IMPRESA - CECyTEQ F-J...Ejemplo: si a > c y c es cualquier número real, entonces a + c > b + c y a...
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DESIGUALDADES
Intervalos
Sean a y b dos números reales tales que a < b. entonces el intervalo abierto de a a b, denotado por (a, b), es en conjunto de todos los números reales x situados entre a y b.
(a, b) = {x l x es un número real y a < x < b}
El intervalo cerrado de a a b, denotado por [a, b] es el conjunto de todos los números reales situados entre a y b pero también incluye a estos.
[a, b] = {x l x es un número real y a ≤ x ≤ b}
Intervalos semicerrados o semiabiertos se definen de la manera siguiente:
(a, b] = {x l a < x ≤ b}
[a, b) = {x l a ≤ x < b}
Desigualdades lineales de una variable
Es una desigualdad en la variable x que solo tiene dos tipos de términos, términos constantes o términos que son múltiples constantes de la variable x.
Si el símbolo es > o <, se dice que es estricta.
Si el símbolo es ≥ o ≤, se dice que es débil.
Regla 1.
Cuando el mismo número real se suma o se resta a ambos lados de una desigualdad, el sentido de la desigualdad no se altera.
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Ejemplo: si a > c y c es cualquier número real, entonces
a + c > b + c y a – c > b – c
Regla 2.
El sentido de la desigualdad se preserva si ambos lados se multiplican (o dividen) por el mismo número positivo y se invierte cuando se multiplican (o dividen) por el mismo número negativo.
Ejemplo: si a > b y c es cualquier número positivo, entonces
ac > bc y 𝑎
𝑐 > 𝑏
𝑐
Propiedades de las desigualdades.
Propiedad Ejemplos
1) Si a<b y b<c, luego a<c 2) Si 2<5 y 5<9, luego 2<9 3) Si a<b, luego a+c < b+c y
a-c < b-c 4) Si 2<7, luego 2+3 < 7+3 y
2 - 3 < 7 – 3. 5) Si a<b y c>0, luego ac<bc y
a/c < b/c. 6) Si 2<3 y 3>0, luego 2.3<5.3 y
2/3 < 5/3. 7) Si a < b y c<0, luego
ac>bc y a/c > b/c 8) Si 2 < 5 y -3<0, luego
2 (-3)>5(-3) y 2/-3 > 5/-3
Desigualdades cuadráticas de una variable
Una desigualdad cuadrática es una desigualdad de la forma
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 > 0 (o bien < 0)
o bien,
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ≥ 0 (o bien ≤ 0)
En donde a, b y c son constantes determinadas (a ≠ 0).
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EJEMPLOS
1.- Solución de una desigualdad -3x + 4 < 11
Solución.
-3x + 4 < 11.
(-3x + 4) – 4 < 11 -4 Restar 4
-3x < 7 Simplificar
-3x / -3 > 7/-3. Dividir entre -3 invertir signo de desigualdad.
X > -7/3. Simplificar.
2.- Resuelve la desigualdad 4x -3 < 2x +5
(4x – 3) + 3 < 2x + 5
Solución
4x – 3 < 2x + 5 dado
(4x – 3) + 3 < (2x + 5) + 3 sumar 3
4x < 2x + 8 Simplificar
4x -2x < (2x – 8) – 2x restar 2x
2x < 8 simplificar
2x/2 < 8/2 dividir entre 2
X < 4
3.- Solución de una desigualdad continúa.
-5 ≤ 4𝑥−3𝑥
2 y 4𝑥−3𝑥
2< 1
-5 ≤ 4𝑥−3𝑥
2 < 1 dado
-10 ≤ 4 − 3𝑥 < 2 multiplicar por 2
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-10 - 4 ≤ − 3𝑥 < 2 − 4 restar 4
-14 ≤ − 3𝑥 < −2 simplificar
-10 - 4 ≤ − 3𝑥 < 2 − 4 restar 4 −14
−3
≥ −3𝑥>
−3
−2
−3 dividir entre -3; invertir los signos de desigualdad
14
3
≥ 𝑥> 2
3 simplificar
2
3
≥ 𝑥> 14
3 desigualdad equivalente
4.- Solución de una desigualdad racional
1
𝑥−2 > 0;
La solución son todos los números del intervalo (2,∞), y se ve de la siguiente manera. X > 2.
5.- Resuelve la desigualdad 2x2 – x < 3
2x2 – x < 3 dado
2x2 – x < 3 igual a un lado a 0
(x + 1 ) ( 2x -3 ) < 0 factorizar
(- ∞. -1), (-1, 3/2), y (3/2,∞)
Valores absolutos
Si x es un número real, entonces el valor absoluto de x, denotado por l x l, se define por
l x l = { 𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≥0
−𝑥 𝑠𝑖 𝑥<0}
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Ejemplo: l 2x – 3 l = 5
2x – 3 = 5 o bien 2x – 3 = -5
2x = 5 + 3 2x = -5 + 3
2x = 8 2x = -2
x = 8/2 x = -2/2
x = 4 x = -1
Ejercicios:
a) Utilice el método de lista para describir los conjuntos siguientes:
1.- El conjunto de todos los enteros menores que 5 y mayores que -2.
2.- El conjunto de todos los primos menores que 20.
a) Utilice le método de la regla para describir los conjuntos siguientes:
1.- {1, 3, 5, 7, 9,..., 19}
2.- {1, 1
2,
1
3,
1
4,...}
b) Resuelva las desigualdades siguientes:
1.- 5 + 3x < 11 4.- (x – 2) (x – 5) < 0
2.- 5x + 7 > 31 – 3x 5.- 9x > x2 + 14
3.- 3 (2x – 1) > 4 + 5 (x – 1) 6.- y (2y + 1) > 6
Ejercicios:
Resuelve las ecuaciones siguientes para x.
1.- |3 − 7𝑥| = 4 6.- |2𝑥 − 3| + 7 = 4
2.- |2𝑥 + 5| = 7 7.- |𝑥 − 3| + 7 = 0
3.- |𝑥 + 2| = |3 − 𝑥| 8.- |2𝑥 + 1| + |3𝑥 − 2| = 0
4.- |2𝑥+1
3| = |3𝑥 − 7| 9.- | 𝑥−3
3𝑥−5| = 6
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5.- |3𝑥 − 2| = 4 − 𝑥 10.- |−5𝑥−2
𝑥+3| = 3
Clasificación de funciones.
Una función puede considerarse como una correspondencia de un conjunto X de números reales x a un conjunto Y de números reales y, donde el número y es único para cada valor especifico de x.
El conjunto de todos los valores admisibles en x se les denomina dominio de la función, y a el conjunto de los valores resultantes de y recibe el nombre de contradominio de la función.
Función constante: si f (x) = c, y c es cualquier número real, entonces f es una función constante y su grafica es una recta horizontal a una distancia dirigida de c unidades a partir del eje x.
Función identidad: función lineal particular definida por f (x) = x
Función polinomial: si una función f se define por 𝑥𝑛 y n es un numero entero no negativo, entonces recibe el nombre de función polinomial de grado n.
𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 1
Función racional: la función puede expresarse como el cociente de dos funciones polinomiales.
𝑓(𝑥) =𝑥2
𝑥3
Función radical: La variable x se encuentra bajo el signo de radical (√)
𝑓(𝑥) = √𝑥 + 1
Función racional – radical: 𝑓(𝑥) = √𝑥2
𝑥3
Función algebraica: formada por un número finito de operaciones algebraicas, las funciones polinomiales, racionales y radicales son un tipo particular de función algebraica.
𝑓(𝑥) =(𝑥2 − 3𝑥 + 1)3
√𝑥4 + 1
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Ejemplos
1. Función radical f(x) = √𝑥 − 1
2. Función lineal f(x) =2x + 3
3 y = 2x + 3
Rango (0, ∞)
Rango (0, ∞)
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Terminología Definición Interpretación gráfica
f es creciente en un intervalo I
f (x1) < f(x2) siempre que x1 < x2
f es decreciente en un intervalo I
f(x1) > f(x2) siempre que x1 < x2
f es constante en un intervalo I
f(x1) = f(x2) siempre que x1 y x2
Funciones pares e impares
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Terminología Definición Ejemplo Simetría de gráfica
f es una función par
f(-x) = f(x) y = f(x) = x2 Eje y
f es una función non
f(-x) = - f(x) y = f(x) = x3 El origen
Ejemplo 1:
Determina del tipo de función (par o impar)
Determina si f es par, non o ninguna de las dos.
f(x) = 3x4 – 2x2 + 5.
f(-x) = 3(-x)4 – 2(-x)2 + 5
= 3x4 – 2x2 +5
Dado que f(-x) = f(x), f es una función par.
Ejemplo 2:
f(x) = 2x5 – 7x3 + 4x
f(-x) = 2(-x)5 – 7(-x)3 + 4(-x)
-2x5 + 7x3 - 4x
Dado que f(-x) = -f(x), f es una función non.
Ejemplo 3:
f(x) = x3 + x2
f(-x) = (-x)3 + (-x)2
f(-x) = -x3 + x2
f(-x) =-f(x), f es una función non.
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Ejemplo 4:
f(x) = │x│
f(-x) = -x
es non cuando x es positiva.
f(-x) = -(-x) =x
es par cuando x es negativa.
Ejemplo 5:
f(x) = x/x-1.
f(-x) =-x/-x-1.
Es non porque f(-x) = -f(x).
Ejercicios
Determina del tipo de función (par o impar)
Determina si f es par, non o ninguna de las dos.
1. f(x) =x2 + x +1/x
2. f(x) = x3 –x2 – x – 1
3. f(x) = √𝒙𝟐 + 𝒚𝟐
4. f(x) = −√𝒙𝟐 + 𝒚𝟐
5. f(x) = x2-x / x3
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ACTIVIDADES LUDICAS
JENGA
1.- Armar equipos de 5 integrantes y pedirles que lleven su jenga---.
2.- Darles las etiquetas que contienen fórmulas y gráficas de clasificación de
funciones. Asi mismo funciones con su nombre de acuerdo a clasificación
Función Gráfica
f(x) = x+1
f(x) = -x + 1
f(x) = x2 + 1
f(x) = √𝒙
Función Clasificación
f(x) = 𝟏
𝒙 Función racional
f(x) = x3+x2+x Función polinomial.
f(x) = = 𝟏
𝒙√𝒙 Función radical y racional.
f(x) = 𝒆𝟑𝒙 Función exponencial
f(x) = -x + 1000 Función lineal con pendiente negativa.
f(x) = -√𝒙𝟐 + 𝟒𝟐 Función radical con signo negativo
3.- Pegar las etiquetas en el juego de jenga.
4.- Empezar a jugar el clásico juego de jenga con el único plus que tienen
que ir sacando la función con su grafica o con su nombre clasificado.
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MEMORAMA CON DESIGUALDADES
-Se da el ejemplo a los jóvenes de cómo hacer el memorama.
En equipos de 5 integrantes encargarles un memorama y que ellos utilicen ejemplos dados para poder reforzar el tema.
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-3x + 4 < 11
4x - 3 < 2X + 5
1 / X-2
-5≤ 4X - 3X /2 < 1
2X2 - X < 3
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x > -7/3
x < 4
X >2
2/3 ≥ X > 14/3
(x + 1)(2x - 3) < 0
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