IN173-Separata Comun de Ejercicios 2016-00

8/18/2019 IN173-Separata Comun de Ejercicios 2016-00

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IN173 – INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES 2

SEPARATA COMÚN DE EJERCICIOS

CICLO 2016 – 0

SECCIONES: Todas

Coordinador: Ing. Eduardo López Sandoval.


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Unidad 1: Programación No lineal

Conceptos básicos sobre programación no lineal

Ejercicio 1.1: Determinar si las siguientes funciones son cóncavas, convexas o ninguna de las dos, justificando su respuesta:

a)

f(X) = e –X d) f(X1, X2) = 42X1 + 51X2 – 1.5(X1)2 – 3X1X2 – 2(X2)2 – 34.5b)

f(X) = X3 e) f(X1, X2) = X1(30X1 + 2) + X2(40X2 – 3)c) f(X) = X0.5

Ejercicio 1.2: Dado el siguiente M.P.N.L. ¿La solución óptima que arroje el software LINGO será también una solución global? Justifiqueanalíticamente su respuesta.

2 2

1 2

2

1 2

2

1

( 4) ( 3)

:

3

1

0

Min Z X X

sujeto a

X X

X

X

Ejercicio 1.3: Dado el siguiente M.P.N.L. ¿La solución óptima que arroje el software LINGO será también una solución global? Justifiqueanalíticamente su respuesta.

1 2

2 2

1 2

2

2 1

1 2

2

:

4

2

, 0

Max Z X X

sujeto a

X X

X X

X X

Programación no lineal convexa

Ejercicio 1.4: La empresa NutriFoods S.A. se dedica a la fabricación de los productos alimenticios: Nutritiva 1 y Nutritiva 2. El departamento demarketing ha realizado los estudios de mercado y obtenido las curvas de demanda para los dos productos. Si las ventas se miden en toneladasdel alimento y el precio por tonelada en miles de dólares, las funciones de demanda (mensuales) son las siguientes:

Q1 = 1500 – 20P1 + 5P2 Q2 = 900 – 15P2 + 6P1

Donde Qi y Pi denotan la demanda (en toneladas) y precio de venta (en mil$/ton) respectivamente del producto i = 1 (Nutritiva 1), 2 (Nutritiva 2).

Todo lo que se produzca será vendido. Las normas vigentes sobre la producción de alimentos establecen que el porcentaje promedio ponderadode fibra, tomado sobre la producción total, sea no menor que 22%. Los porcentajes de fibra son de 21% y 24% para el producto Nutritiva 1 yNutritiva 2 respectivamente. Se estima que la demanda no superará las 600 y 700 toneladas para el producto Nutritiva 1 y Nutritiva 2respectivamente.

a)

Definir las variables de decisión y formule el modelo de optimización matemática correspondiente. Resolver empleando LINGO y presentarun reporte administrativo de la solución óptima.b)

¿Se puede afirmar que la solución óptima que arroja LINGO es también una solución global? Sustente su respuesta.

Ejercicio 1.5: Una empresa produce 2 productos A y B en 3 plantas; los cuales deben ser enviados a 2 clientes. El cliente 1 debe recibir comomínimo 120 toneladas de producto A y 130 toneladas de producto B; mientras que el cliente 2 debe recibir como mínimo 140 toneladas deproducto A y 150 toneladas de producto B. Cada planta puede producir ambos productos y cada cliente puede recibirlos desde cualquier planta.

Información técnica – económica sobre cada planta se muestra a continuación:

PlantaCapacidad de

producción (horas)Costo de producción

($/hora)Ritmo de producción de

A (toneladas/hora)Ritmo de producción de

B (toneladas/hora)1 90 120 1.5 1.2

2 100 130 2 1.53 110 145 1.8 2

La capacidad de producción de cada planta es respecto a la producción de A y B en conjunto. Finalmente, hay un costo de transporte desdecada planta a cada cliente, expresado en $, que se calcula mediante la siguiente expresión: C*X2, donde C es un coeficientes igual a 0.5, 0.4 y


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0.6 para las plantas 1, 2 y 3 respectivamente; y X representa a la producción (A y B en conjunto) que sale de cada planta a cada cliente. Todo loque se produce es enviado a los clientes.

a)

Definir las variables de decisión y formule el modelo de optimización matemática correspondiente. Resolver empleando LINGO y presentarun reporte administrativo de la solución óptima.

b)

¿La solución óptima que arroja LINGO es en realidad local o global? Sustente su respuesta.

Ejercicio 1.6: Una empresa produce un producto en dos centros de producción distintos P1 y P2. Lo que produzca, debe ser enviado hasta doscentros de venta V1 y V2. El envío se puede hacer directamente desde cualquier centro de producción hacia cualquier centro de venta; o

indirectamente: El producto puede ser transportado desde cualquier centro de producción hacia cualquiera de los almacenes A1 y A2, y luegodesde cualquier almacén hacia cualquier centro de venta.

Los centros de producción P1 y P2 pueden producir hasta 1000 kg y hasta 1200 kg de producto, respectivamente. Por otro lado, el centro deventa V1 debe recibir como mínimo 1400 kg del producto y el centro de venta V2 debe recibir como mínimo 600 kg del producto.

El costo de transporte (en $) desde cada centro de producción hacia cada almacén está dado por la expresión: F * (Cantidad Enviada)2 El costo de transporte (en $) desde cada centro de producción hacia cada centro de venta está dado por la expresión: G * (Cantidad Enviada)2

Los valores de F y de G se muestran en las siguientes tablas:

F G

Hacia HaciaDesde A1 A2 Desde V1 V2

P1 0.4 0.3 P1 0.1 0.15P2 0.2 0.5 P2 0.1 0.15

El costo de transporte desde los almacenes a los centros de venta (en $/kg) se muestra en la siguiente tabla:

HaciaDesde V1 V2

A1 2 4A2 3 2

Se dispone de $23000 para cubrir el costo de transporte desde los centros de producción hacia los almacenes.

a) Definir las variables de decisión y formule el modelo de optimización matemática correspondiente. Resolver empleando LINGO y presentarun reporte administrativo de la solución óptima.

b)

¿Se puede afirmar que la solución óptima obtenida es también una solución global? Justifique su respuesta.

Ejercicio 1.7: Una empresa fabrica tres productos: P1, P2 y P3; y los vende a dos regiones: R1 y R2. Si bien es cierto que los clientes lecomprarán todo lo que la empresa les ofrezca, la cantidad máxima de cada producto que se le puede ofrecer a cada región y los precios de ventase muestra a continuación:

Máximo a ofrecer (kg)Región

ProductoR1 R2

P1 210 250P2 220 200P3 190 280

No obstante, el precio de venta por kilogramo de cada producto en cada región se establece en función de la cantidad de producto que se ofrezcaen cada región; mediante la siguiente expresión: A + B*Q ; siendo Q los kilogramos de cada producto que se ofrezca en la región. Los valoresde A y B se muestran a continuación:

A BRegión

ProductoR1 R2

RegiónProducto

R1 R2

P1 40.6 25.4 P1 -0.16 -0.09P2 18.4 27 P2 -0.06 -0.08

P3 26.8 29 P3 -0.08 -0.09

Para fabricar cada tipo de producto se requiere del empleo de dos insumos: I1 e I2. El costo de cada tipo de insumo (en $) se determina mediantela siguiente expresión: 0.00005 * X, siendo X la cantidad total por cada tipo de insumo que se consuma.


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La siguiente tabla muestra la disponibilidad de cada tipo de insumo y el requerimiento por kilogramo de producto

Requerimiento (kg de insumo / kg de producto)Insumo Disponibilidad (kg) P1 P2 P3

I1 350 0.3 0.4 0.2I2 300 0.4 0.5 0.3

De la tabla anterior puede leerse, por ejemplo, que para producir 1 kg de producto P1 se requiere 0.3 kg del insumo I1 y 0.4 kg del

insumo I2.

a) Definir las variables de decisión y formule el modelo de optimización matemática correspondiente. Resolver empleando LINGO y presentarun reporte administrativo de la solución óptima.

b) Determinar si la solución óptima que arroja LINGO es también solución global.

Ejercicio 1.8: Cierta empresa debe planificar sus operaciones para satisfacer la demanda de su principal producto, Alfa, durante las próximastres semanas. La demanda es la que se muestra en la siguiente tabla:

Semana 1 2 3Demanda (unidades) 100 120 130

Para la producción de Alfa se dispone de tres máquinas que trabajan en paralelo y que difieren en producción semanal, la que para la máquina i

se calcula mediante la siguiente expresión: Producción en la máquina i = a(i) * x2 + b(i) * x

Donde x es la cantidad de materia prima a procesar en la máquina; a(i) y b(i) se muestran a continuación:

Máquina 1 2 3a(i) 0.05 0.045 0.042b(i) 10 11 11.5

Cada máquina tiene una capacidad de procesamiento de 12 unidades de materia prima por semana. Las tres máquinas emplean la mismamateria prima para producir Alfa y su costo depende de la semana en que se le compra:

Semana 1 2 3Costo de materia prima ($/unidad) 90 95 100

Existe un almacén del producto terminado con una capacidad de 30 unidades de Alfa y con un costo de almacenamiento igual a $3 por unidad ypor semana. No existe almacenamiento de materia prima. El gerente desea hallar el plan óptimo de producción.

a)


b) Determinar si la función de producción total es una función convexa, cóncava o ninguna de las dos. Justifique su respuesta.

Ejercicio 1.9: Una empresa de productos cárnicos debe planificar sus operaciones para cumplir con la demanda de los siguientes 3 meses. Elcosto de producción (en $) de x toneladas, en el mes i está dado por la siguiente expresión: CProd (x, i) = A(i)x 2 + B(i)x

En la siguiente tabla se muestra la demanda, la capacidad de producción y los valores de A y B para cada mes:

Mes 1 Mes 2 Mes 3Demanda (toneladas) 700 800 1000A 0.8 1.0 1.2B 0.8 0.9 0.7Capacidad (toneladas) 1100 1200 1000

La empresa cuenta con una planta de procesamiento pero no con un frigorífico para guardar el excedente de producción; para tal fin puedecontratar el servicio de almacenamiento de dos frigoríficos. Actualmente, no existe exceso de producción. El costo unitario de almacenamiento($/tonelada) del frigorífico j en cualquier mes está dado por la siguiente expresión: Calm(y, j) = C(j)y – D(j) donde y es la cantidad (en toneladas)de producto a almacenar.


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La siguiente tabla muestra los valores de C y D así como la capacidad mensual de almacenamiento de cada frigorífico:

Frigorífico 1 Frigorífico 2C 5 6D 4 5Capacidad mensual de almacenamiento (toneladas) 60 80

a)

Definir las variables de decisión y formule el modelo de optimización matemática correspondiente. Resolver empleando LINGO y presentar

un reporte administrativo de la solución óptima.b) ¿La solución que arroja LINGO es también una solución global? Justifique su respuesta.

Ejercicio 1.10: Una empresa vende dos productos P1 y P2. El precio de venta (en $/tonelada) de cada producto en cada mes se determinamediante la siguiente función: A – BX; siendo X las toneladas a vender de cada producto en cada mes. Los valores de A y de B se muestran acontinuación:

Valores de A Valores de BProducto Mes 1 Mes 2 Mes 3 Producto Mes 1 Mes 2 Mes 3

P1 1200 1300 1400 P1 0.80 0.75 0.80P2 1600 1700 1800 P2 0.70 0.65 0.60

La planta industrial produce el producto P1 a un ritmo de 10 toneladas/hora, en cambio el producto P2 lo produce a un ritmo de 8 toneladas/hora.La planta dispone de 320 horas, 300 horas y 250 horas para la producción en el mes 1, 2 y 3 respectivamente. En cada mes, si se produce Ptoneladas de producto P1, el costo de producción (en $) se calcula mediante la siguiente expresión: 0.5P2 y si se produce Q toneladas de productoP2, el costo de producción (en $) se calcula mediante la siguiente expresión: 0.45Q2

Cada mes es posible almacenar la producción en exceso, para ser utilizada en los siguientes meses a un costo mensual de 15 $/tonelada y 20$/tonelada para el producto P1 y P2 respectivamente (el costo de inventario se aplica al fin de cada mes). El stock mínimo al final de cada mesdebe ser 100 toneladas de cada tipo de producto.

c)


d)

¿La solución que arroja LINGO es también una solución global? Justifique su respuesta.

Ejercicio 1.11: Una empresa distribuidora debe determinar la ubicación de dos almacenes, los cuales podrían suministrar hasta 150 t/día, paraatender la demanda mínima diaria (en t) de cuatro de sus clientes cuyos valores se muestran en la siguiente tabla:

Cliente 1 Cliente 2 Cliente 3 Cliente 4Demanda mínima diaria (t) 60 90 35 70Ubicación (X, Y) (0,0) (4,30) (30,8) (16,15)

a)

Definir las variables de decisión y formular un modelo matemático de optimización que determine la ubicación óptima de los dos almacenessegún el criterio de minimizar el indicador toneladas-millas, resultante del producto de las toneladas transportadas por la distancia recorrida,desde el almacén hasta las tiendas respectivas. Asumir que la distancia de recorrido es equivalente a la distancia en línea recta. Resolverempleando LINGO y presente un informe administrativo de la solución óptima.

Programación separable

Ejercicio 1.12: La empresa OptiProd se dedica a la fabricación de 3 productos, A, B y C. El gerente de producción de la empresa tiene la urgentetarea de planificar la producción de la próxima semana. La fabricación de tales productos requiere de un insumo común que será disponible soloen 1500 unidades durante la próxima semana. El requerimiento unitario de tal insumo es de 5, 6 y 4 unidades del insumo para A, B y Crespectivamente. El costo unitario de fabricación es de $7, $9 y $5.5 respectivamente. El ingreso unitario de A es $8.50. El ingreso unitario de Bes de $11 para cada una de las primeras 50 unidades, $12 para cada una de las próximas 60 unidades y de $13.5 para cada una de las siguientesunidades. En cambio el ingreso unitario de C es de $7. El gerente también debe tomar en cuenta que por lo menos debe producir 40 unidadesde cada producto. Los productos tienen tal demanda que se asegura la venta de toda la producción.

a) Formular el modelo matemático que le permita maximizar las utilidades. Resolver empleando LINGO, presentar un informe administrativode la solución óptima y juzgue si la solución óptima encontrada es en realidad local, global o una aproximación, justificando su respuesta.


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Ejercicio 1.13: Una siderúrgica produce tres tipos de acero, A1, A2 y A3 en dos plantas siderúrgicas P1 y P2. En cada planta el alto horno puedefuncionar hasta 200 horas al mes. Debido a las diferencias entre los hornos el tiempo para producir una tonelada de acero varía en cada plantay cada producto tal como figura en la siguiente tabla (en minutos).

Planta Acero A1 Acero A2 Acero A31 20 22 252 24 18 22

La ganancia neta que la empresa obtiene de cada tipo de acero depende de la cantidad total que se produzca de ese producto. La ganancia neta

unitaria del acero A1 aumenta cuanta mayor cantidad se produzca. Así, producir cada una de las primeras 50 toneladas genera una ganancianeta de $20, mientras que cada una de las siguientes 100 toneladas genera una ganancia de $23 y cada una de las subsiguientes genera $25.Por ejemplo, 180 toneladas de A1 genera una ganancia de: 50*20 + 100*23 + 30*25

La ganancia neta unitaria del acero A2 es de $24. La ganancia neta unitaria del acero A3 es $24 si se producen a lo más 100 toneladas, aumentaa $27 si se producen más de 100 toneladas pero a lo más 180 toneladas y aumenta a $29 si producen más de 180 toneladas. Por ejemplo, 200toneladas de A3 generan una ganancia neta de: 29*200

Se estima que la demanda no excederá 400, 450 y 500 toneladas de los aceros A1, A2 y A3 respectivamente. Se pide lo siguiente:

a)

Graficar la función de ganancia neta de cada tipo de acero e indique si la función es convexa, cóncava o ninguna de las dos.b)

Proporcionar el significado de las variables de decisión, formular el modelo que resuelva este problema, resolver y proporcionar un reporteadministrativo indicando la ganancia óptima y el plan óptimo de producción.

c)

Indique si la solución encontrada en el acápite anterior es un óptimo global, local o una aproximación. Justifique su respuesta.

Escenario: Partiendo del modelo original, suponga que el tiempo de procesamiento para producir una tonelada del acero A1 en el alto horno dela planta P1 varía según la cantidad que se produzca. Así, cada una de las primeras 80 toneladas de acero A1 en el alto horno de la planta P1requiere 20 minutos de procesamiento. El requerimiento disminuye a 18 minutos para las siguientes toneladas. Escriba los cambios a formularen el modelo original.

Ejercicio 1.14: Una pequeña empresa de muebles fabrica tres tipos de estantes, para lo cual utiliza tres trabajadores. El trabajador 1 fabrica laspartes y piezas, el trabajador 2 ensambla las partes y piezas y el trabajador 3 realiza el acabado de los estantes. El gerente general quiereademás que se fabriquen por lo menos tres estantes de tipo 2 por cada estante de tipo 1. La información pertinente se encuentra en el siguientecuadro:

Tiempo de procesamiento (horas / estante) Costo de materia prima($/estante)

Precio de venta($/estante)Tipo de estante Trabajador 1 Trabajador 2 Trabajador 3

Estante 1 1 2 *** 5 40Estante 2 2 1 2 ** 35Estante 3 1.5 2 1 5 *

Costo ($/hora) 5 4 5.5Disponibilidad 50 horas 40 horas 50 horas

El tiempo de procesamiento del trabajador 3 (***) para fabricar un estante de tipo 1 es de 2 horas para cada uno de los primeros 5 estantes, paracada uno de los siguientes estantes es de 1.5 horas. El costo de la materia prima para fabricar el estante de tipo 2 (**) es de $5 por estante si esque se producen a lo más 9 estantes, y es de $4 por cada estante si se produce más de 9 estantes. Finalmente, el precio de venta del estantede tipo 3 (*) es de $30 por estante para cada uno de los primeros 4 estantes, $35 para cada uno de los siguientes 4 estantes, $25 para cada unode los subsiguientes estantes.

a)

Definir las variables de decisión y formular el modelo de optimización correspondiente. Resolver y presentar un informe administrativo de lasolución óptima.

Ejercicio 1.15: Mi Fruta S.A.C. desea elaborar con las frutas A y B diversos jugos identificados como jugo A, jugo B y jugo Surtido. El jugo A seelabora a base de la fruta A, el jugo B a base de la fruta B, el jugo Surtido contiene ambas frutas. El jugo Surtido debe satisfacer el requerimientode la nutricionista de la empresa que indica que el contenido de fibra del jugo Surtido debe ser por lo menos el 18% de su peso. La fruta A posee20% en peso de fibra y la fruta B 16% en peso de fibra.

La disponibilidad de la fruta A es de 400 kg. y la de B es de 250 kg. El costo del kilo de la fruta A es de $3 mientras que el costo unitario de lafruta B es de $3 si se compra a lo más 50 kg, disminuye a $2 si se compra más de 50 kg pero a lo más 100 kg y disminuye a $1.5 si se compramás de 100 kg. Por ejemplo, el costo de 150 kg es 1.5*150.

El precio de venta del jugo A es de $12 por kilo mientras que el del jugo B es de $15. El precio de venta del jugo Surtido será de $15 kg si sevenden hasta 200 kg, disminuye a $12 si se venden más de 200 kg. Por ejemplo, si se venden 300 kg el ingreso total sería de 300*12.

Se ha determinado también unos requerimientos mínimos de producción de 70 y 50 kg para el jugo A y jugo B respectivamente. Por último, lafruta B debe constituir por lo menos el 40% del jugo Surtido.


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a)


Ejercicio 1.16: Farmax produce dos tipos de suero en sus dos plantas. La primera planta tiene 5 operarios y la segunda 6 operarios. Cada plantatrabaja 5 días a la semana y 8 horas por día. Los tiempos de producción de cada suero para la planta 1 se muestran en la siguiente tabla (enminutos –hombre):

Cantidad producidadel suero tipo 1

Tiempo requerido(minutos –hombre/unidad)

Cantidad producidadel suero tipo 2

Tiempo requerido(minutos –hombre/unidad)

Las primeras 50 unidades 25 Las primeras 100 unidades 40Las siguientes unidades 35 Las siguientes unidades 30

En cambio, en la planta 2 el tiempo que requiere la elaboración del suero 1 es de 30 minutos –hombre/unidad mientras que la unidad del suero2 requiere 34 minutos –hombre/unidad.

La elaboración de sueros necesita de agua destilada. Los equipos de destilación tienen una capacidad de 300 y 350 litros semanales en la planta1 y 2 respectivamente. Una unidad de suero 1 tiene 500 cc y una unidad de suero 2 tiene 750 cc (1 litro=1000cc)

Los precios de venta son de 12 y 15 soles la unidad de suero 1 y 2 respectivamente. En cualquier planta, el costo de la mano de obra es de 10soles la hora (se paga solo por las horas trabajadas). El costo de destilación de agua en la planta 1 es de 4.5 soles por litro; en la planta 2 elcosto de destilación es de 5 soles si se destilan menos de 150 litros y 4 soles si se destilan más de 150 litros. Se estima que la demanda semanalno excederá 450 y 350 unidades de los sueros 1 y 2 respectivamente.

a)


Ejercicio 1.17 (Combinando expresiones matemáticas de 2do grado con funciones lineales por tramos): Una empresa fabrica dosproductos: P1 y P2 a partir de un solo tipo de insumo. Se sabe que se requiere 2.5 toneladas de insumo para obtener 1 tonelada de producto P1y que se requiere 2 toneladas de insumo para obtener 1 tonelada de producto P2. El precio de venta de cada producto en cada mes (en $ /tonelada) se determina mediante la siguiente expresión: (A - BX), siendo X las toneladas a vender de cada producto en cada mes. Los valoresde A y B son los siguientes:

Valores de A Valores de BProducto Mes 1 Mes 2 Mes 3 Producto Mes 1 Mes 2 Mes 3

P1 1200 1300 1400 P1 0.76 0.77 0.77

P2 1400 1500 1200 P2 0.77 0.76 0.80

No es posible tener inventarios de productos al final de cada mes ; es decir todo lo que se produce en el mes se vende en ese mismo mes.La empresa compra el insumo a un proveedor. Lo máximo a comprar de insumo en el mes 1, mes 2 y mes 3 es 6000 toneladas, 4000 toneladasy 5000 toneladas, respectivamente. El costo de compra en cada mes se determina mediante las siguientes expresiones:

Costo de compra en el mes 1: De 0 a 3000 toneladas: 15.8 $/tonelada de insumo; más de 3000 toneladas: 14.4 $/tonelada de insumo. Costo de compra en el mes 2: De 0 a 3000 toneladas: 16.9 $/tonelada de insumo; más de 3000 toneladas: 15.4 $/tonelada de insumo.

Costo de compra en el mes 3: De 0 a 3000 toneladas: 17.3 $/tonelada de insumo; más de 3000 toneladas: 15.9 $/tonelada de insumo.

Es posible tener inventario de insumo al final de cada mes . El costo de inventario es 0.3 $/tonelada de insumo y lo máximo que se puedealmacenar al final de cada mes es 500 toneladas de insumo.

a)


Ejercicio 1.18: Para los siguientes 3 meses, una empresa que fabrica el producto ALFA, debe satisfacer una cierta demanda. El siguiente cuadromuestra la demanda, la capacidad de producción, la tasa de producción y el costo de la maquinaria:

Mes 1 Mes 2 Mes 3Demanda (kg de Alfa) 260 260 290Capacidad de producción (en Horas-máquina) 450 375 450Tasa de producción (Horas-máquina / kg de Alfa) 1.5 1.5 1.5Costo de la maquinaria ($ / Hora-máquina) * 10 12

(*): El costo de la hora máquina en el mes 1 se determina de la siguiente manera: Si se emplea hasta 100 Horas-máquina, el costo es de $12;si se emplea más de 100 hasta 200 Horas-máquina, el costo es de $13; y si se emplea más de 200 Horas-máquina, el costo es de $13.5.


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Para la fabricación del producto ALFA se emplean dos insumos: I1 e I2. Se sabe que para obtener 1 kg de Alfa se requiere de 2 kg de insumoI1 y 3 kg de insumo I2. El costo de compra del insumo (en $ / kg de insumo) es el siguiente:

Insumo Mes 1 Mes 2 Mes 3I1 1.7 1.6 1.8I2 ** 2.1 2.2

(**): El costo de compra por kilogramo de insumo I2 en el mes 1 es de $2 si se compra hasta 700 kg de insumo I2, disminuye a $1.5 para lossiguientes 300 kg de insumo I2 y disminuye a $1 para los siguientes kg.

Es posible almacenar insumos a un costo mensual de 0.05 $/kg y 0.06 $/kg para el insumo I1 e I2 respectivamente. La capacidad mensual dealmacenamiento de cada insumo es de 100 kg y 150 kg para el insumo I1 e I2, respectivamente. Asimismo, también es posible almacenarproducto Alfa a un costo de almacenamiento mensual de 5 $/kg. No hay restricción de capacidad de almacenamiento para Alfa.

a)


Programación cuadrática

Ejercicio 1.19: Una firma produce dos productos utilizando recursos limitados. La disponibilidad de los recursos 1 y 2 es de 2000 y 500 unidadesrespectivamente. Cada unidad del producto 1 requiere de 2 unidades del recurso 1 y 0.4 unidades del recurso 2. Cada unidad del producto 2requiere de 2 unidades del recurso 1 y 1 unidad del recurso 2.

El costo unitario del producto 1 es de 0.75 - 0.0001X 1 mientras que del producto 2 es de 1.50 - 0.0002X 2, donde Xi es el número de unidadesproducidas del producto i (i = 1, 2). El precio unitario de cada producto es función del número de unidades a venderse:

p1 = 4 - 0.001X1 - 0.0003X2 p2 = 7 - 0.004X1 - 0.003X2

a)

Definir las variables de decisión y formular un modelo de optimización para determinar un plan de producción que optimice las operacionesde la firma. Resolver y presentar un informe administrativo de la solución óptima.

Ejercicio 1.20: Un inversionista posee un capital de $20000 y está pensando en invertir en acciones de tipo A, B y C. los retornos promedios deA, B y C son 30%, 20% y 8% respectivamente. El retorno mínimo esperado del inversionista es de 12%. Adicionalmente, se indica que lainversión en ningún valor puede superar el 75% del capital del inversionista. La matriz de covarianzas es la siguiente:

A B CA 3 1 - 0.5B 1 2 - 0.4C - 0.5 - 0.4 1

Nota: VAR(A) = COV(A, A)

a) Definir las variables de decisión y formular un modelo de optimización para determinar el plan de inversiones que minimice el riesgo delportafolio. Resolver y presentar un informe administrativo de la solución óptima.

b) Escenario: Suponga que cada acción de A cuesta $100, cada acción de B cuesta $80 y cada acción de C cuesta $60. Haga los cambios

pertinentes en el modelo original con el fin de determinar cuántas acciones de cada tipo se debe adquirir, al menor riesgo posible.

Ejercicio 1.21: Un inversionista está planeando su inversión en acciones para el año siguiente, en función del dinero que dispondrá al final deeste año. Para ello está analizando tres tipos de acciones: Cervecería, Banca y Minería, cuyos retornos promedios son del 9%, 13% y 11%respectivamente. El inversionista estima que la disponibilidad de dinero a fin de año será como mínimo $500 000 y como máximo $800 000. Eldesea obtener un rendimiento esperado mínimo de $70 000, minimizando el riesgo del portafolio, el cual se mide como la varianza del retornodel mismo. La matriz de covarianzas asociadas a los retornos de estos 3 tipos de acciones es la siguiente:

Matriz de CovarianzasCervecería Banca Minería

Cervecería 0.05 - 0.03 0.02Banca - 0.03 0.09 - 0.01Minería 0.02 - 0.01 0.08

a) Definir las variables de decisión y formular un modelo de optimización para determinar el plan óptimo de inversiones. Resolver y presentar

un informe administrativo de la solución óptima.


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Ejercicio 1.22 (Modelo de minimización del riesgo del portafolio combinado con programación separable): Un inversionista dispone comomáximo de US$ 250000 para invertir en acciones y para depositar en al banco. El inversionista desea invertir en tres tipos de acciones: B, C yM, cuyo rendimiento esperado es 18%, 21% y 19% respectivamente. El dinero que no se invierta en acciones se depositará a plazo fijo en unbanco, el cual paga 10% de intereses por los primeros 10000 dólares y por cada uno de los siguientes dólares paga un interés del 20%. Se haobtenido a partir de los rendimientos históricos, la siguiente matriz de covarianzas entre los rendimientos de los 3 tipos de acciones:

B C MB 0.03 -0.02 0.04

C -0.02 0.05 -0.02M 0.04 -0.02 0.06

El inversionista se ha planteado las siguientes condiciones:

Para cada dos tipos de acciones, debe invertir como máximo la cantidad de US$ 200000.

El rendimiento esperado mínimo (acciones más el depósito bancario) debe ser US$ 50000. El riesgo debe ser el mínimo posible.

a) Definir las variables de decisión del problema, formular el modelo de optimización correspondiente y resolver el modelo. Presentar elprograma de inversión, el rendimiento óptimo y el riesgo asociado.

Unidad 2: Técnica PERT –

CPM para la gestión de proyectosEjercicio 2.1: La siguiente tabla muestra las diferentes actividades involucradas con la construcción de una casa, al igual que sus predecesorasinmediatas y su duración (en días):

Actividad Descripción Predecesora(a) DuraciónA Construir los cimientos --- 5B Construir paredes A 9C Construir el techo B 12D Hacer la instalación eléctrica B 5E Colocar ventanas B 4F Revestir las paredes externas E 6G Pintar la casa C, F 3

a)

Dibujar la red de actividades del proyecto. Determinar la duración mínima del proyecto y la(s) ruta(s) crítica(s).b) Determinar las actividades críticas, no críticas, las fechas más rápidas (o tempranas), las fechas más tardías y las holguras totales.c) Haga la interpretación administrativa de la holgura total en la actividad D.d)

Dibuje el diagrama de Gantt del proyecto.

Ejercicio 2.2: Considere el siguiente proyecto de instalación de un nuevo equipo de control de contaminación de aire en una planta metalúrgica.

Actividad Descripción PrecedenciaDuración

(semanas)o m p

AB

CDEFGH

Construir componentes internasModificar techo y piso

Construir pila de colecciónLlenar de concreto e instalar marcoConstruir quemador de alta temperaturaInstalar sistema de controlInstalar dispositivo de contaminación ambientalInspeccionar y probar

------

ABCD

D, EF, G

12

223541

23

345652

34

4671363

a) Determinar la duración promedio o esperada del proyecto y la(s) ruta(s) crítica(s) media(s).b)

Determinar la función de distribución de probabilidades de la duración del proyecto. Justificar.c)

¿Cuál es la probabilidad que el proyecto se complete antes de las 19 semanas?d) ¿Cuál es la probabilidad que el proyecto termine entre las semanas 16 y 18?e)

¿Para qué fecha debe programarse el fin del proyecto para que tenga una probabilidad del 93% de no atrasarse?f)

Determinar el intervalo de 95% de confianza de la duración del proyecto.

g)

¿Cuál es la probabilidad que el inicio más temprano de la actividad G se produzca antes de las 8 semanas?h)

¿Cuál es la probabilidad que el inicio más temprano de la actividad G se demore más de 1 semana respecto de su fecha promedio?

Ejercicio 2.3: La información referente a un proyecto determinado aparece en la siguiente tabla (tiempo en días y el costo en dólares).


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Duración (en días) Costo Directo (en $)

Actividad Predecesora(s)Duraciónnormal

Duraciónmínima1

Con duraciónNormal

Con duraciónmínima2

A ------ 5 4 1000 1200B ------ 5 3 800 2000C A, B 2 1 600 900D B 3 2 1500 2000E C, D 5 3 900 1200

F E 2 1 1300 1400G E 3 3 900 900H G 5 3 500 900

Sabiendo que los costos indirectos del proyecto ascienden a 250 $/día, se pide lo siguiente:

a) Construir la red de actividades del proyecto y determinar la(s) ruta(s) crítica(s) y su duración normal.b)

Plantear un modelo de programación lineal que permita determinar la duración óptima del proyecto. Resolver el modelo y presentar uninforme administrativo de la solución óptima.

c)

A partir del modelo anterior, determinar la duración mínima posible y el costo mínimo asociado a esa duración.

Ejercicio 2.4: A partir de la siguiente información sobre un proyecto:

Actividad A B C D E F G HPredecesora(s) ---- ---- B A D, H D, H C, E, F ADuración (semanas) 2 3 4 3 8 2 3 4Personal requerido 3 3 6 3 ---- 2 4 2

Se pide:

a) Preparar un diagrama de asignación de recursos y determinar cuántos trabajadores requiere como mínimo el proyecto para cumplir con laduración mínima y con las fechas de inicio más rápido de todas las actividades. Determine la eficiencia de la asignación y dé su opiniónadministrativa.

b) Ahora, suponga que se ha designado un equipo de 6 trabajadores para que se encargue de todo el proyecto. Preparar un diagrama deasignación de recursos y determinar si será posible cumplir con la duración mínima del proyecto. Determine la eficiencia de la asignación.

Ejercicio 2.5: Una promoción piensa organizar una conferencia con la intención de recaudar fondos. Para ello el comité organizador hapresentado la lista de las actividades previas que deben realizarse para llevar a cabo la conferencia:

Actividad PrecedenciasDuración (semanas)

Optimista Más probable PesimistaA - Seleccionar la ubicaciónB - Conseguir oradorC - Planear el viaje del oradorD - Negociar tarifas de hotelesE - Preparar folletoF -Registrar reservaciones

------

A, BAB

C, E

242133

453345

664557

Parte A: Considerando que el proyecto se inicia ahora:a)

Estime la fecha esperada en que debe efectuarse la conferencia. Muestre la red de actividades y los cálculos efectuados.b) ¿Cuál es la probabilidad de que la conferencia se lleve a cabo después de la semana 15? Justifique.c) Justifique (argumente) la función de distribución empleada en la pregunta anterior.d)

¿Entre qué semanas se iniciaría el registro de reservaciones con una probabilidad del 95%? Justifique su respuesta.

Parte B: Como el tiempo apremia, se quiere adelantar la fecha en que se debe realizar la conferencia. Para ello asuma ahora que las duracionespromedios de las actividades hallados en la parte A son las duraciones normales de las actividades. Considere además la información contenidaen la siguiente tabla y que se ha contratado a un organizador de eventos a quien se le paga $70 por semana por el tiempo que duren lospreparativos de la conferencia.

1 Llamada también duración de quiebre o duración tope.

2 Llamado también costo directo de quiebre o costo directo tope.


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ActividadDuración mínima

(semanas)Costo con duración

normal ($)Costo con duración

mínima ($)A - Seleccionar la ubicaciónB - Conseguir oradorC - Planear el viaje del oradorD - Negociar tarifas de hotelesE - Preparar folletoF - Registrar reservaciones

232123

20015010080

300230

300200180120450420

a)

Si el inicio de la conferencia se desea adelantar en 2 semanas ¿cuál será el nuevo costo del proyecto?b) Si se cuenta con un presupuesto de $2100 ¿en cuánto tiempo como máximo se puede adelantar la conferencia?c)

Determinar el tiempo óptimo a esperar para realizar la conferencia y el costo total para llevarla a cabo en esa fecha.d)

Determinar el tiempo mínimo posible a esperar para realizar la conferencia y el costo mínimo para llevarla a cabo en esa fecha.

Ejercicio 2.6: El dueño de una clínica ha elaborado un proyecto que consiste en un nuevo servicio de diagnóstico, el cual requiere técnicosdebidamente entrenados y el empleo de equipos de última generación. Sin embargo, un virus entró a su computadora y entre los archivos quedañó está aquel que contiene la información del proyecto. Después de reparar su computadora, la información del proyecto que pudo rescatarse muestra a continuación:

Actividad Predecesora(s) Duración (semanas)A. Elaborar manuales de procedimientos Ninguna 2B. Seleccionar técnicos. Ninguna 4

C. Entrenar técnicos A, B 3D. Anunciar el nuevo servicio. BE. Importación del equipo. NingunaF. Instalación del equipo y prueba de puesta en marcha. C, E 2

Ruta crítica del proyecto: E – F. La holgura total de D es de 2 semanas y su fecha más rápida de término es la semana 8.

Se pide lo siguiente:

a)

Determinar, después de dibujar la red de actividades y mostrando los cálculos, las duraciones de las actividades D y E y la duración mínimadel proyecto.

b)

La llegada del profesional que capacitará a los técnicos seleccionados ha sido confirmada para la semana 5. ¿El proyecto se va a retrasar?Justifique cuantitativamente su respuesta.

Escenario 1: El dueño desea incluir la incertidumbre en la duración de las actividades y para ello ha considerado que las duraciones en el acápiteanterior son las duraciones promedio y ha obtenido las siguientes varianzas:

Actividad A B C D E FVarianza 0.111 0 0.111 1 2.778 0.250

c) Calcule la probabilidad de que el proyecto termine a lo más en la semana 12.

Escenario 2: Luego de una revisión de las actividades se ajustaron las duraciones de las mismas, las que se muestran en la siguiente tabla.Considerando a dichas duraciones como las duraciones normales de las actividades, el costo directo normal del proyecto es de $10000. Sin

embargo, se pueden hacer trueques de tiempo-costo con el fin de reducir la duración del proyecto. Se cuenta con la siguiente información:

Actividad Duración normal (semanas) Costo de reducción ($/semana) Límite de reducción (semanas)A 3 500 1B 5 200 2C 3 100 2D 5 200 2E 7 200 4F 3 100 2

Sabiendo que el costo de supervisión es de $500/semana, se pide:

d) Formular un modelo matemático que permita hallar la duración que optimice el costo total del proyecto. Indicar ambos valores.e)

Hallar la mínima duración posible del proyecto y su respectivo mínimo costo total asociado. Proporcionar ambos valores.


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Ejercicio 2.7: Se tiene la siguiente información de un proyecto para la construcción de un pequeño centro empresarial:

Actividad Predecesora(s)Duración (semanas)

Optimista Más probable PesimistaA. Preparar los planos arquitectónicos - 4 5 6B. Identificar los potenciales arrendatarios - 2 6 10C. Desarrollar prospectos con arrendatarios A 2 4 6D. Seleccionar al contratista A 3 4 5E. Tramitar licencia de construcción A 0.5 1 1.5F. Realizar la construcción D, E 10 12 14G. Finalizar contratos con arrendatarios B, C 10 12 14H. Mudanza de arrendatarios al centro empresarial F ,G 1 2 3

Se pide lo siguiente:

a)

Dibuje la red de actividades del proyecto y presente, aplicando la metodología explicada en clase (no por simple inspección), la duraciónpromedio del proyecto y la(s) ruta(s) crítica(s).

b)

Determinar la probabilidad que el proyecto culmine entre las semanas 21 y 24. Presente su procedimiento.c)

Determinar la probabilidad que la mudanza de arrendatarios al centro empresarial se inicie a lo más en la semana 20. Presente suprocedimiento.

Escenario: Con la finalidad de efectuar un análisis de costos, asuma que la duración promedio de cada actividad es también la duración normal.Además:

El costo directo normal del proyecto es $ 900 000 El costo unitario de reducción para cada actividad crítica es 500 $/semana; y para cada actividad no crítica es 300 $/semana. El costo indirecto por supervisión del proyecto es 600 $/semana.

El límite de reducción de cada actividad es:

Actividad A B C D E F G HLímite de reducción (semanas) 2.5 3 2 2 0.5 6 6 1

Dadas estas condiciones, el proyectista desea saber cuál es la duración óptima del proyecto.

d)

Presente el modelo de optimización matemática que permite responder la inquietud del proyectista. Resuelva el modelo empleando LINGOy complete la siguiente información:

Duración óptima del proyecto: ___________________ semanas Costo total óptimo: $ ____________________Actividades cuya duración deba reducirse: ____________________________________Duración óptima de las actividades cuya duración deba reducirse: _______________________________________


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Unidad 3: Programación Dinámica

Problemas de la alforja

Ejercicio 3.1: Se dispone de un camión de 10 toneladas de capacidad para trasladar 4 bultos. Se desea determinar los bultos a trasladar demanera que se maximice el valor total que se traslada:

Bulto 1 2 3 4Peso Pi (ton) 3 6 7 5Valor Vi ($) 7 16 19 15

a)

El enunciado del problema y la función objetivo.b) Las variables de estado y el significado de la decisión.c)

Resolver manualmente el problema, definiendo previamente el significado de la función de valor óptimo. Presentar la(s) solución(es)óptima(s) y el valor óptimo de la función objetivo.

d) Generalizar las ecuaciones que permitieron dar solución al problema.

Ejercicio 3.2: Respecto al ejercicio anterior considere que los bultos, además de tener un peso, tienen un volumen asociado. El volumen delbulto 1, 2 3 y 4 es 8, 7, 5 y 7 m3 respectivamente y que el espacio disponible en el camión es 13 m3. Resuelva nuevamente el problema. (Tengaen cuenta que, para que un bulto pueda ser subido al camión, debe caber tanto en peso como en volumen).

Ejercicio 3.3: ProSalud es una organización privada cuyo objetivo es la de mejorar el nivel de salud de la población rural de la región Lima. Elpróximo proyecto de ProSalud consiste en elevar la calidad de servicio de 10 postas médicas ubicadas en la zona rural de la provincia deHuarochirí. Para ello se han estimado los requerimientos adicionales de médicos y enfermeras de cada una de las postas médicas, tal comoaparecen en la siguiente tabla.

Posta médicaRequerimientos adicionales

Costo de penalizaciónUnitario

Médicos Enfermeras Médicos Enfermeras1 2 4 4 22 2 6 5 33 3 6 5 24 2 5 4 25 4 10 6 3

6 3 6 7 37 4 7 5 28 5 10 3 29 3 8 8 3

10 3 6 5 2

ProSalud ha podido reclutar a 20 médicos y 50 enfermeras que están dispuestos a trabajar en zonas rurales, de tal modo que es imposiblesatisfacer la demanda en todas las postas. La asignación de este personal a cada posta no podrá ser realizada de manera parcial: se asignanlas cantidades requeridas tanto de médicos y de enfermeras ó nada. Además, ha cuantificado el perjuicio ocasionado por no asignar personala cada posta médica definiendo un costo de penalización. Dicho costo se calcula empleando el costo de penalización por cada médico que nose asigna y cada enfermera que no se asigna, tal como aparece en la tabla anterior.

ProSalud desea encontrar la manera de asignar los 20 médicos y 50 enfermeras a fin de minimizar el costo total de penalización. Formule el

correspondiente modelo de Programación Dinámica, resuélvalo empleando P4 y presente el informe administrativo de la solución óptima.

Ejercicio 3.4: Un operador logístico debe decidir en qué camión transportar las 6 cargas que debe entregar a un cliente. Tiene dos camionescon las siguientes características: El camión A dispone de 16 toneladas de capacidad y el camión B dispone de 18 toneladas de capacidad.

Las cargas son bultos empacados en embalaje especial de modo que no pueden ser partidas en varias partes. La siguiente tabla muestra paracada carga la información sobre el peso y la utilidad que se obtiene si la carga es transportada en el camión A o en el camión B.

Carga 1 2 3 4 5 6Peso (toneladas) 5 3 4 5 6 8Utilidad si se lleva en A ($/kg) 0.9 0.7 0.8 1.02 1.4 0.95Utilidad si se lleva en B ($/kg) 0.8 0.9 0.7 1.1 1.3 1.1

Formule el correspondiente modelo de Programación Dinámica que permita al operador logístico maximizar su utilidad total. Resuelva empleandoP4 y presente un informe administrativo de la solución óptima.


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Problemas de la carga de bultos

Ejercicio 3.5: La nutricionista de una empresa productora de ganado vacuno debe diseñar la dieta que deben consumir los animales. La dietadebe aportar un máximo de 1500 calorías y debe contener el mayor nivel posible de proteínas. Debe considerar solo a cuatro diferentes alimentosA, B, C y D cuyos contenidos de calorías por unidad de alimento son de 300, 500, 600 y 400 unidades respectivamente. El contenido de proteínases de 400, 700, 900 y 300 unidades respectivamente por unidad de alimento. Por otro lado, no es recomendable incluir más de dos unidades decada tipo de alimento por su alto nivel de grasa y en el caso del alimento B se recomienda la inclusión de por lo menos una unidad debido a sualto contenido de fósforo.

a)

¿Cuál es la función objetivo del problema?b) Identifique las variables de estado, el significado de la decisión y el el conjunto de decisiones posibles.c)

Genere la red de estados.d)

Escoja un estado, distinto del inicial, y describa el subproblema que se asocia a ese nodo.e) Presente el significado de la función de valor óptimo y resuelva el problema empleando programación dinámica.f)

Generalice las ecuaciones que empleó para resolver el problema.

Ejercicio 3.6: Se desea establecer la cantidad de cada artículo que debe comprar un comerciante para luego venderlo, obteniendo así unaganancia. La operación de compra tiene un costo fijo por tipo de artículo, si decide llevar al menos una unidad de ese artículo. El comerciantecuenta con un capital de $90 para efectuar las compras. Los datos son:

ArtículoMínimo a comprar

(unidades)Máximo a comprar

(unidades)Costo variable

($ / unidad)Costo fijo

($)Precio de Venta

($/ unidad)

1 0 3 5 3 72 2 6 9 3 123 0 5 10 4 154 1 9 11 4 175 1 7 9 5 166 0 8 11 4 17

Formule el modelo de programación dinámica correspondiente y resuélvalo empleando P4.

Ejercicio 3.7: Usted, como jefe de planta, tiene la responsabilidad de programar las horas que deben funcionar las 5 líneas de producción paraproducir un producto de gran demanda. El Dpto. de Planeamiento le comunica que el requerimiento de producción para el día siguiente es de almenos 100000 unidades de ese producto. Cada línea puede operar hasta 8 horas diarias. Para cada línea se ha determinado un costo fijo, quese aplica en caso trabaje la línea, y un costo variable expresado en dólares por hora de trabajo. La siguiente tabla muestra dicha información y

también la tasa de producción de cada línea expresada en unidades por hora.

Línea

1 2 3 4 5

Tasa de producción (unidades /hora) 10000 8000 9000 7000 6000Costo fijo ($) 4000 3000 3500 2500 2000Costo variable ($/hora) 1200 1000 1100 1000 900

a)

Formule el modelo de Programación Dinámica que le permita determinar la programación óptima de las líneas de producción. Resuelvaempleando P4 y presente un informe administrativo de la solución óptima que obtuvo.

b) Escenario: La gerencia le comunica ahora que cada línea puede funcionar a lo más y por lo menos las cantidades de horas que figuran en

la siguiente tabla. Por otro lado, la cantidad de horas a programar se incrementa en una cantidad que también depende de la línea y que semuestra en la misma tabla. Así por ejemplo, en la línea 3 se debe programar una hora de trabajo ó 4 horas, dado que su incremento es 3.

Línea

1 2 3 4 5Mínimo de horas 2 1 1 1 2Máximo de horas 6 6 6 5 6Incremento de horas 2 1 3 1 2

Presente los cambios que se deben formular en el modelo de programación dinámica del escenario original.

Ejercicio 3.8: La capacidad mensual actual de producción de una empresa es de 120 unidades. Esta empresa debe decidir en qué momentoampliar o no ampliar su capacidad de producción mediante la adquisición de una nueva máquina. La empresa puede hacer a lo más una solaampliación de capacidad en todo el periodo de planeamiento de 6 meses. La ampliación permitirá que la capacidad mensual de producción se

incremente en 80 unidades. Si se decide adquirir la máquina en un determinado mes, dicha máquina estará disponible para ser utilizada desdeel mismo mes en que se adquiere en adelante.


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No es posible almacenar producción excedente de un mes a otro; es por eso que para la atención de los pedidos en cada mes, si la capacidadde producción no alcanza para cubrir todo el pedido no podrá atenderlo en su totalidad y se incurre en una penalidad por incumplimiento; de locontrario se produce exactamente para atender todo el pedido pero se incurre en un costo de penalidad por capacidad no utilizada.

Los pedidos para los próximos 6 meses y las penalidades se detallan a continuación:

Mes 1 2 3 4 5 6Pedido (unidades) 100 150 200 180 200 100Penalidad por incumplimiento ($ / unidad de pedido no atendida) 200 180 190 200 180 200

Penalidad por capacidad no utilizada ($ / unidad de capacidad no utilizada) 80 90 75 85 90 90Por ejemplo, si en el mes 1 no se amplía la capacidad de producción, la penalidad en ese mes sería: 80(120-100) = $1600.

Sabiendo que la empresa desea minimizar la penalidad total (en $); formule el modelo de programación dinámica correspondiente, resuelvaempleando P4 y presente un informe administrativo de la solución óptima.

Problemas de Asignación

Ejercicio 3.9: Un consultor debe determinar cuántos días debe dedicar a cada uno de sus 3 clientes, con el fin de maximizar su ingreso total. Elconsultor dispone de 6 días y sus honorarios (en $) dependen del cliente y del número de días que le dedicaría:

Honorarios (en $)

Número de días que se les dedicaríaCliente 0 1 2 3 4 5

1 0 100 250 400 525 6002 0 125 250 375 500 6253 0 150 300 400 550 650

Formule el modelo de programación dinámica correspondiente y resuélvalo empleando P4

Ejercicio 3.10: Suponga que un maestro artesano debe planificar la producción de tres diferentes productos cerámicos en su taller. Los tresproductos requieren de la misma materia prima del cual se dispone solo 20 unidades. El artesano cuenta con 14 aprendices que se encargan delas distintas labores de producción. Los requerimientos de mano de obra y materia prima de cada producto se muestran en la siguiente tabla.Suponga además que por lo menos debe producirse una unidad de cada tipo de producto. Cada producto genera una utilidad total que depende

de la cantidad producida tal como se muestra en la siguiente tabla.

ProductoRequerimiento unitario Utilidad (En $)

aprendicesmateriaprima

1 unidad 2 unidades 3 unidades 4 unidades 5 unidades

1 3 4 3 4.5 6.5 9 112 3 5 3 5 7 9 133 4 4 2.5 4 6 8 11

El artesano desea hallar el plan de producción que maximice la utilidad total. Formule el modelo de programación dinámica correspondiente yresuélvalo empleando P4.

Ejercicio 3.11: El Jefe de Producción de una empresa manufacturera desea realizar el plan de producción para las próximas 5 semanas. La

producción de cada semana está restringida a 3 unidades como máximo. La siguiente tabla muestra el costo de producción, en miles de soles,según las unidades que se decidan producir.Costo de producción (Miles de $)

Unidades a producir Semana 01 Semana 02 Semana 03 Semana 04 Semana 050 5 4 2 2 31 9 7 5 5 42 16 14 11 8 83 21 20 15 14 13

Al final de las 5 semanas, se debe lograr una producción de 12 unidades. Formule el modelo de programación dinámica que permita a la empresaminimizar su costo total, resuelva empleando P4 y presente un informe administrativo de la solución óptima.


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Problemas de inventarios

Ejercicio 3.12: La demanda de un cierto artículo para los próximos 4 meses es de 900, 800, 1000, 1200 unidades respectivamente. Los costosunitarios de producción son de 3, 4, 2 y 5 ($) respectivamente, con una capacidad normal de producción de 900 unidades. Dicha capacidadpuede extenderse hasta en 200 unidades, para los cuales los costos de producción son 3.5, 5, 2.5 y 7 ($) respectivamente.

Al inicio del mes, el almacén está vacío. La capacidad mensual de almacenamiento es de 300 unidades y el costo mensual de almacenamientoes de 1 $/unidad. Determine el programa óptimo de producción que satisfaga la demanda mensual y minimice los costos de producción y deinventario. Al final del mes 4, el inventario debe ser de por lo menos 100 unidades.

Nota: Considere los niveles de producción y de inventario en unidades de centenas.

Ejercicio 3.13: Partiendo del ejercicio 3.9, asuma que es posible satisfacer la demanda o parte de ella con demora, es decir en algún periodoposterior pero asumiendo una penalidad de $1.20 por cada unidad no satisfecha de la demanda y por cada periodo de atraso. Al final del últimoperiodo se debe asegurar que todas las demandas ya han sido satisfechas. Resuelva el nuevo problema.

Ejercicio 3.14 Una empresa que fabrica un cierto producto, debe entregar a su cliente una cierta cantidad en cada uno de los siguientes 6 meses.Dichas cantidades a entregar, se muestran en el siguiente cuadro:

Mes 1 2 3 4 5 6Cantidad a entregar (unidades) 500 480 460 490 460 490

Al inicio del mes 1, se tiene 800 unidades de producto en el almacén y se requiere que al final del sexto mes el stock sea por lo menos 500unidades. La capacidad de almacenamiento mensual es de 1000 unidades y el costo mensual del stock de producto terminado es de 0.2 $/unidad.

Para producir una unidad de producto, se requiere de 0.8 kg de insumo. Al inicio del mes 1, la empresa dispone de 2500 kg de insumo y no va arealizar compras de cantidades adicionales de insumo.

En cada mes se puede no producir, producir 500 unidades o producir 1000 unidades. El costo de producción depende de la cantidad que produzcala empresa:

Mes 1 2 3 4 5 6Costo de producción si se producen 500 unidades ($/unidad) 10.2 10.3 11 11.8 11.3 11.9Costo de producción si se producen 1000 unidades ($/unidad) 9.5 9.6 10.2 11 10.7 11.3

Por ejemplo: Si en el mes 1 se producen 1000 unidades, el costo de producción de ese mes será: $9500

El jefe de producción desea saber el plan óptimo de producción e inventarios mediante un modelo estructurado de programación dinámica y susolución empleando el software P4.

Ejercicio 3.15: Una empresa que fabrica un cierto producto, debe entregar a su cliente una cierta cantidad en cada uno de los siguientes 10meses. Dichas cantidades a entregar, así como también el costo de producción unitario se muestra en el siguiente cuadro:

Mes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Cantidad a entregar (unidades) 140 180 180 200 120 180 100 100 120 100Costo de producción ($ / unidad) 5.2 5 5.7 5.9 5.1 5.6 5.8 5.8 5.4 6

La capacidad mensual de producción es de 300 unidades. La producción mensual se efectúa en múltiplos de 60 unidades (no se puede producirfracciones de lote), siendo posible también no producir en algún mes. Asimismo, la empresa puede tener inventarios o stock mensuales deproductos, luego de cumplir con la cantidad a entregar. El inventario al inicio del mes 1 es de 50 unidades. Lo máximo que se puede tener enstock mensualmente es 150 unidades y el costo mensual de almacenamiento es de 0.5 $/unidad. Finalmente, la jefatura de mantenimiento hasolicitado que en 3 de los 10 meses la empresa no debe producir .

El jefe de producción desea saber cuánto debe producir en cada mes, con el objetivo de minimizar el costo total de producción e inventario;mediante un modelo estructurado de programación dinámica y su solución empleando el software P4.


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Agente Viajero (Empleo de variable de estado expresada como conjunto):

Ejercicio 3.16: Un vendedor se encuentra actualmente en Lima y debe recorrer tres ciudades: Arequipa, Trujillo y Cuzco; después del cual debevolver a Lima. El vendedor desea minimizar la distancia total recorrida. Las distancias entre las 4 ciudades se dan en la siguiente tabla. Se deseadeterminar la secuencia óptima de visita de las ciudades.

De A Lima Arequipa Cuzco Trujillo

Lima --- 1030 1250 570

Arequipa 1030 --- 530 1520Cuzco 1250 530 --- 1440Trujillo 570 1520 1440 ---

Ejercicio 3.17: El departamento de mantenimiento de una empresa desea programar el mantenimiento de 4 máquinas durante los meses deAbril a Julio, de tal modo que solo se dará mantenimiento a una máquina en cada mes y que se minimice el costo total de mantenimiento. Loscostos de mantenimiento (en $) varían por máquina y por mes:

Máquina Abril Mayo Junio JulioA 120 110 105 115B 90 95 90 85C 150 140 130 120D 95 110 130 105

Ejercicio 3.18: Un taller tiene 4 trabajos que debe efectuar en una sola máquina. El plazo y el tiempo de proceso para cada trabajo se dan en lasiguiente tabla. Determine el orden en que deben ejecutarse los 4 trabajos de modo que se minimice la demora total de éstos.

Trabajo 1 2 3 4Tiempo de proceso (días) 2 4 6 8Plazo (días a partir de ahora) 14 14 10 16

La demora de un trabajo es simplemente cuánto tiempo después del plazo de entrega se finaliza el trabajo. Por ejemplo, si se ejecutan lostrabajos en el orden dado, entonces el trabajo 1 y 2 no se atrasarán, el trabajo 3 estará con 2 días de demora y el trabajo 4 estará con 4 días dedemora.

Gestión de RéditoEjercicio 3.19: Una cierta empresa de transporte turístico posee un bus de 10 pasajeros mediante el cual ofrece servicios diarios a distintossegmentos de mercado. Para cierto día dentro de dos semanas, todavía no se tiene reservado ningún asiento. Se espera demandas de tressegmentos del mercado de los cuales se tiene ya historial de ventas. Ellos son:

1. Agencias turísticas2. Convenios empresariales3. Clientes directos

Los precios que se cobran por asiento varían entre los tres segmentos y son $15, $10 y $20 respectivamente. La demanda de cada segmentoes incierta y solo se pueden estimar probabilísticamente. Sobre la base de la historia registrada, se estiman las siguientes probabilidades deocurrencia para las cantidades de demanda en los tres segmentos.

Demanda (asientos) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Segmento 1 0 0 0.2 0.2 0.15 0.15 0.1 0.1 0.1 0 0Segmento 2 0.1 0.15 0.15 0.2 0.2 0.2 0 0 0 0 0Segmento 3 0.1 0.3 0.3 0.2 0.1 0 0 0 0 0 0

Se requiere determinar cuántos asientos disponer para la venta a cada uno de los tres segmentos de manera de maximizar el ingreso totalesperado a lograr con el bus de 10 de asientos en el día analizado.


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Ejercicio 3.20: La cadena de supermercados SAFECO ha comprado 6 galones de leche de un establo local al precio de $1 por galón. Cadagalón es vendido en las 3 tiendas de la cadena a $2. Todo sobrante es devuelto al establo al final del día; el cual le paga a SAFECO $0.50 porgalón. La demanda en cada tienda es incierta. SAFECO quiere distribuir los 6 galones entre las 3 tiendas de tal modo de maximizar la gananciadiaria neta total esperada.

Demanda diaria (Galones)Tienda 1 2 3

Tienda 1 0.6 0 0.4Tienda 2 0.5 0.1 0.4

Tienda 3 0.4 0.3 0.3

Ejercicio 3.21: Un peregrino debe ir de la ciudad 1 a la ciudad 5 pasando por las ciudades 2, 3 y 4 en ese orden. Debe realizar su viaje completode forma que se canse lo menos posible teniendo en cuenta que debe completar su trayecto sujetándose a un presupuesto de 120 soles ycumpliendo con llegar hasta la ciudad 5 en no más de 20 horas. Determine la mejor combinación de caminata y empleo de otro medio detransporte que debe elegir el peregrino considerando que en cada tramo de su viaje debe elegir una de las dos modalidades de transporte. En latabla siguiente se muestran los datos de costo y tiempo de viaje partiendo de cada ciudad hacia la siguiente, así como el indicador de cansancioque experimentará el viajero.

Costo (S/.) Tiempo (horas) Cansancio (valor)De ciudad Caminar Otro medio Caminar Otro medio Caminar Otro medio

1 20 40 6 3 100 60

2 15 30 8 5 80 703 25 60 4 3 50 504 30 25 5 4 70 40

Sin embargo, las condiciones climáticas afectarán el nivel de cansancio solamente en el caso en que se elija caminar. Las condiciones climáticaspueden mejorar, permanecer igual o empeorar. El nivel de cansancio será incrementado 5 puntos si las condiciones climáticas empeoran, o serádisminuido en 6 puntos si las condiciones climáticas mejoran; y si las condiciones climáticas permanecen igual el nivel de cansancio no cambiará.La siguiente tabla muestra las probabilidades de que las condiciones climáticas mejoren, permanezcan igual o empeoren en los distintos tramosdel viaje.

De ciudad Clima mejora Clima permanece igual Clima empeora1 0.1 0.6 0.32 0.3 0.6 0.1

3 0.2 0.7 0.14 0.1 0.7 0.2

Formule el modelo de programación dinámica que le permita al peregrino minimizar el valor espera del cansancio total. Resuelva empleando P4y presente un informe administrativo de la solución óptima.

Unidad 4: Análisis de decisiones

Criterios de decisión bajo incertidumbre y bajo riesgo

Ejercicio 4.1: Un inversionista tiene el objetivo de lograr la tasa máxima de retorno. Suponiendo que solo tiene tres inversiones posible: valores

especulativos, acciones de alto grado, o bonos. Suponga también que solo pueden ocurrir tres estados posibles de la naturaleza: guerra, paz ydepresión. Suponga finalmente que el inversionista ha calculado sus tasas de retorno (%) que se muestran en la siguiente tabla. ¿Cuál es laacción óptima utilizando los diversos criterios de elección no probabilísticos estudiados en clase?

EventoAcción Guerra Paz DepresiónValores especulativos 20 1 -6Acciones de alto grado 9 8 0Bonos 4 5 3

Ejercicio 4.2: El dueño de un almacén de ropa debe decidir la cantidad de polos a pedir para la próxima temporada. Los polos se adquieren enlotes de 100 unidades. Si se pide un lote, el costo unitario es de $ 10; si se piden dos, $ 9 y si se piden tres o más lotes, $ 8.5. El precio de ventade cada polo es de $ 12, pero si quedan algunas prendas sin vender al final de la temporada, éstas se rematan después a mitad de precio. En

caso de desabastecimiento (cuando la demanda es mayor que la oferta) hay un costo de $ 0.50 por prenda que se deja de vender. Suponiendoque la demanda puede ser de 100, 150 ó 200 polos con probabilidades 0.5, 0.3 y 0.2 respectivamente. Se pide:

Los estados de la naturaleza y las alternativas de decisión. La matriz de recompensas.


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Determinar la mejor decisión según los criterios MAXIMIN, MAXIMAX, Pesadumbre MINIMAX, Valor esperado.

Ejercicio 4.3: B&J es la empresa cervecera líder en el país. El comité de gerencia de B&J ha observado capacidad ociosa en la línea 4 (envasadode cerveza en latas). En consecuencia ha decidido lanzar un nuevo producto enlatado para los sectores populares, con un precio bastanteaceptable, para el siguiente año.

Algunos gerentes proponen una producción de gran volumen y otros más conservadores proponen una producción moderada. La ganancia quese obtenga dependerá del estado de la economía el próximo año. De acuerdo a las medidas gubernamentales dadas, se estima que laprobabilidad de que la economía mejore será 0.2. De acuerdo al estado de la economía se ha proyectado una ganancia según el volumen de

producción. Si se produce un gran volumen y la economía mejora se estima que se ganará $ 2 millones y si no mejora se perderá medio millón.Si la economía mejora y se produce un volumen moderado se estima una ganancia de medio millón y si la economía no mejora se estima quese perderá $ 0.3 millones.

Se pide:

Los estados de la naturaleza, las alternativas de decisión y la matriz de recompensas. Determinar la mejor decisión de acuerdo a los siguientes criterios: MAXIMIN, MAXIMAX, MINIMAX (pesadumbre, arrepentimiento o costo

de oportunidad) y valor esperado.

Ejercicio 4.4: En un proceso de manufactura los lotes con 8%, 10% y 12% de artículos defectuosos se producen con probabilidades 0.4, 0.3 y0.3 respectivamente. Los clientes A y B de la empresa han formulado el pedido de un lote del producto. Los clientes especifican que el porcentajede artículos defectuosos en el lote fabricado no debe exceder de 8% y 12% para el cliente A y B respectivamente. Si el lote fabricado tiene un

porcentaje más alto de defectuosos que lo especificado, se incurre en una penalización de $50 por punto de porcentaje. Por otro lado, si el loteresultara de una calidad superior a la especificada por el cliente entonces a la empresa le cuesta $25 por punto porcentual. Suponga queactualmente hay capacidad para fabricar un solo lote y que el lote no será inspeccionado antes de ser enviado. ¿Cuál es la decisión óptima segúnel criterio de pesar MINIMAX y el criterio del Valor Esperado? Indique el conjunto de acciones, el conjunto de estados yla matriz de pagos o beneficios.

Árbol de decisiones y aplicación de la Teoría de Utilidad

Ejercicio 4.5: (Winston, sec.13.3) Colaco es una empresa que actualmente posee un patrimonio de $150,000 y debe decidir si comercializar óno un nuevo producto “Chocola” . Hay 3 alternativas: Hacer un estudio de mercado de Chocola y utilizar los resultados de este estudio para decidir su comercialización a nivel nacional. Comercializar Chocola a nivel nacional sin estudiar el mercado. No comercializar Chocola a nivel nacional sin estudiar el mercado.

Sin hacer estudio de mercado, Colaco cree que la probabilidad de que Chocola sea un éxito es de 0.55 y que sea un fracaso es de 0.45. SiChocola es un éxito nacional el patrimonio de la empresa aumentará en $300,000, en caso contrario disminuirá en $100,000.

Si Colaco realiza un estudio de mercado local (a un costo de $30,000) la probabilidad de un resultado favorable es de 0.60. Si se observa unéxito local, existe una probabilidad de 0.85 de que Chocola sea un éxito nacional. Si se observa un fracaso local la probabilidad de que Chocola sea un éxito nacional es solo de 10%.

Sabiendo que Colaco es neutral respecto al riesgo, se pide:

a)

Determinar la estrategia óptima para maximizar el valor esperado final del patrimonio de la empresa.b)

El monto máximo que estaría dispuesto a pagar por hacer un estudio de mercado.

Ejercicio 4.6: La compañía Fertilizantes Nitro crea un nuevo fertilizante. Si vende el producto y tiene éxito, sus utilidades serán $50 000; sifracasa perderá $35 000. En el pasado, productos similares han tenido éxito en el 60% de los casos. Se puede probar la eficacia del fertilizantea un costo de $5 000. Si el resultado de la prueba es favorable, hay 80% de posibilidades que el producto tenga éxito. Si el resultado de la pruebaes desfavorable, sólo habrá 30% de probabilidad de éxito. Además hay 60% de probabilidad que el resultado sea favorable. Se pide lo siguiente:

a) Los estados de la naturaleza y las alternativas de decisión.b) Construir el árbol de decisiones y determinar la decisión óptima que debería tomar, si es neutral con respecto al riesgo (es decir, si desea

maximizar su utilidad). ¿A cuánto asciende el valor esperado de la información muestral?c)

Escenario: El tomador de decisiones de Fertilizantes Nitro es adverso al riesgo y su función de utilidad es: U(x) = ln(x+50). Determine ladecisión óptima. ¿La decisión óptima cambia respecto a la anterior?

Ejercicio 4.7: La red televisiva NBS gana en promedio $ 400 mil cuando un espectáculo tiene éxito y pierde un promedio de $ 100 mil cuandono lo tiene. De todos los espectáculos que ha revisado esa red, sucede que el 25% fueron éxitos y el 75% fracasos. Una empresa de investigaciónde mercado puede, a un costo de $ 40 mil, hacer que una concurrencia presencie una muestra del espectáculo propuesto y dé su opinión acercade si será éxito o fracaso. Si en realidad va a ser un éxito, hay 90% de probabilidades que la empresa de investigación de mercado prediga queserá un éxito. Si en realidad va a ser fracaso, hay 80% de probabilidades que la predicción sea fracaso. Se pide:


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a)

El árbol de decisiones respectivo.b) Determinar la estrategia que debe tomar el canal, si el tomador de decisiones es neutral al riesgo.c) Hallar el valor esperado de la información muestral (el precio máximo que se puede pagar por un estudio de mercado).d)

Escenario: Suponga que ahora el tomador de decisiones adopta una actitud buscadora de riesgo, la cual se expresa mediante la funciónde utilidad u(x)=(x+140)2; donde x = ganancia en miles de dólares. ¿Qué estrategia debería tomar el canal?

Ejercicio 4.8: Jones, que es campesino, debe determinar si siembra maíz o trigo. Si siembra maíz y el clima es caluroso, gana $ 8000, o si elclima es frío, gana $ 5000. Si siembra trigo y el tiempo es caluroso gana $ 7000 y si el tiempo es frío gana $6500. En el pasado, el 40% de losaños han sido fríos y el 60% calientes. Antes de sembrar, Jones puede pagar $ 600 por un pronóstico del tiempo. Si el año en realidad es frío,

hay 90% de probabilidad que el meteorólogo prediga un año frío. Si el año en realidad es caliente, hay 80% de probabilidad que el meteorólogoprediga un año caluroso. ¿Cómo puede Jones maximizar sus ganancias esperadas?

Ejercicio 4.9: Una empresa dedicada a la explotación minera debe decidir perforar ó no en cierto lote. La gerencia desconoce si el lugar es unlote de clase A, B o C. Las posibles ganancias netas se dan en la siguiente tabla:

AcciónEstado Perforar No perforarClase A $-100000 $0Clase B $30000 $0Clase C $200000 $0

A un costo de $15000, la empresa puede efectuar sondeos sísmicos que ayudarán a determinar la estructura geológica del terreno. Los sondeos

determinarán si el terreno debajo no tiene estructura, lo cual es desfavorable, o tiene estructura media, lo cual es medianamente conveniente otiene estructura total, lo cual es conveniente.

Los expertos han proporcionado la siguiente tabla que muestra parcialmente las probabilidades de cualquier clase A, B ó C dado el resultadosísmico.

EstadoResultado sísmico

Probabilidad deestadoSin

estructuraEstructura media

Estructuratotal

Clase A 0.73 0.43 0.50Clase B 0.22 0.34 0.30Clase C 0.05 0.23 0.20Probabilidad de

resultado sísmico 0.41 0.35 0.24

Para completar la tabla anterior, los expertos afirman que la probabilidad de que el resultado de la prueba sísmica sea estructura total es de 0.1si el lote es de clase A, 0.3 si el lote es de clase B y 0.5 si el lote es de clase C.

a) Dibuje el árbol de decisión.b)

¿Cuál es la acción óptima sin experimentación?c)

¿Cuál es la estrategia óptima de decisión?d) ¿Cuál es la máxima cantidad de dinero que se puede pagar por los sondeos sísmicos?

Ejercicio 4.10: La empresa Clean&Neat está considerando la introducción de un nuevo producto de limpieza en el mercado nacional. La gerenciaestima que la probabilidad de éxito rotundo es de 0.5 y las probabilidades de éxito moderado y fracaso total son de 0.25 y 0.25 respectivamente.Una opción que están considerando es la prueba del producto en la ciudad de Chimbote a un costo de $4 millones antes de tomar la decisión de

introducirlo en el mercado nacional. La experiencia ha demostrado que los productos de limpieza que han tenido éxito total han sido aprobadosen la ciudad de Chimbote el 90% de las veces, mientras que los productos que obtienen un éxito moderado son aprobados en la ciudad deChimbote solo el 60% de las veces. Finalmente, en Chimbote solo el 30% de los productos que fracasan son aprobados. Si el producto obtieneéxito total la ganancia para la empresa será de $30 millones, si obtiene éxito moderado solo ganará $5 millones y si fracasa perderá 10 millones.

Descarte la opción de la prueba del producto en la ciudad de Chimbote y desarrolle una formulación de análisis de decisiones para el problemaidentificando las acciones, los estados de la naturaleza y la matriz de pagos ó beneficios. Aplique los criterios MAXIMIN y de pesar MINIMAXpara determinar las alternativas óptimas.

Escenario: Ahora incluya la opción de prueba en el mercado de Chimbote.

a) Dibuje el árbol de decisión.b)

¿Cuál es la ganancia máxima esperada? ¿Cuál es la estrategia óptima de la empresa?

c)

¿Cuánto es lo máximo que debería costar la prueba del producto?d) Si se prueba en Chimbote, diga si se debe comercializar el producto a nivel nacional.


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Si inicia la cosecha dentro de 10 días conseguirá todos los trabajadores experimentados que necesita pero existe un 40% de probabilidad deque la cosecha no se termine dentro del plazo previsto. En caso la cosecha no se termine a tiempo la ganancia será de $16000 y en casocontrario será $25000.a)

Elabore el árbol de decisión mostrando todas las probabilidades y valores asociados.b) Determine la estrategia óptima del agricultor y el valor óptimo de la función objetivo.

Ejercicio 4.13: La empresa PERFUMS S.A. desea firmar un contrato anual de abastecimiento de frascos de vidrio para los perfumes que fabrica.La empresa tiene dos alternativas: importarlos desde Francia ó comprarlos localmente.

Existe una probabilidad del 40% de que el gobierno determine un incremento de aranceles para la importación. En caso de que se incrementenlos aranceles el costo anual de importación sería de $150000 y los costos de compra local serían de $130000. En caso de que no seincrementaran los aranceles, los costos de importación serían de $100000 y los costos de compra local serían de $120000.

a)

Determine la decisión óptima según el criterio de Pesar Minimax (costo de oportunidad, Savage, pesadumbre o arrepentimiento) y el deValor Esperado.

Escenario A: Suponga ahora que la empresa ha considerado la posibilidad de obtener información más precisa sobre los aranceles, para lo cualpuede encargar el estudio a una consultora a un costo de $3000. El prestigio de la consultora asegura de que si en realidad habrá un incrementoarancelario entonces la probabilidad de que la consultora lo pronostique así es de 80%; si no habrá un incremento arancelario entonces laprobabilidad de que la consultora lo pronostique así es de 90%.

b)

Dibuje el árbol de decisión. Muestre todas las probabilidades y valores asociados.

c)

Determine la estrategia que la empresa debe seguir para obtener el mayor beneficio esperado posible así como también ese valor.

IN173-Separata Comun de Ejercicios 2016-00

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