In for Metres

Proyecto Nro. 3: Interpolacion Polinomial

Algoritmos Numericos

Jonathan Morocho Jimenez

Escuela Politecnica Nacional

Facultad de Ingeniera de Sistemas

31 de marzo de 2014

1. Interpolacion de Lagrange

Dada la funcion

f(x) = ex + 1 (1)

definida en el intervalo [-3,3]:

1. Encuentre los polinomios de Lagrange interpolantes de grado n (con n=1,...,5) (que se detallana continuacion) y grafquelos conjuntamente con la funcion f(x). P1 = P0,6, P2 = P0,3,6, P3 =P0,1,5,6, P4 = P0,1,3,5,6, P5 = P0,1,2,4,5,6,.

3 2 1 0 1 2 35

0

5

10

15

20

25

x

y

Grafico de Pn y f(x)

P1P2P3P4P5f(x)

Figura 1: Grafica de los polinomios de Lagrange interpolantes de grado n

2. Grafique conjuntamente P30(x) y f(x). (Asuma definida f(x) en 31 diferentes xi elegidos conve-nientemente).

1

1 INTERPOLACION DE LAGRANGE

3 2 1 0 1 2 30

5

10

15

20

25

x

y

Grafico de P30 y f(x)

P30f(x)

Figura 2: Grafica de P30(x) y f(x)

3. Grafique Pn(1,2) en funcion de n. (Con n=1,...,30).

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 304

4.55

5.56

6.57

7.58

8.59

9.510

10.511

11.512

12.513

13.514

14.515

15.516

n

P n(1.

2)

Grafico de Pn(1.2) vs n

Figura 3: Grafica de Pn(1,2) en funcion de n

4. Con los resultados del item anterior grafique n en funcion de n. (Con n=1,...,30). (n es el error

definido como n =|Pn(1,2) f(1, 2)|

f(1, 2))

2

2 DIFERENCIAS DIVIDIDAS INTERPOLANTES DE NEWTON

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 300

0.5

1

1.5

2

2.5

n

E n(1.

2)

Grafico de Pn(1.2) vs n

Figura 4: Grafica de n en funcion de n

2. Diferencias Divididas Interpolantes de Newton

1. Utilice el metodo de diferencias divididas interpolantes de Newton para obtener el polinomio inter-polante P30 de la funcion f(x) en los 31 puntos del literal 1.2. Reporte explicitamente P30 y P30.

Mediante el metodo de Neville se tiene que

P30(x) = 0,00000000000000000021179299653030879420614346358571x30+0,000000000000000000051558398723300643739885980747703x29+

0,000000000000000010547119890361616315969711510243x280,0000000000000000024246952658560752076808690758552x270,00000000000000023236015976351257973253449027316x26+

0,000000000000000049675306100957657117357815017295x25+

0,0000000000000029904738245561970694684971692887x240,00000000000000058198571778567197297910549461918x230,000000000000025014917786073187899879730532128x22+

0,0000000000000042974580972250064098996804111375x21+

0,00000000000014320969413478577868309446968287x200,000000000000020715683263864569627540047746649x19

3


0,00000000000057557887617315618797234468093788x18+

0,000000000000067741040498724868564107562472331x17+

0,0000000000016899037368049510248028626901821x16+

0,00000000000064055616704420843517170903948406x15+

0,0000000000081510993305521391511571935653557x14+

0,00000000016070101671367849802108361545461x13+

0,0000000020923812763289832781371524461633x12+

0,000000025052170113631070822932112029946x11+

0,00000027556861458558545505126424757236x10+

0,0000027557316420968522296952585293184x9+

0,000024801590247057470062230777330115x8+

0,0001984126987263634678271273514838x7+

0,0013888888877158223067453945986927x6+

0,0083333333331676584521119366399944x5+

0,041666666666920093575754435732961x4+

0,16666666666671403618238400667906x3 + 0,5x2 + x + 2,0

Mediante el metodo de diferencias divididas interpolantes de Newton se tiene que

P30 = 1,215145 + 0,055115x + 0,030507 (x + 2,8) (x + 3) + 0,011257

(x + 2,6) (x + 2,8) (x + 3) + 0,0031154 (x + 2,4) (x + 2,6)

(x + 2,8) (x + 3) + 0,00068976 (x + 2,2)

(x + 2,4) (x + 2,6) (x + 2,8) (x + 3) + 0,00012726

(x + 2,2) (x + 2,4) (x + 2,6) (x + 2,8)

(x + 2) (x + 3) + 0,000020126 (x + 2,2) (x + 2,4)

(x + 2,6) (x + 2,8) (x + 1,8) (x + 2)

(x + 3) + 0,000002785 (x + 2,2) (x + 2,4)

(x + 2,6) (x + 2,8) (x + 1,6) (x + 1,8)

(x + 2) (x + 3) + 0,00000034256 (x + 2,2) (x + 2,4)

(x + 2,6) (x + 1,4) (x + 2,8) (x + 1,6)

(x + 1,8) (x + 2) (x + 3) + 0,000000037921

(x + 2,2) (x + 1,2) (x + 2,4) (x + 2,6)

(x + 1,4) (x + 2,8) (x + 1,6) (x + 1,8)

(x + 2) (x + 3) + 0,0000000038163 (x + 2,2) (x + 1,2)

(x + 2,4) (x + 2,6) (x + 1,4) (x + 2,8)

(x + 1,6) (x + 1,8) (x + 1) (x + 2)

(x + 3) + 0,00000000035205 (x + 2,2) (x + 1,2)

(x + 2,4) (x + 2,6) (x + 1,4) (x + 2,8)

(x + 0,8) (x + 1,6) (x + 1,8) (x + 1)

(x + 2) (x + 3) + 0,000000000029989 (x + 2,2) (x + 0,6)

4


(x + 1,2) (x + 2,4) (x + 2,6) (x + 1,4)

(x + 2,8) (x + 0,8) (x + 1,6) (x + 1,8)

(x + 1) (x + 2) (x + 3) + 0,0000000000023621

(x + 2,2) (x + 0,6) (x + 1,2) (x + 2,4)

(x + 2,6) (x + 1,4) (x + 2,8) (x + 0,4)

(x + 0,8) (x + 1,6) (x + 1,8) (x + 1)

(x + 2) (x + 3) + 0,00000000000018073 (x + 2,2)

(x + 0,6) (x + 1,2) (x + 2,4) (x + 2,6)

(x + 1,4) (x + 2,8) (x + 0,2) (x + 0,4)

(x + 0,8) (x + 1,6) (x + 1,8) (x + 1)

(x + 2) (x + 3) + 0,0000000000000089666 (x + 2,2)

(x + 0,6) (x + 1,2) (x + 2,4) (x + 2,6)

(x + 1,4) (x + 2,8) (x + 0,2) (x + 0,4)

(x + 0,8) (x + 1,6) (x + 1,8) (x 0,00000000000000038858)(x + 1) (x + 2) (x + 3) + 0,0000000000000021176

(x + 2,2) (x + 0,6) (x + 1,2) (x + 2,4)

(x + 2,6) (x + 1,4) (x + 2,8) (x + 0,2)

(x + 0,4) (x + 0,8) (x + 1,6) (x + 1,8)

(x 0,00000000000000038858) (x 0,2) (x + 1)(x + 2) (x + 3) 0,00000000000000036972 (x + 2,2)(x + 0,6) (x + 1,2) (x + 2,4) (x + 2,6)

(x + 1,4) (x + 2,8) (x + 0,2) (x + 0,4)

(x + 0,8) (x + 1,6) (x + 1,8) (x 0,00000000000000038858)(x 0,2) (x 0,4) (x + 1)(x + 2) (x + 3) + 0,00000000000000010543 (x + 2,2)

(x + 0,6) (x + 1,2) (x + 2,4) (x + 2,6)

(x + 1,4) (x + 2,8) (x + 0,2) (x + 0,4)

(x + 0,8) (x + 1,6) (x + 1,8) (x 0,00000000000000038858)(x 0,2) (x 0,4) (x 0,6)(x + 1) (x + 2) (x + 3) 0,000000000000000054705(x + 2,2) (x + 0,6) (x + 1,2) (x + 2,4)

(x + 2,6) (x + 1,4) (x + 2,8) (x + 0,2)

(x + 0,4) (x + 0,8) (x + 1,6) (x + 1,8)

(x 0,00000000000000038858) (x 0,2) (x 0,4)(x 0,8) (x 0,6) (x + 1) (x + 2)(x + 3) + 0,000000000000000071817 (x + 2,2) (x + 0,6)

(x + 1,2) (x + 2,4) (x + 2,6) (x + 1,4)

(x + 2,8) (x + 0,2) (x + 0,4) (x + 0,8)

(x + 1,6) (x + 1,8) (x 0,00000000000000038858)(x 0,2) (x 0,4) (x 0,8)(x 0,6) (x 1) (x + 1) (x + 2)(x + 3) 0,000000000000000076557 (x + 2,2) (x + 0,6)

5


(x + 1,2) (x + 2,4) (x + 2,6) (x + 1,4)

(x + 2,8) (x + 0,2) (x + 0,4) (x + 0,8)

(x + 1,6) (x + 1,8) (x 0,00000000000000038858)(x 0,2) (x 0,4) (x 0,8)(x 0,6) (x 1,2) (x 1) (x + 1)(x + 2) (x + 3) + 0,000000000000000061845 (x + 2,2)

(x + 0,6) (x + 1,2) (x + 2,4) (x + 2,6)

(x + 1,4) (x + 2,8) (x + 0,2) (x + 0,4)

(x + 0,8) (x + 1,6) (x + 1,8) (x 0,00000000000000038858)(x 0,2) (x 0,4) (x 0,8)(x 1,4) (x 0,6) (x 1,2) (x 1)(x + 1) (x + 2) (x + 3) 0,000000000000000040526(x + 2,2) (x + 0,6) (x + 1,2) (x + 2,4)

(x + 2,6) (x + 1,4) (x + 2,8) (x + 0,2)

(x + 0,4) (x + 0,8) (x + 1,6) (x + 1,8)

(x 0,00000000000000038858) (x 0,2) (x 0,4)(x 0,8) (x 1,6) (x 1,4) (x 0,6)(x 1,2) (x 1) (x + 1) (x + 2)(x + 3) + 0,000000000000000022564 (x + 2,2) (x + 0,6)

(x + 1,2) (x + 2,4) (x + 2,6) (x + 1,4)

(x + 2,8) (x + 0,2) (x + 0,4) (x + 0,8)

(x + 1,6) (x + 1,8) (x 1,8) (x 0,00000000000000038858)(x 0,2) (x 0,4) (x 0,8)(x 1,6) (x 1,4) (x 0,6) (x 1,2)(x 1) (x + 1) (x + 2) (x + 3) 0,000000000000000010982(x + 2,2) (x + 0,6) (x + 1,2) (x + 2,4)

(x + 2,6) (x + 1,4) (x + 2,8) (x + 0,2)

(x + 0,4) (x + 0,8) (x + 1,6) (x + 1,8)

(x 1,8) (x 0,00000000000000038858) (x 0,2)(x 0,4) (x 0,8) (x 1,6) (x 1,4)(x 0,6) (x 1,2) (x 1) (x + 1)(x 2) (x + 2) (x + 3) + 0,0000000000000000047569(x + 2,2) (x + 0,6) (x + 1,2) (x + 2,4)

(x + 2,6) (x + 1,4) (x + 2,8) (x + 0,2)

(x + 0,4) (x + 0,8) (x + 1,6) (x + 1,8)

(x 1,8) (x 0,00000000000000038858) (x 0,2)(x 0,4) (x 0,8) (x 1,6) (x 1,4)(x 0,6) (x 1,2) (x 2,2) (x 1)(x + 1) (x 2) (x + 2) (x + 3) 0,0000000000000000018554(x + 2,2) (x + 0,6) (x + 1,2) (x + 2,4)

(x + 2,6) (x + 1,4) (x + 2,8) (x + 0,2)

(x + 0,4) (x + 0,8) (x + 1,6) (x + 1,8)

(x 1,8) (x 0,00000000000000038858) (x 0,2)

6


(x 0,4) (x 0,8) (x 1,6) (x 1,4)(x 0,6) (x 1,2) (x 2,4) (x 2,2)(x 1) (x + 1) (x 2) (x + 2) (x + 3) +0,00000000000000000065663 (x + 2,2) (x + 0,6) (x + 1,2)

(x + 2,4) (x + 2,6) (x + 1,4) (x + 2,8)

(x + 0,2) (x + 0,4) (x + 0,8) (x + 1,6)

(x + 1,8) (x 1,8) (x 0,00000000000000038858)(x 0,2) (x 0,4) (x 0,8)(x 1,6) (x 1,4) (x 2,6) (x 0,6)(x 1,2) (x 2,4) (x 2,2) (x 1)(x + 1) (x 2) (x + 2) (x + 3) 0,00000000000000000021179(x + 2,2) (x + 0,6) (x + 1,2) (x + 2,4)

(x + 2,6) (x + 1,4) (x + 2,8) (x + 0,2)

(x + 0,4) (x + 0,8) (x + 1,6) (x + 1,8)

(x 1,8) (x 0,00000000000000038858) (x 0,2)(x 0,4) (x 0,8) (x 1,6) (x 1,4)(x 2,8) (x 2,6) (x 0,6) (x 1,2)(x 2,4) (x 2,2) (x 1) (x + 1)(x 2) (x + 2) (x + 3)

2. Grafique conjuntamente P30 y P30.

3 2 1 0 1 2 30

5

10

15

20

25

x

y

GraficodeP30yP30

P30P30

Figura 5: Grafica de P30 y P30

7

REFERENCIAS

3. Discusion y Conclusiones

En la Figura 1 se observa que cada uno de los los polinomios de Lagrange interpolantes de gradon (con n=1,...,5) se acercan a la funcion f(x), debido a que a mayor grado se tiene una mejor aproxi-macion. En este caso concreto, una buena aproximacion se da a partir de P4 (la mejor obviamente esP5).

En la Figura 2, se puede observar que P30(x) se aproxima bastante a f(x), debido a que se tiene31 puntos en los cuales se basa la interpolacion, dando una mejor aproximacion.

En la Figura 3, se puede observar que a partir de P4(1,2) (eje x) se empieza a estabilizar cadaPn(1,2) en f(1,2) = 4,3201... (eje y), con lo que se logra tener una buena aproximacion de interpo-lacion del valor 1,2.

En la Figura 4, se puede observar, de la misma forma que el punto anterior, que a partir de P4(1,2),n tiende a cero en adelante, lo que indica que a mayor grado del polinomio interpolante, el errorrelativo se aproxima a cero..

En la Figura 5, se puede observar que tanto el polinomio de Lagrange interpolante P30(x) y el poli-nomio interpolante hallado por diferencias divididas de Newton P30 se aproximan bastante (aunque susecuaciones son diferentes) a la forma de la funcion f(x), con lo que se comprueba que ambos metodosson validos.

Para encontrar un valor de interpolacion a partir de varios puntos, se recomienda tener varios puntoscon los cuales trabajar, puesto que se ha comprobado que a mayor grado del polinomio interpolante, seobtiene una mejor aproximacion al valor real al encontrar el valor interpolado, dado un numero dentrodel rango de puntos dados, ademas de que el error disminuye.

Referencias

[1] Richard L. Burden - J. Douglas Faires, Analisis Numerico, 7ma edicion, 2009

[2] http://www.matworks.com

[3] http://www.wolfram.com

[4] http://tex.stackexchange.com

8

A. Anexos

A.1. Metodo de Neville para interpolar un valor dado

f unc t i on y = nevilleEvaluarValor ( x , fx , valor )% Retorna e l va l o r de i n t e r p o l a c i o n de un numero dado% usando e l metodo de N e v i l l e%% x Valores x0 , . . . , xn% fx Valores f ( x0 ) , . . . , f ( xn )% va lo r e l numero a s e r i n t e rpo l ado

n = length ( x ) ;

temp = fx ;

f o r j = 2 : nf o r i = n :1: j

temp ( i ) = ( ( valorx ( ij+1) ) * temp ( i ) ( valorx ( i ) ) * temp ( i1) ) / . . .( x ( i ) x ( ij+1) ) ;

endendy = temp ( n ) ;

A.2. Metodo de Neville para encontrar un polinomio de interpolacion

f unc t i on pol = nevillePolinomioInterpolante ( x , fx )% Retorna l o s c o e f i c i e n t e s de l pol inomio i n t e r p o l a n t e de% Lagrange usando e l metodo de N e v i l l e%% x Valores x0 , . . . , xn% fx Valores f ( x0 ) , . . . , f ( xn )

n = length ( x ) ;

temp = [ ] ;f o r i=1:n

temp{i} = fx ( i ) ;end

f o r j = 2 : nf o r i = n :1: j

p1 = conv ( [ 1 x ( ij+1) ] , temp{i }) ;

p2 = conv ( [ 1 x ( i ) ] , temp{i1}) ;

temp{i} = ( p1 p2 ) /( x ( i ) x ( ij+1) ) ;

endend

pol = temp{n } ;

d i sp ( pol )

A.3. Diferencias Divididas Interpolantes de Newton

f unc t i on polinomio = diferenciasdivididas ( x , fx )

d=zero s ( l ength ( fx ) ) ;d ( : , 1 )=fx ' ;

%Formacion de l a s d i f e r e n c i a s d i v i d i d a s

A.4 Graficas A ANEXOS

f o r i=2: l ength ( x )f o r j=1: l ength ( x )+1i

d ( j , i )=(d ( j+1,i1)d ( j , i1) ) /( x ( j+i1)x ( j ) ) ;end

end

% Formacion de l Polinomiof o r i=1: l ength ( x )dq = num2str ( abs ( d (1 , i ) ) ) ;

i f i>1i f x ( i1)

A ANEXOS A.4 Graficas

% g r a f i c a de P1 = P 0 ,6x = [3 3 ] ;fdx = [1 .049787068 21 . 08553692 ] ;p1 = nevillePolinomioInterpolante ( x , fdx ) ;y = polyva l ( p1 , z ) ;p l o t ( z , y , 'b ' )

% g r a f i c a de P2 = P 0 ,3 , 6x = [3 0 3 ] ;fdx = [1 .049787068 2 21 . 08553692 ] ;p2 = nevillePolinomioInterpolante ( x , fdx ) ;y = polyva l ( p2 , z ) ;p l o t ( z , y , ' r ' )

% g r a f i c a de P3 = P 0 ,1 , 5 , 6x = [3 2 2 3 ] ;fdx = [1 .049787068 1.135335283 8.389056099 21 . 08553692 ] ;p3 = nevillePolinomioInterpolante ( x , fdx ) ;y = polyva l ( p3 , z ) ;p l o t ( z , y , ' g ' )

% g r a f i c a de P4 = P 0 ,1 , 3 , 5 , 6x = [3 2 0 2 3 ] ;fdx = [1 .049787068 1.135335283 2 8.389056099 21 . 08553692 ] ;p4 = nevillePolinomioInterpolante ( x , fdx ) ;y = polyva l ( p4 , z ) ;p l o t ( z , y , 'm ' )

% g r a f i c a de P5 = P 0 ,1 , 2 , 4 , 5 , 6x = [3 2 1 1 2 3 ] ;fdx = [1 .049787068 1.135335283 1.367879441 3.718281828 8.389056099 21 . 08553692 ] ;p5 = nevillePolinomioInterpolante ( x , fdx ) ;y = polyva l ( p5 , z ) ;p l o t ( z , y , ' c ' )

%g r a f i c a de f ( x )y = subs ( fx , z ) ;p l o t ( z , y , 'k ' )x l a b e l ( 'x ' )y l a b e l ( 'y ' )t i t l e ( 'Graf i co de P n y f (x ) ' )legend ( 'P 1 ' , 'P 2 ' , 'P 3 ' , 'P 4 ' , 'P 5 ' , ' f ( x ) ' )p r i n t ( imagen , 'depsc ' , ' f i gu r a11 . eps ' )

%% % %1.2 Gra f i ca r P30 y f ( x )

imagen = f i g u r e (12) ;z = 3 : 0 . 2 : 3 ; % i n t e r v a l o para g r a f i c a rax i s squareg r id onhold on

% g r a f i c a de P30x = [ ] ;x (1 ) = 3;f o r i=2:31

x ( i ) = x ( i1)+0.2;end

fdx = [ ] ;f o r i=1:31

fdx ( i ) = subs ( fx , x ( i ) ) ;end

p30 = nevillePolinomioInterpolante ( x , fdx ) ;z=3:0.002:3;y = polyva l ( p30 , z ) ;p l o t ( z , y , ' r ' )

%g r a f i c a de f ( x )z=3:0.1 :3 ;y = subs ( fx , z ) ;p l o t ( z , y , 'k ' )x l a b e l ( 'x ' )y l a b e l ( 'y ' )t i t l e ( 'Graf i co de P 3 0 y f ( x ) ' )legend ( ' P 3 0 ' , ' f ( x ) ' )

11

A.4 Graficas A ANEXOS

pr in t ( imagen , 'depsc ' , ' f i gu r a12 . eps ' )

%% % %1.3 Gra f i ca r P n ( 1 . 2 ) en func ion de n ( 1 : 3 0 )% se usa e l i n t e r v a l o [3 ,3]

imagen = f i g u r e (13) ;Sn = 1 : 3 0 ; % i n t e r v a l o para g r a f i c a r , n =1 , . . , 30g r id onhold on

SPn = [ ] ; % Pn(1 ,2 ) con n =1 , . . , 30x = [ ] ; % x0 , x1 , . . . , xn para cada Pnfdx = [ ] ; %f ( x0 ) , f ( x1 ) , . . . , f ( xn ) para cada x0 , x1 , . . . , xn

f o r i=1:30ac = 6/i ; % 6 es l a d i s t a n c i a ent re 3 y 3 , se d iv ide ent re i

%para saber cua l es e l i n t e r v a l o ent re l o s puntos n e c e s a r i o s%para obtener P de grado n , con n = 1 , . . . , 3 0

f o r j=1:( i+1)

i f ( j==1)x (1 ) = 3;

e l s ex ( j ) = x ( j1)+ac ; %toma e l a n t e r i o r y suma e l i n t e r v a l o

endend

f o r k=1:( i+1)fdx ( k ) = subs ( fx , x ( k ) ) ; %se evalua cada x0 , x1 , . . . , xn

end

SPn ( i ) = nevilleEvaluarValor ( x , fdx , 1 . 2 ) ;end

p lo t ( Sn , SPn , ' r * ' )s e t ( gca , 'XTick ' , 1 : 3 0 )s e t ( gca , 'YTick ' , 4 : 0 . 5 : 1 6 )x l a b e l ( 'n ' )y l a b e l ( 'P n ( 1 . 2 ) ' )t i t l e ( 'Graf i co de P n ( 1 . 2 ) vs n ' )p r i n t ( imagen , 'depsc ' , ' f i gu r a13 . eps ' )

%% % %1.4 Gra f i ca r En vs n , con n = 1 , . . . , 3 0imagen = f i g u r e (14) ;Sn = 1 : 3 0 ; % i n t e r v a l o para g r a f i c a r , n =1 , . . , 30g r id onhold onEn = [ ] ;

f o r i=1:30En ( i )=abs ( SPn ( i )subs ( fx , 1 . 2 ) ) / subs ( fx , 1 . 2 ) ;

end

p lo t ( Sn , En , ' r * ' )s e t ( gca , 'XTick ' , 1 : 3 0 )x l a b e l ( 'n ' )y l a b e l ( 'E n ( 1 . 2 ) ' )t i t l e ( 'Graf i co de P n ( 1 . 2 ) vs n ' )p r i n t ( imagen , 'depsc ' , ' f i gu r a14 . eps ' )

%% % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %% 2. D i f e r e n c i a s Div id idas I n t e r p o l a n t e s de Newton

%% % %2.1 Mostrar P30 y P30

% P30x = [ ] ;x (1 ) = 3;f o r i=2:31

x ( i ) = x ( i1)+0.2;end

fdx = [ ] ;f o r i=1:31

fdx ( i ) = subs ( fx , x ( i ) ) ;enddi sp ( ' P30 : ' )

12

A ANEXOS A.4 Graficas

pnewton30 = diferenciasdivididas ( x , fdx ) ;latex ( sym ( pnewton30 ) ) %generar codigo l a t ex

d i sp ( 'P30 : ' )plagrange30 = nevillePolinomioInterpolante ( x , fdx ) ;p=poly2sym ( plagrange30 ) ;vpa ( p , 5 )latex ( vpa ( p , 5 ) ) %generar codigo l a t e x

%% % %2.2 Gra f i ca r P30 y P30

imagen = f i g u r e (22) ;g r id onhold onz=3:0.1 :3 ;y = subs ( pnewton30 , z ) ;p l o t ( z , y , 'b ' )z=3:0.01:3;y = polyva l ( plagrange30 , z ) ;p l o t ( z , y , ' r ' )x l a b e l ( 'x ' )y l a b e l ( 'y ' )t i t l e ( ' $$Graf ico de P {30} y \hat{P} {30}$$ ' , ' i n t e r p r e t e r ' , ' l a t ex ' ) ;l=legend ( ' $P {30}$ ' , ' $\hat{P} {30}$ ' ) ;s e t ( l , ' i n t e r p r e t e r ' , ' l a t ex ' ) ;

p r i n t ( imagen , 'depsc ' , ' f i gu r a22 . eps ' )

13

Interpolacin de LagrangeDiferencias Divididas Interpolantes de NewtonDiscusin y ConclusionesAnexosMtodo de Neville para interpolar un valor dadoMtodo de Neville para encontrar un polinomio de interpolacinDiferencias Divididas Interpolantes de NewtonGrficas

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