Incertezas en la Evaluacion del Decaimiento Semihadronico del … · 2018. 4. 27. · distintos...
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Pontificia Universidad Cat´ olica de Chile Facultad de F´ ısica Incertezas en la Evaluaci´ on del Decaimiento Semihadr´ onico del Lept´ on Tau y una Nueva Expansi´ on Perturbativa por Cristian Alexis Mart´ ınez Villalobos. Tesis presentada a la Facultad de F´ ısica de la Pontificia Universidad Cat´olica de Chile, como uno de los requisitos para optar al grado acad´ emico de Mag´ ıster en F´ ısica. Profesor Gu´ ıa : Dr. Marcelo Loewe. Profesor Co-Gu´ ıa : Dr. Cristi´ an Valenzuela. Comisi´ on Informante : Dr. Marco Aurelio D´ ıaz. Dr. Andr´ es Gomberoff Junio, 2010 Santiago – Chile
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Pontificia Universidad Católica de Chile
Facultad de F́ısica
Incertezas en la Evaluación del
Decaimiento Semihadrónico del
Leptón Tau y una Nueva
Expansión Perturbativa
por
Cristian Alexis Mart́ınez Villalobos.
Tesis presentada a la Facultad de F́ısica de la
Pontificia Universidad Católica de Chile, como uno de
los requisitos para optar al grado académico de
Maǵıster en F́ısica.
Profesor Gúıa : Dr. Marcelo Loewe.
Profesor Co-Gúıa : Dr. Cristián Valenzuela.
Comisión Informante : Dr. Marco Aurelio Dı́az.
Dr. Andrés Gomberoff
Junio, 2010
Santiago – Chile
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Dedicada a mi abuelo Carlos Villalobos.
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Agradecimientos
Agradezco a mis padres y hermanos por todo el apoyo a lo largo de mi vida.
A Paula Salinas por su amor, apoyo y comprensión.
A mis amigos de la oficina (Miguel, Timi y Chilombian) por el buen ambiente y la
ayuda.
A Chancho Coquero F.C. en pleno (Boris, Maxito, Bastián, Nicolás, Simón, Pedro,
Ipinza, Qúımico, Mat́ıas, Bicho), por los momentos de relajo junto al balón. Ya saldremos
campeones... algún d́ıa
Se agradece el apoyo financiero del proyecto FONDECYT 1095217 y al Centro de
Estudios Subatómicos.
Por supuesto agradezco a mis profesores gúıas, Marcelo Loewe y Cristian Valenzuela,
por la paciencia, disposición y compromiso con el desarrollo de esta tesis.
1
-
AGRADECIMIENTOS
2
-
Índice general
1. Introducción 1
2. Marco teórico 3
2.1. Teoŕıa de perturbaciones fija y mejorada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3. Extracción de αs 13
3.1. Error debido a truncación de las series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2. Error debido a cambio de esquema de renormalización . . . . . . . . . . . 19
3.2.1. Esquemas de renormalización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.3. Error debido a la elección del punto de sustracción . . . . . . . . . . . . . 29
4. Teoŕıa de Perturbaciones Mejorada en el Contorno Modificada (MCI) 37
4.1. Error MCI debido a truncación de la serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.2. Error MCI debido a la elección de esquema y escala de renormalización . 51
5. Conclusión 59
i
-
INTRODUCCIÓN
ii
-
Caṕıtulo 1
Introducción
La Cromodinámica Cuántica (QCD) es la teoŕıa de gauge de las interacciones
fuertes. QCD describe la interacción entre quarks a través del intercambio de bosones
de gauge vectoriales sin masa llamados gluones. Debido a la naturaleza no abeliana de
la teoŕıa, ésta también permite la interacción entre gluones, lo que la hace bastante
más complicada que la Electrodinámica Cuántica (QED), su par abeliana, la cual es
responsable de la descripción de la familiar interacción electromagnética.
La constante de acoplamiento fuerte αs(µ) =g2s4π , donde gs es el acoplamiento de
gauge de QCD (análogo a la carga eléctrica de QED), es un parámetro fundamental
del modelo estándar de part́ıculas elementales; su valor αs(mZ) está listado entre las
constantes de la naturaleza en el ’Review of particle physics’ [1].
Determinaciones precisas de los parámetros fundamentales dentro del modelo están-
dar son de mucha importancia para testear la consistencia interna de la teoŕıa. En el caso
de αs, éste es el parámetro fundamental con el cual describimos nuestros observables en
QCD. El valor de αs no es predicho por QCD, sin embargo śı predice la forma funcional
de su dependencia con la enerǵıa. Es necesaria de esta forma la extracción experimental
de αs a una enerǵıa dada. Determinar αs a una enerǵıa espećıfica es entonces una
medición fundamental. Testear QCD, no obstante, requiere mediciones de αs sobre
distintos rangos de enerǵıa. Esto se ha hecho de forma exitosa. Extracciones de αs a
partir de experimentos a escalas tan diśımiles, que van desde mτ ∼ 1,8 GeV a ∼ 200
GeV son consistentes a un nivel cercano a 1% después de evolución a mZ ∼ 90 GeV [2]
(el cual es por convención el valor de referencia), testeando de forma exitosa libertad
asintótica.
1
-
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
Una de las determinaciones más precisas de αs, competitiva con el promedio mundial,
es la que provee la investigación de la tasa de decaimiento del leptón τ en hadrones. El
τ (mτ = 1,777 GeV) es especial en el sentido en que es el único leptón que puede decaer
semihadrónicamente, en un neutrino + hadrones. El electrón es estable, mientras que el
muon es muy liviano para poder hacerlo. Estos decaimientos son una herramienta ideal
para estudiar corrientes hadrónicas débiles. Otra ventaja es que al ser el tau un leptón
lo suficientemente masivo como para decaer en hadrones, este decaimiento no tiene las
complicaciones adicionales (al calcular y extraer) que traeŕıa el tener otro hadrón en el
estado inicial.
Nuestro objeto de estudio será la razón Rτ ≡Γ[τ−→hadrons ντ (γ)]
Γ[τ−→e−ν̄eντ (γ)]. Éste, al ser un
observable, lo podemos describir perturbativamente en términos de potencias de αs.
Experimentalmente disponemos de datos muy precisos al respecto [3].
Las complicaciones provienen del lado teórico. Por un lado tenemos que la masa del
tau es muy cercana a la escala de QCD, EQCD ∼ 1GeV, lo que significa que estamos cerca
del régimen no perturbativo. Felizmente en este caso, estos efectos están teóricamente
bajo control. Sin embargo, el valor de αs a la escala mτ es lo suficientemente grande
como para no esperar una pronta convergencia de la serie. Es aśı que las mayores
incertezas teóricas provienen de las correcciones perturbativas no calculadas aún (α5s).
Otro problema emerge al querer mejorar la serie con la ayuda del grupo de renormal-
ización (RGE). Aśı tenemos dos enfoques llamados Teoŕıa de perturbaciones a orden fijo
(FO) o mejorada en el contorno (CI) [4][5], que, debido al valor relativamente grande de
α(m2τ ), llegan a resultados distintos.
En esta tesis nos enfocaremos en el tratamiento de las correcciones perturbativas de
QCD a Rτ . En el próximo caṕıtulo presentaremos el formalismo que nos lleva a obtener
la expresión perturbativa de Rτ . También se presentan los dos enfoques más utilizados
para evaluar estas series, FO y CI. En el caṕıtulo 3 se discuten las diferencias numéricas
entre estos dos enfoques, y cómo reaccionan ante la inclusión de un hipotético nuevo
término en la serie, variación de esquema y escala de renormalización. En el caṕıtulo 4 se
propone una modificación a CI, la cual llamaremos Teoŕıa de Perturbaciones Mejorada
en el Contorno Modificada (MCI) [6]. Esta modificación resuelve ciertas ambiguedades
en CI que presentaremos posteriormente. Además prueba ser un enfoque más estable
que los anteriores ante la inclusión de un nuevo término en la serie y variación de escala.
2
-
Caṕıtulo 2
Marco teórico
En la introducción enfatizamos la importancia de la determinación de la constante de
acoplamiento fuerte (αs). Una de las extracciones de αs más precisas es provista por la
investigación de la tasa de decaimiento semihadrónica del τ . Para eso definimos la razón:
Rτ ≡Γ[τ− → hadrons ντ (γ)]
Γ[τ− → e−ν̄eντ (γ)], (2.1)
donde (γ) representa posibles fotones adicionales o pares de leptones. Nos fijamos en
las figuras 2.1 y 2.2. Si las correcciones fuertes no son tomadas en cuenta y si además
ignoramos las masas de los estados finales, la universalidad del acoplamiento del W a las
corrientes cargadas fermiónicas, -en el caso de quarks ponderadas por los ángulos de de
mezcla entre u y d, y u y s (|Vud|2 y |Vus|2 respectivamente, con Vud y Vus elementos de
la matriz de Cabibbo-Kobayashi-Maskawa)- implica que la razón debiera ser
Rnaiveτ = Nc(|V2ud|+ |V
2us|) ≃ 3, (2.2)
lo cual se compara relativamente bien con el valor experimental Rτ = 3,640 ± 0,010
[7][8][9][10]. Esto provee una fuerte evidencia del grado de libertad de color Nc = 3. La
diferencia con el valor experimental está cuantitativamente bien descrita por correcciones
electrodébiles y fuertes, siendo estas últimas el tema central de esta tesis.
El decaimiento semihadrónico del τ es probablemente el proceso a más baja
enerǵıa en el cuál el acoplamiento fuerte (que corre como función de la enerǵıa, en
adelante running coupling) puede ser extráıdo limpiamente sin complicaciones debido
3
-
CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO
τ−
ντ
W−
u
d
Figura 2.1: Decáımiento Hadrónico del τ a nivel árbol.
a efectos no perturbativos [3][11]. La masa del tau está justo en una región en la cual
el acoplamiento α(m2τ ) es lo bastante grande tal que Rτ es sensible a su valor, y es
lo bastante chico como para que la expansión perturbativa converja razonablemente bien.
Experimentalmente, la tasa de decaimiento hadrónica del τ puede ser separada en las
contribuciones provenientes de las corrientes con extrañeza neta S = 1 us (Rτ,S) y sin
extrañeza ud. Dentro de estas últimas es posible separarlas en contribuciones vectoriales
(Rτ,V ) y axiales (Rτ,A). De esta forma separamos Rτ en tres categoŕıas
Rτ = Rτ,V +Rτ,A +Rτ,S . (2.3)
Decaimientos semihadrónicos no extraños del τ son resueltos experimentalmente en
contribuciones vectoriales Rτ,V y contribuciones axiales Rτ,A de acuerdo a si el estado
hadrónico final incluye un número par (Rτ,V ) o impar (Rτ,A) de piones.
El análisis teórico de la tasa de decaimiento semihadrónica del τ empieza con la función
de correlación de dos puntos de las corrientes singletes de color de quarks vectoriales
(V µij = ψ̄jγµψi) y axiales (A
µij = ψ̄jγ
µγ5ψi):
Πµνij,V/A(q) ≡ ı
∫d4xeıqx < 0|T ((V/A)µij(x)(V/A)
νij(0)
†)|0 >, (2.4)
acá los sub́ındices i, j = u, d, s denotan sabores de quarks livianos. Los correladores
anteriores tienen la siguiente descomposición de Lorentz:
Πµνij,V/A(q) = (−gµνq2 + qµqν)Π(1)ij,V/A(q
2) + qµqνΠ(0)ij,V/A(q2) (2.5)
4
-
τ−
ντ
W−
e−
ν̄e
Figura 2.2: Decáımiento Leptónico del τ a nivel árbol.
donde el supeŕındice (J) denota el canal de momento angular J = 1 o J = 0.
En el lado teórico, Rτ puede ser expresado como una integral de las funciones es-
pectrales ImΠ(1)(s) e ImΠ(0)(s) sobre la masa invariante s = q2 de los estados finales
hadrónicos [12]:
Rτ = 12πSEW
∫ m2τ
0
ds
m2τ
(1−
s
m2τ
)2 [(1 + 2
s
m2τ
)ImΠ1(s) + ImΠ0(s)
], (2.6)
el factor SEW contiene correcciones electrodébiles las cuales omitiremos en lo siguiente,
pero se tomarán en cuenta al hacer el análisis numérico. El ĺımite inferior del espacio
de fase resultante es igual a cero ya que la masa del pion en el ĺımite quiral es cero. Lo
anterior es porque nuestro estudio se concentra en las correcciones perturbativas fuertes
a la razón Rτ sin considerar la masa de los quarks livianos. Las correcciones de masa
son pequeñas y han sido ampliamente discutidas en la literatura [3][13]. En este ĺımite
también podemos ver que Π(0)(s) = 0 ya que las identidades de Ward implican que Πµν
es transversal.
Las combinaciones apropiadas de las funciones de correlación de dos puntos resultantes
del decaimiento débil del τ a través del bosón W están dadas por
ΠJ(s) ≡ |Vud|2[ΠV,(J)ud (s) +Π
A,(J)ud (s)
]+ |Vus|
2[ΠV,(J)us (s) +Π
A,(J)us (s)
], (2.7)
5
-
CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO
Las funciones de correlación exactas son anaĺıticas en el plano complejo s, salvo el corte
a lo largo del eje positivo (desde el umbral de producción de part́ıculas). De esta forma
podemos invocar el Principio de Reflexión de Schwarz el cual nos dice que Π(z) = Π∗(z∗).
De esta forma podemos escribir la integral de interés
Rτ = 12π
∫ m2τ
0
ds
m2τ
(1−
s
m2τ
)2(1 + 2
s
m2τ
)ImΠ(1)(s), (2.8)
de la forma siguiente. Vı́a uso del Teorema de Cauchy, ver figura 2.3, se tiene
Figura 2.3: Contorno de integración en el plano complejo s
∫m2τ0
dsm2τ
(1− sm2τ
)2 (1 + 2 sm2τ
)Π(1)(s+ iϵ) +
∫ 0m2τ
dsm2τ
(1− sm2τ
)2 (1 + 2 sm2τ
)Π(1)(s− iϵ)
+∮|s|=m2τ
dsm2τ
(1− sm2τ
)2 (1 + 2 sm2τ
)Π(1)(s) = 0, (2.9)
en las primeras dos integrales claramente estamos tomando ĺımϵ→0+ . Seguimos desarrol-
lando
∫m2τ0
dsm2τ
(1− sm2τ
)2 (1 + 2 sm2τ
)[Π(1)(s+ iϵ)−Π(1)(s− iϵ)]
= −∮|s|=m2τ
dsm2τ
(1− sm2τ
)2 (1 + 2 sm2τ
)Π(1)(s). (2.10)
La primera integral la podemos escribir en términos de la parte imaginaria de Π(1),
ImΠ(1)(s+ iϵ) = 12ı (Π(1)(s+ iϵ)−Π(1)∗(s+ iϵ)). El principio de reflexión de Schwarz nos
6
-
dice que Π(1)(s−iϵ) = Π(1)∗(s+iϵ), de lo que obtenemos ImΠ(1)(s) = ĺımϵ→0+ [12ı (Π
(1)(s+
iϵ)−Π(1)(s− iϵ))]. De esta forma reescribimos Rτ (ecn. 2.8) como [11][14]
Rτ = 6πı
∮
|s|=m2τ
ds
m2τ
(1−
s
m2τ
)2(1 + 2
s
m2τ
)Π(1)(s). (2.11)
La última expresión es preferida a ecn. 2.8 ya que requiere el correlador sólo para
s complejo de módulo m2τ , es decir, para una enerǵıa en que es posible ocupar QCD
perturbativa.
El correlador Π(1)(s) no es una cantidad f́ısica ya que contiene términos constantes
(los cn,0 en ecn. 2.17) los cuales no aparecen en cantidades medibles [15]. Sin embargo,
podemos obtener un observable considerando la derivada logaŕıtmica de Π(1)(s), de esta
forma se eliminan estos términos. Esta derivada de Π(1)(s) es la bien conocida función
de Adler [16]:
D(1)(s) ≡ −sd
ds
[Π(1)(s)
]. (2.12)
Trataremos de reescribir Rτ en términos de la función de Adler. Para eso primero
reescribimos la expresión (número) en términos de la variable adimensional x = sm2τ(por
simplicidad)
Rτ = 6πı
∮
|x|=1dx(1− x)2(1 + 2x)Π(1)(m2τx). (2.13)
Un importante comentario sobre lo anterior. Para s lo suficientemente negativo,
las contribuciones a Π(1)(s) pueden ser organizadas en el marco de una expansión
de producto de operadores (OPE) [14][17][18]. Afortunadamente, para Rτ el factor
cinemático (1−x)2 suprime la contribución de la región cercana al eje real donde Π(1)(s)
tiene un corte y la validez del OPE es dudosa debido a que ese formalismo funciona en
el eje euclideano, donde estamos lejos de las resonancias [19].
Volvamos a la ecuación 2.13. Esta integral corre desde 1+ ıϵ a 1− ıϵ (con ϵ→ 0). Por
lo que al integrar por partes obtenemos un término de borde.
∮dx
df(x)
dxg(x) = −
∮dxf(x)
dg(x)
dx+ terminos de borde, (2.14)
con g(x) = Π(1)(m2τx) ydf(x)dx = (1−x)
2(1+2x), lo que implica que f(x) = x−x3+ x4
2 +cte.
Fijamos la constante igual a −12 de tal forma de eliminar el término de borde. De esa
forma obtenemos f(x) = (1 − x)3(1 + x), lo cual nos garantiza la supresión en el corte
f́ısico y mejor aún ésta es de orden 3. De esta forma, recordando la definición de la función
de Adler, obtenemos
7
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CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO
Rτ = −3πı
∮
|x|=1
dx
x(1− x)3(1 + x)D(1)(m2τx). (2.15)
D(1)(s) (en el marco del OPE) contiene correcciones electrodébiles, correcciones
fuertes -considerando quarks sin masa, con masa y efectos no perturbativos-. Separamos
todas esas contribuciones. Aśı resolviendo la integral anterior y extrayendo los términos
proporcionales a |Vud|2 obtenemos [11][17][18][20]
Rτ,V+A = NcSEW |Vud|2[1 + δ(0) + δEW + δ2 + δNP
], (2.16)
aqúı, SEW = 1,0198 ± 0,0006 [21] y δEW = 0,0010 ± 0,0010 [22] son correcciones
electrodébiles, δ(0) comprende las correcciones perturbativas de QCD en el ĺımite quiral
(el cuál constituye el objeto de interés central de éste trabajo), δ2 denota efectos de
masa de quarks livianos y δNP efectos no perturbativos, los cuales se sabe son pequeños
[3][13].
La corrección puramente perturbativa δ(0) sólo recibe contribuciones de la función de
correlación en el ĺımite quiral. Como en este ĺımite contribuciones axiales y vectoriales
coinciden [15][3], podemos restringirnos al estudio de la expansión perturbativa del cor-
relador vectorial Π(0)V (s) en el caso de quarks sin masa. Éste exhibe la estructura general
[15] (recordar factor global |Vud|2 en ecn. 2.7)
Π(1)V (s) = −Nc12π2
∞∑
n=0
a(µ2)nn+1∑
k=0
cn,kLk, (2.17)
con a(µ2) ≡ αs(µ2)
π , L ≡ ln−sµ2 y µ la escala de renormalización. Recordando la definición
de la función de Adler tenemos que
D(1)V (s) =Nc12π2
∞∑
n=0
a(µ2)nn+1∑
k=1
kcn,kLk−1 (2.18)
en esta expresión sólo los coeficientes cn,1 son independientes. Los coeficientes cn,k con
k = 2, ..., n+1 pueden ser relacionados con los cn,1 y coeficientes de la función beta (pro-
cedimiento que realizaremos posteriormente) v́ıa ecuación del grupo de renormalización.
Además cn,n+1 = 0 para n ≥ 1 y los coeficientes cn,0 no aparecen debido a que se anulan
cuando derivamos Π(1)V (s).
Como la función de Adler satisface una ecuación del grupo de renormalización ho-
mogénea, los logaritmos del grupo de renormalización pueden ser resumados lo que equiv-
ale a fijar la escala de renormalización µ2 = −s ≡ Q2. De esta forma llegamos a la simple
expresión
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-
D(1)V (Q2) =
Nc12π2
∞∑
n=0
cn,1an(Q2) (2.19)
Los coeficientes de ésta expansión están calculados hasta n = 4 [23][24][25]. En el
esquema MS éstos son [26]
c0,1 = c1,1 = 1; c2,1 = 1,640; c3,1 = 6,371; c4,1 = 49,076 (2.20)
Sin perjuicio de lo anterior derivaremos los coeficientes cn,k y su relación con los
coeficientes cn,1 hasta n = 5 para su uso posterior. Lo primero que haremos es una
expansión de Taylor de a(Q2) alrededor de a(µ2), aśı
a(Q2) = a(µ2) + dadln(Q2) |Q2=µ2 ln(Q2
µ2 ) +12
d2adln(Q2)2 |Q2=µ2 ln
2(Q2
µ2 )
+ 16d3a
dln(Q2)3 |Q2=µ2 ln3(Q
2
µ2 ) +124
d4adln(Q2)4 |Q2=µ2 ln
4(Q2
µ2 ), (2.21)
la ecuación del grupo de renormalización nos dice:
da(µ2)
dln(µ2)= −β1a
2(µ2)− β2a3(µ2)− β3a
4(µ2)− β4a5(µ2), (2.22)
usando regla de la cadena y hasta orden a(µ)5 tenemos que
d2adln(Q2)2 |Q2=µ2 = 2β
21a
3(µ2) + 5β1β2a4(µ2) + 3β22a5(µ2),
d3adln(Q2)3 |Q2=µ2 = −6β
31a
4(µ2)− 20β21β2a5(µ2),
d4adln(Q2)4 |Q2=µ2 = 24β
41a
5(µ2). (2.23)
Entonces para que las expresiones 2.18 y 2.19 sean perturbativamente equivalentes hasta
n = 5, tenemos las siguientes relaciones:
9
-
CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO
c2,2 = −1
2β1c1,1
c3,2 = −1
2(β2c1,1 + 2β1c2,1)
c3,3 =1
3β21c1,1
c4,2 = −1
2(β3c1,1 + 2β2c2,1 + 3β1c3,1)
c4,3 =1
6(5β1β2c1,1 + 6β
21c2,1)
c4,4 = −1
4β31c1,1
c5,2 = −1
2(β4c1,1 + 2β3c2,1 + 3β2c3,1 + 4β1c4,1)
c5,3 =1
6(6β1β3c1,1 + 3β
22c1,1 + 14β1β2c2,1 + 12β
21c3,1)
c5,4 = −1
12(13β21β2c1,1 + 12β
31c2,1)
c5,5 =1
5β41c1,1 (2.24)
2.1. Teoŕıa de perturbaciones fija y mejorada
Ahora discutiremos opciones de como resumar los logaritmos que aparecen en la ex-
pansión de D(1)V (s). Primero insertamos ecn 2.18 en la fórmula para Rτ . Aśı obtenemos
Rτ = −3πı
∮
|x|=1
dx
x(1− x)3(1 + x)
Nc12π2
∞∑
n=0
a(µ2)nn+1∑
k=1
kcn,klnk−1
(−m2τx
µ2
). (2.25)
Veamos el término n = 0
Rn=0τ =Ncc0,14πı
∮
|x|=1
dx
x(1− x)3(1 + x) (2.26)
pasamos a variable angular x = −eıθ → dx = −ıeıθdθ, entonces
Rn=0τ =Ncc0,14π
∫ π
−πdθ(1 + eıθ)3(1− eıθ) =
Ncc0,12
, (2.27)
los términos periódicos son cero, aśı que la integral es simplemente 2π, como c0,1 = 1
tenemos que Rn=0τ =Nc2 , además recordemos que los términos cn,n+1 = 0, por lo que
separando el término n = 0 del resto tenemos que
Rτ =Nc2
(
1 +1
2πı
∞∑
n=1
an(µ2)n∑
k=1
kcn,k
∮
|x|=1
dx
x(1− x)3(1 + x)lnk−1
(−m2τx
µ2
))
,
(2.28)
10
-
2.1. TEORÍA DE PERTURBACIONES FIJA Y MEJORADA
observando la ecuación 2.16 donde separamos las distintas contribuciones para Rτ iden-
tificamos
δ(0) =1
2πı
∞∑
n=1
an(µ2)n∑
k=1
kcn,k
∮
|x|=1
dx
x(1− x)3(1 + x)lnk−1
(−m2τx
µ2
). (2.29)
Hay dos enfoques de cómo evaluar la expresión anterior llamados teoŕıa de pertur-
baciones a orden fijo (Fixed order perturbation theory, FO) y teoŕıa de perturbaciones
mejorada en el contorno (Contour improved perturbation theory, CI). En FO la función
de Adler (ecn 2.18) es evaluada con la escala de renormalización fija, µ2 = m2τ . Aśı
ecuación 2.29 en este enfoque se convierte en:
δ(0)FO =∞∑
n=1
a(m2τ )n
n∑
k=1
kcn,kJk−1 (2.30)
Las integrales de contorno Jl son definidas de la siguiente manera
Jl =1
2πı
∮
|x|=1
dx
x(1− x)3(1 + x)lnl(−x) (2.31)
En el caso de CI, aprovechamos que la función de Adler satisface una ecuación del
grupo de renormalización homogénea para mejorar el resultado anterior. Ocupamos la
función de Adler mejorada (ecn. 2.19) a lo largo del contorno de integración en ecuación
2.15 (µ2 = Q2 = −m2τx en ecuación 2.29), aśı obtenemos en este enfoque:
δ(0)CI =∞∑
n=1
cn,1Jan(m
2τ ), (2.32)
con las integrales de contorno sobre la running coupling Jan definidas del modo siguiente
Jan(m2τ ) =
1
2πı
∮
|x|=1
dx
x(1− x)3(1 + x)an(−m2τx), (2.33)
donde an(−m2τx) la obtenemos mediante el empleo del grupo de renormalización.
Es importante notar que si la constante de acoplamiento fuera pequeña, ambos méto-
dos daŕıan prácticamente el mismo resultado. El problema es que estamos en una región
de enerǵıa en la cual el acoplamiento es suficientemente chico como para hacer teoŕıa
de perturbaciones (aunque necesitamos cálculos de varios loops para tener estimaciones
confiables), pero es grande en el sentido que las diferencias entre ambos métodos dan
resultados sensiblemente distintos. Desde el punto de vista teórico la mayor incerteza en
la extracción de αs proviene de este hecho1.
1En el caso que se considere FO seriamente. Muchos grupos, incluyendo el presente trabajo, sólo
consideran CI y descartan FO.
11
-
CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO
12
-
Caṕıtulo 3
Extracción de αs
Primero ilustraremos la diferencia entre ambos métodos (FO y CI) al calcular δ(0)FO y
δ(0)CI usando αs como input, y ver cuán exactamente reproducen el valor experimental de
Rτ . Luego haremos el proceso inverso al ajustar nuestros valores de δ(0)FO y δ
(0)CI con δ
(0)exp y
aśı extraer el valor de αs. Para comenzar trabajaremos en el esquema de renormalización
MS. Nuestro punto de partida es el siguiente:
δ(0)FO =∞∑
n=1
a(m2τ )n
n∑
k=1
kcn,kJk−1 (3.1)
con las integrales Jl definidas en 2.31. Los coeficientes cn,k están definidos en función de los
coeficientes cn,1 en la ecuación 2.24. Hasta el momento el coeficiente más alto calculado es
el c4,1 (5 loops) [25] por lo que necesitaremos el valor numérico de las primeras integrales
Jl y los coeficientes cn,k con n ≤ 4
J0 = 1; J1 = −19
12; J2 =
265
72−π2
3; J3 =
−3355
288−
19π2
12(3.2)
c2,2 = −1,125
c3,2 = −5,690
c3,3 = 1,688
c4,2 = −33,092
c4,3 = 15,803
c4,4 = −2,848 (3.3)
para lo anterior se ocuparon los valores de los coeficientes de la función beta con Nf = 3
en el esquema MS. De ahora en adelante βi ≡ βMSi por simplicidad. Los coeficientes de
la función beta en la ecuación 2.22 son [27][28]
13
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CAPÍTULO 3. EXTRACCIÓN DE αS
n 1 2 3 4 total
δ(0)FO 0.1082 0.0609 0.0334 0.0174 0.2200
δ(0)CI 0.1479 0.0297 0.0122 0.0086 0.1984
Cuadro 3.1: Comparación a orden n de los distintos términos en las expansiones FO y CI usando
αs(m2τ ) = 0,34
β1 =1
4
(11−
2
3Nf
)= 2,25
β2 =1
16
(102−
38
3Nf
)= 4
β3 =1
64
(2857
2−
5033
18Nf +
325
54N2f
)= 10,0599
β4 =1
256[149753
6− 3564ζ3 − (
1078361
162+
6508
27ζ3)Nf +
+ (50065
162+
6472
81ζ3)N
2f +
1093
729N3f ] = 47,2280 (3.4)
Teniendo los valores de las integrales Jl, los coeficientes cn,k y βi, podemos determinar
a partir de la ecuación 2.30 el valor de δ(0)FO en función de αMSs .
δ(0)FO = a+ 5,5025a2 + 26,3672a3 + 127,0821a4 (3.5)
en lo anterior a ≡ a(m2τ ).
Ahora veamos que predice CI. Recordemos la definición de δ(0)CI (ecn. 2.23) y las
integrales Jan ≡ Jan(m
2τ ), de esta forma obtenemos
δ(0)CI = Ja1 + 1,640J
a2 + 6,371J
a3 + 49,076J
a4 , (3.6)
en términos de a(m2τ ). Ahora compararemos término por término ambas expresiones,
aunque en cierto modo ésta no es la mejor comparación. Viendo la estructura de las series
-ver ecuación 2.21 µ2 = m2τ -, un orden n dado CI, contiene contribuciones de órdenes
superiores FO. Además CI suma logaritmos que acompañan a potencias superiores a 4
en α(m2τ ) lo que que no ocurre en FO. Sin embargo lo haremos para establecer diferencias.
Viendo el cuadro 3.1 podemos constatar que los dos enfoques tienen diferencias
numéricas significativas. Las series CI muestran una convergencia más rápida, pero las
14
-
dos series no parecen acercarse a medida que términos sucesivos son añadidos. Sumando
las dos series hasta orden n = 4 (qué es hasta lo que se conoce), la diferencia entre FO
y CI es de 0.0216 lo cuál es del orden del último término incluidos en la serie FO y
alrededor de 2.5 veces el tamaño del último término en la serie CI.
Ahora haremos el procedimiento inverso. Tenemos la forma funcional de δ(0)FO y δ(0)CI
en las ecuaciones 3.5 y 3.6 con lo cual podemos extraer αs en ambos enfoques. Primero
determinaremos el valor de δ(0)exp a partir del valor de Rexpτ . Partiendo de la ecuación 2.16
tenemos
δ(0)exp =Rτ,V+A
NcSEW |Vud|2− δEW − δ2 − δNP − 1, (3.7)
con Rτ,V+A = 3,479±0,011 [3], SEW = 1,0198±0,0006 [21], δEW = 0,0010±0,0010 [22],
δ2 = (−4,3 ± 2,0) × 10−4 [3], δNP = (−5,9 ± 1,4) × 10−3 [3] y Vud = 0,97418 ± 0,00027
[1]. Con esos valores el valor central de δ(0)exp = 0,204 (tengo sólo 4 cifras significativas en
Rτ,V+A).
Si consideramos todos los errores independientes, entonces tenemos que cada error es
ortogonal al otro, por lo que el error total es simplemente la norma pitagórica de todos
los errores.
Calcularemos como los errores en las cantidades anteriores dan cuenta de un error
propagado a δ(0). A éste error le llamaremos experimental.
∆δ(0)exp = ((∆δ(0)Rτ,V +A
)2 + (∆δ0SEW )2 + (∆δ0δEW )
2 + (∆δ0δ2)2 + (∆δ0δNP )
2 + (∆δ(0)|Vud|2)2)
12 .
(3.8)
Si el error es pequeño en comparación al valor central podemos considerar que
∆δ(0)Rτ,V +A =
(∂δ(0)
∂Rτ,V+A
)(∆Rτ,V+A), (3.9)
∆δ0SEW =
(∂δ(0)
∂SEW
)(∆SEW ), (3.10)
∆δ(0)|Vud|2 =
(∂δ(0)
∂δ|Vud|2
)(∆|Vud|
2). (3.11)
Si el error es comparable al valor central, como es el caso de ∆δEW , ∆δ2 y ∆δNP , lo
anterior no es válido. Eso no es problema pues en éste caso δEW , δ2 y δNP entran de una
manera muy sencilla en la expresión para δ(0)exp. Aśı tenemos simplemente que
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CAPÍTULO 3. EXTRACCIÓN DE αS
∆Rτ,V+A 0.011 ∆δ(0)Rτ,V +A
0.0038
∆SEW 0.0006 ∆δ0SEW 0.0007
∆δEW 0.0010 ∆δ(0)δEW
0.0010
∆δ2 0.0002 ∆δ(0)δ2
0.0002
∆δNP 0.0014 ∆δ(0)δNP
0.0014
∆|Vud|2 0.00022 ∆δ(0)|Vud|2
0.0007
∆δ(0)exp 0.004
Cuadro 3.2: Errores en las distintas cantidades involucradas en el cálculo de δ(0)exp y su impacto
en el error total ∆δ(0)exp
∆δ(0)δEW = ∆δEW , (3.12)
∆δ(0)δ2 = ∆δ2, (3.13)
∆δ(0)δNP = ∆δNP . (3.14)
En el cuadro 3.2 está la contribución de cada término al error ∆δ(0)exp. Vemos en ella
que el error que domina proviene del error experimental de Rτ .
Aśı δ(0)exp = 0,204± 0,004exp.
Luego vemos el error en αs a partir de δ(0)exp de la siguiente forma
∆a = |∂a
∂δ(0)|∆δ(0). (3.15)
En el caso de FO es fácil evaluar el error anterior. Recordemos que
δ(0)FO = a+ l1a2 + l2a
3 + l3a4, (3.16)
con l1 = 5,2025, l2 = 26,3672, l3 = 127,0821 (ecn. 3.5).
Entonces tenemos que
1 =∂a
∂δ(0)+ 2al1
∂a
∂δ(0)+ 3a2l2
∂a
∂δ(0)+ 4a3l3
∂a
∂δ(0), (3.17)
lo que implica que
∂a
∂δ(0)=
1
1 + 2al1 + 3a2l2 + 4a3l3. (3.18)
16
-
Teniendo ésto, extraemos el valor central y el error. Igualando δ(0)FO = δ(0)exp = 0,204
obtenemos el valor central de αFOs y con la última fórmula (y 3.15) obtenemos el error
experimental, aśı
αFOs = 0,326± 0,004exp. (3.19)
Ahora si usamos CI, el procedimiento para obtener el error de forma anaĺıtica es un
poco más complicado. Primero obtengamos el valor central, para eso igualamos (ver ecn.
3.6) δ(0)CI = δ(0)exp = 0,204 con lo que obtenemos el valor central αCIs (m
2τ ) = 0,347. Para
ver el error en αs optamos por usar el siguiente procedimiento. Usando las ecuaciones
2.21, 2.22 y 2.23, tenemos que la coupling a(−m2τx) que usamos en la definición de las
integrales Jan(m2τ ) la podemos escribir de forma aproximada en términos de a(m
2τ ). En el
contorno x = −eıθ tenemos
a(m2τeıθ) = a(m2τ )− β1ln(e
ıθ)a2(m2τ ) + (−β2ln(eıθ) + β21 ln
2(eıθ))a3(m2τ )
+(−β3ln(eıθ) +52β1β2ln
2(eıθ)− β31 ln3(eıθ))a4(m2τ ) (3.20)
+(−β4ln(eıθ) +32β
22 ln
2(eıθ) + 3β1β3ln2(eıθ)−133 β
21β2ln
3(eıθ) + β41 ln4(eıθ))a5(m2τ ).
Reemplazamos ecuación anterior en la definición de δ(0)CI (ecn. 2.32) con lo cuál obten-
emos su versión aproximada en términos de las integrales Jl =12π
∫ π−π dθ(1+2e
ıθ−2e3ıθ−
e4ıθ)lnl(eıθ). Como tenemos a(m2τeıθ) en términos de logaritmos hasta orden 4 y necesi-
tamos calcular hasta la integral Ja4 (m2τ ) entonces debemos calcular hasta J16. Hacemos
todo lo anterior para expresar en forma anaĺıtica el valor de δ(0)CI en términos de a(m2τ ).
Eso como veremos simplifica el análisis de los errores. Cómo es una gran cantidad de
integrales a calcular sólo pondremos el resultado final
δ(0)CI,aprox = a+ 5,20a2 + 26,37a3 + 127,08a4 + 307,76a5
−2,92 · 103a6 − 7,50 · 104a7 − 5,78 · 105a8 − 7,38 · 105a9 + 2,17 · 107a10
1,58 · 108a11 + 1,08 · 108a12 − 4,13 · 109a13 − 1,94 · 1010a14 + 1,29 · 1010a15
3,77 · 1011a16 + 8,83 · 1011a17 − 1,67 · 1012a18 − 1,05 · 1013a19 − 9,56 · 1012a20.(3.21)
Ahora podemos ver el error de una manera aproximada, pero anaĺıtica. Reescribimos
la ecuación anterior
δ(0)CI,aprox =20∑
i=1
liai, (3.22)
lo que implica que
17
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CAPÍTULO 3. EXTRACCIÓN DE αS
1 =20∑
i=1
iliai−1 ∂a
∂δ(0)CI,aprox, (3.23)
entonces
∆a =∆δ(0)
∑20i=1 ilia
i−1|acentral . (3.24)
Aśı tomando ∆δ(0)exp = 0,004 tenemos que ∆αexp = 0,005. Entonces hasta el momento
αCIs (m2τ ) = 0,347± 0,005exp. (3.25)
Un último comentario. Si ocuparamos la versión aproximada de δ(0)CI en térmi-
nos de a(m2τ ) al hacer la expansión de Taylor de a(m2τe
ıθ) y para cada término
an(m2τeıθ) cortáramos a un orden fijo n en a, digamos en a4, obtendŕıamos δ(0)FO. Por eso
decimos que la diferencia entre FO y CI está en los órdenes superiores am(m2τ ) con m > n.
3.1. Error debido a truncación de las series
Como sabemos, un observable se plantea como una serie perturbativa en términos
de un parámetro de expansión, en nuestro caso αs. Esta serie suele tener sólo unos
pocos términos, confiando en una pronta convergencia1. En nuestro caso, debido a lo
relativamente grande de nuestro parámetro de expansión, no esperamos que esto ocurra
pronto, por lo que cálculos que determinen órdenes superiores pueden ser importantes y
cambiar cuantitativamente de una forma apreciable nuestro observable (en este caso δ(0)).
Una forma de tener una idea del efecto de no tener una serie completa sino truncada,
es estimar la hipotética contribución del primer término no calculado de la serie. Acá
veremos dos approaches distintos para determinar el error de truncación en FO y CI.
En FO encontramos
δ(0)FO = a+ 5,2025a2 + 26,3672a3 + 127,0821a4 (3.26)
Evaluemos lo anterior usando el valor extráıdo αFOs (m2τ ) = 0,326. Término por tér-
mino ésto es
δ(0)FO = 0,104 + 0,056 + 0,029 + 0,015 (3.27)
1Una convergencia aparente, ya que sabemos que estamos lidiando con expansiones asintóticas
18
-
3.2. ERROR DEBIDO A CAMBIO DE ESQUEMA DERENORMALIZACIÓN
Observamos que más o menos cada nuevo término es la mitad del anterior, por lo
que es razonable suponer que el módulo del próximo término va a ser alrededor de 0,008.
Usamos lo anterior para estimar el error por la truncación, aśı
∆δ(0)FO,trun = 0,008 → ∆αFO,truns = |
∂a
∂δ(0)|∆δ(0)FO,trunπ = 0,007 (3.28)
En el caso de CI estimaremos el error de una manera diferente. Sabemos que el último
coeficiente calculado de la función de Adler es c4,1. Para estimar el error que nos da un
nuevo término en la serie consideramos el valor de c5,1 = 145 que es el valor central de la
estimación de ese número dado por ”Principle of Minimal Sensitivity (PMS)”[29][30][31].
Aśı
δ(0)CI = c1,1Ja1 (m
2τ ) + c2,1J
a2 (m
2τ ) + c3,1J
a3 (m
2τ ) + c4,1J
a4 (m
2τ ) + c5,1J
a5 (m
2τ ), (3.29)
evaluando lo anterior en αs(m2τ ) = 0,347 obtenemos δ(0)CI = 0,206, por lo que consider-
amos, usando ecuación 3.24
∆δ(0)CI,trun = 0,002 → ∆αCI,truns = 0,002. (3.30)
Este procedimiento lo podemos considerar también para FO, con la ayuda de las ecua-
ciones 2.24 dando el mismo resultado que en nuestra primera estimación (∆αFOs (m2τ ) =
0,007), eso justifica nuestra elección c5,1 = cPMS5,1 .
De lo anterior podemos decir que CI es un método con convergencia aparente mucho
mejor que FO. Además FO, es mucho más sensible a un nuevo término en la serie que
CI.
3.2. Error debido a cambio de esquema de renormal-
ización
3.2.1. Esquemas de renormalización
Por el término renormalización queremos decir, junto a la redefinición de la masa y el
acoplamiento, el reajuste de la normalización de las funciones de Green por apropiados
factores multiplicativos que pueden eliminar posibles infinitos en ellas. Es importante
notar aqúı que la manera de eliminar divergencias en teoŕıa de perturbaciones no es
única. La diferencia va en cómo defino la parte finita de los contratérminos, eso me lleva
a distintos esquemas de renormalización. Dos esquemas diferentes de renormalización
19
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CAPÍTULO 3. EXTRACCIÓN DE αS
están siempre conectados por una renormalización finita. Por ejemplo consideremos el
acoplamiento
gR = g0 +∆gfin +∆ginf + δgfin + δginf , (3.31)
con g0 el parámetro que aparece en el lagrangiano, ∆gfin y ∆ginf las partes convergente
y divergente de las correcciones cuánticas, δgfin y δginf las partes convergente y
divergente del contratérmino. δgfin es arbitrario y da origen a los distintos esquemas de
renormalización. En orden de cancelar las divergencias, requerimos que ∆ginf = −δginf
Como un ejemplo consideremos la autoenerǵıa de un quark sin masa a un loop. En
regularización dimensional el propagador con correcciones cuánticas es
Sij =−δij̸p
1
1 + σ(p2), (3.32)
con
σ(p2) =−g20(4π)2
cF (1
ϵ− γ + 1− ln(
−p2
4πµ2)), (3.33)
con ϵ → 0 (ϵ ≡ D − 4). Renormalizamos el propagador del quark Sij(p) por un factor
multiplicativo Z. Aśı
SRij(p) = Z−1Sij(p), (3.34)
con Z = 1− δZ (a 1 loop). δZ a orden g20 .
δZ tiene parte divergente que cancelará la de σ(p2).
SRij(p) =−δij̸p
1
1 + σ(p2)
1
1− δZ=
−δij̸p
1
1 + σ(p2)− δZ − δZσ(p2)(3.35)
El último término en el denominador lo desechamos (es orden g40). Aśı
SRij(p) =−δij̸p
1
1 + σ(p2)− δZ(3.36)
En lo anterior g20 debiera ser reemplazado por su versión renormalizada, pero al orden
que estamos g2R = g20 ya que g
2R = g
20(1 + δZ2) con δZ2 ya de orden g
20 .
Como SRij(p2) es el propagador renormalizado debiera estar libre de divergencias
y aśı σ(p2) − δZ tiene que ser finito. Ese requerimiento determina Z excepto por
una constante finita aditiva. Un requerimiento adicional a la parte finita de δZ nos
fija el esquema de renormalización. A continuación mostraremos algunos esquemas de
renormalización populares.
20
-
3.2. ERROR DEBIDO A CAMBIO DE ESQUEMA DERENORMALIZACIÓN
Esquema on-shell
La constante de renormalización Z es determinada para ̸p = m por la condición
SRij(p) =δij
m− ̸p(3.37)
en nuestro ejemplo m = 0 por lo que la condición queda
SRij(p) = −δij̸p
(3.38)
para eso necesitamos que σ(0) = δZ. En nuestro caso σ(0) no está bien definido.
Sustracción off-shell (MOM)
Requerimos que a un valor no f́ısico p2 = −λ2 < 0
SRij(p) = −δij̸p. (3.39)
Eso implica que
δZ = σ(−λ2) =−g20(4π)2
cF (1
ϵ− γ + 1− ln(
λ2
4πµ2)), (3.40)
entonces
SRij(p) =−δij̸p
(1 +
g20(4π)2
cF ln
(−p2
λ2
))−1(3.41)
Minimal substraction (MS)
Eliminamos el polo 1ϵ en la expresión regularizada. Aśı
δZ =−g20(4π)2
cF1
ϵ(3.42)
Por lo que
SRij(p) =−δij̸p
(1 +
g20(4π)2
cF
(γ − 1 + ln
(−p2
4πµ2
)))−1(3.43)
21
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CAPÍTULO 3. EXTRACCIÓN DE αS
Modified Minimal substraction (MS)
Siempre el polo va acompañado con los términos γ y ln(4π), aśı que nos deshacemos
de todos esos términos 1ϵ − γ + ln(4π). Aśı
δZ =−g20(4π)2
cF (1
ϵ− γ + ln(4π)) (3.44)
entonces
SRij(p) =−δij̸p
(1 +
g20(4π)2
cF
(−1 + ln
(−p2
µ2
)))−1(3.45)
Éste último es el esquema más popular por su facilidad para usarse al calcular con
regularización dimensional.
Distintos contratérminos dan lugar a distintos coeficientes de la función beta, por
lo que una manera alternativa de definir un esquema es a partir de éstos. Un set {β1i }
define un esquema distinto al set {β2i } si β1i ̸= β
2i . De esta forma lo que haremos será
calcular el acoplamiento en distintos esquemas (MOM y ’t Hooft) y luego trasladar ese
acoplamiento de vuelta al esquema MS mediante ecuaciones de transformación que
derivaremos.
Cálculo MOM
Esquemas de sustracción de moméntum son definidos estableciendo algunas de las
funciones de 2 y 3 puntos a sus valores a tree level para una configuración fija de estados
de las part́ıculas externas (esto es momenta y estado de polarización) en un cierto gauge.
Eso fija las constantes de renormalización al punto de sustracción µ.
Al renormalizar el acoplamiento existe un gran número de posibilidades para definir
un esquema de renormalización MOM. Por ejemplo está la ambigüedad de la elección
del vértice para sustraer. En general, no es posible fijar más de un vértice a su valor
a tree level con p2 = −µ2, ya que todos ellos están relacionados por identidades de
Ward-Slavnov-Taylor (las distintas amplitudes calculadas no son independientes) [32].
Siguiendo a Chetyrkin y Rétey [32], en el gauge de Landau, tenemos que para un
esquema MOM en particular (sustracción del vértice gluon-fantasma), con nf = 3 y
a ≡ aMS
aMOM = a+ 2,6875a2 + 16,8264a3 + 127,6689a4. (3.46)
22
-
3.2. ERROR DEBIDO A CAMBIO DE ESQUEMA DERENORMALIZACIÓN
De acá podemos encontrar los valores de los coeficientes de la función beta en este
esquema MOM en particular. Por simple regla de la cadena,
βM (aM ) = µ2daM
dµ2=∂aM
∂aµ2
da
dµ2=∂aM
∂aβ(a), (3.47)
con βM ≡ βMOM y aM ≡ aMOM .
Si escribimos aM = a+ r1a2 + r2a3 + r3a4 implica que
−βM1 (aM )2 − βM2 (a
M )3 − βM3 (aM )4 − βM4 (a
M )5
= (1 + 2r1a+ 3r2a2 + 4r3a3)(−β1a2 − β2a3 − β3a4 − β4a5) (3.48)
Resolvemos orden por orden ambos lados de la ecuación en potencias de a hasta a5
(notar que el primer lado contiene potencias de hasta a20). Con eso obtenemos cuatro
ecuaciones, suficientes para obtener βM1 , βM2 , β
M3 y β
M4 . Los términos de orden superior
son afectados por coeficientes de la función beta superiores, los cuales no conocemos.
Resolviendo obtenemos
βM1 = β1 = 2,25
βM2 = β2 = 4
βM3 = β3 − r1β2 + (r2 − r21)β1 = 20,9184
βM4 = β4 − 2r1β3 + r21β2 + (2r3 − 6r1r2 + 4r
31)β1 = 160,7726. (3.49)
Corroboramos la universalidad de los dos primeros términos de la función beta para
esquemas de renormalización independientes de masa [33].
Otro esquema popular por la posibilidad de obtener soluciones anaĺıticas (ref), es el
ideado por ’t Hooft el cual fija los coeficientes de la función beta βi = 0 con i > 2 [34], de
esta manera la función beta tiene exactamente la forma de dos loops. Por supuesto los
dos primeros coeficientes son los mismos que los de MS ya que el procedimiento descrito
en ecuaciones 3.47 y 3.48 sigue siendo válido.
Error esquema
Las cantidades f́ısicas en Cromodinámica Cuántica (QCD), o de hecho en cualquier
teoŕıa de campos, han de ser independientes del esquema particular usado para renor-
malizar la teoŕıa. Sin embargo, esta invarianza es respetada sólo aproximadamente en
teoŕıa de perturbaciones truncada: dos resultados a orden n calculados en dos esquemas
diferentes, en general diferirán por términos de orden superior
23
-
CAPÍTULO 3. EXTRACCIÓN DE αS
R1 = 1 + b1a1 + b2a21...+ bnan1 +O(a
n+11 )
R2 = 1 + c1a2 + c2a22...+ cnan2 +O(a
n+12 ), (3.50)
con R1 y R2 representando el mismo observable R calculado en dos esquemas distintos,
con parámetros de expansión a1 y a2, y coeficientes bi y ci respectivamente.
Siempre podemos obtener un acoplamiento en un esquema en función de otro en otro
esquema (ver ecn. 3.31 y 3.46) [29], aśı a1 = a2 + d1a22 + d2a32 + ... por lo que
R1 −R2 = O(an+12 ) (3.51)
por lo que los resultados de cálculos perturbativos en QCD son dependientes de esquema.
Para cuantificar la ambigüedad, extraeremos nuestro acoplamiento en los esquemas
MOM y t’ Hooft definidos anteriormente para luego, mediante algunas ecuaciones de
transformación, volver a nuestro acoplamiento en el esquema MS. Tras esto comparamos
con el acoplamiento en MS extráıdo directamente. La diferencia fundamental en el uso
de distintos esquemas, es que tenemos funciones beta diferentes.
Lo primero que obtendremos será la variación del acoplamiento al variar los coefi-
cientes de la función beta. Para simplificar adoptamos la siguiente notación τ = β1ln(µ2),
ci−1 =βiβ1. Queremos que nuestro acoplamiento sea una función continua de µ y los βi,
o sea a ≡ a(τ, c2, c3). El teorema de Clairaut establece que para funciones continuas en
un dominio y tal que las segundas derivadas existen, las segundas derivadas cruzadas son
iguales; entonces imponemos que
d2a
dβ3dτ=
d2a
dτdβ3
d2a
dβ4dτ=
d2a
dτdβ4(3.52)
Suponemos la siguiente expansión para las derivadas
da
dci=
∞∑
j=i+1
kijaj , (3.53)
exigimos coeficientes kij independientes de la escala.
Ayudados por la definición de la función beta, que en estas variables es
da
dτ= −a2 − c1a
3 − c2a4 − c3a
5, (3.54)
24
-
3.2. ERROR DEBIDO A CAMBIO DE ESQUEMA DERENORMALIZACIÓN
nuestro trabajo es encontrar los coeficientes kij . Calculamos nuestras derivadas cruzadas
d2adc2dτ
=(
dadc2
∂∂a +
∂∂c2
) (dadτ
)
(k23a3 + k24a4 + k25a5 + k26a6)(−2a− 3c1a2 − 4c2a3 − 5c3a4 − 6c4a5)− a4,(3.55)
d2adτdc2
=(dadτ
∂∂a
) (dadc2
)
(−a2 − c1a3 − c2a4 − c3a5)(3k23a2 + 4k24a3 + 5k25a4 + 6k26a5). (3.56)
Imponemos que las dos ecuaciones anteriores sean iguales. Hasta orden a6 obtenemos
que los coeficientes kij deben ser
k23 = 1,
k24 = 0,
k25 =13c2. (3.57)
De forma similar, imponiendo la otra condición en la ecuación 3.52, obtenemos
k34 =12 ,
k35 = −16c1. (3.58)
De esta forma y volviendo a nuestras variables regulares, tenemos que ante un cambio
de β3 y β4 nuestro acoplamiento reacciona de la siguiente forma
da
dβ3=
1
β1a3 +
β33β21
a5, (3.59)
da
dβ4=
1
2β1a4 −
β26β21
a5, (3.60)
notamos que a este orden no se cumple d2a
dβ3β4= d
2adβ4β3
exactamente, por lo que el
camino en la resolución de las ecuaciones a(βR3 ,βR4 ) → a(β
MS3 ,β
R4 ) → a(β
MS3 ,β
MS4 ) y
a(βR3 ,βR4 ) → a(β
R3 ,β
MS4 ) → a(β
MS3 ,β
MS4 ) da resultados distintos, aunque la diferencia es
pequeña. Ocuparemos el promedio del resultado de ambos caminos cuando traslademos
nuestro acoplamiento obtenido en nuestro esquema R a MS.
Ya sabemos como vaŕıa el acoplamiento con el esquema. Ahora queremos saber cómo
vaŕıan los coeficientes ri (ver la ecuación siguiente) de la expansión de un observable.
25
-
CAPÍTULO 3. EXTRACCIÓN DE αS
En nuestro caso estamos interesados en un observable expandido hasta orden 4 en a
R = a(βi) + r1(βi)a2(βi) + r2(βi)a
3(βi) + r3(βi)a4(βi) +O(a
5) (3.61)
Como un observable no puede depender de esquema necesitamos que dRdβi = 0. Usando
ecuación 3.51 tenemos que
dR
dβ3=
da
dβ3
∂R
∂a+
dr1dβ3
a2 +dr2dβ3
a3 +dr3dβ3
a4 = O(a5). (3.62)
dadβ3
ya lo tenemos calculado de la ecuación 3.59. Entonces
dR
dβ3=
(a3
β1+
β33β21
a5)(
1 + 2r1a+ 3r2a2 + 4r3a
3)+
dr1dβ3
a2 +dr2dβ3
a3 +dr3dβ3
a4 = O(a5)
(3.63)
De la misma forma tenemos
dR
dβ4=
(a4
2β1−
β26β21
a5)(
1 + 2r1a+ 3r2a2 + 4r3a
3)+
dr1dβ4
a2 +dr2dβ4
a3 +dr3dβ4
a4 = O(a5)
(3.64)
con lo que vemos cómo reaccionan nuestros coeficientes ri ante un cambio de esquema
dr1dβ3
= 0,
dr2dβ3
= −1
β1,
dr3dβ3
= −2r1β1
,
dr1dβ4
= 0,
dr2dβ4
= 0,
dr3dβ4
= −1
2β1. (3.65)
Resolvemos las ecuaciones anteriores obteniendo
r1(β3,β4) = rMS1 ,
r2(β3,β4) = −1β1(β3 − βMS3 ) + r
MS2 ,
r3(β3,β4) = −2r1β1
(β3 − βMS3 )−1
2β1(β4 − βMS4 ) + r
MS3 . (3.66)
Podemos ver que mientras el acoplamiento en general aumenta si aumentamos los
coeficientes βi, los coeficientes ri en general disminuyen con un incremento de éstos. El
26
-
3.2. ERROR DEBIDO A CAMBIO DE ESQUEMA DERENORMALIZACIÓN
efecto neto es que el observable queda más o menos inalterado al cambiar entre esquemas.
Aplicamos las ecuaciones anteriores para obtener los coeficientes cn,1 de la función
de Adler como función de β3 y β4 (con los cuáles podemos obtener cn,k). Observando la
ecuación 2.19 vemos que el siguiente observable tiene la expansión
(12π2
NcD(Q2)− 1
)= a(Q2) + c2,1a
2(Q2) + c3,1a3(Q2) + c4,1a
4(Q2), (3.67)
con lo que usando los resultados para ri tenemos que los coeficientes cn,1 para cualquier
esquema son los siguientes
c2,1 = cMS2,1 ,
c3,1 = cMS3,1 −1β1(β3 − βMS3 ),
c4,1 = cMS4,1 −2β1c2,1(β3 − βMS3 )−
12β1
(β4 − βMS4 ). (3.68)
Recordando que βMOM3 = 20,918, βMOM4 = 160,773 y que β
′tHooft3 = β
′tHooft4 = 0,
obtenemos que
cMOM3,1 = 1,545; cMOM4,1 = 8,015,
c′tHooft4,1 = 10,842; c
′tHooft4,1 = 74,236. (3.69)
Vemos la ecuación 2.24 y observamos que todos los otros coeficientes quedan inalter-
ados excepto c4,2, tenemos que
cMS4,2 = −33,092; cMOM4,2 = −22,234; c
′tHooft4,2 = −43,152. (3.70)
Teniendo lo anterior podemos extraer αs(m2τ ) en los distintos esquemas. Recordamos
que
δ(0)FO =4∑
n=1
a(m2τ )n
n∑
k=1
kcn,kJk−1, (3.71)
con Jl =1
2πı
∮|x|=1
dxx (1 − x)
3(1 + x)lnl(−x). Al extraer en los distintos esquemas lo
único que cambia son los coeficientes cn,k, el procedimiento es el mismo que el descrito
en página 17. Aśı obtenemos en los diferentes esquemas considerados
δ(0)FO,MS
= aMS + 5,2025(aMS)2 + 26,3672(aMS)3 + 127,0821(aMS)4 (3.72)
δ(0)FO,MOM = aMOM + 5,2025(aMOM )2 + 21,5412(aMOM )3 + 51,6357(aMOM )4
δ(0)FO,′tHooft = a′tHooft + 5,2025(a
′tHooft)2 + 30,8382(a′tHooft)3 + 184,0947(a
′tHooft)4
27
-
CAPÍTULO 3. EXTRACCIÓN DE αS
Por supuesto podŕıamos haber utilizado las ecuaciones de transformación en los
coeficientes de δ(0)FO,MS
directamente (ecn. 3.5) para obtener δ(0)FO,MOM y δ(0)FO,′tHooft. De
esa forma da prácticamente el mismo resultado.
Igualando δ(0)FO,R = δ(0)exp obtenemos los siguientes valores para nuestros acoplamientos
αMSFO = 0,326
αMOMFO = 0,340
α′tHooftFO = 0,316 (3.73)
Éstos acoplamientos no son comparables directamente pues no son cantidades f́ısi-
cas, éstas pueden variar de esquema en esquema. Para hacer la comparación usaremos
las ecuaciones 3.59 y 3.60 para trasladar nuestros acoplamientos a MS desde los otros
esquemas. Aśı
αMOMFO = 0,340 → αMSFO = 0,314, (3.74)
α′tHooftFO = 0,316 → α
MSFO = 0,336. (3.75)
Vemos que en el primer caso obtenemos un valor de 0,012 inferior al valor de αMSextráıdo directamente, y en el segundo un valor de 0,010 superior. Como criterio tomare-
mos la mayor diferencia obtenida como representativo del error debido a esquema, en el
entendido que hay muchos otros esquemas no tomados en cuenta aqúı y que formalmente
se encuentran en el mismo pie respecto a éstos. Aśı
∆αFOesquema = 0,012. (3.76)
En el caso de CI para extraer αs(m2τ ) recordamos que
δ(0)CI =∞∑
n=1
cn,1Jan(m
2τ ), (3.77)
con Jan(m2τ ) ≡
12πı
∮|x|=1
dxx (1− x)
3(1 + x)an(−m2τx). En este enfoque la diferencia entre
los distintos esquemas proviene de que los coeficientes cn,1 cambian y a(−m2τx) cumple
una ecuación del grupo de renormalización diferente. Aśı
δ(0)CI,MS
= Ja1 (m2τ ) + 1,640J
a2 (m
2τ ) + 6,371J
a3 (m
2τ ) + 49,076J
a4 (m
2τ ) (3.78)
δ(0)CI,MOM = Ja1 (m
2τ ) + 1,640J
a2 (m
2τ ) + 1,545J
a3 (m
2τ ) + 8,015J
a4 (m
2τ )
δ(0)CI,′tHooft = Ja1 (m
2τ ) + 1,640J
a2 (m
2τ ) + 10,842J
a3 (m
2τ ) + 74,236J
a4 (m
2τ )
28
-
3.3. ERROR DEBIDO A LA ELECCIÓN DEL PUNTO DESUSTRACCIÓN
Igualando la ecuación anterior a δ(0)exp extraemos
αMSCI = 0,347,
αMOMCI = 0,383,
α′tHooftCI = 0,329. (3.79)
De la misma forma a como lo hacemos en FO, trasladamos nuestros acoplamientos
anteriores a αMS
αMOMCI = 0,383 → αMSFO = 0,345, (3.80)
α′tHooftCI = 0,329 → α
MSFO = 0,351. (3.81)
Con lo que podemos decir que
∆αCIesquema = 0,004. (3.82)
Observamos que FO es el triple de sensible a un cambio de esquema que CI.
3.3. Error debido a la elección del punto de sustrac-
ción
Aśı como un observable no puede depender de la elección de esquema, tampoco puede
depender de la elección del punto de sustracción µ, ya que éste es un parámetro no
f́ısico que aparece en el proceso de regularización dimensional al renormalizar. Para un
observable general
R(Q2) = a(µ2) + r1(Q2, µ2)a2(µ2) + r2(Q2, µ2)a3(µ2) + r3(Q2, µ2)a4(µ2),
a(µ2, Q2) + r1(µ2)a2(µ2, Q2) + r2(µ2)a3(µ2, Q2) + r3(µ2)a4(µ2, Q2),(3.83)
queremos ver como vaŕıan nuestros coeficientes ri al variar la escala. Ya sabemos como
vaŕıa a ≡ a(µ2) con la escala, mediante la función beta. El valor de un observable no
puede depender de la elección del punto de sustracción, lo que implica que dRdlogµ2 = 0.
Entonces
∂R
∂log(µ2)= (1+2ar1+3a
2r2+4a3r3)
∂a
∂log(µ2)+
∂r1∂log(µ2)
a2+∂r2
∂log(µ2)a3+
∂r3∂log(µ2)
a4 = O(a5)
(3.84)
29
-
CAPÍTULO 3. EXTRACCIÓN DE αS
Recordamos la definición de la función beta y obtenemos
−β1a2 − β2a3 − β3a4 − 2r1β1a3 − 2r1β2a4 − 3r2β1a4 +
∂r1∂log(µ2)a
2 + ∂r2∂log(µ2)a3 + ∂r3∂log(µ2)a
4 +O(a5) = O(a5), (3.85)
para que se cumpla lo anterior necesitamos que
∂r1∂log(µ2) = β1,
∂r2∂log(µ2) = β2 + 2r1β1,
∂r3∂log(µ2) = β3 + 2r1β2 + 3r2β1. (3.86)
Resolvemos las ecuaciones anteriores en términos de valores de referencia de los coe-
ficientes a cierta escala ν. Aśı obtenemos
r1(µ2) = r1(ν
2) + β1log
(µ2
ν2
), (3.87)
r2(µ2) = r2(ν
2) + (β2 + 2β1r1(ν2))log
(µ2
ν2
)+ β21 log
2
(µ2
ν2
), (3.88)
r3(µ2) = r3(ν2) + (β3 + 2β2r1(ν2) + 3β1r2(ν2))log
(µ2
ν2
)
+( 52β1β2 + 3β31r1(ν
2))log2(
µ2
ν2
)+ β31 log
3(
µ2
ν2
). (3.89)
Las ecuaciones anteriores provienen de cálculos hasta cierto orden en teoŕıa de pertur-
baciones, por lo cuál es sólo aproximada. De hecho, de esta forma podemos reencontrar
FO en base a CI. Viendo la ecuación 3.61, podemos ver que la dependencia con la es-
cala (ésta vez f́ısica, no el punto de sustracción) de un observable podemos achacársela
a los coeficientes ci(µ2, Q2) manteniéndo el acoplamiento fijo a(µ2) -Ésto es teoŕıa de
perturbaciones fija FO-, o podemos hacerlo con el acoplamiento a(Q2) manteniendo los
coeficientes fijos -Ésto es llamado teoŕıa de perturbaciones mejorada CI-. Partiendo de lo
último, vemos que la función de Adler escrita en CI es
12π2
Nc(D(Q2)− 1) = c1,1a(Q
2) + c2,1a2(Q2) + c3,1a
3(Q2) + c4,1a4(Q2). (3.90)
Si reescribimos lo anterior borrando la dependencia en Q2 en el acoplamiento, y
poniéndola en los coeficientes, obtenemos lo siguiente
30
-
3.3. ERROR DEBIDO A LA ELECCIÓN DEL PUNTO DESUSTRACCIÓN
c1,1a(µ2) +(c2,1(Q2) + β1log
(µ2
Q2
))a2(µ2)
+(c3,1(Q2) + (β2 + 2β1c2,1(Q2))log
(µ2
Q2
)+ β21 log
2(
µ2
Q2
))a3(µ2)
(c4,1(Q2) + (β3 + 2β2c2,1(Q2) + 3β1c3,1(Q2))log(
µ2
Q2
)
+( 52β2β1 + 3β21c2,1(Q
2))log2(
µ2
Q2
)+ β31 log
(µ2
Q2
))a4(µ2) (3.91)
En lo anterior usamos ν2 = Q2 para la evolución de los coeficientes. Eligiendo el
acoplamiento fijo en lo anterior µ2 = m2τ obtenemos justamente la función de Adler
escrita en FO y podemos identificar de la expansión los coeficientes cn,k que coinciden
con los calculados previamente.
Como criterio para tomar un error debido a la elección del punto de sustracción
variaremos µ entre 0,8mτ y 1,2mτ .
Para FO recordamos que en MS (todo nuestro análisis es en este esquema)
δ(0)FO(m2τ ) = a(m
2τ ) + 5,203a
2(m2τ ) + 26,367a3(m2τ ) + 127,082a
4(m2τ ), (3.92)
entonces nuestros coeficientes son ri(µ2, Q2) (En este caso decimos Q2 = m2τ y no
Q2 = −m2τx como seŕıa en la función de Adler pues esta última está integrada en
δ(0). En DFO los coeficientes dependen de Q2 v́ıa los logaritmos rn(m2τ ,−m2τx) =∑k
n=1 cn,klogk−1(−x))
r1(µ2 = m2τ , Q2 = m2τ ) = 5,203,
r2(µ2 = m2τ , Q2 = m2τ ) = 26,367,
r3(µ2 = m2τ , Q2 = m2τ ) = 127,082. (3.93)
Al variar la escala a (ξmτ )2, δ(0)FO vaŕıa de la siguiente forma
δ(0)FO(m2τ ) = a((ξmτ )
2) + r1((ξmτ )2,m2τ )a2((ξm2τ )) + r2((ξmτ )
2,m2τ )a3((ξmτ )2)
+r3((ξmτ )2,m2τ )a4((ξmτ )2). (3.94)
Para ξ = 0,8 obtenemos el siguiente valor de los coeficientes r1 = 4,198, r2 = 15,142,
r3 = 43,795 con lo que extraemos αs(ξm2τ ) al igualar a nuestro δ(0)exp. Luego evolucionamos
mediante la función beta (ecn. 2.22) y obtenemos el acoplamiento a la escala de nuestro
interés αs(m2τ )
31
-
CAPÍTULO 3. EXTRACCIÓN DE αS
αs((0,8mτ )2) = 0,364 → αs(m
2τ ) = 0,317. (3.95)
De la misma forma para ξ = 1,2 obtenemos r1 = 6,023, r2 = 37,036, r3 = 224,875 lo
que implica que
αs((1,2mτ )2) = 0,302 → αs(m
2τ ) = 0,335, (3.96)
por lo que al variar el punto de sustracción en este intervalo razonable tenemos una
diferencia de 0,009 con el valor extráıdo con ξ = 1. Usaremos este criterio para error al
variar la escala. Aśı
∆αFOs,escala = 0,009. (3.97)
Para CI el procedimiento es similar. En este caso tomaremos como nuestro ob-
servable la función de Adler (Esto se puede hacer también para FO obteniéndose
resultados casi idénticos a los ya calculados). Viendo la ecuaciones 3.91 y 2.20,
tenemos que nuestros coeficientes a la escala m2τ son c2,1 = 1,640, c3,1 = 6,371 y
c4,1 = 49,076. Ocupando las ecuaciones de evolución de nuestros coeficientes obten-
emos c2,1((0,8mτ )2) = 0,636, c3,1((0,8mτ )2) = 2,301, c4,1((0,8mτ )2) = 27,969; y
c2,1((1,2mτ )2) = 2,460, c3,1((1,2mτ )2) = 11,194, c4,1((1,2mτ )2) = 80,065.
Podemos comprobar nuestro resultado anterior para cn,1((ξmτ )2) de la siguiente for-
ma. Tenemos que
D(1)V (m2τx) =
Nc12π2
∞∑
n=0
a(µ2)nn+1∑
k=0
kcn,klogk−1
(−m2τx
µ2
). (3.98)
En CI resumamos los logaritmos punto por punto en el ćırculo x = −eıθ, aśı µ2 = −m2τx,
con lo que obtenemos
D(1)V (m2τx) =
Nc12π2
∞∑
n=0
cn,1(m2τ )a
n(−m2τx), (3.99)
en lo anterior cn,1((ξmτ )2) ≡ cn,1(µ2 = −(ξmτ )2x,Q2 = −m2τx) y cn,1(m2τ ) ≡ cn,1 para
retomar la notación de la ecuación 2.19. Aśı al ver la dependencia de la escala en lo
anterior tenemos
12π2
Nc(D(m2τx)− 1) =
4∑
n=1
cn,1((ξmτ )2)an(−(ξmτ )
2x), (3.100)
estos coeficientes dependientes de la escala cn,1((ξmτ )2,m2τ ) ya fueron calculados en la
ecuación 3.91 (ver también ecuaciones 3.87, 3.88, 3.89 y 3.90). Los comprobamos notando
que al sustraer en µ2 = −(ξmτ )2x en ecuación 2.94 tenemos que
32
-
3.3. ERROR DEBIDO A LA ELECCIÓN DEL PUNTO DESUSTRACCIÓN
12π2
Nc(D(m2τx)− 1) =
4∑
n=1
an(−(ξmτ )2x)
n∑
k
kcn,klog
(1
ξ2
), (3.101)
con lo que
cn,1((ξmτ )2) =
n∑
k
kcn,klogk−1
(1
ξ2
). (3.102)
Esto da el mismo resultado que lo obtenido anteriormente (ecn. 3.91), lo que nos sirve de
comprobación a lo hecho. Para hacerlo expĺıcito comprobaremos el valor de c3,1((ξmτ )2),
la comprobación de los demás coeficientes se hace de forma similar.
Tenemos según lo anterior
c3,1((ξmτ )2) = c3,1 + 2c3,2log
(1
ξ2
)+ 3c3,3log
2
(1
ξ2
), (3.103)
usando ecuaciones 2.24 obtenemos
c3,1(ξm2τ ) = c3,1 + (β2 + 2β1c2,1)log(ξ
2) + β21 log2(ξ2), (3.104)
resultado que coincide a lo calculado con anterioridad (ver ecuaciones 3.88 y 3.91).
Después de este pequeño paréntesis seguimos con el cálculo de la variación de αCIscon la escala.
Figura 3.1: Comparación entre la solución exacta (numérica) de α(m2τeiφ) y su expansión a
cuarto orden en Taylor, en el ćırculo φ = −π..π [35]. El ejemplo usa α(m2τ ) = 0,35
.
Teńıamos que
33
-
CAPÍTULO 3. EXTRACCIÓN DE αS
δ(0)CI =∑4
n=1 cn,1Jan(m
2τ );
Jan(m2τ ) =
12π
∫ π−π dθ(1 + 2e
ıθ − 2e3ıθ − e4ıθ)an(m2τeıθ), (3.105)
como es usual para extraer αs imponemos que lo anterior sea igual a δ(0)exp.
Al variar la escala tenemos que
δ(0)CI (m2τ ) =
4∑
n=1
cn,1((ξmτ )2,m2τ )J
an((ξmτ )
2), (3.106)
usando exactamente el mismo procedimiento hecho en FO obtenemos para ξ = 0,8
αs((0,8mτ )2) = 0,401 → αs(m
2τ ) = 0,343, (3.107)
y para ξ = 1,2
αs((1,2mτ )2) = 0,316 → αs(m
2τ ) = 0,353, (3.108)
con el mismo criterio usado antes
∆αCIs,escala =+0,006−0,004 (3.109)
Habiendo calculado todo lo anterior, tenemos que los valores extráıdos de αs en los
distintos enfoques son
αFOs (m2τ ) = 0,326± 0,009escala ± 0,004exp ± 0,007trun ± 0,012esquema,
αFOs (m2τ ) = 0,326± 0,017 (3.110)
y
αCIs (m2τ ) = 0,347
+0,006−0,004|escala ± 0,005exp ± 0,002trun ± 0,004esquema
αCIs (m2τ ) = 0,347
+0,009−0,008, (3.111)
donde los errores se añadieron en cuadratura.
En muchos papers se toma un promedio de los valores extráıdos en CI y FO cómo el
valor final para αs. Nosotros no haremos eso, sino que nos decidiremos directamente por
el valor dado por CI por las siguientes razones:
34
-
3.3. ERROR DEBIDO A LA ELECCIÓN DEL PUNTO DESUSTRACCIÓN
1.- En FO α(m2τeıθ) ha sido expandida en Taylor y términos mayores que el orden
dado FO han sido truncados.
2.- Esa expansión de Taylor en términos de α(m2τ ) es usada para predecir α(m2τe
ıθ)
en todo el contorno. Cómo podemos ver en el cuadro 3.1, ésa expansión se comporta
pobremente para θ lejano a 0.
3.- Como podemos ver en la figura 3.1, CI presenta una mejor convergencia que FO,
lo que puede ser visualizado en un menor error por truncación. Además, por las mismas
razones, el resultado CI resulta ser menos sensible a cambios de esquema y punto de
sustracción, dando una estimación más estable y fiable de αs(m2τ ).
35
-
CAPÍTULO 3. EXTRACCIÓN DE αS
36
-
Caṕıtulo 4
Teoŕıa de Perturbaciones
Mejorada en el Contorno
Modificada (MCI)
En este caṕıtulo motivaremos y discutiremos una modificación a CI.
Teńıamos como una de las primeras expresiones para Rτ la siguiente integral
Rτ = 6πi
∮
|x|=1dx(1− x)2(1 + 2x)Π(1)(m2τx). (4.1)
Luego integrábamos por partes y obteńıamos la fórmula estándar para Rτ
Rτ = −3πi
∮
|x|=1
dx
x(1− x)3(1 + x)D(1)(m2τx). (4.2)
No hay razón alguna para parar ah́ı. Podemos seguir integrando por partes la expresión
anterior. Si definimos el observable E(x) de la siguiente manera
E(x) = xdD(x)
dx, (4.3)
podemos obtener, por ejemplo, fácilmente la siguiente expresión alternativa para Rτ
Rτ = −3πı
[∮
|x|=1
dx
x(1− x)3D(1)(m2τx) +
∮
|x|=1
dx
4x(1− x)4E(1)(m2τx)
]
. (4.4)
Las expresiones anteriores en principio están en el mismo pie y en cierto sentido la
última es preferida a las otras pues contiene una supresión de orden 4 cerca de x = 1, ya
37
-
CAPÍTULO 4. TEORÍA DE PERTURBACIONES MEJORADA EN ELCONTORNO MODIFICADA (MCI)
que sabemos la validez del OPE en el corte es dudosa.
Teńıamos que
D(m2τx) =Nc12π2
∞∑
n=0
an(µ2)n+1∑
k=1
kcn,klogk−1
(−m2τx
µ2
). (4.5)
De la definición (y teniendo en cuenta las restricciones sobre los coeficientes explicadas
en página 8)
E(m2τx) =Nc12π2
∞∑
n=2
an(µ2)n∑
k=2
k(k − 1)cn,klogk−2
(−m2τx
µ2
). (4.6)
Si desarrollamos la expresión alternativa, separando expĺıcitamente el término n = 0
de los otros, obtenemos
Rτ =Nc2 (1 +
12πi
∑∞n=1 a
n(µ2)∑n
k=1 kcn,k∮|x|=1
dxx (1− x)
3logk−1(
−m2τxµ2
)
+ 12πi∑∞
n=2 an(µ2)
∑nk=2 k(k − 1)cn,k
∮|x|=1
dx4x (1− x)
4logk−2(
−m2τxµ2
)). (4.7)
Observando la ecuación 2.16 aislamos la corrección perturbativa de QCD
δ(0) = 12πi∑∞
n=1 an(µ2)
∑nk=1 kcn,k
∮|x|=1
dxx (1− x)
3logk−1(
−m2τxµ2
)
+ 12πi∑∞
n=2 an(µ2)
∑nk=2 k(k − 1)cn,k
∮|x|=1
dx4x (1− x)
4logk−2(
−m2τxµ2
). (4.8)
De la misma forma que hicimos antes evaluamos la serie anterior con la opción de
acoplamiento fijo µ2 = m2τ obteniendo la expresión en FO
δ(0)FO =∞∑
n=1
an(m2τ )n∑
k=1
kcn,kHk−1 +∞∑
n=2
an(m2τ )n∑
k=2
k(k − 1)cn,kIk−2, (4.9)
con
Hl =1
2πı
∮|x|=1
dxx (1− x)
3logl(−x)
Il =1
8πı
∮|x|=1
dxx (1− x)
4logl(−x). (4.10)
De la nueva definición de δ(0)FO podemos extraer nuevamente αFOs igualando a δ
(0)exp.
En este caso tenemos un término adicional en la expansión de δ(0)FO, el dado por los
coeficientes c5,k en la segunda sumatoria1. Estos términos pueden ser léıdos en la
1Si conocemos la expansión para D(m2τx) hasta orden a4, entonces conocemos la expansión para
E(m2τx) hasta orden a5
38
-
ecuación 2.24, nos damos cuenta que están conformados por otros términos conocidos (el
único término no conocido es el c5,1 el cuál no aparece en la segunda sumatoria). Si no
consideraramos los términos c5,k obtendŕıamos el mismo resultado que al calcular con
la expresión original para δ(0)FO ya que de ésa forma E(x) seŕıa exactamente la derivada
logaŕıtmica de D(x) al orden calculado (n = 4). La única forma de reconciliar los
resultados en éstas dos expansiones (y en otras posibles) es siempre cortar en el mismo
orden en ambas sumatorias (en este caso n = 4), pero al hacer eso estamos perdiendo
información pues los términos c5,k śı son conocidos en la segunda sumatoria. Esto sigue y
sigue término por término pues si conociéramos el término c5,1 en la primera sumatoria,
inmediatamente conoceŕıamos los términos c6,k en la segunda.
Entonces, la expansión alternativa para δ(0)FO nos da el siguiente resultado
δ(0)FO = a(m2τ ) + 5,2025a
2(m2τ ) + 26,3672a3(m2τ ) + 127,0821a
4(m2τ )− 849,1704a5(m2τ ),
(4.11)
con lo que extraemos αFOs (m2τ ) = 0,337.
Ahora veamos el caso de CI. Acá resumamos los logaritmos de la ecuación 4.8 ex-
trayendo en µ2 = Q2 = −m2τx (ver ecuaciones 2.19 y 2.32), aśı
δ(0)CI =∞∑
n=1
cn,1Han(m
2τ ) +
∞∑
n=2
2cn,2Ian(m
2τ ), (4.12)
con
Han(m2τ ) =
12πi
∮|x|=1
dxx (1− x)
3an(−m2τx)
Ian(m2τ ) =
18πi
∮|x|=1
dxx (1− x)
4an(−m2τx). (4.13)
Al igual que en FO en la primera sumatoria (la que tiene que ver con D(m2τx))
conocemos los coeficientes hasta n = 4, mientras que en la segunda (la cual tiene que
ver con E(m2τx)) conocemos hasta n = 5. De la misma forma que antes extraemos el
acoplamiento obteniendo αCIs (m2τ ) = 0,343.
La expansión anterior para Rτ no es única ni privilegiada, podemos seguir con-
truyendo ilimitadamente otras expresiones v́ıa integración por partes. Presentaremos
brevemente otras posibles expansiones y extraeremos αs. Por supuesto el procedimiento
es similar a lo ya expuesto.
39
-
CAPÍTULO 4. TEORÍA DE PERTURBACIONES MEJORADA EN ELCONTORNO MODIFICADA (MCI)
Rτ = −3πi
(∮
|x|=1
dx
4x2(1− x)4(E(m2τx)−D(m
2τx)) +
∮
|x|=1
dx
4x(1− x)4E(m2τx)
)
.
(4.14)
Lo que implica que
δ(0)FO =∑5
n=2 an(m2τ )
∑nk=2 k(k − 1)cn,k(Mk−2 + Ik−2)−
∑4n=1 a
n(m2τ )∑n
k=1 kcn,kMk−1
δ(0)CI =∑5
n=2 2cn,2(Man(m
2τ ) + I
an(m
2τ ))−
∑4n=1 cn,1M
an(m
2τ ), (4.15)
con
Ml ≡1
8πi
∮|x|=1
dxx2 (1− x)
4lnl(−x)
Man(m2τ ) ≡
18πi
∮|x|=1
dxx2 (1− x)
4an(−m2τx). (4.16)
Extrayendo obtenemos αFOs (m2τ ) = 0,323 y α
CIs (m
2τ ) = 0,346.
De la misma forma
Rτ =3πi
10
∮
|x|=1
dx
x2(1− x)4(3 + 2x)(D(m2τx)− E(m
2τx)), (4.17)
lo que implica que
δ(0)FO =∑4
n=1 an(m2τ )
∑nk=1 kcn,kAk−1 −
∑5n=2 a
n(m2τ )∑n
k=2 k(k − 1)cn,kAk−2
δ(0)CI =∑4
n=1 cn,1Aan(m
2τ )− 2
∑5n=2 cn,2A
an(m
2τ ), (4.18)
donde
Al ≡ −1
20πi
∮|x|=1
dxx2 (1− x)
4(3 + 2x)lnl(−x)
Aan(m2τ ) ≡ −
120πi
∮|x|=1
dxx2 (1− x)
4(3 + 2x)an(−m2τx), (4.19)
de lo que extraemos αFOs (m2τ ) = 0,318 y α
CIs (m
2τ ) = 0,348.
Vemos que hay una ambigüedad en la evaluación de δ(0) según cómo integremos,
debido a que después de usar el grupo de renormalización E(m2τx) no es exactamente
la derivada logaŕıtmica de D(m2τx). Debido a esto tenemos diferentes valores extráıdos
para αFOs y αCIs . Por las razones expuestas al final del caṕıtulo anterior, ahora nos
ocuparemos de resolver esta ambigüedad para CI. Esto lo logramos modificando CI,
40
-
implementando un método que llamaremos Teoŕıa de Perturbaciones Mejorada en el
Contorno Modificada (MCI) [6].
Como vimos, el problema de por qué las distintas expansiones dan resultados distintos
es debido a que después de ocupar el grupo de renormalización E(m2τx) no es exacta-
mente la derivada logaŕıtmica de D(m2τx). Una posible solución a esto, es considerar una
expansión en derivadas de a en vez de en potencias de ella. Esta expansión fue introducida
en [36] en el contexto de QCD anaĺıtica. Recordemos la definición de la función beta
da
dlogµ2= −β1a
2(µ2)− β2a3(µ2)− β3a
4(µ2)− β4a5(µ2). (4.20)
Definimos
a2 =−1
β1
da
dlogµ2= a2(µ2) +
β2β1
a3(µ2) +β3β1
a4(µ2) +β4β1
a5.(µ2) (4.21)
De forma similar definimos a3, a4 y a5; que en ésta expansión tomarán el rol de a3, a4 y
a5 respectivamente.
Veamos el valor de la segunda derivada de la función beta
d2a
d(logµ2)2=
da
dlogµ2∂
∂a
(da
dlogµ2
)= 2β21a
3 + 5β1β2a4 + (3β22 + 6β1β3)a
5 + ..., (4.22)
dónde sólo conservamos términos hasta orden 5.
Aśı como lo hicimos antes definimos
a3 =1
2β21
d2a
d(logµ2)2= a3(µ2) +
5β22β1
a4(µ2) +
(3β222β21
+3β3β1
)a5(µ2) + .... (4.23)
Es fácil darse cuenta que nuestros términos de expansión ai serán
an =(−1)n−1
(n− 1)!βn−11
dn−1a(µ2)
d(logµ2)n−1(4.24)
La nueva expansión es de la forma∑
c̃nan. Para que nuestras expansiones sean per-
turbativamente equivalentes necesitamos que
12π2
Nc
(D(m2τx)− 1
)=
4∑
n=1
cn,1an(−m2τx) =
4∑
n=1
c̃n,1an(−m2τx) +O(a
5) (4.25)
41
-
CAPÍTULO 4. TEORÍA DE PERTURBACIONES MEJORADA EN ELCONTORNO MODIFICADA (MCI)
12π2
NcE(m2τx) =
5∑
n=2
2cn,2an(−m2τx) =
5∑
n=2
2c̃n,2an(−m2τx) +O(a
6) (4.26)
Eso nos fija los coeficientes c̃n,i con i = 1, 2. Por conveniencia posterior calcularemos
hasta el coeficiente que acompaña a a5 en una expansión general.
R = 1+r1a+r2a2+r3a
3+r4a4+r5a
5 = 1+r̃1a1+r̃2a2+r̃3a3+r̃4a4+r̃5a5+O(a6). (4.27)
Tenemos que según la definición (ecn. 4.24) y hasta orden a5
a1(−m2τx) = a(−m2τx)
a2(−m2τx) = a2(−m2τx) +
β2β1a3(−m2τx) +
β3β1a4(−m2τx) +
β4β1a5(−m2τx)
a3(−m2τx) = a3(−m2τx) +
5β22β1
a4(−m2τx) +(
3β222β2
1
+ 3β3β1
)a5(−m2τx)
a4(−m2τx) = a4(−m2τx) +
13β23β1
a5(−m2τx)
a5(−m2τx) = a5(−m2τx). (4.28)
Reemplazando lo anterior en ecuación 4.27 tenemos que
r1a+ r2a2 + r3a3 + r4a4 + r5a5 = r̃1a+ r̃2(a2 + β2β1 a
3 + β3β1 a4 + β4β1 a
5)
+r̃3(a3 + 5β22β1 a
4 +(
3β222β2
1
+ 3β3β1
)a5)+ r̃4
(a4 + 13β23β1 a
5)+ r̃5a5 +O(a6), (4.29)
lo que implica después de alguna manipulación que los coeficientes r̃i pueden ser normal-
izados en función de los ri de la siguiente forma
r̃1 = r1
r̃2 = r2
r̃3 = r3 −β2β1r2
r̃4 = r4 −5β22β1
r3 +(
5β222β2
1
− β3β1
)r2
r̃5 = r5 −13β23β1
r4 +(
28β223β2
1
− 3β3β1
)r3 +
(22β2β33β2
1
− 28β32
3β31
− β4β1
)r2. (4.30)
En la ecuación 2.24 tenemos los valores para cn,i, viendo la ecuación anterior obten-
emos que los nuevos coeficientes c̃n,i tienen los siguientes valores
42
-
c̃0,i = c0,i
c̃1,i = c1,i
c̃2,i = c2,i
c̃3,i = c3,i −β2β1c2,i
c̃4,i = c4,i −5β22β1
c3,i +(
5β222β2
1
− β3β1
)c2,i
c̃5,i = c5,i −13β23β1
c4,i +(
28β223β2
1
− 3β3β1
)c3,i +
(22β2β33β2
1
− 28β32
3β31
− β4β1
)c2,i. (4.31)
Ahora demostraremos que con la expansión aśı definida no hay ambigüedad entre
las distintas expresiones para Rτ , todas dan el mismo resultado. Notar quedD̃
dlog(−x) =∑4n=1 c̃n,1
dandlog(−x) ∝
∑5n=2 c̃n−1,1an por lo que viendo la definición de Ẽ(x) (ecn. 4.3 y
ecn 4.26), éste correlador en esta expansión es exactamente la derivada logaŕıtmica de
D̃(x), resolviendo aśı la ambiguedad antes planteada. De todas formas lo chequearemos
expĺıcitamente.
Aśı
D̃(m2τx) =Nc12π2
(1 + c̃1,1a1 + c̃2,1a2 + c̃3,1a3 + c̃4,1a4) , (4.32)
D̃(m2τx) =Nc12π2 (1 + c̃1,1a+ c̃2,1
(−1β1
dadlog(−m2τx)
)
+c̃3,1(
12β2
1
d2ad(log(−m2τx))
2
)+ c̃4,1
(−16β3
1
d3ad(log(−m2τx))
3
)). (4.33)
Ahora derivaremos logaŕıtmicamente la última expresión y veremos si coincide con
nuestra definición de Ẽ(m2τx), si lo hace habremos probado que todas las expresiones que
podamos escribir para Rτ dan el mismo resultado. Derivando obtenemos
dD̃(m2τx)dlog(−m2τx)
= Nc12π2 (c̃1,1da
dlog(−m2τx)+ c̃2,1
(−1β1
d2ad(log(−m2τx))
2
)
+c̃3,1(
12β2
1
d3ad(log(−m3τx))
2
)+ c̃4,1
(−16β3
1
d4ad(log(−m2τx))
4
)). (4.34)
Mientras nuestra definición de Ẽ(m2τx) en el nuevo enfoque es (ver ecuaciones 4.6 y 4.26)
Ẽ(m2τx) =Nc12π2 (2c̃2,2
(−1β1
dadlog(−m2τx)
)+ 2c̃3,2
(1
2β21
d2ad(log(−m2τx))
2
)
+2c̃4,2(
−16β3
1
d3ad(log(−m3τx))
2
)+ 2c̃5,2
(1
24β41
d4ad(log(−m2τx))
4
)), (4.35)
por lo que tenemos que para que las dos expresiones anteriores sean iguales, necesitamos
que
43
-
CAPÍTULO 4. TEORÍA DE PERTURBACIONES MEJORADA EN ELCONTORNO MODIFICADA (MCI)
c̃1,1 = −2β1c̃2,2
c̃2,1 = −1β1c̃3,2
c̃3,1 = −2
3β1c̃4,2
c̃4,1 = −1
2β1c̃5,2,
(4.36)
y en general, viendo como definimos D̃(m2τx), Ẽ(m2τx) y los parámetros de expansión an,
necesitamos que
c̃n,1 =−2(n− 1)!
n!β1c̃n+1,2. (4.37)
!3 !2 !1 0 1 2 30.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.10
0.11
0.12
theta
Re!a"theta#$ y Re!a1"theta#$
Figura 4.1: Re(a) (ĺınea continua) y Re(a1) (ĺınea punteada) en función de la posición sobre el
contorno de integración |x| = 1 (θ). a está evaluado en αCI(m2τ ) y a1 en αMCI(m
2τ ).
Comprobemos que las ecuaciones anteriores se satisfacen. De las definiciones de los
coeficientes c̃n,i en términos de los cn,i (ecn. 4.31) y de las definiciones de éstos últimos
en términos de los coeficientes cn,1 (ecn. 2.24) tenemos
44
-
!3 !2 !1 0 1 2 3
!0.04
!0.02
0.00
0.02
0.04
theta
Im!a"theta#$ y Im!a1"theta#$
Figura 4.2: Im(a) (ĺınea continua) y Im(a1) (ĺınea punteada) en función de la posición sobre el
contorno de integración |x| = 1 (θ). a está evaluado en αCI(m2τ ) y a1 en αMCI(m
2τ )
c̃2,2 = c2,2 = −β12c1,1 = −
β12c̃1,1 → c̃1,1 = −
2
β1c̃2,2, (4.38)
con eso comprobamos la primera condición en ecuación 4.36.
Ahora veamos la segunda
c̃3,2 = c3,2 −β2β1
c2,2 =
(−β22c1,1 − β1c2,1
)−β2β1
(−β12c1,1
),
aśı tenemos
c̃3,2 = −β1c2,1 = −β1c̃2,1 → c̃2,1 = −1
β1c̃3,2, (4.39)
aśı comprobamos la segunda condición en ecuación 4.36.
Veamos la tercera
c̃4,2 = c4,2 −5β22β1
c3,2 +(
5β222β2
1
− β3β1
)c2,2
=(−β32 c1,1 − β2c2,1 −
32β1c3,1
)− 5β22β1
(− 12β2c1,1 − β1c2,1
)+(
5β222β2
1
− β3β1
) (− 12β1c1,1
).
45
-
CAPÍTULO 4. TEORÍA DE PERTURBACIONES MEJORADA EN ELCONTORNO MODIFICADA (MCI)
!3 !2 !1 0 1 2 30.000
0.005
0.010
0.015
theta
Re!a2"theta#$ y Re!a2"theta#$
Figura 4.3: Re(a2) (ĺınea continua) y Re(a2) (ĺınea punteada) en función de la posición sobre
el contorno de integración |x| = 1 (θ). a2 está evaluado en αCI(m2τ ) y a2 en
αMCI(m2τ )
Desarrollando lo anterior obtenemos
c̃4,2 = −3
2β1
(c3,1 −
β2β1
c2,1
)= −
3
2β1c̃3,1 → c̃3,1 = −
2
3β1c̃4,2, (4.40)
de esa forma comprobamos la tercera condición en ecuación 4.36.
Por último
c̃5,2 = c5,2 −13β23β1
c4,2 +(
28β223β2
1
− 3β3β1
)c3,2 +
(22β2β33β2
1
− 28β32
3β31
− β4β1
)c2,2
=(− 12β4c1,1 − β3c2,1 −
32β2c3,1 − 2β1c4,1
)− 13β23β1
(− 12β3c1,1 − β2c2,1 −
32β1c3,1
)
(28β223β2
1
− 3β3β1
) (− 12β2c1,1 − β1c2,1
)+(
22β2β33β2
1
− 28β32
3β31
− β4β1
) (− 12β1c1,1
), (4.41)
tras desarrollar los términos obtenemos
46
-
!3 !2 !1 0 1 2 3!0.010
!0.005
0.000
0.005
0.010
theta
Im!a2"theta#$ y Im!a2"theta#$
Figura 4.4: Im(a2) (ĺınea continua) y Im(a2) (ĺınea punteada) en función de la posición sobre
el contorno de integración |x| = 1 (θ). a2 está evaluado en αCI(m2τ ) y a2 en
αMCI(m2τ )
c̃5,2 = −2β1(c4,1 −
5β22β1
c3,1 +(
5β222β2
1
− β3β1
)c2,1)
c̃5,2 = −2β1c̃4,1 → c̃4,1 = −1
2β1c̃5,2. (4.42)
Con esto hemos comprobado que con esta nueva expansión Ẽ(m2τx) después de usar
el grupo de renormalización es exactamente la derivada logaŕıtmica de Ẽ(m2τx), con
lo que obtendremos el mismo resultado para Rτ en todas sus formulaciones, ya que al
integrar por partes no cambia el valor de la integral.
Ahora compararemos el valor extráıdo de αs usando CI y MCI. También veremos
qué enfoque presenta una mejor convergencia.
Ya que todas las anteriores definiciones de Rτ dan el mismo resultado usando el
enfoque MCI, definiremos
47
-
CAPÍTULO 4. TEORÍA DE PERTURBACIONES MEJORADA EN ELCONTORNO MODIFICADA (MCI)
n 1 2 3 4 total αs
δ(0)CI 0.1513 0.0308 0.0128 0.0090 0.2038 0.347
δ(0)MCI 0.1484 0.0372 0.0104 0.0078 0.2039 0.341
Cuadro 4.1: Comparación a orden n de los distintos términos en las expansiones CI y MCI
c5,1 c̃5,1∑4
n=1 δ(0)CI
∑5n=1 δ
(0)CI δ
(0)n=5CI
∑4n=1 δ
(0)MCI
∑5n=1 δ
(0)MCI δ
(0)n=5MCI
Mı́n 50 -250 0.2038 0.2045 0.0007 0.2039 0.2024 -0.0015
FAC 145 -155 0.2038 0.2059 0.0021 0.2039 0.2030 -0.0009
PMS 275 -25 0.2038 0.2077 0.0039 0.2039 0.2037 -0.0002
Máx 670 370 0.2038 0.2131 0.0093 0.2039 0.2060 0.0021
Cuadro 4.2: Comparación de los efectos en la inclusión de diferentes números para c5,1 en las
expansiones CI y MCI para δ(0)
δ(0)MCI =4∑
n=1
c̃n,1J̃an(m
2τ ), (4.43)
donde en analoǵıa a ecuación 2.33 definimos
J̃an(m2τ ) ≡
1
2πi
∮
|x|=1
dx
x(1− x)3(1 + x)an(−m
2τx). (4.44)
Usando los valores conocidos de los coeficientes cn,1 y la
ecuación 4.31 tenemos que los valores numéricos de los coeficientes c̃n,1 son los sigu-
ientes
c̃1,1 = 1
c̃2,1 = 1,640
c̃3,1 = 3,456
c̃4,1 = 26,385. (4.45)
Con lo anterior podemos extraer αMCIs (m2τ ) imponiendo que δ
(0)MCI = δ
(0)exp = 0,204
con lo que obtenemos αMCIs (m2τ ) = 0,341. Este valor es 0.006 menor que el valor
estándar obtenido usando CI (0.347) y está
