INDICE - Raquel Serrano Lledó · En el caso de PERFILES ABIERTOS y trabajando en una diferencial...

Área: mecánica de medios continuos y teoría de estructuras / Universidad de Málaga

Elasticidad y resistencia de materialesSECCIONES DE PARED DELGADA INDICE

13.1 Introducción.

13.2 Flexión compuesta. Tensiones normales.

13.3 Esfuerzo Cortante. Tensiones tangenciales

13.4 Centro de Esfuerzos Cortantes.

13.5 Torsión libre. Analogía de la membrana.

perfiles abiertos / perfiles cerrados

a2

a1

he

e2

e1

r2r2

r1r1 Cuando el espesor es del orden de la décima parte de la altura del perfil se trata

de un perfil de PARED DELGADA.

he ·1'0≈

Dada la distribución de su masa a lo largo de la sección, conviene usar un sistema

de COORDENADAS CURVILINEAS.

(definir una línea media s a lo largo de la sección; para cada valor de s existe un

eje tangente a la línea media, otro normal n y el eje longitudinal x del perfil)

A causa de sus peculiaridades geométricas las secciones de pared

delgada presentan ciertos comportamientos distintos a las barras de

geometrías conocidas hasta ahora.


Elasticidad y resistencia de materialesSECCIONES DE PARED DELGADA

introducción.

En la barra maciza, el efecto de la aplicación de la carga P/2 se produce tán solo en el entorno de los puntos de aplicación (Saint Venant). En la barra de pared delgada se produce en toda la sección (cada

ala se comporta como una barra flexionada y el alma se torsiona).

En general, en las secciones de pared delgada ha de tenerse en cuenta la posibilidad de que cada uno

de los elementos que las forman puede comportarse como un elemento aislado.



flexión compuesta. tensiones normales.

En una barra de pared delgada es necesario imponer equilibrio de fuerzas longitudinales

en un trozo de rebanada.

Constituida por un diferencial de longitud y a lo largo de la sección, desde el origen de la

coordenada ‘s’ hasta un valor de ‘s’ cualquiera.

En el caso de PERFILES ABIERTOS y trabajando en una diferencial de longitud de la barra.

Teniendo en cuenta la reciprocidad de las tensiones tangenciales (τXS=τSX; τSX0=τXS0) y, suponiendo que no existen fuerzas rasantes actuando sobre el contorno de la barra,

se aplica equilibrio de fuerzas en la dirección longitudinal de la barra:

suponiendo que sólo actúa un momento flector MZ, en ejes principales:

siendo SZ el momento estático de la sección entre 0 y s respecto al eje z . . .



cortante. tensiones tangenciales.

. . . y trabajando en ejes principales.

Si los ejes no son principales y existe flexión esviada, la expresión de la tangencial se complica un poco:

para fijar el criterio de signos se considera que se recorre el perfil de derecha a izquierda y de arriba a abajo.

Si se representan estas tensiones tangenciales sobre un diagrama de la sección, su forma recuerda a un cierto fluido que recorriera el perfil

como si éste fuese un canal, de ahí el término FLUJO DE CORTANTE, con el que se las conoce.

SECCION EN 'U'

para determinar el valor de tensión tangencial por cortante habrá que

determinar el Momento de Inercia de la sección con respecto al eje OZ



Ahora ya se puede calcular al tensión normal en cada parte de la sección.


Comenzando con el ALASe toma una cota 's' genérica con origen en el extremo del ala, cuyo momento estático respecto de OZ es:

Continuando por el ALMA

S Z s=s· e1 ·h2

Y considerando el espesor del ala (e1):

Expresión que es lineal en funcion de la coordenada 's'.

Se toma una cota 's' genérica con origen en el extremo del ala, cuyo momento estático respecto de OZ es la suma de cada uno de los momentos estáticos de las áreas simples que la componen (referido a 'y'):

La tensión tangencial en el alma, considerando que el espesor es'e', es:

Y el flujo de cortante en el ala es:




Ahora, en el ALMA, la expresión de la tensión tangencial es parabólica:

Puede además comprobarse que los flujos cortantes de ala y alma coinciden en la unión ala-alma:

SECCION EN ' I ' Lo primero es determinar el valor del momento de inercia respecto del eje OZ como la inercia de una sección compuesta:

Que resulta ser el mismo que en el perfil en U que ya se ha visto:




Comenzando con el ALA

Conocido el valor del momento de inercia de la sección respecto del eje OZ ya pueden calcularse las tensiones tangenciales en las alas y el alma:

Se toma una cota 's' genérica con origen en el extremo de cualquiera de las alas, cuyo momento estático respecto de OZ es (área sombreada):

Y considerando el espesor del ala (e1), la tensión tangencial será:

Expresión que es lineal en función de la coordenada 's'.


Y continuando con el ALMACuyo momento estático respecto de OZ, por ser una sección compuesta, es la suma de cada uno de los momentos estáticos de las áreas simples que la componen (referido a 'y'):



Y considerando el espesor del ala (e1), la tensión tangencial será:

Expresión que es lineal en función de la coordenada 's'.



Como en el caso de la sección en U, el flujo coincide en la unión ala - alma:

Puede comprobarse en la figura que en el alma las tensiones van hacia abajo, mismo sentido que el cortante, y que la distribución de tensiones tangenciales en las las es tal que existe continuidad en el flujo ala – alma. En las alas se produce un equilibrio tensional.



SECCION GENERICA

PERFILES CERRADOS

Son perfiles en los que es difícil establecer el origen de la coordenada natural 's' (al no existir un extremo libre). Por tanto ha de elegirse un origen cualquiera con la particularidad de que en el punto de origen elegido el flujo de cortante no será

de valor nulo.


Del mismo modo que se hizo con los perfiles abiertos,

habrá de establecerse el equilibrio en una rebanada.

Se hace equilibrio de fuerzas en la dirección del eje longitudinal de la barra con la diferencia de que ahora la tensión tangencial, y por tanto el flujo, no serán nulos para la coordenada s=0

Considerando esto, el equilibrio según el eje OX será:

En caso de que el perfil sea simétrico (o bien se trabaje en ejes principales de inercia), se verificará:




Con lo que la expresión anterior queda reducida a:

En definitiva, la expresión del flujo de cortante anterior es igual a la del perfil abierto más el término q

0 (desconocido).

Independientemente del sistema de ejes elegido, la expresión general del flujo de cortante de un perfil cerrado es:

Para calcular el término q0 se va a imponer una

condición de deformación angular:

Que consiste en suponer que el desplazamiento según el eje OX de un punto es igual en las coordenadas s=0 y s=S, (cuando se ha dado una vuelta completa al perfil).

Como la sección transversal no gira según el eje OX ni se deforma en el plano OYZ, puede afirmarse que los desplazamientos según los ejes OY y OZ son iguales para todos los puntos de la sección, o lo que es lo mismo, para cualquier valor de 's'.

Por tanto el desplazamiento us se

descompone tal y como muestra la figura:



Sacando de la integral los términos independientes y considerando que son nulas las integrales trigonométricas (puesto que al recorrerse el perfil cerrado completo el ángulo varía entre cero y 2π:


Y como q0 se ha definido como constante, puede

deducirse:

Proceso que se simplifica enormemente en el caso de que la sección sea simétrica, tal y como puede comprobarse en el siguiente ejemplo:

Sea la sección formada por dos perfiles U como los ya vistos con anterioridad.

El origen de la coordenada natural 's' es el eje OY. En dicho punto el flujo de cortante (q0) es nulo por simetría, por lo que hay que determinar qs.

El momento de inercia de la sección es el doble del de el perfil en U.

El momento estático es la suma de las secciones simples.

Y las tensiones son la mitad que las del perfil U porque el momento de inercia es el doble.



centro de esfuerzos cortantes.

La resultante de las tensiones tangenciales vistas en las páginas anteriores es el esfuerzo

cortante

A causa de su dirección, esas tensiones tangenciales generan un MOMENTO

TORSOR que, aplicado en el C.D.G. de la sección, responde a esta expresión:

El CENTRO DE ESFUERZOS CORTANTES es el punto respecto del cual el momento que produce el sistema de tensiones tangenciales, citado con anterioridad, es nulo.

ejemplo:

PERFIL EN 'U'

Calcular la fuerza resultante en alas y alma.




Las fuerzas en las dos alas son iguales y de sentido contrario, por lo que

constituyen un par de fuerzas de magnitud:

El momento total que producen TODAS las tensiones tangenciales que actúan en la sección es:

La suma del que producen las alas más el que produce el alma.

(siendo c la distancia horizontal entre resultante y punto de aplicación)

(su dirección es en OX y su sentido hacia fuera del papel)

En caso de que el cortante actúe en OZ, la distribución de tensiones tangenciales sería como en

esta figura de la derecha.

Cuya resultante vertical es nula y la horizontal igual al esfuerzo cortante en OZ.

Resumiendo:

Cortante VY => C.E.C. sobre OY

Cortante VZ => C.E.C. sobre OZ

Cortante VYZ

=> C.E.C. sobre punto (y,z)=(0,c)



Procedimiento para calcular el C.E.C. en una sección cualquiera.

1. Obtener la distribución de tensiones tangenciales debida a los esfuerzos cortantes V

Y y V

Z.

2. Calcular el momento en un punto cualquiera (no tiene por que ser el c.d.g. de la sección)

3. Relacionar el momento respecto a ese punto con el momento respecto a otro punto.

(MO=V

Y·c

Z+V

Z·c

Y)

ejemplo:

PERFIL CIRCULAR ABIERTO 1. Tensiones tangenciales debidas al cortante VY:

Para s=R·θ

2. Momento estático de la sección:

3. Momento de inercia de la sección:




4. Expresión de las tensiones tangenciales en la sección:


5. Momento en un punto cualquiera (por simplicidad en el centro):

Respecto al cortante VZ:

Para determinar la coordenada vertical del C.E.C. (cY)

ha de tenerse en cuenta la existencia de simetría en carga y forma, por lo que el momento según OY será

nulo.La distribución de tensiones de V

Z puede verse a la

izquierda de estas líneas:

Conclusiones acerca de la posición del C.E.C.:

1. Si la sección tiene un eje de simetría el C.E.C. se encuentra en ese eje.

2. Si la sección tiene dos ejes de simetría, el C.E.C. está en su intersección.

3. Si la sección está formada por varios rectángulos concurrentes, el CEC está en su confluencia.




Resumiendo:

La determinación del C.E.C. es muy importante a la hora de la obtención de esfuerzos.

Si una barra está sometida a una fuerza transversal aplicada fuera de su CEC se verá sometida, además, a un momento torsor de igual valor que el que provoca la

fuerza en el C.E.C.

En el diseño de elementos resistentes habrá que evitar que las fuerzas transversales aplicadas sobre una

determinada sección actúen fuera del C.E.C.



torsión libre. analogía de la membrana.

Objeto de estudio:

Perfiles de sección abierta sometidos a torsión pura; es decir, resultante de fuerzas nula y resultante de

momentos paralela al eje longitudinal de la barra pasando por el C.E.C.

Viabilidad del modelo:

En los problemas que involucran torsión sobre secciones de pared delgada las simplificaciones propias de la resistencia de materiales no son del todo validas.

Ha de acudirse a analogías de comportamiento.

Analogía de la membrana:

Si se considera una membrana de la misma forma que la sección resistente cuya torsión se desea estudiar y se

la somete a una diferencia de presión entre ambos lados, la forma que adopta la membrana informa de cómo es el estado tensional derivado del esfuerzo de

torsión.




En consecuencia:

1. La tangente a una curva de nivel, en cualquier punto, de la membrana deformada da la dirección de la tensión tangencial en

el punto correspondiente de la sección sometida a torsión.

2. La pendiente máxima de la membrana, en cualquier punto, es igual al valor de la tensión tangencial, en el punto correspondiente, de la sección sometida a torsión.

3. El doble del volúmen comprendido entre la superficie deformada de la membrana y el plano de su contorno es igual al

momento torsor que solicita la sección

...lo anterior es fácil de probar para una sección circular...

1. El dibujo de la derecha muestra como, por simetría, cada círculo concéntrico es una curva de nivel de al deformada (sometida por tanto a una presión

uniforme P y traccionada uniformemente mediante una fuerza N). Ya se ha visto que la tensión tangencial en secciones circulares depende tan solo del radio

(τ=G·r·θ)

2. Aplicando equilibrio de fuerzas verticales en uno de los círculos concéntricos de la figura de la derecha se verifica:

y como entonces:

3. Finalmente, para calcular el volumen encerrado por la membrana y el plano horizontal se calculará primero la cota de la deformada:

Integrándola luego a lo largo de toda la proyecciónhorizontal de la membrana:




...y algo más complejo en otro tipo de sección... Sección rectangular:

1. Las curvas de nivel de la deformada de la membrana son las que se muestran en la figura superior, siendo las

tensiones tangenciales tangentes a las mismas.

2. Cuando más cerca del borde, mayor es la pendiente radial de al deformada y, por tanto, mayor es el valor

de tensión tangencial.

3. En los extremos mayores la pendiente es mayor (véase la planta). Por ello el valor de tensión tangencial

es máximo en la mitad del lado mayor, como ya se enunció.

Una sección abierta es aquella en la que una dimensión es mucho mayor que la otra, siendo la línea media recta o curva, o bien una serie de figuras de esas características unidas en algún punto.



Secciones abiertas vs. secciones cerradas,


En general, las secciones abiertas trabajan mucho peor a torsión que las cerradas. Ello puede comprobarse en

la distribución de tensiones esquematizada para las dos secciones del dibujo que representan la analogía de la

membrana aplicada a ambas secciones.

Nótese como en el perfil abierto se produce un cambio de pendiente de la deformada a lo largo del espesor de la sección mientras que en el cerrado dicha pendiente

permanece constante a lo largo del mismo.

En las secciones abiertas el momento torsor es del orden de la magnitud de la fuerza total por el espesor:

Mientras que en las cerradas lo es por la altura de la sección:

(para ambas, la fuerza es la tensión característica por el área)

La comprobación de tensiones es contundente:

La tensión tangencial en secciones cerradas es mucho menor que en secciones abiertas; las secciones cerradas trabajan mucho mejor a torsión.




SECCION RECTANGULAR ABIERTA FORMADA POR UN RECTÁNGULO

El resultado es independiente se si la directriz es recta o curva. Las dimensiones son exS, con 3/S --> ∞.

Ya se han visto los valores de tensión tangencial máxima y giro por unidad de longitud:

SECCION RECTANGULAR ABIERTA FORMADA POR VARIOS RECTANGULOS

En las secciones de este tipo, el momento torsor se reparte entre todos los rectángulos que las componen.

El giro es una característica de la sección y, como tal, común a todos los rectángulos que la componen.

Para obtener la tensión en cada rectángulo se combinan las tres expresiones anteriores:



SECCION CERRADA

La tensión tangencial debida al torsor es aproximadamente constante a lo largo de la sección:

Ya se ha comentado el concepto de 'flujo de cortante'.

El cual es constante para la variable natural 'S'.

En este caso, el equilibrio de fuerzas se estudia en una diferencial de longitud.

Y el torsor es el momento resultante de ese flujo según en eje OX.

Siendo la tensión tangencial debida a ese torsor:

Y el giro por unidad de longitud se obtiene del análisis de desplazamientos por métodos que involucran la

energía de deformación:

A* = superficie encerrada por la línea media de la sección




SECCION CIRCULAR ABIERTA

VS.

SECCION CIRCULAR CERRADA

TENSIÓN TANGENCIAL DEBIDA AL TORSOR

GIRO POR UNIDAD DE LONGITUD

COMPARACION DE TENSIONES COMPARACION DE GIROS




SECCION RECTANGULAR ABIERTA

VS.

SECCION RECTANGULAR CERRADA

TENSIÓN TANGENCIAL DEBIDA AL TORSOR

GIRO POR UNIDAD DE LONGITUD

COMPARACION DE TENSIONES COMPARACION DE GIROS

INDICE - Raquel Serrano Lledó · En el caso de PERFILES ABIERTOS y trabajando en una diferencial...

Documents

Transcript of INDICE - Raquel Serrano Lledó · En el caso de PERFILES ABIERTOS y trabajando en una diferencial...