor medio, para valores de M < 0,3. Así, los gases que fluyen con M < 0,3 se pueden considerar como incompresibles; un valor de M = 0,3 en el aire bajo condiciones normales corresponde a una velocidad de aproximadamente 100 m/s.

Los flujos compresibles se presentan con frecuencia en las aplicaciones de ingeniería. Entre los ejemplos más comunes se pueden contar los sistemas de aire comprimido utilizados en la operación de herramienta de taller y de equipos dentales, las tuberías de alta presión para transportar gases, y los sistemas censores y de control neumático o fluidito.

Los fluidos se pueden clasificar en forma general, según la relación que existe entre el esfuerzo cortante aplicado y la rapidez de deformación resultante. Aquellos fluidos donde el esfuerzo cortante es directamente proporcional a la rapidez de deformación se denominan fluidos newtonianos. La mayor parte de los fluidos comunes como el agua, el aire, y la gasolina son prácticamente newtoniana bajo condiciones normales. El término no newtoniano se utiliza para clasificar todos los fluidos donde el esfuerzo cortante no es directamente proporcional a la rapidez de deformación.

Ya que numerosos fluidos comunes tienen un comportamiento no new toniano. Dos ejemplos muy claros son la crema dental y la pintura Lucite. Esta última es muy "espesa" cuando se encuentra en su recipiente, pero se "adelgaza" si se extiende con una brocha.

De este modo, se toma una gran cantidad de pintura para no repetir la operación muchas veces. La crema dental se comporta como un

"fluido" cuando se presiona el tubo contenedor. Sin embargo, no fluye por sí misma cuando se deja abierto el recipiente.

Existe un esfuerzo límite, de cadencia, por debajo del cual la crema dental se comporta como un sólido. En rigor, nuestra definición de fluido es válida únicamente para aquellos materiales que tienen un valor cero para este esfuerzo de cadencia. En este texto no se estudiarán los fluidos no newtonianos.

También hay otro tipo de fluido como continuo, es el fluido el cual una sustancia que se deforma continuamente al ser sometida a un esfuerzo cortante (esfuerzo tangencial) no importa cuan pequeño sea.

Todos los fluidos están compuestos de moléculas que se encuentran en movimiento constante. Sin embargo, en la mayor parte de las aplicaciones de ingeniería, nos interesa más conocer el efecto global o promedio (es decir, macroscópico) de las numerosas moléculas que forman el fluido. Son estos efectos macroscópicos los que realmente podemos percibir y medir.

Por lo anterior, consideraremos que el fluido está idealmente compuesto de una sustancia infinitamente divisible (es decir, como un continuo) y no nos preocuparemos por el comportamiento de las moléculas individuales.

Una de las consecuencias de la hipótesis del continuo es que cada una de las propiedades de un fluido se supone que tenga un valor definido en cada punto del espacio. De esta manera, propiedades como la densidad, temperatura, velocidad, etc., pueden considerarse como funciones continuas de la posición y del tiempo.

Esto nos lleva a decir que la hidrodinámica es Una de las grandes cantidades de trabajos experimentales sobre los flujos en las tuberías ya que se sigue publicando en la bibliografía especializada.

Innumerables tablas empíricas y esto se ha publicado para su uso en el diseño de sistemas de drenaje, plantas industriales de diferentes características, etc., y complicadas relaciones entre parámetros de los flujos que siguen siendo elaborados. Para las condiciones que se dan en la práctica, el movimiento de un líquido es sumamente complicado y la teoría ha sido, hasta la fecha, incapaz de dilucidar el problema.

3.3 TEOREMA DE BERNOULLI

BIOGRAFIA DE BERNOULLI:

La familia Bernoulli fue una de las mas conocida por la gente ya que sus integrantes como. Jakob Bernoulli (Basilea, Suiza, 1654- id. , 1705), Johann Bernoulli (Basilea, 1667- id. , 1748) y Daniel Bernoulli (Groninga, Holanda, 1700- Basilea, 1782. Familia de científicos suizos. Jakob Bernoulli, el iniciador de la dilatada saga de los Bernoulli, nació en el seno de una familia de comerciantes procedentes de los Países Bajos.

Tras licenciarse en teología y haber estudiado matemáticas y astronomía contra la voluntad familiar, entre 1677 y 1682 viajó a Francia (donde se familiarizó con el pensamiento de Descartes), los Países Bajos e Inglaterra.

De regreso en Suiza, desde 1683 enseñó mecánica en Basilea y en secreto introdujo en el estudio de las matemáticas a su hermano Johann, a quien su padre había destinado a la medicina. En 1687 se hizo cargo de la cátedra de matemáticas en la Universidad de Basilea.

Con su hermano, estudió las aportaciones de G. W. Leibniz al cálculo infinitesimal, el cual aplicó al estudio de la catenaria (la curva que forma una cadena suspendida por sus extremos), y en 1690 introdujo el término de integral en su sentido moderno.

Al año siguiente, Johann solucionó el problema de la catenaria, lo cual le valió situarse entre los matemáticos de primera línea de la época; de los dos hermanos, él fue el más intuitivo y el que con mayor soltura manejaba el formulismo matemático, mientras que Jakob era de inteligencia más lenta pero más penetrante.

Ambos compartieron un exagerado afán por ver reconocidos sus méritos, e incluso mantuvieron frecuentes disputas de prioridad entre ellos y con otros autores. Johann inició en el cálculo infinitesimal creado por Leibniz al marqués de L‘Hôpital, quien aprovechó las lecciones para publicar el primer libro de texto sobre el tema.

En 1695, Johann decidió aceptar el ofrecimiento de ocupar una cátedra de matemáticas en Groninga, perdidas las esperanzas de

obtener plaza en Basilea en vida de su hermano Jakob, y resentido con él por la actitud condescendiente con que lo trataba. En 1697, Johann dio una brillante solución al problema de la braquistócrona, que él mismo había planteado el año anterior. Jakob analizó también la cuestión y aportó su propia solución, mucho menos elegante, pero que lo condujo a las puertas de una nueva disciplina, el cálculo de variaciones, en cuyo ámbito propuso a su vez el llamado problema isoperimétrico.

Johann subestimó la complejidad del tema, que resolvió de forma incompleta; las despiadadas críticas que por ello le dedicó su hermano supusieron el inicio del abierto enfrentamiento entre ambos. Johann regresó a Basilea como sucesor de Jakob a la muerte de éste, debido a la cual quedó incompleta e inédita su gran obra sobre el cálculo de probabilidades, el Ars conjectandi, publicada en 1713 por su sobrino Nicolás, hijo de Johann y hermano mayor de Daniel Bernoulli.

Este último, que se doctoró en medicina en Basilea (1721) con una tesis sobre la respiración, en 1725 fue nombrado profesor de matemáticas en la Academia de San Petersburgo; se trasladó a Rusia en compañía de su hermano Nicolás, quien falleció al año siguiente de su llegada; en San Petersburgo contó, desde 1727, con la colaboración de L. Euler, discípulo de su padre y de su tío Jakob, que sucedió a Daniel cuando, en 1732, éste regresó a Basilea como catedrático de anatomía y de botánica.

Autor de notables contribuciones a la teoría de las ecuaciones diferenciales, el tercer Bernoulli destacó sobre todo por su estudio de la mecánica de fluidos; su obra principal, Hydrodynamica, se publicó en 1738, aunque ya la había concluido en 1734. Contiene la idea de lo que más tarde se conoció como teorema de Bernoulli, así como los fundamentos de la moderna teoría cinética de los gases.

Desde 1750 hasta 1776 ocupó la cátedra de física en Basilea; se distinguió por ilustrar sus clases con interesantísimos experimentos que le valieron grandes éxitos de audiencia.

Daniel Bernoulli, en su obra Hidrodinámica (1738) expuso este principio, que expresa que, en un fluido perfecto (sin viscosidad, ni rozamiento) en régimen de circulación por un conducto cerrado, la

energía que posee el fluido permanece constante a lo largo de su recorrido.

Daniel Bernoulli (8 de febrero de 1700 - 17 de marzo de 1782) fue un matemático suizo.

Daniel era hijo de Johann Bernoulli. Destacó no sólo en matemáticas puras, sino también en las aplicadas. Hizo importantes contribuciones en Hidromecánica y Elasticidad.Nació en Groninga, en la época en que su padre enseñaba allí. Ya en Basilea destacó en matemáticas. Su padre y su hermano mayor, Nikolaus fueron sus profesores.Daniel finalizó los estudios de Medicina en 1721.En 1724, cuando se fundó la Academia de Ciencias de San Petersburgo, Christian Goldbach, le propuso a Nicolás un puesto, pero por mediación de su padre, Goldbach, amplió la oferta a los dos hermanos: Nicolas II y Daniel I.En la Academia de San Petersburgo Daniel I trabajó en la cátedra de Física. Como anécdota decir que ese tiempo compartió piso con Euler.Daniel I estuvo ocho años en San Petersburgo y su labor fue muy reconocida.En 1738 publicó su obra Hidrodinámica, en la que expone lo que más tarde sería conocido como el Principio de Bernoulli.Daniel también hizo contribuciones importantes a la teoría de probabilidades.

En 1750 la Universidad de Basilea le concedió, sin necesidad de concurso, la cátedra que había ocupado su padre.Al final de sus días ordenó construir una pensión para refugio de estudiantes sin recursos.Publicó 86 trabajos y ganó 10 premios de la Academia de Ciencias de Paris, sólo superado por Euler que ganó 12.Murió de un paro respiratorio.

RESTRICCIONES A LA ECUACIÓN DE BERNOULLI.

Aunque la ecuación de Bernoulli sea aplicable a una gran cantidad de problemas prácticos, existen algunas limitaciones que debemos tomar en cuenta con el fin de aplicar la ecuación de manera correcta.

1. Es valido solamente para fluidos incomprensibles puesto que el proceso esférico del fluido se tomo como el mismo en las dos secciones de interés.

2. No puede haber dispositivos mecánicos entre las dos secciones de interés que pudieran agregar o eliminar ya que la ecuación establece que la energía total del fluido es constante.

3. No puede haber transferencia de calor hacia dentro o fuera del fluido.

4. No puede haber pérdidas de energía debido a la fricción.

DEDUCCIÓN DE LA ECUACIÓN DE BERNOULLI PARA LA PRESIÓN.

A continuación veremos las deducciones de la formula de Bernoulli para la presión, practico del equilibrio y del volumen de los fluidos.

Obteniendo la ecuación de Bernoulli:

A estos efectos, es de aplicación el Principio de bernoulli que, no es sino la formulación, a lo largo de una línea de flujo de la ley de concervacion de energía Para un fluido ideal, sin rozamiento, se expresa

h + (v2 / 2g) + (P / ρ) = constante, donde

g aceleración de la gravedad ρ peso específico del fluido P presión

Basándonos en la ecuación de la concentración de la energía sabemos que.

1

21

2

22

22mgz

mvmgz

mvxFrF

Hacemos un despeje.

1

21

2

22

22mgz

mvmgz

mvFrxFx

Donde es

2

22

1

21

22mgz

mvFrxmgz

mvFx

Sabemos que

A

FP Despejamos para F donde F=P/A

También sabemos que la densidad es igual a la masa sobre volumen y despejamos para la masa donde quedaría masa es igual a densidad por volumen.

Se hace una sustitución en la formula y quedaría de esta manera.

2

22

22112

11 22vgz

VVXAPvgz

VVxAP

Donde sabemos que vx área por distancia es igual a volumen.

2

22

21

21

1 22vgz

vvVPvgz

vvVP

Donde los volúmenes son iguales y se eliminan en todos los puntos.

2

22

21

21

1 22gz

VPgz

VP

ECUACIÓN DE BERNOULLI PARA VOLÚMENES

Si queremos despejar para el volumen quedaría, basándonos en el principio de la conservación de la energía.

1

21

2

22

22mgz

mvmgz

mvxff r

1

21

2

22

22mgz

mvmgz

mvfrxfx

Sabemos que.

vmv

mPAF

A

Fp

Hacemos una sustitución.

2

22

221

21

11 22gzv

VvXAPvgz

VvXAP

vx (Área por distancia igual a volumen)Hacemos una eliminación de las velocidades y áreas.

Despejamos para v

22

2212

11 2222 gz

vPgz

vP

De eliminan las densidades y quedaría de esta manera la ecuación de Bernoulli despajada para los volúmenes.

222

21

21

1 22

22

gzvP

gzvP

ECUACIÓN DE BERNOULLI PARA SACAR LA MASA

Si queremos despejar para z.

Utilizamos la ecuación del principio de la conservación de la energía.

1

21

2

22

22mgz

mvmgz

mvxfrf

1

21

2

22

22mgz

mvmgz

mvfrxfx

Hacemos una igualación

2

22

1

21

22mgz

mvfrxmgz

mufx

Sabemos que.

vmv

mPAF

A

FP

Sustituimos en la formula.

2

22

221

21

11 22Vgz

VvXAPVgz

VvXAP

Sabemos que ciadisporareavx tanEliminamos la velocidad en los dos casos y las áreas.

2

22

21

21

1 22gz

vpgz

vp

Despejamos para z

2

222

1

211

22z

g

v

g

pz

g

v

g

p

Se eliminan las densidades y quedaría de esta maneraza ecuación de bernoulli despejado para la masa.

2

222

1

211

22z

g

v

g

pz

g

v

g

p

3.4 FLUJO VOLUMÉTRICO:

Es probable que la segunda propiedad cinética más importante sea el flujo volumétrico o caudal ¨Q¨ que pasa a trabes de una superficie (imaginaria) del campo fluido.

Supongamos que la superficie S de una figura es una varilla mágica a trabes de la cual pasa el fluido sin resistencia y nos preguntamos, ¿cuanto volumen de fluido pasara a trabes de S en la unidad de tiempo? Si como es normal, V varia con la presión debemos integrar sobre la superficie elemental, dA de la misma figura.

Además V puede pasar a trabes de dA formando un cierto ángulo con la normal. Sea n el vector unitario normal a da.

El volumen que atraviesa de en el tiempo dt es el volumen del paralelepípedo inicialmente.

dtdAnvdAVdtdv cos

Donde conocemos que dv / dt es el flujo volumétrico Q a través de la

superficie S. Como se conoce

v y queda.

dAVdAnvvs ns

Pero podemos sustituir v*n por su equivalencia vn , la componente de v

normal a dA, pero el uso del producto escalar nos permite distinguir entre el flujo entrante y el flujo saliente.

Por convención consideremos siempre que n es el vector unitario normal hacia el exterior. Por lo tanto nv será el flujo saliente si es positivo y entre sí es negativo, ya que este convenio nos será de gran utilidad cuando calculemos los flujos volumétricos o de otras magnitudes en las ecuaciones integrales.

El flujo volumétrico se utiliza a menudo, particularmente en movimiento en conductos, para definir una velocidad media en la forma.

s

s n

m dA

dA

A

V vv

Esto proporciona una velocidad de referencia muy útil para comparar resultados de distintos flujos.

Ahora aremos un ejemplo del flujo volumétrico.A bajas velocidades, el flujo por el interior de un tubo circular muy largo tiene una distribución parabólica donde R es el radio del tubo y U máx. Es la velocidad máxima que se alcanza en el eje.

2

2

max1

R

ru U

a) Hallar una expresión general para el flujo volumétrico y su velocidad media.

b) Calcular el flujo volumétrico sí R= 3cm y U max = 8 m/s

Solución:

a) Sabemos que el área S es la sección transversal del tubo y n = i entonces la componente normal uivnv como u solo varia con r esto se puede tomar como elemento de dA a una corona circular donde sabemos que. Entonces el flujo volumétrico e.

udAvvidAdA vvv n

rdrR

ruv

R

210 2

2

max

Entonces integramos con respecto a r y tendremos que

Su velocidad media será.

2

2max2

1

R

Ru

A

vum

Y su resultado seria.

max2

1uum

b) La velocidad media es la mitad de la máxima lo cual es aceptable para flujos a baja velocidad, o laminares, en tubos. Esta teoría corresponde y se presenta de esta manera.

2max2

1Ruv

203.0/82

1msmv

smv 2011.0

3.5 FLUJO MASICO.

El flujo volumétrico multiplicado por la densidad nos da el flujo masico. Si la densidad varia en la superficie de integración, debe ser incluida en él integrando y será como.

dAvdAnvms ns

Cuando la densidad es constante, se puede sacar de la integral.Y quedaría de esta manera.

dAvmdAnvms ns

Donde conocemos que dAvn es igual

v o al Q y quedaría de esta manera.

vmoQm

Ahora aremos un ejemplo del flujo masico.

A bajas velocidades, el flujo por el interior de un tubo circular muy largo tiene una distribución parabólica donde R es el radio del tubo y U máx. Es la velocidad máxima que se alcanza en el eje.

a) Calcule el flujo masico si la densidad es de 1000 Kg./m.

Solución.

Como vemos en el ejemplo del flujo volumétrico y el flujo masico es el mismo a través de los datos que nos dan del flujo volumétrico sacaremos el flujo masico.Con la densidad dada (como supuesta constante lo haríamos de esta manera).

skg

sm

mkg mmQm 3.110113.01000 3

3

3.6 BALANCE DE MATERIA

A1 A2

Los balances de materia no son más que la aplicación de la ley de la conservación de la masa. “La materia no se crea ni se destruye solo se transforma” lo que este conducto significa en la materia y como puede aprovecharse el concepto para resolver problemas con diversos grados de complejidad para resolver problemas con diversos grados de complejidad requiere una explicación bastante extensa.Un balance de materia no es más que una contabilización de material. Es común comparar los balances de materia con los balances de cuentas.Su ecuación es.

Entrada - Salida + Generación - Consumo = Acumulación

Aplicando en un balance de materia sobre una tubería con contracción.

12

Entrada – salida + producción = acumulación (balances de materia)

E – S + P = AEs un sistema que si hay entrada y si hay salida pero no hay producción y no hay acumulación. E – S = 0Se hace una igualación. E = S Esto seria.

21

mm

Pero sabemos que los flujos masicos son iguales a. 2211 vAvA se eliminan las densidades.

3.7 ECUACIÓN DE CONTINUIDAD

Basándonos en lo anterior la ecuación de continuidad es un enunciado de la conservación de la masa para un flujo de régimen estacionario,

cada elemento de masa del fluido que entra por un extremo del tubo de flujo sale por el tubo extremo.

Esto nos dice que el fluido que pasa a través de cada sección del tubo es constante.1*A = cte.

Supongamos que un flujo de régimen estable, r es independiente del tiempo, aunque depende del tiempo puede depender de la presión.

Todo elemento del fluido que llega a (r) sigue con una trayectoria que se llama línea de corriente.

Dos líneas de corriente nunca se cruzan, un haz de líneas de corriente forman un tubo de fluido.

Sí A es la sección del tubo de fluido perpendicular a la dirección del flujo en algún punto y j la densidad del flujo, de masa en el mismo punto. Entonces A es paralelo a j y a la ecuación de la continuidad se escribe.PvA = cte de gasto.

Si el fluido es incomprensible, la ecuación se escribe.VA = cte.

2211 vAvA

Consideremos cualquier superficie cerrada en un fluido en movimiento, en general, el fluido entra en el volumen encerrado por la superficie a través de unos puntos y sale por otros.

La ecuación de continuidad es una expresión matemática de hecho de que la velocidad neta de flujo de masa por unidad de tiempo dentro de la superficie.

Por un flujo incomprensible en régimen estacionario la ecuación de continuidad toma la forma (de la figura) presenta una porción de tubo de flujo, situada entre dos secciones transversales, fijas de área 1A y

2A y llamamos 1V y 2V a las velocidades de estas secciones.

No existen flujos a través de las propiedades del tubo, pues en cada punto de las mismas la velocidad es tangente a la pared.

El volumen del fluido que se mueve en el interior del tubo a través de 1A en un intervalo de tiempo t en el contenido en el pequeño

elemento cilíndrico de base 1A y altura tV es decir la densidad del fluido, la masa que entra es tVA 11 el volumen comprendido ente 1A y

2A es constante.

Dado que la figura es estacionaria por lo tanto.

2211 VAVA

3.8 TORRICELLI.

BIOGRAFÍA DE TORRICELLI.(1608 – 1647)Físico matemático, italiano enuncia el teorema que lleva su nombre, sobre el derrame de líquidos e invento el barómetro (1634).Fue discípulo de Galileo, enuncio los principios de la velocidad de salida de un líquido contenido en un recipiente por pequeño orificio situado, a un desnivel h. De la superficie, es la que poseería situado a un grave que cayese libremente desde la altura h.Asimismo, sus aportaciones a la geometría fueron determinantes en el desarrollo del cálculo integral. Su tratado sobre mecánica De mutua (Acerca del movimiento), logró impresionar a Galileo, en quien el propio Torricelli se había inspirado a la hora de redactar la obra.

En 1641 recibió una invitación para actuar como asistente de un ya anciano Galileo en Florencia, durante los que fueron los tres últimos meses de vida del célebre astrónomo de Pisa.Natural de Faenza, quedó huérfano a edad temprana, por lo que fue educado bajo la tutela de su tío, Jacobo Torricelli, un fraile camaldulense que le enseño humanidades.En 1627 fue enviado a Roma para que estudiara ciencias con el benedictino Benedetto Castelli (1577- 1644), llamado por Urbano VII para enseñar matemáticas en el colegio de Sapiencia y uno de los primeros discípulos de Galileo.La lectura cuidadosa de la obra dé Galileo Dialoga Della nueve ciñese (1638) le inspiró algunos desarrollos de los principios mecánicos allí establecidos que recogió en su obra De motu. En 1641, Castelli se puso en contacto con Galileo para mostrarle el trabajo de su pupilo y solicitarle que le acogiera, propuesta que Galileo aceptó.Por lo que Torricelli se trasladó a Florencia, donde ejerció de amanuense de Galileo los últimos tres meses de la vida del sabio italiano, que falleció a principios del año siguiente. Tras la muerte de Galileo, Torricelli, que deseaba volver a Roma, cedió a las distinciones de Fernando II, y nombrado filósofo y matemático del gran duque y profesor de matemáticas en la academia, se estableció definitivamente en Florencia.

TORRICELLI (1608 – 1647)

En 1643 realizó el descubrimiento del principio del barómetro, por el que pasó a la posteridad, que demostraba la existencia de la presión atmosférica, principio posteriormente confirmado por Pascal realizando mediciones a distinta altura.

La unidad de presión torr se nombró en su memoria. Enunció, además, el teorema de Torricelli, de importancia fundamental en hidráulica, según el cual (despreciando el efecto del rozamiento y resistencia deembocadura), un fluido se vierte por un pequeño orificio con igual velocidad que si cayera desde la superficie del líquido hasta el orificio: Velocidad = raíz cuadrada (2gh)

Lo anterior es válido sí: consideramos que la velocidad de las partículas superficie del líquido, aguas arriba del orificio, es nula comparada con la velocidad del fluido en este. Superficie del líquido y orificio están en contacto con la atmósfera.

En 1644 publicó su trabajo sobre el movimiento bajo el título Opera geométrica. La publicación, junto a esta obra, de varios trabajos sobre las propiedades de las cicloides le supuso una agria disputa con.

Roberal quien le acusó de plagiar sus soluciones del problema de la cuadratura de dichas curvas. Aunque no parece haber dudas de que Torricelli llegó al mismo resultado de forma independiente, no obstante, el debate sobre la primicia de la solución se prolongó hasta su muerte.

Entre los nuevos descubrimientos que realizó, se encuentra el principio que dice que si una serie de cuerpos están conectados de modo tal que, debido a su movimiento, su centro de gravedad no puede ascender o descender, entonces, dichos cuerpos están equilibrio.

Descubrió además que la envolvente de todas las trayectorias parabólicas descritas por los proyectiles lanzados desde un punto con igual velocidad, pero en direcciones diferentes, es un paraboloide de revolución. Así mismo, empleó y perfección el método de los indivisibles de Cavalieri.

Deduciendo el teorema de torricelli.

Supongamos que en un depósito de sección transversal A1lleno asta la altura h. Con un líquido de densidad . El espacio situado sobre la superficie del líquido contiene aire a presión p y él líquido sale por un orificio de área A2. Consideremos el volumen total del fluido en movimiento. Como único tubo de flujo, y serán V1y V2 las velocidades en los puntos 1 y 2 la cantidad de v2 se le denomina velocidad de salida. (La presión en el punto 2 es la presión atmosférica pa.

Como primeo aplicamos la ecuación de bernoulli en los puntos 1 y 2 y tomamos el fondo del depósito como nivel de referencia.

Eliminamos la altura 2

h

1 P A1

2

A2Pa

Eliminamos las gravedades y despejamos para v.

Según la ecuación de la continuidad

Como las líneas de corriente convergen a medida que se aproxima al orificio la sección transversal de la corriente siguen distribuyendo un pequeño recorrido fuera del depósito.

Esta área de sección transversal mínima, llamada sección contraída del deposito (vena contracta) es la que ha de utilizarse la ecuación de continuidad. Para una abertura circular de bordes finos, el área de la sección contraída es, aproximadamente, el 65% del área del orificio.

Consideremos ahora unos casos especiales suponiendo que él deposito esta abierto a la atmósfera de forma que.

0 papypapSea el área uno mayor a la área dos entonces el volumen uno al cuadrado es mucho menor que al volumen dos al cuadrado y podría despreciarse según la ecuación de bernoulli.

Eliminamos la presión

ghvv 221

22

Eliminamos el volumen uno

ghv 222

Esto seria igual a.

ghv 22

3.9 VENTURIGIOVANNI BATTISTA VENTURI: (Bibiano, actual Italia, 1746-Reggio nell'Emilia, id. , 1822) Físico italiano.Fue profesor de la Escuela de Ingenieros militares de Módena y de la Universidad de Pavía.

Su nombre está ligado a las investigaciones en el campo de la mecánica de fluidos, en el curso de las cuales consiguió importantes resultados en el estudio del movimiento de los líquidos en los troncos convergentes de un conducto.

Basándose en estos estudios, el físico estadounidense Herschel realizó el dispositivo de medición conocido como tubo de Venturi, que presenta un estrangulamiento cónico en su extremo de salida y que, por aplicación del teorema de Bernoulli, permite a partir de la diferencia de presión entre la sección normal y la sección estrangulada determinar el caudal del fluido que lo atraviesa.

Venturi realizó así mismo estudios en el campo de la óptica en particular sobre teoría de los colores y en el de la acústica.El efecto Venturi consiste en que, en la corriente de un fluido dentro de un conducto cerrado disminuye la presión del fluido al aumentar la velocidad cuando pasa por una zona de sección menor.Si en este punto del conducto se introduce el extremo de otro conducto, se produce una aspiración del fluido contenido en este segundo conducto. Este efecto recibe su nombre del físico italiano Giovanni battista venturi (1746- 1822).El efecto Venturi se explica por el principio de bernoulli y el principio de continuidad de masa. Si el caudal de un fluido es constante pero la sección disminuye, necesariamente la velocidad aumenta.Por el teorema de conservación de energía cinética si la energía cinética aumenta, la energía determinada por el valor de la presión disminuye forzosamente.

Aplicaciones del efecto Venturi

Aeronáutica: Aunque el efecto Venturi se utiliza frecuentemente para explicar la sustentación producida en alas de aviones el efecto Venturi por sí solo no es suficiente para explicar la sustentación aérea. Durante la primera guerra mundial, Albert Eleisten diseñó para el ejército alemán un modelo de ala a partir de un análisis del principio de Bernoulli y el efecto Venturi. El prototipo que llegó a ser construido no pudo apenas despegar.

Motor: el carburador aspira el carburante por efecto Venturi, mezclándolo con el aire (fluido del conducto principal), al pasar por un estrangulamiento.

Tubos de Venturi: Medida de velocidad de fluidos en conducciones y aceleración de fluidos.

Tubo de Venturi

Un tubo de Venturi es un dispositivo inicialmente diseñado para medir la velocidad de un fluido aprovechando el efecto Venturi.

Algunos tubos de Venturi se utilizan sin embargo para acelerar la velocidad de un fluido obligándole a atravesar un tubo estrecho en forma de cono.

Estos modelos se utilizan en numerosos dispositivos en los que la velocidad de un fluido es importante y constituyen la base de aparatos como el carburador.

La aplicación clásica de medida de velocidad de un fluido consiste en un tubo formado dos secciones cónicas unidas por un tubo estrecho en el que el fluido se desplaza consecuentemente a mayor velocidad.

La presión en el tubo Venturi puede medirse por un tubo vertical en forma de U conectando la región ancha y la canalización estrecha.

La diferencia de alturas del líquido en el tubo en U permite medir la presión en ambos puntos y consecuentemente la velocidad.

Cuando se utiliza un tubo de Venturi hay que tener en cuenta un fenómeno que se denomina capitación.

Este fenómeno ocurre si la presión en alguna sección del tubo es menor que la presión de vapor del fluido.

Para este tipo particular de tubo, el riesgo de capitación se encuentra en la garganta del mismo, ya que aquí, al ser mínima el área y máxima la velocidad, la presión es la menor que se puede encontrar en el tubo.

V1 V2

Cuando ocurre la capitación, se generan burbujas localmente, que se trasladan a lo largo del tubo.

Si estas burbujas llegan a zonas de presión más elevada, pueden colapsar produciendo así picos de presión local con el riesgo potencial de dañar la pared del tubo.

ANALIZANDO EL TUBO DE VENTURI:

Considerando que en un estrechamiento producido en un tubo y proyectando de forma que, mediante una disminución gradual de la sección en la entrada, y un aumento también él la salida, se evítela turbulencia. La ecuación de bernoulli aplicada a la parte ancha y al estrechamiento del tubo da.

Se despejaría para la presión:

2

2

1

2

2

12

2

11z

g

v

g

pz

g

v

g

p

g

v

g

p

g

v

g

p

22

222

211

22

22

2

21 v

pv

p

Según la ecuación de continuidad, la velocidad de 2v es mayor que la de 1v y por lo tanto, la presión dos en el estrechamiento es mayor que la presión uno. Entonces una fuerza neta ejercida hacia la derecha el fluido cuando entra al estrechamiento y una fuerza neta desacelera cuando sale.

Las presiones uno y dos se miden disponiendo lateralmente tubos verticales como los presentados.

Considerando esta presión y las áreas de la sección transversal 21 AyA

se calculan las velocidades y la masa por unidad de tiempo del flujo.

Cuando se utiliza para este propósito, el dispositivo se denomina el medidor de venturi.

La disminución de la presión en un estrechamiento tiene muchas aplicaciones técnicas.

ANALIZANDO EL TUBO HORIZONTAL:

2

222

1

211

22z

g

v

g

Pz

g

v

g

P

g

v

g

p

g

v

g

p

22

222

211

22

222

211 vpvp

22

21

2221 vvpp

2

21

2221 vvpp

21

22

212vv

pp

Utilizamos la ecuación de continuidad

212

12211 VV

A

AVAVA

Entonces quedaría.

22

21

2

2

1212VV

A

App

1

22

2

121

21

A

AV

pp

Despejamos para el volumen 1

1

22

2

1

2121

A

A

ppV

1

22

2

1

211

A

A

ppV

Si nos fijamos que la

0202101 ghghppghpp

Despejamos para las presiones

0201021 ghghpghppp

02121 ghghghpp

Sacamos factor común.

02121 hhhgpp

Donde

hhh 21

021 hhgpp

Sustituyendo.

1

22

2

1

1

A

A

ghV

Y quedaría de esta manera.1

22

2

1

1

A

A

ghV

3.10 TUBO DE PITOT:

El tubo de pitot es una sonda con una abertura, en el extremo situado contra la corriente. En la abertura se forma un punto de remaso donde

la presion de 2p y la velocidad es cero.

Aplicando la ecuación de bernoulli al punto de remasos y a un punto situado a gran distancia de la sonda en la cual, la presion es p y la

velocidad es 1v y tenemos.

22 2

1vPP

la densidad del fluido es en movimiento, la presion dos en el punto de remanso es por tanto la suma de la presion y la cantidad de.

2

2

1v

tubo de pitot

3.11 PROBLEMARIO.

1._Un acueducto de 14cm de diámetro interno surte agua a traves de una cañeria al tubo de la llave de 1cm de diámetro. Si su velocidad promedio en el tubo de la llave de 3cm/s ¿Cuál sera la velocidad promedio en el acueducto.

p

P2

Los fluidos son iguales y la ecuación de continuidad sabemos que

2211 VAVAQ

Supongamos que 1 sea la llave y dos el acueducto.

22

21

12

112 r

rV

A

AVV

2

2 14

1/3

scmV

scmV /015.02

2._Un tanque abierto en su parte superior tiene una avertura de 3cm de diámetro el cual se encuentra a 5m por debajo del nivel del agua contenida en el recipiente. ¿Qué volumen del liquido saldra por minuto a traves de dicha abertura?

en este caso puede aplicarse la ecuación de bernoulli, en la parte superior del nivel y en la parte inferior en el orificio.Entonces 05 2121 hmhypp

ghvpghvp 22221

211 2

1

2

1

5m

1

2

ghvghv 2221

21 2

1

2

1

si el tanque es lo suficientemente grande, 1v puede considerarse cero,

por lo tanto al resolver para el volumen dos se obtiene la ecuación de torricelli:

smmsmhhgv /9.95/81.922 2212

y el fluido esta dado por.

min/42.0/10*5.1/9.9 33322 msmsmAvQ

3._Un tanque de agua fuga en la posición 2 que se muestra en la figura donde la presion del agua es de 500kpa ¿Cuál es la velocidad de escape del fluido por el orificio?

Utilizando la ley de bernoulli con la presion uno menos la presion dos es igual a cinco por diez a la cinco niuton metro cuadrado y la altura uno es igual a la altura dos y la aproximación de el volumen uno es igual a cero.Entonces.

222121 2

1vghhpp

de donde

sm

mkg

mNppv /6.31

/1000

/10*5223

2521

2

p

4._Un depósito de gran base se llena con agua hasta alcanzar 30 cm de altura. Un orificio de 6,25 cm2 de sección practicado en el fondo permite el desagüe en chorro continuo del depósito. a) ¿Con que caudal fluye el agua del depósito, expresado en litros/seg? Despréciese la convergencia de las líneas de corriente del depósito la sección de la vena líquida es la mitad del área del orificio?

Basandonos en la formula de torricelli.

)30)(980(22 cmghV

segcmV 4871.242

seglts

segcmcmseg

cmVAQ 515.154.1515)25.6)(4871.242(32

2

222

1

212

22Z

g

V

g

PZ

g

V

g

P

hZ 1

30cm

g

V

g

Vh

22

21

22 2211 AVAV 21 2AA

12

212 2]

2[ VA

AVV

]4[2

1])()2[(

2

1 21

21

21

21 VV

gVV

gh

2

221

980(2

)4871.242(3

2

3

scm

scm

g

Vh

cmh 90

5.-El tubo representado en la figura, tiene una sección transversal de 36 cm2 en las partes anchas, y de 9 cm2 en el estrechamiento. Cada 5 segundos salen del tubo 27 1 de agua. a)Calcúlense las velocidades en las partes anchas y en la parte estrecha del tubo. b)Hállense la diferencia de presiones entre estas partes. c) Calcúlese la diferencia de alturas entre columnas de mercurio del tubo en U.

segcm

lt

cm

seg

ltQ

33

54001

1000

5

27

A1v1 A2V2

h

2

3

11

36

5400

cmS

cm

A

QV s

ms

cmV 5.11501

2

3

22

9

5400

cmS

cm

A

QV s

ms

cmV 66002

2

22

21

21

1 22gz

VPgz

VP

)(

22

12

221 VVPP

22

2222

2

3

21 172193877.0]10000

1][

8.9

1][)5.1()6[(

2

1000)(

cmkgf

cm

m

kgm

kgfs

s

m

s

mmkg

PP

ghPPc 1

212 ghhgghPPd hgo

2121 ghhgghPghP hgo

21021 ghhgghghPP hg

20121 )( ghhghhgPP hg

22021 ghghghPP hg

2021 )( ghghPP hg

g

PPh

hg )(

)( 212

]1

100[136661807.0]

1

¨8.9[

)8.9)(100013600(

93877.1721

2

233

2

2 m

cmm

kgfs

kgm

s

mm

kgm

kgm

kgf

h

cmh 66.13

6.-¿Qué presión manométrica se requiere en la cañerías de agua de una ciudad para que el chorro de agua de una manga de incendios conectada a la cañería pueda alcanzar una altura vertical de 18 m? Despréciense los efectos del rozamiento.

MonoABS PPP

ghPMn

2222

3 8.11800400,176)18)(8.9(1000(cm

kgfm

kgfm

Nmsm

mkgghPM

7.-Un depósito cilíndrico, abierto por su parte superior, tiene 20 cm de altura y 10 cm de diámetro. En el centro del fondo del depósito se práctica un orificio circular cuya área es 1 cm2. El agua entra en el depósito por un tubo colocado en la parte superior a razón de 110 cm3/seg. a) ¿Qué altura alcanzará el agua en el deposito? b) Si se detiene la entrada de agua en el depósito después que ésta haya alcanzado la altura anterior, ¿qué tiempo es necesario para vaciar el depósito?

222 VAQ g

z

A

At

2

2

1

20cm

10cm

gzAQ 222 g

z

A

Dt

2

4 2

21

gzA

Q2)( 2

2

2 seg

cmcm

cm

cmt

980

)10(2

)1(4

)10(2

2

2

2

2 ][2

1

A

Q

gz segt 2199.11

22

3

2

]1

140[

)980(2

1

cms

cm

scm

z cmz 10

8._En un depósito cerrado de gran sección, la altura del agua salada que contiene agua alcanza 4 pies (peso especifico del agua salada 64 lb/pie3). El depósito contiene aire comprimido a una presión manométrica de 1 lb/pulg2. el tubo horizontal de salida tiene duna sección de 2,88 pulg2 y 1,44 pulg2 en las partes gruesa y delgada , respectivamente a) ¿Cuál es el caudal de salida por el tubo? b) ¿Qué altura h alcanzará el agua en el extremo abierto del tubo? c) Si se abre un pequeño orificio en la parte superior del depósito, reduciéndose a cero la presión manométrica, ¿cuál será ahora la altura h?

nos vasamos en la ecuación de bernoulli

22

22

12

11 2

22

2gzV

PgzV

P

agua

aire

221

22

22V

Pgz

PP oom

despejamos para el volumen dos

sftft

sft

ftlb

lbfsLbft

ftin

inLbf

gzP

V m 20)4)(32(264

]132

][1

144][1[2

22

2

3

22

2

2

2

sacamos el caudal del tubo

VAQ ]144

1][44.1][20[ 2

22

2222 in

ftin

sftAVQ

sftQ

3

2 2.0

3322 AVAV 23 2AA )20(2

1]

2[

2

223 s

ftA

AVV

s

ftV 103

3

23

31

21

1 22gz

VPgz

VP

2

23

13 1

VgzPPP mnno

]44.1

1][

32

1[]10][64[

2

1]

44.1

1][4][64[]1[]7.14[

2

222

32

2

3223in

ft

ftlb

slbfs

ftft

lbin

ftft

ftlbf

inlbf

inlbP

23 7833.16in

lbfP

ghPP o 3 ghPP o 3

]1

44.1[

]64[

]7.147833.16[

2

2

3

23

ft

in

ftlb

in

lbf

g

PPh o

fth 6874.4

][3

223 A

AVV 1

3

23 2

2][ gz

PmAA

V

]}22

[]{[2 1

12

3

2113 gz

Pm

A

AgzPnPP o

])(1][][[)( 2

3

211

3

2113 A

AgzPm

A

AgzPmPP o

g

PAA

PgzPmP

g

PPh

ooo

])(1][[ 2

3

211

3

])(1][[ 2

3

21 A

Az

g

Pmh

pm=0

])(1][[ 2

3

21 A

Az

g

Pmh

32

22

3

2

2

]4

11)[4(])

2

1(1)[4(])(1[

AA

ftftA

Azh

]4

3)[4( fth fth 3

9.-Un tubo de venturi representado en la figura tiene una seccion transversal de 36centimetros cuadrados en la parte ancha y 9 centimetros en el estrechamiento cada 5 seg sale del tubo 27 litros de agua calcular la velocidad en la parte ancha y estrecha del tubo, encuentre la diferencia de presiones entre ambas partes y calcule la altura de Hg en el manómetro.

segltssegltsQ /4.55/271

111 vAQ

2

3

1

11 36

1

1000/4.5

cm

lt

cmseglts

A

QV

segcmV /1501

2

3

1

12 9

1

1000/4.5

cm

lt

cmseglts

A

QV

segcmV /6002

21

222

vvp

2/17219.0 cmkgfp

12

2

21 oh

Hgghv

1

12

1

2

2

21

HgA

A

g

vh

332212 2 VAVAghv

ghghA

AvV

A

AV 222

3

232

3

23

2

222

3

233

22z

g

v

g

pz

g

v

g

p

22

222

233 vpvp

22

23

2203 vvpp

33

2203 2

vvpp

103 3 ghpp

oc pp

23 ghgh

12 3hh

AUTOEVALUACION:

TEORIA:

1.- CONTESTA LAS SIGUIENTES PREGUNTAS.

1.-Escribe las restricciones de la ecuación de Bernulli

2.-Deduse la formula de bernoulli despejando para el volumen

3.-Que dice la teoria de torricelli.

4.-Deduse la formula para sacar el flujo masico.

2.-SUBRRAYA LA RESPUESTA CORRECTA

2.-¿Quién invento el barometro?

a).-Torricelli b).- Bernoulli c).- Ventura

3.-¿Sobre que iso estudios ventri?

a).- optica de colores b).-barometro c).- medicina

PRACTICA:

1.-Se práctica un orificio circular de 2,5 cm de diámetro en la pared lateral de un gran depósito, y a una altura de 6 m por debajo del nivel del agua en el mismo. Calcúlese: a) la velocidad de salida; b) el gasto. Despréciese la contracción de las líneas de corrientes después de salir del orificio.

gzV 2 AVQ .

)6)(8.9(2V ]4

)025.0()[8443.10(

2mQ

smV 8443.10 s

mxQ33103232.5

segltsQ 3232.5

2.-Un depósito de gran base se llena con agua hasta alcanzar 30 cm

de altura. Un orificio de 6,25 cm2 de sección practicado en el fondo

permite el desagüe en chorro continuo del depósito. a) ¿Con que

caudal fluye el agua del depósito, expresado en litros/seg?

Despréciese la convergencia de las líneas de corriente del depósito la

sección de la vena líquida es la mitad del área del orificio?

)30)(980(22 ghV

segcmV 4871.242

seglts

segcmcmseg

cmVAQ 515.154.1515)25.6)(4871.242(32

2

222

1

212

22Z

g

V

g

PZ

g

V

g

P

hZ 1

g

V

g

Vh

22

21

22 2211 AVAV

21 2AA

12

212 2]

2[ VA

AVV

]4[2

1])()2[(

2

1 21

21

21

21 VV

gVV

gh

2

221

980(2

)4871.242(3

2

3

scm

scm

g

Vh

cmh 90

3.-Un depósito cerrado, que contiene agua de mar hasta una altura de 1,5 m, contiene también aire por encima de la superficie del agua a la presión manométrica de 41 kg/cm2. Calcúlese la velocidad de salida del agua

22

2

24100]

1

100[

41m

kgm

cm

cm

kgPmnn

22

22

12

11 2

22

2gzV

PgzV

P

221

22

22V

Pgz

PP oom

)5.1)(8.9(2]8.9

[1000

)4100(22 22

3

2

ms

m

skgf

mkg

mkg

mkg

gzP

V m

sm

V 4766.10

4.-¿Qué presión manométrica se requiere en la cañerías de agua de una ciudad para que el chorro de agua de una manga de incendios conectada a la cañería pueda alcanzar una altura vertical de 18 m? Despréciense los efectos del rozamiento.

MonoABS PPP

ghPMn

2222

3 8.11800400,176)18)(8.9(1000(cm

kgfm

kgfm

Nmsm

mkgghPM

5.-Una tubería de 15 cm de diámetro, por la cual circula agua llenándola completamente, tiene un estrechamiento de 7,5 cm de diámetro. Si la velocidad en la parte ancha es de 1,2 m/seg, calcúlense: a) la velocidad en el estrechamiento; b) el gasto en litros/seg.

scm

m

cm

s

mV 120]

1

100[2.11

De la ec. de cont.

2211 VAVA

2

22

21

2

112 ]

)5.7(

)15(][120[][120[

m

cm

s

cm

D

D

s

cm

A

AVV

smV

scmV

/8.4

/480

2

2

sltscm

lt

s

cmcm

s

cmQ /20575041.21]

1000

1][75041.21205[]

4

)15(][120[

3

32

3.13 PROBLEMARIO COMPLEMENTARIO

1.-Un depósito cilíndrico de 30 cm de altura y de 465 cm2 de sección, se encuentra inicialmente lleno de agua. ¿Qué tiempo se precisa para vaciar el depósito por un orificio practicado en el fondo, de 6 cm2 de sección? Despréciese la convergencia de las líneas de corriente.

E - S + P = Adt

dmW

dt

VdQ

)( dt

dvQ

gzAQ 2 S = -A

gzAz

dzAdt

21

)2()2(2

1 02

1

2

1 gdzgzgA

Adt

t

o z

oz

to

gz

gA

At |

21

)2(

2

1][|

21

2

1

}]2[]2{[1

][ 21

)(2

1

)(2

1zo gg

gA

Aot

]980(

)30(2][

6

465[

22

2

2

2

2

12

2

1

s

cmcm

cm

cm

g

z

A

A

g

gz

A

At

segt 1762.19

2.- Un depósito cerrado, que contiene agua de mar hasta una altura de 1,5 m, contiene también aire por encima de la superficie del agua a la presión manométrica de 41 kg/cm2. Calcúlese la velocidad de salida del agua

22

2

24100]

1

100[

41m

kgm

cm

cm

kgPmnn

22

22

12

11 2

22

2gzV

PgzV

P

221

22

22V

Pgz

PP oom

)5.1)(8.9(2]8.9

[1000

)4100(22 22

3

2

ms

m

skgf

mkg

mkg

mkg

gzP

V m

sm

V 4766.10

3.-La altura de agua salada (peso especifico = 1025 kg/m3) en un deposito cerrado de gran sección es de 4,8 m. Un tubo horizontal parte del fondo del depósito, disminuyendo su sección desde 450 cm2 a 225 cm2, en la forma indicada en la figura 17-16. Este tubo tiene tres

prolongaciones verticales A, B y C abiertas a la atmósfera. La presión manométrica del aire comprimido contenido en el depósito es de 0,28 kg/cm2. Si el tubo está abierto en el punto O , ¿qué altura alcanza el agua en cada uno de los vasos é altura alcanza el agua en cada uno de los vasos A, B y C? Despréciense los efectos de viscosidad y comprensibilidad. Supóngase que la altura del agua en el depósito y la presión del aire por encima de la superficie de aquella se conservan constantes.

22

22

12

11 2

22

2gzV

PgzV

P

221

1 22

22V

Pgz

PP oom

smm

sm

kgfskgm

mcm

mkg

cmkgf

gzP

V m 15.12)8.4()8.9(2]1

8.9][

110000

[1025

)28.0(22

2222

2

3

2

2

23 2AA 2

1]

2[

2

223

A

AVV )15.12(

2

12 s

mV

smV 075.63

3322 AVAV

2

22

233

3 22gz

VPgz

VP

8

3]

4

3[

2])

2

1([

2][

2

2222

222

22

222

32

223

VPoVPVVPVVPP

2

23

23 1984.035,1588

)15.12)(1025(38.292,101

mNs

mm

kg

mNP

ghPoP 3

ghPoP 2

ghPoP 3

ghPoPo

g

PoPh

3 gh0

)8.9)(1025(

)8.1012921984.035,158(

23

3

sM

mkg

mN

h

enCh 0

mh 6488.54.- Agua del mar de densidad 64 lb/pie3 fluye por una tubería horizontal de sección 1,44 pulg2. En una parte de la cañería la sección se reduce a la mitad. La diferencia de presiones entre estas dos partes es de 0,048 lb/pulg2. ¿Cuántos pies cúbicos de agua saldrán de la tubería en un minuto?

364ft

lb 221 048.0in

lbPP

2211 VAVA 21 2AA

2

21

2

112 1

2

A

AV

A

AVV

12 2VV

21

22

21

21

1 22PGZ

GVPGZ

PVP

21

22

121 2

VVP

PP 2

12

121 2

2VV

PP

21

21 32

VPP

3

2 211

PPV

2

2

2

3

2

11

144

1

32

643

048.02

ft

in

Slbf

ftlbn

ftlbm

inlbt

V

sftV 517893.11

min1

60

144

144.1157893.1

2

2 seg

in

ftins

ftAVQ

min910735966.03ftQ

5.- El agua sale continuamente del depósito representado en la figura 17-18. La altura del punto 1 es 12 m; la de los puntos 2 y 3 es 1,2 m. La sección transversal en el punto 2 es 450 cm2, y en el punto 3 es 225 cm2. El área del depósito es muy grande comparada con las secciones del tubo. a) Hállese la presión absoluta en el punto 2. b) Calcúlese el gasto en litros/seg.

3

22

21

21

1 22gz

VPgz

VP

2

)(2

331

Vzzg

)(2 313 zzgV

])2.112)[(8.9(2 23 ms

mV

segcmV 9226.14543

3322 VAVA scm

cm

cms

cmA

AVV 4613392.727]

450

225)[9226.1454(

2

2

2

332

2

22

21

21

1 22gz

VPgz

VP

]2

)2746.7)(1000()[8.10)(8.9)(1000(8.292,101

2)(

23

232

22

2112s

mm

kg

ms

mm

kgm

NVzzgPP

22

22

222 3836.2]10000

1][

8.9

1[8.592,233

cmkgf

cm

m

kgm

kgfs

sm

kgmP

seglts

cm

ltcms

cmAVQ 3576026.327]1000

1)[450)(4613392.727(.

32

6.- En determinado punto de un tubo horizontal la presión

manométrica es 0,45 kg/cm2. En otro punto la presión manométrica es

0,32 kg/cm2. Si las secciones del tubo en estos dos puntos son 18 cm2

y 9 cm2, respectivamente, calcular el número de litros de agua que

fluyen cada minuto por una sección cualquiera del tubo

22

2

24500]

1

10000[45.0

mkg

m

cm

cm

kg

22

2

23200]

1

10000[32.0

mkg

m

cm

cm

kg

2211 VAVA

]9

18[][

2

2

12

112 cm

cmV

A

AVV

12 2VV 21

21

22 4)2()( VVV

22

12

12

11 24

22

2gzV

PgzV

P

21

21

21 422

VVPP

2121 3)(

2VPP

)(3

2211 PPV

]1

8.9[]32004500[

)1000(3

22

3

2

kgfs

kgm

mkgm

V mkg

s

mV 9143.2

min7478991.314)

1

1000)(

min1

60)(

10000

1)(18)(29143(.

32

22 lt

m

ltsseg

cm

mcms

mAVQ

7.- por un tubo de sección constante fluye continuamente agua de mar, de densidad 1,066 g/cm3, que sale de un deposito elevado. En un punto situado 135 cm por debajo del nivel del agua en el depósito, la presión manométrica de la corriente es 0,076 kg/cm2. ¿Cuál es la velocidad del agua en este punto?

22

2212

11 2222 gzVPgzVP

121 22

2 gzPPV 01 PP

PmPP 02

PmPmPPPP 0021

Pm

gzV2

2 12

2

3

2

22 1

980

066.1

7692139802

sgf

cmg

cmgmcm

gc

cmS

cmV

scmV 359115.3532

8.- En la pared de un depósito cilíndrico de sección A2 y a una profundidad por debajo de la superficie líquida se práctica un orificio de área A1. Hállese la expresión de la velocidad de flujo por el orificio, y compruébese que se reduce al teorema de Torricelli en el caso de ser A2 mucho mayor que A1.

2

22211

22z

g

V

g

Pz

g

V

g

P

12 zhz

2

220

1

12

22z

g

V

g

Pz

g

V

g

Po 12 zzh

g

VVzz

2

22

21

12

De la ec. de continuidad 2211 VAVA )(2

112 A

AVV como

A2A1

g

A

AVV

h2

)]([ 2

2

11

21

22

21

1

1

2

A

A

ghV

g

A

AVV

h2

)( 2

2

11

21

21

22

22

23

21

22

1

22

AA

ghA

A

AA

ghV

])(1[2 2

2

121 A

AVgh ghV 21

9.- La altura de agua salada (peso especifico = 1025 kg/m3) en un deposito cerrado de gran sección es de 4,8 m. Un tubo horizontal parte del fondo del depósito, disminuyendo su sección desde 450 cm2 a 225 cm2, en la forma indicada en la figura 17-16. Este tubo tiene tres prolongaciones verticales A, B y C abiertas a la atmósfera. La presión manométrica del aire comprimido contenido en el depósito es de 0,28 kg/cm2. Si el tubo está abierto en el punto O , ¿qué altura alcanza el agua en cada uno de los vasos é altura alcanza el agua en cada uno de los vasos A, B y C? Despréciense los efectos de viscosidad y comprensibilidad. Supóngase que la altura del agua en el depósito y la presión del aire por encima de la superficie de aquella se conservan constantes.

22

22

12

11 2

22

2gzV

PgzV

P

221

1 22

22V

Pgz

PP oom

smm

sm

kgfskgm

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V m 15.12)8.4()8.9(2]1

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110000

[1025

)28.0(22

2222

2

3

2

2

23 2AA 2

1]

2[

2

223

A

AVV )15.12(

2

12 s

mV

smV 075.63

3322 AVAV

2

22

233

3 22gz

VPgz

VP

8

3]

4

3[

2])

2

1([

2][

2

2222

222

22

222

32

223

VPoVPVVPVVPP

2

23

23 1984.035,1588

)15.12)(1025(38.292,101

mNs

mm

kg

mNP

ghPoP 3 ghPoP 2

ghPoP 3 ghPoPo

g

PoPh

3 gh0

)8.9)(1025(

)8.1012921984.035,158(

23

3

sM

mkg

mN

h

enCh 0

mh 6488.5

3.14 EVALUACION:

1.-La superficie del agua de un depósito tiene una altura de 20 m por encima del punto en que desagua en un tubo de sección transversal 90 cm2. a) ¿Cuál es el gasto en litros por segundo? b) Hállense las presiones absolutas y manométricas en un punto del tubo situado 6 m por encima del desagüe.

R= 2/600 cmg

2.- Por un tubo de sección constante fluye continuamente agua de mar, de densidad 1,066 g/cm3, que sale de un depósito elevado. En un punto situado 135 cm. por debajo del nivel del agua en el depósito, la presión manométrica de la corriente es 0,076 Kg. /cm2. ¿Cuál es la velocidad del agua en este punto?

R= segcm /35.353

3.- Por un tubo horizontal sale agua a razón de 3,25 litros/seg. En un punto en que el tubo tiene una sección de 9 cm2 la presión absoluta es de 1,3 Kg. /cm2. ¿Cuál debe ser la sección transversal de un estrechamiento del tubo para que la presión en él quede reducida a 1,1 Kg. /cm2?

R= 22 4965.4 cmA

4.- ¿Qué presión manométrica se requiere en el sistema de distribución de agua de una ciudad para que el chorro de una manguera de incendios conectada a la cañería pueda alcanzar una altura vertical de 18 m? Despréciense los efectos del rozamiento.

R= 2/8.1 mkgf

5.-Un tubo de venturi que tiene un diámetro 20cm en la sección de entrada y 10 cm. en la sección de salida mas angosta circula gasolina de densidad .84 la caída o diferencia de presiones entre la sección mayor y la de garganta medida es de .3 kp/cm. cuadrado. Hallar el valor del caudal.

R= min/11.4 8m

6.-hallar el caudal expresándolo en 1/s de un liquido que fluye a través de un orificio de un centímetro cuadrado de sección a 2.5 m por debajo de la superficie libre del mismo.

R= .71/s

7.-El agua que fluye a 6 m/s por un tubo de 2in emerge horizontalmente con un gasto de 8 GAL/min. ¿Cuál es el alcance horizontal de la corriente de agua si el tubo se encuentra a 4ft del suelo?

R=.408ft

8.-Un tubo de diámetro interno variable transporta agua, en el punto 1 el diámetro es de 20cm y la presión de 130Pa. En el punto dos el cual esta a 4.0m más arriba que el primer punto el diámetro es de 30cm. Si el flujo es de 0.080metros cúbicos sobre segundo ¿Cuál es la presión en el segundo punto?

R=93Pa