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Indice general

Introduccion IX

1. Integral de Riemann 1

1.1. Resumen teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1. Particiones de un intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.2. Sumas inferiores y superiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.3. Funciones integrables. Integral definida de Riemann . . . . . 4

1.1.4. Propiedades de la integral definida . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.5. Funcion integral. Funcion primitiva . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.6. Primer Teorema Fundamental del Calculo . . . . . . . . . . . 7

1.1.7. Segundo Teorema Fundamental del Calculo . . . . . . . . . . 7

1.1.8. Promedio integral. Teorema del valor medio . . . . . . . . . . 7

1.1.9. Integral indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.10. Sumatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2. Cuestiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.4. Ejercicios resueltos con DERIVE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

1.5. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

2. Metodos de Integracion 75

2.1. Resumen teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

2.1.1. Metodo de integracion por partes . . . . . . . . . . . . . . . . 76

2.1.2. Integracion de funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . 76

2.1.3. Metodo de sustitucion o cambio de variable. . . . . . . . . . 80

2.1.4. Integracion de funciones trigonometricas. . . . . . . . . . . . 80

2.1.5. Integracion de algunos tipos de funciones irracionales. . . . . 82

2.2. Cuestiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

2.3. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

2.4. Ejercicios resueltos con DERIVE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

2.5. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

vii

viii Indıce

3. Aplicaciones del Calculo Integral 131

3.1. Resumen teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1323.1.1. Calculo de areas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1323.1.2. Longitud de un arco de curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1353.1.3. Superficies de revolucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1353.1.4. Volumen de un solido de revolucion . . . . . . . . . . . . . . 1363.1.5. Aplicaciones economicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1363.1.6. Movimiento rectilıneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

3.2. Cuestiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1383.3. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1463.4. Ejercicios resueltos con DERIVE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1673.5. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

4. Integrales Impropias 185

4.1. Resumen teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1864.1.1. Concepto de integral impropia . . . . . . . . . . . . . . . . . 1864.1.2. Integrales impropias de 1a especie. . . . . . . . . . . . . . . . 1864.1.3. Integrales impropias de 2a especie . . . . . . . . . . . . . . . 1904.1.4. Integrales eulerianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194


5. Integrales Dobles 235

5.1. Resumen teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2365.1.1. Particiones de un rectangulo. Sumas inferiores y superiores . 2365.1.2. Funciones integrables. Integral Doble. Propiedades . . . . . . 2385.1.3. Integrales iteradas. Teorema de Fubbini . . . . . . . . . . . . 2405.1.4. Integrales dobles sobre recintos no rectangulares . . . . . . . 2425.1.5. Cambios de variables en integrales dobles. . . . . . . . . . . . 2445.1.6. Algunas aplicaciones de las integrales dobles. . . . . . . . . . 246


A. Sistemas de calculo algebraico. DERIVE 293

A.1. Introduccion a los sistemas de calculo algebraico . . . . . . . . . . . 293A.2. Manejo basico del programa de calculo simbolico DERIVE. . . . . . 296

Bibliografıa 311

INTRODUCCION

La integral definida es el instrumento matematico adecuado para resolver elproblema clasico de la medida de magnitudes geometricas. Los orıgenes del calculointegral pueden situarse en la antigua Grecia. Arquımides, interesado en problemassobre cuadraturas ideo el denominado metodo de exhaucion para determinar el areade un recinto plano. Este metodo consiste en inscribir y circunscribir en el recintoregiones poligonales cada vez mas proximas a el y con areas sencillas de calcular.El desarrollo del Calculo y de la Geometrıa Analıtica hicieron posible transformarlos problemas de calculo de areas de figuras planas en operaciones ligadas a curvasrepresentadas por ecuaciones, dandose el paso definitivo hacia el calculo integraltal como se conoce en la actualidad. Hoy en dıa, el calculo integral se utiliza pararesolver a nivel matematico numerosos problemas de la vida real resultando impres-cindible tanto en las Ciencias en general como en la Ingenierıas.

La aparicion de los ordenadores en la segunda mitad del siglo XX ha provocadouna autentica revolucion tecnologica en numerosos aspectos de nuestra cultura. Laensenanza de las Matematicas no ha quedado ajena a su influencia, prueba de elloson los numerosos programas informaticos que se han venido utilizando para mejo-rar tanto los procesos de ensenanza y aprendizaje como la investigacion en esta areade conocimiento. Desde los primeros paquetes informaticos utilizados en los grandesordenadores, pasando por los tutoriales, los juegos de ordenador y los lenguajes deprogramacion [Kaput, 1992], el uso de estas nuevas tecnologıas ha tenido como ob-jetivo fundamental aprovechar las ventajas que ofrece el medio computacional parafacilitar la exploracion, el calculo, la experimentacion, la resolucion de problemas yla modelizacion matematica. Aunque algunos matematicos han considerado que eluso de los ordenadores en la ensenanza de las Matematicas es claramente nocivo, sinembargo, para otros la utilizacion de estos recursos informaticos puede ser muy bene-ficiosa para la ensenanza si se tienen en cuenta los peligros y ventajas que se derivande la utilizacion de estas herramientas tecnologicas [Guzman, 1992], [Ortega, 2002a].

Los programas mas utilizados en la actualidad para la ensenanza de las Ma-tematicas se encuadran dentro de un grupo de programas denominados sistemasde calculo algebraico (en ingles Computer Algebra System, CAS). Las posibilidadessimbolicas, numericas y graficas que ofrecen este tipo de programas estan provo-cando numerosos cambios en la ensenanza y aprendizaje de esta disciplina. Estos

x Problemas de calculo integral

cambios giran en torno a dos aspectos basicos de la ensenanza de las Matematicas:¿que destrezas basicas se deberıan ensenar en el aula? y ¿cual serıa la forma masadecuada de ensenarlas? Incorporar un CAS en el aula de Matematicas requiere undiseno metodologico que evite los peligros asociados al uso de este tipo de sistemasy facilite un aprendizaje experimental que ayude al alumno a progresar en nivelessuperiores del pensamiento formal, evitando numerosos calculos rutinarios inutiles[Guzman, 1992], [Ortega, 2002b].

En este contexto tecnologico, hemos elaborado una coleccion de cuestiones yejercicios basados en un curso elemental de calculo integral. Teniendo en cuenta lasposibilidades que ofrecen los sistemas de calculo algebraico en la resolucion de pro-blemas de calculo integral, sobre todo desde el punto de vista grafico, y sin olvidarla importancia de la resolucion con lapiz y papel de este tipo de problemas, hemosrecopilado una coleccion de problemas y ejercicios utilizados en los ultimos anos enla asignatura Matematicas I de las Licenciaturas de Economıa y Administracion yDireccion de Empresas de la Universidad Autonoma de Madrid. A esta coleccion decuestiones y ejercicios le hemos anadido una coleccion de ejercicios para resolver conel CAS DERIVE. Hemos seleccionado dicho sistema porque es el que se ha venidoutilizando a lo largo de los ultimos anos en diversos cursos y clases practicas imparti-das en esta asignatura y por la enorme aceptacion que ha tenido entre los estudiantes.

Los contenidos de Problemas de Calculo Integral estan dirigidos a alumnos deprimeros cursos de Grados en los que se imparte un curso basico de calculo integral.

El libro consta de cinco capıtulos y un apendice. La estructura de cada uno delos capıtulos es identica y se compone de las siguientes partes:

1. Resumen teorico

En donde se incluyen ordenadamente algunas definiciones, teoremas y resulta-dos teoricos basicos e imprescindibles para obtener un rendimiento adecuadoen la parte practica de cada capıtulo.

2. Cuestiones teoricas

En esta seccion se incluye una coleccion de 10 cuestiones teoricas de tipo“test”, mediante las cuales el lector puede autoevaluar el nivel de conocimientosteoricos que tiene en cada bloque tematico. Asimismo sirve para resaltar lasrelaciones que existen entre los principales conceptos del calculo integral. Cadacuestion teorica contiene tres o cuatro respuestas de las cuales al menos una escorrecta en sus contenidos y en sus razonamientos. Despues de cada enunciadose incluye la solucion correcta y el razonamiento sobre la verdad o falsedad decada uno de los ıtems propuestos como solucion.

Introduccion xi

3. Ejercicios resueltos.

En este bloque de ejercicios se proponen diversos problemas que permitenpracticar y profundizar en las tecnicas y procedimientos basicos de calculopropios del calculo integral. Se proponen ejercicios para resolver de formaclasica con “lapiz y papel”, y por este motivo se han elegido de forma quelos calculos rutinarios no sean excesivamente complicados para su ejecucion.En ocasiones se han presentado ejercicios de tipo teorico para resaltar o aclararlos resultados que presentan los diferentes teoremas basicos del calculo integral.

4. Ejercicios resueltos con DERIVE.

En este apartado se presentan varios ejercicios para resolver utilizando lastecnicas del programa de calculo simbolico DERIVE. En este tipo de ejer-cicios, los calculos rutinarios se dejan para el sistema, ası, el alumno puedecentrar sus esfuerzos en los procedimientos y resultados fundamentales. Todoslos pasos para la resolucion de dichos ejercicios se han detallado para facilitarsu comprension. Debemos senalar que existen tres tipos de textos dentro dela solucion de estos ejercicios: 1) textos entrecomillados y en letra romanica(contienen la secuencia literal de caracteres que el usuario debe introducir enel programa), 2) textos o palabras en mayusculas (indican los comandos osecuencias de comandos que debemos aplicar y 3) textos en italica en lıneaaparte y precedidos por # y un numero (contienen el resultado que obtenemosal introducir un texto o simplificar una expresion). Los comandos y funcionesespecıficas del programa se explican de forma detallada.

5. Ejercicios propuestos.

Finalmente, al terminar cada capıtulo, se proponen un conjunto de ejerciciospropuestos de una naturaleza similar a los ejercicios resueltos y ejercicios re-sueltos con DERIVE. La solucion de todos los problemas propuestos se puedeencontrar en la pagina web asociada a esta publicacion por la editorial.

Los capıtulos del libro se han elegido de tal forma que constituyen un curso basi-co de calculo integral. El primer capıtulo introduce los conceptos fundamentales dela integral de Riemman. Se definen las particiones de un intevalo, las sumas superio-res e inferiores. Se calculan, utilizando la definicion, algunas integrales definidas; seanaliza la integrabilidad de funciones y se presentan los teoremas clasicos del calculointegral. En el segundo capıtulo nos centramos en las tecnicas basicas del calculo deprimitivas, se describe detalladamente el metodo de integracion por partes, la inte-gracion de funciones racionales y el metodo de integracion por sustitucion. El tercercapıtulo se dedica a las aplicaciones basicas del calculo integral dedicandole un espe-cial interes al calculo de areas y a las aplicaciones economicas del calculo integral. Elcuarto capıtulo esta dedicado a las integrales denominadas impropias y a las Eule-

xii Problemas de calculo integral

rianas y finalmente en el Capıtulo 5 se realiza un introduccion a las integrales dobles.

El libro, finaliza con un apendice dividido en dos secciones. En la primera sec-cion se presenta una pequena introduccion sobre los sistemas de calculo algebraicoy su evolucion. La segunda seccion contiene un manual basico para la utilizacion delprograma DERIVE.

Agradecemos a todos aquellos que, de alguna forma han contribuido a que es-te texto sea una realidad. En primer lugar, a nuestros companeros de docencia delDepartamento de Analisis Economico: Economıa Cuantitativa de la UniversidadAutonoma de Madrid, a nuestros alumnos, que son realmente los destinatarios deesta coleccion de problemas. Son ellos los que motivan nuestra labor docente y eltrabajo diario en la facultad. Finalmente agradecer a nuestras familias, porque granparte del tiempo que hemos invertido, ha sido en detrimento de su atencion.

Madrid, marzo de 2010.

Pedro Ortega Pulido

Juan Fco. Serra Cunat

Capıtulo 1

Integral de Riemann

1.1 Resumen teorico

1.2 Cuestiones

1.3 Ejercicios resueltos

1.4 Ejercicios resueltos con DERIVE

1.5 Ejercicios propuestos

2 Problemas de calculo integral

1.1. Resumen teorico

1.1.1. Particiones de un intervalo

Dado un intervalo [a, b] de R, se llama particion de [a, b] a cualquier conjunto finitoP = {x0, x1, . . . , xn} de puntos de [a, b], tal que

a = x0 < x1 < · · · < xn = b.

La particion P = {x0, x1, . . . , xn}, divide a [a, b] en n subintervalos [xi−1, xi], coni = 1, . . . , n. Se denota por △xi a la longitud del subintervalo i-esimo, es decir,△xi = xi − xi−1. Se llama diametro de la particion P a la mayor de las amplitudes△xi, esto es,

||P || = max{△x1, . . . ,△xn}.

Dadas dos particiones P y Q de un intervalo [a, b], se dice que Q es mas fina que Psi P ⊂ Q. Si P * Q y Q * P, se dice que no son comparables.

Ejemplo.

Los conjuntos P = {0, 1/2, 1} y Q = {0, 1/6, 1/2, 2/3, 1} son dos particiones del intervalo [0, 1].

Ademas Q es mas fina que P pues todos los puntos de P estan contenidos en Q.

Propiedades

Sean P y Q dos particiones del intervalo [a, b], se verifican las siguientes propiedades:

1. Existen particiones de [a, b] mas finas que P y Q simultaneamente (por ejemplo,la particion R = P ∪Q).

2. Si Q es mas fina que P entonces ||Q|| ≤ ||P ||.

3. Los puntos dados por la formula

xi = a + ib− a

n, i = 1, . . . , n

constituyen una particion de [a, b] que divide dicho intervalo en n subintervalosde la misma longitud, por tanto, △xi = xi− xi−1 son iguales y el diametro dela particion ||P || = (b− a)/n. En todos los demas casos ||P || > (b− a)/n.

4. Si el diametro de una particion disminuye entonces el numero de puntos dela particion aumenta, es decir, si ||P || → 0 entonces n → ∞. Sin embargo sin →∞ no implica que ||P || → 0.

Capıtulo 1. Integral de Riemann 3

1.1.2. Sumas inferiores y superiores

Sea f : [a, b]→ R una funcion acotada en [a, b]. Para cada particion P = {x0, . . . , xn}de [a, b] y cada i = 1, . . . , n, existen los numeros:

mi = inf{f(x) : x ∈ [xi−1, xi]}

Mi = sup{f(x) : x ∈ [xi−1, xi]}

Se llama suma inferior de la funcion f correspondiente a la particion P, y se deno-tara por s(P, f), al numero real:

s(P, f) =n

∑

i=1

mi(xi − xi−1).

Se llama suma superior de la funcion f correspondiente a la particion P, y se deno-tara por S(P, f), al numero real:

S(P, f) =n

∑

i=1

Mi(xi − xi−1).

Si f es continua en [a, b] entonces:

mi = mın{f(x) : x ∈ [xi−1, xi]}; Mi = max{f(x) : x ∈ [xi−1, xi]}.

Propiedades

Las sumas inferiores y superiores que acabamos de definir verifican las siguientespropiedades:

1. s(P, f) ≤ S(P, f) para toda particion P de [a, b].

2. Para cualquier particion P = {x0, x1, . . . , xn} de [a, b], se verifica que:

m(b− a) ≤ s(P, f) ≤ S(P, f) ≤ M(b− a)

donde m y M son el ınfimo (mınimo si f es continua en [a, b]) y el supremo(maximo si f es continua en [a, b]) de f en [a, b].

3. Si P y Q son dos particiones de [a, b] de modo que Q es mas fina que P,entonces:

s(P, f) ≤ s(Q, f) y S(Q, f) ≤ S(P, f).

4. Para todo par de particiones P y Q de [a, b], se verifica que:

s(P, f) ≤ S(Q, f).


1.1.3. Funciones integrables. Integral definida de Riemann

Condicion de integrabilidad de Riemann.

Una funcion acotada f : [a, b] → R es integrable (Riemann) en [a, b] si y solo si paracada ǫ > 0 existe una particion Pǫ de [a, b] tal que S(Pǫ, f)− s(Pǫ, f) < ǫ. Es decir,la diferencia entre las sumas superiores y las sumas inferiores se hace tan pequenacomo queramos, con tal de elegir las particiones adecuadas.

Integral inferior e integral superior.

Sea f : [a, b] → R una funcion acotada en el intervalo [a, b]. Las sumas inferioress(P, f) y las sumas superiores S(P, f) de f, correspondientes a todas las particionesP de [a, b], forman dos conjuntos acotados. Se llama:

Integral inferior de f en [a, b] =

∫ b

af = sup{s(P ) : P es particion de [a, b]}

Integral superior de f en [a, b] =

∫ b

af = inf{S(P ) : P es particion de [a, b]}

Una funcion f : [a, b] → R acotada en [a, b] es integrable en el sentido de Riemann,si son iguales sus integrales inferior y superior en [a, b]. Se dice entonces que estenumero real es la integral definida de f en [a, b] y se representa por:

∫ b

af o

∫ b

af(x) dx

La integral como lımite de sumas.

Sea f : [a, b]→ R una funcion acotada en el intervalo [a, b]. La funcion f es integrableen [a, b] si y solo si, existe alguna sucesion P1, P2, . . . , Pn, . . . , de particiones de [a, b]tal que:

lımn→+∞

s(Pn, f) = lımn→+∞

S(Pn, f).

Si f es integrable en [a, b] entonces:

∫ b

af = lım

n→+∞s(Pn, f) = lım

n→+∞S(Pn, f).

Con frecuencia las sumas superiores e inferiores son difıciles de calcular y se reem-plazan por otras sumas, denominadas sumas de Riemann en las que se sustituyenlos valores mi, Mi por un valor cualquiera que toma la funcion en cada uno de lossubintervalos de la particion.


La integral como lımite de las sumas de Riemann.

Sea f : [a, b] → R una funcion acotada en el intervalo [a, b] y sea x∗i un puntocualquiera del subintervalo i-esimo [xi−1, xi] de una particion P de [a, b]. Se definela suma de Riemann de f correspondiente a la particion P como:

SR(P, f) =n

∑

i=1

f(x∗i )(xi − xi−1).

Si existe

lım||P ||→0

n∑

i=1

f(x∗i )(xi − xi−1)

decimos que f es integrable en [a, b]. En tal caso la integral definida de f entre a yb vale:

∫ b

af = lım

||P ||→0

n∑

i=1

f(x∗i )(xi − xi−1) = lımn→+∞

n∑

i=1

f(x∗i )(xi − xi−1).

Teoremas de integrabilidad.

Sea f : [a, b]→ R una funcion acotada en [a, b].

1. Si f : [a, b] → R es una funcion monotona en el intervalo [a, b], entonces f esintegrable en [a, b].

2. Si f : [a, b] → R es una funcion continua en el intervalo [a, b], entonces f esintegrable en [a, b].

3. Si f : [a, b] → R es continua en [a, b]− F, con F un conjunto finito de puntosde [a, b], entonces f es integrable en [a, b].

1.1.4. Propiedades de la integral definida

Sean f y g dos funciones integrables en [a, b], entonces se verifica que:

1.

∫ a

af(x)dx = 0 y

∫ b

af(x)dx = −

∫ a

bf(x)dx

2. Linealidad∫ b

ak · f(x)dx = k

∫ b

af(x)dx para todo k ∈ R

∫ b

a[f(x) + g(x)]dx =

∫ b

af(x)dx +

∫ b

ag(x)dx.


3.

∫ b

af(x)dx =

∫ c

af(x)dx +

∫ b

cf(x)dx, c ∈ (a, b).

4. Invarianza frente a traslaciones.∫ b

af(x)dx =

∫ b+c

a+cf(x− c)dx, para todo c ∈ R.

Propiedades de comparacion:

1. Si f(x) ≤ g(x) para todo x ∈ [a, b] entonces:

∫ b

af(x)dx ≤

∫ b

ag(x)dx.

2. La funcion |f |(x) = |f(x)| es integrable en [a, b] y se verifica:

∣

∣

∣

∣

∫ b

af(x)dx

∣

∣

∣

∣

≤∫ b

a|f(x)|dx.

3. Sea f una funcion continua en [a, b], si m y M son el mınimo y el maximovalor respectivamente de f en [a, b], se verifica:

m(b− a) ≤∫ b

af(x)dx ≤ M(b− a).

1.1.5. Funcion integral. Funcion primitiva

Funcion integral.

Sea f : [a, b] → R una funcion integrable en el intervalo [a, b]. Se denomina funcionintegral de f en [a, b] a la funcion F : [a, b] → R definida por:

F (x) =

∫ x

af(t)dt.

Funcion primitiva.

Sea f una funcion definida en [a, b] con valores en R. Se dice que una funcion F esuna primitiva de f en [a, b] si y solo si para todo x ∈ [a, b] se verifica que:

F ′(x) = f(x).

Si F es una primitiva de f en [a, b] entonces G(x) = F (x) + C, C ∈ R tambien loes. Por tanto, si f admite una primitiva entonces admite infinitas primitivas.


1.1.6. Primer Teorema Fundamental del Calculo

Sea f una funcion integrable en [a, b] y sea F : [a, b]→ R su funcion integral:

F (x) =

∫ x

af(t)dt.

Entonces:

1. F (x) es continua para todo x ∈ [a, b].

2. Si f es continua en un punto x0 de [a, b] entonces F es derivable en x0 y severifica

F ′(x0) = f(x0).

Si f es continua en [a, b], entonces F es derivable en [a, b] y F ′(x) = f(x) para todox ∈ [a, b]. En este caso se puede afirmar que f tiene primitivas en [a, b], siendo lafuncion integral una de ellas.

1.1.7. Segundo Teorema Fundamental del Calculo

Sea f : [a, b] → R una funcion integrable en el intervalo [a, b] y sea G : [a, b] → Runa funcion primitiva de f en [a, b], entonces se verifica que:

∫ b

af(x)dx = G(b)−G(a).

Este teorema es conocido tambien como regla de Barrow.

1.1.8. Promedio integral. Teorema del valor medio

Sea f : [a, b]→ R integrable, se llama promedio integral o promedio de f en [a, b] alnumero real

µ =1

b− a

∫ b

af(x)dx

Este valor se puede considerar como el lımite de la media aritmetica de los valoresde las ordenadas en los puntos a = x1 < x2 < . . . < xn = b del intervalo [a, b]equidistantes entre sı cuando el numero de puntos crece indefinidamente.

lımn→+∞

f(x1) + f(x2) + · · · f(xn)

n= lım

n→+∞

n∑

i=1

f(xi)△x

n△x=

=1

b− alım

n→+∞

n∑

i=1

f(xi)△x =1

b− a

∫

b

a

f(x) dx.


El siguiente teorema asegura que si f es continua entonces alcanza su promedio enun punto del intervalo.

Teorema del valor medio

Sea f : [a, b] → R una funcion continua en [a, b], entonces existe un punto c ∈ [a, b]tal que

1

b− a

∫ b

af(x)dx = f(c).

1.1.9. Integral indefinida

Al conjunto de todas las primitivas de una funcion f, {F (x) + C, C ∈ R} se ledenomina integral indefinida de f y se representa por:

∫

f(x)dx = F (x) + C.

Propiedades de la integral indefinida

1. Linealidad∫

[f(x) + g(x)]dx =

∫

f(x)dx +

∫

g(x)dx

∫

a f(x)dx = a

∫

f(x)dx, a ∈ R.

2.d

dx

(∫

f(x)dx

)

= f(x).

3. Si f es una funcion derivable, se tiene:∫

f ′(x)dx = f(x) + C.


Integrales indefinidas de uso frecuente

1)

∫

f ′(x)[f(x)]ndx =[f(x)]n+1

n + 1+ C, n 6= −1.

2)

∫

− f ′(x)

[f(x)]2dx =

1

f(x)+ C

3)

∫

f ′(x) ef(x)dx = ef(x) + C

4)

∫

f ′(x)af(x) dx =af(x)

ln(a)+ C

5)

∫

f ′(x)

f(x)dx = ln[f(x)] + C

6)

∫

f ′(x) cos[f(x)] dx = sen[f(x)] + C

7)

∫

f ′(x) sen[f(x)] dx = − cos[f(x)] + C

8)

∫

f ′(x)

cos2[f(x)]dx = tg[f(x)] + C

9)

∫ −f ′(x)

sen2[f(x)]dx = cotg[f(x)] + C

10)

∫

f ′(x)√

1− [f(x)]2= arc sen[f(x)] + C

11)

∫ −f ′(x)√

1− [f(x)]2= arc cos[f(x)] + C

12)

∫

f ′(x)

1 + [f(x)]2dx = arc tg[f(x)] + C

13)

∫ −f ′(x)

1 + [f(x)]2dx = arccotg[f(x)] + C.


1.1.10. Sumatorios

Para expresar la suma de un conjunto de sumandos de una forma compacta se utilizala expresion algebraica denominada sumatorio:

n∑

i=1

ai = a1 + a2 + · · ·+ an.

Propiedades:

1.n

∑

i=1

cai = cn

∑

i=1

ai.

2.

n∑

i=1

(ai ± bi) =

n∑

i=1

ai ±n

∑

i=1

bi.

Formulas de algunas sumas especiales.

1.

n∑

i=1

c = nc.

2.n

∑

i=1

i = 1 + 2 + 3 + · · ·+ n =n(n + 1)

2

3.

n∑

i=1

i2 = 12 + 22 + 32 + · · ·+ n2 =n(n + 1)(2n + 1)

6

4.n

∑

i=1

i3 = 13 + 23 + 33 + · · ·+ n3 =

[

n(n + 1)

2

]2

5.n

∑

i=1

i4 = 14 + 24 + 34 + · · ·+ n4 =n(n + 1)(2n + 1)(3n2 + 3n− 1)

30.


1.2. Cuestiones

1. La funcion

f(x) =

{ −1 si 0 ≤ x ≤ 1

x si 1 < x ≤ 2

es integrable en el intervalo [0, 2].

a) Verdadero, pues la funcion f(x) es acotada en [0, 2] y toda funcion acotadaes integrable.

b) Falso, pues f(x) no es continua en el intervalo [0, 2] y las funciones dis-continuas no tienen primitivas, por lo que no son integrables.

c) Verdadero, ya que f(x) esta acotada en [0, 2] y es continua en todos lospuntos del intervalo [0, 2] excepto en el punto x = 1 y todas las funcionesacotadas y discontinuas en un numero finito de puntos son integrables.

d) Falso, pues f(x) es negativa en el intervalo [0, 1] y solo las funcionespositivas son integrables.

SOLUCION

Respuesta correcta: c).La respuesta a) es incorrecta, la acotacion es una condicion necesaria pero

no suficiente para la integrabilidad de una funcion. La respuesta b) es incorrec-ta, es cierto que si una funcion no es continua en un intervalo entonces no tieneprimitiva en dicho intervalo, pero eso no implica que la funcion no sea inte-grable en dicho intervalo. La respuesta c) es correcta, se cumple una condicionsuficiente de integrabilidad para las funciones acotadas en un intervalo: serdiscontinua en un numero finito de puntos. La respuesta d) es incorrecta puesel signo de una funcion no interviene en la integrabilidad de la misma.

2. Sea f una funcion acotada e integrable en el intervalo [1, 3]. Entonces se puedeasegurar que la funcion F (x) =

∫ x1 f(t)dt es continua en [1, 3].

a) Verdadero, pues F (x) es la funcion integral de f(x) en dicho intervalo,y por el Teorema Fundamental del Calculo Integral se tiene que F (x) escontinua en el intervalo [1, 3].

b) Falso, no tenemos informacion suficiente para garantizar que F (x) seacontinua.

c) Falso, pues la funcion

f(x) =

{

3 si 1 ≤ x < 2

2 si 2 ≤ x ≤ 3


es integrable en [1, 3] y sin embargo su funcion integral no es continua en[1, 3].

SOLUCION

Respuesta correcta: a).La respuesta a) es correcta, pues la funcion integral de una funcion inte-

grable F (x) =∫ x1 f(t)dt siempre es continua. La respuesta b) es incorrecta

como acabamos de ver en el apartado a). La respuesta c) es incorrecta puesla funcion integral de una funcion integrable siempre es continua, de hecho lafuncion integral de f(x) es:

F (x) =

{

3x− 3 si 1 ≤ x < 22x− 1 si 2 ≤ x ≤ 3

que es una funcion continua en [1, 3].

3. Dadas las funciones

f(x) =

1

xsi 1 ≤ x < 2

ex + 2 si 2 ≤ x ≤ 3

F (x) =

{

lnx si 1 ≤ x < 2

ex + 2x + ln 2− e2 − 4 si 2 ≤ x ≤ 3

entonces F (x) es la funcion integral de f en el intervalo [1, 3].

a) Falso, pues f(x) no es continua en [1, 3] y por tanto f(x) no tiene funcionintegral.

b) Verdadero, pues F ′(x) = f(x) para todo x ∈ (1, 2) ∪ (2, 3), F (1) = 0 yademas F (x) es continua en [1,3].

c) Falso, la funcion integral de f(x) en el intervalo [1, 3] es la funcion:

G(x) =

{

lnx + 1 si 1 ≤ x < 2

ex + 2x + ln 2− e2 − 3 si 2 ≤ x ≤ 3

SOLUCION

Respuesta correcta: b).La respuesta a) es incorrecta pues existen funciones discontinuas en un

intervalo cerrado que son integrables y por tanto tienen funcion integral. Lafuncion f(x) por ejemplo es discontinua en x = 2, esta acotada en el intervalo


[1,3], por lo tanto es integrable en dicho intervalo y en consecuencia tienefuncion integral. La respuesta b) es correcta pues F (1) = ln(1) = 0, F (x) escontinua en [1, 3] y ademas F ′(x) = f(x) para todo x ∈ (1, 2) ∪ (2, 3). Larespuesta c) es incorrecta pues G(1) = 1 y en consecuencia no puede ser lafuncion integral de f(x) en el intervalo [1, 3].

4. Sea F (x) =∫ x0 ecos t dt definida para todo R, entonces F es derivable en R

y su derivada es F ′(x) = ecos x .

a) Falso, sin conocer la primitiva de f(t) = ecos t no podemos saber si F esderivable y por tanto no podemos calcular su derivada.

b) Falso, pues aunque F es derivable, su derivada es

F ′(x) =

∫ x

0

(

ecos t) ′ dt = ecos t

∣

∣

x

0= ecos t − e

c) Verdadero, ya que como f(t) = ecos t es una funcion continua entoncesF es derivable y por el Teorema Fundamental del Calculo se tiene queF ′(x) = f(x).

SOLUCION

Respuesta correcta: c).La respuesta a) es incorrecta pues sin conocer la primitiva de f(t) el Teo-

rema Fundamental del Calculo nos da informacion sobre la derivabilidad dela funcion F. La b) es incorrecta pues para calcular la derivada de F primerohay que calcular la integral

∫ x0 ecos t dt y despues derivar respecto de x. La

repuesta c) es correcta pues es cierto que ecos t es una funcion continua enR y por tanto, aplicando el Teorema Fundamental del Calculo, se tiene queF ′(x) = f(x) = ecos x.

5. Dadas las funciones:

f(x) =

{

x2 − x si −1 ≤ x ≤ 1

ln(x) si 1 < x ≤ 3F (x) =

x3

3− x2

2+

5

6si −1 ≤ x ≤ 1

1

x− 1

3si 1 < x ≤ 3

Entonces se verifica que F (x) es una primitiva de f(x) en el intervalo [−1, 3].

a) Falso, pues F (x) no es continua en el intervalo [−1, 3] y por tanto no esderivable en [−1, 3].

b) Falso, ya que F (x) no es derivable en [−1, 3].


c) Verdadero, ya que f(x) es una funcion continua en [−1, 3], y como F (x)es su funcion integral, entonces F (x) es una de sus primitivas.

SOLUCION

Respuesta correcta: c).La respuesta a) es incorrecta pues F (x) sı es continua en [−1, 3]. La respues-

ta b) es incorrecta pues F (x) sı es derivable en [−1, 3] de hecho F ′(x) = f(x).La respuesta c) es correcta pues, efectivamente, aplicando el Teorema Fun-damental del Calculo, como f(x) es continua en [−1, 3] entonces una de susprimitivas es la funcion integral que coincide con F (x).

6. Sea f : R → R una funcion continua en [a, b], (b 6= a) y tal que f(x) > 0 paratodo x ∈ [a, b] entonces

∫ b

af(x)dx > 0.

a) Falso, ya que depende de a y b. Si a < 0 y b > 0, no se verifica.

b) Falso, pues:∫ b

af(x)dx = lım

||P ||→0

n∑

i=1

f(x∗i )(xi − xi−1)

y aunque este lımite existe por ser f integrable en [a, b] (ya que es continuaen [a, b]), su valor puede ser un numero negativo.

c) Verdadero, pues por las propiedades de la integral de Riemann:

0 < m(b− a) ≤∫ b

af(x)dx

verificandose la primera desigualdad por ser m = mın{f(x) : x ∈ [a, b]}mayor que 0.

SOLUCION

Respuesta correcta: c).La respuesta a) es incorrecta, la funcion es integrable en [a, b] y el signo

del valor de la integral no depende de los signos de a y b. La respuesta b) esincorrecta pues sı podemos conocer el signo del valor del lımite sin calcularloya que f(x) > 0 para x ∈ [a, b] lo que obliga a que el valor de dicho lımitesea un numero real positivo. La respuesta c) es correcta, basta aplicar paracomprobarlo las propiedades de la integral de Riemann y tener en cuenta quef(x) > 0 para todo x ∈ [a, b].


7. Dadas las funciones

f(x) =

{

x si 0 ≤ x ≤ 1

ex si 1 < x ≤ 3F (x) =

x2

2si 0 ≤ x ≤ 1

ex − e +1

2si 1 < x ≤ 3

entonces se verifica que F (x) es la funcion integral de f en el intervalo [0, 3].

a) Falso, pues f(x) no es continua en [0, 3] y por tanto no tiene primitivaen dicho intervalo y mucho menos funcion integral.

b) Falso, ya que su funcion integral es la funcion:

G(x) =

x2

2si 0 ≤ x ≤ 1

ex − e si 1 < x ≤ 3

c) Verdadero, pues F ′(x) = f(x) para todo x ∈ (0, 1) ∪ (1, 3), F (0) = 0 yademas F (x) es continua en [1, 3].

SOLUCION

Respuesta correcta: c).La respuesta a) es incorrecta pues f(x) es integrable en [0, 3] ya que

esta acotada y discontinua en x = 1, por tanto, tiene funcion integral endicho intervalo aunque no tenga primitiva. La respuesta (b) es incorrecta puesG(x) no es continua en [0, 3] y para ser funcion integral de f(x) en [0, 3] de-be ser continua. La respuesta (c) es la correcta pues F (x) verifica todas laspropiedades de la funcion integral.

8. Sean las funciones f(x) y F (x) definidas por

f(x) =

{

x2 1 ≤ x < 2

6− x 2 ≤ x ≤ 3F (x) =

x3 + 1

31 ≤ x < 2

6x− x2

2− 7 2 ≤ x ≤ 3

Entonces, F (x) es una primitiva de f(x) en el intervalo [1, 3].

a) Falso, pues F (x) no es la funcion integral de f(x) en el intervalo [1, 3] yaque F (1) = 2/3 6= 0.


b) Verdadero, pues f(x) es continua, F (x) es su funcion integral en [1, 3] ypor tanto por el Teorema Fundamental del Calculo Integral, F (x) es unade sus primitivas en dicho intervalo.

c) Verdadero, pues F (x) es continua y derivable en [1, 3] y F ′(x) = f(x) enel intervalo [1, 3].

SOLUCION

Respuesta correcta: c).La respuesta a) es incorrecta, para ser funcion primitiva de una funcion

en un intervalo no es necesario que dicha funcion sea su funcion integral. Elapartado b) es incorrecto pues aunque f(x) es continua en [1, 3], sin embargoF (x) no es la funcion integral de f(x) en dicho intervalo. La afirmacion delapartado c) es la correcta pues efectivamente F (x) es continua y derivable en[1, 3] y F ′(x) = f(x) en [1, 3].

9. La funcion:

f(x) =

x si −1 ≤ x ≤ 0

ex − 1 si 0 ≤ x < 1

e− x si 1 ≤ x ≤ 2

tiene primitiva en el intervalo [−1, 2] y una de sus primitivas es su funcionintegral en dicho intervalo.

a) Verdadero, pues como f(x) es continua en [−1, 2] entonces es integrabley por el Teorema Fundamental del Calculo integral se verifica que una desus primitivas es su funcion integral.

b) Falso, ya que f(x) no es continua en el intervalo [−1, 2].

c) Falso, aunque f(x) es integrable y tiene primitivas en [−1, 2] sin embargosu funcion integral

F (x) =

x2 − 1

2si −1 ≤ x ≤ 0

ex − x− 3

2si 0 < x ≤ 1

ex− x2

2− 2 si 1 < x ≤ 2

no es primitiva de f(x) ya que no es derivable en x = 0.


SOLUCION

Respuesta correcta: a).La respuesta a) es correcta, por el Teorema Fundamental del Calculo, cuan-

do una funcion es continua en un intervalo entonces una de sus primitivas es sufuncion integral en dicho intervalo. La respuesta b) es incorrecta pues f(x) sı escontinua en [−1, 2]. La respuesta c) es incorrecta pues F (x) no es su funcionintegral.


f(x) =

{

1 si −1 ≤ x < 0

ex + x si 0 ≤ x ≤ 3

F (x) =

x + 1 si −1 ≤ x < 0

ex +x2

2si 0 ≤ x ≤ 3

G(x) =

x + 3 si −1 ≤ x < 0

ex +x2

2+ 2 si 0 ≤ x ≤ 3

Se verifica que F (x) y G(x) son primitivas de f(x) en el intervalo [−1, 3].

a) Falso, pues F (x) no es derivable en x = 0.

b) Verdadero, ya que f(x) es continua en [−1, 3], y como F (x) es su funcionintegral en [−1, 3] y G(x) = F (x) + 2, entonces ambas son primitivas def.

c) Falso, F (x) es la funcion integral de f en [−1, 3] por lo que es primitivade f(x); pero G(x) no es primitiva de f(x) pues no es funcion integral def(x) ya que G(−1) = 2 6= 0.

SOLUCION

Respuesta correcta b).La respuesta a) es incorrecta pues F (x) es derivable en x = 0, ya que F (x)

es continua en x = 0 y F ′−(0) = 1 = F ′+(0). La respuesta b) es correcta, puesefectivamente, F (x) es la funcion integral de f(x) en el intervalo [−1, 3] y comof(x) es continua por el Teorema Fundamental del Calculo Integral, su funcionintegral es una de sus primitivas. Ademas como G(x) = F (x)+2 y F (x) es unaprimitiva de f(x) en el intervalo [−1, 3] entonces G(x) tambien es primitiva def(x) en dicho intervalo. La respuesta c) es incorrecta pues para ser primitiva


de f(x) en el intervalo [−1, 3] no es necesario ser funcion integral de f(x) en[−1, 3], de hecho la funcion integral de una funcion integrable es unica.


1.3. Ejercicios resueltos

1. Sea f(x) = 3x. Dada la particion del intervalo [0, 1], P = {0, 14 , 3

8 , 12 , 3

4 , 1}calcular:

a) △x1, △x2, △x3, △x4, △x5.

b) ||P ||.c) m1, m2, m3, m4, m5, M1, M2, M3, M4, M5.

d) Suma inferior y suma superior de f respecto a P.

SOLUCION

a) △xi = xi − xi−1, i = 1, . . . , n.

△x1 = 14 − 0 = 1

4 .

△x2 = 38 − 1

4 = 18 .

△x3 = 12 − 3

8 = 18 .

△x4 = 34 − 1

2 = 14 .

△x5 = 1− 34 = 1

4 .

b) ||P || = max{△x1, . . . ,△x5} = 14 .

c) f es continua y acotada en [0, 1]. El Teorema de Weierstrass nos garantizala existencia de mi, Mi en cada uno de los subintervalos [xi−1, xi] parai = 1, . . . , n. Por ser f creciente en [0, 1] se tiene que mi sera la imagendel extremo inferior de cada subintervalo y Mi sera la imagen del extremosuperior. Por tanto:

m1 = 0, M1 = 34 ,

m2 = 34 , M2 = 9

8

m3 = 98 , M3 = 3

2

m4 = 32 , M4 = 9

4

m5 = 94 , M5 = 3.


d)

s(P, f) =5

∑

i=1

mi△xi = 0 · 14

+3

4· 18

+9

8· 18

+3

2· 14

+9

4· 14

=75

64.

S(P, f) =

5∑

i=1

Mi△xi =3

4· 14

+9

8· 18

+3

2· 18

+9

4· 14

+ 3 · 14

=117

64.

2. Hallar la suma superior y la suma inferior de cada una de las siguientes fun-ciones en el intervalo y para la particion indicada.

a) f(x) = 1− x2, x ∈ [0, 1], P = {0, 14 , 1

2 , 34 , 1}.

b) g(x) =√

x, x ∈ [0, 1], Q = {0, 125 , 4

25 , 925 , 16

25 , 1}.

SOLUCION

a) f(x) es continua y acotada en [0, 1]. El Teorema de Weierstrass nosgarantiza la existencia de mi y Mi en cada uno de los subintervalos[xi−1, xi], i = 1, . . . n.

f es decreciente en [0, 1] ya que f ′(x) < 0 para x ∈ (0, 1] por tanto mi

sera la imagen del extremo superior de cada subintervalo y Mi la imagendel extremo inferior.

m1 = 1516 , M1 = 1

m2 = 34 , M2 = 15

16

m3 = 716 , M3 = 3

4

m4 = 0, M4 = 716 .

s(P, f) =15

16· 14

+3

4· 14

+7

16· 14

+ 0 · 14

=34

64

S(P, f) = 1 · 14

+15

16· 14

+3

4· 14

+7

16· 14

=50

64.

b) g(x) es continua y acotada en [0, 1]. El Teorema de Weierstrass nosgarantiza la existencia de mi y Mi en cada uno de los subintervalos[xi−1, xi], i = 1, . . . n.

g es creciente en [0, 1] ya que g′(x) > 0 para x ∈ (0, 1] por tanto mi

sera la imagen del extremo inferior de cada subintervalo y Mi la imagen


del extremo superior.

m1 = 0, M1 = 15

m2 = 15 , M2 = 2

5

m3 = 25 , M3 = 3

5

m4 = 35 , M4 = 4

5

m5 = 45 , M5 = 1.

s(Q, g) = 0 · 1

25+

1

5· 3

25+

2

5· 5

25+

3

5· 7

25+

4

5· 9

25=

70

125

S(Q, g) =1

5· 1

25+

2

5· 3

25+

3

5· 5

25+

4

5· 7

25+ 1 · 9

25=

95

125.

3. Dada la funcion f(x) = −x2 + 2x y las particiones del intervalo [0, 2],P = {0, 1

2 , 1, 32 , 2} y Q = {0, 1

2 , 1, 32 , 7

4 , 2}. Se pide:

a) Comprobar que s(P, f) ≤ s(Q, f) y que S(Q, f) ≤ S(P, f).

b) Demostrar que dadas dos particiones R y M cualesquiera del intervalo[0, 2] se verifica que s(R, f) ≤ S(M,f).

SOLUCION

a) La funcion f(x) = −x2 + 2x es continua en [0, 2], corta al eje de abscisasen los puntos x = 0 y x = 2 y ademas por tratarse de una parabola cuyovertice esta situado en el punto (1, 1) se deduce que es creciente en [0, 1)y decreciente en (1, 2].

La particion P divide al intervalo [0, 2] en 4 subintervalos de longitud 12 .

Considerando el comportamiento de f en [0, 2] se tiene que:

m1 = f(0) = 0, M1 = f(12) = 3

4

m2 = f(12) = 3

4 , M2 = f(1) = 1

m3 = f(32) = 3

4 , M3 = f(1) = 1

m4 = f(2) = 0, M4 = f(32) = 3

4 .

La particion Q divide al intervalo [0, 2] en 5 subintervalos de longitud12 para los 3 primeros y 1

4 para los dos ultimos. Teniendo en cuenta el


comportamiento de f en [0, 2] tenemos:

m1 = f(0) = 0, M1 = f(12) = 3

4

m2 = f(12) = 3

4 , M2 = f(1) = 1

m3 = f(32) = 3

4 , M3 = f(1) = 1

m4 = f(74) = 7

16 , M4 = f(32) = 3

4

m5 = f(2) = 0, M5 = f(74) = 7

16 .

s(P, f) =4

∑

i=1

mi△xi = 0 · 12

+3

4· 12

+3

4· 12

+ 0 · 12

=6

8.

S(P, f) =4

∑

i=1

Mi△xi =3

4· 12

+ 1 · 12

+ 1 · 12

+15

16· 12

=59

32.

s(Q, f) =

5∑

i=1

mi△i = 0 · 12

+3

4· 12

+3

4· 12

+7

16· 14

+ 0 · 14

=55

64.

S(Q, f) =

5∑

i=1

mi△i =3

4· 12

+ 1 · 12

+ 1 · 12

+3

4· 14

+7

16· 14

=107

64.

Por tanto, se cumple que s(P, f) ≤ s(Q, f) y que S(Q, f) ≤ S(P, f).

b) La particion T = R ∪M es mas fina que R y M por la propiedad 3 delas sumas inferiores y superiores se tiene que:

s(R, f) ≤ s(T, f) ≤ S(T, f) ≤ S(M,f).

4. Analizar si la funcion:

f(x) =

{

2 x ∈ Q

3 x ∈ R−Q

es integrable en el intervalo [−1, 1].

SOLUCION

f(x) presenta un numero infinito de discontinuidades en [−1, 1]. La particion

Pn =

{

−1, −1 +2

n, −1 +

4

n, · · · ,−1 +

2(n− 1)

n, 1

}


divide al intervalo [−1, 1] en n subintervalos de la misma longitud △xi = 2n .

Como en cada subintervalo hay numeros racionales e irracionales, el valor Mi

en cada subintervalo es 3 y el valor mi es 2. Las suma inferior y superior deRiemman de f asociadas a la particion Pn son:

s(Pn, f) =n

∑

i=1

mi△xi =n

∑

i=1

22

n=

4

n

n∑

i=1

1 =4

nn = 4

S(Pn, f) =n

∑

i=1

Mi△xi =n

∑

i=1

32

n=

6

n

n∑

i=1

1 =6

nn = 6.

Luegolım

n→+∞[S(Pn, f)− s(Pn, f)] = lım

n→+∞[6− 4] = 2 6= 0

por tanto, f no es integrable en [−1, 1].

5. Calcular el area bajo la grafica de las funciones dadas en el intervalo indicadoutilizando el lımite de las sumas de Riemann.

a) f(x) = x2, x ∈ [0, 2].

b) g(x) = x2 + 2x x ∈ [1, 2].

SOLUCION

Sea f una funcion continua y no negativa en [a, b]. Se define el area A bajo lagrafica en el intervalo [a, b] como

A = lım||P ||→0

n∑

i=1

f(x∗i )△xi.

Donde x∗i es un punto cualquiera de cada subintervalo (incluidos los extremos).Para facilitar el calculo de este lımite es conveniente dividir el intervalo [a, b]en n subintervalos de igual longitud y tomar x∗i como la frontera derecha decada subintervalo (tambien se podrıa tomar la frontera izquierda o el puntomedio).

a) f(x) es continua y no negativa en [0, 2]. Dividimos el intervalo [0, 2] en nsubintervalos de igual longitud

△xi =2− 0

n=

2

n, i = 1, . . . , n.

Los subintervalos de la particion son de la forma[

0 +2

n(i− 1), 0 +

2

ni

]

, i = 1, . . . , n.


Tomando x∗i como la frontera derecha de cada subintervalo tenemos:

A = lım||P ||→0

n∑

i=1

f

(

0 +2

ni

)

2

n= lım

n→+∞

n∑

i=1

f

(

0 +2

ni

)

2

n.

Ahora bien, f

(

0 +2

ni

)

=4

n2i2 sustituyendo queda:

lımn→+∞

n∑

i=1

(

4

n2i2)

2

n= lım

n→+∞8

n3

n∑

i=1

i2 = lımn→+∞

8

n3·n(n + 1)(2n + 1)

6=

8

3.

b) g(x) es continua y no negativa en [1, 2]. Dividimos el intervalo [1, 2] en nsubintervalos de igual longitud

△xi =2− 1

n=

1

n, i = 1, . . . , n.

Los subintervalos de la particion son de la forma[

1 +1

n(i− 1), 1 +

1

ni

]

, i = 1, . . . , n.

Tomando x∗i como la frontera derecha de cada subintervalo tenemos:

A = lım||P ||→0

n∑

i=1

g

(

1 +1

ni

)

1

n= lım

n→+∞

n∑

i=1

g

(

1 +1

ni

)

1

n.

Como:

g

(

1 +1

ni

)

=

(

1 +1

ni

)2

+ 2

(

1 +1

ni

)

=1

n2i2 +

4

ni + 3.

Sustituyendo queda:

lımn→+∞

n∑

i=1

(

1

n2i2 +

4

ni + 3

)

1

n= lım

n→+∞

(

n∑

i=1

1

n3i2 +

2∑

i=1

4

n2i +

n∑

i=1

3

n

)

=

= lımn→+∞

(

1

n3

n∑

i=1

i2 +4

n2

n∑

i=1

i +3

n

n∑

i=1

1

)

=

lımn→+∞

(

1

n3· n(n + 1)(2n + 1)

6+

4

n2· n(n + 1)

2+

3

n· n

)

=16

3.


6. Calcular

∫ 1

−2xdx utilizando la definicion de integral definida, tomando x∗i

como el punto medio de cada subintervalo.

SOLUCION

f(x) = x es continua en [−2, 1] por tanto es integrable en [−2, 1].

∫ 1

−2xdx = lım

||P ||→0

n∑

i=1

f(x∗i )△xi = lımn→+∞

n∑

i=1

f(x∗i )△xi

Dividimos el intervalo [−2, 1] en n subintervalos de igual longitud

△xi =1− (−2)

n=

3

n, i = 1, . . . , n.

Los subintervalos de la particion son de la forma

[

−2 +3

n(i− 1), −2 +

3

ni

]

, i = 1, . . . , n.

El punto medio de cada subintervalo es:

x∗i =(−2 + 3

n(i− 1)) + (−2 + 3n i)

2=−4 + 3

n i− 3n + 3

n i

2= −2 +

3

ni− 3

2n

Luego:∫ 2

0xdx = lım

n→+∞

n∑

i=1

f

(

−2 +3

ni− 3

2n

)

3

n.

Como:

f

(

−2 +3

ni− 3

2n

)

=

(

−2 +3

ni− 3

2n

)

sustituyendo queda:

∫ 1

−2x dx = lım

n→+∞

n∑

i=1

(

−2 +3

ni− 3

2n

)

3

n= lım

n→+∞

n∑

i=1

(

− 6

n+

9

n2i− 9

2n2

)

=

= lımn→+∞

(

− 6

n

n∑

i=1

1 +9

n2

n∑

i=1

i− 9

2n2

n∑

i=1

1

)

=

= lımn→+∞

(−6

nn +

9

n2

n(n + 1)

2− 9

2n2n

)

= −6 +9

2= −3

2.


7. Analizar si la funcion f(x) = x2lnx es integrable en [1, 2] y demostrar que:

0 <

∫ 2

1x2lnx dx < 3.

SOLUCION

La funcion f(x) = x2ln(x) es continua en el intervalo [1, 2] ya que es el productode dos funciones continuas en [1, 2], por tanto f es integrable en [1, 2].

Como f ′(x) = 2xln(x)+x2 · 1x

= x(2ln(x)+1) > 0 para x ∈ [1, 2] la funcion es

creciente en [1, 2] (de donde tambien se podrıa haber deducido la integrabilidadde la funcion en [1, 2]).

Por ser creciente en [1, 2] se deduce que m = mın{f(x) : x ∈ [a, b]} yM = max{f(x) : x ∈ [a, b]} se alcanzan en x = 1 y x = 2 respectivamente yvalen m = f(1) = 0, M = f(2) = 4ln(2) ≈ 2′77. Por las propiedades de laintegral definida sabemos que:

m(b− a) ≤∫ b

af(x)dx ≤ M(b− a)

luego en nuestro caso, como f es no negativa y creciente en [1, 2] tenemos:

0 · (2− 1) <

∫ 2

1x2ln(x)dx ≤ 4ln(2) · (2− 1) ⇒ 0 <

∫ 2

1x2ln(x)dx < 3.

8. Hallar el valor de la integral definida de las funciones cuyas graficas se indicana continuacion en los intervalos que se senalan:

a) [0, 3]


b) [−5, 5]

SOLUCION

Calcularemos el valor de la integral definida de las funciones propuestas usandola interpretacion geometrica de la integral definida en terminos de areas.

a)

∫ 3

0f(x)dx = A1 + A2 = 3 +

3

2=

9

2.

ya que A1 es la suma del area de un rectangulo de base 2 y altura 1 y elarea de un triangulo de base 2 y altura 1.

De igual forma A2 se puede calcular como la suma del area de un cuadradode lado 1 mas la suma del area de un triangulo de base 1 y altura 1.


b)

∫ 5

−5f(x)dx =

∫ −2

−5f(x)dx +

∫ 0

−2f(x)dx +

∫ 2

0f(x)dx +

∫ 5

2f(x)dx =

= −A1 + A2 −A3 + A4 = −3

2+ 3 =

3

2.

ya que A1 es el area de un triangulo de base 3 y altura 1, A2 = A3 y A4

es el area de un triangulo de base 3 y altura 2.

9. Sean f y g dos funciones integrables tales que:

∫ 2

−1[f(x) + 2g(x)]dx = 8 y

∫ 2

−1[3f(x)− g(x)]dx = 4.

Calcular:∫ 2

−1f(x)dx y

∫ 2

−1g(x)dx.

SOLUCION

Por las propiedades de linealidad de la integral definida, tenemos:

∫ 2

−1[f(x) + 2g(x)]dx =

∫ 2

−1f(x)dx + 2

∫ 2

−1g(x)dx = 8

∫ 2

−1[3f(x)− g(x)]dx = 3

∫ 2

−1f(x)dx−

∫ 2

−1g(x)dx = 4

si llamamos:∫ 2

−1f(x)dx = m y

∫ 2

−1g(x)dx = n


obtenemos el sistema:

m + 2n = 8

3m− n = 4

}

cuya solucion es m =16

7y n =

20

7por tanto:

∫ 2

−1f(x)dx =

16

7,

∫ 2

−1g(x)dx =

20

7.

10. Sea f un funcion integrable tal que:

∫ 0

−1f(x)dx = 5,

∫ 1

−1f(x)dx = 4,

∫ 4

1f(x)dx = 1.

Calcular utilizando las propiedades de la integral definida:

a)

∫ 4

−1f(x)dx

b)

∫ 1

0f(x)dx.

c)

∫ 0

4f(x)dx.

SOLUCION

a)

∫ 4

−1f(x)dx =

∫ 1

−1f(x)dx +

∫ 4

1f(x)dx = 4 + 1 = 5.

b)

∫ 1

0f(x)dx =

∫ 1

−1f(x)dx−

∫ 0

−1f(x)dx = 4− 5 = −1.

c)

∫ 0

4f(x)dx = −

∫ 4

0f(x)dx = −

(∫ 1

0f(x)dx +

∫ 4

1f(x)dx

)

= 0.


11. Calcular las siguientes integrales:

1)

∫

(8x3 + 5x− 1)dx 2)

∫

(x3/5 − x1/4)dx 3)

∫ √5x dx

4)

∫

3√

x ·√

x3 dx 5)

∫

x2 + 13√

xdx 6)

∫

4√

x− 23√

x5

√x3

dx

7)

∫

2ex

1− exdx 8)

∫

e4x−1dx 9)

∫

(

e2x − e−3x)

dx

10)

∫

e−2x · ex+4 dx 11)

∫

2x + 3

x2 + 3x− 5dx 12)

∫

tg(πx) dx

SOLUCION

1)

∫

(8x3 + 5x− 1) dx = 8

∫

x3dx + 5

∫

x dx−∫

dx = 2x4 +5

2x2 − x + C.

2)∫

(x3/5 − x1/4)dx =

∫

x3/5 dx−∫

x1/4 dx =x

3

5+1

35 + 1

− x1

4+1

14 + 1

+ C

=5

8

5√

x8 − 4

5

4√

x5 + C.

3)

∫ √5x dx =

∫ √5√

x dx =√

5

∫

x1/2 dx =√

52

3x3/2+C =

2

3

√5 x3+C.

4)∫

3√

x ·√

x3 dx =∫

x1/3 · x3/2 dx =

∫

x11/6 dx =x

11

6+1

116 + 1

+ C =

=6

11x17/6 + C =

6

17

6√

x17 + C.


5)∫

x2 + 13√

xdx =

∫

x2

3√

xdx +

∫

dx3√

x=

∫

x2 · x−1/3 dx +

∫

x−1/3 dx =

=

∫

x5/3 dx +

∫

x−1/3dx =3

8x8/3 +

3

2x2/3 + C =

= 38

3√

x8 + 32

3√

x2 + C.

6)∫

4√

x− 23√

x5

√x3

dx =

∫

x1/4 · x−3/2dx− 2

∫

x5/3 · x−3/2dx =

=

∫

x−5/4dx− 2

∫

x1/6dx =

= −4x−1/4 − 127 x7/6 + C == − 4

4√

x− 12

7

6√

x7 + C.

7)

∫

2ex

1− exdx = −2

∫ −ex

1− exdx = −2 ln|1− ex|+ C.

8)

∫

e4x−1dx =1

4

∫

4e4x−1dx =1

4e4x−1 + C.

9)

∫

(

e2x − e−3x)

dx =1

2

∫

2 e2xdx+1

3

∫

(−3) e−3xdx =1

2e2x+

1

3e−3x+C.

10)

∫

e−2x · ex+4 dx =

∫

e−2x+x+4 dx =

∫

e−x+4 dx = −e−x+4 + C.

11)

∫

2x + 3

x2 + 3x− 5dx = ln |x2 + 3x− 5|+ C.

12)∫

tg(πx) dx = 1π

∫

π tg(πx) = − 1π

∫ −π sen(πx)

cos(πx)dx

= − 1π ln | cos(πx)|+ C.


12. Hallar:

1)

∫ (

3

4x5 − 5x4 + x2

)

dx 2)

∫ (

−5

x+

1

x2

)

dx 3)

∫

(2x− 5)2dx

4)

∫

2x−√x

x3dx 5)

∫

(x√

3x2 − 1)dx 6)

∫

5x

3x2 + 2dx

7)

∫

4√x

e√

x dx 8)

∫

32x−1dx 9)

∫

(

e2x − e−3x)

dx

10)

∫

cos(√

x) + x√x

dx 11)

∫

cos x dx

2 sen x + 312)

∫

dx

x lnx

SOLUCION

1)∫ (

3

4x5 − 5x4 + x2

)

dx =3

4

∫

x5dx− 5

∫

x4dx +

∫

x2dx =

=3

4

x6

6− 5x5

5+

x3

3=

x6

8− x5 +

x3

3+ C.

2)∫ (

−5

x+

1

x2

)

dx = −5

∫

1

xdx +

∫

1

x2dx = −5 ln |x| − 1

x+ C.

3)

∫

(2x− 5)2dx =1

2

∫

2(2x− 5)2dx =1

2· (2x− 5)3

3+ C.

4)

∫

2x−√x

x3dx = 2

∫

x−2dx−∫

x−5/2dx =−2

x+

2

3√

x3+ C.

5)

∫

(x√

3x2 − 1)dx =1

6

∫

6x(3x2 − 1)1/2dx =1

6

(3x2 − 1)3/2

3/2+ C.

6)

∫

5x

3x2 + 2dx =

5

6

∫

6x

3x2 + 2dx =

5

6ln |3x2 + 2|+ C.

7)

∫

4√x

e√

x dx = 4 · 2∫

1

2√

xe√

x dx = 8 e√

x + C.

8)

∫

32x−1 dx =1

2

∫

2 · 32x−1 dx =32x−1

2 ln(3)+ C.


9)

∫

(

e2x − e−3x)

dx =1

2

∫

2 e2xdx+1

3

∫

(−3) e−3xdx =1

2e2x+

1

3e−3x+C.

10)∫

cos(√

x) + x√x

dx =

∫

cos(√

x)√x

dx +

∫

x√x

dx =

= 2

∫

1

2√

x· cos(

√x) dx +

∫ √x dx =

= −2 sen(√

x) +2

3

√x3 + C.

11)

∫

cos x dx

2 sen x + 3=

1

2

∫

2 cos x

2 sen x + 3dx =

1

2ln |2 sen x + 3|+ C.

12)

∫

dx

x lnx=

∫

1/x

lnxdx = ln | lnx|+ C.

13. Calcula las siguientes integrales tipo arco seno:

a)

∫

x√1− x4

dx b)

∫

dx√7− 5x2

SOLUCION

a)

∫

x√1− x4

dx =

∫

x dx√

1− (x2)2=

1

2

∫

2x dx√

1− (x2)2=

arc sen(x2)

2+ C.

b)∫

dx√7− 5x2

dx =

∫ 1√7√

7−5x2√7

dx =

∫ 1√7

√

1− 57 x2

dx =

=1√5

∫

√5√7

√

1−(√

57 x

)2dx =

1√5

arc sen

(

√

5

7

)

+ C.

14. Calcula las siguientes integrales tipo arco tangente:

a)

∫

dx

2 + x2dx 2)

∫

10 dx

3 + 7x2


SOLUCION

a)∫

dx

2 + x2dx =

∫ 12

2+x2

2

dx =

∫ 12

1 + x2

2

dx =

∫ 12

1 +(

x√2

)2 dx =

=1√2

∫ 1√2

1 +(

x√2

)2 dx =1√2

arc tg

(

x√2

)

+ C.

b)∫

10 dx

3 + 7x2= 10

∫ 13

3+7x2

3

dx = 10

∫ 13

1 + 73 x2

dx =

=10√

3

∫ 1√3

1 +(√

73 x

)2 dx =10√7√

3

∫

√

73

1 +(√

73 x

)2 dx

=10√21

arc tg

(

√

7

3x

)

+ C.

15. Dada la funcion f(x) = (3x− 1)2, calcula la primitiva de f que verifica:

a) Pasa por el origen de coordenadas.

b) F (−1) = 2.

SOLUCION

a) F (x) =

∫

(3x− 1)2 dx =1

3

∫

3 (3x− 1)2 dx =(3x− 1)3

9+ C.

F (x) =(3x− 1)3

9+ C.

La primitiva que buscamos pasa por el origen de coordenadas luego:

F (0) =(−1)3

9+ C = 0⇒ C =

1

9.

Por tanto:

F (x) =(3x− 1)3

9+

1

9.

b) Del apartado anterior sabemos que:

F (x) =(3x− 1)3

9+ C.


Buscamos la primitiva de f que verifica F (−1) = 2 luego:

F (−1) =1

9(−4)3 + C = 2⇒ −64

9+ C = 2⇒ C = 2 +

64

9=

82

9.

Por tanto

F (x) =(2x− 1)3

9+

82

9.

16. Hallar el valor de las siguientes integrales definidas:

1)

∫ 2

−1(x− x3)dx 2)

∫ π/2

0sen(2x) dx 3)

∫ 1

0

(x

3− 1

)2dx

SOLUCION

1)∫ 2

−1(x− x3)dx =

x2

2− x4

4

∣

∣

∣

∣

2

−1

=

(

22

2− 24

4

)

−(

(−1)2

2− (−1)4

4

)

=

= (2− 4)−(

1

2− 1

4

)

= −2− 1

4= −9

4.

2)

∫ π/2

0sen(2x) dx = −1

2cos(2x)

∣

∣

∣

∣

π/2

0

= −1

2[cos(π)− cos(0)] = 1.

3)∫ 1

0

(x

3− 1

)2dx = 3

(x/3− 1)3

3

∣

∣

∣

∣

1

0

= (x/3− 1)3|10 =

=

(

1

3− 1

)3

− (0− 1)3 = − 8

27+ 1 =

19

27.

17. Hallar la funcion integral de f(x) = ex−1 − x2 en el intervalo [1, 5].

SOLUCION

F (x) =

∫ x

1(et−1 − t2)dt =

(

et−1 − t3

3

)∣

∣

∣

∣

x

1

=

=

(

ex−1 − x3

3

)

−(

e0 − 13

)

= ex−1 − x3

3− 2

3.


18. Dada la funcion

f(x) =

{

2x− 1 1 ≤ x ≤ 2

x2 − 1 2 < x ≤ 3

Hallar la funcion integral en [1, 3] y estudiar su continuidad y derivabilidad.

SOLUCION

La funcion f es integrable en [1, 3] ya que es continua en [1, 3]. La funcionintegral de f existe.

Calculo de la funcion integral de f en [1, 3].

Si x ∈ [1, 2]

F (x) =

∫ x

1(2t− 1)dt = t2 − t|x1 = x2 − x.

Si x ∈ [2, 3]

F (x) =

∫ 2

1(2t− 1)dt +

∫ x

2(t2 − 1)dt = (t2 − t)|21 +

(

t3

3− t

)∣

∣

∣

∣

x

2

=

= (22 − 2)− (12 − 1) +

(

x3

3− x

)

−(

83 − 2

)

=x3

3− x +

4

3.

Luego

F (x) =

x2 − x 1 ≤ x ≤ 2

x3

3− x +

4

32 < x ≤ 3

.

F es continua en [1, 3] y como f es continua en [1, 3] por el teorema fundamentaldel calculo F es derivable en [1, 3].

19. Dada la funcion

g(x) =

e2x+1 −1 ≤ x ≤ 1

1√x

+ 1 1 < x ≤ 2

Calcular la funcion integral de g en [−1, 2] y estudiar su continuidad y deriva-bilidad en [−1, 2].

SOLUCION

La funcion g es integrable en [−1, 2] ya que es continua en [−1, 2] salvo en elpunto x = 1. Por tanto, la funcion integral de g existe.


Calculo de la funcion integral de g en [−1, 2].

Si x ∈ [−1, 1]

G(x) =

∫ x

−1e2t+1dt =

1

2e2t+1

∣

∣

∣

∣

x

−1

=1

2e2x+1 − 1

2e−1 =

1

2

(

e2x+1 − 1

e

)

.

Si x ∈ (1, 2]

G(x) =

∫ 1

−1e2t+1dt +

∫ x

1

(

1√t

+ 1

)

dt =1

2e2t+1

∣

∣

∣

∣

1

−1

+ (2√

t + t)∣

∣

∣

x

1=

=

(

1

2e3 − 1

2e

)

+ (2√

x + x− 3) = 2√

x + x− 3 +1

2

(

e3 − 1

e

)

.

Por tanto

G(x) =

1

2

(

e2x+1 − 1

e

)

−1 ≤ x ≤ 1

2√

x + x− 3 +1

2

(

e3 − 1

e

)

1 < x ≤ 2.

La funcion integral es siempre continua en el intervalo en el que esta definida.La funcion integral G es derivable en todos aquellos puntos en los que la funciong es continua. Por tanto, G es derivable en x ∈ [−1, 2] con x 6= 1. En x = 1 lafuncion G no es derivable ya que:

G′(1−) = e2·1+1 = e3

G′(1+) =1√1

+ 1 = 2.

20. Dada la funcion:

f(x) =

−x + 1 0 ≤ x ≤ 1

x2 1 ≤ x ≤ 2

e−x − 1 2 < x ≤ 5

a) Calcular la funcion integral F de f en [0, 5].

b) Estudiar la continuidad y derivabilidad de F en [0, 5].

c) Calcular F (0), F (1), F (3), F (5).


SOLUCION

a) La funcion f es integrable en [0, 5] ya que es continua en [0, 5] salvo en lospuntos x = 1 y x = 2. Por tanto, la funcion integral de f en [0, 5] existe.

Calculo de la funcion integral de f en [0, 5].

Si x ∈ [0, 1]

F (x) =

∫ x

0(−t + 1)dt =

(

− t2

2+ t

)∣

∣

∣

∣

x

0

= −x2

2+ x.

Si x ∈ (1, 2]

F (x) =

∫ 1

0(−t + 1) dt +

∫ x

1t2 dt =

(

− t2

2+ t

)∣

∣

∣

∣

1

0

+t3

3

∣

∣

∣

∣

x

1

=

=1

2+

x3

3− 1

3=

x3

3+

1

6.

S x ∈ (2, 5]

F (x) =

∫ 1

0(−t + 1) dt +

∫ 2

1t2 dt +

∫ x

2(e−t − 1) dt =

=

(

− t2

2+ t

)∣

∣

∣

∣

1

0

+t3

3

∣

∣

∣

∣

2

1

+ (−e−t − t)∣

∣

x

2=

=1

2+

7

3− e−x − x + e−2 + 2 = −e−x − x + e−2 +

29

6.

Por tanto

F (x) =

−x2

2+ x 0 ≤ x ≤ 1

x3

3+

1

61 < x ≤ 2

−e−x − x + e−2 +29

62 < x ≤ 5.

b) La funcion integral es siempre continua en el intervalo en el que esta defini-da. La funcion integral F es derivable en todos aquellos puntos en los quela funcion f es continua. Por tanto, F es derivable en [0, 1)∪(1, 2)∪(2, 5].En x = 1 la funcion F no es derivable ya que:

F ′(1−) = −1 + 1 = 0

F ′(1+) = 12 = 1.


En x = 2 la funcion F tampoco es derivable ya que

F ′(2−) = 22 = 4

F ′(2+) = −e−2 − 1.

c) Sustituyendo en la expresion de F (x) se obtiene que:

F (0) = 0; F (1) =1

2; F (3) = −e−3 +e−2 +

11

6; F (5) = −e−5 +e−2− 1

6.


G(x) =

{

ex + x− 1 0 ≤ x ≤ 1

ln(x) + ex + 1 1 < x ≤ 2; H(x) =

{

ex + x− 1 0 ≤ x ≤ 1

ln(x) + ex 1 < x ≤ 2

a) Estudiar la continuidad de G y H.

b) Estudiar la derivabilidad de G y H.

c) Teniendo en cuenta los dos apartados anteriores, estudiar si G o H puedenser la funcion integral de alguna funcion f. En caso afirmativo, calcularf.

SOLUCION

a) La funcion G(x) es continua para todo x ∈ [0, 1) ya que en este casoG(x) = ex + x − 1 es la suma de funciones continuas. Si x ∈ (1, 2],G(x) = ln(x) + ex + 1 y por la misma razon que antes, G(x) es continuaen dicho intervalo.

En x = 1, G(x) sera continua si lımx→1

G(x) = G(1)

Como:

lımx→1−

G(x) = e1 + 1− 1 = e y lımx→1+

G(x) = ln(1) + e1 + 1 = e + 1

resulta que no existe el lımx→1

G(x) y por tanto, G(x) no es continua en

x = 1.

Procediendo de la misma forma, se observa que H(x) es continua en [0, 1)y en (1, 2]. En x = 1, H(x) sera continua si lım

x→1H(x) = H(1)

Como:

lımx→1−

H(x) = e1 + 1− 1 = e y lımx→1+

H(x) = ln(1) + e1 = e

existe lımx→1

H(x) = e que coicide ademas con H(1) luego la funcion H(x)

es continua en x = 1 y por tanto en [0, 2].


b) G(x) es derivable en [0, 1) ∪ (1, 2]. En x = 1 no es derivable ya que no escontinua en dicho punto.

La funcion H(x) es continua en todo el intervalo [0, 2] y es derivable en[0, 1) ∪ (1, 2]. En x = 1 sera derivable si H ′(1−) = H ′(1+).

H ′(1−) = e1 + 1− 1 = e; H ′(1+) = ln(1) + e1 = e

por tanto, H es derivable en x = 1 luego H es derivable en [0, 2].

c) G(x) no puede ser funcion integral de ninguna funcion f en el intervalo[0, 2] ya que no es continua en dicho intervalo. H(x) es continua en elintervalo [0, 2] y H(0) = 0 luego sı puede ser la funcion integral de algunafuncion f en [0, 2]. En concreto de:

f(x) =

ex + 1 0 ≤ x ≤ 1

1

x+ ex 1 < x ≤ 2.


f(x) =

{

ex −1 ≤ x ≤ 0

x2 + 1 0 < x ≤ 2

F (x) =

ex − 1

e−1 ≤ x ≤ 0

x3

3+ x + 1− 1

e0 < x ≤ 2

G(x) =

ex −1 ≤ x ≤ 0

x3

3+ x + 1 0 < x ≤ 2

Analizar si F y G son primitivas de f en [−1, 2].

SOLUCION

f es continua en [−1, 2] por tanto admite primitivas en [−1, 2]. Para que F seaprimitiva de f en [−1, 2], es necesario que sea continua y derivable en [−1, 2]y que F ′(x) = f(x) para todo x ∈ [−1, 2].

F (x) es una funcion exponencial cuando x ∈ [−1, 0) y por tanto continua en[−1, 0). Cuando x ∈ (−1, 0], F (x) es tambien continua pues viene definida


mediante un polinomio. En x = 0 sera continua si lımx→0

F (x) = F (0).

lımx→0−

F (x) = e0 − 1

e= 1− 1

e= lım

x→0+F (x)

por tanto, existe lımx→0

F (x) y ademas coincide con F (0) luego F es continua en

x = 0.

F (x) es derivable en [−1, 0) y (0, 2]. En x = 0 sera derivable si F ′(0−) = F ′(0+)

F ′(0−) = e0 = 1, F ′(0+) = 02 + 1 = 1.

Luego F es continua y derivable en [−1, 2] y como F ′(x) = f(x) para todox ∈ [−1, 2], F es una primitiva de f en [−1, 2].

De forma similar se comprueba que G(x) tambien es una primitiva de f en[−1, 2] ya que es continua y derivable en [−1, 2] y G′(x) = f(x) para todox ∈ [−1, 2].

23. Hallar, si existen, las funciones primitivas de:

a)

f(x) =

{

x− 1 0 ≤ x ≤ 1

ex + x 1 < x ≤ 3en [0, 3]

b)

g(x) =

{

2x− 1 −1 ≤ x ≤ 2

3x2 − 9 2 < x ≤ 4en [−1, 4]

SOLUCION

a) f no tiene primitivas en el intervalo [0, 3] ya que no es continua en x = 1.

b) g es continua en [−1, 4], por tanto, admite primitivas en [−1, 4]. Las fun-ciones primitivas de g seran aquellas funciones G continuas y derivablesen [−1, 4] tales que G′(x) = g(x) para todo x ∈ [−1, 4] luego G(x) es dela forma

G(x) =

{

x2 − x + C1 −1 ≤ x ≤ 2

x3 − 9x + C2 2 < x ≤ 4

El ajuste de las constantes se hace exigiendo la continuidad de G en elintervalo [−1, 4] por tanto,

lımx→2−

G(x) = 2 + C1 = lımx→2+

G(x) = −10 + C2


luego, C2 = C1 + 12. Las primitivas buscadas son

G(x) =

{

x2 − x + C −1 ≤ x ≤ 2

x3 − 9x + 12 + C 2 < x ≤ 4.

24. Dada la funcion

F (x) =

∫ x

1

1

tln(t) dt

Calcular F (2), F ′(2).

SOLUCION

F (2) =

∫ 2

1

1

tln(t) dt =

ln2(t)

2

∣

∣

∣

∣

2

1

=ln2(2)

2− ln2(1)

2=

ln2(2)

2.

Por el primer Teorema Fundamental del Calculo,

F ′(x) =1

xln(x)

luego

F ′(2) =1

2ln(2).

25. Dada la funcion

F (x) =

∫ x

πsen(t) cos2(t)dt

a) Hallar F (π), F ′(x) y F ′(π/2).

b) Hallar F ′(x) calculando previamente la integral que define a F (x).

SOLUCION

a)

F (π) =

∫ π

πsen(t) cos2(t) dt = 0.

Por el primer Teorema Fundamental del Calculo,

F ′(x) = sen(x) cos2(x).

luego:

F ′(π/2) = sen(π/2) cos(π/2) = 1 · 0 = 0.


b)

F (x) =

∫ x

πsen(t) cos2(t) dt = −cos3(t)

3

∣

∣

∣

∣

x

π

= −cos3(x)

3− 1

3.

por tanto,F ′(x) = cos2(x)sen(x).

que coincide con la expresion obtenida utilizando el Teorema Fundamen-tal del Calculo.

26. Utilizando la Regla de la Cadena y el Teorema Fundamental del Calculo, ob-tener las derivadas de las siguientes funciones:

a) F (x) =

∫ x3

0

t2

t3 + 2dt.

b) G(x) =

∫ 1

x2

√t et2 dt.

c) H(x) =

∫ cos x

x

dt

3 + t2.

SOLUCION

a) F (x) = (g1 ◦ g2)(x) = g1[g2(x)] donde:

g2(x) = x3 y g1(x) =

∫ x

0

t2

t3 + 2dt.

Por el primer Teorema Fundamental del Calculo

g′1(x) =x2

x3 + 2.

Aplicando la Regla de la Cadena,

F ′(x) = g′1(g2(x)) · g′2(x) =(x3)2

(x3)3 + 2· 3x2 =

3x8

x9 + 2.

b)

G(x) =

∫ 1

x2

√t et2 dt = −

∫ x2

1

√t et2 dt

G(x) = (g1 ◦ g2)(x) = g1[g2(x)] donde:

g2(x) = x2 y g1(x) = −∫ x

1

√t et2 dt


Por el primer Teorema Fundamental del Calculo

g′1(x) = −√

x ex2

.

Aplicando la Regla de la Cadena,

G′(x) = g′1(g2(x)) · g′2(x) = −√

x2 e(x2)2 · 2x = −2x2ex4

.

c)

H(x) =

∫ cos(x)

x

dt

3 + t2= −

∫ x

0

dt

3 + t2+

∫ cos(x)

0

dt

3 + t2

Utilizando el Teorema Fundamental del Calculo y la Regla de la Cadena,se tiene:

H ′(x) = − 1

3 + x2+

1

3 + cos2(x)·(−sen(x)) = −

(

1

3 + x2+

sen(x)

3 + cos2(x)

)

.

27. Dada la funcion

f(x) =1

x2 + 1

encontrar para que valor de c ∈ [0, 1] se verifica el Teorema del Valor Medio.

SOLUCION

∫ 1

0

1

x2 + 1dx = arc tg(x)|10 = arc tg(1)− arc tg(0) =

π

4.

Aplicando el Teorema del Valor Medio,

1

1− 0

∫ 1

0

1

x2 + 1dx = f(c) =

1

c2 + 1⇒ π

4=

1

c2 + 1⇒ c =

√

4

π− 1.

28. Calcular el promedio (valor medio) de las siguientes funciones en el intervaloindicado. Hallar los puntos de dichos intervalos que verifican el Teorema delValor Medio.

a) f(x) =x√

x2 + 9en [0, 4].

b) g(x) = |x| − 2 en [−1, 1].

c) h(x) = a + b cos x en [−π, π].


SOLUCION

a) f(x) es continua en [0, 4] por tanto integrable en dicho intervalo.

∫ 4

0

x√x2 + 9

dx =1

2

∫ 4

02x (x2 + 9)−1/2 dx =

1

2

(x2 + 9)1/2

1/2

∣

∣

∣

∣

∣

4

0

=

=√

x2 + 9∣

∣

∣

4

0= 5− 3 = 2.

Valor promedio

µ =1

b− a

∫ b

af(x) dx =

1

4− 0

∫ 4

0

x√x2 + 9

dx =1

4· 2 =

1

2.

Por ser f continua en [0, 4], el Teorema del Valor Medio nos asegura queexiste un punto c ∈ [0, 4] tal que f(c) = µ.

1

4

∫ 4

0

x√x2 + 9

dx = f(c) ⇒ 1

2= f(c).

c√c2 + 9

=1

2⇒ c =

1

2

√

c2 + 9 ⇒ c2 =1

4(c2+9)⇒ 3

4c2 =

9

4⇒ c = ±

√3.

Como c ∈ [0, 4] ⇒ c =√

3.

b) g(x) es continua en [−1, 1] y por tanto integrable en dicho intervalo.

∫ 1

−1(|x|+ 1)dx =

∫ 0

−1(−x + 1)dx +

∫ 1

0(x + 1)dx =

= −x2

2+ x

∣

∣

∣

∣

0

−1

+x2

2+ x

∣

∣

∣

∣

1

0

=

= −(

−1

2− 1

)

+

(

1

2+ 1

)

=3

2+

3

2= 3.

Valor promedio µ =1

2

∫ 1

−1(|x|+ 1)dx =

1

2· 3 =

3

2.

Por ser g continua en [−1, 1], el Teorema del Valor Medio nos asegura queexiste un punto c ∈ [−1, 1] tal que g(c) = µ.

g(c) = |c|+ 1 =3

2⇒ |c| = 1

2⇒ c = ±1

2.

En este caso existen dos puntos c1 = −1

2y c2 =

1

2pertenecientes al

intervalo [−1, 1] que verifican el Teorema del Valor Medio.


c) h(x) = a + b cos x es continua en [−π, π] y por tanto integrable.

∫ π

−π(a + bcos x) dx = (ax− b sen x)|π−π =

= [(aπ − b sen π)− (a(−π)− b sen(−π))] = 2aπ.

Valor promedio µ =1

π − (−π)

∫ π

−πa + b cos x dx =

1

2π· 2aπ = a

Por ser h continua en [−π, π], el Teorema del Valor Medio nos aseguraque existe un punto c ∈ [−π, π] tal que h(c) = µ.

h(c) = a + b cos c = a⇒ b cos c = 0⇒ cos c = 0⇒ c =π

2y c =

3π

2

luego tambien existen dos puntos del intervalo [−π, π] que verifican elTeorema del Valor Medio.

29. Calcular, utilizando una integral apropiada:

lımn→+∞

(

1

2n + 1+

1

2n + 2+ · · ·+ 1

3n

)

SOLUCION

1

2n + 1+

1

2n + 2+ · · ·+ 1

3n=

n∑

i=1

1

2n + i=

n∑

i=1

1

n

2 +i

n

=

n∑

i=1

1

2 +i

n

1

n.

lımn→+∞

(

1

2n + 1+

1

2n + 2+ · · ·+ 1

3n

)

= lımn→+∞

n∑

i=1

1

2 +i

n

1

n.

La parte derecha de la anterior igualdad es justamente la expresion de laintegral definida de la funcion

f(x) =1

2 + x

entre [0, 1] cuando se subdivide dicho intervalo en n subintervalos de iguallongitud y se toma como x∗i la frontera superior de cada subintervalo.

lımn→+∞

(

1

2n + 1+

1

2n + 2+ · · ·+ 1

3n

)

=

∫ 1

0

dx

2 + x= ln(2 + x)|10 = ln

(

3

2

)

.


1.4. Ejercicios resueltos con DERIVE


a) f1(x) = −x2 + 3x− 3 en el intervalo [−1, 1].

b) f2(x) = ln(x− 5) en el intervalo [6, 9].

Se pide:

i) Dibujar con ayuda de DERIVE los rectangulos inferiores y superioresde Riemann de cada una de las funciones sobre los intervalos senaladosutilizando particiones de la misma longitud de 10 y 20 subintervalos.

ii) Calcular con DERIVE las sumas superiores e inferiores de Riemann delas funciones dadas sobre los intervalos indicados, utilizando particionesde 10, 100, y 1.000 subintervalos de la misma longitud y comparar losresultados obtenidos.

SOLUCION

Antes de empezar a trabajar con el programa, definimos previamente en DE-RIVE las tres funciones, escribiendo en la lınea de edicion las siguientes ex-presiones (indicamos entre comillas los caracteres que deben teclearse, lascomillas no se teclean, es el formalismo que utilizamos para senalar que es eltexto a introducir en la lınea de edicion del programa):

“f1(x) := −xˆ2 + 3x− 3”

al finalizar la edicion de cada expresion pulsamos (enter) y aparece la expresionnumerada en la ventana de algebra:

#1 : f1(x) := −x2 + 3x− 3

La segunda funcion se edita mediante la expresion:

“f2(x) := ln(x− 5)”

que tras pulsar (enter) obtenemos:

#2 : f2(x) := ln(x− 5)

Una vez definidas las dos funciones en DERIVE; vamos a resolver cada uno delos apartados.

Una de las posibilidades que ofrece DERIVE es la programacion de funciones.


En este problema inicial, vamos a definir paso a paso, las funciones necesariaspara poder dibujar los rectangulos superiores e inferiores de Riemann para unafuncion dada sobre cierto intervalo, utilizando una particion de n-subintervalosde la misma longitud.

PASO 1. CONSTRUCCION DEL RECTANGULO INFERIOR DE

UNA FUNCION EN UN INTERVALO.

El rectangulo inferior de una funcion f(x) en un intervalo [a, b] queda deter-minado por cuatro puntos (si la funcion es monotona):

(a, 0), (a,m), (b, 0), (b, m)

donde m es el valor mınimo que toma la funcion f(x) en el intervalo [a, b]. Esnecesario por tanto obtener ese valor mınimo. En nuestro programa supondre-mos que la funcion f(x) es monotona, por lo que debemos obtener el valormınimo entre f(a) y f(b). Antes de definir esa funcion que calcula el valormınimo, programamos una funcion que nos permite evaluar el valor de la fun-cion u para un valor x = a editando la siguiente expresion con DERIVE (laedicion se efectua sobre la lınea de edicion del programa tecleando los mismoscaracteres que aparecen a continuacion):

“valorf(u, a, x) := iterate(u, x, a, 1)”

a partir de esta funcion de evaluacion, definimos la funcion mınimo editandola expresion:

“minimo(u, a, b, x) := if(valorf(u, a, x) < 0 ∧ valorf(u, b, x) < 0,

max(valorf(u, a, x), valorf(u, b, x)),

min(valorf(u, a, x), valorf(u, b, x)))”

observese que utilizamos varias funciones predefinidas en DERIVE :

if(condicion, accion1, accion2) que evalua la condicion, si es cierta rea-liza la accion1 y si es falsa realiza accion2.

max(a, b) que calcula el valor maximo entre a y b.

min(a, b) que calcula el valor mınimo entre los valores a y b.

Para determinar ahora los cuatro puntos que determinan el rectangulo inferiorde f(x) definimos la siguiente matriz:

“rectangulo inf(u, a, b, x) := [[a, 0], [a,minimo(u, a, b, x)], [b, minimo(u, a, b, x)], [b, 0]]”

PASO 2. RECTANGULOS INFERIORES DE RIEMANN

Con la funcion anterior hemos determinado los puntos del rectangulo inferior deRiemann de una funcion monotona f(x) en un intervalo [a, b]. Pero necesitamos


calcular todos los puntos que perfilan los rectangulos inferiores que podemosconstruir tomando una particion P del intervalo, dado que lo dividimos enn-subintervalos de la misma longitud. Teniendo en cuenta, que un intervalo[a, b] tiene de longitud |b − a| entonces la longitud de los n-subintervalos enque dividimos el intervalo [a, b] de la misma longitud tendra longitud |b−a|/n.Por consiguiente, el rectangulo i-esimo estara determinado por dos puntos ensu base

xi−1 = a +|b− a|

n(i− 1) y xi = a +

|b− a|n

i.

Con estos datos de la base del rectangulo i-esimo, podemos generar cada uno delos rectangulos inferiores repitiendo el mismo proceso por medio de la siguientefuncion que definimos en DERIVE editando:

“dibuja rect inf riemann(u, a, b, n, x) :=

vector(rectangulo inf(u, a + abs(b− a)/n(i− 1), a + abs(b− a)/ni, x), i, 1, n)”

en esta definicion hemos utilizado una funcion predefinida en DERIVE:

VECTOR(f(i), i, 1, n) construye un vector evaluando la funcion f(i) con va-lores i desde 1 hasta n. En nuestro caso la funcion que repetimos es la cons-truccion de los rectangulos inferiores tal como indicamos en el paso 1. Con lafuncion:

DIBUJA RECT INF RIEMANN(u, a, b, n, x)

construimos todos los puntos que definen los rectangulos inferiores de Riemannpara la funcion u(x) en el intervalo [a, b] con n-subintervalos de la mismalongitud.

PASO 3. CONSTRUCCION DEL RECTANGULO SUPERIOR DE

UNA FUNCION EN UN INTERVALO.

Para definir la funcion que nos permite construir los rectangulos superiores deRiemann se requiere previamente un procedimiento para construir el rectangu-lo superior de Riemann de una funcion en un intervalo. La funcion que defineeste proceso permite obtener los cuatro puntos que determinan el rectangulosuperior. Estos puntos son los siguientes:

(a, 0), (a,M), (b, M), (b, 0)

donde M es el valor maximo que toma la funcion f(x) en el intervalo [a, b].Es necesario por tanto obtener ese valor maximo. En nuestra programacionsupondremos que la funcion f(x) es monotona, por lo que debemos obtener elvalor maximo entre f(a) y f(b). La funcion que nos permite obtener el valor


maximo se puede editar mediante:

“maximo(u, a, b, x) := if(valorf(u, a, x) < 0 ∧ valorf(u, b, x) < 0,

min(valorf(u, a, x), valorf(u, b, x)),

max(valorf(u, a, x), valorf(u, b, x)))”

Para determinar ahora los cuatro puntos que determinan el rectangulo superiorde f(x) definimos la siguiente matriz que determina los cuatro puntos de dichorectangulo:

“rectangulo sup(u, a, b, x) := [[a, 0], [a,maximo(u, a, b, x)], [b, maximo(u, a, b, x)], [b, 0]]”

PASO 4. RECTANGULOS SUPERIORES DE RIEMANN

Con la funcion anterior hemos determinado los puntos del rectangulo superiorde Riemann de una funcion monotona f(x) en un intervalo [a, b]. Pero nece-sitamos calcular todos los puntos que perfilan los rectangulos inferiores quepodemos construir tomando una particion P del intervalo dado que dividimosen n-subintervalos de la misma longitud. Teniendo en cuenta las considera-ciones que hicimos acerca de los datos del rectangulo i-esimo en el paso 2, elrectangulo i-esimo estara determinado por dos puntos en su base

xi−1 = a +|b− a|

n(i− 1) y xi = a +

|b− a|n

i.

Con estos datos de la base del rectangulo i-esimo, podemos generar cada unode los rectangulos superiores repitiendo el mismo proceso por medio de lasiguiente funcion que definimos en DERIVE editando:

“dibuja rect sup riemann(u, a, b, n, x) :=

vector(rectangulo sup(u, a + abs(b− a)/n(i− 1), a + abs(b− a)/ni, x), i, 1, n)”

en esta definicion hemos utilizado una funcion predefinida en DERIVE:VECTOR(f(i), i, 1, n) construye un vector evaluando la funcion f(i) con va-lores i desde 1 hasta n.

En nuestro caso la funcion que repetimos es la construccion de los rectangulosinferiores tal como indicamos en el paso 3,con la funcion

DIBUJA RECT SUP RIEMANN(u, a, b, n, x)

construimos todos los puntos que definen los rectangulos superiores de Rie-mann para la funcion u(x) en el intervalo [a, b] con n-subintervalos de la mismalongitud.


PASO 5. APLICACION DE LAS DOS FUNCIONES DEFINIDAS.

Con estas funciones definidas en DERIVE:

DIBUJA RECT SUP RIEMANN(f(x), a, b, n, x)

DIBUJA RECT INF RIEMANN(f(x), a, b, n, x)

podemos dibujar las funciones y los rectangulos superiores e inferiores de Rie-mann.

Dibujaremos en cada una de las dos funciones propuestas, la funcion en elintervalo senalado y los rectangulos superiores e inferiores de Riemann.

i) Comenzamos con la funcion f1(x). En primer lugar, con el programaDERIVE editamos en la lınea de edicion el nombre de la funcion:

“f1(x)”

abrimos una ventana 2D en el programa y aplicamos el comando RE-PRESENTAR para dibujar la grafica de la funcion y obtenemos:

Como deseamos analizar la grafica de la funcion en el intervalo [−1, 1],situamos con el raton el indicador de posicion de DERIVE en torno alpunto (0,−3), aplicamos el boton CENTRAR EL CURSOR, aplicamosZOOM HACIA DENTRO y podemos obtener la grafica:


Ahora para dibujar los rectangulos superiores de Riemann de la funcionf1(x) en el intervalo [−1, 1] y con 10 subintervalos de la misma longitudeditamos la expresion:

“dibuja rect sup riemann(f1(x),−1, 1, 10, x)”

Antes de representar las funciones definidas en este ejercicio, debemostener marcada la opcion SIMPLIFICAR ANTES DE DIBUJAR en laventana 2 D, ya que, de lo contrario no podremos representar nada. Unavez marcada esta opcion aplicando representar obtenemos:

Como podemos observar, no hemos dibujado ningun rectangulo, tan so-lo unos puntos. Son los puntos que determinan los rectangulos superio-res. Para poder dibujar adecuadamente los rectangulos debemos selec-cionar algunas opciones especiales de DERIVE en la ventana 2D. Enprimer lugar, debemos seleccionar la secuencia OPCIONES-PANTALLA-PUNTOS-UNIR seleccionando la opcion SI. Por otro lado, usando la mis-ma secuencia OPCIONES-PANTALLA-PUNTOS-TAMANO PUNTOSseleccionamos el tamano PEQUENO. Si borramos ahora todas las grafi-cas anteriores con EDITAR-BORRAR TODAS LA GRAFICAS (en laventana 2D) y volvemos a dibujar con REPRESENTAR la funcion edita-da en la expresion #11 (la funcion f1(x)), iluminamos la expresion #12de la ventana de algebra y sobre la ventana 2D aplicamos REPRESEN-TAR obtenemos:


que es la representacion requerida. Borramos todas las graficas con EDI-TAR -BORRAR TODAS LAS GRAFICAS. Ahora vamos a representarla funcion y los rectangulos superiores de Riemann con una particion de20 subintervalos. La funcion podemos representarla iluminando la expre-sion #11 y situandonos sobre la ventana 2D aplicando REPRESENTAR.Para dibujar los rectangulos superiores editamos:

“dibuja rect sup riemann(f1(x),−1, 1, 20, x)”

Si aplicamos REPRESENTAR en la ventana 2D tenemos:

Pasemos ahora a representar los rectangulos inferiores. Aplicamos EDITAR-BORRAR TODAS LAS GRAFICAS. La funcion f1(x) se puede repre-sentar iluminando la expresion #11 y aplicando REPRESENTAR. Paradibujar los rectangulos inferiores sobre una particion de 10 subintervalosintroducimos en la lınea de edicion:

“dibuja rect inf riemann(f1(x),−1, 1, 10, x)”

Nos situamos en la ventana 2D y aplicamos REPRESENTAR, el resulta-do es:


Nuevamente borramos todas las graficas con la secuencia EDITAR -BORRAR TODAS LAS GRAFICAS. Representamos la funcion f1(x) co-mo hemos venido comentando anteriormente. Los rectangulos inferioresde Riemann para una particion de 20 subintervalos podremos dibujarloseditando la expresion:

”dibuja rect inf riemann(f1(x),−1, 1, 20, x)”

al representarla en la ventana 2D obtenemos:

Borramos todas las graficas con EDITAR-BORRAR TODAS LAS GRAFI-CAS.

• Efectuamos ahora el mismo proceso que en el apartado anterior con lafuncion f2(x). Comencemos editando la expresion:

“f2(x)”

que nos servira de referencia para dibujar la grafica de la funcion, definidapreviamente en la expresion #2. Representamos la funcion aplicando elboton REPRESENTAR. Ajustaremos la vision de la grafica de la funcionsobre el intervalo [6, 9] situando el curso sobre el punto (7′5, 0) y aplicandoel boton de herramientas CENTRAR EN EL CURSOR. Los rectangulossuperiores de Riemann para la funcion f2(x) en el intervalo [6, 9] para unaparticion de 10 subintervalos de la misma longitud se obtienen editando:

“dibuja rect sup riemann(f2(x), 6, 9, 10, x)”

y al representar obtenemos:


Borramos todas las graficas anteriores para efectuar la nueva representa-cion con la secuencia EDITAR-BORRAR TODAS LAS GRAFICAS.

Iluminando la expresion #13 y aplicando REPRESENTAR volvemos adibujar la grafica de f2(x) en el intervalo [6, 9]. Para dibujar los rectangu-los superiores en dicho intervalo con una particion de 20 subintervalos dela misma longitud introducimos en la lınea de edicion:

“dibuja rect sup riemann(f2(x), 6, 9, 20, x)”

Al aplicar REPRESENTAR en la ventana 2D resulta:

Volvemos a borrar todas las graficas.

Dibujamos la grafica de la funcion f2(x) con la expresion #13. Los rectangu-los inferiores de Riemann en el intervalo [6, 9] para dicha funcion con unaparticion de 10 subintervalos se obtiene editando:

“dibuja rect inf riemann(f2(x), 6, 9, 10, x)”

y al representar obtenemos:


Para representar ahora los rectangulos inferiores sobre una particion de20 subintervalos, borramos todas las graficas, representamos la expresion#13, editamos:

dibuja rect inf riemann(f2(x), 6, 9, 20, x)”

y al representar nos da la grafica:

Borramos todas las graficas con la secuencia EDITAR-BORRAR TODASLAS GRAFICAS.

ii) Para calcular las sumas superiores e inferiores de Riemann de una funciondada en un intervalo [a, b], para una particion de n-subintervalos de lamisma longitud, vamos a definir una funcion en DERIVE que calcule lasuma de las areas de rectangulos superiores e inferiores. En una particiondel intervalo [a, b] con n-subintervalos de la misma longitud, el area delrectangulo inferior i-esimo vendra determinada por la siguiente expresionque podemos editar en DERIVE:

“abs(b− a)/n ∗minimo(u, a + abs(b− a)/n(i− 1), a + abs(b− a)/ni), x)”

observese que la longitud de la base de los rectangulos es |b− a|/n y porotro lado la altura en el rectangulo inferior viene determinada por el valormınimo de la funcion entre los valores extremos del subintervalo (siempreque f(x) sea una funcion monotona).

En consecuencia la suma de las areas de los n-rectangulos inferiores sepuede calcular con la expresion:

“Σ(ABS(b−a)/n·minimo(u, a+ABS(b−a)/n·(i−1), a+ABS(b−a)/n·i), i, 1, n)”


Ası pues la funcion que calcula la suma inferior de Riemann se puededefinir mediante:

“suma inf riemann(u, a, b, n, x) :=

Σ(ABS(b− a)/n ·minimo(u, a + ABS(b− a)/n · (i− 1), a + ABS(b− a)/n · i), i, 1, n)”

El area del rectangulo superior i-esimo en la particion de [a, b] con n-subintervalos de la misma longitud podemos editarla en DERIVE con:

“abs(b−a)/n∗maximo(u, a+abs(b−a)/n(i−1), a+abs(b−a)/n∗ i), x)”

Observese que la longitud de la base de los rectangulos es |b − a|/n, ypor otro lado la altura en el rectangulo superior viene determinada porel valor maximo de la funcion entre los valores extremos del subintervalo(siempre que f(x) sea una funcion monotona).

En consecuencia la suma de las areas de los n-rectangulos superiores sepuede calcular con la expresion:

“Σ(ABS(b−a)/n·maximo(u, a+ABS(b−a)/n·(i−1), a+ABS(b−a)/n·i), i, 1, n)”

ası pues la funcion que calcula la suma superior de Riemann se puededefinir mediante:

“suma sup riemann(u, a, b, n, x) :=

Σ(ABS(b− a)/n ·maximo(u, a + ABS(b− a)/n · (i− 1), a + ABS(b− a)/n · i), i, 1, n)”

Consideremos la primera funcion f1(x) y calculemos la suma inferior deRiemann para una particion de 10 subintervalos de la misma longitudeditando:

“suma inf riemann(f1(x),−1, 1, 10)”

Al simplificar obtenemos:

#25 : −152

25

expresion que al APROXIMAR nos da como resultado:

#26 : −6.08

Si aumentamos la particion a 100 subintervalos editamos:


Con SIMPLIFICAR obtendremos:

#28 : −16517

2500

que al APROXIMAR resulta:


#29 : −6.6068

Para una particion de 1.000 subintervalos simplificamos la expresion:


y nos da:

#31 : −1665167

250000

que al APROXIMAR resulta:

#32 : −6.660668

El calculo de las sumas superiores de Riemann para f1(x) se realiza deforma similar con la otra funcion que hemos definido, basta con ir editandola funcion SUMA SUP RIEMANN modificando tan solo el parametro n,de esta forma simplificando y aproximando iremos obteniendo:

Para 10 subintervalos:

“suma sup riemann(f1(x),−1, 1, 10)”

#34 : −182

25

#35 : −7.28


“suma sup riemann(f1(x),−1, 1, 100)”

#37 : −16817

2500

#38 : −6.7268

Para 1.000 subintervalos:

suma sup riemann(f1(x),−1, 1, 1000)”

#40 : −1668167

250000

#41 : −6.672668


Si comparamos todos los valores obtenidos en las sumas superiores e in-feriores observamos que las sumas inferiores van disminuyendo en valoral tratarse de una funcion negativa en todo el intervalo

−6′660668 < −6′6068 < −6′08

mientras que las sumas superiores van aumentando:

−7′28 < −6′7268 < −6′672668 < .

• Calculemos ahora sumas inferiores de Riemann para la funcion f2(x)en el intervalo [6, 9] para particiones de 10, 100, y 1.000 subintervalos dela misma longitud.

Para 10 subintervalos editamos:

“suma inf riemann(f2(x), 6, 9, 10)”

y al aproximar obtenemos:

#43 : 2.331629895


suma inf riemann(f2(x), 6, 9, 100)”


#45 : 2.524326781

Para 1.000 subintervalos editamos:

suma inf riemann(f2(x), 6, 9, 1000)”


#47 : 2.543097440

Las sumas superiores de Riemann de esta funcion f2(x) en el intervalo[6, 9] para las particiones indicadas se obtienen de forma similar.


“suma sup riemann(f2(x), 6, 9, 10)”


#49 : 2.747518203



suma sup riemann(f2(x), 6, 9, 100)”


#51 : 2.565915612

Para 1.000 subintervalos editamos:

suma sup riemann(f2(x), 6, 9, 1000)”


#53 : 2.547256323

2. Sean las funciones:

a) f1(x) = −x2 + 3x− 3 en el intervalo [−1, 1]

b) f2(x) = ln(x− 5) en el intervalo [6, 9]

Se pide:

i) Dibujar con ayuda de DERIVE los rectangulos intermedios de Riemannde cada una de las funciones anteriores sobre los intervalos senaladosutilizando particiones de 10 y 20 subintervalos de la misma longitud.

ii) Calcular con DERIVE las sumas intermedias de Riemann de las funcionesanteriores sobre los intervalos indicados utilizando particiones de 10, 100y 1.000 subintervalos de la misma longitud y comparar los resultadosobtenidos en el ejercicio 1.

SOLUCION

Para dibujar los rectangulos intermedios vamos a definir una funcion con DE-RIVE que nos permite dibujar los rectangulos intermedios.

En primer lugar veamos como se dibuja un rectangulo intermedio sobre unsubintervalo dado. El rectangulo inferior de una funcion f(x) en un subinter-valo [a, b] queda determinado por cuatro puntos:

(a, 0), (a, f((a + b)/2)), (b, 0), (b, f((a + b)/2)).

Es necesario calcular el valor de la funcion en el punto medio es decir, calcularf((a + b)/2). Para ello editamos como en el ejercicio 1 una funcion que evaluauna funcion en un punto:



Para determinar ahora los cuatro puntos que determinan el rectangulo inferiorde f(x) definimos la siguiente funcion que construye una matriz con los cuatropuntos anteriores, editando:

“rectangulo interm(u, a, b, x) :=

[[a, 0], [a, valorf(u, (a + b)/2, x)], [b, 0], [b, valorf(u, (a + b)/2, x)], [b, 0]]”

Ahora necesitamos calcular todos los puntos que perfilan los rectangulos in-termedios de la funcion en un intervalo que dividimos en n-subintervalos de lamisma longitud. Teniendo en cuenta que un intervalo [a, b] tiene de longitud|b−a|/2, entonces el rectangulo i-esimo estara determinado por el subintervalode base:

[a + |b− a|/n(i− 1), a + |b− a|/ni]

Con estos datos podemos definir ya la funcion que construye los vertices delos rectangulos intermedios de Riemann editando:

“dibuja rect int riemann(u, a, b, n) :=

vector(rectangulo interm(u, a + abs(b− a)/n(i− 1), a + abs(b− a)/ni, x), i, 1, n)”

Estamos ahora en disposicion de dibujar los rectangulos intermedios de Rie-mann. Unicamente debemos tener en cuenta algunas opciones de la ventana2D.

∗ Aplicando OPCIONES debemos tener marcada la opcion SIMPLIFICARANTES DE DIBUJAR.

∗ Seleccionando la secuencia OPCIONES-PANTALLA-PUNTOS-UNIR mar-car la opcion SI.

∗ Seleccionando la secuencia OPCIONES-PANTALLA-PUNTOS seleccionarPEQUENO.

i) Comenzamos con la funcion f1(x). Editamos la expresion que la define:

“f1(x) := −xˆ2 + 3x− 3”

Abrimos la ventana 2D y aplicamos el boton de herramientas REPRE-SENTAR. Como deseamos centrarnos en el intervalo [−1, 1] utilizandolos botones REDUCCION VERTICAL, REDUCCION HORIZONTAL,AMPLIACION VERTICAL, AMPLIACION HORIZONTAL y CEN-TRAR EL CURSOR, podemos obtener la grafica:


Para dibujar ahora los rectangulos intermedios de la funcion f1(x) en elintervalo [−1, 1] y con 10 subintervalos editamos:

“dibuja rect int riemann(f1(x),−1, 1, 10)”

pulsando sobre REPRESENTAR se obtiene:

Borramos todas las graficas con EDITAR-BORRAR TODAS LAS GRAFI-CAS.

Para dibujar ahora los rectangulos intermedios pero con un total de 20rectangulos basta editar la expresion:

“dibuja rect int riemann(f1(x),−1, 1, 20)”

dibujando ahora la expresion anterior y la expresion #4 obtenemos:


Aplicar EDITAR-BORRAR TODAS LAS GRAFICAS.

• Pasamos a la segunda funcion f2(x) que editamos mediante:

f2(x) := ln(x− 5)”

Utilizando el boton REPRESENTAR obtenemos la grafica de la funcionpero descentrada del intervalo que queremos estudiar. Seleccionamos elboton CENTRAR EN EL ORIGEN para situar la grafica en el origen decoordenadas, y como no observamos en este momento la grafica pulsamossobre el boton ZOOM HACIA FUERA y sobre el boton REDUCCIONHORIZONTAL dos veces. Para centrar ahora la grafica sobre el intervalo[6, 9] situamos el cursor sobre el punto (8, 0) y pulsamos sobre el botonCENTRAR EN EL CURSOR y ahora sobre ZOOM HACIA FUERAcuatro veces y obtenemos la grafica deseada:

Dibujamos ahora los rectangulos intermedios con 10 subintervalos pormedio de la expresion:

“dibuja rect int riemann(f2(x), 6, 9, 10)”

Al pulsar sobre REPRESENTAR obtenemos:


Borramos todas las graficas. Volvemos a dibujar la grafica de la funcionf2(x) usando la expresion #7 y editamos:

“dibuja rect int riemann(f2(x), 6, 9, 20)”

Aplicando representar se obtiene:

Borrar todas las graficas.

ii) El calculo de las SUMAS INTERMEDIAS DE RIEMANN vamos a rea-lizarlo editando una funcion en DERIVE similar a las que definimos paralas sumas superiores e inferiores. El area del rectangulo intermedio i-esi-mo de una particion del intervalo [a, b] en n-subintervalos de la mismalongitud viene dado por:

“abs(b−a)/n valorf(u, (a+abs(b−a)/n(i−1)+a+abs(b−a)/ni)/2, x)”

En consecuencia sumando las areas de todos los rectangulos obtenemoslas sumas intermedias de Rieman que definimos mediante la funcion:

“suma int riemann(u, a, b, n) :=

Σabs(b− a)/n valorf(u, (a + abs(b− a)/n(i− 1) + a + abs(b− a)/ni)/2, x), i, 1, n)”

Ası, para calcular la suma intermedia de Riemann de la primera funcionpara una particion de 10 subintervalos editamos:

“suma int riemann(f1(x),−1, 1, 10)”


al APROXIMAR obtenemos:

#13 : −6,66.



con APROXIMAR obtenemos:

#15 : −6.6666



aproximando:

#17 : −6.666666

• Para la funcion f2(x) las sumas intermedias pedidas podemos obtener-las de igual forma. Para una particion de 10 subintervalos editamos:

“suma int riemann(f2(x), 6, 9, 10)”

al APROXIMAR obtenemos:

#19 : 2.547971089



con APROXIMAR obtenemos:

#21 : 2.545205567



aproximando:

#23 : 2.545177725


a) f1(x) = 3x2 + 5x + 2 en el intervalo [−1/2, 0]


b) f2(x) = x2 + 2x + 1 en el intervalo [4, 6]

c) f3(x) =ex en el intervalo [−2, 2]

Se pide:

i) Calcular las integrales superior e inferior de Riemann de cada una de lasfunciones anteriores. Comprobar que todas ellas son integrables en losintervalos indicados.

ii) Calcular la integral definida de Riemann de cada una de ellas con lassumas intermedias.

iii) Calcula las integrales definidas de cada una de ellas.

SOLUCION

Para resolver cada uno de los apartados definimos en DERIVE las funcionespropuestas, para ello editamos las siguientes expresiones:

“f1(x) := 3xˆ2 + 5x + 2”

“f2(x) := xˆ2 + 2x + 1”

“f3(x) := eˆx”

Para calcular de forma automatica las integrales superior e inferior de Rie-mann, vamos a definir sendas funciones en DERIVE. Estas funciones seranvalidas unicamente para funciones positivas y monotonas crecientes. La pri-mera funcion que necesitamos, y que ya hemos utilizado en ejercicios anteriores,es la funcion que evalua una funcion en un punto dado:


A partir de esta funcion vamos a editar la funcion que define la suma inferiorde Riemann para funciones positivas y crecientes sobre una particion de nsubintervalos de la misma longitud del intervalo [a, b] :

“suma inf riemann pos crec(u, a, b, n) :=

∑

(abs(b− a)/n valorf(u, a + abs(b− a)/n(i− 1), x), i, 1, n)”

La suma superior de Riemann para funciones positivas y crecientes sobre unaparticion del intervalo [a, b] en n-subintervalos de la misma longitud se puedeprogramar editando la funcion:

“suma sup riemann pos crec(u, a, b, n) :=

∑

(abs(b− a)/n valorf(u, a + abs(b− a)/ni, x), i, 1, n)”


Con estas dos funciones estamos en disposicion de definir las funciones que nospermitiran calcular las integrales superior e inferior de Riemann de funcionescontinuas positivas y monotonas crecientes definidas en un intervalo [a, b]. Laintegral inferior de Riemann se edita mediante:

“integral inf riemann pos cre(u, a, b) :=

lim(suma inf riemann pos crec(u, a, b, n), n, inf, 0)”

La integral superior de Riemann se obtiene editando:

“integral sup riemann pos cre(u, a, b) :=

lim(suma sup riemann pos crec(u, a, b, n), n, inf, 0)”

Con estas dos definiciones funcionales, podemos efectuar los calculos de lasintegrales superiores e inferiores propuestos.

i) • La integral inferior de Riemann de la funcion f1(x) en el intervalo[−1/2, 0] se calcula editando:

“integral inf riemann pos cre(f1(x),−1/2, 0)”

al simplificar resulta:

#10 : 1/2

La integral superior de Riemann de la funcion f1(x) en el intervalo [−1/2, 0]se calcula editando:

“integral sup riemann pos cre(f1(x),−1/2, 0)”


#12 : 1/2

En consecuencia como las integrales superior e inferior coinciden enton-ces podemos asegurar que la funcion f1(x) es integrable en el intervalo[−1/2, 0].

• La integral inferior de Riemann de la funcion f2(x) en el intervalo [4, 6]se calcula editando:

“integral inf riemann pos cre(f2(x), 4, 6)”


#14 : 218/3.


La integral superior de Riemann de la funcion f2(x) en el intervalo [4, 6]se calcula editando:

“integral sup riemann pos cre(f2(x), 4, 6)”


#15 : 218/3.

En consecuencia, como las integrales superior e inferior coinciden, enton-ces podemos asegurar que la funcion f2(x) es integrable en el intervalo[4, 6].

• La integral inferior de Riemann de la funcion f3(x) en el intervalo[−2, 2] se calcula editando:

“integral inf riemann pos cre(f3(x),−2, 2)”


#18 : e−2(e4 − 1).

La integral superior de Riemann de la funcion f3(x) en el intervalo [−2, 2]se calcula editando:

“integral sup riemann pos cre(f3(x),−2, 2)”


#20 : e−2(e4 − 1).

En consecuencia, como las integrales superior e inferior coinciden, enton-ces podemos asegurar que la funcion f3(x) es integrable en el intervalo[−2, 2].

ii) La integral intermedia de Riemann se define a partir de las sumas inter-medias como

∫ b

af(x)dx = lım

n→∞suma int riemann(f(x), a, b, n)

Por tanto, si recuperamos la definicion de suma intermedia de Riemanndefinida en el ejercicio 2, editando:

“suma int riemann(u, a, f, n) :=∑

((b− a)/n valorf(u, (a + abs(b− a)/n(i− 1) + a + abs(b− a)/ni)/2, x), i, 1, n)”


a partir de la funcion anterior podemos definir la integral intermedia deRiemann editando la expresion:

“integral interm riemann(u, a, b) :=

lım(suma int riemann(u, a, b, n), n, inf, 0)”

Las integrales intermedias pueden calcularse usando la funcion anterior.

• La integral intermedia de la funcion f1(x) en el intervalo [−1/2, 0] sepuede obtener editando:

“integral interm riemann(f1(x),−1/2, 0)”


#24 : 1/2

• La integral intermedia de la funcion f2(x) en el intervalo [4, 6] se puedeobtener editando:

“integral interm riemann(f2(x), 4, 6)”


#26 : 218/3

• La integral intermedia de la funcion f3(x) en el intervalo [−2, 2] sepuede obtener editando:

integral interm riemann(f3(x),−2, 2)”


#28 : e−2(e4 − 1)

iii) Calculemos las integrales definidas

a)∫ 0

1/2f1(x) dx

Editamos el integrando“f1(x)”

Aplicamos la secuencia CALCULO-INTEGRALES seleccionanado la op-cion INTEGRAL DEFINIDA incluyendo en el campo LIMITE INFE-RIOR el valor −1/2 y en el campo LIMITE SUPERIOR el valor 0. Al


simplificar resulta

#30 :

∫

0

−1/2f1(x) dx

#31 :1

2

b) Editamos“f2(x)”

aplicamos CALCULO-INTEGRALES, integral definida con LIMITE IN-FERIOR 4 y LIMITE SUPERIOR 6. Al SIMPLIFICAR obtenemos

#33 :

∫

6

4

f2(x) dx

#34 :218

3

c) Editamos“f3(x)”

aplicamos CALCULO-INTEGRALES, integral definida con LIMITE IN-FERIOR 4 y LIMITE SUPERIOR 6. Al SIMPLIFICAR obtenemos

#36 :

∫

2

−2f3(x) dx

#37 : e2 − e

−2.


1.5. Ejercicios propuestos

1. Calcular el area bajo las graficas de las funciones dada en los intervalos indi-cados, utilizando el lımite de las sumas de Riemann.

a) f(x) =x

3+ 2, x ∈ [0, 2].

b) g(x) = 2− x2, x ∈ [0, 1].

2. Analizar si la funcion

f(x) =

√1 + x2 0 ≤ x ≤ 1

−2

x+ x 1 < x ≤ 2

es integrable en [0, 2]. Demostrar (sin calcular la integral) que

0 <

∫ 2

0f(x) dx <

5

2.

3. Calcular las siguientes integrales inmediatas:

1)

∫

(x3 + 3x2 −√

x) dx 2)

∫ −3x2 − 3x− 2

x2dx 3)

∫ √4x− 5 dx

4)

∫

3√

x−√

2x3

xdx 5)

∫

1 + lnx

xdx 6)

∫

lnx3√

xdx

7)

∫ −3x3√

x2 + 5dx 8)

∫ (

2

2 + 2x2

)

dx 9)

∫

2 tg x dx

10)

∫

e2x+1 + 3ex

ex−1dx 11)

∫

sen x + tg x

cos xdx 12)

∫

2

1 + 9x2dx

4. Calcular las siguientes integrales definidas:

1)

∫ 2/π

0sen(3π x) dx 2)

∫ 2

−1|x− 1| dx 3)

∫ 2

−1

3√

2x2 dx

5. Dada la funcion

F (x) =

{

x2 + ax 0 ≤ x ≤ 1

lnx + ex−1 + 1 + b 1 < x ≤ 2


a) Hallar para que valores de a y b F es funcion integral de alguna funcionf.

b) Calcular, si existen, los valores de a y b para los que F es una funcionprimitiva de alguna funcion f.

c) Supuesto que F es funcion integral de f calcule esta funcion.

6. Dada la funcion:

F (x) =

∫ x

0(2t + 1) cos(π t) et3−2t+1 dt

Calcular F (0) y F ′(1).

7. Calcular los siguientes lımites:

a) lımx→0

1

3x2

∫ x2

0(cos t + 1) dt b) lım

x→0

∫ x3

x(1 + t2)dt

∫ 2x

0

√

1 + t2 dt

8. Calcular el polinomio de Taylor de segundo orden en x = 2 de la funcion:

F (x) =

∫ x

1(ln t)2 dt

9. Encontrar los valores de x que satisfacen el teorema del valor medio paraintegrales en el intervalo dado:

a) f(x) = x(1− x) en ; [0, 1].

b) g(x) =√

x + 1 en [0, 3].

c) h(x) = 1− x2 en [−4, 3].

d) l(x) =1√

1− x2en [0, 1/2].

10. Calcular, utilizando una integral apropiada:

lımn→+∞

(

n

(2n + 1)2+

n

(2n + 2)2+ · · ·+ n

(2n + n)2

)


a) f(x) = x2 − 2x + 3 en el intervalo [0, 3].

b) g(x) = e−x en el intervalo [1, 2].


c) h(x) =1

xen el intervalo [3, 5].

Se pide:

i) Dibujar con ayuda de DERIVE los rectangulos inferiores y superioresde Riemann de cada una de las funciones sobre los intervalos senaladosutilizando particiones de la misma longitud de 10 y 20 subintervalos.

ii) Calcular con DERIVE las sumas superiores e inferiores de Riemann delas funciones dadas sobre los intervalos indicados utilizando particionesde 10, 20, 50, 100, 1.000 y 10.000 subintervalos de la misma longitud ycomparar los resultados obtenidos.


a) f(x) = x2 − 2x + 3 en el intervalo [0, 3].

b) g(x) = e−x en el intervalo [1, 2].

c) h(x) =1

xen el intervalo [3, 5].

Se pide:

a) Calcular con DERIVE las integrales superior e inferior de Riemann decada una de las funciones anteriores. Comprobar que todas ellas son in-tegrables en los intervalos indicados.

b) Calcular con DERIVE la integral definida de Riemann de cada una deellas con las sumas intermedias.


a) f1(x) =

ex 0 ≤ x ≤ 1x2 + 3 1 < x ≤ 2

5x 2 < x ≤ 3en el intervalo [0, 3]

b) f2(x) =

x3 + 2x2 −3 ≤ x < −2sen x −2 ≤ x < 3

lnx + 2 3 ≤ x ≤ 4en el intervalo [−3, 4]

Se pide:

i) Determinar si son integrables en los intervalos indicados y en su casocalcular sus funciones integrales usando DERIVE.

ii) Dibujar las graficas de las funciones y de sus funciones integrales.

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