Introducción a la Matemática Superior

8. Demostrar que ¿∨z−w∨¿2≤(1+||z||2)

||z−w||2=( z−w ) ( z−w )

¿|z−w|∨¿2=z . z−w z−z w+w .w ¿

¿|z−w|∨¿2=¿|z|∨¿2−2ℜ ( z w )+¿|w|∨¿2 ¿¿¿

¿|z−w|∨¿2=¿|z|∨¿2+2||z||.||w||+¿|w|∨¿2≤1+||z||2+||w||2+||z||2 .¿|w|∨¿2¿¿¿¿

¿|z−w|∨¿2≤1+||z||2+||w||2+||z||2 .∨|w|∨¿¿

¿|z−w|∨¿2≤(1+||z||2)+(1+||w||2)¿

12. Resolver en los complejos: ||z+2 i||=¿|iz−2|∨¿

||a−bi+2 i||=¿|−b−2+ai|∨¿

||a+(2−b) i||=√ (− (b+2 )2 )+a2

a2+4−4 b+b2=b2+4b+4+a2

−4b=4b

0=8b→b=0

z=a+bi

z=a+0 i

z=acte

z∈ R

13.

a)R={z∈C /¿|z+1|∨≤4−¿|z−1|∨¿}Z=x+ yi

||z+1||≤k−¿|z−1|∨¿

||(x+1 )+ yi||≤4−¿|(x−1 )+ yi|∨¿

√¿¿

( x+1 )2+ y2≤16−8√( x−1 )2+ y2+( x−1 )2+ y2

(x+1)2−( x−1 )2≤16−8√(x−1)2+ y2

x≤ 4−2√(x−1)2+ y2

2√(x−1)2+ y2≤4−x

4 [ ( x−1 )2+ y2 ]≤16−8 x+x2

4 (x2−2x+1 )+4 y2≤16−8 x+x2

4 x2−8 x+4+4 y2≤16−8 x+x2

3 x2+4 y2≤12

x2

4+ y2

3≤1

b) R={z∈C /||z+1−2 i||+||iz+2−3 i||≤6 }

z=a+bi

||z+1−2i||+||iz+2−3i||≤6……I

z ¿

iz+2−3 i=i (a+bi )+2−3 i=ia−b+2−3 i=(2−b )+(a−3 ) i

En I

¿

||(a+1 )+(b−2 ) i||≤6−¿|(2−b )+(a−3 ) i|∨¿

elevandoal cuadrado

(a+1)2+(b−2)2≤36−12√(2−b )2+(a−3 )2+(2−b )2+(a−3)2

(a+1)2− (a−3 )2+¿

a2+2a+1¿−(a2−6a+9 )≤36−12√ (2−b )2+(a−3)2

8a−8≤36−12√(2−b)2+(a−3)2

2a−2≤9−3√(2−b)2+(a−3)2

3√(2−b)2+(a−3)2≤11−2a

elevandoal cuadrado

9¿

9 [ (4−4 b+b2 )+(a2−6 a+9 ) ]≤121−44a+4 a2

9 [b2−4 b+a2−6a+13 ]≤121−44a+4a2

9b2−36b+9 a2−54 a+117≤121−44a+4a2

9b2−36b+5a2−10a−4≤0

9b2−36b+5a2−10a≤4

9 (b2−4 b+4 )−36+5 (a2−2a+1 )−5≤4

9 (b−2 )2+5(a−1)2≤45

(b−2 )2

5+(a−1)2

9≤1

c) R={z∈C /ℑ ( z2 )=9 }

z=a+bi→ z2=a2+2abi−b

a2=b

2ab=9

ab=92→a3=9

2→a= 3√9 /2→a=1.65

Reemplazando: Z=3√9/2+ 3√9/22

e) M={ zϵ C /0<ℜ(iz)≤1 }

z=a+i

zi=−b+ai

zi=−bℜ +ai

0←b≤1

−1<b≤0

f) S={z ϵ C /2 z z+ (2+ i) z+(2−i ) z=2}

2(x + yi)(x – yi) + (2 + i)(x + yi) + (2 – i)(x – yi) = 2

2(x2 –y2i2) + 2x + 2yi + xi + yi2 +2x-2yi – xi + yi2 = 2

2(x2 + y2) +4x + 2yi2 = 2

X2 +y2 + 2x – y = 1

(X+1)2 -1+ (y- ½)2 – ¼ = 1

(X+1)2 + (y- ½)2 = 9/4

H= -1 k= ½ R= 3/2

18. Reducir6cis30°∗2cis10°3cis(−20 °)

4 (cos 30°+isen30 ° ) (cos 10°+isen10 ° )cos 20°−isen20 °

4 e(30 i )e (10 i)

e (−20i )

4 e(60 i)

4 ¿)

4 ( 12+ √32

i)

(2+2√3i)

2(1+√3 i)

31. Resolver las siguientes ecuaciones:

c) z6+7 z3−¿8=0z6+z3−z3+7 z3−8=0

z3 ( z3−1 )+8 ( z3−1 )=0

(z¿¿3+8) ( z3−1 )=0¿

( z+2 ) ( z2−2 z+4 ) ( z−1 ) ( z2+z+1 )=0

z=−2 z=1±√3 i z=1 z=−1±√3 i2