LAS CÓNICAS: HIPÉRBOLA

Act. J.Javier Segura Ramírez

Las cónicas, o secciones cónicas, son curvas que se obtienen de la intersección de un cono

circular recto con un plano en diversas posiciones, como se muestra en la figura siguiente:

Imagen tomada de: Michael Sullivan. Trigonometría y Geometría Analítica. Edit.

Pearson Prentice-Hall.

Nota que el plano no contiene al vértice de los conos, obteniéndose la circunferencia,

parábola, elipse e hipérbola. Si el plano contiene al vértice, se obtienen las llamadas

“cónicas degeneradas”:

Un punto: si el plano corta al cono únicamente en el vértice.

Una recta: si el plano es tangente al cono.

Dos rectas que se cortan: si el plano es vertical y pasa por el vértice.

Apolonio de Pérgamo (262 – 190 A.C.), geómetra griego, fue de los primeros matemáticos

que estudió las cónicas y le dio nombre a la parábola, elipse e hipérbola que conocemos.

El estudio de estos lugares geométricos avanzó con la aplicación de la Geometría Analítica

propuesta por René Descartes y son importantes por sus diversas aplicaciones en

diferentes disciplinas: las propiedades de la parábola se aplican en la construcción de faros

de luz, antenas y receptores solares; las órbitas de los planetas alrededor del sol son

aproximadamente elípticas; las hipérbolas se emplean para determinar la posición de los

barcos en altamar; etc.

Estas figuras tienen propiedades geométricas que se analizan algebraicamente.

LA HIPÉRBOLA

Y

Es el lugar geométrico de un punto P

que se mueve en el plano tal que el b

valor absoluto de la diferencia de sus V F

distancias a dos puntos fijos del mismo

plano, es una cantidad constante y F’ V’ a C c

menor que la distancia entre esos dos

puntos.

Asíntotas

Los puntos fijos se llaman Focos: F, F’

y el segmento que los une es el O X

Eje focal 𝐹𝐹′̅̅ ̅̅̅que mide 2c. El Centro es el punto medio entre los focos y tiene coordenadas

C(h, k). El parámetro c es la distancia del centro a cada foco, por lo que es el semieje

focal.

Los Vértices V, V’, son los puntos donde cruza cada rama de la hipérbola al eje focal y el

segmento que los une se llama Eje Transverso (o transversal) y mide 2a. El parámetro a

es la distancia del centro a cada vértice, por lo que es el semieje transverso. Hay un eje

perpendicular al eje transverso y que pasa por el centro, se llama Eje Conjugado y mide

2b. El parámetro b es la distancia del centro a cada punto extremo del eje conjugado, por

lo que es el semieje conjugado.

Los parámetros a, b y c están relacionados Y

de la manera siguiente: E1 E2

Consideremos una hipérbola con centro

C(0, 0) y tomemos los puntos del b

rectángulo E1 (-a, b), E2 (a, b) y E3 (a, – b). V F

Queremos hacer ver que existe una

circunferencia circunscrita al rectángulo V’ a C c X

y que pasa por estos tres puntos, con centro

también en el origen.

E3

No hay pérdida de generalidad al considerar el

centro en el origen, ya que la hipérbola conserva sus propiedades y distancias con el centro

en cualquier otro punto del plano.

La ecuación general de la circunferencia es: x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0.

Los puntos E1 , E2 y E3 al pertenecer a ella deben satisfacer la ecuación. Sustituyendo las

coordenadas de cada punto en la ecuación, se forma el sistema:

(-a)2 + b2 – aD + bE + F = 0 -aD + bE + F = – (a2 + b2 )

a2 + b2 + ad + bE + F = 0 aD + bE + F = – (a2 + b2 )

a2 + (-b) 2 + aD – bE + F = 0 aD – bE + F = – (a2 + b2 )

Resolviendo el sistema obtenemos los valores:

D = 0 , E = 0 y F = – (a2 + b2 ) . Con ellos se integra la ecuación general:

x2 + y2 – (a2 + b2 ) = 0 que podemos ver así: x2 + y2 = (a2 + b2 ) .

Es la ecuación de una circunferencia con centro en C(0, 0) y radio r = √𝑎2 + 𝑏2.

Ahora, queremos ver si el foco F(c, 0) está en la circunferencia; sustituimos sus

coordenadas: c2 + 02 = a2 + b2 y queda: c2 = a2 + b2 esto se tiene que cumplir para

que eso suceda. Para la hipérbola, es la forma como están relacionados los parámetros a,

b y c. Observa en la figura, que se forma un triángulo rectángulo con catetos a y b, siendo

la hipotenusa 𝐶𝐸2̅̅ ̅̅ ̅que coincide con el radio de la circunferencia circunscrita al rectángulo,

es decir: 𝐶𝐸2̅̅ ̅̅ ̅= r = c = √𝑎2 + 𝑏2.

Considerando esta misma figura y por la definición de hipérbola, sabemos que para

cualquier punto de ella se cumple: | 𝑃𝐹̅̅ ̅̅ − 𝑃𝐹′̅̅ ̅̅̅| = k, siendo k constante. Si tomamos el

vértice V(a, 0) como el punto de la hipérbola y los focos F(c, 0) y F’(-c, 0), entonces se

cumple que:

| 𝑉𝐹̅̅ ̅̅ − 𝑉𝐹′̅̅ ̅̅̅| = | c – a – (a + c) | = | – 2 a | = 2a = k . Este es el valor constante.

Vamos a obtener la ecuación de la hipérbola horizontal con centro en el origen C(0, 0), tal

como en la figura anterior. Se debe cumplir que:

| 𝑃𝐹̅̅ ̅̅ − 𝑃𝐹′̅̅ ̅̅̅| = 2a . Esta expresión es equivalente a las dos expresiones:

| 𝑃𝐹̅̅ ̅̅ − 𝑃𝐹′̅̅ ̅̅̅| = 2a , si el punto P(x, y) está en la rama izquierda, pues 𝑃𝐹̅̅ ̅̅ > 𝑃𝐹′̅̅ ̅̅̅

| 𝑃𝐹̅̅ ̅̅ − 𝑃𝐹′̅̅ ̅̅̅| = – 2a , si el punto P(x, y) está en la rama derecha, pues 𝑃𝐹̅̅ ̅̅ < 𝑃𝐹′̅̅ ̅̅̅.

Como F(c, 0) y F’(-c, 0), obtenemos las distancias siguientes:

𝑃𝐹̅̅ ̅̅ = √(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2 y 𝑃𝐹′̅̅ ̅̅̅ = √(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2 , por lo que

√(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2 −√(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2= 2a ---- (1)

√(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2 −√(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2= – 2a ----- (2)

Vamos a trabajar con la expresión 2:

√(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2 −√(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2= – 2a porque | 𝑃𝐹̅̅ ̅̅ − 𝑃𝐹′̅̅ ̅̅̅| = – 2a

√(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2= – 2 a + √(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2 sumando a ambos lados √(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2

( √(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2) 2 = ( – 2 a + √(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2) 2 elevando al cuadrado ambos lados

(x – c ) 2 + y2 = ( -2a) 2 + 2 (-2a) ( √(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2) + ( √(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2) 2

x2 + 2 (x) (-c) + (-c) 2 + y2 = 4 a2 – 4 a √(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2+ (x+c) 2 + y2 desarrollando

x2 – 2 xc + c2 + y2 = 4 a2 – 4 a √(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2+ x2 + 2 xc + c2 + y2 desarrollando

– 2 xc – 2 xc – 4 a2 = – 4 a √(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2 simplificando

– 4 ( xc + a2 ) = – 4 a √(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2 factorizando – 4

cx + a2 = a √(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2 cancelando el factor – 4

( cx + a2 ) 2 = ( a √(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2) 2 con potencia cuadrada se anula la raíz

(cx) 2 + 2 (cx) (a2 ) + ( a2 ) 2 = a2 ( √(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2) 2 desarrollando binomio

c2 x2 + 2 a2 cx + a4 = a2 [ (x+c) 2 + y2 ] simplificando

c2 x2 + 2 a2 cx + a4 = a2 ( x2 + 2cx + c2 + y2 ) desarrollando binomio

c2 x2 + 2 a2 cx + a4 = a2 x2 + 2 a2 cx + a2 c2 + a2 y2 aplicando ley distributiva

c2 x2 – a2 x2 – a2 y2 = a2 c2 – a4 términos que tengan incógnitas lado izquierdo

x2 ( c2 – a2 ) – a2 y2 = a2 ( c2 – a2 ) factorizando x2 y a2

Hagamos un alto aquí. Si trabajáramos con la expresión (1) veríamos que llegamos a ésta

misma igualdad. Entonces, ambas expresiones nos van a llevar a la misma ecuación.

Continuemos:

Como c2 = a2 + b2 , entonces b2 = c2 – a2 . Sustituyendo este valor:

x2 b2 – a2 y2 = a2 b2

𝑥2𝑏2

𝑎2𝑏2−

𝑎2𝑦2

𝑎2𝑏2=

𝑎2𝑏2

𝑎2𝑏2 dividiendo entre a2b2

𝑥2

𝑎2−

𝑦2

𝑏2= 1 cancelando factores en cocientes

Ésta es la Ecuación Canónica de una hipérbola horizontal con centro C(0, 0)

Si el centro estuviera en otro punto C(h, k), la hipérbola conserva sus propiedades y las

distancias a, b y c no varían. Para obtener su ecuación, hacemos lo mismo que para la

elipse, trasladando los ejes XY con origen en C(0, 0) hacia los ejes X’Y’ con origen C(h,

k). En estos nuevos ejes, la ecuación que se obtiene es:

𝑥′2

𝑎2−

𝑦′2

𝑏2= 1 , usando las fórmulas de traslación: x’ = x– h , y’ = y – k , queda:

(𝑥−ℎ)2

𝑎2−

(𝑦−𝑘)2

𝑏2= 1

Que es la Ecuación Ordinaria de una hipérbola horizontal con centro en C(h, k) .

La ecuación general la obtenemos desarrollando los binomios y simplificando:

𝑏2(𝑥−ℎ)2−𝑎2(𝑦−𝑘)2

𝑎2𝑏2= 1

b2 [ x2 + 2 (x) (-h) + (-h) 2 ] – a2 [ y2 + 2 (y) (-k) + (-k) 2 ] = a2 b2

b2 ( x2 – 2 xh + h2 ) – a2 ( y2 – 2 yk + k2 ) = a2 b2

b2 x2 – 2 b2 hx + b2 h2 – a2 y2 + 2 a2 k y – a2 k2 = a2 b2

b2 x2 – a2 y2 – 2 b2 hx + 2 a2 k y + b2 h2 – a2 k2 – a2 b2 = 0

Comparamos esta ecuación con la forma general de la ecuación de segundo grado:

Ax2 + B xy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 . Haciendo que:

A = b2 , B = 0 pues no aparece, C = – a2 , D = – 2 b2 h , E = 2 a2 k ,

F = b2 h2 – a2 k2 – a2 b2 . La Ecuación General de la hipérbola horizontal es:

Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 , con 𝐴 ≠ 𝐶 y de signos contrarios.

Un análisis similar se realiza para obtener las ecuaciones de la hipérbola vertical. En este

caso, la expresión final a la que se llega es:

– a2 x2 + b2 y2 + 2 a2 hx – 2 b2 ky + b2 k2 – a2 h2 – a2 b2 = 0 .

Haciendo A = – a2 , B = 0 pues no aparece, C = b2 , D = 2 a2 h , E = – 2 b2 k ,

F = b2 k2 – a2 h2 – a2 b2 , la Ecuación General de la hipérbola vertical es:

Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 , con 𝐴 ≠ 𝐶 y de signos contrarios. Nota que lo que cambia

son los valores de los coeficientes de la ecuación.

Damos un resumen de las ecuaciones:

HIPÉRBOLA HORIZONTAL

𝑥2

𝑎2 -

𝑦2

𝑏2 = 1 Ecuación canónica con centro en C(0, 0)

y eje transverso coincide con el eje X.

(𝑥−ℎ)2

𝑎2 -

(𝑦−𝑘)2

𝑏2 = 1 Ecuación ordinaria con centro en C(h, k)

y eje transverso es paralelo al eje X.

HIPÉRBOLA VERTICAL

𝑦2

𝑎2 -

𝑥2

𝑏2 = 1 Ecuación canónica con centro en C(0, 0)

y eje transverso coincide con el eje Y.

(𝑦−𝑘)2

𝑎2 -

(𝑥−ℎ)2

𝑏2 = 1 Ecuación ordinaria con centro en C(h, k)

y eje transverso es paralelo al eje Y.

ECUACIÓN GENERAL

Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 Horizontal con 𝐴 ≠ 𝐶, signos distintos.

A = b2 , C = - a2 , D = – 2b2 h , E = 2a2 k , F = – a2 k2 + b2 h2 – a2 b2

Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 Vertical con 𝐴 ≠ 𝐶, signos distintos.

A = - a2 , C = b2 , D = 2a2 h , E = – 2b2 k , F = - a2 h2 + b2 k2 – a2 b2

Observando las figuras, si extendemos la recta que pasa por el eje transverso y también la

recta que pasa por el eje conjugado, las dos ramas de la hipérbola son simétricas al eje

conjugado y simétricas respecto al centro C; también, cada rama es simétrica al eje

transverso.

Y L

La hipérbola, como la elipse, tiene dos

lados rectos que son los segmentos

perpendiculares al eje focal, que pasan c y

por cada foco y sus extremos son dos

puntos simétricos de la hipérbola: 𝐿𝑅̅̅̅̅

C V F X

Consideremos la hipérbola con centro en

C(0, 0). El punto L(c, y) es extremo de un

lado recto y pertenece a la hipérbola. Nota

que su distancia al foco F es y. El valor de “y” R

lo podemos encontrar a partir de la ecuación canónica:

𝑥2

𝑎2 -

𝑦2

𝑏2 = 1

𝑥2

𝑎2 - 1 =

𝑦2

𝑏2

𝑥2−𝑎2

𝑎2 =

𝑦2

𝑏2

𝑥2−𝑎2

𝑎2b2 = y2 y = √

𝑏2

𝑎2√𝑥2 − 𝑎2 y = ±

𝑏

𝑎√𝑥2 − 𝑎2

Como “y” es una distancia, tomamos el signo positivo. Además, el punto L pertenece a la

hipérbola por lo que sus coordenadas satisfacen la ecuación; aquí: x = c, y = y .

y = 𝑏

𝑎√𝑐2 − 𝑎2 . Como c2 = a2 + b2 entonces c2 – a2 = b2 . Sustituyendo:

y = 𝑏

𝑎√𝑏2 =

𝑏

𝑎𝑏 =

𝑏2

𝑎 . Este valor corresponde a la mitad del lado recto, por lo que:

Longitud de cada Lado Recto: 𝐿𝑅̅̅̅̅ = 2𝑏2

𝑎 .

La Excentricidad de la hipérbola se define como el cociente de c entre a, y como c > a ,

se cumple que:

e = 𝑐

𝑎 =

√𝑎2+𝑏2

𝑎 > 1 .

Recuerda que en la Parábola e = 1, y en la Elipse e < 1 .

Una hipérbola equilátera es aquella cuyos ejes transverso y conjugado miden lo mismo. Y

se llaman hipérbolas conjugadas cuando el eje transverso de cada una mide lo mismo que

el eje conjugado de la otra.

La hipérbola tiene dos asíntotas oblicuas que se cruzan en el centro C(h, k). De las figuras

anteriores, observa que entre los dos vértices de la hipérbola, se puede construir un

rectángulo con los parámetros a y b. Se formaría un cuadrado si es una hipérbola equilátera

(a = b) . Nota que dos lados del rectángulo pasan perpendicularmente por los vértices y

miden 2b cada uno; los otros dos lados miden 2a cada uno. Las rectas que pasan por las

diagonales del rectángulo son las asíntotas de la hipérbola, por lo que se pueden trazar

fácilmente dibujando el rectángulo correspondiente. La ecuación de cada asíntota puede

obtenerse a partir de conocer las coordenadas de los puntos vértices del rectángulo

correspondiente: E1, E2, E3 y E4. Cada rama de la hipérbola, al extenderse infinitamente,

se va acercando cada vez más al lado correspondiente de cada asíntota, que también se

extiende infinitamente, sin llegar a tocarse.

Y

E1 E2

b

V

V’ a C c F X

E4 E3