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INDICE

Presentación………………………………………………………………………………………………4

Tema No.1. Límite de una función. ……………………………………………………………… 6

Ejercicios……………………………………………………………………………… 7

Tema No. 2. Límites trigonométricos……………………………………………………..………8

Ejercicios…………………………………………………………………………………9

Tema No. 3. Continuidad de una función………………………………………………………10

Ejercicios……………………………………………………………………………….11

Tema No. 4 Puntos de discontinuidad en funciones algebraicas racionales……….12

Ejercicios………………………………………………………………………………..13

Tema No. 5. Incrementos…………………………………………………………………………….14

Ejercicios………………………………………………………………………………..14

Tema No. 6. La derivada de una función……………………………………………………….15

Ejercicios………………………………………………………………………………..16

Tema No. 7. Teoremas para el cálculo de derivadas………………………………………17

Ejercicios………………………………………………………………………………..18

Tema No. 8. Derivada de las funciones trigonométricas directas………………………20

Ejercicios…………………………………………………………………………………21

Tema No. 9. Derivada de las funciones trigonométricas inversas……………………..22

Ejercicios…………………………………………………………………………………23

Tema No. 10. Derivada de las funciones logarítmicas……………………………………..24

Ejercicios…………………………………………………………………………………25

Tema No. 11. Derivada de las funciones exponenciales……………………………………26

Ejercicios………………………………………………………………………………….27

Tema No.12. Derivación logarítmica………………………………………………………………28

Ejercicios………………………………………………………………………………...29

Tema No. 13. Derivadas sucesivas de una función………………………………………….30

Ejercicios…………………………………………………………………………………31

Tema No. 14. Derivación de funciones implícitas…………………………………………….32

Ejercicios…………………………………………………………………………………33

Tema No.15. Ecuación de las rectas tangente y normal a una curva………………….34

Ejercicios…………………………………………………………………………………35

Tema No. 16 Máximos y mínimos de una función……………………………………………36

Ejercicios………………………………………………………………………………..38

Tema No. 17. Problemas de aplicación de máximos y mínimos………………………..39

Ejercicios………………………………………………………………………………..40

GLOSARIO………………………………………………………………………………………………….42

BIBLIOGRAFIA……………………………………………………………………………………………45

PRESENTACION

El presente Cuaderno de ejercicios de Cálculo Diferencial pretende

apoyar los objetivos de aprendizaje y contenidos de esta asignatura

presentando ejercicios resueltos y proponiendo al alumno ejercicios por

resolver de uso más frecuente en los temas a tratar.

El alumno al hacer uso frecuente de este cuaderno de ejercicios

encuentra un apoyo académico, ya que los ejemplos presentados le

permitirán hacer más comprensibles e interesantes la resolución de los

ejercicios en el la aplicación a los diferentes tipos de problemas.

Así, los ejercicios que resuelva le proveerán de un conocimiento básico

del Cálculo, comprendiendo la materia de un modo más completo. El

cuaderno contiene ejemplos de funciones, límites, derivadas y

ecuaciones de las rectas tangente y normal a una curva, así como

aplicación de los conocimientos adquiridos en la resolución de problemas

prácticos.

De esta manera, se pretende apoyar la asesoría a los estudiantes e ir

consolidando materiales de sustento académico para el Núcleo de

Formación de Matemáticas, por lo que este cuaderno de ejercicios se

entrega a los alumnos al inicio del semestre haciendo una revisión

personalizada como parte de la clase o en el cubículo como asesoría

disciplinaría.

Con la elaboración y uso de este material por parte del alumno se busca

desarrollar el razonamiento y la habilidad matemática en el alumno y

ampliar la comprensión y utilización del lenguaje básico de las ciencias,

lo cual es el propósito del programa de esta asignatura.

Tema No. 1. Límite de una función.

Definición de función: Decir que lim𝑥→0

𝑓(𝑥) = 𝐿 significa que cuando x

está cerca, pero difiere de c, f(x) está cerca de L.

Ejemplo: Encuentre el lim𝑥→3

𝑥2−𝑥−6

𝑥−3

Solución. Note que (𝑥2 − 𝑥 − 6)/(𝑥 − 3) no está definido para x=3, pero

todo está bien. Para tener idea de lo que sucede cuando x tiende a 3 se

puede usar una calculadora para evaluar la expresión dada; por ejemplo,

para 3.1, 3.01, 3.001, etc. Pero es mucho mejor usar un poco de álgebra

para simplificar el problema.

lim𝑥→3

𝑥2 − 𝑥 − 6

𝑥 − 3= lim

𝑥→3

(𝑥 − 3)(𝑥 + 2)

𝑥 − 3= lim

𝑥→3(𝑥 + 2) = 3 + 2 = 5

La cancelación de x-3 en el segundo paso es legítima, ya que la

definición pasa por alto el comportamiento preciso de x=3. Por lo tanto,

no se ha dividido entre cero.

Ejercicios: Encontrar los siguientes límites:

1. lim𝑥→3

(2𝑥 − 8) Respuesta: -2

2. lim𝑥→3

(2

𝑥+ 1)

3. lim𝑥→−2

(𝑥2 − 3𝑥 + 1) Respuesta: 11

4. lim𝑥→4

√9+𝑥2

𝑥−3

5. lim𝑥→1

𝑥2+3𝑥−4

𝑥−1 Respuesta: 5

6. lim𝑥→4

√5𝑥 + 73

7. lim𝑥→1

√5𝑥−√5

1−𝑥

8. lim𝑥→2

3−√4𝑥+1

𝑥2−2𝑥 Respuesta: -1/3

Calcule el límite por la derecha de la siguiente función:

𝑓(𝑥) = 2𝑥2 + 3

Calcule el siguiente límite, obteniendo sus límites laterales:

lim𝑥→−4

|𝑥|

𝑥 Respuesta: -1

Tema No. 2. Límites trigonométricos.

El límite de una función trigonométrica se obtiene utilizando los

teoremas correspondientes, en los cuales se considera que u=f(x)

Ejemplo: Hallar el valor del límite lim𝑥→2

(3𝑥−6) cos(𝑥−2)

𝑥−2

En este tipo de límites formados por una parte algebraica y una parte

trigonométrica, se considera para la trigonométrica que si 𝑥 → 2

entonces 𝑥 − 2 → 0, así que al aplicar el teorema del límite de un

producto de dos funciones, se tiene:

lim𝑥→2

(3𝑥−6) cos(𝑥−2)

𝑥−2= lim

𝑥→2

3𝑥−6

𝑥−2 . lim

𝑥→2cos(𝑥 − 2)

En la parte algebraica, el límite del cociente resulta la indeterminación

cero entre cero, por lo que la expresión primero se simplifica y después

se obtiene el valor del límite. En la parte trigonométrica, el límite es de

la forma lim𝑢→0

cos 𝑢 = 1, donde u=x-2, entonces

= lim𝑥→2

3(𝑥 − 2)

𝑥 − 2 . lim

𝑥−2→0cos(𝑥 − 2)

= lim𝑥→2

3 lim𝑥−2→0

cos (𝑥 − 2)

= (3) (1)

= 3

Ejercicios: Calcular el valor de los siguientes límites.

1. lim𝑥→0

𝑠𝑒𝑛 5𝑥 Respuesta: 0

2. lim𝑥→1

6 cos(𝑥 − 1)

3. lim𝑥→0

[2𝑥−1

cos 𝑥] Respuesta: -1

4. lim𝑥→3

[3𝑠𝑒𝑛2(𝑥−3)

𝑥2−6𝑥+9]

5. lim𝑥→2

[5𝑥 𝑠𝑒𝑛 (𝑥−2)

𝑥2+2𝑥] Respuesta: 5

6. lim𝑥→2

[𝑥−4

(𝑥2−6𝑥+8) cot(𝑥−2)]

7. lim𝑥→−2

[𝑥2+3𝑥+2

(𝑥+2) sec(𝑥+2)] Respuesta: -1

8. lim𝑥→0

𝑠𝑒𝑛 5𝑥 cos 2𝑥

9. lim𝑥→2

[7 𝑠𝑒𝑛(𝑥−2)sec (𝑥−2)

tan(𝑥−2)] Respuesta:

10. lim𝑥→0

[2 𝑠𝑒𝑐𝑥

csc 𝑥] Respuesta: 0

Tema No. 3. Continuidad de una función.

Existen tres tipos de discontinuidad de una función, los cuales son:

discontinuidad evitable o restringible, discontinuidad infinita o asintótica

y discontinuidad de salto.

Ejemplo: Analizar la continuidad de la función 𝑓(𝑥) =𝑥2−4

𝑥+2 en x= -2, en

caso de que la función sea discontinua, indique a qué tipo de

discontinuidad corresponde.

Analizando la condición de continuidad

a) 𝑓(−2) =(−2)2−4

−2+2=

0

0 No está definido en los números reales.

b) lim𝑥→−2

𝑥2−4

𝑥+2= lim

𝑥→−2

(𝑥+2)(𝑥−2)

𝑥+2= lim

𝑥→−2(𝑥 − 2) = −4

Existe en los números reales.

Por lo tanto 𝑓(−2) ≠ lim𝑥→−2

𝑥2−4

𝑥+2 No se cumple la condición de

continuidad, se presenta una discontinuidad evitable o restringible.

Ejercicios: Analizar si las funciones siguientes son continuas o no en

2; si no lo es, explique por qué.

1. 𝑓(𝑥) = 4𝑥2 − 2𝑥 + 12 Respuesta: si

2. 𝑓(𝑥) =8

𝑥−2

3. 𝑔(𝑥) =3𝑥2

𝑥−2 Respuesta: no, porque g (2) no existe.

4. 𝑔(𝑥) = √𝑥 − 1

5. ℎ(𝑥) = √𝑥 − 3 Respuesta: no, porque h (2) no existe.

6. ℎ(𝑥) = |3 − 5𝑥2|

7. 𝑔(𝑡) =𝑡3−8

𝑡−2 Respuesta: no, porque g (2) no existe.

8. 𝑔(𝑡) =4𝑡−8

𝑡−2

Tema No. 4. Puntos de discontinuidad en funciones

algebraicas racionales.

Para encontrar las abscisas de los puntos de discontinuidad de una

función algebraica racional se resuelve la ecuación obtenida al igualar

con cero el denominador.

Ejemplo: Encuentre los puntos de discontinuidad de la función

𝑓(𝑥) =2𝑥

𝑥2 − 3𝑥

Igualando con cero el denominador:

𝑥2 − 3𝑥 = 0

Resolviendo por factorización:

𝑥(𝑥 − 3) = 0

𝑥 = 0 𝑥 = 3

Por lo tanto, la función es discontinua en x=0 y en x=3.

Calculando el límite de la función en estos dos puntos

a) Para x=0

lim𝑥→0

2𝑥

𝑥2−3𝑥= lim

𝑥→0

2𝑥

𝑥(𝑥−3)=lim

𝑥→0

2

𝑥−3=-

2

3

La función f(x) presenta una discontinuidad evitable en el punto (0,-

2/3)

Ejercicios: Halle los puntos de discontinuidad de las siguientes

funciones, trace la gráfica e indique el tipo de discontinuidad que se

presenta.

1.𝑓(𝑥) =3𝑥−4

𝑥−2 Respuesta: Disc. evitable x=2

2. 𝑓(𝑥) =5

𝑥−3

3. 𝑓(𝑥) =2𝑥+1

𝑥2−4𝑥+3 Respuesta: Disc. infinita x=1 y x=3

4. 𝑓(𝑥) =8

𝑥2

5. 𝑓(𝑥) =6𝑥+3

𝑥3+5𝑥2−6𝑥 Resp: Disc., infinita x=-6, x=0, x=1

6.𝑓(𝑥) =𝑥3−5𝑥

𝑥2−4

7. 𝑓(𝑥) =2𝑥

𝑥2+1 Respuesta: Continua

Tema No. 5. Incrementos.

Se llama incremento de la función f(x) a la diferencia del valor final con

el valor inicial y se denota por ∆𝑓(𝑥), eso es:

∆𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥2) − 𝑓(𝑥1)

Ejemplo: Dada la función 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 4𝑥 + 3, obtenga el incremento de

la función.

El incremento de la función se obtiene con:

∆𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)

Como 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 4𝑥 + 3

Entonces 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) = (𝑥 + ∆𝑥)2 − 4(𝑥 + ∆𝑥) + 3

= 𝑥2 + 2𝑥∆𝑥 + (∆𝑥)2 − 4𝑥 − 4∆𝑥 + 3

Al efectuar la diferencia se obtiene el incremento de la función, esto es

∆𝑓(𝑥) = (𝑥2 + 2𝑥∆𝑥 + (∆𝑥)2 − 4𝑥 − 4∆𝑥 + 3) − (𝑥2 − 4𝑥 + 3)

= (2𝑥 + ∆𝑥 − 4)∆𝑥

Ejercicios: Determine el incremento de las siguientes funciones

1. 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1

2. 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 − 4𝑥 + 5

3. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 5𝑥 − 7

Tema No. 6. La derivada de una función.

La derivada de una función en cualquiera de sus puntos,

geométricamente representa la pendiente de la recta tangente a la curva

en ese punto.

Ejemplo: Obtenga la derivada de la función 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 + 4𝑥 − 5

Aplicando la definición de derivada:

𝐷𝑥𝑓(𝑥) = limℎ→0

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ

Resulta:

= limℎ→0

3(𝑥 + ℎ)2 + 4(𝑥 + ℎ) − 5 − (3𝑥2 + 4𝑥 − 5)

ℎ

Elevando el binomio (x+h) al cuadrado y realizando los productos

indicados, se tiene:

= limℎ→0

3(𝑥2 + 2𝑥ℎ + ℎ2) + 4𝑥 + 4ℎ − 5 − 3𝑥2 − 4𝑥 + 5

ℎ

= limℎ→0

3𝑥2 + 6𝑥ℎ + 3ℎ2 + 4𝑥 + 4ℎ − 5 − 3𝑥2 − 4𝑥 + 5

ℎ

Simplificando

= limℎ→0

6𝑥ℎ + 3ℎ2 + 4ℎ

ℎ

Realizando la división

= limℎ→0

(6𝑥 + 3ℎ + 4)

Finalmente, calculando el límite cuando ℎ → 0 se obtiene la derivada de

la función

𝐷𝑥𝑓(𝑥) = 6𝑥 + 4

Ejercicios: Utilizando la definición, calcule la derivada de las

siguientes funciones.

1. 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 Respuesta: 6𝑥2

2. 𝑓(𝑥) = 3𝑥4 + 7

3. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 + 6 Respuesta: 2𝑥 + 1

4. 𝑓(𝑥) = √2 𝑥5

5. 𝑓(𝑥) =−2

𝑥4 Respuesta: 8𝑥−5

6. 𝑓(𝑥) = 2𝑥4 − 3𝑥

7. 𝑓(𝑥) = 9 − 3𝑥 − 2𝑥2 Respuesta: -3-4x

8. 𝑓(𝑥) =5

𝑥−3

9.𝑓(𝑥) =1

𝑥+3 Respuesta:

−1

(𝑥+3)2

10. 𝑓(𝑥) =3

4 𝑥 +

1

3

Tema No. 7. Teoremas para el cálculo de derivadas.

Una forma más simple que la aplicación de la definición para calcular la

derivada de una función real de variable real, es mediante el uso de

teoremas, los cuales se obtienen a partir de la definición y que pueden

ser consultados en el libro de texto y en el formulario o prontuario de

cálculo.

Ejemplo: Calcular la derivada de la función 𝑓(𝑥) =2

3𝑥2

Transformando la función a la forma de potencia

𝑓(𝑥) =2

3 𝑥−2

Aplicando el teorema y simplificando, se tiene la derivada de la función.

𝐷𝑥𝑓(𝑥) =2

3 (−2𝑥−3)

= −4

3 𝑥−3

= −4

3𝑥3

Ejercicios: Calcule la derivada de las siguientes funciones.

1. 𝑓(𝑥) = −3𝑥−3 Respuesta: 9𝑥−4

2. 𝑓(𝑥) = 5𝑥7+2𝑥 − 6

3. 𝑓(𝑥) = −8

𝑥10 Respuesta: -80𝑥−11

4.𝑓(𝑥) = 5𝑥4 − 2𝑥3 + 6𝑥 − 2

5. 𝑓(𝑥) =3

5𝑥5 Respuesta: −6𝑥−6

6. 𝑓(𝑥) = 4𝑥10 + 12𝑥7 − 5𝑥4 + 8

7. 𝑓(𝑥) = √𝑥6

Respuesta: 1

6 √𝑥56

8. 𝑓(𝑥) = 1

𝑥+

1

𝑥2-

1

𝑥3

9. 𝑓(𝑥) = 3𝑥−5 + 2𝑥−3 Respuesta:−15𝑥−6 − 6𝑥−4

10. 𝑓(𝑥) = 3𝑥3 − 3√𝑥3

+3

𝑥3− 3

Ejemplo: Obtenga la derivada de la función 𝑓(𝑥) =3𝑥2−2𝑥

3𝑥

Se desea calcular la derivada de un cociente de la forma:

𝐷𝑥 [𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)] =

𝑔(𝑥)𝐷𝑥𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥)𝐷𝑥𝑔(𝑥)

[𝑔(𝑥)]2

Aplicando el teorema correspondiente

=3𝑥(6𝑥 − 2) − (3𝑥2 − 2𝑥)(3)

(3𝑥)2=

18𝑥2 − 6𝑥 − 9𝑥2 + 6𝑥

9𝑥2

=9𝑥2

9𝑥2= 1

Ejercicios: Calcular la derivada de las siguientes funciones.

1. 𝑓(𝑥) = (𝑥2 + 2)(𝑥3 + 1) Respuesta: 5𝑥4 + 6𝑥2 + 2𝑥

2. 𝑓(𝑥) = (𝑥4 − 1)(𝑥2 + 1)

3.𝑓(𝑥) =1

3𝑥2+1 Respuesta:

−6𝑥

(3𝑥2+1)2

4. 𝑓(𝑥) =2

5𝑥2−1

5. 𝑓(𝑥) =𝑥−1

𝑥+1 Respuesta:

2

(𝑥+1)2

6. 𝑓(𝑥) =2𝑥−1

𝑥−1

7. 𝑓(𝑥) = (1 − 𝑥)2 Respuesta: 2x-2

8.𝑓(𝑥) = (5𝑥2 − 3√𝑥)5

9.𝑓(𝑥) = √(2𝑥2 − 3𝑥 + 1)35 Respuesta:

12𝑥−9

5 √(2𝑥2−3𝑥+1)25

10. 𝑓(𝑥) = (2𝑥−5)7

2𝑥

Tema No. 8. Derivada de las funciones trigonométricas

directas.

La derivada de las seis funciones trigonométricas directas se obtienen

aplicando los teoremas correspondientes que pueden ser consultados en

el texto o en el prontuario o formulario.

Ejemplo: Hallar la derivada de la función

f(x) = tan 4x3 − 2 cot x2 + sec (2x − 1)

Se tiene la derivada de una suma de tres funciones, aplicando los

teoremas correspondientes para obtener la derivada de cada término y

simplificando, se tiene:

Dxf(x) = sec24x3Dx(4x3) + 2 csc2x2Dx(x2)

+ sec(2x − 1) tan(2x − 1)Dx(2x − 1)

= 12x2sec24x3 + 4x csc2x2 + 2 sec(2x − 1) tan(2x − 1)

Ejercicios: Obtenga la derivada de las siguientes funciones

1. 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 (3𝑥 − 1) Respuesta: 3 cos (3x-1)

2. 𝑓(𝑥) = cos 2𝑥7

3. 𝑓(𝑥) = tan √𝑥3

Respuesta: 𝑠𝑒𝑐2 √𝑥

3

3 √𝑥23

4. 𝑓(𝑥) = sec (1 − 2𝑥 − 𝑥3)

5. 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 5𝑥 + cos 5𝑥 Respuesta: 5 cos 5x- 5 sen 5x

6. 𝑓(𝑥) = cot √𝑥 − csc √𝑥3

7. 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑎𝑛5𝑥5 Repuesta:25𝑥4𝑡𝑎𝑛4𝑥5𝑠𝑒𝑐2𝑥5

8. 𝑓(𝑥) = √𝑠𝑒𝑛22𝑥

9. 𝑓(𝑥) = 2𝑥−1

tan 5𝑥

10. 𝑓(𝑥) = cos (tan 3𝑥) Respuesta: −3 𝑠𝑒𝑐23𝑥 𝑠𝑒𝑛(tan 3𝑥)

Tema No. 9. Derivada de las funciones trigonométricas

inversas.

Para calcular la derivada de las funciones trigonométricas inversas,

se aplican los teoremas correspondientes que pueden consultarse en

el texto o en el prontuario o formulario.

Ejemplo: Calcule la derivada de la función 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 (4 − 5𝑥3)

Sí u= 4-5𝑥3, utilizando el teorema 𝐷𝑥 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑢 =1

√1−𝑢2 𝐷𝑥𝑢 se

tiene:

𝐷𝑥𝑓(𝑥) =1

√1 − (4 − 5𝑥3)2 𝐷𝑥(4 − 5𝑥3)

=−15𝑥2

√1 − (4 − 5𝑥3)2

Ejercicios: Derive las siguientes funciones:

1. 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 (2𝑥 − 1) Respuesta:2

√1−(2𝑥−1)2

2. 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐 cos(𝑥2 + 3)

3.𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐 tan (1 + 𝑥 + 𝑥2) Respuesta:1+2𝑥

1+(1+𝑥+𝑥2)2

4. 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐 cot(3𝑥2 − 1)

5. 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐 sec(5 − 𝑥) Respuesta:−1

(5−𝑥)√(5−𝑥)2−1

6. 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐 csc √𝑥3

7. 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐 cot √𝑥 Respuesta:−1

2√𝑥(1 + 𝑥)−1

8. 𝑓(𝑥) = √𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 2𝑥

9. 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐 tan 5𝑥

cot 7𝑥

10. 𝑓(𝑥) = ( 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 3𝑥)5 Respuesta:15(𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 3𝑥)4

√1−9𝑥2

Tema No. 10. Derivada de las funciones logarítmicas.

Para calcular la derivada de una función logarítmica, se aplican los

teoremas correspondientes que pueden ser consultados en el texto o

en el prontuario o formulario.

Ejemplo: Calcule la derivada de la función log3(𝑥3 − 𝑥2 + 1)

Considerando u= 𝑥3 − 𝑥2 + 1 , aplicando el teorema

𝐷𝑥 log𝑎 𝑢 =1

𝑢log𝑎 𝑒 𝐷𝑥 𝑢 se tiene:

𝐷𝑥𝑓(𝑥) =1

𝑥3 − 𝑥2 + 1log3 𝑒 (3𝑥2 − 2𝑥)

=3𝑥2 − 2𝑥

𝑥3 − 𝑥2 + 1log3 𝑒

Ejemplo: Determine la derivada de la función 𝑦 = ln (6𝑥2 + 3𝑥)

Considerando 𝑢 = 6𝑥2 + 3𝑥, aplicando el teorema 𝐷𝑥 ln 𝑢 =1

𝑢𝐷𝑥𝑢, se

tiene

𝐷𝑥𝑦 =1

6𝑥2 + 3𝑥(12𝑥 + 3)

=12𝑥 + 3

6𝑥2 + 3𝑥

Ejercicios: Calcule la derivada de las siguientes funciones.

1. 𝑓(𝑥) = log2(𝑥4 − 4𝑥2) Respuesta:4𝑥3−8𝑥

𝑥4−4𝑥2 log2 𝑒

2. 𝑓(𝑥) = ln(2𝑥2 − 𝑥)

3. 𝑓(𝑥) = tan (ln 𝑥2)

4. 𝑓(𝑥) = ln(𝑠𝑒𝑛 𝑥) + ln(tan 3𝑥)

5. 𝑓(𝑥) = ln(𝑡𝑎𝑛23𝑥) Respuesta: 6𝑠𝑒𝑐23𝑥

tan 3𝑥

6. 𝑓(𝑥) =cos 4𝑥

log 5𝑥

7. 𝑓(𝑥) = log5(𝑠𝑒𝑛 2𝑥)

8. 𝑓(𝑥) = log2(𝑎𝑟𝑐 cos(𝑥 − 𝑥2))

9. 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐 cos ( ln 𝑥2)

10. 𝑓(𝑥) = √1 + ln 3𝑥 Respuesta: 1

2𝑥√1+ln 3𝑥

Tema No. 11. Derivada de las funciones exponenciales.

Para calcular la derivada de una función exponencial, se aplican los

teoremas correspondientes, los cuales pueden ser consultados en el

libro de texto, en formulario o prontuario.

Ejemplo: Obtener la derivada de la función 𝑓(𝑥) = 7𝑥2+𝑥

Considerando 𝑢 = 𝑥2 + 𝑥, aplicando el teorema 𝐷𝑥𝑎𝑢 = 𝑎𝑢 ln 𝑎𝐷𝑥 𝑢,

se tiene:

𝐷𝑥𝑓(𝑥) = 7𝑥2+𝑥 ln 7 𝐷𝑥 (𝑥2 + 𝑥)

Calculando la derivada indicada y ordenando los términos, se tiene la

derivada de la función

= (2𝑥 + 1)7𝑥2+𝑥 ln 7

Ejemplo: Calcular la derivada de la función 𝑔(𝑥) = 𝑒cos 2𝑥

Considerando 𝑢 = cos 2𝑥, aplicando el teorema 𝐷𝑥 𝑒𝑢 = 𝑒𝑢𝐷𝑥 𝑢, se

tiene:

𝐷𝑥𝑔(𝑥) = 𝑒cos 2𝑥𝐷𝑥 cos 2𝑥

Calculando la derivada y ordenando los términos, se tiene la derivada

de la función

= −2 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 𝑒cos 2𝑥

Ejercicios: Calcule la derivada de las siguientes funciones.

1. 𝑓(𝑥) = 2𝑥−2 Respuesta:2𝑥−2 ln 2

2. 𝑓(𝑥) = 74−𝑥

3. 𝑓(𝑥) = 3𝑠𝑒𝑛 3𝑥

4. 𝑓(𝑥) = 43𝑥2+𝑥

5. 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥2+3𝑥−8

6.𝑓(𝑥) = 𝑒cos 𝑥3 Respuesta: −3𝑥2 𝑠𝑒𝑛 𝑥3 𝑒cos 𝑥3

Tema No.12. Derivación logarítmica.

Es un proceso que principalmente se utiliza para calcular la derivada

de una función elevada a otra función y para efectuar la demostración

de teoremas para el cálculo de derivadas.

Para este proceso se utilizan las siguientes propiedades de los

logaritmos:

a) ln 𝐴 𝐵 = ln 𝐴 + ln 𝐵

b) ln𝐴

𝐵= ln 𝐴 − ln 𝐵

c) ln 𝐴𝑛 = 𝑛 ln 𝐴

Ejemplo: Calcular la derivada de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥5𝑥

Igualando la función con y

𝑦 = 𝑥5𝑥

Aplicando el logaritmo natural

ln 𝑦 = ln 𝑥5𝑥

Aplicando la propiedad de los logaritmos

ln 𝑦 = 5𝑥 ln 𝑥

Derivando con respecto a x ambos miembros de la igualdad

1

𝑦 𝐷𝑥 𝑦 = 5𝑥 𝐷𝑥 ln 𝑥 + ln 𝑥 𝐷𝑥(5𝑥)

= (5𝑥)1

𝑥+ 5 ln 𝑥 = 5 + 5 ln 𝑥

Despejando 𝐷𝑥𝑦 𝐷𝑥𝑦 = 𝑦(5 + 5 ln 𝑥)

Sustituyendo 𝑦 = 𝑥5𝑥

𝐷𝑥 𝑥5𝑥 = 5𝑥5𝑥 + 5𝑥5𝑥 ln 𝑥

Ejercicios: Utilizando el proceso de derivación logarítmica, obtenga la

derivada de las siguientes funciones.

1. 𝑓(𝑥) = (3𝑥)2𝑥 Respuesta: (3𝑥)2𝑥(2 + 2 ln 3𝑥)

2. 𝑓(𝑥) = (3𝑥2)cos 2𝑥

3. 𝑓(𝑥) = (cos 3𝑥)𝑥+2 R:(cos 3𝑥)𝑥+2 ((−3𝑥 − 6)3𝑥 + 𝑙𝑛𝑐𝑜𝑠3𝑥)

4. 𝑓(𝑥) = (𝑥5 − 5𝑥2)5𝑥−6

5. 𝑓(𝑥) = ( 𝑠𝑒𝑛 𝑥2)cot(3𝑥−1)

Tema No. 13. Derivadas sucesivas de una función.

Al derivar una función real de variable real continua, se obtiene como

resultado una nueva función, la cual se puede dividir nuevamente. A la

derivada de la derivada de una función se le llama segunda derivada y

a las derivadas obtenidas a partir de la segunda, se llaman derivadas de

orden superior o derivadas sucesivas, siendo la primera derivada la

ordinaria.

Ejemplo: Obtenga la quinta derivada de la función

𝑓(𝑥) = 𝑥7 + 2𝑥6 − 5𝑥4 + 8𝑥3 − 2𝑥 + 2

La primera derivada de la función es:

𝐷𝑥𝑓(𝑥) = 7𝑥6 + 12𝑥5 − 20𝑥3 + 24𝑥2 − 2

La segunda derivada

𝐷𝑥 2 𝑓(𝑥) = 42𝑥5 + 60𝑥4 − 60𝑥2 + 48𝑥

La tercera derivada

𝐷𝑥3 𝑓(𝑥) = 210𝑥4 + 240𝑥3 − 120𝑥 + 48

La cuarta derivada

𝐷𝑥4 𝑓(𝑥) = 840𝑥3 + 720𝑥2 − 120

La quinta derivada

𝐷𝑥5 𝑓(𝑥) = 2520𝑥2 + 1440𝑥

Ejercicios: Obtenga la quinta derivada de las siguientes funciones.

1. 𝑓(𝑥) = 2𝑥5 − 2𝑥3 R: 240

2. 𝑓(𝑥) = cos(5𝑥 − 3)

3. 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 (3𝑥 − 2)

4. 𝑓(𝑥) = √4𝑥2 − 5

5. 𝑓(𝑥) = √2𝑥 − 1 R.105

√(2𝑥−1)9

Tema No. 14. Derivación de funciones implícitas.

Una función real de variable real es implícita cuando en su regla de

correspondencia ninguna variable está despejada en términos de la otra.

La derivada de una función implícita se puede determinar con respecto

a la variable independiente x o con respecto a la variable dependiente

y mediante el proceso denominado derivación implícita. Al derivar

funciones implícitas, es común aplicar la regla de la cadena. El

procedimiento para esta derivación se puede consultar en el libro de

texto y en el formulario o prontuario.

Ejemplo: Mediante derivación implícita, obtenga la derivada con

respecto a x de la función

3𝑥4𝑦2 + 3𝑥2 = 𝑥𝑦 + 7

Derivando con respecto a x

𝐷𝑥(3𝑥4𝑦2) + 𝐷𝑥(3𝑥2)=𝐷𝑥(𝑥𝑦) + 𝐷𝑥(7)

Aquí se debe tener en cuenta que para derivar los términos 3𝑥4𝑦2 y

𝑥𝑦 se debe aplicar el teorema de la derivada de un producto.

Calculando las derivadas y representando por y ´ la derivada de y

con respecto a x.

6𝑥4𝑦𝑦´ + 12𝑥3𝑦2 + 6𝑥 = 𝑥𝑦´ + 𝑦

Reordenando y como se desea obtener el valor de y´, los términos que

contiene a y´ se agrupan en el primer miembro, factorizando los

términos

𝑦′(6𝑥4𝑦 − 𝑥) = 𝑦 − 12𝑥3𝑦2 − 6𝑥

Despejando y’, se tiene la derivada de la función con respecto a x.

𝑦′ =𝑦 − 12𝑥3𝑦2 − 6𝑥

6𝑥4𝑦 − 𝑥

Ejercicios: Derive implícitamente con respecto a x las siguientes

funciones

1. 𝑥𝑦 + 𝑥3 = 𝑦2 R: 𝑦′ =𝑦+3𝑥2

2𝑦−𝑥

2. 𝑥3 + 𝑦2 + cos 𝑥𝑦 = 3𝑥𝑦

3. 𝑥2 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥2 = 𝑦2 − cos 𝑦

4. 𝑥3 + 𝑦2 = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 5𝑥

Tema No.15. Ecuación de las rectas tangente y normal a

una curva.

Una de las aplicaciones de la derivada, que tiene una utilidad

inmediata, y que se apoya en la definición e interpretación geométrica

de la derivada de una función real de variable real continua, consiste

en la obtención de la ecuación de la recta tangente y normal en un

punto determinado de la curva. Mediante la derivada se obtiene la

pendiente y se aplican las ecuaciones de la geometría analítica para

rectas

Ejemplo: Obtenga la ecuación de la recta tangente y normal a la curva

𝑓(𝑥) = 2𝑥3 + 3𝑥2 − 5𝑥 + 3 en el punto de abscisa x=0.

La ordenada del punto de tangencia, se calcula sustituyendo x=0 en

la ecuación de la curva.

𝑓(0) = 3

Entonces el punto de tangencia es P (0,3).

La pendiente de la recta tangente, se obtiene derivando y valuando

la función en la abscisa del punto de tangencia. La derivada de la

función es:

𝑓′(𝑥) = 6𝑥2 + 6𝑥 − 5

El valor de la pendiente de la recta en el punto de tangencia es:

𝑚 = 𝑓′(0) = −5

Aplicando los valores anteriores en la ecuación de recta conociendo

un punto y la pendiente, para obtener la ecuación de la tangente:

𝑦 − 3 = −5(𝑥 − 0)

5𝑥 + 𝑦 − 3 = 0

La ecuación de la normal es:

𝑦 − 3 =1

5(𝑥 − 0)

𝑥 − 5𝑦 + 15 = 0

Se obtiene el ángulo de inclinación de la recta tangente, esto es:

∝= 𝑎𝑛𝑔 tan 𝑚 = 𝑎𝑛𝑔 tan(−5)

∝= 101º

Se obtiene el ángulo de inclinación de la recta normal sumando 90° al

ángulo de la recta tangente, esto es:

𝛽 = 101º + 90º = 191º

Ejercicios: Obtenga la ecuación de la recta tangente y normal a la

curva en el punto indicado, graficando en cada caso la curva y ambas

rectas en el mismo plano.

1. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 3, 𝑒𝑛 𝑥 = 1 R: 2x-y-4=0, x+2y+3=0

2. 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 + 6𝑥 − 5, 𝑒𝑛 𝑥 = 1

3. Obtenga la ecuación de la recta tangente a la curva 𝑦 =

𝑥2 − 3𝑥 − 10 , con ángulo de inclinación de 135°.

4. 𝑓(𝑥) = 4 − 𝑥2 en x=-2 R: 4x-y+8=0, x+4y+2=0

Tema No. 16 Máximos y mínimos de una función.

La principal utilidad al obtener los puntos máximos y mínimos de una

función, así como los intervalos donde es creciente y decreciente es para

realizar un esbozo general de la gráfica de la función, sin embargo, en

problemas de aplicación el objetivo principal es determinar los valores

máximos o mínimos que optimicen el problema.

Para determinar los puntos máximos y mínimos de una función, así como

los intervalos donde es creciente y decreciente, se emplea el

procedimiento que marca el libro de texto utilizando el criterio de la

primera y segunda derivada.

Ejemplo: Obtenga los puntos máximos y mínimos de la función

𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥2 − 9𝑥 + 3 , así como los intervalos en los cuales es

creciente y decreciente.

Derivando la función

𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 − 6𝑥 − 9

Igualando con cero la primera derivada

3𝑥2 − 6𝑥 − 9 = 0

Simplificando y resolviendo la ecuación, se tiene la abscisa de los puntos

críticos

𝑥2 − 2𝑥 − 3 = 0

(𝑥 − 3)(𝑥 + 1) = 0

x-3=0 x+1=0

x=3 y x=-1

Calculando la segunda derivada de la función

𝑓′′(𝑥) = 6𝑥 − 6

Valuando la segunda derivada en los puntos críticos.

X

𝑓′′(𝑥)= 6𝑥 − 6

-1

6(-1)-6=-12 𝑓′′(𝑥) < 0 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑢𝑛 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑒𝑛 𝑥= −1

3 6(3)-6=12 𝑓′′(𝑥) > 0 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑢𝑛 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑒𝑛 𝑥 = 3

Valuando los puntos críticos en la función original, se tiene el valor de

sus ordenadas

x 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥2 − 9𝑥 + 3

-1 (−1)3 − 3(−1)2-9(-1)+3= 8 Entonces se tiene un máximo en (-1,8)

3 −3(3)2 − 9(3) + 3 = −24 Entonces se tiene un mínimo en (3,-24)

A partir de estos datos, se determinan los intervalos donde la función es

creciente o decreciente, es importante tener en cuenta que estos

mismos intervalos también es posible obtenerlos mediante la primera

derivada de la función.

La función es creciente en: 𝑥 ∈ (−∞, −1) y en (3,∞)

La función es decreciente en: 𝑥 ∈ (−1,3)

Se deja al estudiante el trazo de la gráfica.

Ejercicios: Trace la gráfica de las siguientes funciones determinando

sus puntos máximos y mínimos, así como los intervalos en los cuales es

creciente y decreciente.

1. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 6𝑥 − 1 R: D (−∞, 3), 𝑀𝑖𝑛(−3,10), 𝐶(−3, ∞)

2. 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 − 4𝑥 − 2

3. 𝑓(𝑥) = 3 − 8𝑥 − 𝑥2

4. 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 − 7𝑥 + 2

5. 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 − 3𝑥2 R: C(−∞, −4), 𝑚á𝑥(−4,19), 𝐷(−4, ∞)

Tema No. 17. Problemas de aplicación de máximos y mínimos.

Algunos problemas de planteo en los cuales la solución es un máximo o

un mínimo, pueden resolverse con la teoría que se ha desarrollado hasta

el momento.

La aplicación principal de este tipo de problemas se presenta en

problemas de optimización, en los cuales se pide obtener uno o varios

valores máximos o mínimos. No existe un método general que se pueda

aplicar para resolver todos los problemas de este tipo, pero en el libro

de texto se hacen algunas recomendaciones que el estudiante puede

consultar.

Por problema práctico entendemos un problema que puede surgir en la

vida cotidiana. Tales problemas en raras ocasiones tienen puntos

singulares; por lo regular en éstos los valores máximos y mínimos se

presentan en puntos estacionarios, aunque también deberán

comprobarse los puntos frontera.

Ejemplo: Un proyectil es disparado siguiendo una trayectoria parabólica,

dada por la ecuación ℎ = −𝑡2 + 8𝑡 − 13, donde h es la altura en metros

y t el tiempo en segundos. Halle el tiempo en que alcanza su altura

máxima y el valor de ésta.

En este caso la función objetivo a maximizar es ℎ = −𝑡2 + 8𝑡 − 13

Derivando la altura con respecto al tiempo, igualando a cero y

resolviendo la ecuación

ℎ′ = −2𝑡 + 8

−2𝑡 + 8 = 0

𝑡 = 4

Por lo tanto el punto crítico se presenta cuando t=4

La segunda derivada es ℎ′′ = −2

En el punto crítico ℎ′′(4) = −2 < 0 entonces en t= 4 la función

presenta un máximo. Sustituyendo t en h se obtiene ℎ =

−(4)2 +8(4)-13 =3, por lo tanto el proyectil tarda 4 segundos en

alcanzar la altura máxima que es de 3 metros.

Ejercicios:

1. Un diseñador gráfico tiene que realizar un trabajo donde tenga 180

cm2 de material impreso, dejando 3 cm de margen superior e

inferior y 2 cm de margen izquierdo y derecho. Determine las

dimensiones que debe tener el trabajo para que se utilice la menor

cantidad de papel posible. R. 14.95 X 22.43 cm

2. Se desea cercar un terreno utilizando 200 m de rollo de tela de

alambre, el terreno cercado debe quedar en forma cuadrada o

rectangular. Determine las dimensiones del terreno de tal manera

que el área cercada sea máxima.

3. Encuentre el volumen de la caja sin tapa más grande que se pueda

hacer con una hoja cuadrada de cartón, de 24 pulgadas de lado,

cortando cuadrados iguales en las esquinas y doblando.

R: 1024 pulgadas cubicas.

4. Un proyectil es disparado siguiendo una trayectoria parabólica,

dada por la ecuación ℎ = −1

4 𝑡2 + 60𝑡, donde h es la altura en

metros y t el tiempo en segundos. Halle el tiempo en que alcanza

su altura máxima y el valor de esta.

5. Se requiere construir un recipiente cilíndrico sin tapa empleando

480 cm2 de lámina. ¿Qué dimensiones debe tener el cilindro para

que el volumen contenido en el sea máximo? R. r, h=7.13 cm

GLOSARIO.

Abscisa. Una de las dos coordenadas rectilíneas que fijan la posición

de un punto en el plano (x ).

Amplitud. De un intervalo (a, b)

Aproximación. Evaluación o cálculo empírico con resultado inexacto,

pero lo suficientemente cercano al real para considerarse suficiente.

Asíntota. Línea recta que, prolongada indefinidamente, se acerca de

continuo a una curva, sin llegar a encontrarla nunca.

Cálculo Diferencial. Rama de las matemáticas que trata de las

unidades de cambio en las cantidades variables. En el cálculo diferencial

se consideran solamente los incrementos en las cantidades variables; se

antepone a ellas el símbolo “d”, lo que significa un incremento.

Coordenadas. Se le llama coordenada a la pareja (x, y) que determina

la distancia que un punto guarda en relación con los ejes de coordenadas

rectilíneas o cartesianas. La x se define como la abscisa y es la distancia

ortogonal que dicho punto guarda con el eje de las Y, y la coordenada

“y” representa la distancia ortogonal que el punto guarda con respecto

al eje X.

Curva. Línea o trayectoria que se desvía constantemente de su

dirección y no contiene ninguna posición de línea recta. Es el lugar

geométrico de las posiciones sucesivas que ocupa un punto que se

traslada con arreglo a una determinada ley; por lo tanto, es una figura

geométrica determinada por un sistema de coordenadas y la expresión

gráfica de la variación que experimenta una magnitud en función de otra

u otras, de cuya definición se desprende que una recta es un caso

particular de curva.

Derivación. Es la operación con la que se encuentra la derivada de una

función.

Discontinuo. Magnitud que varía por saltos y no gradualmente.

Función, derivada de una. Es la tendencia de una función al

acercamiento a un valor dado de la variable independiente. Existen

varias fórmulas para derivar.

Funciones implícitas. Son implícitas cuando su dependencia con la

variable independiente no se encuentra en forma de ecuación resuelta,

como es: 5𝑥𝑦 − 2𝑦 = 8, en este caso “y” es una función

implícita de x.

Funciones, valores críticos . Se llaman valores críticos a los valores

en los que una función encuentra un máximo, un mínimo o un punto de

inflexión, éstos se localizan derivando la función e igualando a cero. Los

valores de x que satisfacen a f’(x) se llaman valores críticos.

Límite de una función. Es el valor al que tiende el resultado de la

operación cuando la variable tiende a un valor predeterminado. Como

es decir que el límite de f(x) cuando x tiende a “a” sea k.

Máximo. Límite superior de una cosa. Valor mayor de una cantidad

variable entre ciertos límites.

Trascendentes. Ecuaciones y funciones que no se pueden representar

por expresiones algebraicas, porque intervienen en ellas logaritmos,

funciones trigonométricas o ecuaciones en las que el exponente es la

variable.

Variable dependiente. Magnitud que en una relación o función

depende del valor que se le asigne a otras variables.

Variable independiente. Magnitud que no depende de otra para

obtener su valor.

BIBLIOGRAFIA.

LEITHOLD, Louis, 1987, El Cálculo con Geometría Analítica, México,

Harla.

ZILL, Dennis G., 1987, Cálculo con Geometría Analítica, México, Grupo

Editorial Iberoamérica.