Indice - tifon.fciencias.unam.mxtifon.fciencias.unam.mx/hml/chain-recurrence-2.pdf · Un espacio m...

NOTAS: DINAMICA DISCRETA E HIPERESPACIOS

HECTOR MENDEZ LANGO

Indice

1. Lo que pretendemos 12. Primeras definiciones y propiedades 33. Puntos periodicos en el intervalo y en la circunferencia 133.1. La circunferencia 143.2. Equivalencia topologica 154. Hiperespacios 185. El espacio de las funciones continuas 336. Recurrencia usando cadenas 377. Transitividad 458. Transitividad y funciones inducidas 589. Transitividad por cadenas 6710. El omega conjunto lımite 7211. Dinamica de f en ω(x, f) 7612. Propiedades de sombreado 9013. Dinamica simbolica 10014. Entropıa 10515. Funciones turbulentas 12116. Lımites inversos 12317. Parejas proximas y puntos distantes 12617.1. Lo que sucede en el hiperespacio 12917.2. Funciones puntualmente casi periodicas 13417.3. Funciones equicontinuas 13718. Conjeturas ingenuas y preguntas aparentemente abiertas 142Referencias 145

1. Lo que pretendemos

Un espacio metrico compacto X, y una funcion continua de este espacio en sımismo, f : X → X, da lugar a un sistema dinamico discreto, (X, f).

Una coleccion Λ, no vacıa, de subconjuntos compactos de X es un hiperespacio.Dos grandes caminos, no ajenos entre sı, se abren ante nosotros.Uno. Si tenemos la suerte de que para cada A ∈ Λ, se tenga que f(A) ∈ Λ,

entonces es casi inmediato definir una funcion F : Λ → Λ, dada por A → f(A).Con esto obtenemos un segundo sistema dinamico discreto, (Λ, F ).

Date: 9 de diciembre de 2019.

1

2 HECTOR MENDEZ LANGO

Observemos que el primero de estos sistemas, (X, f), describe el movimiento delos puntos de X. Para cada x ∈ X estudiamos el comportamiento de la sucesion

o(x, f) = x, f(x), f2(x), f3(x), . . ..El segundo, (Λ, F ), describe el movimiento de los subconjuntos compactos de X

que estan en Λ,

o(A,F ) = A,F (A), F 2(A), F 3(A), . . ., A ∈ Λ.

De cierta manera, uno trata de la dinamica individual, el otro trata de la dinami-ca colectiva.

Dado que ambos sistemas nacen a partir de los mismos datos, el espacio X y lafuncion f : X → X, es de esperar que haya varias (ojala interesantes) relacionesentre la propiedades dinamicas de uno y el otro.

Dos. El sistema dinamico (X, f) tambien deja una huella, en el terreno de loshiperespacios. La idea basica es poner atencion a los efectos que provoca la funcionf al aplicarla a algunas colecciones de subconjuntos de X.

Por ejemplo podemos considerar, para cada f : X → X,

La coleccion de todos los conjuntos compactos, no vacıos, fuertemente inva-riantes bajo f ,

Λ(f) = A ⊂ X : A = ∅, A compacto, f(A) = A.La coleccion de todos los omega conjuntos lımite,

ω(f) = A ⊂ X : existe x ∈ X, tal que A = ω(x, f).Adoptando este punto de vista, resulta que la funcion f : X → X provoca

la aparicion de varios hiperespacios. La meta en esta parte es encontrar posiblesrelaciones entre las propiedades dinamicas del sistema (X, f) y las propiedadestopologicas de los hiperespacios generados por el.

La esperanza es que dos funciones distintas, digamos f : X → X y g : X → X,dejen senales distintas en este mundo de las colecciones de conjuntos. Y, claro, queesa distincion tenga relacion con la dinamica de cada una de ellas.

En resumen, iniciar al lector en el estudio de estos temas, es la meta de estasnotas.

AgradecimientosEstudiantes. Rafael Alcaraz, Beatriz Cuevas, Uriel Dıaz, Belen Espinosa, Leobar-

do Fernandez, Axell Gomez, Jose Luis Gomez, Adriana Gonzalez, Paloma Hernandez,Galo Higuera, Tatiana Mendoza, Jorge Moreno, Manuel Paniagua, Silvia Pina, Arti-co Ramırez, Leonel Rito, Emily Sanchez, Claudia Solıs, Rosa Marıa Vargas, AlfredoZaragoza.

Profesores. Gerardo Acosta, Paz Alvarez, Aubin Arroyo, Marcy Barge, JavierCamargo, Janusz Charatonik, Wlodzimierz Charatonik, Xavier Gomez-Mont, Ale-jandro Illanes, Tom Ingram, Jefferson King, Sergio Macıas, Jorge Martınez, Veroni-ca Martınez de la Vega, Sam Nadler, Javier Pulido, Sonia Sabogal, Pepe Seade,Guillermo Sienra.

Dibujantes. Tania Chicalote, Angelica Macıas.

NOTAS: DINAMICA DISCRETA E HIPERESPACIOS 3

2. Primeras definiciones y propiedades

Sea X = (X, d) un espacio metrico compacto. Dados x ∈ X y ε > 0, la bola deradio ε con centro en x es el conjunto:

BX(x, ε) = y ∈ X : d(x, y) < ε .Si no hay confusion, respecto al espacio del que estamos hablando, escribiremos

B(x, ε) en lugar de BX(x, ε). Si A ⊂ X es un conjunto tal que B(x, ε) ⊂ A, paraalguna ε > 0, decimos que A es una vecindad del punto x.

Sea A ⊂ X. La cerradura, el interior y la frontera de A las denotamos con cl(A),int(A) y fr(A), respectivamente. Si A = ∅, el diametro de A esta dado por

diam(A) = supd(a, b) : a, b ∈ A.Sea f : X → X una funcion continua en X. Todas las funciones consideradas en

estas notas son funciones continuas. A pesar de este anuncio, el texto esta salpicadode frases donde se le recuerda al lector esta premisa general. Ası sucede tambiencon algunas otras declaraciones que describen y limitan el terreno que estamosestudiando. La idea de las repeticiones y los recordatorios es tomar en cuenta a losposibles lectores audaces que inician su recorrido en una pagina cualquiera.

Sea x ∈ X. La sucesion de puntos

o (x, f) =x, f (x) , f2 (x) , f3 (x) , . . .

es la orbita de x bajo f . El sımbolo fn representa la composicion de f consigomisma n veces. Definimos f0 como la funcion identidad en X, id : X → X.

Si bien o(x, f) es una sucesion, hay lugares en estas notas donde o(x, f) es consi-

derada como un conjunto. Esta es una diferencia sutil que conviene tener en cuenta.Confiamos que el lector hara los ajustes necesarios cuando sea el momento indicado.

La sucesion o (x, f) =x, f (x) , f2 (x) , . . .

provoca la siguiente imagen: La

posicion original de un objeto es x, una unidad de tiempo despues el objeto esta enf(x), dos unidades despues en f2(x), y ası sucesivamente. El objeto, o la partıcula,se mueve cada vez que el tiempo avanza de una unidad a la siguiente. Si pasamosde n a n + 1, la posicion cambia de fn(x) a fn+1(x). Esta imagen es solo unainterpretacion de la informacion contenida en o(x, f). Ası cada orbita describe unmovimiento que tiene lugar en el espacio X.

Estudiar la dinamica generada por f : X → X es tomar en cuenta todas lasorbitas posibles. Cada punto de X es el inicio de una orbita. Si la cardinalidad deX es infinita, entonces hay una infinidad de movimientos, en principio, distintos. Laidea es observar esta infinidad de opciones y, de alguna manera, descubrir algunosrasgos de su estructura interna. De nuestro lado esta el hecho de que X es metricoy compacto y de que f : X → X es continua.

Una vez advertidos, iniciemos nuestra travesıa.La idea que nos anima en estos primeros pasos es distinguir orbitas que des-

criben movimientos sencillos (en algun sentido) de las que describen movimientoscomplicados o complejos.

Definicion 2.1. Decimos que x0 ∈ X es un punto fijo de f : X → X si f (x0) = x0.

El conjunto de todos los puntos fijos de f lo denotamos con Fix(f). Si x0 ∈Fix(f), entonces o (x0, f) = x0, x0, x0, . . ..

La letra N representa al conjunto de los numeros naturales, es decir, los numerosenteros positivos.


Definicion 2.2. Sean f : X → X, x ∈ X. Decimos

que x es un punto periodico de f si existe n ∈ N tal que fn(x) = x,que x es un punto recurrente de f si para toda ε > 0 existe n ∈ N tal qued(x, fn(x)) < ε,que x es un punto no errante de f si para toda ε > 0 existen n ∈ N y unpunto z ∈ X tales que d(x, z) < ε, y d(x, fn(z)) < ε.

Denotamos con Per(f) al conjunto de todos los puntos periodicos de f , con R(f)al conjunto de todos los puntos recurrentes de f , y con Ω(f) a todos los puntos noerrantes de f . Si x ∈ Per(f), entonces

N = mınn ∈ N : fn(x) = xes el periodo de x.

De las definiciones se sigue que

(1) Fix(f) ⊂ Per(f) ⊂ R(f) ⊂ Ω(f).

Pertenecer a alguno de los conjuntos Fix(f), Per(f), R(f), Ω(f) nos dice quela orbita correspondiente tiene algun tipo de recurrencia. Es decir, o(x, f) regresaal lugar de partida, o cerca de el, en distintos momentos. Los conjuntos Fix(f) yPer(f) representan recurrencias absolutas. Pertenecer a R(f) describe una recu-rrencia, en cierto sentido, mas relajada. Si x ∈ R(f), entonces, bajo las iteracionesconvenientes, o(x, f) pasa tan cerca de x como sea deseado. Saber que un punto xesta en el conjunto Ω(f) nos dice que algunos puntos cercanos a x regresan a lugarescercanos x. A pesar de lo debil de este ultimo tipo de recurrencia, el conjunto delos puntos no errantes, Ω(f), resulta ser muy importante.

Existen ejemplos de funciones continuas definidas en el intervalo unitario,

[0, 1] = x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1,f : [0, 1] → [0, 1], en donde se muestra que cada una de las contenciones descritasen (1) no es necesariamente una igualdad. Ver ejemplos 2.14 y 7.11, en las paginas8 y 49.

Dados f : X → Y , una funcion continua, y un conjunto A ⊂ X, f(A) denota laimagen de A bajo f . Es decir,

f(A) = y ∈ Y : existe a ∈ A tal que y = f(a).Las equivalencias contenidas en las Proposiciones 2.3 y 2.4 muestran que es

posible definir puntos recurrentes y puntos no errantes sin utilizar directamente lametrica del espacio X. Las demostraciones correspondientes son sencillas y se dejanen manos del lector.

Proposicion 2.3. Sean f : X → X, x ∈ X. Entonces x es un punto recurrentede f si y solo si para todo subconjunto abierto U de X con x ∈ U , existe n ∈ N talque fn(x) ∈ U .

Proposicion 2.4. Sean f : X → X, x ∈ X. Entonces las siguientes condicionesson equivalentes:

x es un punto no errante de f , x ∈ Ω(f).Para todo subconjunto abierto U de X con x ∈ U , existen un punto y ∈ U yuna n ∈ N tales que fn(y) ∈ U .Para todo subconjunto abierto U de X con x ∈ U , existe n ∈ N tal queU ∩ f−n(U) = ∅.


Para todo subconjunto abierto U de X con x ∈ U , existe n ∈ N tal queU ∩ fn(U) = ∅.

Sabemos que toda funcion continua del intervalo [0, 1] en sı mismo tiene al menosun punto fijo. Por tanto, para toda f : [0, 1] → [0, 1] se tiene que Fix(f) y Per(f)siempre son distintos del vacıo.

Si bien hay espacios X y funciones f : X → X sin puntos fijos y, mas aun, sinpuntos periodicos, ver Proposicion 3.6, pagina 15, resulta que el conjunto de lospuntos recurrentes siempre es distinto del vacıo, R(f) = ∅. La demostracion de estehecho se puede consultar en [13].

Teorema 2.5. Sean X un espacio metrico y compacto, f : X → X una funcioncontinua. Entonces R(f) = ∅.

Las proposiciones 2.6 y 2.7 ofrecen descripciones de los puntos recurrentes y delos puntos no errantes, ahora usando sucesiones. La demostracion de la primera deellas le corresponde al lector.

Proposicion 2.6. Sean X un espacio metrico y compacto, f : X → X una funcioncontinua. Sea x ∈ X. Las siguientes condiciones son equivalentes:

x es un punto recurrente de f .Existe una sucesion n1 < n2 < · · · ⊂ N, tal que lımi→∞ fni(x) = x.

Proposicion 2.7. Sean X un espacio metrico y compacto, f : X → X una funcioncontinua. Sea x ∈ X. Las siguientes condiciones son equivalentes:

a) x es un punto no errante de f .b) Existen una sucesion de puntos en X, xi, convergente a x, y una sucesion

en N, n1 < n2 < · · · , tales que lımi→∞ fni(xi) = x.c) Para todo conjunto abierto U de X con x ∈ U , existe una sucesion en N,

n1 < n2 < · · · , tal que para toda i ∈ N, se tiene que fni(U) ∩ U = ∅.Demostracion. Consideramos primero la implicacion a)⇒b).

Sea x ∈ X un punto no errante de f .Si x es un punto periodico bajo f , digamos de periodo N , entonces la afirmacion

es inmediata. Basta tomar, para cada i ∈ N, xi = x y ni = N · i.Si x no es un punto periodico, seguimos el siguiente camino: Sea ε > 0 un valor

fijo. Por cada i ∈ N, sea εi = εi .

Como x es no errante, existen x1 ∈ X y n1 ∈ N tales que

d(x1, x) < ε1, y d(fn1(x1), x) < ε1.

Observese que para toda j, 1 ≤ j ≤ n1, fj(x) = x.

Sea δ2 > 0 tal que para toda 1 ≤ j ≤ n1,

(2) f j(B(x, δ2)) ∩B(x, δ2) = ∅.Sea γ2 = mınδ2, ε2.Entonces existen x2 ∈ X y n2 ∈ N tales que

d(x2, x) < γ2 ≤ ε2, y d(fn2(x2), x) < γ2 ≤ ε2.

Observese que por la condicion (2) n2 esta obligada a ser mayor que n1.Para definir el punto x3 y el valor n3 seguimos un camino similar.Ahora sabemos que para toda j, 1 ≤ j ≤ n2, f

j(x) = x. Por tanto, existe δ3 > 0tal que para toda 1 ≤ j ≤ n2,

(3) f j(B(x, δ3)) ∩B(x, δ3) = ∅.


Sea γ3 = mınδ3, ε3.Entonces existen x3 ∈ X y n3 ∈ N tales que

d(x3, x) < γ3 ≤ ε3, y d(fn3(x3), x) < γ3 ≤ ε3.

Es inmediato que n3 esta obligada a ser mayor que n2.Al seguir este camino, de manera inductiva, obtenemos una sucesion de puntos

xi ⊂ X, y una sucesion de numeros, n1 < n2 < · · · ⊂ N, tales quelımi→∞

xi = x y lımi→∞

fni(xi) = x.

Demostremos ahora la implicacion b)⇒c).Sean x ∈ X y U ⊂ X un conjunto abierto que contiene al punto x. Sea ε > 0 tal

que la bola B(x, ε) esta contenida en U .Gracias a la la condicion b) tenemos una sucesion xi ⊂ X que converge a x, y

una sucesion n1 < n2 < · · · ⊂ N tal que la sucesion de puntos fni(xi) tambienconverge a x.

Sin perdida de generalidad podemos suponer que ambas sucesiones,

xi y fni(xi),estan contenidas en la bola B(x, ε).

De aquı se sigue que para toda i ∈ N, fni(U) ∩ U = ∅.La implicacion c)⇒a) es inmediata. El siguiente corolario es una consecuencia inmediata de la parte c) de la Propo-

sicion 2.7.

Corolario 2.8. Sean X un espacio metrico y compacto, f : X → X una funcioncontinua. Sea x ∈ X. Si existen un conjunto abierto U , con x ∈ U , y un numeronatural, k ∈ N, tales que

(4) fn(U) ∩ U = ∅, para todo n ≥ k,

entonces x /∈ Ω(f).

Proposicion 2.9. El conjunto Ω(f) es cerrado.

Demostracion. Sea x ∈ cl(Ω(f)). Sea U ⊂ X un conjunto abierto tal que x ∈ U .Entonces existe y ∈ Ω(f) tal que y ∈ U .

Se sigue que existe n ∈ N tal que fn(U) ∩ U = ∅.Por lo tanto, x ∈ Ω(f) El conjunto Fix(f) tambien resulta ser un conjunto cerrado (ver Ejercicio 1).

El Ejemplo 7.11, pagina 49, muestra que tanto Per(f) como R(f) no siempre sonconjuntos cerrados.

Como R(f) esta contenido en el conjunto Ω(f), entonces

(5) cl(R(f)) ⊂ Ω(f).

Existen funciones f : [0, 1] → [0, 1] donde la contencion (5) es propia (ver Ejemplo2.14, pagina 8).

Por otro lado, mas adelante mostramos que para funciones continuas f : X → X,resulta que si todo punto de X es no errante, Ω(f) = X, entonces cl(R(f)) = Ω(f).Ver Proposicion 2.21, en la pagina 10.

Afirmacion 2.10. Sean X un espacio metrico y compacto y f : X → X unafuncion continua. Entonces Ω(f) ⊂ f(X).


Demostracion. Si f(X) = X, la afirmacion es inmediata.Supongamos que f(X) = X. Sea y ∈ X \ f(X). Entonces U = X \ f(X) es un

conjunto abierto que contiene al punto y tal que para toda n ∈ N, se tiene quefn(U) ∩ U = ∅. Se sigue, Corolario 2.8, que y /∈ Ω(f).

Por lo tanto, si x ∈ Ω(f), entonces x ∈ f(X).

Sean f : X → X y A un subconjunto de X. Decimos que A es invariante bajof si f(A) ⊂ A. Decimos que A es fuertemente invariante si f(A) = A.

El lector es invitado a dar los argumentos correspondientes de la demostracionde la proposicion 2.11.

Proposicion 2.11. Sea f : X → X. Entonces los conjuntos Fix(f) y Per(f) sonfuertemente invariantes.

Proposicion 2.12. Sea f : X → X. Entonces el conjunto R(f) es fuertementeinvariante.

Demostracion. Sea x ∈ R(f).Sea n1 < n2 < n3 < · · · una sucesion de numeros naturales tales que

lımi→∞

fni(x) = x.

Como f es una funcion continua, la sucesion fni+1(x) converge a f(x).Por lo tanto f(x) tambien es un punto recurrente de f .Ası, f(R(f)) esta contenido en R(f).Por otro lado, la sucesion fni−1(x) tiene una subsucesion convergente.Sea z ∈ X tal que

lımj→∞

fnij−1(x) = z.

La continuidad de f nos dice que lımj→∞ fnij (x) = f(z).Como fnij (x) es una subsucesion de fni(x), entonces

lımj→∞

fnij (x) = x.

Por lo tanto, f(z) = x.Ahora, como

lımj→∞

fnij (z) = lımj→∞

fnij−1(f(z)) = lım

j→∞fnij

−1(x) = z,

se tiene que z ∈ R(f).Por lo tanto x ∈ f(R(f)), y con ello R(f) ⊂ f(R(f)).

Proposicion 2.13. Sea f : X → X. Entonces el conjunto Ω(f) es un conjuntoinvariante bajo la funcion f .

Demostracion. Sea y ∈ f(Ω(f)) y sea U ⊂ X un conjunto abierto tal que y ∈ U .Sea x ∈ Ω(f) tal que f(x) = y. Como f−1(U) es un conjunto abierto que contiene

a x, existen n ∈ N y z ∈ f−1(U) tales que fn(z) ∈ f−1(U).Ası, f(z) ∈ U y f(fn(z)) ∈ U .Como

f(fn(z)) = fn+1(z) = fn(f(z)),

entonces tanto f(z) como fn(f(z)) estan en U . Por tanto, fn(U) ∩ U = ∅.De aquı se sigue que y ∈ Ω(f) y, con ello, que f(Ω(f)) ⊂ Ω(f).


La funcion que presentamos en el Ejemplo 2.14 muestra que es posible quef(Ω(f)) sea un subconjunto propio de Ω(f).

Ejemplo 2.14. (Block y Coppel, [13]) Sea f : [0, 1] → [0, 1] la funcion lineal porpartes definida por f(0) = 0, f( 14 ) =

34 , f(

12 ) = 0, f( 34 ) = 0 y f(1) = 1

4 (figura 1).Entonces

f(Ω(f)) = Ω(f).cl(R(f)) = Ω(f).

Figura 1

Demostracion. Consideremos el punto x0 = 34 .

Sea U un subconjunto abierto de [0, 1] tal que x0 ∈ U . Sean a, b ∈ [0, 1] tales que

1

2< a < x0 < b < 1, y A = (a, b) ⊂ U.

Como f(A) = [0, b − x0), existe n ∈ N tal que fn(A) = [0, 34 ]. De aquı se sigueque fn(A) ∩A = ∅, y con ello que fn(U) ∩ U = ∅.

Por lo tanto x0 es un punto no errante, x0 ∈ Ω(f).El unico punto que, bajo f , va a dar a x0 es 1

4 . El intervalo W = ( 16 ,13 ) es un

conjunto abierto que contiene a 14 . Dado que

f(W ) =

(1

2,3

4

], y f2(W ) = 0,

entonces para toda n ∈ N se tiene que fn(W ) ∩W = ∅.Ası 1

4 /∈ Ω(f) y, con ello, x0 /∈ f(Ω(f)). Por lo tanto, f(Ω(f)) = Ω(f).Iniciamos la demostracion de la segunda parte, cl(R(f)) = Ω(f).Observemos que si x ∈ [0, 1], entonces f(x) ∈ [0, 34 ]. Ası, para toda n ∈ N,

fn(x) ∈ [0, 34 ].

Por lo tanto, si x > 34 , x no es un punto recurrente bajo f .

Ahora, para todo punto x ∈ [ 12 ,34 ] se tiene que f(x) = 0. Entonces ninguno de

los puntos del intervalo [ 12 ,34 ] es recurrente.


Ası, R(f) esta contenido en el intervalo [0, 12 ).

De aquı se sigue que 34 /∈ cl(R(f)).

Como 34 ∈ Ω(f), entonces cl(R(f)) = Ω(f).

La demostracion de la segunda parte del Ejemplo 2.14 se puede hacer tambien deotra manera. De hecho ella es consecuencia, casi directa, de la primera parte. Dadoque el argumento a seguir abarca muchısimos mas casos, lo presentamos como unaproposicion.

Proposicion 2.15. Sean X un espacio metrico y compacto, y f : X → X unafuncion continua. Si sucede que f(Ω(f)) = Ω(f), entonces cl(R(f)) = Ω(f).

Demostracion. El conjunto R(f) es fuertemente invariante y como R(f) ⊂ Ω(f),entonces

R(f) = f(R(f)) ⊂ f(Ω(f)).

Los conjuntos Ω(f) y f(Ω(f)) son compactos. Entonces

cl(R(f)) ⊂ f(Ω(f)).

Por lo tanto, cl(R(f)) = Ω(f).

A la pareja (X, f) se le suele llamar sistema dinamico discreto. Si A ⊂ X es unconjunto no vacıo e invariante bajo f , entonces la pareja (A, f |A) es un subsistemade (X, f). Algunas propiedades dinamicas de (A, f |A) inmediatamente nos daninformacion sobre propiedades del sistema (X, f). Por ejemplo, si f |A tiene un puntoperiodico de periodo 3, entonces ese mismo punto tambien es punto periodico, delmismo periodo, bajo f .

Dadas f : X → X y n ∈ N, la funcion fn : X → X es la n-iteracion de f .En algunas ocasiones resulta util comparar las propiedades dinamicas de f y las

de sus iteraciones. Varias de las proposiciones que el lector encontrara en estas notascumplen esta tarea. La demostracion de la afirmacion: para toda N ∈ N se tieneque Per(fN ) = Per(f), es un ejercicio mental sencillo. La afirmacion: los conjuntosR(fN ) y R(f) son iguales requiere de un poco mas de esfuerzo. La demostracion dela contencion R(fN ) ⊂ R(f) no es tan difıcil y el lector es invitado, en los ejercicios,a ofrecerla. La contencion R(f) ⊂ R(fN ) es demostrada en la Proposicion 10.5,contenida en la seccion 10, pagina 73.

En el conjunto de los puntos no errantes la situacion es la siguiente: Por un ladoresulta que el conjunto Ω(fN ) siempre esta contenido en el conjunto Ω(f), paratoda N ∈ N. El lector es invitado a aportar la demostracion de este hecho en elEjercicio 2. Por otro lado, la funcion que aparece en el Ejemplo 2.16 muestra quees posible que Ω(f2) = Ω(f).

Ejemplo 2.16. (Block y Coppel, [13]) Sea f : [0, 7] → [0, 7] la funcion lineal porpartes definida por f(0) = 3, f(1) = f(2) = 4, f(3) = 7, f(4) = 4, f(5) = 1,f(7) = 3. Entonces Ω(f2) = Ω(f) y f(Ω(f)) = Ω(f).

Demostracion. La funcion f : [0, 7] → [0, 7] cumple lo siguiente:

f([0, 7]) = [1, 7]. Por lo tanto, R(f) ⊂ Ω(f) ⊂ [1, 7].f([1, 4]) = [4, 7] y f([4, 7]) = [1, 4].Sea 0 < δ < 1. Entonces f((1− δ, 1]) = (4− δ, 4].

Se sigue que existe n ∈ N, tal que fn((1− δ, 1]) ⊃ [4, 7]. Por lo tanto,

fn+1((1− δ, 1]) ⊃ [1, 1 + δ).


De aquı se sigue que 1 ∈ Ω(f).f([0, 2]) = [3, 4], y f2([0, 2]) = [4, 7].

Por lo tanto, para toda n ∈ N se tiene que

(f2)n([0, 2]) = [4, 7].

Sea U = (0, 2). Observese que U es un conjunto abierto que contiene al puntox0 = 1. Este conjunto tiene la propiedad de que para toda n ∈ N,

(f2)n(U) ∩ U = ∅.

Por lo tanto, 1 /∈ Ω(f2).Sea δ = 1

3 , sea U = (5 − δ, 5 + δ). Para toda n ∈ N se tiene que fn(U) =

4. Por tanto, 5 /∈ Ω(f). Por otro lado, f−1(1) = 5. Ası, 1 ∈ Ω(f), y1 /∈ f(Ω(f)). Es decir, f(Ω(f)) $ Ω(f).

Las tres primeras afirmaciones demuestran que Ω(f2) = Ω(f).La ultima nos dice que, al igual que el Ejemplo 2.14, aquı tambien se tiene que

f(Ω(f)) = Ω(f).

En la Proposicion 2.21 utilizamos los siguientes conceptos.

Definicion 2.17. Sea X un espacio metrico.

Decimos que X es completo si para toda sucesion de Cauchy xn : n ∈ Ncontenida en X, existe x0 ∈ X tal que lımn→∞ xn = x0.Sea X completo. Sea A ⊂ X. Decimos que A es residual si existe una colec-cion infinita numerable de conjuntos abiertos y densos en X, Un : n ∈ N,tal que ∩∞n=1Un ⊂ A.

Observacion 2.18. Si X es metrico y compacto, entonces es completo. El conjuntode los numeros reales, R, es completo y no es compacto.

Al siguiente resultado se le conoce como el Teorema de Baire. La demostracionse puede consultar en [43], capıtulo 7.

Teorema 2.19. Sea X un espacio metrico completo. Sea An ⊂ X : n ∈ Nuna coleccion infinita numerable de conjuntos abiertos y densos en X. Entonces lainterseccion A = ∩∞n=1An es distinta del conjunto vacıo.

Observacion 2.20. Si X es metrico y completo y A ⊂ X es un conjunto residual,entonces A es denso en X, (ver Ejercicio 6).

Proposicion 2.21. Sean X un espacio metrico y compacto, y f : X → X unafuncion continua. Si Ω(f) = X, entonces

El conjunto R(f) es residual y, por tanto, cl(R(f)) = X.Para toda n ∈ N, Ω(fn) = Ω(f).

Demostracion. Supongamos que Ω(f) = X.Sea m ∈ N. Sea Um una cubierta abierta finita de X tal que cada U ∈ Um es

distinto del conjunto vacıo y tiene diam(U) < 1m .

Sea U ∈ Um. La union

∞∪n=1

(U ∩ f−n(U)

)=(U ∩ f−1(U)

)∪(U ∩ f−2(U)

)∪ · · ·


es un conjunto abierto contenido en U . Este conjunto es no vacıo por lo siguiente:Sea x ∈ U . Por hipotesis x es un punto no errante. Entonces existe N ∈ N tal quefN (U) ∩ U = ∅. Por lo tanto, U ∩ f−N (U) = ∅.

Sea

Gm =∪

U∈Um

( ∞∪n=1

(U ∩ f−n(U)

)).

Para cada m ∈ N, Gm es un subconjunto abierto de X. Demostramos a conti-nuacion que Gm es denso en X. Mas adelante veremos que R(f) = ∩∞m=1Gm.

Sean x ∈ X, δ > 0. Por demostrar Gm ∩B(x, δ) = ∅.Existe un elemento U ∈ Um, tal que x ∈ U . Existe un valor positivo 0 < ε < δ

tal que B(x, ε) ⊂ U .Como Ω(f) = X, x ∈ Ω(f). Entonces existen y ∈ B(x, ε) y n ∈ N tales que

fn(y) ∈ B(x, ε). Por lo tanto,

y ∈(U ∩ f−n(U)

), con

(U ∩ f−n(U)

)⊂ Gm.

Ası, Gm ∩B(x, δ) = ∅, y Gm es denso en X.Sea G = ∩∞m=1Gm.Paso 1. G ⊂ R(f).Sea x ∈ G. Sea ε > 0. Existe m ∈ N tal que 1

m < ε.Como x ∈ Gm, existen U ∈ Um y n ∈ N tales que x ∈ (U ∩ f−n(U)).Entonces x, fn(x) ⊂ U , y con ello

d(x, fn(x)) <1

m< ε.

Por lo tanto, x ∈ R(f).Paso 2. R(f) ⊂ G.Sea x ∈ R(f). Sea m ∈ N.Como Um es una cubierta abierta de X, existe un elemento U ∈ Um tal que

x ∈ U . Dado que x es un punto recurrente bajo f , existe n ∈ N tal que fn(x) ∈ U .Por lo tanto,

x ∈ (U ∩ f−n(U)), x ∈ Gm.

Ası, x ∈ G.Concluimos que R(f) = ∩∞m=1Gm. Ası R(f) es residual.Para la segunda afirmacion observemos lo siguiente.Para cada n ∈ N, R(fn) = R(f). Entonces

X = cl(R(fn)) ⊂ Ω(fn) ⊂ Ω(f) = X.

Por lo tanto, Ω(fn) = Ω(f).

EjerciciosTodas las funciones consideradas en esta parte son continuas. La letra X repre-

senta un espacio metrico y compacto.

Ejercicio 1. Sea f : X → X. Demostrar que para cada N ∈ N se tiene que elconjunto Fix(fN ) es cerrado.

Ejercicio 2. Sea f : X → X. Demostrar que para cada N ∈ N se tiene que elconjunto Ω(fN ) esta contenido en el conjunto Ω(f).

Ejercicio 3. Sea f : X → X. Demostrar que x ∈ R(f) si y solo si existe unasucesion n1 < n2 < n3 < · · · , contenida en N, tal que lımi→∞ fni(x) = x.


Ejercicio 4. Demostrar la Proposicion 2.7.


Ejercicio 6. Sea E ⊂ X. Demostrar que si E es un conjunto residual, entonces Ees denso en X.

Ejercicio 7. Sea A ⊂ R. Demostrar que si A es infinito numerable, entonces A noes residual. Demostrar que el conjunto de los numeros irracionales, E = R \Q, esresidual.

Ejercicio 8. Sean A ⊂ X y B ⊂ X. Si A y B son conjuntos residuales, entoncesA ∩B tambien es un conjunto residual.

ComentariosLos ejemplos 2.14 y 2.16 aparecen en el capıtulo V de [13]. Mas adelante haremos

nuevamente referencia a ellos al estudiar otras de sus propiedades dinamicas.Falta ejemplo donde convivan f(Ω) = Ω y cl(R(f)) = Ω(f). ¿Existe?


3. Puntos periodicos en el intervalo y en la circunferencia

El conjunto de los puntos periodicos, Per(f), tiene propiedades muy interesantescuando las funciones con las que trabajamos estan definidas en el intervalo unitario,f : [0, 1] → [0, 1].

El primer resultado importante en esta direccion es el Teorema de Li y Yorke.Los lemas 3.1 y 3.2 contienen la herramientas basicas que en estos momentos

necesitamos. La demostracion del primero de ellos no es difıcil y se deja al lector.

Lema 3.1. Sea f : [0, 1] → [0, 1] una funcion continua. Sea [a, b] un subintervalode [0, 1].

Si [a, b] ⊂ f([a, b]), entonces f tiene un punto fijo en [a, b].Si f([a, b]) ⊂ [a, b], entonces f tiene un punto fijo en [a, b].

Lema 3.2. Sea f : [0, 1] → [0, 1]. Sean [a, b] y [u, v] dos subintervalos de [0, 1] talesque [u, v] ⊂ f([a, b]). Entonces existe un intervalo cerrado [α, β] ⊂ [a, b] tal que

su imagen bajo f es exactamente [u, v], f([α, β]) = [u, v], ypara todo x ∈ (α, β), f(x) /∈ u, v.

Demostracion. Sea [a, b] y [u, v] dos subintervalos de [0, 1] tales que [u, v] ⊂ f([a, b]).Sean x0 y x1 dos puntos en [a, b] tales que f(x0) = u, y f(x1) = v.Caso 1. x0 < x1.Sea

α = max x0 ≤ x ≤ x1 : f(x) = u .

Observese que f(α) = u, y que para todo punto x con α < x ≤ x1, se tiene quef(x) > u.

Sea

β = mın α ≤ x ≤ x1 : f(x) = v .

Tenemos que f(β) = v, y para toda x con α < x < β, se tiene que f(x) < v.El intervalo [α, β] cumple las condiciones que se piden.Caso 2. x0 > x1. Aquı se puede seguir un argumento similar al del Caso 1.

Teorema 3.3. (Li y Yorke) Sea f : [0, 1] → [0, 1] una funcion continua. Si f tieneun punto periodico de periodo 3, entonces f tiene puntos periodicos de todos losperiodos.

Demostracion. Gulp!

Ejemplo 3.4. Sea f : [0, 1] → [0, 1] la funcion lineal por partes definida por f(0) =12 , f(

12 ) = 1 y f(1) = 0. La orbita del punto x0 = 0 es de periodo 3. Por tanto f

tiene puntos periodicos de todos los periodos.

Observese que la funcion f : [0, 1] → [0, 1] dada en el ejemplo 3.4 tiene una unicaorbita de periodo 2 y una unica orbita de periodo 3. Ver figura 2.

El Teorema 3.3 es parte de un resultado mas general conocido como el Teoremade Sharkovskii.

Consideremos el siguiente arreglo de los numeros naturales:


Figura 2

3 5 7 9 · · ·2 · 3 2 · 5 2 · 7 2 · 9 · · ·22 · 3 22 · 5 22 · 7 22 · 9 · · ·23 · 3 23 · 5 23 · 7 23 · 9 · · ·· · ·2k · 3 2k · 5 2k · 7 2k · 9 · · ·· · ·· · · 2l+1 2l · · · 25 24 23 22 2 1.

Sean n,m ∈ N, n = m. Si n y m estan en el mismo renglon y n esta a la izquierdade m, decimos n m. Por ejemplo, 23 · 5 23 · 13. Si n y m estan en renglonesdiferentes, decimos n m si n esta en un renglon superior al renglon en el que estam. Por ejemplo, 23 · 5 26 · 3.

Este arreglo es conocido como el orden de Sharkovskii.

Teorema 3.5. (Sharkovskii) Sean n y m numeros naturales, n = m.

Si f : [0, 1] → [0, 1] tiene un punto periodico de periodo n con n m,entonces f tiene un punto periodico de periodo m.Si n m, entonces existe una funcion continua f : [0, 1] → [0, 1] que tieneperiodo m pero no tiene periodo n.

Gran parte de la demostracion del Teorema 3.5 se puede consultar en [13], en[19] y en [29].

3.1. La circunferencia. Con el sımbolo S1 denotamos la circunferencia unitariacentrada en el origen,

S1 = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1 = z ∈ C : |z| = 1.

La distancia usual en R2 induce la distancia en el espacio S1.Cada funcion continua F : R2 → R2, o F : C → C, que deja invariante a S1,

F (S1) ⊂ S1, induce una funcion continua del espacio S1 en sı mismo, f : S1 → S1,dada por f = F |S1 .

Ası las rotaciones que dejan fijo el origen y las reflexiones con respecto a unarecta que pasa por el origen son funciones continuas de S1 en S1. De hecho sonhomeomorfismos.

Las funciones f(z) = z2, f(z) = z3, f(z) = z4, etcetera, donde z ∈ C, |z| = 1,son tambien funciones continuas de S1 en S1.


Cada elemento z ∈ S1 lo denotamos de la siguiente manera:

z = eiθ = cos(θ) + isen(θ), θ ∈ R.

La letra θ representa el angulo que forman la parte positiva del eje-x y el segmentode recta que va del origen al punto z. Cuando θ va de 0 a 2π, el punto z = eiθ

da una vuelta completa a S1 siguiendo el sentido contrario al movimiento de lasmanecillas del reloj.

Sea η ∈ R. La funcion f : S1 → S1 cuya regla de correspondencia esta dada por

f(eiθ) = ei(η·2π) · ei(θ) = ei(θ+η·2π)

es una rotacion de angulo η · 2π: Aquı η representa una cantidad fija.

Proposicion 3.6. Sea η ∈ R. Sea f : S1 → S1 una rotacion de angulo η · 2π.Entonces:

f es una isometrıa.Si η ∈ Q, todo z ∈ S1 es punto periodico bajo f .Si η /∈ Q, entonces f es transitiva. Mas aun, todo punto z ∈ S1 tiene orbitadensa en S1.

Demostracion. Llegara soon.

A las rotaciones f : S1 → S1 de angulo η·2π, con η /∈ Q, se les llama rotaciones deangulo irracional con respecto a 2π, o simplemente rotaciones de angulo irracional.

3.2. Equivalencia topologica.

Definicion 3.7. Sean f : X → X y g : Y → Y dos funciones continuas definidas enlos espacios metricos X y Y . Decimos que f y g son topologicamente conjugadas,si existe un homeomorfismo h : X → Y tal que para todo punto x ∈ X se tiene que

h(f(x)) = g(h(x)).

La condicion de conjugacion topologica a veces se expresa diciendo que existeun homeomorfismo h : X → X con la propiedad de que el siguiente diagrama esconmutativo:

(6) Xf //

h

X

h

Yg // Y

En estas notas, para simplificar un poco la notacion, en lugar de decir que dosfunciones son topologicamente conjugadas, simplemente diremos que son conjuga-das.

Si f : X → X y g : Y → Y son dos funciones conjugadas, entonces las propie-dades dinamicas de f y g son, en esencia, iguales. A lo largo de estas notas iremosconfirmando esta afirmacion.

Si el diagrama (6) es conmutativo y la funcion h : X → Y es continua y supra-yectiva, diremos que g es un factor de f , y que f es una extension de g. En estasituacion algunos autores dicen que f y g son semiconjugadas.

Falta comentario sobre la existencia de dos rotaciones de angulo irracional queno son conjugadas entre sı.




Ejercicio 9. Sea f : [0, 1] → [0, 1] un homeomorfismo. Demostrar lo siguiente:

Si f es creciente, entonces

Fix(f) = Per(f) = R(f) = cl(R(f)) = Ω(f).

Si f es decreciente, entonces

Per(f) = R(f) = cl(R(f)) = Ω(f).

Ejercicio 10. Sean f : [0, 1] → [0, 1], x0 ∈ [0, 1]. Para cada n ∈ N, sea xn =fn(x0). Demostrar que si una de las siguientes dos condiciones se cumple:

x2 < x0 < x1, y para todo n ≥ 2, xn = x2,x1 < x0 < x2, y para todo n ≥ 2, xn = x2,

entonces f tiene puntos periodicos de todos los periodos. Ver figura 3. Sugerencia:Es suficiente demostrar que f tiene un punto periodico de periodo 3.

Figura 3. Orbitas que implican todos los periodos.

Ejercicio 11. Sea f : [0, 1] → [0, 1]. Demostrar que si el conjunto Fix(f2) esconexo, entonces Fix(f) tambien es conexo.

Ejercicio 12. Mostrar una funcion f : S1 → S1 tal que el conjunto Fix(f2) esconexo, y Fix(f) no es conexo.

Ejercicio 13. Demostrar que la funcion f : S1 → S1 dada por f(z) = z2 tienepuntos periodicos de todos los periodos posibles. Sugerencia. Si z ∈ S1, entoncesexiste θ ∈ R tal que z = ei·θ. En este caso f(ei·θ) = ei·2θ.

Ejercicio 14. Sean X y Y espacios metricos y compactos. Sean f : X → X yg : Y → Y dos funciones conjugadas a traves del homeomorfismo h : X → Y .Demostrar lo siguiente:

Para todo x ∈ X y para toda n ∈ N se tiene que h(fn(x)) = gn(h(x)).h(Fix(f)) = Fix(g).h(Per(f)) = Per(g).h(R(f)) = R(g).h(Ω(f)) = Ω(g).

Ejercicio 15. Sea F el espacio de todas las funciones continuas f : X → X. Dadasf, g ∈ F , decimos que f ∼ g si f y g son conjugadas (Definicion 3.7). Demostrarque ∼ es una relacion de equivalencia en F .

Ejercicio 16. Sean a, b ∈ R, a < b. Demostrar que para cada funcion f : [a, b] →[a, b], existe g : [0, 1] → [0, 1] tal que f y g son conjugadas.


ComentariosEn estas notas presentamos, discutimos y estudiamos propiedades dinamicas de

funciones definidas en el intervalo [0, 1], g : [0, 1] → [0, 1]. Podrıa pensarse queluego tendrıamos que estudiar a las funciones definidas en un intervalo cerrado[a, b], con [a, b] distinto de [0, 1], f : [a, b] → [a, b], y obtener ası resultados masgenerales. Sin embargo, gracias al Ejercicio 16, todo comportamiento o propiedaddinamica presente en una funcion f : [a, b] → [a, b] lo tiene tambien una funciong : [0, 1] → [0, 1], y viceversa. Ası, nuestras notas, al estudiar lo que pasa en elintervalo [0, 1], abarcan a todas las funciones continuas definidas de un intervalocerrado [a, b] ⊂ R en sı mismo.

Sea f : X → X. Como Per(f) ⊂ R(f), entonces cl(Per(f)) ⊂ cl(R(f)). En [13]se demuestra que siX = [0, 1], entonces para toda funcion continua f : [0, 1] → [0, 1]se tiene que cl(Per(f)) = cl(R(f)). Mas adelante, en la proposicion 3.6, pagina 15,presentamos un espacio X y una funcion f : X → X donde

cl(Per(f)) = cl(R(f)).

Ejercicio 17. Sea X ⊂ R, X =x = 1

n : n ≥ 0∪0. Demostrar que toda funcion

f : X → X tiene un punto periodico.

Ejercicio 18. Sea f : X → X. Sea x ∈ X un punto aislado de X. Si x ∈ R(f),entonces x ∈ Per(f).

Conjetura 1. Sea X un espacio compacto e infinito numerable. Sea f : X → X.

Per(f) = ∅.Para todo x ∈ X se tiene que ω(x, f) es finito. Esto es falso. Luego damosun ejemplo.

La siguiente conjetura si parece cierta.

Conjetura 2. Sea X ⊂ R, X =x = 1

n : n ≥ 0∪ 0. Sea f : X → X. Entonces

para todo x ∈ X se tiene que ω(x, f) es finito.


4. Hiperespacios

Sea X un espacio metrico y compacto. Un hiperespacio de X es un subconjuntodel conjunto potencia de X. Los hiperespacios que nos interesan son los siguientes:

2X = A ⊂ X : A es cerrado y no vacıo ,C(X) =

A ∈ 2X : A es conexo

,

dado n ∈ N,Fn(X) =

A ∈ 2X : A tiene a lo mas n elementos

,

y

F (X) =

∞∪n=1

Fn(X),

que es la coleccion de todos los subconjuntos finitos de X.Denotamos la metrica en X con la letra d. A veces le recordamos al lector esta

condicion escribiendo X = (X, d).Dados A ⊂ X, A = ∅, y ε > 0, la nube de radio ε alrededor de A es el conjunto,

N(A, ε) = x ∈ X : d(a, x) < ε para algun a ∈ A =∪a∈A

B(a, ε).

Figura 4. Algunos elementos de 2X y algunas nubes.

Dados A y B dos elementos de 2X , el valor

(7) Hd(A,B) = ınf ε > 0 : A ⊂ N(B, ε) y B ⊂ N(A, ε)define una distancia en 2X , conocida como la metrica de Hausdorff.

Si no hay confusion, respecto al espacioX = (X, d) en el que estamos trabajando,escribimos H(A,B) en lugar de Hd(A,B).

Proposicion 4.1. La expresion dada en (7) es una metrica en 2X .

Demostracion. Sean A,B,C ∈ 2X . Las tres primeras condiciones son inmediatasde la definicion de H.

H(A,B) ≥ 0.H(A,B) = H(B,A).Si A = B, entonces H(A,B) = 0.


Si H(A,B) = 0, entonces A = B.Supongamos que H(A,B) = 0. Sea a ∈ A. Para toda ε > 0, existe b ∈ B

tal que d(a, b) < ε. Por lo tanto, a ∈ cl(B). Como B es cerrado, entoncesa ∈ B. Ası A ⊂ B.

De manera similar se argumenta que B ⊂ A. Por tanto, A = B.H(A,C) ≤ H(A,B) +H(B,C).

Paso 1. Sea a ∈ A. Sea ε = H(A,B).Para cada n ∈ N, A ⊂ N(B, ε+ 1

n ).

Sea bn ∈ B tal que d(a, bn) < ε+ 1n .

Podemos suponer que la sucesion bn es convergente, digamos a b ∈ B.Observese que d(a, b) ≤ ε.

Por tanto para todo a ∈ A, existe b ∈ B tal que

d(a, b) ≤ H(A,B).

De manera similar, para todo b ∈ B, existe c ∈ C tal que

d(b, c) ≤ H(B,C).

Paso 2. Sea a ∈ A. Tomemos b ∈ B tal que d(a, b) ≤ H(A,B). Ahoratomemos c ∈ C tal que d(b, c) ≤ H(B,C).

Observese que

d(a, c) ≤ d(a, b) + d(b, c) ≤ H(A,B) +H(B,C).

Por tanto, para todo a ∈ A, existe c ∈ C tal que

d(a, c) ≤ H(A,B) +H(B,C).

Se sigue que para toda δ > 0,

A ⊂ N(C,H(A,B) +H(B,C) + δ).

De manera analoga podemos proceder iniciando con puntos en C, obte-niendo puntos en B y en A que cumplan

d(c, a) ≤ d(c, b) + d(b, a) ≤ H(C,B) +H(B,A).

Ahora obtenemos que para toda δ > 0,

C ⊂ N(A,H(A,B) +H(B,C) + δ).

Por lo tanto,

H(A,C) ≤ H(A,B) +H(B,C).

El lector interesado puede encontrar en los libros [28] y [41], un detallado estudiode las propiedades de la metrica de Hausdorff y de los hiperespacios mencionados.

Todos los hiperespacios que hemos definido antes son subconjuntos del hiperes-pacio 2X . Todos ellos son espacios metricos considerando en cada uno de ellos larestriccion correspondiente de la metrica H.

Dados k subconjuntos de X, A1, A2, . . . , Ak, consideramos el siguiente subcon-junto de 2X :

⟨A1, A2, . . . , Ak⟩

=B ∈ 2X : B ⊂ ∪k

i=1Ai, y para cada i, 1 ≤ i ≤ k, B ∩Ai = ∅.


La coleccion de todos los posibles subconjuntos de 2X de la forma

⟨U1, U2, . . . , Uk⟩ ,

donde cada Ui es un subconjunto abierto de X es una base que induce una topologıaen (2X ,H). Esta topologıa es conocida como la topologıa de Vietoris. Ella coincidecon la topologıa generada por la metrica de Hausdorff, ver [28] y [41].

Los hiperespacios C(X), Fn(X) y F (X) son espacios topologicos considerandoen cada uno de ellos la topologıa que induce la topologıa de Vietoris.

Proposicion 4.2. Sea X un espacio metrico compacto. Sea A ⊂ X, A = ∅. Si Aes un conjunto abierto, entonces

2A =B ∈ 2X : B ⊂ A

es un subconjunto abierto de 2X .

Demostracion. Como A es un subconjunto abierto de X, entonces ⟨A⟩ es abier-to en 2X . Las contenciones ⟨A⟩ ⊂ 2A y 2A ⊂ ⟨A⟩ se siguen de las definicionescorrespondientes.

Por lo tanto, 2A = ⟨A⟩.

Proposicion 4.3. Sea X un espacio metrico compacto. Sea A ⊂ X, A = ∅, yA = X. Si A es un conjunto cerrado, entonces

2A =B ∈ 2X : B ⊂ A

es un subconjunto cerrado de 2X .

Demostracion. Como A es un subconjunto cerrado de X, entonces ⟨X,X \A⟩ esabierto en 2X .

La igualdad 2X \ 2A = ⟨X,X \A⟩ es inmediata.Se sigue que 2A es un subconjunto cerrado de 2X .

Un hecho importante es que la coleccion de los subconjuntos finitos deX, F (X) =∪∞n=1Fn(X), forma un subconjunto denso de 2X . La demostracion correspondienteno es difıcil.

Proposicion 4.4. Sea X un espacio metrico compacto. El hiperespacio F (X) =∪∞n=1Fn(X) es un conjunto denso en el hiperespacio 2X .

Demostracion. Ofrecemos a continuacion dos demostraciones.Sea A ∈ 2X .

Sea ε > 0. Como A es compacto, existen N puntos en A, a1, a2, . . . , aN,tales que A ⊂ ∪N

i=1B(ai, ε). Es inmediato que

A ⊂ N(a1, a2, . . . , aN, ε) y a1, a2, . . . , aN ⊂ N(A, ε).

Por lo tanto, H(A, a1, a2, . . . , aN) < ε, con a1, a2, . . . , aN ∈ F (X).Sea V un subconjunto abierto de 2X tal que A ∈ V . Entonces existen nsubconjuntos abiertos de X, no vacıos, U1, U2, . . . , Un, tales que

A ∈ ⟨U1, U2, . . . , Un⟩ ⊂ V.

En cada Ui tomamos un punto xi. Entonces E = x1, x2, . . . , xn es unelemento de F (X), E ∈ ⟨U1, U2, . . . , Un⟩ y, por tanto, E ∈ V .


La afirmacion contenida en la Proposicion 4.4 se puede, rapidamente, ampliarun poco.

Proposicion 4.5. Sea X un espacio metrico compacto. Sea A un subconjunto deX. Si A es denso en X, entonces el conjunto

F (A) =B ∈ 2A : B es finito

forma un conjunto denso en el hiperespacio 2X .

Demostracion. El argumento dado en la Proposicion 4.4, con ligeros cambios, sepuede seguir aquı tambien.

Sea X un espacio metrico compacto. Sea x0 ∈ X. Decimos que x0 es un puntoaislado en X si existe ε > 0 tal que B(x0, ε) = x0. Es decir, si x0 es unsubconjunto abierto de X.

Proposicion 4.6. Sea X un espacio metrico compacto. Sea

A = a ∈ X : a es punto aislado en X .

Si A = ∅, entonces todo elemento B de F (A) es un punto aislado en el hiperespacio2X .

Demostracion. Sea B ∈ F (A). Como B es finito, B = b1, b2, . . . , bk, donde cadabi es un punto aislado en X.

Es inmediato que B = ⟨b1, b2, . . . , bk⟩, y que ⟨b1, b2, . . . , bk⟩ es unsubconjunto abierto en 2X . Entonces B es un punto aislado en 2X .

Manteniendo la notacion de la Proposicion 4.6, observese que si A = ∅, entoncesF (A) = 2A.

Sean X = (X, d) y Y = (Y, ρ) dos espacios metricos y compactos. Cada funcioncontinua f : X → Y induce una funcion del hiperespacio 2X al hiperespacio 2Y ,

2f : 2X → 2Y ,

dada de la siguiente manera: Sea A ∈ 2X , entonces

2f (A) = y ∈ Y : y = f(x) para algun x ∈ A = f(A).

Como f es continua en X, la funcion 2f esta bien definida. Es decir, para cadaA ∈ 2X se tiene que 2f (A) es un unico elemento de 2Y .

Proposicion 4.7. Sean (X, d) y (Y, ρ) dos espacios metricos compactos. Sea f :X → Y una funcion continua. Entonces 2f : 2X → 2Y es continua.

Demostracion. Sea ε > 0. Existe δ > 0 tal que para todo par de puntos x, y ∈ X,

d(x, y) < δ, implica ρ(f(x), f(y)) < ε.

Sean A,B ∈ 2X tales que Hd(A,B) < δ.Sea y ∈ f(A). Existen a ∈ A y b ∈ B tales que y = f(a) y d(a, b) < δ.Entonces

ρ(y, f(b)) = ρ(f(a), f(b)) < ε.

De aquı se sigue que f(A) esta contenido en la nube Nρε (f(B)).

De manera similar se argumenta que f(B) ⊂ Nρε (f(A)).

Por lo tanto, Hρ(2f (A), 2f (B)) < ε.


Proposicion 4.8. Si f : X → Y es un homeomorfismo, entonces 2f : 2X → 2Y esun homeomorfismo.

Demostracion. Gulp!! Sea f : X → X. A la funcion 2f : 2X → 2X la llamamos la funcion inducida por

f en el hiperespacio 2X . A partir del sistema dinamico (X, f) obtenemos un nuevosistema dinamico: (2X , 2f ).

Observemos que siΛ ∈ C(X), Fn(X), F (X) ,

entonces la restriccion de 2f a Λ, 2f |Λ : Λ → Λ, esta bien definida ya que para cadaA ∈ Λ se tiene que 2f |Λ(A) = f(A) tambien es un elemento de Λ.

Para simplificar un poco la notacion, utilizamos el sımbolo C(f) para representarla restriccion de 2f al hiperespacio C(X); y los sımbolos Fn(f), n ∈ N, para lasrestricciones de 2f a los distintos hiperespacios Fn(X).

La discusion sobre las posibles orbitas generadas por f : X → X es, de ciertomodo, un estudio de dinamicas individuales (para cada punto x en X solo nosinteresan las propiedades de la sucesion o(x, f)). Tomar un conjunto compacto, A,seguir su orbita bajo la funcion inducida 2f : 2X → 2X y preguntarse sobre sucomportamiento es lo que algunos autores llaman estudiar la dinamica colectiva.Ver figura 5.

Figura 5

El interes principal al considerar estas dos dinamicas es encontrar las posiblesrelaciones entre ambas. Cuando la presencia de una propiedad dinamica en f implicala presencia de la misma (u otra) propiedad dinamica en 2f , y viceversa.

Tal vez sea util una pequena advertencia. Sea A ∈ 2X . La letra A es un ele-mento del hiperespacio 2X ; pero tambien representa un conjunto contenido en X.Observese que para toda n ∈ N, se tiene que

(2f )n(A) = fn(A).

Ası la orbita de A,

o(A, 2f ) = A, 2f (A), (2f )2(A), . . . = A, f(A), f2(A), . . .,que es, con toda propiedad, una sucesion de puntos en 2X , se interpreta tambien co-mo una sucesion de conjuntos compactos (una sucesion de manchas) que se muevenen X. Invitamos al lector a mantener, en lo posible, esta doble imagen de o(A, 2f ).


Si x0 ∈ X es un punto periodico bajo f , de periodo N , entonces su orbita,

o(x0, f) =x0, f(x0), f

2(x0), f3(x0), . . .

,

es un conjunto cerrado e invariante bajo f . Por lo tanto, o(x0, f) es un punto fijode 2f . Observese que en este caso A = x0 es un punto periodico, de periodo N ,de la funcion 2f . Cualquier periodo presente en f tambien esta presente en 2f .

Proposicion 4.9. Sea X un espacio metrico y compacto, y sea f : X → X unafuncion continua. Si el conjunto de puntos periodicos de f , Per(f), es denso en X,entonces Per(2f ) es denso en 2X .

Demostracion. Sean U1, U2, . . . , Uk, cualesquiera k subconjuntos abiertos, no vacıos,de X. Por cada Ui tomamos un punto periodico de f , xi ∈ Ui ∩Per(f), de periodoNi. Esta accion es posible ya que Per(f) es denso en X.

Sea N el mınimo comun multiplo de N1, N2, . . . , Nk. Entonces

fN (x1, x2, . . . , xk) = x1, x2, . . . , xk.Por lo tanto, x1, x2, . . . , xk ∈ Per(2f ) ∩ ⟨U1, U2, . . . , Uk⟩. La afirmacion recıproca a la contenida en la proposicion 4.9 tiene algunos aspec-

tos interesantes. En [39] se presenta una funcion continua definida en un espaciometrico compacto, f : X → X, tal que el conjunto Per(2f ) es denso en 2X peroel conjunto Per(f) no es denso en X. Por otro lado, si X es el intervalo unitario,X = [0, 1], entonces la densidad de Per(2f ) en 2[0,1] sı implica la densidad delconjunto de los puntos periodicos de f : [0, 1] → [0, 1] en el intervalo [0, 1].

Proposicion 4.10. Sea f : [0, 1] → [0, 1]. Si Per(2f ) es denso en 2[0,1], entoncesPer(f) es denso en [0, 1].

Demostracion. Sea (a, b) ⊂ [0, 1], con a < b.Es suficiente demostrar que (a, b) ∩ Per(f) = ∅.El conjunto ⟨(a, b)⟩ es abierto en el hiperespacio 2X . Por lo tanto, existe A ∈

Per(2f ), de periodo N , tal que A ∈ ⟨(a, b)⟩. Observese que A ⊂ (a, b).Sean

α = mınA, y β = maxA.

Como fN (A) = A, entonces fN (α) ≥ α, y fN (β) ≤ β. De aquı se sigue queexiste c,

a < α ≤ c ≤ β < b,

tal que fN (c) = c. Proposicion 4.11. Sea f : X → X. Si el conjunto Per(2f ) es denso en elhiperespacio 2X , entonces el conjunto de los puntos recurrentes es denso en X,cl(R(f)) = X. Y, por lo tanto, Ω(f) = X.

Demostracion. Sea U ⊂ X, un conjunto abierto y no vacıo.El conjunto ⟨U⟩ ⊂ 2X es abierto y distinto del vacıo. Existe A ∈ Per(2f ), de

periodo N ∈ N, tal que A ⊂ U .Como fN (A) = A, entonces, por el Teorema 2.5, R(fN |A) = ∅.Sea x ∈ R(fN |A) ⊂ R(fN ). Entonces x ∈ A ∩R(f).Por lo tanto, U ∩R(f) = ∅.

Definicion 4.12. Sean X un espacio metrico compacto y f : X → X una funcioncontinua.


f es puntualmente periodica si todo punto x ∈ X es periodico.f es periodica si existe N ∈ N tal que fN = id.

Ejemplo 4.13. El espacio X que construimos a continuacion es un subconjuntode C× R o, si se quiere, un subconjunto de R2 × R.

Sea S0 = S1 × 0. Para cada n ∈ N, sea

Sn = S1 ×1

n

.

Sea X = S0∪(∪∞n=1Sn). Es decir, X es una union numerable de circunferencias.En X consideramos la metrica que induce la metrica usual de R2 × R.

Sea f : X → X la funcion dada de la siguiente manera:

En S0, f es la identidad. Es decir, f(eiθ, 0) = (eiθ, 0).Para cada n ∈ N la restriccion de f a Sn es una rotacion racional de anguloπn . es decir,

f

(eiθ,

1

n

)=

(ei(θ+

πn ),

1

n

).

De esta segunda condicion se sigue que, restringida a cada circunferenciaSn, la iteracion f2n es la funcion identidad.

La funcion f : X → X que acabamos de definir tiene las siguientes tres propie-dades:

f es continua en X.Todo punto x ∈ X es punto periodico bajo f . Por lo tanto f : X → X espuntualmente periodica.Sean N ∈ N y (eiθ0 , 1

N ) ∈ SN . Entonces

fN(eiθ0 ,

1

N

)=

(ei(θ0+N( π

N )),1

N

)=

(ei(θ0+π),

1

N

)=

(−eiθ0 , 1

N

).

Por lo tanto,

d

((eiθ0 ,

1

N

), fN

(eiθ0 ,

1

N

))= 2.

De la ultima condicion se sigue que f : X → X no es periodica.

Proposicion 4.14. (Li, Yam y X. Ye, [34]) Sean X un espacio metrico compactoy f : X → X una funcion continua.

Las siguientes tres condiciones son equivalentes:

a) f : X → X es periodica.b) 2f : 2X → 2X es periodica.c) 2f : 2X → 2X es puntualmente periodica.

Demostracion. Las implicaciones a) ⇒ b), y b) ⇒ c) son inmediatas.Veamos c) ⇒ a).Como 2f es puntualmente periodica, entonces f tambien es puntualmente pe-

riodica. Supongamos que f no es una funcion periodica.Entonces existen una sucesion xn ⊂ X y un punto x0 ∈ X que cumplen lo

siguiente:

Para toda n ∈ N, xn es un punto periodico bajo f de periodo kn conlımn→∞ kn = ∞.lımn→∞ xn = x0.


Sea A = xn : n ∈ N ∪ x0. Entonces A ∈ 2X y A no es un punto periodicobajo 2f . Esto contradice la hipotesis inicial.

Por lo tanto f : X → X sı es una funcion periodica. Definicion 4.15. Decimos que un espacio metrico compacto no vacıo X es uncontinuo si es, ademas, conexo. Un continuo X es

un arco si es homeomorfo al intervalo unitario I = [0, 1];una curva cerrada simple si es homeomorfo al conjunto z ∈ C : |z| = 1;una grafica si X se puede expresar como la union finita de arcos tales quecada par de ellos se intersecan en un subconjunto de sus puntos extremos;una dendrita si X es localmente conexo y no contiene curvas cerradas sim-ples.

Un conjunto Y es un subcontinuo de X si Y ⊂ X y Y es un continuo.El espacio C(X) es el hiperespacio de todos los subcontinuos de X.

Definicion 4.16. Un continuo X es descomponible si existen dos subcontinuospropios de X, digamos A y B, tales que X = A∪B. Decimos que X es un continuoindescomponible si X no es descomponible.

El intervalo unitario [0, 1] es descomponible ya que [0, 1] = [0, 12 ]∪ [ 12 , 1]. Sugerire imaginar una amplia variedad de continuos descomponibles es una tarea sencilla.Mostrar continuos, no degenerados, que sean indescomponibles es una tarea, enprincipio, nada sencilla. La meta es mostrar al lector como, en el estudio de algunaspropiedades dinamicas, aparecen esta extrana e interesante familia de continuos.

La proposicion 4.17 y el corolario 4.18 contienen herramientas importantes.

Proposicion 4.17. Sea X un espacio metrico compacto. Sea An una sucesioncontenida en 2X tal que para toda n ∈ N, An+1 ⊂ An.

Sean A = ∩∞n=1An, y U ⊂ X un conjunto abierto tal que A ⊂ U . Entonces existeN ∈ N tal que para toda n ≥ N , An ⊂ U .

Demostracion. Sea U ⊂ X un conjunto abierto tal que A ⊂ U . Supongamos queno existe N ∈ N con la propiedad buscada.

Entonces existe una sucesion n1 < n2 < n3 < · · · ⊂ N tal que para toda i ∈ Nse tiene que Ani no es subconjunto de U .

Observese que si para algun k, Ak no es subconjunto de U , entonces para todaj < k, Aj tampoco es subconjunto de U ya que Ak ⊂ Aj .

Por lo tanto, para toda n ∈ N, An no esta contenido en el conjunto U .Para cada n ∈ N, sea xn ∈ An \ U .La sucesion xn esta contenida en el conjunto compacto X \ U . Por lo tanto

existe una subsucesion xni ⊂ xn que converge a un punto x0, con x0 /∈ U .Recordemos que para toda i ∈ N, ni ≥ i y que xni

∈ Ani.

Sea k ∈ N. Entonces para toda i ≥ k se tiene que xni∈ Ak.

Por lo tanto, x0 ∈ Ak para toda k ∈ N. Lo que nos lleva a que x0 es un puntode A que no esta en U . Esto contradice la contencion A ⊂ U . Corolario 4.18. Sea X un espacio metrico compacto. Sea An una sucesioncontenida en 2X tal que para toda n ∈ N, An+1 ⊂ An. Sea A = ∩∞n=1An. Entonces

A = ∅.A es compacto.La sucesion An converge a A. Es decir, lımn→∞H(An, A) = 0.


Demostracion. Si A = ∅, entonces A esta contenido en el conjunto abierto U = ∅.Por la proposicion 4.17, existe N ∈ N tal que AN = ∅, lo que contradice la hipotesis.

Sea Γ = Uλ : λ ∈ Λ una cubierta abierta de A. Observese que

A ⊂ ∪Uλ : λ ∈ Λ = U.

Como U un conjunto abierto de X, existe N ∈ N tal que AN ⊂ U . Es decir, Γes una cubierta abierta de AN tambien.

Por lo tanto, existe una cantidad finita de elementos de Γ que cubren a AN y,claro, estos mismos elementos tambien cubren a A.

La demostracion de la tercera parte de este corolario la aporta el lector (verejercicio 29).

Las herramientas introducidas en la proposicion 4.17 y el corolario 4.18 nosayudan en la demostracion de otro hecho interesante: Para toda funcion continuaf : X → X, se tiene que existe un conjunto cerrado no vacıo, A ⊂ X, que esfuertemente invariante bajo f .

Lema 4.19. Sea X un espacio metrico compacto. Sea An una sucesion contenidaen 2X tal que para toda n ∈ N, An+1 ⊂ An. Sea f : X → X una funcion continua.Entonces

f

( ∞∩n=0

An

)=

∞∩n=0

f(An).

Demostracion. Iniciamos por la contencion f(∩∞n=0An) ⊂ ∩∞n=0f(An).Para cada k ≥ 0 se tiene que ∩∞n=0An ⊂ Ak.Aplicando f obtenemos que para toda k ≥ 0, f(∩∞n=0An) ⊂ f(Ak).Por lo tanto,

f

( ∞∩n=0

An

)⊂∞∩k=0

f(Ak) =

∞∩n=0

f(An).

Ahora demostramos la otra contencion.Sea y0 ∈ ∩∞n=0f(An). Se sigue de aquı que para cada n ≥ 0, existe un punto

an ∈ An tal que f(an) = y0.Sea N ≥ 0. Si n ≥ N , entonces An ⊂ AN . Por tanto, para toda n ≥ N , se tiene

que an ∈ AN . En particular la sucesion an completa esta contenida en A0.Como A0 es un conjunto compacto, an tiene una subsucesion convergente,

digamos ank. Sea b ∈ A0 tal que lımk→∞ ank

= b.Para cada N ≥ 0 se tiene que si k ≥ N , entonces nk ≥ N . Por lo tanto, para

todo k ≥ N , ank ∈ AN . Como AN es cerrado, entonces b ∈ AN .

Concluimos que b es un elemento del conjunto ∩∞n=0An.Ahora, como la funcion f es continua, se tiene, por un lado, que

lımk→∞

f(ank) = lım

k→∞y0 = y0.

Por otro lado,lımk→∞

f(ank) = f(b).

Por lo tanto, f(b) = y0 y, con ello, y0 ∈ f(∩∞n=0An).Ası, ∩∞n=0f(An) ⊂ f(∩∞n=0An).

Corolario 4.20. Sea X un espacio metrico y compacto. Sea f : X → X unafuncion continua. Entonces existe un conjunto cerrado y no vacıo, A ⊂ X, tal quef(A) = A.


Demostracion. Por cada n ≥ 0 consideramos el conjunto An = fn(X).Como f(X) ⊂ X, entonces para toda n ≥ 0 se tiene que fn+1(X) ⊂ fn(X). Es

decir, An+1 ⊂ An.Cada conjunto An = fn(X) es cerrado y distinto del vacıo.Sea

A =

∞∩n=0

fn(X) =

∞∩n=0

An.

Por el Lema 4.19,

f(A) = f

( ∞∩n=0

fn(X)

)=

∞∩n=0

f (fn(X)) =

∞∩n=0

fn+1(X)

=

∞∩n=1

fn(X) = X∩( ∞∩

n=1

fn(X)

)=

∞∩n=0

fn(X) = A.

Por lo tanto, f(A) = A.

Corolario 4.21. Sea X un espacio metrico y compacto. Sea f : X → X unafuncion continua. Entonces la funcion inducida 2f : 2X → 2X siempre tiene almenos un punto fijo.

Demostracion. Si f : X → X es suprayectiva, f(X) = X, entonces X es un puntofijo bajo la funcion 2f . Si f(X) = X, entonces

A =

∞∩n=0

fn(X)

es un subconjunto compacto de X tal que 2f (A) = A.

El Corolario 4.22 contiene un resultado ligeramente mas general que el contenidoen el Corolario 4.20. Claramente la demostracion de este segundo resultado puedeseguir un argumento similar a la demostracion del primero.

Corolario 4.22. Sea X un espacio metrico y compacto. Sea f : X → X unafuncion continua. Sea E ⊂ X un conjunto cerrado no vacıo tal que f(E) ⊂ E.Entonces existe un conjunto cerrado no vacıo, A ⊂ E, tal que f(A) = A.

El Corolario 4.22 nos dice que en cada conjunto, no vacıo, cerrado e invariantebajo la funcion f , vive un conjunto, no vacıo y cerrado que es fuertemente invariantebajo f .


senta un espacio metrico y compacto.Decimos que el espacio X es no degenerado si esta formado por mas de un punto.Sean J = (J, dJ) y K = (K, dK) dos espacios metricos. Sea f : J → K. Deci-

mos que f es una isometrıa si para toda pareja de puntos u, v ∈ J , se tiene quedK(f(u), f(v)) = dJ(u, v).

Ejercicio 19. Demostrar que φ : X → F1(X) dada por φ(x) = x es una iso-metrıa.


Observese que el homeomorfismo φ : X → F1(X), descrito en el ejercicio 19, nosda una conjugacion entre las funciones f : X → X y F1(f) : F1(X) → F1(X), yaque para todo x ∈ X se tiene que φ(f(x)) = F1(f)(φ(x)). El siguiente diagrama esconmutativo.

(8) Xf //

φ

X

φ

F1(X)

F1(f) // F1(X)

Ejercicio 20. Sea f : [0, 1] → [0, 1]. Demostrar que si f es una isometrıa, entoncestodo x ∈ [0, 1] es punto periodico bajo f . ¿Sera cierto que si Per(f) = [0, 1],entonces f es una isometrıa?

Ejercicio 21. Sea X no degenerado. Sea A un elemento de 2X . Demostrar que lafuncion φ : X → 2X dada por φ(x) = A ∪ x es continua. ¿Es posible escoger elconjunto compacto A de tal manera que la funcion resultante φ sea una isometrıa?

Ejercicio 22. Sea X un continuo no degenerado.Sea x0 ∈ X. Sea φ : F2(X) → F3(X) la funcion dada por

φ(a, b) = a, b ∪ x0.

Demostrar:

φ es continua.φ no es inyectiva.

Ejercicio 23. Sea f : X → X. Demostrar que si f es una isometrıa, entonces lafuncion inducida 2f : 2X → 2X tambien es una isometrıa.

Ejercicio 24. Sean An y Bn dos sucesiones en 2X . Sean A,B ∈ 2X . Si Anconverge a A y Bn converge B, es decir

lımn→∞

H(An, A) = 0, y lımn→∞

H(Bn, B) = 0,

entonces Cn = An ∪Bn converge a C = A ∪B.

En el espacio producto 2X × 2X consideramos la metrica del maximo,

d((A,B), (E,F )) = max H(A,E),H(B,F ) ,

A, B, E, F en 2X .El Ejercicio 24 nos dice que la funcion φ : 2X × 2X → 2X dada por φ(A,B) =

A ∪B es continua.

Ejercicio 25. Sean A ∈ 2X , x ∈ X. Demostrar que si para toda ε > 0 se tiene quex ∈ N(A, ε), entonces x ∈ A.

Ejercicio 26. Sean U1, U2, . . . , Uk ⊂ X, y sea U = ⟨U1, U2, . . . , Uk⟩. Demostrarque cl(U) = ⟨cl(U1), cl(U2), . . . , cl(Uk)⟩.

Ejercicio 27. Sea f : X → X. Sea A ⊂ X, un conjunto no vacıo y cerrado. SeaN ≥ 2 tal que fN (A) ⊂ A. Si para cada 1 ≤ i ≤ N − 1, f i(A)∩A = ∅, entonces lafuncion inducida 2f : 2X → 2X tiene un punto periodico de periodo N .

Ejercicio 28. Demostrar lo siguiente:


Si X es un conjunto perfecto (X es cerrado y todo punto de X es punto deacumulacion), entonces 2X es perfecto.Si X es un conjunto totalmente disconexo (cada componente de X esta for-mada por a lo mas un punto), entonces 2X es totalmente disconexo.

Ejercicio 29. Sea An∞n=1 una sucesion contenida en el hiperespacio 2X . Demos-trar lo siguiente:

Si para toda n ∈ N, An+1 ⊂ An y A = ∩∞n=1An, entonces

lımn→∞

H(An, A) = 0.

Si para toda n ∈ N, An ⊂ An+1 y A = cl(∪∞n=1An), entonces

lımn→∞

H(An, A) = 0.

Ejercicio 30. Sea An una sucesion contenida en el hiperespacio C(X) tal quepara toda n ∈ N, An+1 ⊂ An. Sea A = ∩∞n=1An. Entonces A ∈ C(X).

Ejercicio 31. Sea X un continuo no degenerado. Demostrar lo siguiente:

El interior del hiperespacio F (X) es el conjunto vacıo.Para cada n ∈ N se tiene que el hiperespacio Fn(X) es un subconjuntocerrado de 2X .Para cada n ∈ N se tiene que int(Fn(X)) = ∅.El conjunto Φ = 2X \ F (X) es denso en 2X .El hiperespacio C(X) es un subconjunto cerrado de 2X .El interior del hiperespacio C(X) es el conjunto vacıo.

Ejercicio 32. Sea Λ un subconjunto cerrado de 2X . Demostrar que∪A ∈ Λ = x ∈ X : x ∈ A para algun A ∈ Λ

es un subconjunto cerrado de X. Sugerencia. El Ejercicio 25 puede ayudar.

Ejercicio 33. Mostrar, si es que existe, un subconjunto Λ de 2[0,1] tal que Λ no escerrado y, sin embargo,∪

A ∈ Λ = x ∈ [0, 1] : x ∈ A para algun A ∈ Λ

sı es un subconjunto cerrado de [0, 1].

Ejercicio 34. Sea f : S1 → S1 una rotacion de angulo irracional con respecto a2π. Demostrar lo siguiente:

Sea A ∈ 2S1

. Si 2f (A) = A, entonces A = S1.Per(2f ) = S1.Para todo A ∈ 2S

1

se tiene que A ∈ R(2f ).

Ejercicio 35. En este ejercicio nos mudamos al plano, R2.Sea

Γ(R2) = A ⊂ R2 : A es compacto, A = ∅.Dados A y B elementos de Γ(R2) es inmediato que podemos definir la nube de

radio ε > 0 alrededor de cada uno de ellos, N(A, ε) y N(B, ε), y con esto la metricade Hausdorff, H(A,B).

Sea f : R2 → R2. Decimos que f es una contraccion si existe un valor 0 < λ < 1tal que para todo par de puntos (a, b), (u, v), se tiene que

d(f(a, b), f(u, v)) ≤ λ · d((a, b), (u, v)).


Sean fi : R2 → R2, 1 ≤ i ≤ 3, tres contracciones. Sea φ : Γ(R2) → Γ(R2) dadapor

φ(A) = f1(A) ∪ f2(A) ∪ f3(A).Demostrar que existe un valor 0 < λ < 1 tal que para todo par de elementos A y

B de Γ(R2) se tiene que

H(φ(A), φ(B)) ≤ λ ·H((A,B).

Ejercicio 36. Mantenemos la notacion del Ejercicio 35.Sean fi : R2 → R2, 1 ≤ i ≤ 3, dadas por:

f1(x, y) =(x2,y

2

).

f2(x, y) =(x2,y

2

)+

(1

2, 0

).

f3(x, y) =(x2,y

2

)+

(0,

1

2

).

Sea A = (x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1− x.Demostrar lo siguiente:

φ(A) ⊂ A. Por tanto,

lımn→∞

φn(A) = ∩∞n=1φn(A) = A0, A0 ∈ Γ(R2).

Para toda B ∈ Γ(R2) se tiene que lımn→∞ φn(B) = A0.

Hacer un dibujo aproximado del conjunto A0.

Ejercicio 37. Sea Y un espacio metrico compacto. Sea f : X → Y .Sea W1,W2, . . . ,Wk una coleccion finita de subconjuntos de Y , no vacıos.Demostrar lo siguiente:

(2f )−1(⟨W1,W2, . . . ,Wk⟩) = ⟨f−1(W1), f−1(W2), . . . , f

−1(Wk)⟩.Observese que si cada conjuntoWi es abierto, entonces (2

f )−1(⟨W1,W2, . . . ,Wk⟩)es abierto. De aquı se sigue que la funcion inducida 2f : 2X → 2Y es continua.Comparese con la demostracion dada a la Proposicion 4.7, pagina 21.

Ejercicio 38. Sea N ∈ N. El conjunto de puntos periodicos de f : X → X esdenso en X si y solo si el conjunto de puntos periodicos de la funcion inducidaFN (f) : FN (X) → FN (X) es denso en FN (X).

Ejercicio 39. Sea

X =

1

2n: n ≥ 0

∪ 0 .

Observese que el conjunto X es fuertemente invariante bajo la funcion Tienda,T : [0, 1] → [0, 1]. Sea f : X → X dada por f = T |X .

Mostrar un elemento A ∈ 2X tal que A ∈ Per(2f ) y el periodo de A es 3. Si seconsidera que tal elemento no existe, argumentar.

Ejercicio 40. Sea X un continuo no degenerado. En cada inciso dar el ejemploque se pide. Si se considera que no existe, argumentar.

Una funcion f : X → X sin puntos de periodo 2, tal que 2f : 2X → 2X sıtiene puntos de periodo 2.Una funcion f : X → X sin puntos periodicos, Per(f) = ∅, tal que 2f :2X → 2X sı tiene puntos de periodo 3.


Ejercicio 41. En el Ejemplo 4.13 se muestra una funcion que es puntualmenteperiodica y que no es periodica. Segun la Proposicion 4.14 debe existir un elementoA del hiperespacio 2X que no es periodico bajo 2f : 2X → 2X . Mostrar una A conesta propiedad.

ComentariosSea f : X → X. El homeomorfismo φ : X → F1(X), estudiado en el Ejercicio

19, nos dice que f y F1(f) : F1(X) → F1(X) son conjugadas. Ası, todas las pro-piedades dinamicas de f se ven inmediatamente reflejadas en la accion de F1(f) enel hiperespacio F1(X). Como la funcion inducida F1(f) es la restriccion al hiperes-pacio F1(X) de la funcion 2f : 2X → 2X , entonces es de esperar que 2f herede, encierto sentido, la mayorıa de las propiedades que ya tenıa f . Esta idea sirve muybien de guıa cuando conjeturamos la presencia de algunos comportamientos en 2f .Si embargo, como veremos, la relacion entre estas dos funciones es mucho mas ricay compleja.

Si X es un continuo no degenerado, entonces cada uno de los hiperespacios 2X ,C(X), y Fn(X), n ≥ 2, es un continuo no degenerado (ver [28] y [41]).

La Proposicion 4.17 y el Corolario 4.18 aparecen en [41].Todo indica que la siguiente proposicion es cierta.

Proposicion 4.23. Sea X un espacio metrico compacto de cardinalidad infinitanumerable. Entonces el hiperespacio 2X se puede expresar como la union de dosconjuntos, 2X = A ∪B, tales que:

A es un conjunto de Cantor.B es infinito numerable. Si b ∈ B, entonces b es un punto aislado de 2X .cl(B) = X y, finalmente, cl(B) \B = A.

Si X un espacio metrico compacto de cardinalidad infinita numerable, entoncesel conjunto

E = x ∈ X : x es punto aislado de Xes numerable y es denso en X. Entonces

F (E) =A ∈ 2X : A ⊂ E, A finito

es denso en 2X .

Sea S ∈ F (E). Entonces S = s1, s2, . . . , sk donde cada si es un punto aisladode X. Como el conjunto

⟨s1, s2, . . . , sk⟩solo contiene a S, entonces cada elemento de F (E) es un punto aislado de 2X .

La cardinalidad de F (E) es infinita numerable.

Proposicion 4.24. Sea T : [0, 1] → [0, 1] la funcion Tienda. Entonces el conjunto

E =B ∈ 2[0,1] : existe n ∈ N, (2T )n(B) = 0

es denso en 2[0,1].

Demostracion. No es difıcil convencerse que el conjunto

A = x ∈ [0, 1] : existe n ∈ N, Tn(x) = 0

es denso en [0, 1].Como E = F (A), la demostracion esta completa.


Observacion 4.25. El Ejemplo 4.13 muestra lo siguiente:

Per(f) = X no implica Per(2f ) = 2X .R(f) = X no implica que R(2f ) = 2X .

Conjetura 3. Sean X un espacio metrico compacto, f : X → X una funcioncontinua.

R(f) es denso en X si y solamente si R(2f ) es denso en 2X .Ω(f) = X si y solamente si Ω(2f ) = 2X .¿cl(R(f)) = Ω(f) implica cl(R(2f )) = Ω(2f )?

Faltan comentarios sobre los conjuntos F (R(f)), 2R(f), F (Ω(f)) y 2Ω(f).


5. El espacio de las funciones continuas

Sea X = (X, d) un espacio metrico y compacto. Sea

F = f : X → X : f es continua en X.Dadas f, g ∈ F ,

(9) d(f, g) = maxd(f(x), g(x)) : x ∈ Xdefine una metrica en el espacio F .

Si el espacioX tiene cardinalidad infinita, entonces hay una cantidad muy grandede funciones continuas de X en X. Cada una de estas funciones f : X → X generaun sistema dinamico discreto que es candidato a ser estudiado. Lo que hacen F yd es darle a esta coleccion desordenada de funciones una estructura. Ahora formanun espacio metrico, (F ,d).

Sean f ∈ F , ε > 0. Decimos que g ∈ F es una ε-perturbacion de f si d(f, g) < ε.Una vez que tenemos el espacio F = (F ,d), una de las ideas centrales es la

siguiente: Tomemos f ∈ F . ¿Cuales propiedades dinamicas de f se preservan sialteramos a f un poco? Es decir, si g ∈ F es una ε-perturbacion de f , con ε >0 pequena, ¿que propiedades de f se mantienen presentes en la funcion g? Porejemplo, si f tiene un punto fijo, digamos en x0 ∈ X, ¿entonces perturbacionescercanas a f estan obligadas a tener un punto fijo tambien? y, si este es el caso,¿estos nuevos puntos fijos estan cercanos a x0?

El campo de las preguntas posibles es, en verdad, muy amplio. En estas notaspresentamos algunas de estas preguntas.

Proposicion 5.1. F es completo.

Demostracion. Ya casi. Proposicion 5.2. Sea N ∈ N. Sea φ : F → F la funcion que a cada f ∈ F leasigna la N -iteracion de f , φ(f) = fN . Entonces φ es continua.

Demostracion. Demostramos primero el caso N = 2, y luego procedemos por in-duccion.

Sean f ∈ F , ε > 0. Como f es continua, existe η > 0 tal que para toda parejau, v ∈ X, la condicion d(u, v) < η implica d(f(u), f(v)) < ε

2 .Sea δ = mınη, ε2. Sea g ∈ F una funcion tal que d(f, g) < δ. Demostraremos

que d(f2, g2) < ε.Sea x ∈ X. Entonces

d(f(x), g(x)) < δ ≤ η, por tanto, d(f2(x), f(g(x))) <ε

2.

Por otro lado, como d(f, g) < δ, entonces d(f(g(x)), g(g(x))) < δ.Ası,

d(f2(x), g2(x)) <ε

2+ δ ≤ ε, para todo x ∈ X.

Por lo tanto, d(f2, g2) < ε.Supongamos ahora que la funcion que a cada f ∈ F le asigna la funcion fN

es continua en F . Por demostrar, la funcion φ : F → F dada por φ(f) = fN+1

tambien es continua.Sean f ∈ F , ε > 0. Existe γ > 0 tal que para toda pareja u, v ∈ X, d(u, v) < γ

implica d(f(u), f(v)) < ε2 .

Sea η > 0 tal que d(f, g) < η, con g ∈ F , implica d(fN , gN ) < γ.


Sea δ = mınη, ε2. Sea g ∈ F tal que d(f, g) < δ.Sea x ∈ X. Entonces

d(fN (x), gN (x)) < γ, y d(f(fN (x)), f(gN (x))) <ε

2.

Por otro lado, como d(f, g) < δ, entonces d(f(gN (x)), g(gN (x))) < δ.Ası,

d(fN+1(x), gN+1(x)) <ε

2+ δ ≤ ε, para todo x ∈ X.

Por lo tanto, d(fN+1, gN+1) < ε.

Ejemplo 5.3. Sea f : [0, 1] → [0, 1] la funcion lineal por partes definida por:f(0) = 1

2 , f(12 ) = 1, f(1) = 0. En la figura 6 se muestran las graficas de f y de las

iteraciones f2 y f3. Observese que la funcion f tiene una sola orbita de periodo 3.

Figura 6

Ejemplo 5.4. Por cada valor λ, 12 < λ < 1, consideramos la funcion fλ : [0, 1] →

[0, 1] dada de la siguiente manera: fλ es lineal por partes y esta definida por lassiguientes evaluaciones: f(0) = λ, f( 12 ) = 1, f(1) = 0. Ver figura 7.

La familia fλ cumple las siguientes condiciones:

Cuando λ tiende a 12 , fλ converge a f .

fλ no tiene puntos periodicos de periodo 3. Ver figura 8.

Figura 7




Figura 8

Ejercicio 42. Demostrar que el espacio

F = f : [0, 1] → [0, 1] : f es continua en [0, 1]

cumple las siguientes condiciones:

F no es compacto.F es convexo y, por lo tanto, es conexo.Todo elemento f ∈ F es punto de acumulacion de F .

Ejercicio 43. Sean f : X → X, y ψ : F → F la funcion dada por ψ(g) = f g,g ∈ F . Demostrar que ψ es continua.

Ejercicio 44. Sea f : [0, 1] → [0, 1]. Sea x0 ∈ [0, 1] un punto cuya orbita bajo f serecorre de la siguiente manera:

f3(x0) < x0 < f(x0) < f2(x0),

Poner imagen.Demostrar lo siguiente:

f tiene un punto periodico de periodo 3. Por tanto, f tiene puntos periodicosde todos los periodos.Existe δ > 0 tal que para toda g ∈ F , con d(f, g) < δ, se tiene que gtiene puntos periodicos de todos los periodos. En esta parte, F representa elespacio de todas las funciones continuas de [0, 1] en sı mismo.

Sea Y un espacio metrico y compacto. Decimos que f : X → Y es monotona sipara cada y ∈ Y se tiene que f−1(y) es un subconjunto conexo de X.

Ejercicio 45. Sea fn : [0, 1] → [0, 1] una sucesion de funciones que converge af : [0, 1] → [0, 1]. Demostrar lo siguiente:

Si para toda n ∈ N, fn es suprayectiva, entonces f es suprayectiva.Si para toda n ∈ N, fn es monotona, entonces f es monotona.

Ejercicio 46. Mostrar, si es que existe, una sucesion fn : [0, 1] → [0, 1], con-vergente a f : [0, 1] → [0, 1], donde cada fn sea suprayectiva e inyectiva, y, sinembargo, f no es inyectiva.


Ejercicio 47. Sea λ ∈ [0, 1]. Sea fλ : [0, 1] → [0, 1] la funcion lineal por partesdada por f(0) = λ, f( 12 ) = 1, f(1) = 0. Observese que si λ = 1

2 , obtenemos elEjemplo 5.3, y si λ = 0, entonces obtenemos la funcion Tienda.

Demostrar lo siguiente:

Si λ > 12 , entonces fλ tiene un punto periodico de periodo 3.

Si λ > 12 , entonces fλ es transitiva. ¡Gulp!

La funcion λ→ fλ es continua en todo λ ∈ [0, 1].

Observacion. La funcion Tienda tiene dos orbitas de periodo 3. ¿Se puede encon-trar 0 < λ0 <

12 tal que para todo 0 ≤ λ ≤ λ0, fλ ya tiene dos orbitas de periodo

3?

Ejercicio 48. Sea T : [0, 1] → [0, 1] la funcion Tienda. Demostrar que existe δ > 0tal que para toda f : [0, 1] → [0, 1] con d(f, T ) < δ se tiene que f tambien tiene unaorbita de periodo 3. Sugerencia. Ejercicio 44.

ComentariosTal vez traer a colacion a la familia de las Tiendas.


6. Recurrencia usando cadenas

Sean X un espacio metrico compacto y f : X → X una funcion continua.Mencionamos que los conjuntos

Fix(f), P er(f), R(f) y Ω(f)

dan cuenta de puntos cuyas orbitas bajo f , en algun sentido, son recurrentes. Loque se rescata en estos conjuntos es un comportamiento: el punto (o en el peorde los casos algun punto cercano a el) regresa una y otra vez al lugar de partidade la orbita. Este rasgo de la dinamica es cada vez mas debil al ir de Fix(f)hacia el conjunto de los puntos no errantes, Ω(f). Presentamos en esta seccion unarecurrencia todavıa mas debil que la representada por el conjunto Ω(f).

Definicion 6.1. Sean x, y ∈ X, ε > 0. Decimos que la coleccion Γ ⊂ X,

Γ = x0, x1, . . . , xn, n ∈ N,

es una ε-cadena de x a y si

x0 = x, xn = y, ypara toda i, 0 ≤ i ≤ n− 1, d(f(xi), xi+1) < ε.

A pesar de que Γ tiene n+ 1 elementos, diremos que la longitud de Γ es n.Observese que la cadena Γ no es, necesariamente, un segmento inicial de la

orbita del punto x0. El punto x1 no es, necesariamente, f(x0); el punto x2 no es,necesariamente, f(x1), y ası sucesivamente. En la construccion de Γ, en cada pasoi, se permite una ε-tolerancia para, a partir de f(xi), definir el punto xi+1. Lointeresante del caso es que esta pequenısima tolerancia nos permite descubrir yestudiar varias propiedades dinamicas del sistema (X, f).

Otra observacion importante es la siguiente.Sea g : X → X una funcion continua. Supongamos que la distancia entre f y g

es menor que ε > 0, d(f, g) < ε, (ver la expresion (9) en la pagina 33). Es decir, ges una ε-perturbacion de f . Sean x ∈ X, n ∈ N, y consideremos

Γ = x, g(x), g2(x), . . . , gn(x).

Para cada i, 0 ≤ i ≤ n, sea xi = gi(x). Entonces

Γ = x0, x1, x2, . . . , xn.

Como para cada 0 ≤ i ≤ n− 1,

d(f(xi), xi+1) = d(f(xi), gi+1(x)) = d(f(xi), g(g

i(x))) = d(f(xi), g(xi)) < ε,

entonces Γ es una ε-cadena de f .Ası, cada segmento inicial de una orbita de g es, desde el punto de vista de f ,

una ε-cadena. De esta manera, a traves de las ε-cadenas, se crea un puente entrelas funciones f y g. Volveremos a esta idea un poco mas adelante. En lo que restade esta seccion solo consideramos una funcion continua f : X → X.

Definicion 6.2. Decimos que x ∈ X es un punto recurrente por cadenas de f :X → X si para toda ε > 0 existe una ε-cadena de x a x.

Al conjunto de todos los puntos recurrentes por cadenas de la funcion f : X → Xlo denotamos con CR(f).


No es difıcil demostrar, a partir de la definicion 6.1, que todo punto recurrentees recurrente por cadenas, es decir, R(f) ⊂ CR(f). De hecho, esta contencion esun corolario inmediato de la Proposicion 6.3. Ası, el conjunto CR(f) siempre esdistinto del vacıo.

Proposicion 6.3. Dada f : X → X, se tiene que Ω(f) ⊂ CR(f).

Demostracion. Sea x ∈ Ω(f). Sea ε > 0. Consideremos el conjunto

U = B(x, ε) ∩ f−1(B(f(x), ε)).

Como U es abierto y x ∈ U , existen y ∈ U y n ≥ 2, tales que fn(y) ∈ U .De aquı se sigue que

Γ = x, f(y), f2(y), . . . , fn−1(y), xes una ε-cadena de x a x.

Los ejemplos 6.4 y 6.5 muestran que la contencion Ω(f) ⊂ CR(f) puede serpropia.

Ejemplo 6.4. Sea X = 0 ∪ x = 12n : n ≥ 0. Sea f : X → X la restriccion al

espacio X de la funcion Tienda, T : [0, 1] → [0, 1]. Ver figura tal.Entonces Ω(f) = 0 y CR(f) = X. Ver Ejercicio 49.

Ejemplo 6.5. Sea f : [0, 1] → [0, 1] la funcion lineal por partes definida por f(0) =0, f( 13 ) = 1, f( 23 ) = 1 y f(1) = 0. Ver figura 9. Entonces Ω(f) = CR(f).

Figura 9

Demostracion. Sea x0 = 12 . Demostraremos que x0 ∈ CR(f) \ Ω(f).

Sea ε > 0. Existe N ∈ N tal que x0

3N< ε.

Entonces

Γ =x0, 1,

x03N

,x0

3N−1, . . . ,

x03, x0

es una ε-cadena de x0 en sı mismo. Por lo tanto, x0 ∈ CR(f).

El intervalo U = ( 13 ,23 ) es un conjunto abierto tal que x0 ∈ U . Como f(U) = 0

y f(0) = 0, entonces para toda n ∈ N, fn(U) ∩ U = ∅. Ası, x0 /∈ Ω(f).


En el ejercicio 51 el lector tendra la oportunidad de conocer mas propiedades dela funcion descrita en el ejemplo 6.5. En particular, que el conjunto de los puntosrecurrentes por cadenas resulta ser el intervalo [0, 1] completo.

Ejemplo 6.6. Sea f : [0, 1] → [0, 1] la funcion dada por f(x) = x2. Entonces elconjunto de los puntos recurrentes por cadenas tiene solo dos elementos, CR(f) =0, 1.

Demostracion. Como 0, 1 = Per(f), entonces 0, 1 ⊂ CR(f).Sea x0 ∈ (0, 1). Entonces f([0, x0]) = [0, x20], con x

20 < x0.

Sea ε = x0 − x20. Sea Γ una ε-cadena que inicia en x0,

Γ = x0, x1, x2, . . . , xn.Como d(f(x0), x1) < ε, entonces x1 < x0. Por ello, x1 ∈ [0, x0), y f(x0) < x0.Ahora, como

f(x1) < f(x0), y d(f(x1), x2) < ε,

entonces x2 < x0. Es decir, x2 ∈ [0, x0).Utilizando este argumento varias veces, obtenemos que para toda i, 1 ≤ i ≤ n,

se tiene que xi < x0. Por tanto, xn = x0.Es decir, ninguna ε-cadena que inicie en el punto x0 puede regresar a el.Por lo tanto, x0 /∈ CR(f). Ası, CR(f) = 0, 1. Las proposiciones 6.7 y 6.8 describen las propiedades iniciales del conjunto

CR(f).

Proposicion 6.7. Sea f : X → X. El conjunto CR(f) es cerrado.

Demostracion. Sea x ∈ cl(CR(f)). Sea ε > 0.Gracias a la continuidad uniforme de f : X → X, existe 0 < δ < ε

2 tal que parapara todo par de puntos u, v ∈ X, d(u, v) < δ implica d(f(u), f(v)) < ε

2 .Sean y ∈ B(x, δ) ∩ CR(f) y Γ = y, y1, y2, . . . , yn−1, y una δ-cadena de y a y.Como

d(f(x), y1) ≤ d(f(x), f(y)) + d(f(y), y1) <ε

2+ δ < ε, y

d(f(yn−1), x) ≤ d(f(yn−1), y) + d(y, x) < δ + δ < ε,

entoncesΥ = x, y1, y2, . . . , yn−1, x

es una ε-cadena de x a x. Por tanto, x ∈ CR(f). Proposicion 6.8. Sea f : X → X. El conjunto CR(f) es fuertemente invariante.

Demostracion. Sea y0 ∈ f(CR(f)). Demostraremos que y0 ∈ CR(f).Sea ε > 0. Sea δ > 0 tal que para todo par de puntos u, v, en X, d(u, v) < δ

implica d(f(u), f(v)) < ε.Tomemos x0 ∈ CR(f) tal que f(x0) = y0.Sea

Γ = x0, x1, x2, . . . , xn−1, xn = x0una δ-cadena de x0 a x0.

Comod(f(xi), xi+1) < δ, para 0 ≤ i ≤ n− 1,

entoncesd(f(f(xi)), f(xi+1)) < ε, para 0 ≤ i ≤ n− 1.


Ası,

Υ = y0 = f(x0), f(x1), f(x2), . . . , f(xn−1), f(x0) = y0es una ε-cadena del punto y0 a sı mismo.

Por lo tanto, f(CR(f)) ⊂ CR(f).Demostramos ahora la otra contencion. Sea x0 ∈ CR(f).Para cada n ∈ N, existe una 1

n -cadena, llamemosla Γn, de x0 a x0. Sea zn elpenultimo termino de Γn. Como la sucesion zn esta contenida en X, podemossuponer, sin perder generalidad, que zn converge a un punto z0 ∈ X.

Observese que para toda n ∈ N se tiene que d(f(zn), x0) <1n . Y dado que f es

continua,

x0 = lımn→∞

f(zn) = f(z0), f(z0) = x0.

Resta demostrar que el punto z0 es un elemento de CR(f).Sea ε > 0. Tomemos 0 < δ < ε

2 tal que d(u, v) < δ, implica d(f(u), f(v)) < ε2

para todo par de puntos u, v ∈ X.Sea N ∈ N tal que 1

N < δ y, ademas, d(zN , z0) < δ.Llamemos, tratando de simplificar la notacion, u al termino inmediatamente

anterior a zN en la cadena ΓN ,

ΓN = x0, x1, x2, . . . , u, zN , x0.

Como

d(f(u), z0) ≤ d(f(u), zN ) + d(zN , z0) <1

N+ δ < ε,

y, ya que d(f(z0), x0) = 0, entonces

Υ = z0, x0, x1, x2, . . . , u, z0

es una ε-cadena de z0 a sı mismo. Por lo tanto z0 ∈ CR(f).

Corolario 6.9. Sea f : X → X. Si todo punto x ∈ X es recurrente por cadenas,entonces f : X → X es suprayectiva.

Demostracion. Utilizando la proposicion 6.8, se tiene que

f(X) = f(CR(f)) = CR(f) = X.

Nuestra siguiente meta es mostrar que para todo N ∈ N, se tiene la siguienteigualdad: CR(fN ) = CR(f).

Sean x, y, z tres puntos en X, y sea ε > 0. Sea

Γ = x = x0, x1, . . . , xn = y

una ε-cadena de x a y. Sea

Υ = y = y0, y1, . . . , ym = z

una ε-cadena de y a z. La concatenacion de Γ y Υ es la cadena

Γ + Υ = x0, x1, . . . , xn−1, xn = y0, y1, . . . , ym.

Es inmediato que Γ + Υ es una ε-cadena de x a z.La longitud de Γ + Υ es n+m.


Lema 6.10. Sean f : X → X y N ∈ N. Sea x ∈ X. Entonces para todo ε > 0existe δ > 0 tal que para toda δ-cadena de longitud n > N que inicia en x,

Γ = x = x0, x1, x2, . . . , xn

se tiene que d(fN (xi), xi+N ) < ε para toda i, 0 ≤ i ≤ n−N .

Demostracion. Sea ε > 0.Las funciones f j : X → X, 0 ≤ j ≤ N − 1, son uniformemente continuas. Existe

0 < δ < εN tal que para toda pareja de puntos u, v en X, con d(u, v) < δ, se tiene

que

d(f j(u), f j(v)) <ε

N, para cada j, 1 ≤ j ≤ N − 1.

Sea Γ = x = x0, x1, . . . , xn una δ-cadena, con N < n. Sea i, 0 ≤ i ≤ n−N .Entonces, utilizando la desigualdad del triangulo,

d(fN (xi), xi+N ) ≤N∑

k=1

d(fk(xi+N−k), fk−1(xi+N−k+1))

= d(f(xi+N−1), xi+N ) +

N∑k=2

d(fk−1(f(xi+N−k)), fk−1(xi+N−k+1))

< δ + (N − 1)ε

N< ε.

Proposicion 6.11. Sean f : X → X y N ∈ N. Entonces CR(f) = CR(fN ).

Demostracion. Veremos primero que si x ∈ CR(f), entonces x ∈ CR(fN ).Sean x ∈ CR(f) y ε > 0. Sea Γ = x = x0, x1, . . . , xM = x una δ-cadena, para

f , del punto x en sı mismo, donde δ > 0 es un valor que cumple lo afirmado en ellema 6.10.

ConcatenandoN veces la cadena Γ consigo misma, Υ = Γ+Γ+· · ·+Γ, obtenemosuna δ-cadena de x en x de longitud M ·N .

Renombremos los elementos Υ. Sea Υ = x = u0, u1, u2, . . . , uM ·N = x.Por el lema 6.10, para cada 0 ≤ i ≤ N − 1 se tiene que

d(fN (ui·N ), u(i+1)·N ) < ε.

Por lo tanto,

Λ = x = u0, uN , u2N , . . . , uM ·N = xes una ε-cadena, para fN , que inicia y termina en el punto x. Ası, x ∈ CR(fN ).

Demostramos ahora la otra contencion.Sea x ∈ CR(fN ). Sean ε > 0 y Γ = x = x0, x1, x2, . . . , xn = x una ε-cadena,

para fN , del punto x en sı mismo.Definimos la cadena Υ de la siguiente manera: Entre los puntos x0 y x1, agrega-

mos las imagenes del punto x0 bajo las funciones f, f2, . . . , fN−1; entre los puntosx1 y x2 agregamos las imagenes correspondientes de x1, y ası sucesivamente hastallegar a xn,

Υ = x0, f(x0), . . . , fN−1(x0), x1, f(x1), . . . , fN−1(x1), x2, . . . , fN−1(xn−1), xn.

Es inmediato que Υ es una ε-cadena de x en x para la funcion f .


Proposicion 6.12. Sea X un continuo. Sea f : X → X una funcion continua. Sitodo punto de X es recurrente por cadenas, CR(f) = X, entonces no existe ningunconjunto abierto U , ∅ = U = X, tal que f(cl(U)) ⊂ U .

Demostracion. Supongamos que sı existe tal conjunto abierto U .Los conjuntos f(cl(U)) y X \ U son distintos del vacıo, ajenos entre sı, y son

compactos. Existe δ > 0 tal que para toda pareja de puntos u ∈ f(cl(U)) y v ∈X \ U , se tiene que d(u, v) ≥ δ.

Como X es un conjunto conexo, entonces cl(U) = U . Sea x0 ∈ cl(U) \ U .Sea Γ = x0, x1, x2, . . . , xn−1, xn una δ-cadena de longitud n ∈ N que inicia en

el punto x0. Como f(x0) ∈ f(cl(U)) y d(f(x0), x1) < δ, entonces x1 no puede serun elemento de X \ U . Es decir, x1 ∈ U .

Aquı viene el paso inductivo de la demostracion. Sea 1 ≤ i ≤ n−1 y supongamosque xi ∈ U . Entonces f(xi) ∈ f(cl(U)). Como d(f(xi), xi+1) < δ, se tiene quexi+1 /∈ X \ U . Por lo tanto, xi+1 ∈ U .

Es decir, la cadena Γ, salvo x0, no puede salir de U .De aquı se sigue que xn = x0.Por tanto, no existe ninguna δ-cadena de x0 en sı mismo.Ası, x0 /∈ CR(f). Esto es una contradiccion. El conjunto CR(f) es fuertemente invariante bajo f : X → X. Cada punto

x ∈ CR(f) tiene, para cada ε > 0, una ε-cadena que inicia y termina en el. Lameta en esta parte es demostrar que es posible construir esas ε-cadenas sin salirsedel conjunto CR(f).

Lema 6.13. Sean X un espacio metrico y compacto, y f : X → X una funcioncontinua. Sea x ∈ CR(f). Entonces para todo conjunto abierto U ⊂ X, tal queCR(f) ⊂ U , y para toda ε > 0, existe una ε-cadena de x a sı mismo que estatotalmente contenida en U .

Demostracion. Supongamos que existe un conjunto abierto U ⊂ X, con CR(f) ⊂U , y una ε0 > 0, tales que toda ε0-cadena que inicia y termina en x tiene unelemento en X \ U .

Sea εn una sucesion tal que para toda n ∈ N,0 < εn < ε0, y tal que lım

n→∞εn = 0.

Para cada n ∈ N, sea Γn una εn-cadena de x en x. Como Γn es tambien unaε0-cadena, podemos escoger zn ∈ Γn, tal que zn ∈ X \ U .

Sin perder generalidad supongamos que lımn→∞ zn = z0, con z0 ∈ X \ U .Sea ε > 0. Sea 0 < δ < ε

2 tal que para toda pareja de puntos u, v ∈ X, lacondicion d(u, v) < δ, implica d(f(u), f(v)) < ε

2 .Sea N ∈ N, tal que εN < δ y d(z0, zN ) < δ. Consideremos la εN -cadena

ΓN = x = x0, x1, . . . , xk−1, xk = zN , xk+1, . . . , xn = x.Como

d(f(xk−1), z0) ≤ d(f(xk−1), zN ) + d(zN , z0) < εN + δ < ε,

y

d(f(z0), xk+1) ≤ d(f(z0), f(zN )) + d(f(zN ), xk+1) <ε

2+ εN < ε,

entoncesx = x0, x1, . . . , xk−1, z0, xk+1, . . . , xn = x


es una ε-cadena de x a x.De aquı se sigue que

Υ = z0, xk+1, . . . , xn−1, xn = x, x1, . . . , z0

es una ε-cadena de z0 a sı mismo.Como este argumento fue posible para cualquier ε > 0, entonces z0 es un elemento

del conjunto CR(f) que esta fuera de U .Esto ultimo contradice la contencion CR(f) ⊂ U .

Proposicion 6.14. Sea X un espacio metrico y compacto, y sea f : X → X unafuncion continua. Sea x ∈ CR(f). Entonces para toda ε > 0, existe una ε-cadenade x en sı mismo totalmente contenida en el conjunto CR(f).

Demostracion. Sean x ∈ CR(f), y ε > 0.Sea η = ε

3 . Sea 0 < δ < η tal que d(u, v) < δ, implica d(f(u), f(v)) < η.Sea U ⊂ X el siguiente conjunto abierto:

U = N(CR(f), δ) = ∪B(u, δ) : u ∈ CR(f).

Sea

Γ = x = x0, x1, x2, . . . , xn = xuna η-cadena de x en sı mismo totalmente contenida en U , (lema 6.13).

Existen puntos

Υ = y0, y1, y2, . . . , yn ⊂ CR(f)

tales que y0 = x0 = x, yn = xn = x, y, para cada i, 1 ≤ i ≤ n − 1, se tiene qued(xi, yi) < δ.

Entonces

d(f(y0), y1) = d(f(x0), y1) ≤ d(f(x0), x1) + d(x1, y1) < η + δ < ε.

Y para cada i, 1 ≤ i ≤ n− 1,

d(f(yi), yi+1) ≤ d(f(yi), f(xi)) + d(f(xi), xi+1) + d(xi+1, yi+1) < η + η + δ < ε.

Por lo tanto, Υ es una ε-cadena de x a x totalmente contenida en CR(f).



Ejercicio 49. Demostrar lo afirmado en el Ejemplo 6.4.

Ejercicio 50. Sean f : X → X y g : Y → Y dos funciones conjugadas a traves delhomeomorfismo h : X → Y . Demostrar que h(CR(f)) = CR(g).

Ejercicio 51. Sea f : [0, 1] → [0, 1] la funcion definida en el ejemplo 6.5. SeaU = ( 13 ,

23 ). Demostrar lo siguiente:

El conjunto W = ∪∞n=1f−n(U) es denso en [0, 1].

C = [0, 1] \W es el conjunto de Cantor clasico.f tiene un punto periodico de periodo 3 y, por tanto, tiene puntos periodicosde todos los periodos.Todo punto de [0, 1] es recurrente por cadenas, CR(f) = [0, 1].Ademas Ω(f) ⊂ C.


ComentariosAlgunas propiedades dinamicas del Ejemplo 6.5 se estudian en [36]. En el capıtulo

10 de [29], se presenta una funcion con caracterısticas muy similares. El lector quevisite estas dos referencias notara que, de hecho, se tiene que el conjunto de lospuntos no errantes Ω(f) es exactamente el conjunto de Cantor C.

Falta describir el papel de R. Bowen en todo esto.


7. Transitividad

Falta una introduccion.

Definicion 7.1. Sea X un espacio metrico. Sea f : X → X una funcion continua.Decimos que f es transitiva en X si para toda pareja de conjuntos abiertos novacıos, U, V ⊂ X, existe n ∈ N tal que fn(U) ∩ V = ∅.

Observese que una funcion transitiva obliga a muchos puntos a moverse porvarias zonas del espacio X. Por cada dos conjuntos abiertos debe existir al menosun punto en el primero cuya orbita debe pasar por el segundo. De hecho, para todacoleccion finita,

Γ = U1, U2, . . . , Uk,de conjuntos abiertos no vacıos, existe x0 ∈ X tal que su orbita visita cada elementode Γ.

Proposicion 7.2. Sea f : X → X una funcion transitiva. Entonces f es supra-yectiva.

Demostracion. Si f no es suprayectiva, entonces V = X \ f(X) es un subconjuntode X que es abierto y distinto del vacıo. Sea U ⊂ X un conjunto abierto y distintodel vacıo. Sea n ∈ N. Entonces

fn(U) ⊂ fn(X) ⊂ f(X).

Por lo tanto, para toda n ∈ N se tiene que fn(U) ∩ V = ∅. Esto contradice latransitividad de f .

Proposicion 7.3. Sea f : X → X. La funcion f es transitiva en X si y solo si paratodo conjunto abierto no vacıo W , W ⊂ X, se tiene que el conjunto ∪∞n=1f

−n(W )es denso en X.

Demostracion. Tomemos W ⊂ X un conjunto abierto y no vacıo. Sea U ⊂ X,abierto y no vacıo. Como f es transitiva, existe N ∈ N tal que fN (U)∩W = ∅. Porlo tanto,

U ∩ f−N (W ) = ∅, y U ∩ (∪∞n=1f−n(W )) = ∅.

Es decir, ∪∞n=1f−n(W ) es denso en X.

Para demostrar la afirmacion recıproca consideremos U, V ⊂ X, dos conjuntosabiertos y no vacıos. Como la union ∪∞n=1f

−n(V ) forma un conjunto denso en elespacio X, entonces

U ∩ (∪∞n=1f−n(V )) = ∅.

Ası, existe N ∈ N tal que U ∩ f−N (V ) = ∅.Por tanto, fN (U) ∩ V = ∅.

Lema 7.4. Sea f : X → X una funcion transitiva en X. Sean U y V dos subcon-juntos abiertos de X no vacıos.

Sea N ∈ N tal que fN (U)∩V = ∅. Entonces existe M > N tal que fM (U)∩V = ∅.Existe una sucesion n1 < n2 < n3, . . . ⊂ N tal que para toda i ∈ N,fni(U) ∩ V = ∅.


Demostracion. Si fN (U) ∩ V = ∅, entonces U ∩ f−N (V ) = ∅.Como los conjuntos U y U ∩ f−N (V ) son abiertos y no vacıos, existe n ∈ N tal

quefn(U) ∩ (U ∩ f−N (V )) = ∅.

De aquı se sigue que existe x ∈ U tal que fn(x) ∈ (U ∩ f−N (V )).Entonces fn(x) ∈ f−N (V ). Es decir, fn+N (x) ∈ V .Tomando M = n+N , obtenemos fM (U) ∩ V = ∅.La segunda parte del lema es consecuencia inmediata de la primera. Las definiciones de espacio metrico completo y de conjunto residual las dimos en

la Definicion 2.17, pagina 10.Observese que si X es compacto y E es residual, entonces E no solamente es

distinto del conjunto vacıo, sino que tambien es denso en X, (ver Ejercicio 6).

Proposicion 7.5. Sea X un espacio metrico compacto. Sea f : X → X unafuncion continua. Las siguientes dos afirmaciones son equivalentes:

f es transitiva en X.El conjunto x ∈ X : o(x, f) es densa en X es residual.

Demostracion. Sea f : X → X una funcion transitiva. Por el Ejercicio 63, sabemosque existe una coleccion infinita numerable de conjuntos abiertos y no vacıos,

Γ = W1,W2,W3, . . . , Wi ⊂ X, i ∈ N,tales que

lımi→∞ diam(Wi) = 0.Para toda N ∈ N, WN ,WN+1,WN+2, . . . es una cubierta de X.

Para cada i ∈ N, consideramos Ui = ∪∞n=1f−n(Wi).

Es inmediato que cada conjunto Ui es abierto y, por la Proposicion 7.3, Ui tam-bien es un conjunto denso en X. Del Teorema 2.19 se sigue que

A =

∞∩i=1

Ui = ∅.

Observese que A ⊂ X es un conjunto residual.Sea x0 ∈ A. Demostraremos que o(x0, f) es un conjunto denso en X.Sean y0 ∈ X, U ⊂ X un conjunto abierto, tales que y0 ∈ U . Sea ε > 0 tal que

B(y0, ε) ⊂ U .Sea N ∈ N tal que para toda i ≥ N , se tiene que diam(Wi) < ε.Como la coleccion de conjuntos WN ,WN+1,WN+2, . . . es una cubierta de X,

existe j ≥ N tal quey0 ∈Wj ⊂ B(y0, ε) ⊂ U.

Ahora, x0 ∈ A, por tanto x0 ∈ Uj = ∪∞n=1f−n(Wj).

De aquı se sigue que existe k ∈ N tal que

fk(x0) ∈Wj ⊂ B(y0, ε) ⊂ U.

Por lo tanto, la orbita o(x0, f) es densa en X.Supongamos ahora que E = x ∈ X : o(x, f) es densa en X es residual.Sean U, V ⊂ X dos conjuntos abiertos y no vacıos. Como E es residual, entonces

E = ∅, de hecho, E es denso en X. Por lo tanto existe x ∈ U tal que su orbitao(x, f) forma un conjunto denso en X. Como V es abierto y distinto del conjuntovacıo, existe n ∈ N tal que fn(x) ∈ V . Por lo tanto, fn(U) ∩ V = ∅.


Proposicion 7.6. Sea X un espacio metrico compacto. Sea f : X → X unafuncion continua. Entonces f es transitiva en X si y solo si f es suprayectiva yexiste x ∈ X tal que su orbita o(x, f) forma un conjunto denso en X.

Demostracion. Sea f : X → X una funcion transitiva.La existencia de una orbita densa bajo f se sigue de manera inmediata de la

Proposicion 7.5. Que f es una funcion suprayectiva se sigue de la Proposicion 7.2.Supongamos ahora que f es suprayectiva y que existe un punto, x0 ∈ X, tal que

su orbita forma un conjunto denso en X.Como X es compacto, entonces para todo A ⊂ X, se tiene que

f(cl(A)) = cl(f(A)).

Observese, ademas, que para todo x ∈ X, f(o(x, f)) = o(f(x), f).Entonces,

X = f(X) = f(cl(o(x0, f))) = cl(f(o(x0, f))) = cl(o(f(x0), f)).

Es decir, la orbita de f(x0), bajo f , tambien forma un conjunto denso en X.Siguiendo de manera inductiva este argumento obtenemos que para toda k ∈ N, laorbita o(fk(x0), f) es densa en X.

Sean U, V ⊂ X dos conjuntos abiertos y no vacıos.Existe N ≥ 0 tal que fN (x0) ∈ U . Ahora, como la orbita o(fN (x0), f) es densa

en X, existe i ∈ N tal que f i(fN (x0)) ∈ V . Por lo tanto, f i(U) ∩ V = ∅.

Cada rotacion, f : S1 → S1, de angulo irracional con respecto a 2π es unafuncion suprayectiva con la propiedad de que todas sus orbitas son densas. Por lotanto, este tipo de rotaciones son funciones transitivas con la propiedad de no tenerpuntos periodicos.

Para las funciones transitivas definidas en el intervalo [0, 1] la situacion es com-pletamente diferente. Resulta que la transitividad de f : [0, 1] → [0, 1] implica queel conjunto de puntos periodicos de f es denso en [0, 1]. En la Proposicion 7.8 de-mostramos esta afirmacion. La prueba que ofrecemos utiliza el Lemma 7.7 y lasProposiciones 7.5 y 7.6.

Lema 7.7. Sean A un intervalo en R y f : A → R una funcion continua. Seana, b, x ∈ A una terna de puntos tales que a < x < b.

Si f(a) > a, y f(b) < b, entonces f tiene un punto fijo en (a, b).Si f(a) < a, y f(b) > b, entonces f tiene un punto fijo en (a, b).Si (a, b) ∩ Per(f) = ∅ y existe m ∈ N tal que a < x < fm(x) < b, entoncespara toda k ∈ N se tiene que x < fk·m(x).Si (a, b) ∩ Per(f) = ∅ y existe n ∈ N tal que a < fn(x) < x < b, entoncespara toda k ∈ N se tiene que fk·n(x) < x.

Demostracion. Las argumentaciones para las dos primeras afirmaciones son inme-diatas.

En la tercera afirmacion utilizamos induccion sobre k.Sea m ∈ N tal que a < x < fm(x) < b.El caso k = 1 es inmediato.Supongamos que x < fk·m(x). Si sucede que f (k+1)·m(x) < x, entonces cuando

aplicamos la funcion fk·m a los puntos x < fm(x) obtenemos lo siguiente:

x < fk·m(x), y fk·m(fm(x)) = f (k+1)·m(x) < x < fm(x).


Por lo tanto, existe x < z < fm(x) tal que fk·m(z) = z. Esto contradice lahipotesis.

La demostracion de la ultima afirmacion es analoga a la dada en la tercera.

Proposicion 7.8. Sean A un intervalo en R y f : A → A una funcion continua.Si f es transitiva en A, entonces Per(f) es denso en A.

Demostracion. Sea (a, b), a < b, un intervalo abierto contenido en A. Mostraremosque en (a, b) hay un punto periodico de f .

Como f : A → A es transitiva, el conjunto de los puntos x ∈ A que tienenorbita densa es, a su vez, denso en el intervalo A. Por tanto, existen z ∈ A, concl(o(z, f)) = A, y m ∈ N tales que a < z < fm(z) < b.

Dado que la orbita o(fm(z), f) tambien es densa en A, existe n ∈ N tal que

a < z < fn(fm(z)) < fm(z) < b.

Poner dibujo.Supongamos, de aquı en adelante, que (a, b) ∩ Per(f) = ∅.Por el Lema 7.7 tenemos lo siguiente:

Para toda k ∈ N, z < fk·m(z).Para toda j ∈ N se tiene que f j·n(fm(z)) < fm(z).

Tomando k = n y j = m, obtenemos

z < fn·m(z), y fn·m(fm(z)) < fm(z).

Entonces existe z < u < fm(z) tal que fn·m(u) = u. Contradiccion.Por lo tanto, f tiene un punto periodico en (a, b).

Desde un punto de vista intuitivo (y un poco audaz) las funciones transitivas, alaplicarlas una y otra vez a todos los puntos de X, estan revolviendo, o mezclando,distintas partes de X. Los puntos que estaban aquı ahora andan por alla; los queestaban alla ahora aparecen por otra parte de X, etcetera. Los siguientes conceptospretenden reflejar situaciones parecidas.

Definicion 7.9. Sea f : X → X. Decimos que f es:

debilmente mezclante si para toda coleccion de cuatro subconjuntos abiertosde X, U1, U2, V1, V2, no vacıos, existe n ∈ N tal que

fn(U1) ∩ V1 = ∅ y fn(U2) ∩ V2 = ∅;

mezclante si para toda pareja de subconjuntos abiertos no vacıos, U, V ⊂ X,existe N ∈ N tal que fn(U) ∩ V = ∅ para toda n ≥ N ;exacta si para todo conjunto abierto U ⊂ X, no vacıo, existe n ∈ N tal quefn(U) = X.

La demostracion de la siguiente afirmacion no es difıcil.

Proposicion 7.10. Sea f : X → X una funcion continua.

Si f es exacta, entonces f es mezclante.Si f es mezclante, entonces f es debilmente mezclante.Si f es debilmente mezclante, entonces f es transitiva.


Ejemplo 7.11. Sea T : [0, 1] → [0, 1] dada por

T (x) =

2x, si 0 ≤ x ≤ 12 ,

2− 2x, si 12 ≤ x ≤ 1.

La funcion T : [0, 1] → [0, 1] es conocida como la Tienda.

La demostracion de la siguiente proposicion se puede consultar en [29].

Proposicion 7.12. La funcion Tienda, T : [0, 1] → [0, 1], es exacta.

En relacion a las tres implicaciones contenidas en la Proposicion 7.10 vale lapena hacer los siguientes comentarios:

Las rotaciones f : S1 → S1 de angulo irracional (ver Proposicion 3.6) sontransitivas y no son debilmente mezclantes (ver Ejercicio 58).Una funcion, definida en el intervalo unitario, f : [0, 1] → [0, 1], que es tran-sitiva y no es debilmente mezclante se muestra mas adelante en el Ejemplo8.2, pagina 58.Existen, aunque es un poco difıcil describirlas, funciones del intervalo [0, 1]en sı mismo que son mezclantes y no son exactas. En tal lugar damos unejemplo.Por ultimo, resulta que para funciones definidas en el intervalo [0, 1] losconceptos de mezclado y mezclado debil son equivalentes. la demostracionde esta afirmacion la ofrecemos en la Proposicion 7.13 y el Corolario 7.14.

Proposicion 7.13. Sea f : [0, 1] → [0, 1] una funcion continua. Sea 0 < ε ≤ 12 . Si

f es debilmente mezclante, entonces para todo intervalo abierto U = (a, b), a < b,contenido en [0, 1], existe N ∈ N tal que para toda n ≥ N , [ε, 1− ε] ⊂ fn(U).

Demostracion. Sea U = (a, b), a < b, U ⊂ [0, 1]. Sean V = (0, ε), W = (1− ε, 1).Como f es debilmente mezclante, entonces f es transitiva. Se sigue que Per(f)

es denso en [0, 1]. En el intervalo V hay una infinidad de puntos periodicos de f . Seax0 ∈ Per(f) ∩ V tal que o(x0, f) ∩ 0, 1 = ∅. Observese que podemos escoger unpunto x0 con estas caracterısticas ya que el conjunto de todos los puntos periodicosde f que tienen en sus orbitas al 0 o al 1 es finito.

De manera similar procedemos en el intervalo W . Sea y0 ∈ Per(f) ∩W tal queo(y0, f) ∩ 0, 1 = ∅.

Seanδ1 = mınd(z, 0) : z ∈ o(x0, f) ∪ o(y0, f),δ2 = mınd(z, 1) : z ∈ o(x0, f) ∪ o(y0, f),

y δ = mınδ1, δ2. Como 0 < x0 < ε, entonces 0 < δ < ε.De la condicion de mezclado debil se sigue que existe una N ∈ N tal que

fN (U) ∩ (0, δ) = ∅, y fN (U) ∩ (1− δ, 1) = ∅.Juntando los siguientes datos:

o(x, f) ∪ o(y, f) ⊂ [δ, 1− δ], [δ, 1− δ] ⊂ fN (U),el conjunto fN (U) es conexo,el conjunto o(x, f) ∪ o(y, f) es fuertemente invariante bajo f ,

obtenemos que para cada n ≥ N se tiene que

x0, y0 ⊂ o(x, f) ∪ o(y, f) ⊂ fn(U).

Por lo tanto, para toda n ≥ N , [ε, 1− ε] ⊂ fn(U).


Corolario 7.14. Sea f : [0, 1] → [0, 1] una funcion continua. Entonces f es debil-mente mezclante si y solo si f es mezclante.

Demostracion. Es suficiente demostrar que si f es debilmente mezclante, entoncesf es mezclante.

Sean U,W ⊂ [0, 1] dos conjuntos abiertos y no vacıos. Sea (a, b) ⊂ U con a < b.Sean w ∈W , w /∈ 0, 1, ε = mınw, 1− w. Observese que w ∈ [ε, 1− ε].

De la proposicion 7.13 se sigue que existe N ∈ N tal que para toda n ≥ N ,

[ε, 1− ε] ⊂ fn(a, b) ⊂ fn(U).

Por lo tanto, para toda n ≥ N , fn(U) ∩W = ∅.

En el Ejemplo 13.11, pagina 103, mostramos una funcion debilmente mezclanteque no es mezclante.

Proposicion 7.15. Sean X un espacio metrico compacto, y f : X → X unafuncion continua. Las siguientes dos condiciones son equivalentes:

La funcion f es mezclante.Para toda ε > 0, existe N ∈ N tal que para todo par de puntos x, y ∈ X, ypara toda n ≥ N , se tiene que

fn(B(x, ε)) ∩B(y, ε) = ∅.Para cada A ∈ 2X con int(A) = ∅, se tiene que

lımn→∞

(2f )n(A) = X.

Demostracion. Supongamos que f : X → X es mezclante.Sea ε > 0. Sea Γ = U1, U2, . . . , Uk, una cubierta abierta de X tal que para

toda i, 1 ≤ i ≤ k, se tiene que Ui = ∅, y diam(Ui) < ε.Como f es mezclante, existe N ∈ N tal que para toda pareja

(i, j) ∈ 1, 2, . . . , k × 1, 2, . . . , k,y para toda n ≥ N , se tiene que fn(Ui) ∩ Uj = ∅.

Sean x, y dos puntos enX. Dado que Γ es una cubierta, existen i, j ∈ 1, 2, . . . , ktales que

x ∈ Ui ⊂ B(x, ε), y ∈ Uj ⊂ B(y, ε).

Por lo tanto, para toda n ≥ N , fn(B(x, ε)) ∩B(y, ε) = ∅.Demostremos ahora la afirmacion recıproca.Sean U, V ⊂ X dos conjuntos abiertos, U = ∅, V = ∅.Sean u ∈ U , v ∈ V . Existe ε > 0 tal que

B(u, ε) ⊂ U, B(v, ε) ⊂ V.

Por hipotesis existe N ∈ N tal que para toda n ≥ N ,

fn(B(u, ε)) ∩B(v, ε) = ∅.Por lo tanto, para toda n ≥ N , fn(U) ∩ V = ∅.

Falta dibujo.La equivalencia descrita en la Proposicion 7.15 nos invita a imaginar lo siguiente.

Dados X un espacio metrico y compacto, f : X → X una funcion mezclante, ε > 0muy pequeno, y

Γ = B(x1, ε), B(x2, ε), . . . , B(xk, ε)


una cubierta de X, existe un momento N ∈ N a partir del cual sucede un fenomenoque tiene dos aspectos interesantes:

La imagen bajo fN de cada bola abierta B(xj , ε) interseca a todas las bolasabiertas

B(xi, ε), 1 ≤ i ≤ k.

La informacion contenida en B(xj , ε) ya alcanzo, ya se difundio, a casi todoel espacio X.En cada bola abierta B(xj , ε) hay al menos un elemento que proviene, bajofN , de cada una de las otras bolas B(xi, ε). Es decir, en cada region pequenade X ya se tiene informacion proveniente de casi todos los rincones de X.

Esta situacion se vive en X a partir del momento N . La siguiente sorpresa es quede ahı en adelante, al seguir aplicando f , se continuara experimentando en X estepeculiar fenomeno. Las funciones mezclantes se las arreglan para provocar estasimagenes extraordinarias.

Como lo afirmado en la Proposicion 7.15 es una equivalencia, entonces la propie-dad de transitividad y de mezclado debil, si bien son muy importantes, no puedenreproducir la situacion que describimos.

Tal vez el ejemplo mas claro de la diferencia entre transitividad y mezclado lo denlas rotaciones de angulo irracional, con respecto a 2π, definidas en la circunferencia.Si f : S1 → S1 es una de esas rotaciones y B(x, ε), x ∈ S1, ε > 0 pequeno, esun subconjunto de S1, entonces al aplicar fn, n ∈ N, la imagen correspondiente,fn(B(x, ε)), no puede nunca abarcar mucho del territorio de S1, ya que f es unaisometrıa. La informacion contenida en B(x, ε) no puede, de manera simultanea,estar en casi todo S1. Es cierto que las distintas imagenes

fn(B(x, ε)) : n ∈ Ntocaran todas las zonas del espacio S1, digamos paso a paso, ya que f es transitiva,pero siempre, al cubrir una zona, fn(B(x, ε)) irremediablemente estara dejando sincubrir otra importante zona de S1.

Dados un espacio metrico compacto, X, y N ∈ N, consideramos el productocartesiano,

X ×X × · · · ×X =

N∏i=1

X = x = (x1, x2, . . . , xN ) : xi ∈ X, 1 ≤ i ≤ N .

Sean x = (x1, x2, . . . , xN ), y = (y1, y2, . . . , yN ) en∏N

i=1X. La expresion

d(x,y) = maxd(xi, yi) : 1 ≤ i ≤ N

define una metrica en∏N

i=1X. Con ella este conjunto es, ahora, un espacio metrico

compacto. Si X es un continuo, entonces∏N

i=1X tambien es un continuo (ver [41],pagina tal).

Dada f : X → X, podemos considerar la funcion

f×N :

N∏i=1

X →N∏i=1

X,

dada por

f×N (x) = f×N (x1, x2, . . . , xN ) = (f(x1), f(x2), . . . , f(xN )).

Si f es continua, entonces f×N tambien es continua.


Proposicion 7.16. Sea f : X → X una funcion continua. Entonces f es debil-mente mezclante si y solo si f×2 : X ×X → X ×X es transitiva.

Demostracion. Sea f : X → X una funcion debilmente mezclante. A continuacionmostraremos que f×2 es transitiva.

Sean U y V dos subconjuntos abiertos no vacıos de X ×X.Existen cuatro subconjuntos abiertos no vacıos de X, U1, U2, V1 y V2, tales que

U1 × U2 ⊂ U y V1 × V2 ⊂ V.

Existen k ∈ N, u1 ∈ U1 y u2 ∈ U2 tales que

fk(u1) ∈ V1, y fk(u2) ∈ V2.

Ası, (u1, u2) ∈ U y (fk(u1), fk(u2)) ∈ V .

Por lo tanto, (f×2)k(U) ∩ V = ∅. Esto muestra que f×2 es transitiva.Veamos ahora la otra implicacion.Sean U1, U2, V1 y V2 cuatro conjuntos abiertos no vacıos contenidos en X.Los conjuntos U1 ×U2 y V1 × V2 son abiertos y no vacıos, contenidos en X ×X.Como la funcion f×2 es transitiva, existen un punto (u1, u2) en U1 ×U2 y una k

en N tales que

(f×2)k(u1, u2) = (fk(u1), fk(u2)) ∈ V1 × V2.

De aquı se sigue que fk(U1) ∩ V1 = ∅ y fk(U2) ∩ V2 = ∅.Por lo tanto, la funcion f es debilmente mezclante.

El siguiente resultado es demostrado en [35]. Es conocido como el Teorema deFurstenberg.

Teorema 7.17. Sea X un espacio metrico y compacto. Sea f : X → X unafuncion continua. Entonces f es debilmente mezclante si y solo si para cada par decolecciones de k elementos, k ≥ 2, de conjuntos abiertos y no vacıos de X,

U1, U2, . . . , Uk y V1, V2, . . . , Vk,

existe N ∈ N tal que

fN (Ui) ∩ Vi = ∅, para toda 1 ≤ i ≤ k.

Demostracion. Sea f : X → X una funcion debilmente mezclante.Procederemos utilizando induccion sobre k. La afirmacion es cierta para k = 2.Hacemos ahora el caso k = 3. Esto nos permite mostrar al lector la idea basica

del argumento.Sean U1, U2, U3, y V1, V2, V3 dos colecciones de subconjuntos abiertos no

vacıos de X.Consideramos primero las colecciones

U2, V2, y U3, V3.

Como f es debilmente mezclante, existe n1 ∈ N tal que

fn1(U2) ∩ U3 = ∅, y fn1(V2) ∩ V3 = ∅.

De aquı se sigue que

U2 ∩ f−n1(U3), y V2 ∩ f−n1(V3)

son dos conjuntos abiertos no vacıos.


Consideramos ahora las siguientes colecciones:

U1, U2 ∩ f−n1(U3), y V1, V2 ∩ f−n1(V3).

Por hipotesis, existe n2 ∈ N tal que

(10) fn2(U1) ∩ V1 = ∅

y

(11) fn2(U2 ∩ f−n1(U3)) ∩ (V2 ∩ f−n1(V3)) = ∅.

De (11) se sigue que existe x0 ∈ U2 ∩ f−n1(U3) tal que

fn2(x0) ∈ V2 ∩ f−n1(V3).

La primera consecuencia de esto es que

(12) fn2(U2) ∩ V2 = ∅.

Ahora, sea y0 = fn1(x0). Como x0 ∈ f−n1(U3), entonces y0 ∈ U3.Como fn2(x0) ∈ f−n1(V3), se tiene que fn1(fn2(x0)) ∈ V3.De aquı se sigue que

fn2(y0) = fn2(fn1(x0)) ∈ V3.

Por lo tanto,

(13) fn2(U3) ∩ V3 = ∅.

Tomando N = n2 y juntando la informacion contenida en (10), (12) y (13)concluimos el caso k = 3.

Hacemos ahora el caso general. Suponemos que la afirmacion es valida para doscolecciones de k elementos de subconjuntos abiertos no vacıos de X.

Sean U1, U2, . . . , Uk, Uk+1, y V1, V2, . . . , Vk, Vk+1 dos colecciones de subcon-juntos abiertos no vacıos de X.

Consideramos las colecciones

Uk, Vk, y Uk+1, Vk+1.

Existe n1 ∈ N tal que

fn1(Uk) ∩ Uk+1 = ∅, y fn1(Vk) ∩ Vk+1 = ∅.

Por tanto,

Uk ∩ f−n1(Uk+1), y Vk ∩ f−n1(Vk+1)

son dos conjuntos abiertos no vacıos.Consideramos ahora las siguientes dos colecciones de k conjuntos:

U1, U2, . . . , Uk−1, Uk ∩ f−n1(Uk+1),

y

V1, V2, . . . , Vk−1, Vk ∩ f−n1(Vk+1).Existe n2 ∈ N tal que para toda i, 1 ≤ i ≤ k − 1,

(14) fn2(Ui) ∩ Vi = ∅.

Ademas,

(15) fn2(Uk ∩ f−n1(Uk+1)) ∩ (Vk ∩ f−n1(Vk+1)) = ∅.

Entonces existe x0 ∈ Uk ∩ f−n1(Uk+1) tal que fn2(x0) ∈ Vk ∩ f−n1(Vk+1).


Por lo tanto,

(16) fn2(Uk) ∩ Vk = ∅.Sea y0 = fn1(x0). Como x0 ∈ f−n1(Uk+1), entonces y0 ∈ Uk+1.Y como fn2(x0) ∈ f−n1(Vk+1), se tiene que fn1(fn2(x0)) ∈ Vk+1.Se sigue que

fn2(y0) = fn2(fn1(x0)) ∈ Vk+1.

Y con ello,

(17) fn2(Uk+1) ∩ Vk+1 = ∅.Tomando N = n2 y juntando la informacion contenida en (14), (16) y (17)

concluimos que la afirmacion es valida para k + 1 tambien.La implicacion recıproca es inmediata.

Corolario 7.18. Sea X un espacio metrico y compacto. Sea f : X → X unafuncion continua. Entonces las siguientes dos condiciones se cumplen:

La funcionf×2 : X ×X → X ×X

es transitiva si y solo si para toda N ≥ 2,

f×N :

N∏i=1

X →N∏i=1

X

es transitiva.La funcion f×2 es transitiva si y solo si f×2 es debilmente mezclante.

Demostracion. Es inmediata a partir de la Proposicion 7.16 y el Teorema 7.17. Lema 7.19. Sea X un espacio metrico y compacto. Sea f : X → X una funcionque es continua y debilmente mezclante. Sean

U1, U2, . . . , Uk y V1, V2, . . . , Vk,dos colecciones de k ≥ 2 subconjuntos abiertos, no vacıos, de X. Sea N ∈ N tal que

fN (Ui) ∩ Vi = ∅, para toda 1 ≤ i ≤ k.

Entonces existe M > N tal que

fM (Ui) ∩ Vi = ∅, para toda 1 ≤ i ≤ k.

Demostracion. Sea 1 ≤ i ≤ k. Como fN (Ui) ∩ Vi = ∅, entonces cada Wi = Ui ∩f−N (Vi) es un conjunto abierto distinto del conjunto vacıo. Como f es deebilmentemezclante, existe j ∈ N tal que f j(Ui) ∩Wi = ∅.

Por lo tanto, para cada 1 ≤ i ≤ k, f j+N (Ui) ∩ Vi = ∅.Tomando M = j +N obtenemos el resultado.

Corolario 7.20. Sea X un espacio metrico y compacto. Sea f : X → X una fun-cion continua. Si f es debilmente mezclante, entonces para cada par de coleccionesde k ≥ 2 subconjuntos abiertos, no vacıos, de X,

U1, U2, . . . , Uk y V1, V2, . . . , Vk,existe una sucesion n1 < n2 < n3 < · · · ⊂ N tal que para toda i ∈ N se tiene que

fni(Uj) ∩ Vj = ∅, para toda 1 ≤ j ≤ k.

Demostracion. La conclusion se sigue de manera inmediata del Lemma 7.19.


Definicion 7.21. Sea f : X → X una funcion continua. Decimos que f es total-mente transitiva si para toda n ∈ N se tiene que fn : X → X es transitiva.

Proposicion 7.22. Sea X un espacio metrico y compacto. Sea f : X → X unafuncion continua. Si f es debilmente mezclante, entonces f es totalmente transitiva.

Demostracion. Sea M ∈ N. Demostraremos que fM : X → X es transitiva.El caso M = 1 esta contenido en la Proposicion 7.10. Supongamos que M ≥ 2.Sean U y V dos conjuntos en X abiertos y distintos del vacıo.Consideremos las siguientes dos colecciones de conjuntos abiertos en X,

U, f−1(U), f−2(U), . . . , f−M+1(U) y V, V, . . . , V .Cada una tiene M elementos. Cada elemento es un conjunto abierto no vacıo.

Como f es debilmente mezclante, existe N ∈ N, N > M , tal que

fN (f−i(U)) ∩ V = ∅, para toda 0 ≤ i ≤M − 1.

Entonces,

fN (U) ∩ V = ∅, fN−1(U) ∩ V = ∅, . . . , fN−M+1(U) ∩ V = ∅.Como el segmento Θ = N−M+1, . . . , N ⊂ N tieneM elementos, existe k ∈ N

tal que k ·M ∈ Θ. Ası (fM )k(U) ∩ V = ∅. Existen funciones totalmente transitivas que no son debilmente mezclantes.Sea f : S1 → S1 una rotacion de angulo irracional, digamos de angulo η · 2π,

con η /∈ Q. Entonces para cada k ∈ N se tiene que fk : S1 → S1 es una rotacionde angulo k · η · 2π. Como k · η es irracional, fk tambien es una funcion transitiva.Ası, f es totalmente transitiva y f no es debilmente mezclante (ver Ejercicio 58).

EjerciciosTodas las funciones consideradas en esta seccion son continuas. La letra X re-

presenta un espacio metrico compacto.

Ejercicio 52. Sea f : X → X. Entonces f es transitiva en X si y solamente sipara toda pareja de puntos x, y ∈ X, y para toda ε > 0, existen u ∈ X y n ∈ N talesque d(x, u) < ε y d(y, fn(u)) < ε.

Ejercicio 53. Sea f : X → X. Entonces f es debilmente mezclante si y solamentesi para toda coleccion de puntos x, y, u, v ∈ X, y para toda ε > 0, existe n ∈ N talque

fn(B(x, ε)) ∩B(u, ε) = ∅, y fn(B(y, ε)) ∩B(v, ε) = ∅.

Ejercicio 54. Sea f : X → X. Demostrar que si f es transitiva, entonces todopunto de X es no errante, Ω(f) = X.

Un elemento x ∈ X es un punto aislado deX si existe ε > 0 tal queB(x, ε) = x.

Ejercicio 55. Sea f : X → X. Demostrar que si f es transitiva y X no es unconjunto finito, entonces todo punto x ∈ X es punto de acumulacion de X. Esdecir, X no tiene puntos aislados.


Ejercicio 57. Sea f : [0, 1] → [0, 1] una funcion transitiva. Si f tiene al menos dospuntos fijos, entonces f tiene un punto periodico de periodo 3. (Piotr Oprocha).Gulp!


Ejercicio 58. Sea f : X → X, X no degenerado. Si f es debilmente mezclante,entonces

f no es una isometrıa.El espacio X no tiene puntos aislados.

Ejercicio 59. Sea f : X → X y sea A ⊂ X un conjunto denso en X, fuertementeinvariante bajo f , f(A) = A. Verdadero o falso: Si f : X → X es una funciontransitiva, entonces f |A : A→ A tambien es transitiva.

Sean f : X → X y g : Y → Y dos funciones conjugadas a traves del homeo-morfismo h : X → Y . Decimos que la propiedad P se preserva bajo conjugacion sisucede que f tiene la propiedad P si y solo si g tiene la propiedad P.

Ejercicio 60. Demostrar que las propiedades de ser transitiva, totalmente transi-tiva, debilmente mezclante, mezclante, y exacta se preservan bajo conjugacion.

El ejercicio 61 es muy parecido al ejercicio 60. Mas adelante haremos referenciaa el, en la seccion dedicada a los lımites inversos.

Ejercicio 61. Sean f : X → X, g : Y → Y dos funciones semiconjugadas a travesde la funcion suprayectiva h : X → Y . Demostrar que si f presenta alguna de lassiguientes propiedades: ser transitiva, debilmente mezclante, mezclante, o exacta,entonces g tambien tiene la propiedad correspondiente.

Nota. Comentar sobre los recıprocos del ejercicio anterior.

Ejercicio 62. Sea f : X → X una funcion exacta. Si el espacio X es no degene-rado, es decir tiene mas de un punto, entonces

f no es inyectiva.El espacio X no tiene puntos aislados.

Ejercicio 63. Demostrar que existe una coleccion infinita numerable de conjuntosabiertos y no vacıos,

Γ = W1,W2,W3, . . . , Wk ⊂ X,

tales que

lımk→∞ diam(Wk) = 0.Para toda N ∈ N, WN ,WN+1,WN+2, . . . es una cubierta de X.

Sugerencia: Por cada n ∈ N, existe una cubierta abierta finita, U1, U2, U3, . . . , Um,tal que para cada 1 ≤ j ≤ m, diam(Uj) <

1n .

ComentariosEl importante resultado de que la transitividad, para funciones definidas en el

intervalo [0, 1], implica la densidad de los puntos periodicos, proposicion 7.8, vieneen [44]. Se sabe que esta afirmacion es cierta para funciones definidas en arboles,(ver [7] y [24]). Recientemente, en [27], se ofrece el ejemplo de una funcion continuay transitiva, definida en una dendrita, f : D → D, tal que el conjunto de puntosperiodicos de f no es denso en D.

La equivalencia entre las propiedades de mezclado y de mezclado debil parafunciones definidas en el intervalo [0, 1], que se discute en la proposicion 7.13 y enel corolario 7.14, es valida tambien en graficas y, en particular, en arboles (ver [7]y [24]).

Investigar la situacion en dendritas.


En relacion al Lema 7.4, ¿que mas se puede decir sobre sucesion n1 < n2 <n3 < · · · ⊂ N tal que para toda i ∈ N, fni(U) ∩ V = ∅? ¿Hay alguna diferencia sila funcion f : X → X es debilmente mezclante?

El Ejercicio 55 nos dice que no todo espacio metrico X acepta una funciontransitiva.

Si X es infinito numerable, entonces X no tiene funciones transitivas.Si X ⊂ R es la union de un intervalo y un punto, digamos X = [0, 1] ∪ 2,entonces X no tiene funciones transitivas.

Falta comentario sobre funciones minimales. Y funciones transitivas no minima-les.


8. Transitividad y funciones inducidas

Sea X un espacio metrico y compacto. Sea f : X → X una funcion continua.Estudiamos en esta parte las posibles relaciones entre la transitividad de f y la

transitividad de alguna de las funciones inducidas,

2f |Λ : Λ → Λ, Λ ∈ 2X , C(X), Fn(X), F (X).Sabemos que las funciones f : X → X y F1(f) : F1(X) → F1(X) son conjugadas.

Este hecho provoca que la transitividad de cualquiera de las funciones inducidasimplica la transitividad de f .

La proposicion 8.1 da cuenta de esta sencilla afirmacion.

Proposicion 8.1. Sea f : X → X. Sean n ≥ 2 y Λ ∈ 2X , C(X), Fn(X), F (X).Si 2f |Λ : Λ → Λ es transitiva, entonces f : X → X es transitiva.

Demostracion. La afirmacion es inmediata de la contencion F1(X) ⊂ Λ. Ejemplo 8.2. Sea f : [0, 1] → [0, 1] la funcion lineal por partes definida por f(0) =12 , f(

14 ) = 1, f( 12 ) =

12 y f(1) = 0.

No es difıcil probar que la funcion definida en el ejemplo 8.2 es transitiva. Encontraste con este hecho, resulta que las funciones inducidas 2f , C(f) y Fn(f),n ≥ 2, no son transitivas (ver ejercicio 64).

Otro ejemplo interesante es el siguiente: Sea f : S1 → S1 una rotacion de anguloirracional con respecto a 2π. Sabemos que f es transitiva en S1. Sin embargo,para cada hiperespacio Λ ∈ 2X , C(X), Fn(X), F (X), n ≥ 2, la respectiva funcioninducida 2f |Λ : Λ → Λ no es transitiva (ver ejercicio 66).

Ası, se tiene que para obtener la transitividad de 2f : 2X → 2X se necesita algomas que la transitividad de f : X → X. ¿Que es lo que se necesita?

En 2005 John Banks resolvio el problema, ver [5]. El demostro que las siguientestres condiciones son equivalentes:

f : X → X es debilmente mezclante.2f : 2X → 2X es debilmente mezclante.2f : 2X → 2X es transitiva.

Para su demostracion necesitamos algunos resultados previos.J. Banks encontro en [6] que la propiedad de mezclado debil se puede expresar

de distintas maneras. La definicion 8.3 contiene varias de estas expresiones.La redaccion de la definicion es un poco larga. Hacemos un llamado a la paciencia

del lector. Al seguir este camino la redaccion de los lemas 8.4, 8.5, 8.6, 8.7 y 8.8, ydel corolario 8.9 resulta muy concisa.

El pequeno dibujo que acompana a cada definicion parcial es solo una imagen queintenta apoyar al lector. Los ovalos representan conjuntos. Cada flecha representaa la iteracion fk.

El dibujoquiere decir que la imagen bajo fk del conjunto que esta al inicio de la flecha

interseca, en un conjunto distinto del vacıo, al conjunto que esta al final de la flecha.

Definicion 8.3. Sea X un espacio metrico y compacto. Sea f : X → X una funcioncontinua.

Decimos que f es de tipo γ1 si para todo par de subconjuntos abiertos ydistintos del vacıo, U y V , de X, existe k ∈ N tal que

fk(U) ∩ V = ∅, y fk(V ) ∩ V = ∅.


Es decir,Decimos que f es de tipo γ2 si para todo par de subconjuntos abiertos ydistintos del vacıo, U y V , de X, existe k ∈ N tal que

fk(U) ∩ U = ∅, y fk(U) ∩ V = ∅.Es decir,Decimos que f es de tipo γ3 si para toda terna de subconjuntos abiertos ydistintos del vacıo, U , V y W , de X, existe k ∈ N tal que

fk(U) ∩ V = ∅, y fk(W ) ∩W = ∅.Es decir,Decimos que f es de tipo γ4 si para toda terna de subconjuntos abiertos ydistintos del vacıo, U , V1 y V2, de X, existe k ∈ N tal que

fk(U) ∩ V1 = ∅, y fk(U) ∩ V2 = ∅.Es decir,

Observese que si f : X → X es de alguno de los tipos mencionados en ladefinicion 8.3, entonces f es una funcion transitiva.

En los lemas 8.4, 8.5, 8.6, 8.7 y 8.8, X representa un espacio metrico y compactoy f : X → X es una funcion continua.

Lema 8.4. Si f es debilmente mezclante, entonces f es de tipo γ1.

Demostracion. Sean U y V dos subconjuntos abiertos no vacıos de X.Como f es debilmente mezclante, para las colecciones U, V y V, V , existe

k ∈ N tal que fk(U) ∩ V = ∅ y fk(V ) ∩ V = ∅.Por lo tanto, f es de tipo γ1.

Lema 8.5. Si f es de tipo γ1, entonces f es de tipo γ2.

Demostracion. Sean U y V dos subconjuntos abiertos no vacıos de X.Como f es de tipo γ1, existe m ∈ N tal que

fm(V ) ∩ U = ∅, y fm(U) ∩ U = ∅.Por tanto, los conjuntos

V ∩ f−m(U), y U ∩ f−m(U)

son abiertos y distintos del vacıo.Ahora, dado que f es transitiva, existe k ∈ N tal que

(18) fk(U ∩ f−m(U)) ∩ (V ∩ f−m(U)) = ∅.Como U ∩ f−m(U) ⊂ U , de (18) se sigue que

(19) fk(U) ∩ V = ∅.La condicion (18) tambien nos dice que existe

x0 ∈ U ∩ f−m(U) ⊂ U

tal que

fk(x0) ∈ V ∩ f−m(U).

Ası,

(fk fm)(x0) = fm(fk)(x0) ∈ U.


Como x0 ∈ f−m(U), fm(x0) ∈ U . Por lo tanto,

(20) fk(U) ∩ U = ∅.De (19) y (20) se concluye que f es de tipo γ2.


Demostracion. Sean U , V y W tres subconjuntos abiertos no vacıos de X.Como f es transitiva, existe m ∈ N tal que fm(U) ∩W = ∅.Por tanto, U ∩ f−m(W ) es un conjunto abierto distinto del vacıo.Ahora, dado que f es de tipo γ2, existe k ∈ N tal que

(21) fk(U ∩ f−m(W )) ∩ (U ∩ f−m(W )) = ∅,y

(22) fk(U ∩ f−m(W )) ∩ V = ∅.De (22) se sigue que

(23) fk(U) ∩ V = ∅.Por otro lado, la condicion (21) implica que existe x0 ∈ U ∩ f−m(W )) tal que

fk(x0) ∈ U ∩ f−m(W )). Por tanto,

fk(fm)(x0) = fm(fk)(x0) ∈W.

Como x0 ∈ f−m(W ), fm(x0) ∈W . Ası,

(24) fk(W ) ∩W = ∅.Juntando (23) y (24) se tiene que f es de tipo γ3.


Demostracion. Sean U , V1 y V2 tres subconjuntos de X, todos ellos abiertos ydistintos del vacıo.

Como f es de tipo γ3, existe m ∈ N tal que

fm(U) ∩ V1 = ∅, y fm(V2) ∩ V2 = ∅.Ası,

U ∩ f−m(V1) y V2 ∩ f−m(V2)

son dos conjuntos abiertos distintos del vacıo.Utilizando nuevamente la hipotesis, existe n ∈ N tal que

(25) fn(U ∩ f−m(V1)) ∩ (V2 ∩ f−m(V2)) = ∅,y

(26) fn(U ∩ f−m(V1)) ∩ (U ∩ f−m(V1)) = ∅.De la condicion (25) se sigue que existe un punto x0 en U ∩ f−m(V1) tal que

fn(x0) ∈ V2 ∩ f−m(V2). Por tanto, x0 ∈ U y fm(fn(x0)) ∈ V2.Entonces,

(27) fm+n(U) ∩ V2 = ∅.Gracias a (26) existe y0 ∈ U ∩ f−m(V1) tal que fn(y0) ∈ U ∩ f−m(V1). Ası,

y0 ∈ U y fm(fn(y0)) ∈ V1.Por lo tanto,

(28) fm+n(U) ∩ V1 = ∅.


Juntando la informacion contenida en (27) y (28), y definiendo k = n +m, seconcluye que f es de tipo γ4.

Lema 8.8. Si f es de tipo γ4, entonces f es debilmente mezclante.

Demostracion. Sean U1, U2, V1, V2 cuatro subconjuntos abiertos no vacıos de X.Como f es de tipo γ4, existe m ∈ N tal que

fm(U1) ∩ U2 = ∅ y fm(U1) ∩ V2 = ∅.Ası,

U1 ∩ f−m(U2) y U1 ∩ f−m(V2)

son dos conjuntos abiertos distintos del vacıo.Nuevamente usando que f es de tipo γ4, existe k ∈ N tal que

(29) fk(U1 ∩ f−m(U2)) ∩ (U1 ∩ f−m(V2)) = ∅,y

(30) fk(U1 ∩ f−m(U2)) ∩ V1 = ∅.De (30) se sigue que

(31) fk(U1) ∩ V1 = ∅.Por (29) existe un punto x0 ∈ U1 ∩ f−m(U2) tal que f

k(x0) ∈ U1 ∩ f−m(V2).Entonces, fm(x0) ∈ U2 y

fk(fm(x0)) = fm(fk(x0)) ∈ V2.

Por lo tanto,

(32) fk(U2) ∩ V2 = ∅.De (31) y (32) se concluye que la funcion f es debilmente mezclante.

El Corolario 8.9 resume lo contenido en los Lemas 8.4, 8.5, 8.6, 8.7 y 8.8.

Corolario 8.9. Sea X un espacio metrico y compacto. La funcion f : X → X esdebilmente mezclante si y solo si f es de tipo γi, para alguna 1 ≤ i ≤ 4.

Regresamos ahora al resultado principal de J. Banks.

Teorema 8.10. Sea X un espacio metrico y compacto. Sea f : X → X una funcioncontinua. Las siguientes tres condiciones son equivalentes:

a) f : X → X es debilmente mezclante.b) 2f : 2X → 2X es debilmente mezclante.c) 2f : 2X → 2X es transitiva.

Demostracion. Iniciamos con la implicacion a)⇒b).Sean U1, U2, . . . , Ur, V1, V2, . . . , Vs, r + s subconjuntos abiertos no vacıos de X.Sean

U = ⟨U1, U2, . . . , Ur⟩, V = ⟨V1, V2, . . . , Vs⟩.Es suficiente demostrar que existe k ∈ N tal que

(2f )k(U) ∩V = ∅, y (2f )k(V) ∩V = ∅.Sea n = maxr, s. Repitiendo el conjunto Ur o el conjunto Vs en la expresion

de U o de V, segun sea el caso, obtenemos

U = ⟨U1, U2, . . . , Un⟩, V = ⟨V1, V2, . . . , Vn⟩.


Consideremos las siguientes colecciones de conjuntos:

U1, U2, . . . , Un, V1, V2, . . . , Vn y V1, V2, . . . , Vn, V1, V2, . . . , Vn.Dado que f es debilmente mezclante, existe k ∈ N tal que para toda 1 ≤ i ≤ n,

fk(Ui) ∩ Vi = ∅, y fk(Vi) ∩ Vi = ∅.Por lo tanto para toda 1 ≤ i ≤ n,

Ui ∩ f−k(Vi) = ∅, y Vi ∩ f−k(Vi) = ∅.Sean

A = a1, a2, . . . , an, y B = b1, b2, . . . , bntales que para cada i, 1 ≤ i ≤ n,

ai ∈ Ui ∩ f−k(Vi), y bi ∈ Vi ∩ f−k(Vi).Entonces,

los conjuntos A y B son elementos de 2X ;A esta en U, y B esta en V;y, por ultimo, (2f )k(A) ∈ V, y (2f )k(B) ∈ V.

Por lo tanto, (2f )k(U) ∩V = ∅, y (2f )k(V) ∩V = ∅.Ası, 2f : 2X → 2X es debilmente mezclante.La implicacion b)⇒c) es inmediata.Damos ahora una prueba de la implicacion c)⇒a).Sean U , V y W tres subconjuntos abiertos no vacıos de X.La meta es demostrar que existe k ∈ N tal que

fk(U) ∩ V = ∅, y fk(U) ∩W = ∅.Los conjuntos ⟨U⟩ y ⟨V,W ⟩ son abiertos y distintos del vacıo.Como 2f : 2X → 2X es transitiva, existe k ∈ N tal que

(2f )k(⟨U⟩) ∩ ⟨V,W ⟩ = ∅.Sea A ∈ ⟨U⟩ tal que (2f )k(A) ∈ ⟨V,W ⟩. De aquı se sigue que

A ⊂ U, fk(A) ∩ V = ∅, y fk(A) ∩W = ∅.Por lo tanto, fk(U) ∩ V = ∅, y fk(U) ∩W = ∅.

Como se puede apreciar, la presencia de la condicion de mezclado debil es unhecho realmente importante. El propio J. Banks en [6] presenta un estudio muyamplio e interesante sobre varias de las implicaciones que se obtienen a partir deque f sea debilmente mezclante.

No podemos dejar de llamar la atencion del lector hacia el siguiente hecho que,desde nuestro punto de vista, es realmente sorprendente. Como la funcion TiendaT : [0, 1] → [0, 1] es exacta, entonces es debilmente mezclante. Por lo tanto lafuncion inducida 2T : 2[0,1] → 2[0,1] es transitiva. De acuerdo a la proposicion 7.5,existe un elemento de 2[0,1], digamos A ∈ 2[0,1], tal que su orbita o(A, 2T ) forma unconjunto denso en 2[0,1]. Es decir, existe un conjunto compacto A ⊂ [0, 1] tal quesus distintas imagenes bajo T , Tn(A), n ∈ N, se las arreglan para pasar cerca, enla metrica de Hausdorff, de todo conjunto compacto contenido en [0, 1]. ¡Muy bien!

Despues de este pequeno oasis en el camino, debemos continuar.No es difıcil demostrar, utilizando en el momento oportuno la proposicion 7.17,

las equivalencias contenidas en la siguiente proposicion.


Proposicion 8.11. Las siguientes condiciones son equivalentes:

f : X → X es debilmente mezclante.Para toda n ≥ 2, Fn(f) : Fn(X) → Fn(X) es transitiva.2f |F (X) : F (X) → F (X) es transitiva.

Demostracion. Ya casi. Teorema 8.12. Sea X un espacio metrico y compacto. Sea f : X → X unafuncion continua. La funcion f : X → X es mezclante si y solo si la funcioninducida 2f : 2X → 2X es mezclante.

Demostracion. Ya casi. Tarea: Checar en Galo y Alejandro la situacion en el hiper-espacio FN (f).

Para finalizar este primer recorrido por la transitividad de las funciones induci-das, resta hablar un poco sobre la funcion C(f) : C(X) → C(X).

Resulta que existen continuos X donde para toda funcion continua f : X → Xse tiene que C(f) no es transitiva. La proposicion 8.13 muestra que el intervalounitario X = [0, 1] es uno de estos espacios.

Proposicion 8.13. Sea f : [0, 1] → [0, 1] una funcion continua. Entonces la fun-cion inducida a los subcontinuos C(f) : C([0, 1]) → C([0, 1]) no es transitiva.

Demostracion. La proposicion 7.6 nos dice que si la funcion C(f) : C([0, 1]) →C([0, 1]) es transitiva, entonces debe existir A ∈ C([0, 1]), A = [a, b], tal que suorbita, o(A,C(f)), es densa en C([0, 1]).

Consideremos dos casos.

Primero: int(A) = ∅.Si A es un intervalo con interior vacıo, entonces A consiste de un solo

punto, A = a. De aquı se sigue que para toda n ∈ N, cada (C(f))n(A))esta formado por un solo punto.

(C(f))n(A)) = fn(a).Por lo tanto,

H([0, 1], (C(f))n(A)) ≥ 1

2, para toda n ∈ N.

La orbita o(A,C(f)) no es densa en C([0, 1]).Segundo: int(A) = ∅.

Sea A = [a, b], con a < b, tal que la orbita, o(A,C(f)), es densa enC([0, 1]).

Consideremos B = a+b2 ∈ C([0, 1]) y ε = b−a

2 .

Existe N ∈ N tal que H(B, (C(f))N (A)) < ε. Entonces fN (A) ⊂ A.Aplicando con insistencia la iteracion fN obtenemos una sucesion de in-

tervalos encajados,

f i·N (A) : i ≥ 0 = A, fN (A), f2·N (A), . . ..Esta sucesion converge, en la metrica de Hausdorff, a un elemento de C([0, 1]),digamos a A⋆.

Como la funcion C(f) es continua, entonces la sucesion

f1+i·N (A) : i ∈ Nconverge a f(A⋆).


Siguiendo este mismo argumento varias veces obtenemos que para cadaj, 0 ≤ j ≤ N − 1,

lımi→∞

H(f j+i·N (A), f j(A⋆)) = 0.

Ası, la orbita

o(A,C(f)) = f i·N (A)i≥0 ∪ f1+i·N (A)i≥0 ∪ · · · ∪ fN−1+i·N (A)i≥0tiene a lo mas N puntos lımite. Por lo tanto, no es densa en C([0, 1]).

En resumen, la funcion inducida C(f) no tiene orbitas densas.Por lo tanto, C(f) no puede ser transitiva.

La funcion Tienda T : [0, 1] → [0, 1] es debilmente mezclante, por tanto la funcioninducida 2T : 2[0,1] → 2[0,1] es transitiva. De acuerdo a la Proposicion 8.13 la funcionC(T ) : C([0, 1]) → C([0, 1]) no es transitiva. La transitividad de 2T no implica latransitividad de C(T ).

La Proposicion 8.14 muestra que, en general, la transitividad de la funcion in-ducida C(f) sı implica la transitividad de 2f .

Proposicion 8.14. Sea X un continuo no degenerado. Sea f : X → X una funcioncontinua. Si la funcion inducida C(f) : C(X) → C(X) es transitiva, entonces2f : 2X → 2X tambien es transitiva.

Demostracion. Sean U , V1 y V2 tres subconjuntos abiertos no vacıos de X.Los conjuntos

⟨U⟩ ∩ C(X) y ⟨V1, V2, X⟩ ∩ C(X)

son abiertos en C(X) y son no vacıos.Existen A ∈ C(X) y N ∈ N tales que A ⊂ U , y fN (A) ∈ ⟨V1, V2, X⟩ ∩ C(X).De aquı se sigue que

fN (U) ∩ V1 = ∅ y fN (U) ∩ V1 = ∅.

Por tanto f : X → X es debilmente mezclante, y 2f : 2X → 2X es transitiva.

EjerciciosTodas las funciones consideradas en esta seccion son continuas. La letra X re-

presenta un espacio metrico compacto.

Ejercicio 64. Sea f : [0, 1] → [0, 1] la funcion lineal por partes definida en elEjemplo 8.2. Demostrar lo siguiente:

f es transitiva.f2 = f f no es transitiva.Las funciones inducidas 2f y Fn(f), n ≥ 2, no son transitivas.La funcion f2 restringida al intervalo [0, 12 ] es debilmente mezclante.

Ejercicio 65. Sea f : [0, 1] → [0, 1] la funcion lineal por partes definida en elEjemplo 8.2. Demostrar que la funcion

f×2 : [0, 1]× [0, 1] → [0, 1]× [0, 1]

no es transitiva mostrando dos subconjuntos abiertos de [0, 1] × [0, 1], U y V , novacıos, tales que para toda n ≥ 0, se tiene que

(f×2)n(U) ∩ V = ∅.


Ejercicio 66. Sea f : S1 → S1 una rotacion de angulo irracional, con respecto a2π. Demostrar que para cada hiperespacio Λ ∈ 2X , C(X), Fn(X), F (X), n ≥ 2,la respectiva funcion inducida 2f |Λ : Λ → Λ no es transitiva.

Ejercicio 67. Sea T : [0, 1] → [0, 1] la funcion Tienda. Demostrar lo siguiente:

La funcionT×2 : [0, 1]× [0, 1] → [0, 1]× [0, 1]

es transitiva.T×2 tiene puntos periodicos de todos los periodos.El conjunto Per(T×2) es denso en [0, 1]× [0, 1].

Ejercicio 68. Sea T : [0, 1] → [0, 1] la funcion Tienda.Sea N ∈ N. Sea Q la particion del intervalo [0, 1] dada de la siguiente manera:

Q = t0, t1, t2, . . . , tN, donde ti = i · 1

N, 0 ≤ i ≤ N.

Sea Ai = [xi−1, xi]. Demostrar que existe x ∈ Per(T ) tal que su orbita visita todoslos intervalos abiertos int(Ai) = (xi−1, xi). Es decir, para cada 0 ≤ i ≤ N , existen ∈ N, tal que fn(x) ∈ int(Ai). Sugerencia: La funcion Tienda es transitiva y elconjunto Per(T ) es denso en [0, 1].

Sea P (T ) = A ∈ 2[0,1] : existe x ∈ Per(T ), A = o(x, T ).Entonces [0, 1] ∈ cl(P (T )).

Ejercicio 69. Sea f : X → X. Sea h : X ×X → F2(X) dada por h(a, b) = a, b.Demostrar que h : X ×X → F2(X) es continua.Demostrar que para toda (x, y) ∈ X ×X se tiene que

F2(f)(h(x, y)) = h(f×2(x, y)).

Demostrar que f×2 : X ×X → X ×X es transitiva si y solo si

F2(f) : F2(X) → F2(X)

es transitiva.

Ejercicio 70. Sea f : X → X. Demostrar que para toda N ≥ 2 se tiene lo siguiente:

Si f es debilmente mezclante, entonces fN es debilmente mezclante.Si f es mezclante, entonces fN es mezclante. Gulp!Si f es exacta, entonces fN es exacta.

Ejercicio 71. Demostrar la proposicion 8.11.

Ejercicio 72. Sean f : X → X, n ∈ N. Demostrar que si la funcion inducidaFn+1(f) : Fn+1(X) → Fn+1(X) es transitiva, entonces Fn(f) : Fn(X) → Fn(X) estransitiva. Gulp!

Definicion 8.15. Sea X un espacio metrico compacto tal que no tiene puntosaislados. Sea f : X → X una funcion continua. Decimos que f es sensible a lascondiciones iniciales si existe ε > 0 tal que se cumple la siguiente condicion: Paratodo punto x ∈ X y para toda δ > 0, existen y ∈ X y n ∈ N tales que

d(x, y) < δ y d(fn(x), fn(y)) > ε.

Ejercicio 73. Sea X un espacio no degenerado. Si f : X → X es debilmentemezclante, entonces

El espacio X no tiene puntos aislados.


La funcion f es sensible a las condiciones iniciales.

Ejercicio 74. Mostrar una funcion f : [0, 1] → [0, 1] que sea sensible a las condi-ciones iniciales y que no sea transitiva.

ComentariosLa proposicion 8.13 se puede generalizar un poco. En [2] se demuestra que si

f : X → X es una funcion definida en una dendrita X, entonces la funcion inducidaa los subcontinuos C(f) : C(X) → C(X) nunca es transitiva. En ese mismo trabajose estudian otros espacios donde se da este mismo fenomeno. Al parecer, es muydifıcil que la funcion inducida al hiperespacio de los subcontinuos sea transitiva.

Pero no todo esta perdido. Resulta que en [2] los autores dan un ejemplo deuna funcion definida en el Cubo de Hilbert, σ : Q → Q, cuya funcion inducida alhiperespacio C(Q) sı es transitiva. Un dato interesante: En tal Artico demuestraque C(σ) : C(Q) → C(Q) es, en realidad, debilmente mezclante. ¿Sera mezclante?,¿Exacta?

En [42] los autores dicen que si f : X → X es debilmente mezclante, entoncesX contiene un conjunto de Li y Yorke.


9. Transitividad por cadenas

Sea X un espacio metrico. Sea f : X → X una funcion continua.

Definicion 9.1. Decimos que f es transitiva por cadenas si para todo par depuntos x, y ∈ X y para toda ε > 0, existe una ε-cadena de x a y. Es decir, existeuna coleccion finita de puntos en X,

Γ = x0, x1, x2, . . . , xntales que x = x0, y = xn, y para toda i, 0 ≤ i ≤ n− 1, d(f(xi), xi+1) < ε.

Los conceptos de transitividad y transitividad por cadenas son cercanos. LaProposicion 9.2 y el Ejemplo 9.3 aclaran parte de su relacion. La transitividadimplica la transitividad por cadenas; la transitividad por cadenas por sı sola noimplica la transitividad.

Proposicion 9.2. Sea f : X → X. Si f es transitiva en X, entonces f es transitivapor cadenas en X.

Demostracion. Sean x, y ∈ X. Sea ε > 0.Como f : X → X es transitiva en X, existen z0 ∈ X, y m ∈ N tales que

z0 ∈ B(f(x), ε) y fm(z0) ∈ B(y, ε).

Ver dibujo.Entonces

Γ = x, z0, f2(z0), . . . , fm−1(z0), yes una ε-cadena que va del punto x al punto y.

La demostracion de lo que se afirma en el Ejemplo 9.3 es sencilla. En la Propo-sicion 9.4 se muestra un resultado mas general.

Ejemplo 9.3. Sea id : [0, 1] → [0, 1] la funcion identidad. Es decir, para todox ∈ [0, 1], id(x) = x. Claramente id no es transitiva en [0, 1]. Pero id sı es transitivapor cadenas en [0, 1].

Proposicion 9.4. Sea X un continuo no degenarado. La funcion identidad id :X → X no es transitiva pero sı es transitiva por cadenas.

Demostracion. Sea A partir del punto x ∈ X, y siguiendo una ε-cadena, de longitud n, se puede

llegar a muchısimos puntos del espacio X. En particular, podemos arribar a todopunto de la forma fn(x), n ∈ N.

Los Lemas 9.5 y 9.6 nos dan mas informacion sobre el conjunto de puntos ε-alcanzables desde x.

Lema 9.5. Sea f : X → X una funcion continua. Sean x ∈ X, ε > 0. Sea

A(x, ε) = y ∈ X : existe una ε-cadena de x a y.Entonces A(x, ε) es un conjunto abierto.

Demostracion. Sea y ∈ A(x, ε). Sea Γ = x = x0, x1, . . . , xn−1, xn = y una ε-cadena.

Como d(f(xn−1), y) < ε, existe δ > 0 tal que

B(y, δ) ⊂ B(f(xn−1), ε).


Para toda z ∈ B(y, δ) se tiene que x = x0, x1, . . . , xn−1, z es una ε-cadena dex a z.

Por lo tanto B(y, δ) ⊂ A(x, ε).

Lema 9.6. Sean X un espacio compacto y f : X → X una funcion continua. Seanx ∈ X, ε > 0. Sea

A(x, ε) = y ∈ X : existe una ε-cadena de x a y.Entonces al aplicar f a la cerradura de A(x, ε) se tiene que f(cl(A(x, ε))) ⊂ A(x, ε).

Demostracion. Sea z ∈ cl(A(x, ε)). Por la continuidad uniforme de f , existe 0 <δ < ε tal que para toda pareja u, v ∈ X, d(u, v) < δ implica d(f(u), f(v)) < ε.

Como z ∈ cl(A(x, ε)), existe y ∈ A(x, ε) con d(z, y) < δ.Ası, d(f(z), f(y)) < ε.Sea Γ = x = x0, x1, . . . , xn = y una ε-cadena de x a y.Agregando f(z) a Γ,

Υ = x = x0, x1, . . . , xn = y, f(z),obtenemos una ε-cadena de x a f(z).

Por tanto, f(z) ∈ A(x, ε). Es decir, f(cl(A(x, ε))) ⊂ A(x, ε).

Proposicion 9.7. Sean X un espacio compacto y f : X → X una funcion conti-nua. Si para toda pareja de subconjuntos cerrados no vacıos de X, A y B, tales queX = A ∪B, se tiene que

f(A) ∩B = ∅ y f(B) ∩A = ∅,entonces f : X → X es transitiva por cadenas.

Demostracion. Sean x, y dos puntos de X. Sea ε > 0. La meta es mostrar queexiste una ε-cadena en X que va de x a y.

SeaA(x, ε) = z ∈ X : existe una ε-cadena de x a z.

Supongamos que y no es elemento de A(x, ε). Entonces B = X \ A(x, ε) esdistinto del conjunto vacıo.

Como f(cl(A(x, ε))) ⊂ A(x, ε), entonces cl(A(x, ε)) y B son dos conjuntos ce-rrados no vacıos tales que f(cl(A(x, ε))) ∩B = ∅.

Esta ultima igualdad contradice la hipotesis. Por lo tanto, y ∈ A(x, ε).

Proposicion 9.8. Sea X un espacio metrico y compacto. Sea f : X → X unafuncion continua. Si f es transitiva por cadenas, entonces para toda pareja de sub-conjuntos cerrados no vacıos, A y B, de X tales que X = A ∪B, se tiene que

f(A) ∩B = ∅, y f(B) ∩A = ∅.

Demostracion. Procedemos por contradiccion.Sean A y B dos subconjuntos cerrados no vacıos de X tales que X = A ∪ B y

f(A) ∩B = ∅.Sea δ > 0 tal que para toda pareja de puntos x ∈ f(A), y ∈ B, se tiene que

d(x, y) ≥ δ.Sean a ∈ A, b ∈ B. Sea

Γ = a = a0, a1, a2, . . . , anuna δ-cadena de puntos de X que inicia en el punto a.


Como f(a0) ∈ f(A) y d(f(a0), a1) < δ, entonces a1 /∈ B. Como X = A ∪ B,entonces a1 ∈ A y no esta en B.

Ahora, f(a1) ∈ f(A) y d(f(a1), a2) < δ. Entonces a2 tambien es elemento de Aque no esta en B.

Siguiendo este mismo argumento, varias veces, obtenemos que para toda i, 1 ≤i ≤ n, ai ∈ A y ai /∈ B.

Por lo tanto, toda δ-cadena que inicia en a no puede alcanzar el punto b. Estoes una contradiccion, ya que f es transitiva por cadenas.

De manera similar se argumenta que f(B) ∩A = ∅.

Proposicion 9.9. Sea X un continuo. Sea f : X → X. Entonces f es transitivapor cadenas si y solo si CR(f) = X. Es decir, si y solo si todo punto de X esrecurrente por cadenas.

Demostracion. La argumentacion de la afirmacion: Si f es transitiva por cadenas,entonces CR(f) = X, es inmediata.

Supongamos que CR(f) = X. Sean x, y ∈ X y ε > 0.A continuacion mostramos que existe una ε-cadena de x a y.Consideremos el conjunto A(x, ε) definido en el lema 9.5.Observese que f(x) ∈ A(x, ε). De hecho, o(x, f) ⊂ A(x, ε). Ası A(x, ε) = ∅.Si y ∈ A(x, ε), entonces la demostracion esta completa.Si y /∈ A(x, ε), entonces resulta que A(x, ε) = U es un conjunto abierto tal que

∅ = U = X, con la propiedad de que f(cl(U)) ⊂ U . Una abierta contradiccion conla proposicion 6.12.

Las demostraciones de los Corolarios 9.10 y 9.11 son sencillas.

Corolario 9.10. Sean X un continuo y f : X → X una funcion continua. Sialguno de los conjuntos Per(f), R(f) o Ω(f) es denso en X, entonces la funcionf : X → X es transitiva por cadenas.

Demostracion. De las contenciones

Per(f) ⊂ R(f) ⊂ Ω(f) ⊂ CR(f),

y de que CR(f) es un conjunto cerrado, se sigue que CR(f) = X.Por la Proposicion 9.9, f : X → X es transitiva por cadenas.

Corolario 9.11. Sean X un continuo y f : X → X una funcion continua. Si paraalguna n ∈ N, la iteracion fn : X → X es la funcion identidad id : X → X,entonces f es transitiva por cadenas.

Demostracion. Si para alguna n ∈ N, fn = id, entonces Per(f) = X.

Corolario 9.12. Sea X un continuo no degenerado. Para cada ε > 0 existe unacadena

Γ = x0, x1, . . . , xn ⊂ X

que cumple las siguientes condiciones:

Para todo x ∈ X, existe xi ∈ Γ tal que d(x, xi) < ε.Para todo 0 ≤ i ≤ n− 1, d(xi, xi+1) < ε.


Demostracion. Sea z1, z2, . . . , zk ⊂ X tal que X = ∪kj=1B(zj , ε). Como por el

Corolario 9.11 la funcion id : X → X es transitiva por cadenas, para cada 1 ≤ j ≤k − 1 existe en X una ε-cadena de id,

Γj = xj0, xj1, . . . , x

jnj

que va de zj a zj+1.La cadena Γ = Γ1 ⊕ Γ2 ⊕ · · · ⊕ Γk−1 cumple las condiciones pedidas.

Proposicion 9.13. Sea X un continuo. Sea f : X → X. Entonces f es transitivapor cadenas si y solo si para cada N ∈ N, fN : X → X es transitiva por cadenas.

Demostracion. Sea N ∈ N.Por la Proposicion 9.9, f es transitiva por cadenas si y solo si CR(f) = X.Por la Proposicion 6.11, CR(f) = X si y solo si CR(fN ) = X.Y, nuevamente por la Proposicion 9.9, CR(fN ) = X si y solo si la funcion

fN : X → X es transitiva por cadenas.

Proposicion 9.14. Sea X un espacio metrico y compacto. Sea f : X → X unafuncion continua. Sea fn : X → X : n ∈ N una sucesion de funciones continuasen X tal que

lımn→∞

d(fn, f) = 0.

Si cada funcion fn es transitiva por cadenas, entonces f es transitiva por cadenas.

Demostracion. Gulp! Ver 5 de octubre de 2016.

La Proposicion 9.14 nos dice que, para funciones continuas definidas en espaciosmetricos compactos, la coleccion

f : X → X : f transitiva por cadenas en X

forma un conjunto cerrado.En general no es ası el caso para la familia

f : X → X : f transitiva en X.

Ejemplo 9.15. Existe una sucesion de funciones fn : [0, 1] → [0, 1] : n ∈ N,y una f : [0, 1] → [0, 1], todas continuas en [0, 1], tales que para cada n ∈ N,fn : [0, 1] → [0, 1] es transitiva, lımn→∞ d(fn, f) = 0 y f no es transitiva.

Demostracion. Ya llegara.

Las rotaciones dan otro ejemplo de lo anterior.Tal vez aquı comentar el caso cuando X es un conjunto de Cantor.



Ejercicio 75. Demostrar lo que se afirma en el Ejemplo 9.3.

Ejercicio 76. Sea f : [0, 1] → [0, 1]. Si f es transitiva por cadenas, entonces existeun punto c, 0 < c < 1, tal que f(c) = c.

Ejercicio 77. Sea f : X → X. Si f es transitiva por cadenas, entonces f essuprayectiva.


Ejercicio 78. Sea f : X → X. Si f es transitiva por cadenas, entonces para todoconjunto abierto U ⊂ X, ∅ = U = X, se tiene que la imagen f(cl(U)) no estacontenida en U . Es decir, f(cl(U)) ∩ (X \ U) = ∅.Ejercicio 79. Sea f : [0, 1] → [0, 1] la funcion definida en el Ejemplo 6.5, pagina38. Por la Proposicion 9.9 y el Ejercicio 51 sabemos que f es transitiva por cadenas.Demostrar lo siguiente:

f no es transitiva.Ω(f) = CR(f).

Ejemplo 9.16. Sea f : [0, 1] → [0, 1] la funcion lineal por partes dada por f(0) = 0,f( 16 ) =

23 , f(

13 ) =

23 , f(

12 ) = 1, y f(1) = 0.

Poner imagen.

Ejercicio 80. Demostrar que la funcion definida en el Ejemplo 9.16 no es transi-tiva, pero sı es transitiva por cadenas.

Ejercicio 81. Sea T : [0, 1] → [0, 1] la funcion Tienda. Demostrar que la funcioninducida al hiperespacio de los subcontinuos de [0, 1], C(T ) : C([0, 1]) → C([0, 1]),no es transitiva por cadenas. Sugerencia: Sea A ∈ C([0, 1]). Si H(A, [0, 1]) < 1

4 ,

entonces [ 12 , 1] ⊂ T (A).

Ejercicio 82. Sea f : X → X, X un continuo. ¿Si C(f) es transitiva por cadenas,entonces f tambien es transitiva por cadenas?

Ejercicio 83. Sea f : [0, 1] → [0, 1] un homeomorfismo. Demostrar que si f estransitiva por cadenas, entonces f2 es la funcion identidad.

Ejercicio 84. Demostrar que la propiedad de ser transitiva por cadenas se preservabajo conjugacion.

Ejercicio 85. Sea f : S1 → S1 una rotacion. Entonces las funciones inducidasC(f) y 2f son transitivas por cadenas.

Ejercicio 86. Mostrar, si es que existe, un espacio X y una funcion f : X → Xtal que todo punto de X es periodico y el conjunto de los periodos no esta acotadopor arriba.

ComentariosLos argumentos basicos en la demostracion del Lema 9.5 aparecen en [13].Sabemos que si f : [0, 1] → [0, 1] es transitiva, entonces el conjunto de puntos

periodicos de f es denso en [0, 1], cl(Per(f)) = [0, 1]. Los Ejemplos 6.5 y 9.16muestran funciones continuas del intervalo [0, 1] en sı mismo que son transitivaspor cadenas, y que no presentan densidad de puntos periodicos.

Pregunta 4. Sea f : [0, 1] → [0, 1], X. ¿Si C(f) es transitiva por cadenas, entoncesf es un homeomorfismo?

Pregunta 5. Sea f : X → X, X un continuo. ¿Si C(f) es transitiva por cadenas,entonces alguna de las funciones inducidas F (f), Fn(f), n ≥ 2, 2f es transitivapor cadenas?

A la mejor vale la pena intentar caracterizar el conjunto de todas las funcionescontinuas f : [0, 1] → [0, 1] que tienen la propiedad de que su funcion inducida C(f)es transitiva por cadenas.

Conjetura 6. Sea X un continuo. Si f : X → X es una isometrıa, entonces lasfunciones inducidas F (f), Fn(f), C(f) y 2f son transitivas por cadenas.


10. El omega conjunto lımite

Sean X un espacio metrico compacto, y f : X → X una funcion continua.

Definicion 10.1. Sea x0 ∈ X. Decimos que y ∈ X es punto lımite de la orbitao (x0, f) si existe una sucesion creciente

n1 < n2 < n3 < · · · ⊂ N,

tal que

lımi→∞

fni (x0) = y.

La coleccion de todos los puntos lımite de o (x0, f) es el omega conjunto lımitede x0 bajo f . A este conjunto lo denotamos ω (x0, f),

ω (x0, f) = y ∈ X : y es punto lımite de o(x0, f) .

No es difıcil demostrar que si x0 es un punto periodico de f , entonces ω(x0, f)es precisamente la orbita o(x0, f).

Las Proposiciones 10.2 y 10.3 contienen las propiedades basicas de los omegaconjuntos lımite. Las demostraciones se pueden consultar en [13] y en [29].

Proposicion 10.2. Sean X un espacio metrico compacto y f : X → X una funcioncontinua.

Para todo x ∈ X, se tiene que ω (x, f) = ∅.Para todo x ∈ X, ω (x, f) es un conjunto cerrado.Para todo x ∈ X, se tiene que f (ω (x, f)) = ω (x, f). Es decir, ω (x, f) esun conjunto fuertemente invariante bajo f .Para cada k ∈ N, ω(fk(x), f) = ω(x, f).

Proposicion 10.3. Sean X un espacio metrico compacto y f : X → X una funcioncontinua. Sea k ∈ N, fijo. Entonces para todo x ∈ X se tiene lo siguiente:

f(ω(x, fk)) = ω(f(x), fk).ω(x, f) = ω(x, fk) ∪ ω(f(x), fk) ∪ ω(f2(x), fk) ∪ · · · ∪ ω(fk−1(x), fk).

Buena parte del objeto de estudio de la teorıa de los sistemas dinamicos discretoses entender el comportamiento de las orbitas o(x, f). Las orbitas mas sencillas sonlas correspondientes a puntos periodicos. Si el punto x no es periodico, entoncespara tener una primera idea de como es su orbita hay que considerar los puntosfn(x), con valores de n cada vez mas grandes. Esto nos lleva a preguntarnos haciadonde va la orbita o(x, f). Es aquı donde entran los puntos lımite y el omega con-junto lımite. Resulta que o(x, f) converge, en cierto sentido, al conjunto ω(x, f). LaProposicion 10.4 intenta formalizar esta idea, digamos, mas amplia, de convergenciade la sucesion o(x, f).

Proposicion 10.4. Sean f : X → X una funcion continua, X un espacio metrico ycompacto, x0 ∈ X y U un subconjunto abierto de X tal que ω(x0, f) ⊂ U . Entoncesexiste N ∈ N tal que para todo n ≥ N se tiene que fn(x0) ∈ U .

Demostracion. Sean x0 ∈ X y U ⊂ X un conjunto abierto tal que ω(x0, f) ⊂ U .Supongamos que no existe N ∈ N que cumpla la propiedad mencionada. Enton-

ces existe una sucesion estrictamente creciente,

n1, n2, n3, . . . ⊂ N, tal que fni(x0) /∈ U, i ∈ N.


Como X \U es un conjunto compacto, sin perdida de generalidad podemos suponerque fni(x0) converge a un punto z ∈ X \ U .

Por lo tanto, z ∈ ω(x0, f) y z /∈ U . Lo cual contradice la hipotesis.

La afirmacion contenida en la Proposicion 10.4 es equivalente al siguiente enun-ciado: Para toda ε > 0, existe n0 ∈ N tal que si n ≥ n0, entonces

fn(x) ∈ N(ω(x0, f), ε).

Ası, si ω(x0, f) es un conjunto formado por un solo punto, recobramos la defini-cion de lımite de la sucesion fn(x) : n ∈ N.

En terminos de la metrica de Hausdorff la Proposicion 10.4 nos dice lo siguiente:

lımn→∞

H(cl(fm(x) : m ≥ n), ω(x, f)) = 0.

Un punto x ∈ X es recurrente bajo f : X → X, x ∈ R(f), si y solo si xpertenece a su omega conjunto lımite, x ∈ ω(x, f), (ver Ejercicio 3). La relacionentre los distintos ω(x, f) y el conjunto R(f) es la herramienta principal en laargumentacion de la Proposicion 10.5.

Proposicion 10.5. Sean f : X → X y N ∈ N. Entonces R(fN ) = R(f).

Demostracion. Vemos primero la contencion R(fN ) ⊂ R(f).Sea x ∈ R(fN ). Existe una sucesion n1 < n2 < n3 < · · · ⊂ N, tal que

lımi→∞

fN ·ni(x) = lımi→∞

(fN )ni(x) = x.

Entonces x ∈ R(f).Demostramos ahora la otra contencion. Sea x ∈ R(f). Como x ∈ ω(x, f) y

ω(x, f) = ω(x, fN ) ∪ ω(f(x), fN ) ∪ ω(f2(x), fN ) ∪ · · · ∪ ω(fN−1(x), fN ),

entonces existe j, 0 ≤ j ≤ N − 1, tal que x ∈ ω(f j(x), fN ).El conjunto ω(f j(x), fN ) es invariante bajo la funcion fN . De aquı se sigue que

para toda k ∈ N,fN ·k(x) ∈ ω(f j(x), fN ).

Por lo tanto,

(33) ω(x, fN ) ⊂ ω(f j(x), fN ).

Por otro lado, de la proposicion 10.3, tenemos que la igualdad

f j(ω(z, fN )) = ω(f j(z), fN ),

es valida para todo punto z ∈ X.Teniendo en cuenta esto, y aplicando la funcion f j , varias veces, a cada lado de

la relacion (33), obtenemos la siguiente sucesion finita de contenciones:

ω(x, fN ) ⊂ ω(f j(x), fN ) ⊂ ω(f2j(x), fN ) ⊂ · · · ⊂ ω(fN ·j(x), fN ).

De la Proposicion 10.2, sabemos que ω(fN ·j(x), fN ) = ω(x, fN ).Por lo tanto, ω(x, fN ) = ω(f j(x), fN ).Ahora, recordemos que el punto x esta en el conjunto ω(f j(x), fN ).Entonces x ∈ ω(x, fN ). Por lo tanto, x ∈ R(fN ).

Definicion 10.6. Sea f : X → X. Sea

Λ(f) =∪x∈X

ω(x, f).


Observese que el conjunto de los puntos recurrentes R(f) esta contenido en Λ(f).Por otro lado, no es difıcil demostrar que Λ(f) ⊂ Ω(f) (ver Ejercicio 101). Ası, muyrapidamente Λ(f) toma su lugar entre R(f) y Ω(f),

R(f) ⊂ Λ(f) ⊂ Ω(f).

Faltan ejemplos que muestren que las contenciones pueden ser propias.

Proposicion 10.7. Sean f : X → X, N ∈ N. Entonces Λ(fN ) = Λ(f).

Demostracion. Sean x ∈ X, N ∈ N.Por la Proposicion 10.3 tenemos que cada conjunto ω(x, f) se puede expresar de

la siguiente manera:

ω(x, f) = ω(x, fN ) ∪ ω(f(x), fN ) ∪ · · · ∪ ω(fN−1(x), fN ).

De esta igualdad es inmediato que un punto y pertenece a un ω(x, f) si y solo siy ∈ ω(z, fN ) para algun punto z ∈ X. Por lo tanto, Λ(fN ) = Λ(f).

La demostracion de la Proposicion 10.8 se puede consultar en [13].

Proposicion 10.8. Sea f : [0, 1] → [0, 1]. Entonces Λ(f) es un conjunto cerrado.

La demostracion de la Proposicion 10.9 no es difıcil.Observese que la equivalencia que aquı se presenta se suma de manera natural a

las equivalencias mencionadas en la Proposiciones 7.5 y 7.6, pagina 46.

Proposicion 10.9. Sea X un espacio metrico compacto. Sea f : X → X unafuncion continua. Entonces f es transitiva en X si y solo si existe un punto x ∈ Xtal que ω (x, f) = X.

Demostracion. Supongamos que f : X → X es una funcion transitiva.Gracias a la Proposicion 7.6 sabemos que f es suprayectiva y que existe un punto

x0 ∈ X que tiene orbita densa en X. De hecho se demostro, en aquel momento, quepara toda n ∈ N, la orbita o(fn(x0), f) tambien es densa en X.

Afirmamos que ω (x0, f) = X.Sean y ∈ X, ε > 0. Demostramos primero que para cada N ∈ N, existe n > N

tal que d(y, fn(x0)) < ε.Como o(fN (x0), f) es densa en X, existe i ∈ N tal que

f i+N (x0) = f i(fN (x0)) ∈ B(y, ε).

Tomando n = N + i concluimos esta parte.De aquı se sigue inmediatamente que y ∈ ω (x0, f).Por lo tanto, ω (x0, f) = X.Demostramos ahora que la existencia de un punto x ∈ X con ω (x, f) = X,

implica que f es una funcion transitiva.Sean U, V ⊂ X dos conjuntos abiertos no vacıos. Como el conjunto ω (x, f) tiene

al menos un punto en U , existe una sucesion n1 < n2 < n3 < · · · ⊂ N tal quepara cada i ∈ N, fni(x) ∈ U . Una situacion similar se presenta en el conjunto V .De aquı se sigue que podemos encontrar dos numeros j, l ∈ N, j < l, tales que

f j(x) ∈ U, y f l(x) ∈ V.

Por lo tanto, f l−j(U) ∩ V = ∅, con l − j ∈ N.


Ejercicios. Todas las funciones consideradas en esta parte son continuas. Laletra X representa un espacio metrico y compacto.

Ejercicio 87. Sean f : X → X, x, y ∈ X.

Demostrar que si y ∈ ω(x, f), entonces ω(y, f) ⊂ ω(x, f).Mostrar un ejemplo donde y ∈ ω(x, f) y ω(y, f) = ω(x, f).

Ejercicio 88. Sean f : X → X, x, y ∈ X, tales que ω(y, f) ⊂ ω(x, f). Demostrarque si int(ω(y, f)) = ∅, entonces ω(y, f) = ω(x, f).

Ejercicio 89. Sea f : X → X. Para cada x ∈ X y m ≥ 0 consideramos el siguienteconjunto:

Am(x) =fk(x) : k ≥ m

= o(fm(x), f).

Demostrar que

ω(x, f) =∩m≥0

cl(Am(x)).

De aquı tambien se concluye que ω(x, f) es un conjunto cerrado.

Comentarios.La afirmacion contenida en la Proposicion 10.8 es valida para funciones continuas

definidas en arboles. Al parecer no es valida en dendritas. Checar ejemplos.


11. Dinamica de f en ω(x, f)

La Proposicion 11.1 y los Corolarios 11.3 y 11.4 inician nuestro estudio de laspropiedades dinamicas de la funcion f restringida a cada conjunto invariante de laforma ω(x, f), x ∈ X.

La Proposicion 11.1 nos dice, en esencia, que si un punto en la orbita o(x, f) yun punto en el conjunto ω(x, f) sincronizan sus movimientos, en el sentido de queal aplicarles las iteraciones f i sus imagenes siempre estan muy cercanas, entoncesf restringida a ω(x, f) es una funcion transitiva.

Proposicion 11.1. Sean X un espacio metrico y compacto, f : X → X unafuncion continua, x ∈ X. Si para toda ε > 0, existen

u ∈ o(x, f) y z ∈ ω(x, f)

tales que para toda i, i ≥ 0,

d(f i(u), f i(z)) < ε,

entonces f |ω(x,f) : ω(x, f) → ω(x, f) es transitiva.

Demostracion. Sean U,W ⊂ X, dos conjuntos abiertos tales que U ∩ ω(x, f) = ∅ yW ∩ ω(x, f) = ∅.

Sean a ∈ U ∩ ω(x, f), b ∈W ∩ ω(x, f), ε > 0, tales que

B(a, ε) ⊂ U, y B(b, ε) ⊂W.

Consideremos δ = ε2 . Entonces, por hipotesis, existen u ∈ o(x, f), z ∈ ω(x, f)

tales que para toda i ≥ 0, d(f i(u), f i(z)) < δ.Como ω(u, f) = ω(x, f), entonces existen k, l ∈ N, k < l, tales que

d(a, fk(u)) < δ, y d(b, f l(u)) < δ.

Entonces,

d(a, fk(z)) ≤ d(a, fk(u)) + d(fk(u), fk(z)) < δ + δ = ε, y

d(b, f l(z)) ≤ d(b, f l(u)) + d(f l(u), f l(z)) < δ + δ = ε.

Por tanto,

fk(z) ∈ B(a, ε), f l(z) ∈ B(b, ε).

Como fk(z), f l(z) ∈ ω(x, f), ya que ω(x, f) es estrictamente invariante,

fk(z) ∈ U ∩ ω(x, f), y f l(z) ∈W ∩ ω(x, f).Dado que f l−k(fk(z)) = f l(z), entonces

f l−k(U ∩ ω(x, f)) ∩ (W ∩ ω(x, f)) = ∅.Por lo tanto, f |ω(x,f) : ω(x, f) → ω(x, f) es transitiva.

Corolario 11.2. Sean X un espacio metrico y compacto, f : X → X una funcioncontinua, x ∈ X. Si x es un elemento de ω(x, f), entonces f |ω(x,f) : ω(x, f) →ω(x, f) es transitiva.

Demostracion. La afirmacion es inmediata de la Proposicion 11.1.

El Corolario 11.2 nos dice que si x ∈ X es un punto recurrente bajo f : X → X,x ∈ R(f), entonces f |ω(x,f) : ω(x, f) → ω(x, f) es transitiva.

La demostracion del Corolario 11.3 tambien es sencilla.


Corolario 11.3. Sean X un espacio metrico y compacto, f : X → X una funcioncontinua, x ∈ X. Si existe N ∈ N tal que fN (x) ∈ ω(x, f), entonces f |ω(x,f) :ω(x, f) → ω(x, f) es transitiva.

Demostracion. Como fN (x) ∈ ω(x, f), y ω(x, f) = ω(fN (x), f), entonces fN (x)pertenece a ω(fN (x), f).

Ası, f |ω(fN (x),f) y f |ω(x,f) son transitivas.

Corolario 11.4. Sean X un espacio metrico y compacto, f : X → X una funcioncontinua, x ∈ X. Si int(ω(x, f)) = ∅, entonces

f |ω(x,f) : ω(x, f) → ω(x, f)

es transitiva.

Demostracion. Como int(ω(x, f)) = ∅, existen y ∈ w(x, f) y ε > 0 tales queB(y, ε) ⊂ w(x, f). De aquı se sigue que existe N ∈ N tal que

fN (x) ∈ B(y, ε) ⊂ ω(x, f).

La conclusion es inmediata gracias al Corolario 11.3.

No siempre se tiene que f |ω(x,f) : ω(x, f) → ω(x, f) es transitiva. Ver Ejemplo11.12, pagina 80.

Sea f : X → X. Para cada x ∈ X, se tiene que ω(x, f) es un elemento de 2X . Alconjunto de todos los A ∈ 2X tales que existe x ∈ X con A = ω(x, f) lo denotamoscon ω(f). El conjunto ω(f) es un nuevo hiperespacio.

Definicion 11.5. Sea X un espacio metrico y compacto. Sea f : X → X unafuncion continua. Sea A ⊂ X un conjunto cerrado, distinto del vacıo. Decimos quef es internamente transitiva por cadenas en A si para todo par de puntos x, y ∈ Ay para toda ε > 0, existe una ε-cadena de x a y totalmente contenida en A.

Proposicion 11.6. Sea X un espacio metrico y compacto. Sea f : X → X unafuncion continua. Sea A ⊂ X un conjunto cerrado y no vacıo. Si f es internamentetransitiva por cadenas en A, entonces f(A) = A.

Demostracion. Sea x ∈ A. Sea δ > 0. Existe una δ-cadena, de longitud n = n(δ),contenida en A, de x en sı mismo,

Γ = x = x0, x1, x2, . . . , xn = x.Como x1 ∈ A y d(f(x), x1) < δ, entonces f(x) ∈ N(A, δ).Tenemos, entonces, dos datos:

Para toda δ > 0, f(x) ∈ N(A, δ).El conjunto A es cerrado.

De aquı se concluye que f(x) ∈ A. Por lo tanto, f(A) ⊂ A.Demostramos ahora la otra contencion.Sean x ∈ A, δ > 0, y Γ como en la primera parte de esta demostracion.Observese que d(f(xn−1), x) < δ. Por lo tanto, para toda δ > 0, existe un punto

en A, llamemosle a, tal que d(f(a), x) < δ.Tomando valores positivos de la forma δ = 1

i , i ∈ N, podemos construir unasucesion ai, contenida en A, tal que

d(f(ai), x) <1

i, para toda i ∈ N.


Supongamos, sin perder generalidad, que ai converge a a0 ∈ A.Por la continuidad de f , la sucesion f(ai) converge a f(a0).Por lo tanto, f(a0) = x. Es decir, A ⊂ f(A). Ası, f(A) = A.

Sea X un espacio metrico y compacto. Sea A ∈ 2X tal que f(A) = A. LaProposicion 11.6 nos dice f es internamente transitiva por cadenas en el conjuntoA si y solo si f |A : A→ A es transitiva por cadenas.

El resultado contenido en el Corolario 11.7 se obtiene directamente de las Pro-posiciones 9.7 y 9.8.

Corolario 11.7. Sea X un espacio metrico y compacto. Sea f : X → X unafuncion continua. Sea C ∈ 2X . Las siguientes dos condiciones son equivalentes.

f es internamente transitiva por cadenas en C.Para toda pareja A,B ∈ 2X tales que C = A ∪B se tiene que

f(A) ∩B = ∅, y f(B) ∩A = ∅.

Al conjunto de todos los elementos A ∈ 2X tales que f es internamente transitivapor cadenas en A lo denotamos con ITC(f). Observese que si x ∈ Per(f), entonceso(x, f) es un elemento de ITC(f).

Proposicion 11.8. Sean f : X → X una funcion continua, X un espacio metricoy compacto. Sea C un elemento del hiperespacio ITC(f). Si C es de cardinalidadfinita, entonces existe y ∈ Per(f) tal que C = o(y, f).

Demostracion. Sea C = c1, c2, . . . , ck.Como f(C) = C, y C es finito, entonces f |C : C → C es biyectiva.Ası, f |C es una permutacion, y cada punto de C es un punto periodico bajo f .Si o(c1, f) = C, entonces A = o(c1, f) y B = C \ A son dos conjuntos cerrados,

no vacıos, tales que C = A ∪B con la propiedad de que f(A) ∩B = ∅.Llegamos a una contradiccion con la Proposicion 9.8.Por lo tanto, C = o(c1, f).

El Teorema 11.9 nos da informacion importante sobre la dinamica de f restrin-gida a cada conjunto ω(x, f).

Teorema 11.9. Sea X un espacio metrico y compacto. Sea f : X → X unafuncion continua. Para todo punto x ∈ X se tiene que f es internamente transitivapor cadenas en ω(x, f).

Demostracion. Sean a y b dos puntos en ω(x, f). Sea ε > 0.Demostraremos que existe una ε-cadena de a a b contenida en ω(x, f).Gracias a la continuidad uniforme de f , existe 0 < δ < ε

2 tal que para todo parde puntos u, v ∈ X, d(u, v) < δ implica d(f(u), f(v)) < ε

2 .Sea U el siguiente conjunto abierto

U = N(ω(x, f), δ) = ∪B(u, δ) : u ∈ ω(x, f).

Por la proposicion 10.4, existe n0 ∈ N tal que para toda i ≥ n0, se tiene quef i(x) ∈ U .

Sean m, k ∈ N, n0 < m < k, tales que

d(a, fm(x)) < δ, y d(b, fk(x)) < δ.

Sean v = fm(x) y fn(v) = fk(x). Aquı, n = k −m.


Observese que

d(a, v) < δ, d(b, fn(v) < δ,

y para toda i, 1 ≤ i ≤ n− 1,

f i(v) ∈ N(ω(x, f), δ) = U.

Ahora vamos a construir la ε-cadena de a a b.Sea a0 = a. Como d(a0, v) < δ, entonces d(f(a0), f(v)) <

ε2 .

Como f(v) ∈ U , existe a1 ∈ ω(x, f) tal que d(f(v), a1) < δ. Por lo tanto,

d(f(a0), a1) ≤ε

2+ δ < ε.

Ahora, como d(a1, f(v)) < δ, d(f(a1), f2(v)) < ε

2 . Y como f2(v) ∈ U , existe

a2 ∈ ω(x, f) tal que d(f2(v), a2) < δ.Por lo tanto, ahora tenemos

d(f(a1), a2) ≤ε

2+ δ < ε.

Al seguir este procedimiento varias veces obtenemos n puntos en ω(x, f), a0 = a,a1,. . .,an−1, tales que

d(f(ai), ai+1) < ε, para 0 ≤ i ≤ n− 2,

y d(fn−1(v), an−1) < δ.Por ultimo, como d(an−1, f

n−1(v)) < δ, entonces d(f(an−1), fn(v)) < ε

2 .Por otro lado, por la definicion del punto v, tenemos que d(b, fn(v)) < δ. Ası,

d(f(an−1), b) <ε

2+ δ < ε.

En conclusion,

Γ = a = a0, a1, a2, . . . , an−1, bes una ε-cadena de a a b totalmente contenida en ω(x, f).

El Teorema 11.9 muestra que el hiperespacio ω(f) esta contenido en el hiper-espacio ITC(f). En el Ejercicio 103 se muestra una funcion continua f : X → Xdonde los hiperespacios ω(f) y ITC(f) son distintos.

De la Proposicion 11.8 se concluye que si A ∈ 2X es tal que

A ∈ ITC(f) \ ω(f),

entonces la cardinalidad de A no es finita.El Teorema 11.9 tambien muestra que el conjunto de puntos recurrentes por

cadenas de la restriccion f |ω(x,f) es todo ω(x, f),

CR(f |ω(x,f)) = ω(x, f).

Corolario 11.10. Sean X un espacio metrico y compacto, f : X → X una funcioncontinua. Sea x un punto en X tal que el conjunto ω(x, f) es finito. Entonces existey ∈ Per(f) tal que ω(x, f) = o(y, f).

Demostracion. El resultado se sigue de la Proposicion 11.8 y el Teorema 11.9.

El Lema 11.11 nos ayudara en la demostracion de lo que se afirma en la Propo-sicion 11.12.


Lema 11.11. Sea T : [0, 1] → [0, 1] la funcion Tienda. Para todo punto x,

1

2< x <

1

2+

1

8,

se tiene que3

4< T (x) < 1, y que 0 < T 2(x) <

1

2.

Demostracion. Se sigue de la regla de correspondencia de T .

Proposicion 11.12. Sea T : [0, 1] → [0, 1] la funcion Tienda. Sea A ⊂ [0, 1],

A = 0 ∪

1

2n: n ≥ 0

.

Entonces

T es internamente transitiva por cadenas en A.Existe x0 ∈ [0, 1] tal que ω(x0, T ) = A.

Demostracion. El lector es invitado en el Ejercicio 94 a dar lo detalles de la argu-mentacion de la primera parte.

Para la segunda parte seguimos el siguiente camino.Sea S = n0, n1, n2, . . . una sucesion de numeros naturales tal que

n0 = 1.Para toda i ≥ 0, ni+1 − ni = i+ 3.

Es decir,

S = 1, 4, 8, 13, 19, 26, 34, . . ..Sea

x =1

2n0+

1

2n1+

1

2n2+

1

2n3+ · · ·

En un intento de simplificar la notacion, sea

x =1

2+A1,

donde

A1 =1

2n1+

1

2n2+

1

2n3+ · · ·

Como

A1 <

∞∑k=n1

1

2k=

1

2n1−1=

1

23,

entonces 12 < x < 1

2 + 18 .

Por el lema 11.11,

T (x) = T

(1

2+A1

)= 2− 2

(1

2+A1

)= 1− 2A1,

T 2(x) = T (1− 2A1) = 2− 2 (1− 2A1) = 22A1,

y

Tn1−1(x) = T 3(x) = T(22A1

)= 23A1 =

1

2+A2,

donde

A2 =1

2j1+

1

2j2+

1

2j3+ · · ·


Observemos que

j1 = n2 − n1 + 1 = 5,

y que

j2 − j1 = n3 − n2, j3 − j2 = n4 − n3, . . .

Los exponentes que aparecen en 12 +A2 los obtenemos de la sucesion S, borrando

al primero y restandole, a todos los restantes, un 3.Como

A2 <

∞∑k=j1

1

2k=

1

2n2−n1=

1

24,

entonces1

2< Tn1−1(x) <

1

2+

1

24.

Como el lector notara va apareciendo un cierto patron. Calculamos unos cuantoselementos mas de la orbita de x, o(x, T ), para conocer los detalles de este compor-tamiento.

Nuevamente por el lema 11.11,

Tn1(x) = T

(1

2+A2

)= 2− 2

(1

2+A2

)= 1− 2A2,

Tn1+1(x) = T (1− 2A2) = 2− 2 (1− 2A2) = 22A2.

Seguimos este camino,

Tn1+l(x) = 2l+1A2,

hasta que l = n2 − n1 − 3. En este valor tenemos

Tn2−1(x) = 2n2−n1A2 =1

2+A3.

El numero A3 tiene esta expresion:

A3 =1

2k1+

1

2k2+

1

2k3+ · · ·

donde

k1 = n3 − n2 + 1 = 6,

y

k2 − k1 = n4 − n3, k3 − k2 = n5 − n4, . . .

Como

A3 <

∞∑k=k1

1

2k=

1

2n3−n2=

1

25,

entonces1

2< Tn2−1(x) <

1

2+

1

25.

Ahora sı nos aventuramos a hacer una afirmacion general. La demostracion desu validez es por induccion. El lector es invitado a ofrecer los detalles faltantes.

Para toda i ≥ 0 se tiene lo siguiente:


Tni−1(x) = 12 +Ai+1, donde

Ai+1 =1

2m1+

1

2m2+

1

2m3+ · · ·

con

m1 = ni+1 − ni + 1,

y

m2 −m1 = ni+2 − ni+1, m3 −m2 = ni+3 − ni+2, . . .

Ademas, 12 < Tni−1(x) < 1

2 + 12i+3 .

Esta informacion nos permite concluir lo siguiente.En primer lugar,

lımi→∞

Tni−1(x) =1

2, lım

i→∞Tni(x) = 1, lım

i→∞Tni+1(x) = 0.

Por lo tanto,

12 , 1, 0

⊂ ω(x, T ).

En segundo lugar, para cada i ≥ 0,

Tni−1(x) ∈(1

2, 1

), y Tni(x) ∈

(1

2, 1

),

y para cada j,

ni + 1 ≤ j ≤ ni+1 − 2, T j(x) ∈(0,

1

2

).

Por tanto, ω(x, T ) ∩(12 , 1)= ∅.

Ahora recordemos que el conjunto ω(x, T ) es fuertemente invariante bajo T ,T (ω(x, T )) = ω(x, T ). Existe y ∈ ω(x, T ) tal que T (y) = 1

2 . Este punto y no puede

estar en el intervalo(12 , 1). Entonces y = 1

22 . Es decir,122 ∈ ω(x, T ). Utilizando este

argumento de manera inductiva nos lleva a concluir que

A = 0 ∪

1

2n: n ≥ 0

⊂ ω(x, T ).

Por ultimo, si un punto z ∈ [0, 1] no es elemento de A, entonces se cumple unade estas dos condiciones:

z ∈(12 , 1), por tanto z /∈ ω(x, T ).

Existe n ∈ N tal que 12n+1 < z < 1

2n . Entonces Tn(z) esta en el intervalo(

12 , 1). Por tanto, en este caso tambien, z /∈ ω(x, T ).

Ası, A = ω(x, T ).

Antes de abandonar la Proposicion 11.12, observese que a pesar de que la funcionTienda, T : [0, 1] → [0, 1], es internamente transitiva por cadenas en el conjunto A,la restriccion T |A : A→ A no es una funcion transitiva (ver Ejercicio 94).

Los hiperespacios ω(f) y ITC(f) son subconjuntos del hiperespacio 2X . Ambosdependen de la funcion f : X → X. La meta es descubrir las posibles relacionesentre las propiedades topologicas de ω(f) y de ITC(f) y las propiedades dinamicasde f . En este camino uno de los primeros pasos fue preguntarse si alguno de estoshiperespacios es un subconjunto cerrado de 2X .

La funcion descrita en el Ejemplo 11.13 aparece, tal vez por primera vez, enun trabajo de W. Bauer y K. Sigmond, [10]. Los autores nos ofrecen un sistemadinamico donde el hiperespacio ω(f) no es cerrado.


Por otro lado, la Proposicion 11.14 nos dice que el hiperespacio ITC(f) siemprees un conjunto cerrado.

Ejemplo 11.13. Sea X = z ∈ C : |z| ≤ 1 el disco con centro en el origen, deradio 1. Sea f : X → X la funcion dada por

f(z) = f(r · eiθ) = r · ei(θ+r·2π).

Entonces ω(f) no es un subconjunto cerrado de 2X .

Demostracion. La funcion f : X → X tiene las siguientes caracterısticas:

f es continua en X.Cada circunferencia de radio r, 0 < r < 1, que llamamos Sr, es un conjuntofuertemente invariante bajo f .f restringida a la circunferencia Sr es una rotacion de angulo r · 2π.f restringida a la circunferencia de radio 1, llamada S1, es la funcion iden-tidad. Por tanto, para todo z ∈ S1, se tiene que ω(z, f) = z.De las condiciones anteriores se sigue que para todo z ∈ X, ω(z, f) = S1.

Sea zn una sucesion de puntos en X con |zn| = rn, y tal que para todo n ∈ N,se tiene que

0 < rn < rn+1 < 1, rn /∈ Q, y lımn→∞

rn = 1.

Por la Proposicion 3.6, para cada n ∈ N, Srn = ω(zn, f).Ası, para toda n ∈ N, Srn = ω(zn, f) es un elemnto de ω(f).La sucesion Srn converge, en la metrica de Hausdorff, a la circunferencia uni-

taria S1. Como S1 no es un elemento del hiperespacio ω(f), entonces ω(f) no essubconjunto cerrado de 2X .

Tarea. Describir el hiperespacio ICT (f) en el Ejemplo 11.13. Prinera idea: SiA ∈ ICT (f), entonces A ∈ C(X) y f(A) = A.

Proposicion 11.14. Sean f : X → X una funcion continua, X un espacio metricoy compacto. Entonces el hiperespacio ITC(f) es un subconjunto cerrado del hiper-espacio 2X .

Demostracion. Sea A ∈ cl(ITC(f)). Demostraremos que A ∈ ITC(f).Sean a, b ∈ A, ε > 0. A continuacion mostramos como construir una ε-cadena de

a a b, totalmente contenida en A.Sea η = ε

3 . Sea 0 < δ < η tal que para toda pareja u, v ∈ X, d(u, v) < δ implicad(f(u), f(v)) < η.

Sea B ∈ ITC(f) tal que H(A,B) < δ.Sean α, β ∈ B tales que d(a, α) < δ y d(b, β) < δ.Sea Υ una η-cadena, contenida en B,

Υ = x0, x1, x2, . . . , xn,

tal que x0 = α, y xn = β.Sean a0 = a, an = b, y para cada i con 1 ≤ i ≤ n − 1, sea ai un elemento del

conjunto A tal que d(ai, xi) < δ.Estos puntos ai sı existen ya que H(A,B) < δ.Consideremos la cadena

Γ = a0, a1, a2, . . . , an.


Para cada i, 0 ≤ i ≤ n− 1,

d(f(ai), ai+1) ≤ d(f(ai), f(xi)) + d(f(xi), xi+1) + d(xi+1, ai+1) < η + η + δ < ε.

Por tanto, Γ es una ε-cadena que va del punto a al punto b.Ademas Γ esta totalmente contenida en A. Dados A ∈ 2X y x ∈ X, definimos la distancia del punto x al conjunto A de esta

manera:dist(x,A) = mınd(x, a) : a ∈ A.

La demostracion del Lema 11.15 es sencilla (ver Ejercicios 23 y 97).

Lema 11.15. Sea f : X → X una isometrıa. Sean A ∈ 2X y x ∈ X tales quex /∈ A. Entonces para toda n ∈ N se tiene que

dist(fn(x), fn(A)) = dist(x,A).

Proposicion 11.16. Sean X un espacio metrico compacto, y f : X → X unaisometrıa. Entonces todo punto de X es recurrente, R(f) = X.

Demostracion. Supongamos que existe x ∈ X tal que x no es recurrente, es decir,x /∈ ω(x, f). Sea δ = dist(x, ω(x, f)) > 0. Sea U el conjunto abierto

U = y ∈ X : dist(y, ω(x, f)) < δ = N(ω(x, f), δ).

Es inmediato que ω(x, f) ⊂ U . Sabemos, ademas, que ω(x, f) es un conjuntofuertemente invariante bajo f .

Por el lema 11.15, para toda n ∈ N se tiene que dist(fn(x), ω(x, f)) = δ. Esdecir, la orbita o(x, f) jamas ingresa a U . Lo que nos lleva a una contradiccion conla proposicion 10.4.

La demostracion del siguiente corolario es inmediata.

Corolario 11.17. Sean X un continuo y f : X → X una isometrıa. Entonces

f es suprayectiva.f es transitiva por cadenas.

Demostracion. Las afirmaciones son consecuencia inmediata de las Proposiciones2.12, 9.9 y 11.16, paginas 7, 69 y 84 respectivamente.



Ejercicio 90. Sea X un continuo no degenerado. Sea f : X → X. Sea A unelemento de 2X tal que A = a∪B, donde a /∈ B y B ∈ C(X)\F1(X). Demostrarque no existe x ∈ X tal que ω(x, f) = A.

Ejercicio 91. Mostrar, si es que existen, un espacio X, una funcion f : X → X,y dos puntos x, y ∈ X tales que ω(x, f) ∩ ω(y, f) = ∅, ω(x, f) \ ω(y, f) = ∅ yω(y, f) \ ω(x, f) = ∅.

Ejercicio 92. Sean f : X → X, x ∈ X. Sean U, V ⊂ X dos conjuntos abiertostales que U ∩ ω(x, f) = ∅, V ∩ ω(x, f) = ∅. Demostar lo siguiente:

Existe una sucesion n1 < n2 < n3 < · · · ⊂ N tal que para toda i ∈ N,fni(x) ∈ U .Existe n ∈ N tal que fn(U) ∩ V = ∅.


Ejercicio 93. En cada caso describir los hiperespacios ω(f) y ITC(f) de la co-rrespondiente funcion f : [0, 1] → [0, 1].

f(x) = x.f(x) = 1− x.f(x) = x2.La funcion lineal por partes definida por f(0) = 0, f( 12 ) = 1, f(1) = 1

2 .

Ejercicio 94. Sea T : [0, 1] → [0, 1] la funcion Tienda. Demostrar, utilizando lasdefiniciones correspondientas, que T es internamente transitiva por cadenas en elconjunto

A =

1

2n: n ≥ 0

∪ 0,

y que T |A : A→ A no es transitiva.

Ejercicio 95. Mmh.

Ejercicio 96. Sean f : X → X, x, y ∈ X. Demostrar que si o(x, f) ∩ o(y, f) = ∅,entonces ω(x, f) = ω(y, f).

Mostrar, con un ejemplo, que la afirmacion recıproca no es valida.

Ejercicio 97. Demostrar el Lema 11.15.

Ejercicio 98. Sean f : X → X, x, y ∈ X, N ∈ N.Demostrar que si ω(x, fN ) = ω(y, fN ), entonces ω(x, f) = ω(y, f).Mostrar un ejemplo donde se da la igualdad ω(x, f) = ω(y, f) y, sin embargo,existe N ∈ N tal que ω(x, fN ) = ω(y, fN ).

Ejercicio 99. Sea f : X → X. Sean A,B ∈ ITC(f). Demostrar que A ∪ B es unelemento del hiperespacio ITC(f) si y solo si A ∩B = ∅.

Ejercicio 100. Mostrar una funcion f : X → X y dos puntos x, y ∈ X tales queω(x, f)∩ω(y, f) = ∅, y A = ω(x, f)∪ω(y, f) no sea el ω-conjunto lımite de ningunpunto z ∈ X.

Ejercicio 101. Sea f : X → X. Sea Λ(f) =∪

x∈X ω(x, f)

Demostrar que Λ(f) ⊂ Ω(f).Mostrar un ejemplo f : X → X donde R(f) = Λ(f).Mostrar un ejemplo f : X → X donde Λ(f) = Ω(f). Sugerencia. Ver otravez el Ejemplo 2.16, pagina 9.

Notemos lo siguiente: La cadena de contenciones (1), que aparecio en la pagina4, ahora ha crecido a la siguiente cadena:

(34) Fix(f) ⊂ Per(f) ⊂ R(f) ⊂ Λ(f) ⊂ Ω(f) ⊂ CR(f).

Ejercicio 102. Tener a la mano ejemplos para mostrar que cada una de las con-tenciones descritas en (34) es propia.

Ejercicio 103. Sea f : [−1, 1] → [−1, 1] la funcion lineal por partes dada porf(−1) = 0, f(− 1

2 ) = −1, f( 12 ) = 1 y f(1) = 0. Poner dibujo. Sea A ⊂ [−1, 1],

A =

−1

2n: n ≥ 0

∪ 0 ∪

1

2n: n ≥ 0

.



f es internamente transitiva por cadenas en el conjunto A.No existe x ∈ [−1, 1] tal que ω(x, f) = A.Describir los conjuntos ITC(f) y ω(f) en terminos del conjunto ω(T ), don-de T : [0, 1] → [0, 1] es la funcion Tienda. Mmhh falta decir que ω(T ) =ITC(T ).

Ejercicio 104. Sean f : X → X y g : Y → Y dos funciones conjugadas a travesdel homeomorfismo h : X → Y . Demostrar lo siguiente:

Para todo x ∈ X se tiene que h(ω(x, f)) = ω(h(x), g).Si A ∈ ITC(f), entonces h(A) ∈ ITC(g).

Observese que el homeomorfismo h : X → Y , definido en el Ejercicio 104, induceun homeomorfismo entre los hiperespacios 2X y 2Y , 2h : 2X → 2Y , dado de lasiguiente manera: para cada A ∈ 2X , 2h(A) = h(A).

Ası, si las funciones f y g son conjugadas, entonces los hiperespacios ω(f) y ω(g)son homeomorfos. En particular, ω(f) es cerrado si y solo si ω(g) es cerrado.

Ejercicio 105. Sea T : [0, 1] → [0, 1] la funcion Tienda. Sea x0 ∈ [0, 1] tal queω(x0, T ) = [0, 1]. Demostrar lo siguiente:

0 = ω(0, T ) es un punto aislado de ω(T ).[0, 1] = ω(x0, T ) es un punto de acumulacion de ω(T ). Sugerencia: Ver Ejer-cicio 68, pagina 65.

Ejercicio 106. Sea f : [0, 1] → [0, 1] tal que f2 = f f es la funcion identidad.Demostrar que ω(f) es un arco. Es decir, existe un homeomorfismo φ : [0, 1] →ω(f).

Ejercicio 107. Sean S1 la circunferencia unitaria, y f : S1 → S1 una rotacion deangulo η · 2π, es decir, f(eiθ) = ei(θ+η·2π). Demostrar:

Si η ∈ Q, entonces ω(f) es homeomorfo a S1.Si η /∈ Q, entonces ω(f) = S1.

Tal vez los Ejercicios 106 y 107 nos estan sugiriendo algo audaz.

Conjetura 7. Sea X un continuo. Sea f : X → X. Si existe N ∈ N tal que fN esla funcion identidad, entonces:

La funcion x→ ω(x, f) es continua.El espacio ω(f) es conexo.Existe A ∈ C(X) tal que A y ω(f) son homeomorfos.

Ejercicio 108. Sea f : X → X. Demostrar lo siguiente:

Si f es debilmente mezclante, entonces para todo A ∈ 2X , con int(A) = ∅,se tiene que X ∈ ω(A, 2f ).Si f es mezclante, entonces para todo A ∈ 2X , con int(A) = ∅, se tiene queω(A, 2f ) = X.

Ejercicio 109. Sean f : X → X, x ∈ X. Demostrar que

lımN→∞

H(cl(o(fN (x), f)), ω(x, f)) = 0.

Ejercicio 110. Mostrar, si es que existe, una funcion f : [0, 1] → [0, 1] tal que:

f es suprayectiva, ypara todo x ∈ [0, 1], ω(x, f) ∩ 0, 1 = ∅.


Advertencia. Una solucion a este ejercicio esta en la pagina 89, Ejemplo 11.23.

Ejercicio 111. Sean f : X → X, g : X → X, ε > 0, x, y ∈ X, tales que

d(f i(x), gi(y)) < ε, para toda i ≥ 0.

Demostrar que

ω(x, f) ⊂ cl(N(ω(y, g), ε)), y ω(y, g) ⊂ cl(N(ω(x, f), ε)).

Por lo tanto,H(ω(x, f), ω(y, g)) ≤ ε.

El Ejercicio 112 es uno de los pocos lugares de estas notas donde aparece algunafuncion discontinua.

Ejercicio 112. Mostrar una funcion f : [0, 1] → [0, 1] que cumple las siguientesdos condiciones:

Para todo x ∈ [0, 1], f es discontinua en x.f([0, 1]) = [0, 1].

ComentariosSea T : [0, 1] → [0, 1] la funcion Tienda. Por las Proposiciones 10.9 y otras, el

conjunto de todos los puntos x ∈ [0, 1] tales que ω(x, T ) = [0, 1] es denso en [0, 1].Por otro lado, el conjunto

E = x ∈ [0, 1] : existe n tal que Tn(x) = 0tambien es denso en el intervalo [0, 1]. Demostraciones de estas afirmaciones sepueden consultar en [13] y en [29].

Ası en cada intervalo abierto (a, b) ⊂ [0, 1], a < b, conviven puntos cuyo ωconjunto lımite es el espacio total, [0, 1], junto con puntos cuyo ω conjunto lımiteesta formado por un solo punto, 0. Observese que estas no son las unicas opcionesbajo la funcion Tienda. El conjunto Per(T ) es denso en [0, 1], ası en cualquierintervalo (a, b) ⊂ [0, 1], a < b, hay puntos cuyo ω conjunto lımite es de cardinalidadfinita.

Por lo pronto llamamos la atencion del lector hacia el hecho de que la asignacionx→ ω(x, T ), que va del intervalo [0, 1] al hiperespacio 2[0,1], es discontinua en todopunto de [0, 1].

Sea f : X → X, X espacio metrico y compacto. La funcion que a cada x ∈ X leasigna su ω(x, f) se estudia en [17].

La Proposicion 11.14 aparece en [26] y en [38]. El resultado de la Proposicion11.9 es parte de un estudio mas amplio, sobre el hiperespacio ω(f), contenido en[37].

En 1996, en [15], los autores demuestran que para toda funcion continua delintervalo en sı mismo, f : [0, 1] → [0, 1], el hiperespacio ω(f) es un subconjunto ce-rrado de 2[0,1]. Este resultado es ampliado, en 2007, a funciones continuas definidasen graficas, ver [37]. En el ano 2009, en [30], los autores muestran una dendrita Dy una funcion f : D → D tal que el hiperespacio ω(f) no es cerrado en 2D.

Faltan ejemplos en dendritas y comentar el resultado de Noraly.En el Corolario 13.11, de la pagina 103, se muestra una funcion f : X → X que

es debilmente mezclante, y no es mezclante.

Proposicion 11.18. Sea X un espacio metrico y compacto sin puntos aislados.Entonces para toda funcion continua, f : X → X, se tiene que int(ICT (f)) = ∅.


Demostracion. Sea.

Corolario 11.19. Sea X un espacio metrico y compacto sin puntos aislados. En-tonces para toda funcion continua, f : X → X, se tiene que int(ω(f)) = ∅.

Demostracion. La afirmacion se sigue de la contencion ω(f) ⊂ ICT (f) y de laProposicion 11.18.

En el artıculo [10] aparece la siguiente definicion.

Definicion 11.20. Sea X un espacio metrico y compacto. Sea f : X → X unafuncion continua. Decimos que f es distal si para toda pareja de puntos x, y ∈ Xcon x = y se tiene que

lım infn→∞

d(fn(x), fn(y)) > 0.

Toda isometrıa f : X → X es distal.

Conjetura 8. Sea X un espacio metrico y compacto. Sea f : X → X una funcioncontinua. Si f es distal entonces para toda n ∈ N, n ≥ 2, se tiene que la funcioninducida Fn(f) : Fn(X) → Fn(X) es distal.

Proposicion 11.21. Sea X un espacio metrico y compacto. Sea f : X → X unafuncion continua. Si f es distal entonces no necesariamente las funciones inducidasC(f) : C(X) → C(X) y 2f : 2X → 2X son distal.

Demostracion. Consideremos el Ejemplo 11.13, pagina 83.Sea X = z ∈ C : |z| ≤ 1 el disco con centro en el origen, de radio 1.Sea f : X → X dada por

f(z) = f(r · eiθ) = r · ei(θ+r·2π).

Claramente f es distal.Sea A ⊂ X,

A = z ∈ X : z = x+ iy, 0 ≤ x ≤ 1, y = 0.Entonces lımn→∞H((2f )n(A), X) = 0.De aquı se sigue que tanto C(f) : C(X) → C(X) como 2f : 2X → 2X no son

funciones distal.

Observese que en el Ejemplo 11.13 se tiene que todo punto de X es recurrente,R(f) = X. El conjunto A descrito en la Proposicion 11.21 no es recurrente bajolas funciones inducidas C(f) : C(X) → C(X) y 2f : 2X → 2X . Por lo tantoR(C(f)) = C(X) y R(2f ) = 2X .

Sin embargo la siguiente afirmacion parece cierta.

Conjetura 9. Sea X un espacio metrico y compacto. Sea f : X → X una funcioncontinua. Si R(f) es denso en X, entonces R(C(f)) es denso en C(X) y R(2f ) esdenso en 2X .

Al parecer la Proposicion 11.22 viene en [23].

Proposicion 11.22. Sea X un espacio metrico y compacto. Sea f : X → X unafuncion continua. Si f es distal, entonces todo punto de X es recurrente, R(f) = X.

Falta comentario sobre: R(f) = X no implica que f sea distal. Y sobre la relacionentre distal y entropıa.


Ejemplo 11.23. Sea f : [0, 1] → [0, 1] la funcion lineal por partes definida porf(0) = 1

3 , f(13 ) =

13 , f(

12 ) = 1, f( 23 ) =

13 , f(1) = 0 Ver figura.

Entonces para todo x ∈ [0, 1] se tiene que ω(x, f) ⊂ [ 13 ,23 ].

Demostracion. La funcion f : [0, 1] → [0, 1] cumple las siguientes propiedades:

f es suprayectiva.Si x ∈ [0, 13 ], entonces ω(x, f) = 1

3.Si existe n ∈ N tal que fn(x) > 2

3 , entonces ω(x, f) = 13.

Si no existe N ∈ N tal que fN (x) > 23 , entonces para toda n ∈ N, fn(x) ∈

[ 13 ,23 ]. Por lo tanto, en este caso, ω(x, f) ⊂ [ 13 ,

23 ].

Tres comentarios respecto al Ejemplo 11.23.

Es miembro de una familia de funciones supreyectivas donde todos los ω(x, f)estan cada vez mas pegados entre sı.Existe un conjunto de Cantor, C, contenido en el intervalo [ 13 ,

23 ] tal que para

todo punto x ∈ [0, 1], ω(x, f) ⊂ C.La dinamica de f restringida al conjunto C es conjugada al shift.


12. Propiedades de sombreado

Sea X un espacio metrico y compacto. Sea f : X → X una funcion continua.

Definicion 12.1. Sean ε > 0 y δ > 0. Sea Γ = x0, x1, . . . , xN una δ-cadena enX. Decimos que el punto z ∈ X es una ε-sombra de Γ si para toda i, 0 ≤ i ≤ N ,se tiene que d(f i(z), xi) < ε.

Definicion 12.2. Decimos que la funcion f : X → X tiene la propiedad delsombreado finito si para toda ε > 0 existe δ > 0 tal que toda δ-cadena Γ tiene unaε-sombra.

Ejemplo 12.3. La funcion f : [0, 1] → [0, 1] dada por f(x) = x2 sı tiene lapropiedad del sombreado finito.

Demostracion. Gulp! Ver junio 22 de 2018. No es muy difıcil demostrar que la funcion identidad id : [0, 1] → [0, 1] no tiene

la propiedad del sombreado finito. Tomese, por ejemplo, ε = 12 . Para cada δ > 0,

existe una particion del intervalo [0, 1],

Γ = x0 = 0, x1, x2, . . . , xn = 1,tal que para cada i, 0 ≤ i ≤ n− 1, se tiene que

xi < xi+1, y d(xi, xi+1) < δ.

Es inmediato que Γ es una δ-cadena, para la funcion identidad, del punto a = 0al punto b = 1.

Si z ∈ [0, 1] es una ε-sombra de Γ, entonces

d(0, z) = d(0, (id)0(z)) < ε, y d(1, z) = d(1, (id)n(z)) < ε.

Lo que nos lleva a la contradiccion: d(0, 1) < ε+ ε = 1.La Proposicion 12.4 contiene un resultado mas general. Un corolario de ella es

que toda funcion identidad definida en un continuo no degenerado X no tiene lapropiedad del sombreado finito.

Observese que en la demostracion de la Proposicion 12.4 utilizamos, en esencia,la misma idea que nos llevo a concluir que la funcion id : [0, 1] → [0, 1] no tiene lapropiedad del sombreado finito.

Proposicion 12.4. Sea X un continuo no degenerado, es decir, con mas de unpunto. Si f : X → X es una isometrıa, entonces f no tiene la propiedad delsombreado finito.

Demostracion. Sean x, y ∈ X tales que d(x, y) = diam(X). Sea ε = d(x,y)2 .

Sea δ > 0. La funcion id : X → X claramente cumple la condicion CR(id) = X.Por la Proposicion 9.9, pagina 69, esta funcion es transitiva por cadenas. Por lotanto, existen n+ 1 puntos en X,

x = u0, u1, u2, . . . , un = y ,tales que para cada 0 ≤ i ≤ n− 1, d(ui, ui+1) < δ.

Sea f : X → X una isometrıa. Consideremos la coleccion

Γ =x = x0, x1 = f(u1), . . . , xi = f i(ui), . . . , xn = fn(un) = fn(y)

.

Para cada 0 ≤ i ≤ n− 1,

d(f(xi), xi+1) = d(f(f i(ui)), f i+1(ui+1)) = d(ui, ui+1) < δ.


En la segunda igualdad usamos que f i+1 tambien es una isometrıa.Ası, Γ es una δ-cadena, de la funcion f , que va de x a fn(y).Ahora, si z ∈ X es una ε-sombra de Γ, entonces

d(x, z) < ε, y d(fn(z), fn(y)) < ε.

Observese que como fn es una isometrıa, entonces d(z, y) < ε.Llegamos ası a la desigualdad

d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) < 2 · ε = d(x, y).

Una contradiccion.Por lo tanto, la cadena Γ no tiene ε-sombras.

Corolario 12.5. Sean S1 la circunferencia unitaria, y f : S1 → S1 una rotacionde angulo η ·2π, f(eiθ) = ei(θ+η·2π). Entonces f no tiene la propiedad del sombreadofinito.

Demostracion. El espacio S1 es un continuo no degenerado. Cada funcion f(eiθ) =ei(θ+η·2π) es una isometrıa.

Veremos mas adelante un hecho que, a primera vista, es sorprendente. Resultaque la funcion identidad id : C → C y, mas general, todas las isometrıas definidasdel conjunto de Cantor clasico C en sı mismo, sı tienen la propiedad del sombreadofinito.

Definicion 12.6. Sea f : X → X. Sean x ∈ X y δ > 0. Decimos que la sucesioninfinita

Γ = x0, x1, . . . , xn, xn+1, . . .es una δ-seudo-orbita si para toda i ≥ 0, d(f(xi), xi+1) < δ.

Sea ε > 0. Decimos que el punto z ∈ X es una ε-sombra de la δ-seudo-orbita Γsi para toda i ≥ 0 se tiene que d(f i(z), xi) < ε. En este caso tambien decimos quela orbita de z, o(z, f), forma una ε-sombra de Γ.

Definicion 12.7. Decimos que la funcion f : X → X tiene la propiedad delsombreado si para toda ε > 0 existe δ > 0 tal que toda δ-seudo-orbita Γ tiene unaε-sombra.

Es claro que hay una fuerte relacion entre las δ-cadenas y las δ-seudo-orbitas.Por principio de cuentas, cada δ-cadena es el segmento inicial de al menos una

δ-seudo-orbita.

δ-cadena, x0, x1, . . . , xnδ-seudo-orbita, x0, x1, . . . , xn, f(xn), f2(xn), f3(xn), . . ..

A su vez, cada δ-seudo-orbita se puede expresar como el resultado de concatenaruna infinidad de δ-cadenas; o como la consecuencia del crecimiento, mas alla detoda cota, de una δ-cadena. Es gracias a esta relacion que algunas propiedadesdinamicas se pueden expresar indistintamente en terminos de unas o de las otras.

La Proposicion 12.8 nos dice que la propiedad de sombreado y la de sombreadofinito son equivalentes cuando consideramos sistemas dinamicos donde el espaciobase es un conjunto compacto.

Proposicion 12.8. Sea X un espacio metrico compacto. Sea f : X → X unafuncion continua. Entonces f tiene la propiedad de sombreado si y solo si f tienela propiedad de sombreado finito.


Demostracion. Supongamos que f tiene la propiedad del sombreado.Sea ε > 0. Sea δ > 0 tal que toda δ-seudo-orbita tiene una ε-sombra.Sea Γ = x0, x1, . . . , xn una δ-cadena. Consideremos la δ-seudo-orbita,

Υ = x0, x1, . . . , xn, f(xn), f2(xn), f3(xn), . . ..Entonces existe z ∈ X tal que su orbita o(z, f) es una ε-sombra de Υ.De aquı se sigue para toda i, 0 ≤ i ≤ n, d(f i(z), xi) < ε.Por lo tanto f tiene la propiedad del sombreado finito.Demostremos ahora la implicacion recıproca.Sea ε > 0 y consideremos el valor η = ε

2 . Existe δ > 0 tal que toda δ-cadenatiene una η-sombra.

Sea Γ = x0, x1, . . . , xn, . . . una δ-seudo-orbita. Para cada k ≥ 0 definimos Ak

como el conjunto de todos los puntos y ∈ X tales que para toda i, 0 ≤ i ≤ k,d(f i(y), xi) ≤ η.

Los conjuntos Ak tienen las siguientes propiedades:

Para toda k ≥ 0, Ak = ∅. Ya que f tiene la propiedad de sombreado finito.Para toda k ≥ 0, Ak es un conjunto cerrado ya que

Ak = cl (B (x0, η)) ∩ f−1 (cl (B (x1, η))) ∩ · · · ∩ f−k (cl (B (xk, η))) .

Para toda k ≥ 0, Ak+1 ⊂ Ak.

De aquı se sigue que A = ∩∞k=0Ak es un conjunto distinto del vacıo.Sea z ∈ A. Como z ∈ Ak para toda k ≥ 0, entonces

d(fk(z), xk) ≤ η < ε, para toda k ≥ 0.

Ası, el punto z es una ε-sombra de la seudo-orbita Υ.

Nuestro objetivo ahora es mostrar que la funcion Tienda T : [0, 1] → [0, 1] tienela propiedad del sombreado.

Lema 12.9. Sea f : X → X. Si para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que para todopunto x ∈ X,

cl(B(f(x), ε+ δ)) ⊂ f(cl(B(x, ε))),

entonces f tiene la propiedad del sombreado.

Demostracion. Sea ε > 0. Tomemos un valor δ > 0 que cumpla la hipotesis.Sea

Γ = x0, x1, x2, . . . , xnuna δ-cadena. Demostraremos que Γ tiene una ε-sombra.

Sea i, 0 ≤ i ≤ n− 1. Como

f(cl(B(xi, ε))) ⊃ cl(B(f(xi), ε+ δ)), y d(f(xi), xi+1) < δ,

entoncesf(cl(B(xi, ε))) ⊃ cl(B(xi+1, ε)).

Dado quef(cl(B(xn−1, ε))) ⊃ cl(B(xn, ε)),

entonces existe A1 ⊂ cl(B(xn−1, ε)), tal que f(A1) = cl(B(xn, ε).De manera analoga, de la contencion

f(cl(B(xn−2, ε))) ⊃ cl(B(xn−1, ε)) ⊃ A1,

se sigue que existe A2 ⊂ cl(B(xn−2, ε)), tal que f(A2) = A1.


Aplicando varias veces este argumento obtenemos, en el paso k, 1 ≤ k ≤ n, unconjunto Ak ⊂ cl(B(xn−k, ε)), tal que f(Ak) = Ak−1.

Estos conjuntos los podemos representar en una sucesion,

An → An−1 → · · · → A2 → A1,

donde Ak → Ak−1 denota que f(Ak) = Ak−1.Sea z un punto en An. Entonces z ∈ cl(B(x0, ε)) y, para cada i, 1 ≤ i ≤ n − 1,

se tiene que f i(z) ∈ An−i, con An−i ⊂ cl(B(xi, ε)).Ademas fn(z) ∈ f(A1) = cl(B(xn, ε).Por lo tanto, para todo i, 0 ≤ i ≤ n, d(f i(z), xi) ≤ ε.

Proposicion 12.10. La funcion Tienda, T : [0, 1] → [0, 1], tiene la propiedad delsombreado.

Demostracion. Es suficiente demostrar que la funcion Tienda cumple la hipotesisdel Lema 12.9.

Sea ε > 0. Toma δ = ε.Se consideran varios casos y sı sale.

Recordemos que, para cada n ∈ N, Fn(X) denota el hiperespacio de todos loselementos de 2X cuya cardinalidad no excede n. Ademas F (X) = ∪∞n=1Fn(X), yC(X) es el hiperespacio de todos los subcontinuos de X.

Proposicion 12.11. Sea f : X → X. Sean n ∈ N y

Λ ∈ 2X , C(X), Fn(X), F (X).

Si 2f |Λ : Λ → Λ tiene la propiedad del sombreado, entonces f : X → X tambienla tiene.

Demostracion. Como sucedio en la Proposicion 8.1, la afirmacion es inmediata dela contencion F1(X) ⊂ Λ, y del hecho de que cada δ-cadena para f , δ > 0,

Γ = x0, x1, . . . , xn,

se puede interpretar como una δ-cadena para la funcion 2f |Λ : Λ → Λ,

Υ = x0, x1, . . . , xn.

Proposicion 12.12. Sea f : X → X. Si F tiene la propiedad del sombreado,entonces la funcion inducida

F2(f) : F2(X) → F2(X)

tambien tiene la propiedad del sombreado.

Demostracion. Sı sale.

Proposicion 12.13. Sea T : [0, 1] → [0, 1] la funcion Tienda. Entonces para todan ≥ 3, la funcion inducida

Fn(T ) : Fn([0, 1]) → Fn([0, 1])

no tiene la propiedad del sombreado.

Demostracion. Pendiente, pero sı sale.


Al leer las Proposiciones 12.14 y 12.15 tengase en cuenta que si X es un espaciometrico compacto infinito, entonces la coleccion de los subconjuntos finitos, F (X),no es un subconjunto cerrado de 2X .

Proposicion 12.14. Sea T : [0, 1] → [0, 1] la funcion Tienda. Entonces la funcioninducida al hiperespacio F ([0, 1]),

F (T ) : F ([0, 1]) → F ([0, 1]),

tiene la propiedad del sombreado finito.

Demostracion. Pendiente, pero sı sale. Ver rollito de Leobardo y amigos.

Proposicion 12.15. Sea T : [0, 1] → [0, 1] la funcion Tienda. Entonces la funcioninducida al hiperespacio F ([0, 1]),

F (T ) : F ([0, 1]) → F ([0, 1]),


Demostracion. Sea ε = 112 . Para cada δ > 0 mostraremos una δ-seudo orbita Γ,

Γ = A0, A1, A2, . . . , Ai ∈ F ([0, 1]),

que no tiene ε-sombras en F ([0, 1]).Sean x0 = 0, x1 = 1

3 , x2 = 23 . Observese que x0 y x2 son los puntos fijos de T ,

T (x0) = x0, T (x2) = x2. Ademas T (x1) = x2.Sea δ > 0. Consideremos N ∈ N tal que 1

2Nx1 < δ.

Las siguientes observaciones nos ayudaran.

Si 0 ≤ j ≤ N , entonces T j( 12Nx1) ≤ 1

3 . Ası

N

(x0, T

j

(1

2Nx1

), ε

)⊂[0,

5

12

).

Sea b ∈ [0, 1]. Si

b ∈ B(x2, ε) =

(7

12,9

12

),

entonces T (b) ∈ ( 612 ,

1012 ).

Por lo tanto, para todo b ∈ B(x2, ε) y para toda 0 ≤ j ≤ N , se tiene que

T (b) /∈ N

(x0, T

j

(1

2Nx1

), ε

).

De las dos observaciones anteriores se sigue lo siguiente: Si b ∈ B(x2, ε) y

T (b) ∈ N

(x0, T

j

(1

2Nx1

), x2

, ε

),

para alguna 0 ≤ j ≤ N , entonces T (b) ∈ B(x2, ε) = ( 712 ,

912 ).

Sea b ∈ [0, 1]. Si

b ∈ B(x1, ε) =

(3

12,5

12

),

entonces T (b) ∈ ( 612 ,

1012 ). En particular, si

T (b) ∈ N (x0, x1, x2 , ε) ,

entonces T (b) ∈ B(x2, ε) = ( 712 ,

912 ).


Ahora sı damos la δ-seudo orbita Γ prometida. Sean

A0 = x0, x2 y A1 =

x0,

1

2Nx1, x2

.

Sean

A2 = T (A1), A3 = T (A2) = T 2(A1), A4 = T (A3) = T 3(A1),

ası hasta

AN = T (AN−1) = TN−1(A1), AN+1 = T (AN ) = TN (A1) = x0, x1, x2 .

Sea AN+2 = A0, y de aquı en adelante repetimos los elementos A0, A1, . . . , AN+1.Es decir,

Γ = A0, A1, . . . , AN+1, A0, A1, . . . , AN+1, A0, . . . .Es inmediato que Γ es una δ-seudo orbita para la funcion inducida F (T ).Sea E un elemento del hiperespacio F ([0, 1]) tal que es una ε-sombra de Γ.

Observese que E tiene cardinalidad finita.Como H(TN+1(E), AN+1) < ε, entonces

TN+1(E) ⊂ N(AN+1, ε) =

[0,

1

12

)∪(

3

12,5

12

)∪(

7

12,9

12

).

Como los tres intervalos abiertos que componen N(AN+1, ε) son ajenos entre sı,y todos son de radio ε, entonces E tiene al menos tres elementos.

Como H(TN+2(E), AN+2) < ε, y AN+2 = A0 = x0, x2, entonces

TN+2(E) ⊂ N(A0, ε) =

[0,

1

12

)∪(

7

12,9

12

).

Por lo tanto, las imagenes bajo T de todos lo elementos del conjunto TN+1(E)que estaban en

(312 ,

512

)∪(

712 ,

912

)estan en el intervalo

(712 ,

912

)y, partir de este

momento, no podran salir de este intervalo.Es decir, si e ∈ E es un punto tal que TN+1(e) ∈

(312 ,

512

)∪(

712 ,

912

), entonces

para toda n ≥ N + 2, Tn(e) ∈(

712 ,

912

).

La siguiente vez que aparece de nuevo AN+1 = x0, x1, x2, A2N+3 = AN+1, setiene que el conjunto T 2N+3(E) debe tener elementos en los siguientes tres intervalosajenos, [

0,1

12

)∪(

3

12,5

12

)∪(

7

12,9

12

).

Dos de los puntos de E cuyas imagenes bajo la iteracion TN+1 se presentaron enlos intervalos

(312 ,

512

)y(

712 ,

912

)en esta ocasion, sus imagenes bajo T 2N+3 estan

atrapadas en el intervalo(

712 ,

912

). De aquı se sigue que E tiene al menos cuatro

elementos.Esta situacion se repite cada vez que aparece el conjunto AN+1 en la seudo orbita

Γ, que es una infinidad de veces, haciendo que la cardinalidad del conjunto E debacrecer mas alla de toda cota superior. Lo que nos lleva a una contradiccion.

La presencia de la propiedad del sombreado deja una importante huella en ladinamica de f : X → X. Las Proposiciones 12.16, 12.17 y 12.18 son muestra deello.


Proposicion 12.16. Sea X un espacio metrico compacto. Sea f : X → X unafuncion que tiene la propiedad del sombreado. Entonces el conjunto de los puntosno errantes y el conjunto de los puntos recurrentes por cadenas son iguales, Ω(f) =CR(f).

Demostracion. Sabemos que Ω(f) ⊂ CR(f) (ver Proposicion 6.3, pagina 38).Ahora, sea x ∈ CR(f). Para argumentar que x ∈ Ω(f) es suficiente demostrar

que para toda ε > 0, existen y ∈ X y n ∈ N tales que

d(x, y) < ε, y d(x, fn(y)) < ε.

Sea ε > 0. Tomamos δ > 0 tal que toda δ-cadena tiene una ε-sombra.Como x ∈ CR(f), existe una δ-cadena que inicia y termina en x,

Γ = x = x0, x1, x2, . . . , xn = x.

Sea y ∈ X una ε-sombra de Γ. Entonces

d(x, y) = d(x0, f0(y)) < ε, y d(x, fn(y)) = d(xn, f

n(y)) < ε.

Por lo tanto CR(f) ⊂ Ω(f).

La transitividad y la transitividad por cadenas son dos importantes propiedades.Sabemos que toda funcion transitiva es transitiva por cadenas, ver Proposicion 9.2,pagina 67. Y que existen funciones que son transitivas por cadenas pero no sontransitivas, ver Ejemplo 9.3 y Proposicion 9.4. El siguiente resultado muestra quesi la funcion con la que trabajamos tiene sombreado, entonces ambas propiedadesson equivalentes.

Proposicion 12.17. Sea X un espacio metrico compacto. Sea f : X → X una fun-cion continua que tiene la propiedad del sombreado. Si f es transitiva por cadenas,entonces f es transitiva.

Demostracion. Sean U y V dos subconjuntos de X, abiertos y no vacıos.Sean x ∈ U , y ∈ V , ε > 0 tales que

B(x, ε) ⊂ U, y B(y, ε) ⊂ V.

Sea δ > 0 tal que toda δ-cadena tiene una ε-sombra.Como f es transitiva por cadenas, existe una δ-cadena que inicia en el punto x

y termina en el punto y,

Γ = x = x0, x1, x2, . . . , xn = y.

Sea z ∈ X una ε-sombra de Γ. Entonces

d(x, z) = d(x0, f0(z)) < ε, y d(y, fn(z)) = d(xn, f

n(z)) < ε.

Por lo tanto, z ∈ U y fn(z) ∈ V y, con ello, fn(U) ∩ V = ∅.

En la pagina 8 presentamos el Ejemplo 2.14. La funcion f : [0, 1] → [0, 1] ahıestudiada cumple la condicion de que f(Ω(f)) = Ω(f).

Proposicion 12.18. Sea X un espacio metrico compacto. Sea f : X → X unafuncion continua que tiene la propiedad del sombreado. Entonces f(Ω(f)) = Ω(f).


Demostracion. Como f : X → X tiene la propiedad de la sombra, por la Proposi-cion 12.16, Ω(f) = CR(f).

Ahora por la Proposicion 6.8, CR(f) es fuertemente invariante.Por tanto,

f(Ω(f)) = f(CR(f)) = CR(f) = Ω(f).

Ası, f(Ω(f)) = Ω(f).

El siguiente resultado parece cierto.

Proposicion 12.19. Sea X un espacio metrico compacto. Sea f : X → X unafuncion continua. Si existe n ∈ N tal que fn es la funcion identidad en X, entoncesf no tiene la propiedad de la sombra.

MMhh... Comparar con la siguiente proposicion.

Proposicion 12.20. Sea Σ un conjunto de Cantor. La funcion identidad id : Σ →Σ tiene la propiedad de la sombra.

Demostracion. Sea ε > 0. Sea X1, X2, . . . , Xk una coleccion de subconjuntos deΣ que tiene las siguientes propiedades:

Para toda i, Xi es no vacıo, es cerrado y es abierto.Para toda i, diam(Xi) < ε.Para toda pareja i, j, i = j, se tiene que Xi ∩Xj = ∅.La union de los Xi es Σ, Σ = ∪k

i=1Xi.

Sean

dist(Xi, Xj) = mınd(x, y) : x ∈ Xi, y ∈ Xj, η = mındist(Xi, Xj) : i = j,y δ = mınε, η.

Sea Γ = x0, x1, x2, . . . una δ-seudo orbita.Si x0 ∈ Xi, entonces para toda n ≥ 0, xn es un punto de Xi.Ası z = x0 es una ε-sombra de Γ.

Conjetura 10. Sea Σ un conjunto de Cantor. Sea f : Σ → Σ una isometrıa.Entonces f tiene la propiedad de la sombra.

Tarea. Mostrar una funcion en el conjunto de Cantor que no tenga la propiedadde la sombra.



Ejercicio 113. Sean f : X → X, x0 ∈ X. Si para toda x ∈ X se tiene quef(x) = x0, entonces f tiene la propiedad del sombreado.

Ejercicio 114. Sean f : X → X, N ∈ N. Sea f×N :∏N

i=1X →∏N

i=1X.Demostrar que f tiene la propiedad del sombreado si y solo si f×N tiene la

propiedad del sombreado.

Ejercicio 115. Sean f : X → X. Demostrar que las siguientes tres condicionesson equivalentes:

f tiene la propiedad del sombreado.Para toda N ∈ N, fN tiene la propiedad del sombreado.Existe N ∈ N tal que fN tiene la propiedad del sombreado.


Ejercicio 116. Demostrar que la funcion f : [0, 1] → [0, 1], dada por

f(x) =

2x2, si 0 ≤ x ≤ 1

2 ,

2(x− 1

2

)2+ 1

2 , si 12 ≤ x ≤ 1.


Ejercicio 117. Sean f : X → X y g : Y → Y dos funciones conjugadas a travesdel homeomorfismo h : X → Y . Demostrar lo siguiente: f tiene la propiedad delsombreado si y solo si g tambien la tiene.

ComentariosEl Lema 12.9 contiene un importante criterio para decidir si una funcion f : X →

X tiene la propiedad del sombreado. Este resultado lo tomamos de la referencia[18]. Ahı los autores estudian la dinamica de elementos de la familia de las Tiendas,Tλ : [0, 1] → [0, 1],

Tλ(x) =

λx, si 0 ≤ x ≤ 12 ,

λ− λx, si 12 ≤ x ≤ 1.

Donde, 1 ≤ λ ≤ 2.Falta informacion sobre el conjunto de λ ∈ [0, 1] tales que Tλ sı tiene la propiedad

de la sombra. Revisar [18].Es posible, en una primera lectura, conjeturar que hay pocas, en algun sentido,

funciones f : X → X que tengan la propiedad del sombreado. Este no es el caso, almenos, para el intervalo [0, 1]. Resulta que el conjunto de las funciones continuasf : [0, 1] → [0, 1] que tienen la propiedad del sombreado forman un conjunto residualen el espacio de todas las funciones continuas del intervalo, ver [40].

Una de las conjeturas mas importantes, en relacion a la propiedad del sombreado,es la siguiente:

Sea f : X → X. Si f tiene la propiedad del sombreado, entonces todo conjuntoA ∈ 2X donde f es internamente transitiva por cadenas es el ω-conjunto lımite deun punto de X.

Es decir, la presencia del sombreado implica que los hiperespacios ω(f) y ICT (f)son iguales. Recientemente, en [38], los autores demuestran que la conjetura es ciertasi X es el intervalo [0, 1] (o X es una grafica).

Pregunta en relacion a la proposicion 12.4.

Pregunta 11. Sea X un continuo no degenerado. ¿Si f : X → X es un homeo-morfismo equicontinuo, entonces f no tiene la propiedad del sombreado finito?

Falta un comentario. Segun el Ejercicio 114 la funcion T×T×T tiene la propiedadde la sombra. Sin embargo F3(T ) no la tiene. Esto dice que la susodicha propiedadno se respeta en semiconjugaciones.

Conjetura 12. Sea X un espacio metrico compacto. Sea f : X → X una funcioncontinua con la propiedad de la sombra. Sea Y el cono sobre X, Y = X × [0, 1]/ ∼.Sea v el vertice del cono Y . Sea φ : Y → Y la funcion dada por

φ(x, y) = (f(x), y2), si 0 ≤ y < 1, φ(v) = v.

Entonces φ : Y → Y tiene la propiedad de la sombra.


Observese que en la Conjetura 12 se tiene que

ω(φ) = ω(x, f)× 0 : x ∈ X ∪ v.


13. Dinamica simbolica

Sea

Σ2 = t = (t0, t1, t2, . . .) : para toda i ≥ 0, ti ∈ 0, 1 .La siguiente expresion define una metrica en Σ2.

d (t, s) =

∞∑i=0

|ti − si|2i

.

El espacio Σ2 = (Σ2,d) es compacto, perfecto, separable y totalmente disconexo(ver ejercicio 118). En algunos libros Σ2 = (Σ2,d) es llamado el espacio en dossımbolos. El conjunto de los sımbolos es 0, 1.

Otra posible presentacion de este espacio es la siguiente: Σ2 es el producto carte-siano infinito numerable donde cada factor es el espacio X = 0, 1, con la topologıadiscreta, γ = ∅, 0, 1, X,

Σ2 =

∞∏i=0

0, 1,

En este caso Σ2 se considera con la topologıa producto τ .Lo feliz del asunto es que la topologıa inducida por la metrica d es equivalente

a la topologıa τ . Ver Ejercicio 120.Dados t = (t0, t1, t2, . . .) en Σ2, e i ≥ 0, a ti le llamamos la i coordenada de t.Los Lemmas 13.1 y 13.2 son herramientas que nos ayudan en el manejo de la

metrica d. Las demostraciones son casi inmediatas, ver Ejercicio 121.

Lema 13.1. Sean t = (t0, t1, t2, . . .), s = (s0, s1, s2, . . .) en Σ2. Sea N ≥ 0. Si paratoda 0 ≤ i ≤ N se tiene que ti = si, entonces d (t, s) ≤ 1

2N.

Lema 13.2. Sean t = (t0, t1, t2, . . .), s = (s0, s1, s2, . . .) en Σ2. Sea N ≥ 0. Si setiene que d (t, s) < 1

2N, entonces para toda 0 ≤ i ≤ N , ti = si.

Sea N ≥ 0. Por cada coleccion de N + 1 numeros, u0, u1, . . . , uN , tales queui ∈ 0, 1, consideramos el subconjunto de Σ2

[u0, u1, . . . , uN ] = t = (t0, t1, t2, . . .) : para cada 0 ≤ i ≤ N, ti = ui .Cada uno de estos conjuntos [u0, u1, . . . , uN ] es no vacıo, abierto y cerrado en el

espacio Σ2. La coleccion de todos ellos forma una base del espacio (Σ2, τ). En parti-cular, para cada subconjunto abierto de Σ2, digamos U , y cada t = (t0, t1, . . .) ∈ U ,existe N ≥ 0 tal que

t ∈ [t0, t1, . . . , tN ] ⊂ U.

Sea σ : Σ2 → Σ2 la funcion dada por

σ(t) = σ (t0, t1, t2, . . .) = (t1, t2, t3, . . .) .

La regla de correspondencia de σ, aplicada al punto t = (t0, t1, t2, . . .), recorrehacia la izquierda, un lugar, toda la informacion contenida en t. En este procesoperdemos la informacion de la primera coordenada t0. A pesar de lo sencilla queresulta esta regla, σ induce en Σ2 uno de los sistemas dinamicos discretos masinteresantes.

Algunos autores se refieren a σ como la funcion corrimiento, o simplemente comoel corrimiento. En ingles es conocida como shift map.

No es difıcil demostrar que σ es continua en Σ2, Ejercicio 119.


De manera similar a lo que sucede para la funcion Tienda T : [0, 1] → [0, 1], setiene que para todo subconjunto abierto de Σ2, digamos U , U = ∅, existe N ∈ Ntal que σN (U) = Σ2. De hecho para cada conjunto de la forma [u0, u1, . . . , uN ] setiene que

σN+1 ([u0, u1, . . . , uN ]) = Σ2.

Es decir, σ : Σ2 → Σ2 es una funcion exacta.Es inmediato que σ es mezclante, debilmente mezclante, totalmente transitiva,

y transitiva.Ademas de lo anterior, σ goza de tener una infinidad de puntos periodicos. De

hecho el conjunto Per(σ) es denso en Σ2, ver Ejercicio 122.

Proposicion 13.3. La funcion corrimiento σ : Σ2 → Σ2 tiene la propiedad delsombreado.

Demostracion. Mmh...

Proposicion 13.4. El conjunto ω(σ) es cerrado.


Proposicion 13.5. El conjunto ω(σ) es no numerable.


Proposicion 13.6. La entropıa de la funcion corrimiento σ : Σ2 → Σ2 es log(2).


El espacio Σ2 contiene una gigantesca variedad de subconjuntos invariantes bajoel corrimiento σ. La dinamica de σ restringida a cada uno de estos conjuntos resultaser, en muchos casos, realmente interesante. A continuacion describimos algunos deestos sub-sistemas dinamicos escondidos en el sistema (Σ2, σ).

Dado un subconjunto P ⊂ N, consideramos el siguiente conjunto XP ⊂ Σ2,

XP = t = (t0, t1, t2, . . .) : si ti = tj = 1, con i < j, entonces j − i ∈ P.Por ejemplo, si P = N, entonces XP = Σ2. Por otro lado, si P = ∅, entonces

cada elemento de XP no puede tener, en sus coordenadas, mas de un uno. Ası, eneste segundo caso, XP esta formado por el elemento 0 = (0, 0, 0, . . .) ∈ Σ2 juntocon los elementos de Σ2 de la forma

b(i) = (0, 0, . . . , 0, 1, 0, , . . .).

Es decir, todas las coordenadas de b(i) son cero salvo la coordenada i, dondeb(i) tiene un uno.

Ası,

X∅ = 0 ∪

( ∞∪i=0

b(i)

).

Algunas de las propiedades de estos conjuntos XP son tratadas en los ejercicios123, 124 y 125. En particular observese que para todo P ⊂ N, XP es cerrado, novacıo, y fuertemente invariante bajo la funcion corrimiento σ.

Proposicion 13.7. Sean P ⊂ N, y XP el conjunto inducido por P . Sea f = σ|XP.

Si f es mezclante, entonces existe N ∈ N tal que para toda n ≥ N se tiene quen ∈ P .


Demostracion. Sean t = (1, 0, 0, . . .) ∈ XP , U = B(t, 1) ∩XP .Observese que si s = (s0, s1, s2, . . .) ∈ U , entonces s0 = 1.Como f es mezclante, existe N ∈ N tal que

fn(U) ∩ U = ∅, para toda n ≥ N.

Para cada n ≥ N , existe un punto s ∈ U , s = (s0, s1, s2, . . .), tal que fn(s)

tambien esta en U .Ası la primera coordenada de s es un 1, s0 = 1, y la primera coordenada del

punto (σ|XP)n(s) = fn(s) tambien es un 1.

Por lo tanto, s0 = 1 = sn.Como s ∈ XP , entonces n ∈ P .Por lo tanto, para toda n ≥ N se tiene que n ∈ P .

Definicion 13.8. Sea P ⊂ N. Decimos que el conjunto P es:

Cofinito si existe N ∈ N tal que para toda n ≥ N se tiene que n ∈ P .Grueso (en ingles le llaman thick) si para toda N ∈ N, existe n ∈ P tal que

n, n+ 1, n+ 2, . . . , n+N ⊂ P.

Es decir, el conjunto P contiene cadenas arbitrariamente largas de numerosnaturales consecutivos.

Observese que la proposicion 13.7 dice que si σ|XP: XP → XP es mezclante,

entonces P es cofinito.Es inmediato que ser cofinito implica ser grueso, y ser grueso no implica ser

cofinito.

Proposicion 13.9. Sean P ⊂ N, y XP el conjunto inducido por P . Sea f = σ|XP.

Si el conjunto P es grueso, entonces f es debilmente mezclante.

Demostracion. Sean t, s,u,v ∈ XP , ε > 0. Para cada n ≥ 0, la n-coordenada de t,s, u, v es, respectivamente, tn, sn, un, vn.

Mostraremos que existe k ∈ N tal que

fk(B(t, ε) ∩XP ) ∩ (B(u, ε) ∩XP ) = ∅,y

fk(B(s, ε) ∩XP ) ∩ (B(v, ε) ∩XP ) = ∅.Sea N ∈ N tal que 1

2N< ε.

Como P es gordito, existe m ∈ N tal que

m,m+ 1,m+ 2, . . . ,m+ 2N ⊂ P.

Sean x = (x0, x1, . . .), y = (y0, y1, . . .), dos puntos en Σ2 tales que,

Para toda 0 ≤ i ≤ N , xi = ti.Para toda 0 ≤ i ≤ N , xm+N+i = ui.Para toda N < i < m+N , xi = 0; y para toda m+ 2N < i, xi = 0.Para toda 0 ≤ i ≤ N , yi = si.Para toda 0 ≤ i ≤ N , ym+N+i = vi.Para toda N < i < m+N , yi = 0; y para toda m+ 2N < i, yi = 0.

Es decir,

x = (t0, t1, . . . , tN , 0, . . . , 0, u0, u1, . . . , uN , 0, . . .),

y = (s0, s1, . . . , sN , 0, . . . , 0, v0, v1, . . . , vN , 0, . . .).


El punto x tiene, en los primeros N + 1 lugares, la cadena inicial de t. Luego, apartir de la posicion m+N , tiene la cadena inicial de u. De aquı se sigue que

x ∈ B(t, ε), y σm+N (x) ∈ B(u, ε).

De manera analoga se tiene que

y ∈ B(s, ε), y σm+N (y) ∈ B(v, ε).

Resta confirmar que tanto x como y son elementos de XP .Supongamos que para alguna pareja i < j, xi = xj = 1.

Si j ≤ N , entonces xi = ti y xj = tj . Como t ∈ XP , j − i ∈ P .Si m+N ≤ i, entonces xi = ui−(m+N) y xj = uj−(m+N). Como

j − i = j − (m+N)− (i− (m+N))

y u ∈ XP , entonces j − i ∈ P .Si 0 ≤ i ≤ N , y m+N ≤ j ≤ m+ 2N , entonces

j − i ∈ m,m+ 1,m+ 2, . . . ,m+ 2N ⊂ P.

Ası, obtenemos que x ∈ XP .De manera analoga se concluye que y ∈ XP .

Ejemplo 13.10. Sean P ⊂ N, XP ⊂ Σ2. Sea f = σ|XP. Si el conjunto P es

gordito, entonces todo elemento t ∈ XP es punto de acumulacion de XP . Por lotanto, XP es un conjunto de Cantor.

Demostracion. De la Proposicion 13.9 se sigue que f es transitiva. Como XP es decardinalidad infinita, por el Ejercicio 55 se tiene que todo punto t de XP es puntode acumulacion de XP .

Las Proposiciones 13.7 y 13.9 nos dan las herramientas necesarias para mostrarun sistema dinamico que es debilmente mezclante y no es mezclante.

Ejemplo 13.11. Sea P ⊂ N,

P =

∞∪n=1

2n, 2n + 1, . . . , 2n + n .

Sea XP ⊂ Σ2 el espacio inducido por P . Sea f : XP → XP , f = σ|XP.

Entonces f es debilmente mezclante, y f no es mezclante.

Demostracion. El conjunto P es grueso. Por lo tanto, Proposicion 13.9, f es debil-mente mezclante.

El conjunto P no es cofinito. Por lo tanto, ahora utilizando la Proposicion 13.7,la funcion f : XP → XP no es mezclante.

Ejemplo 13.12. Sea X el cono sobre el conjunto de Cantor. Existe una funcioncontinua f : X → X que es debilmente mezclante y no es mezclante.

Demostracion. Promesa que cumpliremos as soon as possible. Este pendiente.

EjerciciosTodas las funciones consideradas en esta parte son continuas. La letra P denota

un subconjunto de los numeros naturales N, y XP representa el subespacio queinduce P en Σ2. Ademas σ : Σ2 → Σ2 es el corrimiento.


Ejercicio 118. El espacio Σ2 = (Σ2,d) es compacto, perfecto, separable y total-mente disconexo.

Ejercicio 119. La funcion σ : Σ2 → Σ2 es continua.

Ejercicio 120. Demostrar que la topologıa inducida por la metrica d es equivalentea la topologıa producto τ . Ambas, la metrica y la topologıa fueron descritas al iniciode esta seccion.

Ejercicio 121. Demostrar los Lemas 13.1 y 13.2.

Ejercicio 122. Demostrar lo siguiente:

Per(σ) es denso en Σ2.σ : Σ2 → Σ2 es sensible a las condiciones iniciales.

Ejercicio 123. Para todo P ⊂ N se tiene que el conjunto XP es cerrado, no vacıo,y fuertemente invariante bajo σ.

Ejercicio 124. Demostrar que si P es finito, entonces:

El espacio XP es infinito numerable.Para todo t ∈ XP se tiene que ω(t, σ) = 0.

Ejercicio 125. Sea R ⊂ N. Si R ⊂ P , entonces XR ⊂ XP .

Ejercicio 126. Verdadero o falso: X1,2 = X1 ∪X2.


14. Entropıa

En toda esta seccion X = (X, d) representa un espacio metrico y compacto, yf : X → X es una funcion continua.

Sean n ∈ N y ε > 0. Sea A ⊂ X. Decimos que A es un conjunto (n, ε)-generadorsi para toda x ∈ X existe a ∈ A tal que

d(x, a) < ε, d(f(x), f(a)) < ε, . . . , d(fn−1(x), fn−1(a)) < ε.

Es decir, por cada x en X, existe a ∈ A tal que

x ∈ B(a, ε) ∩ f−1(B(f(a), ε)) ∩ · · · ∩ f−(n−1)(B(fn−1(a), ε)).

Observese lo siguiente.

El conjunto A = X es un conjunto (n, ε)-generador.Si A ⊂ X es un conjunto (n, ε)-generador, entonces los primeros n pasos dela orbita de cada punto de X son seguidos, a distancia menor que ε, por losprimeros n puntos de la orbita de un elemento de A.La variedad de subconjuntos de X que son (n, ε)-generadores depende nosolo de los valores de n y ε, sino tambien de la funcion f : X → X.

Proposicion 14.1. Sean n ∈ N, ε > 0. Entonces existe un conjunto finito A,A ⊂ X, que es (n, ε)-generador.

Demostracion. Sean n ∈ N, ε > 0. Para cada a ∈ X consideramos el conjunto

Ua = B(a, ε) ∩ f−1(B(f(a), ε)) ∩ · · · ∩ f−(n−1)(B(fn−1(a), ε)).

El punto a pertenece al conjunto Ua. Como f es continua, entonces Ua es abierto.La coleccion Ua : a ∈ X es una cubierta abierta de X.Como X es compacto, existen a1, a2, . . . , ak en X tales que X = ∪k

j=1Uaj .El conjunto A = a1, a2, . . . , ak es finito y es (n, ε)-generador.

Definicion 14.2. Sean n ∈ N y ε > 0. Sea r(n, ε) la mınima cardinalidad de unconjunto (n, ε)-generador.

En algunas ocasiones escribiremos r(n, ε, f) en lugar de r(n, ε) para enfatizarque estamos haciendo los calculos correspondientes para la funcion f .

El numero r(n, ε) nos da informacion parcial de como se comportan, durante losprimeros n pasos, todas las orbitas del sistema dinamico (X, f).

Si A = a1, a2, . . . , ak es un conjunto (n, ε)-generador de cardinalidad mınima,k = r(n, ε), entonces durante n pasos todas las orbitas pueden seguirse a cortadistancia por los elementos de A. Cualquier subconjunto B ⊂ X de cardinalidadmenor que r(n, ε) no puede hacer esta labor de seguimiento.

Si este seguimento se prolonga durante mas pasos, es decir si lo extendemos hastam con m > n, entonces el numero r(m, ε) es muy probable que incremente su valor,r(m, ε) ≥ r(n, ε).

Por otro lado, si n es fija pero reducimos la distancia a la que los puntos de Xson perseguidos, entonces r(n, ε) puede crecer. Es decir, si 0 < ε1 < ε2, entoncesr(n, ε1) ≥ r(n, ε2). Esta son las dos afirmaciones contenidas en la Proposicion 14.3.

Proposicion 14.3. Sean n,m ∈ N, ε > 0. Entonces se cumplen las siguientes doscondiciones:

Si m > n, r(m, ε) ≥ r(n, ε).Si 0 < ε1 < ε2, r(n, ε1) ≥ r(n, ε2).


Demostracion. Las respectivas demostraciones son inmediatas a partir de la defi-nicion del numero r(n, ε). Ver ejercicio 128.

La Proposicion 14.3 nos dice que, considerando ε > 0 fjo, la sucesion

r(n, ε) : n ∈ Nes creciente.

Que tan rapido o lento es el crecimiento de esta sucesion depende de la funcionf : X → X. Crecimiento lento nos indica que la dinamica generada por las primerasiteraciones de f , f i, 0 ≤ i ≤ n − 1, es seguible por una coleccion de puntos de Xcuya cardinalidad varıa poco cuando n crece. En este sentido, crecimiento lentoesta relacionado con dinamica sencilla. Crecimiento rapido del mınimo del numerode puntos perseguidores, cuando n crece, implica que se necesita muy rapidamentede muchısimos puntos para hacer la labor de seguimento. Crecimiento rapido de lasucesion r(n, ε) lo relacionamos con dinamica complicada.

Definicion 14.4. Sean n ∈ N y ε > 0. Sea r(ε) el siguiente numero,

r(ε) = lım supn→∞

1

nlog(r(n, ε)).

Observese que r(ε) es mayor o igual a cero.Mas adelante demostramos que el valor de r(ε) es un numero real, es decir, no

es infinito.Habra ocasiones donde escribiremos r(ε, f) en lugar de r(ε) para enfatizar que

estamos haciendo los calculos correspondientes para la funcion f .Algunas palabras sobre la aparicion de la funcion logaritmo natural en este relato

pueden ser de utilidad.Hay, en esencia, dos formas en las que una sucesion puede crecer: en forma

polinomial o en forma exponencial.Supongamos que el crecimiento de la sucesion r(n, ε) : n ∈ N es polinomial, o

esta acotado superiormente por un polinomio en n. Es decir, existen k constantesmayores o iguales a cero c0, c1, c2, . . . , ck, tales que ck > 0, y tal que para cadan ∈ N,

r(n, ε) ≤ c0 + c1n+ c2n2 + · · ·+ ckn

k.

Entonces para toda n ∈ N,r(n, ε) ≤ (c0 + c1 + c2 + · · ·+ ck)n

k =M · nk.Ası,

0 ≤ 1

nlog(r(n, ε)) ≤ 1

n(log(M) + k · log(n)) .

Dado que lımn→∞log(n)

n = 0, entonces, en este caso, r(ε) es cero.Si el crecimiento de la sucesion r(n, ε) : n ∈ N es exponencial, o esta acotado

por abajo por una expresion exponencial en n, es decir, si existe una constanteC > 1 tal que para cada n ∈ N,

r(n, ε) ≥ Cn,

entonces para toda n ∈ N,1

nlog(r(n, ε)) ≥ 1

n· n log(C).

Como log(C) > 0, entonces, en este segundo caso, r(ε) es positivo.


De esta manera la funcion logaritmo y el lımite

(35) r(ε) = lım supn→∞

1

nlog(r(n, ε))

nos permiten evaluar que tan rapido crece la sucesion r(n, ε) : n ∈ N.Una ultima observacion antes de llegar a la definicion de entropıa.Sean 0 < ε1 < ε2. La Proposicion 14.3 nos dice que

r(n, ε1) ≥ r(n, ε2)

para cada n ∈ N.De aquı se sigue que r(ε1) ≥ r(ε2).Es decir, cuando la variable ε tiende a cero por la derecha, la cantidad r(ε) es

creciente. Ası el valor del lımite contenido en la Definicion 14.5, y en la igualdad(35), existe y es mayor o igual a cero, o es infinito.

Definicion 14.5. Sean X un espacio metrico compacto, f : X → X una funcioncontinua, ε > 0. La entropıa topologica de f esta dada por

ent(f) = lımε→0

r(ε) = lımε→0

(lım supn→∞

1

nlog(r(n, ε))

).

En estas notas al referirnos a ent(f), diremos simplemente la entropıa de f .Observese que si para alguna ε > 0 se obtiene que r(ε) > 0, entonces ent(f) es

positiva o tiene un valor infinito. De hecho,

ent(f) = sup r(ε) : ε > 0 .

Claro, aceptando que este supremo puede ser infinito.Antes continuar nos vamos a deshacer de esa pequena molestia que puede rondar

en algun grupo de neuronas. La meta es confirmar que el valor de la entropıa deuna funcion f : X → X no depende de la metrica.

Definicion 14.6. Sean d1 y d2 dos metricas definidas en el espacio X. Sean x ∈ X,ε > 0. Entonces,

B(x, ε, d1) = y ∈ X : d1(x, y) < ε, y B(x, ε, d2) = y ∈ X : d2(x, y) < ε.

Decimos que d1 y d2 son metricas equivalentes si

Para todo ε > 0, existe γ > 0 tal que B(x, γ, d2) ⊂ B(x, ε, d1).Para todo δ > 0, existe η > 0 tal que B(x, η, d1) ⊂ B(x, δ, d2).

Las siguientes afirmaciones se confirman de manera inmediata. Ver ejercicio 130.

Afirmacion 14.7. Sean d1 y d2 dos metricas equivalentes definidas en X. Sea Aun subconjunto de X.

A es un conjunto abierto en (X, d1) si y solo si A es un conjunto abierto en(X, d2). Es decir, ambas metricas generan la misma topologıa.A es un conjunto compacto en (X, d1) si y solo si A es un conjunto compactoen (X, d2).La funcion identidad id : (X, d1) → (X, d2) es continua. Si (X, d1) es com-pacto, entonces, de hecho, id es uniformemente continua.

Proposicion 14.8. El valor de la entropıa de la funcion f : X → X no dependede la metrica utilizada en su calculo.


Demostracion. Sean d1 y d2 dos metricas equivalentes definidas en X.Sean ε > 0, n ∈ N. Existe δ > 0 tal que para toda pareja x, y ∈ X, si d1(x, y) < δ,

entonces d2(x, y) < ε.Sea A ⊂ X un conjunto (n, δ) generador para f : X → X, usando la metrica d1.

Para cada x ∈ X, existe a ∈ A tal que para toda i, 0 ≤ i ≤ n− 1,

d1(fi(x), f i((a)) < δ.

Entonces, para toda i, 0 ≤ i ≤ n− 1,

d2(fi(x), f i((a)) < ε.

Por tanto, A es un conjunto (n, ε) generador para f usando la metrica d2.Si la cardinalidad de A es el mınimo r(n, δ, d1), entonces

r(n, ε, d2) ≤ r(n, δ, d1).


lım supn→∞

1

nlog(r(n, ε, d2)) ≤ lım sup

n→∞

1

nlog(r(n, δ, d1)).

Es decir, r(ε, d2) ≤ r(δ, d1).Por lo tanto, para toda ε > 0, existe δ > 0 tal que

r(ε, d2) ≤ r(δ, d1) ≤ ent(f, d1).

Ası, ent(f, d2) ≤ ent(f, d1).De manera similar se prueba que ent(f, d1) ≤ ent(f, d2).

Proposicion 14.9. Si X tiene cardinalidad finita, entonces la entropıa de todafuncion f : X → X es cero.

Demostracion. Sea k la cardinalidad del espacio X. Para cada n ∈ N y ε > 0 setiene que r(n, ε) ≤ k. Por lo tanto r(ε) = 0, y ent(f) = 0.

De aquı en adelante consideramos que el espacio X es infinito.En cada espacio X la funcion identidad, id : X → X, tiene entropıa cero. La

Proposicion 14.10 contiene un resultado ligeramente mas general.

Proposicion 14.10. Sea X un espacio metico compacto. Si f : X → X es unaisometrıa, entonces ent(f) = 0.

Demostracion. Sean n ∈ N, ε > 0. Como X es compacto, existen k puntos,

a1, a2, . . . , ak ⊂ X

tales que X = ∪kj=1B(aj , ε).

Sea A = a1, a2, . . . , ak. Sea x ∈ X.Entonces existe 1 ≤ j ≤ k tal que d(x, aj) < ε.Como f es una isometrıa,

d(x, aj) < ε, d(f(x), f(aj)) < ε, . . . , d(fn−1(x), fn−1(aj)) < ε.

De aquı se sigue que A es un conjunto r(n, ε)-generador.Por lo tanto, r(n, ε) ≤ k, r(ε) = 0, y ent(f) = 0.

Cada rotacion definida en la circunferencia unitaria, f : S1 → S1, es una iso-metrıa. La entropıa de f es cero. La funcion sumadora τ : Σ2 → Σ2 es una isometrıa.Entonces ent(τ) = 0.


Definicion 14.11. Sean X un espacio metrico y compacto y f : X → X unafuncion continua. Decimos que f es equicontinua si para toda ε > 0, existe δ > 0tal que se cumple lo siguiente: Para todo par de puntos x, y ∈ X con d(x, y) < δ,se tiene que d(fn(x), fn(x)) < ε, para toda n ≥ 0.

Toda isometrıa f : X → X es una funcion equicontinua. (Gulp! y el recıproco?)

Proposicion 14.12. Si f : X → X es equicontinua, entonces ent(f) = 0.

Demostracion. Sı sale.

Presentamos ahora un segundo camino para calcular la entropıa de una funcion.Esta nueva vıa nos permitira, de manera sencilla, mostrar funciones con entropıapositiva, incluso funciones con entropıa infinita.

Sean X un espacio metrico y compacto y f : X → X una funcion continua. Seann ∈ N, ε > 0. Sea A ⊂ X. Decimos que A esta (n, ε)-separado si para todo par depuntos a, b ∈ A, a = b, existe k, 0 ≤ k ≤ n− 1, tal que d(fk(a), fk(b)) ≥ ε.

Sean n ∈ N, ε > 0. Sea x0 ∈ X.

Entonces A = x0 es un conjunto (n, ε) separado.Si X es no degenerado y ε ≤ diam(X), entonces existe un conjunto A ⊂ X,con dos elementos, que es (n, ε) separado.

La Proposiciones 14.13 y 14.15 muestran que hay una fuerte relacion entre con-juntos generadores y conjuntos separados.

Proposicion 14.13. Sean X un espacio metrico y compacto y f : X → X unafuncion continua. Sean n ∈ N, ε > 0. Todo conjunto que esta (n, ε)-separado tienecardinalidad finita. De hecho, la cardinalidad de cada uno de estos conjuntos estaacotada superiormente por el numero r(n, ε2 ).

Demostracion. Sean n ∈ N, ε > 0. Sea A un conjunto (n, ε)-separado.Sea

E = e1, e2, . . . , ekun conjunto (n, ε2 )-generador de cardinalidad mınima k = r(n, ε2 ).

Definimos a continuacion una funcion de A en E, φ : A→ E.Sea a ∈ A. Existe el ∈ E tal que para toda i, 0 ≤ i ≤ n− 1,

(36) d(f i(a), f i(el)) <ε

2.

Sea φ(a) el elemento de E que cumple (36) y tiene el ındice mas pequeno.Es inmediato que la funcion φ : A→ E esta bien definida.Demostramos ahora que φ es inyectiva.Sean a, b ∈ A tales que φ(a) = φ(b) = e, e ∈ E.Entonces, para toda i, 0 ≤ i ≤ n− 1, se tiene que

d(f i(a), f i(b)) ≤ d(f i(a), f i(e)) + d(f i(b), f i(e)) <ε

2+ε

2= ε.

De aquı se sigue que a = b.Por lo tanto, la cardinalidad de A es menor o igual a la cardinalidad de E.

Definicion 14.14. Sean X un espacio metrico y compacto y f : X → X unafuncion continua.

Sean n ∈ N, ε > 0. Denotamos con s(n, ε) la maxima cardinalidad posible de unconjunto (n, ε)-separado.


Proposicion 14.15. Sean X un espacio metrico y compacto, f : X → X unafuncion continua. Sean n ∈ N, ε > 0. Entonces r(n, ε) ≤ s(n, ε).

Demostracion. Sea A ⊂ X un conjunto (n, ε)-separado de f de cardinalidad s(n, ε).Mostraremos que A es un conjunto (n, ε)-generador.

Sea x ∈ X. Si x ∈ A, entonces hay un elemento en A que sigue muy bien laorbita de x.

Si x no es elemento de A, consideramos el conjunto B = A ∪ x.Como la cardinalidad de B es mayor que la cardinalidad de A, entonces B no

es un conjunto (n, ε)-separado. Existe una pareja de puntos a, b en B, a = b, talesque para toda i, 0 ≤ i ≤ n − 1, d(f i(a), f i(b)) < ε. Uno de estos puntos, digamosa, es elemento de A.

Como A es un conjunto (n, ε)-separado, entonces b /∈ A. Ası b = x.Por tanto, para toda i, 0 ≤ i ≤ n− 1, d(f i(a), f i(x)) < ε.Es decir, A es un conjunto (n, ε)-generador.Se sigue que r(n, ε) ≤ s(n, ε).

Sea ε > 0. Las Proposiciones 14.13 y 14.15 nos dicen que para toda n ∈ N setiene que

r(n, ε) ≤ s(n, ε) ≤ r(n,ε

2

).

De aquı se sigue que, para cada ε > 0,

r(ε) ≤ s(ε) ≤ r(ε2

)≤ ent(f),

donde

s(ε) = lım supn→∞

1

nlog(s(n, ε)).

Como la entropıa de f cumple ent(f) = lımε→0 r(ε), entonces obtenemos unanueva forma de calcular la entropıa, ahora a traves de conjuntos que estan (n, ε)-separados,

ent(f) = lımε→0

s(ε) = lımε→0

(lım supn→∞

1

nlog(s(n, ε))

).

Lema 14.16. Sean X un espacio metrico y compacto, f : X → X una funcioncontinua. Si existen dos subconjuntos cerrados de X, A0 y A1, distintos del vacıo,tales que

A0 ∪A1 ⊂ f(A0), y A0 ∪A1 ⊂ f(A1),

entonces para toda n ≥ 2 se cumple la siguiente condicion: Para todo vector de ncoordenadas,

t = (t0, t1, . . . , tn−1) ∈ Πn−1i=0 0, 1,

existe un conjunto cerrado J , contenido en At0 , tal que para toda i, 0 ≤ i ≤ n− 2,

f i(J) ⊂ Ati , y fn−1(J) = Atn−1.

Demostracion. Procedemos por induccion. Sean n = 2, t = (t0, t1) ∈ Π1i=00, 1.

Sea J = At0 ∩ f−1(At1). Como At1 ⊂ f(At0), entonces

J ⊂ At0 , y f(J) = At1 .

Suponemos la afirmacion cierta para n = k.Sean n = k + 1, t = (t0, t1, . . . , tk−1, tk) ∈ Πk

i=00, 1.


Sea L = Atk−1∩ f−1(Atk). Entonces,

L ⊂ Atk−1, y f(L) = Atk .

Por hipotesis de induccion, existe un conjunto cerrado J∗, contenido en At0 , talque para toda i, 0 ≤ i ≤ k − 2,

f i(J∗) ⊂ Ati , y fk−1(J∗) = Atk−1.

Sea J ⊂ J∗ tal que fk−1(J) = L. Entonces para toda i, 0 ≤ i ≤ k,

f i(J) ⊂ Ati ,

yfk(J) = f(fk−1(J)) = f(L) = Atk .

Con esto la demostracion esta completa. El Lema 14.16 es la herramienta principal en la demostracion de la Proposicion

14.17. Conviene tambien tener en cuenta que la cardinalidad del conjuto Πn−1i=0 0, 1,

para n ≥ 2, es 2n.

Proposicion 14.17. Sean X un espacio metrico y compacto, y f : X → X unafuncion continua. Si existen dos subconjuntos cerrados de X, A0 y A1, distintos delvacıo, con A0 ∩A1 = ∅, y tales que

A0 ∪A1 ⊂ f(A0) y A0 ∪A1 ⊂ f(A1),

entonces la entropıa de la funcion f es mayor o igual a log(2).

Demostracion. Seaε = mınd(a, b) : a ∈ A0, b ∈ A1.

Como A0 ∩A1 = ∅, entonces ε > 0.Sea n ≥ 2. Consideremos el conjunto E = Πn−1

i=0 0, 1.Por cada elemento t = (t0, t1, . . . , tn−1) ∈ E escogemos un punto xt ∈ At0 con

la propiedad de que para toda i, 0 ≤ i ≤ n − 1, f i(xt) ∈ Ati . Tal punto sı existegracias al Lemma 14.16.

Reuniendo todos estos puntos definimos el conjunto

A = xt : t = (t0, t1, . . . , tn−1) ∈ E .Observese que si t, s ∈ E, son dos n-adas tales que t = s, entonces existe i,

0 ≤ i ≤ n − 1, tal que ti = si. Por tanto a los puntos de A correspondientes, xt yxs, les sucede lo siguiente:

f i(xt) ∈ Ati , y f i(xs) ∈ Asi .

De aquı obtenemos, primero, que xt = xs, y, segundo, que d(fi(xt), f

i(xs)) ≥ ε.Por lo tanto A es un conjunto (n, ε)-separado para la funcion f .Como la cardinalidad de A es igual a la cardinalidad E igual a 2n, entonces

2n ≤ s(n, ε).Se sigue que

lım supn→∞

1

nlog(2n) ≤ lım sup

n→∞

1

nlog(s(n, ε)) = s(ε).

De aquı obtenemos que

log(2) ≤ s(ε) ≤ r(ε2

)≤ ent(f).

Por lo tanto, ent(f) ≥ log(2).


Una posible moraleja: Los conjuntos (n, ε)-separados nos ayudan a encontrarcotas inferiores de la entropıa.

No es difıcil convencerse de que el Lema 14.16 y la Proposicion 14.17 puedengeneralizarse para obtener resultados sobre la entropıa para cuando hay k ≥ 3conjuntos cerrados que cumplan las correspondientes versiones modificadas de sushipotesis. Esta convincente corazonada se resume en la proposicion 14.18. El lectorqueda invitado a ofrecer la demostracion correspondiente en el Ejercicio 133.

Proposicion 14.18. Sean X un espacio metrico y compacto, f : X → X unafuncion continua. Si existen k ≥ 3 subconjuntos cerrados de X, A1, A2, . . . , Ak,distintos del vacıo, ajenos entre sı por parejas, tales que

A1 ∪A1 ∪ · · · ∪Ak ⊂ f(A1) ∩ · · · ∩ f(Ak),

entonces la entropıa de la funcion f es mayor o igual a log(k).

La Proposicion 14.19 nos ofrece el primer ejemplo de una funcion con entropıapositiva.

Proposicion 14.19. La funcion corrimiento, σ : Σ2 → Σ2, tiene entropıa mayoro igual a log(2).

Demostracion. La idea es mostrar dos conjuntos cerrados que cumplan la hipotesisde la Proposicion 14.17.

Sean

[0] = t = (t0, t1, . . .) ∈ Σ2 : t0 = 0, y [1] = t = (t0, t1, . . .) ∈ Σ2 : t0 = 1.

Es inmediato que ambos son cerrados y ajenos entre sı.Ademas,

σ([0]) = Σ2, y σ([1]) = Σ2.

Por lo tanto, [0] ∪ [1] ⊂ σ([0]) ∩ σ([1]). Ası, ent(σ) ≥ log(2).

Mas adelante demostramos que la entropıa de σ es precisamente log(2).

Proposicion 14.20. Sean X un espacio metrico y compacto, y f : X → X unafuncion continua. Sea A ⊂ X un conjunto cerrado, distinto del vacıo, invariantebajo f . Entonces

ent(f) ≥ ent(f |A).

Demostracion. Sean n ∈ N, ε > 0. Sea E ⊂ A un conjunto (n, ε)-separado para lafuncion f |A : A→ A.

Observese que para cada pareja de puntos a, b ∈ E, a = b, existe i, 0 ≤ i ≤ n−1,tal que

d(f i(a), f i(b)) = d((f |A)i(a), (f |A)i(b)

)≥ ε.

Por tanto, E es un conjunto (n, ε)-separado para la funcion f : X → X.Se sigue que la cardinalidad de E esta acotada por s(n, ε, f).Ası,

s(n, ε, f |A) ≤ s(n, ε, f).

Tomando los lımites

lım supn→∞

1

nlog(s(n, ε, f |A)) ≤ lım sup

n→∞

1

nlog(s(n, ε, f)),


obtenemos que para cada ε > 0,

r(ε, f |A) ≤ s(ε, f |A) ≤ s(ε, f) ≤ r(ε2, f)≤ ent(f).

Por lo tanto, ent(f |A) ≤ ent(f).

Aquı van ejemplos de funciones definidas en el intervalo, f : [0, 1] → [0, 1], conentropıa positiva, y con entropıa infinita.

Comentario sobre la existencia de una sucesion de funciones con entropıa mayora log(2) que converge a la funcion identidad.

Comentario sobre existencia de funciones con entropıa positiva tales que ladinamica interesante ocurre en un conjunto de medida cero.

Lema 14.21. Sean an y bn dos sucesiones en R. Entonces

lım supn→∞

(an + bn) ≤ lım supn→∞

an + lım supn→∞

bn,

y

lım infn→∞

(an + bn) ≥ lım infn→∞

an + lım infn→∞

bn.

Definicion 14.22. Sean X un espacio metrico y compacto, y f : X → X unafuncion continua. Sea n ∈ N. Para cada par de puntos x, y ∈ X, sea

dn(x, y) = maxd(f i(x), f i(y)) : 0 ≤ i ≤ n− 1.

Proposicion 14.23. La funcion dn : X ×X → R, descrita en la Definicion 14.22,es una metrica. Ademas d y dn son equivalentes.

Demostracion. Sea

Sea n ∈ N. Sea A ⊂ X, A = ∅. El diametro de A, en la metrica dn, es el siguientevalor:

diamdn(A) = supdn(a, b) : a, b ∈ A.Sea ε > 0: La bola de radio ε alrededor del punto x ∈ X, en la metrica dn, la

denotamos ası:

B(x, ε, dn) = y ∈ X : dn(y, x) < ε.

Definicion 14.24. Sean X un espacio metrico y compacto, y f : X → X unafuncion continua. Sean n ∈ N y ε > 0. Sea D(n, ε) la mınima cardinalidad de unacoleccion de conjuntos abiertos de X, Γ = U1, U2, . . . , Uk, tal que

X = ∪kj=1Uj.

Para todo 1 ≤ j ≤ k, diamdn(Uj) < ε.

Observese que la mınima cardinalidad de las cubiertas abiertas Γ descritas en laDefinicion 14.24 sı existe ya que X es un espacio compacto.

Proposicion 14.25. Sean X un espacio metrico y compacto, y f : X → X unafuncion continua. Sea ε > 0. Entonces el siguiente lımite sı existe, es decir, es unnumero real,

D(ε) = lımn→∞

1

nlog(D(n, ε)).

Demostracion. Tiene que ver con sucesiones aditivas. Ver pagina 266 de [29] y ellibro [25].


Proposicion 14.26. Sean X un espacio metrico y compacto, y f : X → X unafuncion continua. Sea ε > 0. Entonces

lımε→0

D(ε) = lımε→0

(lım infn→∞

1

nlog(r(n, ε))

)= lım

ε→0

(lım supn→∞

1

nlog(r(n, ε))

)= ent(f).

Demostracion. Sean n ∈ N, ε > 0. Sea A ⊂ X un conjunto (n, ε)-generador para fde cardinalidad r(n, ε),

A = a1, a2, . . . , ak, k = r(n, ε).

Para cada punto x ∈ X, existe a ∈ A tal que para toda i, 0 ≤ i ≤ n− 1,

d(f i(x), f i(a)) < ε.

Es decir, dn(x, a) < ε. Por lo tanto la coleccion

Γ = B(aj , ε, dn) : 1 ≤ j ≤ kes una cubierta abierta de X formada con elementos de diametro, en la metrica dn,menor que 2ε.


(37) D(n, 2ε) ≤ r(n, ε).

Ahora mostraremos que r(n, ε) ≤ D(n, ε).Sea Γ = U1, U2, . . . , Um una cubierta abierta de X formada por conjuntos de

diametro, en la metrica dn, menor que ε, y tal que m = D(n, ε).Por cada 1 ≤ j ≤ m, sea bj ∈ Uj . Sea B = b1, b2, . . . , bm.Sea x ∈ X. Como X = ∪m

j=1Uj , existe j tal que x ∈ Uj .Entonces dn(x, bj) < ε. Es decir, para toda i, 0 ≤ i ≤ n− 1,

d(f i(x), f i(bj)) < ε.

Por lo tanto B es un conjunto (n, ε)-generador. Con lo cual se concluye que

(38) r(n, ε) ≤ card(B) ≤ D(n, ε).

De (37) y (38) obtenemos lo siguiente:

D(2ε) = lımn→∞

1

nlog(D(n, 2ε)) ≤ lım inf

n→∞

1

nlog(r(n, ε))

≤ lım supn→∞

1

nlog(r(n, ε)) ≤ lım

n→∞

1

nlog(D(n, ε)) = D(ε).

Y, con ello,

(39) D(2ε) ≤ lım infn→∞

1

nlog(r(n, ε)) ≤ r(ε) ≤ D(ε).

Ası, para todo ε > 0 se tiene que

r(ε) ≤ D(ε) ≤ r(ε2

)≤ ent(f).

Por lo tanto, lımε→0D(ε) = ent(f), y, claro, lımε→0D(2ε) = ent(f).De (39) tambien se concluye que

lımε→0

(lım infn→∞

1

nlog(r(n, ε))

)= lım

ε→0

(lım supn→∞

1

nlog(r(n, ε))

)= ent(f).


Con estas ultimas igualdades la demostracion esta completa.

En el camino que seguimos para definir la entropıa de f pasamos por el lım supde una expresion donde aparece r(n, ε). La Proposicion 14.26 nos dice que podemosseguir un camino muy similar, pero ahora pasando por el lım inf.

Esa proposicion no dice que estos dos lımites sean iguales. Sı dice que, luego deaplicar el lımite cuando el valor positivo ε tiende a cero, arribamos a un mismolugar, a la entropıa de f .

Este descubrimiento sobre el papel del lım inf en la definicion de la entropıano se restringe solo para cuando trabajamos con conjuntos (n, ε)-generadores, yel valor r(n, ε), sino que tambien se presenta para cuando utilizamos conjuntos(n, ε)-separados. La situacion correspondiente se describe en el Corolario 14.27.

Corolario 14.27. Sean X un espacio metrico y compacto, f : X → X una funcioncontinua. Entonces

lımε→0

(lım infn→∞

1

nlog(s(n, ε))

)= lım

ε→0

(lım supn→∞

1

nlog(s(n, ε))

)= ent(f).

Demostracion. Sean n ∈ N, ε > 0.Las siguientes relaciones son inmediatas:

lım infn→∞

1

nlog(r(n, ε)) ≤ lım inf

n→∞

1

nlog(s(n, ε)) ≤ lım sup

n→∞

1

nlog(s(n, ε)).

Al aplicar el lımite cuando ε tiende a cero, obtenemos

ent(f) = lımε→0

(lım infn→∞

1

nlog(s(n, ε))

)= lım

ε→0(s(ε)) = ent(f).

La demostracion esta completa.

Proposicion 14.28. Sean X un espacio metrico y compacto, f : X → X unafuncion continua. Sea m ∈ N. Entonces ent(fm) = m · ent(f).

Demostracion. Demostramos primero que ent(fm) ≤ m · ent(f).Sean n ∈ N, ε > 0. Sea A ⊂ X un conjunto (mn, ε)-generador para la funcion f

de cardinalidad r(mn, ε, f).Sea x ∈ X. Existe a ∈ A tal que para toda i, 0 ≤ i ≤ mn−1, d(f i(x), f i(a)) < ε.Entonces,

d(x, a) < ε, d(fm(x), fm(a)) < ε, . . . , d(fmn−m(x), fmn−m(a)) < ε.

Es decir, para toda i, 0 ≤ i ≤ n− 1, d((fm)i(x), (fm)i(a)) < ε.Entonces A es un conjunto (n, ε)-generador para la funcion fm.Esto nos da la siguiente relacion:

r(n, ε, fm) ≤ card(A) = r(mn, ε, f).

Entrando a la zona de los lımites, obtenemos

lım supn→∞

1

nlog(r(n, ε, fm)) ≤ lım sup

n→∞

1

nlog(r(mn, ε, f))

= lım supn→∞

m

(1

mn

)log(r(mn, ε, f))

≤ m · lım supj→∞

1

jlog(r(j, ε, f)) = m · r(ε, f).


Por lo tanto, para todo ε > 0 se tiene que

r(ε, fm) ≤ m · r(ε, f) ≤ m · ent(f).Ası, ent(fm) ≤ m · ent(f).Ahora demostramos que m · ent(f) ≤ ent(fm).Sean n ∈ N, ε > 0.Como las funciones f i, 0 ≤ i ≤ m−1, son uniformemente continuas en X, existe

0 < δ < ε tal que para toda pareja de puntos x, y ∈ X, si d(x, y) < δ, entonces

d(f j(x), f j(y)) < ε, 0 ≤ j ≤ m− 1.

Sea A ⊂ X un conjunto (n, δ)-generador para la funcion fm tal que su cardina-lidad sea r(n, δ, fm).

Sea x ∈ X. Existe a ∈ A tal que

d(x, a) < δ, d(fm(x), fm(a)) < δ, . . . , d((fm)n−1(x), (fm)n−1(a)) < δ.

Entonces, para toda i, 0 ≤ i ≤ mn− 1, se tiene que d(f i(x), f i(a)) < ε.Es decir, A es un conjunto (mn, ε)-generador para la funcion f .Se sigue que

r(mn, ε, f) ≤ card(A) = r(n, δ, fm).

De la siguiente cadena de relaciones,

m · lım infj→∞

1

jlog(r(j, ε, f)) ≤ m · lım inf

n→∞

1

mnlog(r(mn, ε, f))

= lım infn→∞

1

nlog(r(mn, ε, f)) ≤ lım inf

n→∞

1

nlog(r(n, δ, fm)),

≤ lım supn→∞

1

nlog(r(n, δ, fm)) = r(δ, fm),

obtenemos,


1

jlog(r(j, ε, f)) ≤ r(δ, fm) ≤ ent(fm).

Es decir, para todo ε > 0 se tiene que


1

jlog(r(j, ε, f)) ≤ ent(fm).

Aplicando el lımite cuando ε tiende a 0 obtenemos

m · ent(f) ≤ ent(fm).

Por lo tanto, m · ent(f) = ent(fm).

Proposicion 14.29. Sean X y Y espacios metricos compactos. Sean f : X → X,y g : Y → Y funciones continuas. Entonces ent(f × g) = ent(f) + ent(g).

Demostracion. Demostramos primero que ent(f × g) ≤ ent(f) + ent(g).Sean n ∈ N, ε > 0. Sean A ⊂ X y B ⊂ X conjuntos (n, ε)-generadores para las

funciones f y g, respectivamente, tales que

card(A) = r(n, ε, f), y card(B) = r(n, ε, g).

Lo siguiente argumenta que A×B ⊂ X×Y es un conjunto (n, ε)-generador parala funcion f × g.

Sea (x, y) ∈ X × Y . Existen a ∈ A, b ∈ B, tales que para toda i, 0 ≤ i ≤ n− 1,

dX(f i(x), f i(a)) < ε, y dY (gi(y), gi(b)) < ε,


donde dX y dY son las metricas en X y Y , respectivamente.Entonces, para toda i, 0 ≤ i ≤ n− 1,

dX×Y ((f × g)i(x, y), (f × g)i(a, b)) < ε.

Se sigue que

r(n, ε, f × g) ≤ card(A×B) = r(n, ε, f) · r(n, ε, g).Por tanto,

lım supn→∞

1

nlog(r(n, ε, f × g)) ≤ lım sup

n→∞

1

nlog(r(n, ε, f) · r(n, ε, g))

= lım supn→∞

1

n(log(r(n, ε, f) + log(r(n, ε, g))))

≤ lım supn→∞

1

nlog(r(n, ε, f)) + lım sup

n→∞

1

nlog(r(n, ε, g)).

De lo cual se sigue que, para toda ε > 0,

r(ε, f × g) ≤ r(ε, f) + r(ε, g) ≤ ent(f) + ent(g).

Por lo tanto, ent(f × g) ≤ ent(f) + ent(g).Ahora demostramos que ent(f × g) ≥ ent(f) + ent(g).Sean n ∈ N, ε > 0.Sean A ⊂ X y B ⊂ Y conjuntos (n, ε)-separados para las funciones f y g,

respectivamente, tales que

card(A) = s(n, ε, f) y card(B) = s(n, ε, g).

Demostramos primero que A×B ⊂ X × Y es un conjunto (n, ε)-separado parala funcion f × g.

Sean (a1, b1) y (a2, b2) dos elementos del conjunto A × B tales que (a1, b1) =(a2, b2).

Si a1 = a2, existe 0 ≤ i ≤ n− 1 tal que dX(f i(a1), fi(a2)) ≥ ε.

Si b1 = b2, existe 0 ≤ i ≤ n− 1 tal que dY (gi(b1), g

i(b2)) ≥ ε.

Es decir, existe 0 ≤ i ≤ n− 1 tal que

dX×Y ((f × g)i((a1, b1)), (f × g)i((a2, b2))) ≥ ε.

Por tanto, A×B es un conjunto (n, ε)-separado para f × g.De aquı se sigue que para cada n ∈ N, ε > 0,

s(n, ε, f × g) ≥ card(A×B) = card(A) · card(B) = s(n, ε, f) · s(n, ε, g).En la zona de los lımites inferiores obtenemos las siguientes relaciones:

lım infn→∞

1

nlog(s(n, ε, f × g)) ≥ lım inf

n→∞

1

nlog(s(n, ε, f) · s(n, ε, g))

= lım infn→∞

(1

nlog(s(n, ε, f)) +

1

nlog(s(n, ε, g))

)≥ lım inf

n→∞

1

nlog(s(n, ε, f)) + lım inf

n→∞

1

nlog(s(n, ε, g)).

Y cuando ε tiende a cero, llegamos a lo siguiente:

ent(f × g) = lımε→0

(lım infn→∞

1

nlog(s(n, ε, f × g))

)


≥ lımε→0

(lım infn→∞

1

nlog(s(n, ε, f))

)+ lım

ε→0

(lım infn→∞

1

nlog(s(n, ε, g))

)= ent(f) + ent(g).

Ası, ent(f × g) ≥ ent(f) + ent(g).Por lo tanto, ent(f × g) = ent(f) + ent(g). La demostracion de la primera parte del Corolario 14.30 es inmediata. La de-

mostracion de la segunda parte requiere de un argumento inductivo cuyo desarrollose deja al lector. Ver Ejercicio 141.

Corolario 14.30. Sean X un espacio metrico compacto y f : X → X una funcioncontinua tal que el valor de su entropıa no es infinito. Entonces

ent(f × f) = 2 · ent(f).Para cada k ∈ N se tiene que ent(f×k) = k · ent(f).

EjerciciosTodas las funciones consideradas en esta parte son continuas. La letraX = (X, d)

representa un espacio metrico y compacto.

Ejercicio 127. Sean f : X → X, x0 ∈ X. Si para toda x ∈ X se tiene quef(x) = x0, entonces la entropıa de f es cero.

Ejercicio 128. Dar los detalles faltantes en la demostracion de la Proposicion14.3.

Ejercicio 129. Sean f : X → X, x, y ∈ X, n ∈ N, n fijo. Sea

dn(x, y) = maxd(f i(x), f i(y)) : 0 ≤ i ≤ n− 1.Demostrar lo siguiente:

dn : X ×X → R es una metrica.Las metricas d y dn son equivalentes.

Ejercicio 130. Demostrar la Afirmacion 14.7.

Ejercicio 131. Sea f : [0, 1] → [0, 1]. Demostrar que si f tiene un punto periodicode periodo 3, entonces ent(f) es positiva.

Ejercicio 132. Sea T : [0, 1] → [0, 1] la funcion Tienda. Demostrar que existeδ > 0 tal que para toda f : [0, 1] → [0, 1] con d(f, T ) < δ se tiene que f tieneentropıa positiva. Sugerencia. Ejercicio 44.


Ejercicio 134. Sea f [−1, 1] → [−1, 1] la funcion lineal por partes definida porf(−1) = 0, f(− 1

2 ) = −1, f(0) = 0, f( 12 ) = 1, f(1) = 0.

Mostrar un conjunto A ⊂ [−1, 1] tal que f es internamente transitiva porcadenas en A, y A no es elemento del hiperespacio ω(f).¿Tiene f la propiedad de la sombra?Calcular la entropıa de f .

Ejercicio 135. Sea

X =

1

2n: n ≥ 0

∪ 0 .

Sea f : X → X la restriccion f = T |X , donde T : [0, 1] → [0, 1] es la funcionTienda.


Calcular ent(f).Demostrar que ent(2f ) ≥ log(2).

Ejercicio 136. Sea

F = f : [0, 1] → [0, 1] : f continua en [0, 1].

Sea φ : F → R ∪ ∞, la funcion que a cada f ∈ F le asigna su entropıa,φ(f) = ent(f). Sea id : [0, 1] → [0, 1] la funcion identidad. Demostrar que existeuna sucesion en F , fn, tal que para toda n ∈ N, ent(fn) ≥ log(2) y

lımn→∞

fn = id.

Es decir, φ no es continua en id.

Ejercicio 137. Mostrar, si es que existe, una familia de funciones gn : Σ2 → Σ2tal que:

Para toda n ∈ N, ent(gn) = log(2).Cuando n→ ∞, gn converge a la identidad, id : Σ2 → Σ2.

Dar las definiciones pertinentes para que este ejercicio tenga sentido.

Ejercicio 138. Sea g : Σ2 → Σ2 la funcion intercaladora de ceros. Para cadat ∈ Σ2, t = (t0, t1, t2, . . .),

g(t) = (t0, 0, t1, 0, t2, 0, . . .).

Sea X = g(Σ2) ∪ σ(g(Σ2)). Sea f : X → X la restriccion del shift σ al conjuntoX.

Demostrar que g : Σ2 → Σ2 es continua.Calcular ent(f).

Ejercicio 139. Para cada n ≥ 3, n ∈ N, mostrar un espacio X y una funcion

f : X → X tal que ent(f) = log(2)n .

Ejercicio 140. Mostrar un espacio X y una funcion f : X → X tal que ent(f) > 0y Per(f) = ∅.

Ejercicio 141. Demostrar el Corolario 14.30.

Ejercicio 142. Mostrar un conjunto A ⊂ Σ2 cerrado, no vacıo e invariante bajoel corrimiento σ : Σ2 → Σ2 tal que 0 < ent(σ|A) < log(2). Sugerencia. Un posiblecamino es encontrar A ⊂ Σ2 tal que

σ2|A : A→ A y σ : Σ2 → Σ2

sean topologicamente conjugadas.

Ejercicio 143. Sea n ∈ N, un numero natural fijo. Sea h : Σ2 → Σ2 la funcionque a cada t ∈ Σ2, t = (t0, t1, t2, . . .), lo modifica de la siguiente forma:

h(t0, t1, t2, . . . , tn, tn+1, . . .) = (t1, t2, . . . , tn, t0, tn+1, . . .).

Es decir, h permuta las primeras n+1 coordenadas de t ∈ Σ2, moviendo el dato t0de la posicion 0 a la posicio n + 1, recorriendo los otros datos, y dejando intactaslas coordenadas restantes.


h : Σ2 → Σ2 es un homeomorfismo.


La iteracion n + 1 de h es la funcion identidad en Σ2, hn+1 = id. Por lo

tanto la entropıa de h : Σ2 → Σ2 es cero.La distancia entre el shift σ y h, d(σ, h), es igual a 1

2n−1 .Existe una sucesion de homeomorfismos hn : Σ2 → Σ2 : n ∈ N tal que paratoda n ∈ N, ent(hn) = 0, y el lımite cuando n tiende a infinito de d(σ, hn)es cero.

ComentariosRelacionar entropıas de f , Fn(f), 2

f y C(f).


15. Funciones turbulentas

Sea f : [0, 1] → [0, 1]. Decimos que f es turbulenta si existen dos intervaloscerrados, J,K ⊂ [0, 1], no degenerados, con a lo mas un punto en comun, tales que

(J ∪K) ⊂ f(J) ∩ f(K).

La funcion Tienda, T : [0, 1] → [0, 1], es turbulenta. Los intervalos J = [0, 12 ] y

K = [ 12 , 1] cumplen la condicion requerida.

Lema 15.1. Sea f : [0, 1] → [0, 1]. Si f es turbulenta, entonces f tiene mas de unpunto fijo.

Lema 15.2. Sea f : [0, 1] → [0, 1]. Si f es turbulenta, entonces f tiene puntosperiodicos de todos los periodos.

Lema 15.3. Sea f : [0, 1] → [0, 1] una funcion continua y suprayectiva. Entonces

f2 tiene mas de un punto fijo.La cardinalidad de Ω(f) es mayor o igual a 2. Tal vez, cardinalidad de ω(f)es mayor o igual a 2.

Lema 15.4. Sea f : [0, 1] → [0, 1] una funcion continua. Si todo punto del intervalo[0, 1] es recurrente por cadenas, CR(f) = [0, 1], entonces una y solo una de lassiguientes tres condiciones se cumple:

f es la funcion identidad.f tiene exactamente un punto fijo.f es turbulenta.

Corolario 15.5. Sea f : [0, 1] → [0, 1] una funcion continua y transitiva.

Entonces f2 es turbulenta.f tiene un punto periodico de periodo 6.

Corolario 15.6. Sea f : [0, 1] → [0, 1] una funcion continua. Si Per(f) es densoen [0, 1] y f no es un homeomorfismo, entonces f2 es turbulenta.

Lema 15.7. Sea f : [0, 1] → [0, 1]. Si existe un intervalo [a, b] ⊂ [0, 1] tal que [a, b] ⊂(c, d), donde [c, d] = f([a, b]), entonces la funcion inducida a los subcontinuos de[0, 1], C(f) : C([0, 1]) → C([0, 1]), no es transitiva por cadenas.

Proposicion 15.8. Sea f : [0, 1] → [0, 1]. Si f2 no es la funcion identidad, entoncesC(f) : C([0, 1]) → C([0, 1]), no es transitiva por cadenas.



Ejercicio 144. Sea f : [0, 1] → [0, 1]. Si f es turbulenta, entonces para toda n ∈ N,se tiene que fn : [0, 1] → [0, 1] es turbulenta.

Ejercicio 145. Sean f : [0, 1] → [0, 1], x0 ∈ [0, 1]. Sea, para cada n ∈ N, xn =fn(x0). Demostrar que si una de las siguientes dos condiciones se cumple:

x2 < x0 < x1, y para todo n ≥ 2, xn = x2,x1 < x0 < x2, y para todo n ≥ 2, xn = x2,

entonces f es turbulenta. Ver figura 3 en la pagina 3.

Ejercicio 146. Sea f : [0, 1] → [0, 1]. Demostrar lo siguiente:


Si f tiene un punto periodico de periodo 3, entonces f es turbulenta.Si f tiene un punto periodico cuyo periodo no es potencia de 2, entonces exis-te N ∈ N tal que fN : [0, 1] → [0, 1] es turbulenta. Sugerencia. El Teoremade Sharkovskii puede ser util, 3.5, pagina 14.

Comentarios


16. Lımites inversos

Sea X = (X, d) un espacio metrico, compacto y tal que diam(X) = 1. El pro-ducto cartesiano infinito numerable donde todos los factores son X es el espacio

∞∏n=0

X = x = (x0, x1, x2, . . .) : xn ∈ X, para cada n ≥ 0 .

Denotamos el espacio∞∏

n=0X con el sımbolo X∞.

Sean x = (x0, x1, x2, . . .) ,y = (y0, y1, y2, . . .) ∈ X∞. Sea

(40) d (x,y) =

∞∑n=0

d(xn, yn)

2n.

La igualdad (40) define una metrica en X∞.El espacio X∞ es compacto.Sea k ∈ N. La funcion πk : X∞ → X dada por

πk(x0, x1, x2, . . .) = xk

es conocida como la k-proyeccion. Cada πk es una funcion continua.Sea f : X → X una funcion continua. El subconjunto del espacio X∞,

lım←

X, f = x = (x0, x1, x2, . . .) ∈ X∞ : xn = f(xn+1), para cada n ≥ 0 ,

es conocido como el lımite inverso inducido por f . Para simplificar un poco lanotacion, usaremos en esta seccion el sımbolo (X, f) al referirnos a este conjunto.

Proposicion 16.1. Sea f : X → X una funcion continua y X un espacio metricoy compacto. Entonces

(X, f) = ∅.(X, f) es un subconjunto cerrado de X∞. Por lo tanto (X, f) es un conjuntocompacto.Si X es un continuo, entonces (X, f) es un continuo.

Lema 16.2. Sean f : X → X una funcion continua, (X, f) el lımite inversoinducido por f , ε > 0. Entonces existen N ∈ N, δ > 0 tales que para toda parejade puntos x = (x0, x1, x2, . . .) ,y = (y0, y1, y2, . . .), en (X, f), si d(xN , yN ) < δ,entonces d(x,y) < ε.

Demostracion. Sea N ∈ N tal que∑∞

n=N+112n < ε

2 . Como las funciones f i, 0 ≤ i ≤N , son funciones continuas en X, existe δ > 0 tal que para toda pareja u, v ∈ X ypara toda i, 0 ≤ i ≤ N , d(u, v) < δ implica d(f i(u), f i(v)) < ε

4 .Sean x = (x0, x1, x2, . . .) ,y = (y0, y1, y2, . . .) ∈ (X, f) tales que d(xN , yN ) < δ.

Entonces,

d (x,y) =

N∑n=0

d(xn, yn)

2n+

∞∑n=N+1

d(xn, yn)

2n<

N∑n=0

d(xn, yn)

2n+ε

2.

Para cada n, 0 ≤ n ≤ N , xn = fN−n(xN ), yn = fN−n(yN ). Entonces,

d (x,y) =ε

4·

N∑n=0

1

2n+ε

2<ε

4· 2 + ε

2= ε.


Como el espacio (X, f) es un subconjunto de X∞, la restriccion pk = πk|(X,f) esla proyeccion de (X, f) al espacio base X, pk : (X, f) → X. Ademas se tiene que sif : X → X es suprayectiva, entonces para toda k ≥ 0, pk tambien es suprayectiva.

Cada f : X → X induce una funcion del lımite inverso en sı mismo, f : (X, f) →(X, f), dada por

(41) f (x0, x1, x2, . . .) = (f(x0), f(x1), f(x2), . . .) = (f(x0), x0, x1, . . .) .

La proposicion 16.3 nos dice que esta nueva funcion se comporta muy bien.Resulta que si f : X → X es continua y suprayectiva, entonces f : (X, f) → (X, f)es un homeomorfismo. Por otro lado, es inmediato que para todo punto x ∈ (X, f)se tiene que p0(f(x)) = f(p0(x)). Ası f : X → X es un factor de f : (X, f) → (X, f).Esto permite descubrir que ambas funciones, f y f, comparten muchas propiedadesdinamicas, con la ventaja de que f es, como dijimos, un homeomorfismo.

Proposicion 16.3. Sean f : X → X una funcion continua y suprayectiva, (X, f)el lımite inverso inducido por f . Sea f : (X, f) → (X, f) la funcion inducida por fen (X, f). Entonces f : (X, f) → (X, f) es un homeomorfismo.

Demostracion. Mmhh. Proposicion 16.4. Sean f : X → X una funcion continua y suprayectiva, (X, f)el lımite inverso inducido por f . Sea f : (X, f) → (X, f) la funcion inducida porf en (X, f). Si f es transitiva, debilmente mezclante, o mezclante, entonces f estransitiva, debilmente mezclante, o mezclante, respectivamente.

Demostracion. Mmhh. Proposicion 16.5. Sea f : [0, 1] → [0, 1] una funcion continua y suprayectiva. Sif tiene un punto periodico de periodo 3, entonces el lımite inverso inducido por fcontiene un subcontinuo indescomponible.

Demostracion. Mmhh. Proposicion 16.6. Sea f : X → X una funcion continua y suprayectiva. Entoncespara toda N ∈ N se tiene que los lımites inversos inducidos por f y la iteracionfN , (X, f), (X, fN ), son espacios homeomorfos.

Demostracion. Mmhh. Corolario 16.7. Sea f : [0, 1] → [0, 1] una funcion continua y suprayectiva. Si ftiene un punto periodico de periodo no potencia de 2, entonces el lımite inversoinducido por f contiene un subcontinuo indescomponible.

Demostracion. Mmhh. Proposicion 16.8. Sea f : [0, 1] → [0, 1] una funcion continua. Si f es mezclante,entonces el lımite inverso inducido por f es un continuo indescomponible.

Demostracion. Mmhh. Proposicion 16.9. Sea f : [0, 1] → [0, 1] una funcion continua. Si f es transitiva,entonces una de las siguientes dos opciones se cumple:

f es mezclante.Existe c, 0 < c < 1, tal que f([0, c]) = [c, 1] y f([c, 1]) = [0, c]. Ademas,la restriccion correspondiente de la iteracion f2 es mezclante, tanto en elintervalo [0, c], como en el intervalo [c, 1].


Demostracion. Mmhh. Corolario 16.10. Sea f : [0, 1] → [0, 1] una funcion continua. Si f es transitiva,entonces una de las siguientes dos opciones se cumple:

El lımite inverso ([0, 1], f) es un continuo indescomponible.Existen A y B, dos subcontinuos propios del lımite inverso ([0, 1], f) talesque cada uno de ellos es indescomponible, y ([0, 1], f) = A ∪B.

Demostracion. Mmhh. Proposicion 16.11. Sean f : X → X una funcion continua y suprayectiva, (X, f)el lımite inverso inducido por f . Sea f : (X, f) → (X, f) la funcion inducida porf en (X, f). Si f tiene la propiedad del sombreado, entonces f tambien tiene lapropiedad del sombreado.

Demostracion. Mmhh. Como la funcion Tienda, T : [0, 1] → [0, 1] es mezclante y tiene la propiedad del

sombreado, entonces la funcion inducida al lımite inverso, T : ([0, 1], T ) → ([0, 1], T )es un homeomorfismo mezclante con la propiedad del sombreado.

El Cubo de Hilbert es el producto cartesiano infinito numerable donde todos losfactores son el intervalo unitario [0, 1],

Q =

∞∏n=0

[0, 1] = t = (t0, t1, t2, . . .) : tn ∈ [0, 1] , para cada n ≥ 0 .

La metrica en Q esta dada por:

d (t, s) =

∞∑n=0

d(tn, sn)

2n,

donde t = (t0, t1, t2, . . .), s = (s0, s1, s2, . . .), y d representa la metrica usual en elintervalo [0, 1].

El Cubo de Hilbert es compacto, conexo y de dimension infinita (ver [41]).Sea σ : Q → Q la funcion dada por

σ (t0, t1, t2, . . .) = (t1, t2, t3, . . .) .

Esta funcion es continua en Q.EjerciciosTodas las funciones consideradas en esta parte son continuas. La letra X repre-


Ejercicio 147. Mostrar, para cada n ∈ N, un conjunto An ⊂ Q, tal que diam(An) <1n , y An y Q son homeomorfos.

Comentarios


17. Parejas proximas y puntos distantes

Sea X = (X, d) un espacio metrico compacto, y sea f : X → X una funcioncontinua de este espacio en sı mismo. Dados x0 en X y ε > 0, B(x0, ε) representala bola abierta con centro en x0 y radio ε.

Sean x, y ∈ X. Decimos que y es punto lımite de la orbita de x,

o(x, f) = x, f(x), f2(x), f3(x), . . .,

si existe una sucesion estrictamente creciente ni ⊂ N tal que

lımi→∞

fni(x) = y.

La coleccion de todos los puntos lımite es el omega conjunto lımite de x bajo f ,

ω(x, f) = y ∈ X : y es punto lımite de o(x, f).

Sea A ⊂ X. Decimos que A es invariante bajo la funcion f si f(A) ⊂ A. Decimosque A es fuertemente invariante bajo f si f(A) = A.

Observacion 17.1. Sea x ∈ X. Las siguientes propiedades se cumplen.

ω(x, f) es un conjunto cerrado, distinto del vacıo.ω(x, f) es fuertemente invariante bajo f : X → X.Para toda k ∈ N, ω(x, f) = ω(fk(x), f).Para todo conjunto abierto U ⊂ X con la propiedad ω(x, f) ⊂ U , se tieneque existe N ∈ N tal que para toda n ≥ N , fn(x) ∈ U .

En el producto X ×X consideramos la metrica

d((x, y), (u, v)) = maxd(x, u), d(y, v).

La funcion f × f : X ×X → X ×X esta dada por

(f × f)(a, b) = (f(a), f(b)).

Definicion 17.2. Sea X un espacio metrico compacto, y sea f : X → X unafuncion continua. Sea (x, y) ∈ X × X. Decimos que la pareja (x, y) es proximalbajo la funcion f si

lım infd(fn(x), fn(y)) : n ∈ N = 0.

SeanProx(f) = (x, y) ∈ X ×X : (x, y) es proximal,

∆ = (x, y) ∈ X ×X : x = y.

Observacion 17.3. Las siguientes condiciones se cumplen.

∆ ⊂ Prox(f).(x, y) ∈ Prox(f) si y solo si (y, x) ∈ Prox(f).La pareja (x, y) ∈ Prox(f) si y solo si existe una sucesion estrictamentecreciente ni ⊂ N tal que lımi→∞ d(fni(x), fni(y)) = 0.Si (x, y) ∈ Prox(f), entonces ω(x, f) ∩ ω(y, f) = ∅.La pareja (x, y) es proximal si y solo si ω((x, y), f × f) ∩∆ = ∅.Si (x, y) ∈ Prox(f), entonces (f(x), f(y)) ∈ Prox(f).Si la funcion f : X → X es suprayectiva, entonces

(f × f)(Prox(f)) = Prox(f).


Definicion 17.4. Sea x ∈ X. Decimos que x es un punto distal bajo f si paracada punto y ∈ X, con (x, y) ∈ Prox(f), se tiene que x = y. Es decir, la unicapareja proximal que el punto x puede formar es la pareja (x, x).

De la Definicion 17.4 se sigue que si x0 ∈ X es un punto distal, entonces

(x0, y) : y ∈ X ∩ Prox(f) = (x0, x0).Si y = x0, entonces ω((x0, y), f × f) ∩∆ = ∅.

Definicion 17.5. Sea X un espacio metrico compacto, y sea f : X → X unafuncion continua. Sea A ⊂ X, A = ∅, un conjunto cerrado e invariante bajo f .Decimos que A es un conjunto minimal de f si para todo subconjunto cerradoB ⊂ A, B = ∅, tal que f(B) ⊂ B, se tiene que B = A.

Observacion 17.6. Sea A ∈ 2X , un conjunto invariante bajo f .

A es un conjunto minimal de f si y solo si para toda x ∈ A, ω(x, f) = A.Sea x0 ∈ X. El conjunto ω(x0, f) es minimal si y solo si para todo y ∈ω(x0, f) se tiene que ω(y, f) = ω(x0, f). En particular, si ω(x0, f) es minimalentonces

f |ω(x0,f) : ω(x0, f) → ω(x0, f)

es transitiva.

Definicion 17.7. Sea X un espacio metrico compacto, y sea f : X → X unafuncion continua. Decimos que f es una funcion minimal si X es un conjuntominimal de f . Es decir, si para todo x ∈ X, ω(x, f) = X.

La demostracion del siguiente resultado se puede consultar en [13].

Teorema 17.8. Sean X un espacio metrico compacto, y f : X → X una funcioncontinua. Sea A ⊂ X un conjunto cerrado distinto del vacıo. Si f(A) ⊂ A, entoncesexiste un conjunto cerrado, no vacıo, B ⊂ A, tal que B es minimal bajo f .

Corolario 17.9. Sea X un espacio metrico compacto, y sea f : X → X unafuncion continua. Para todo x ∈ X, existe un conjunto minimal bajo f , digamosA, tal que A ⊂ ω(x, f).

En 1960 Joseph Auslander demostro el resultado contenido en la Proposicion17.10. Ver [4].

Proposicion 17.10. Sea X un espacio metrico compacto, y sea f : X → X unafuncion continua. Para todo punto x ∈ X, existe z ∈ X tal que se cumplen lassiguientes tres condiciones:

(x, z) ∈ Prox(f).z ∈ ω(z, f).El conjunto ω(z, f) es minimal.

Observacion 17.11. Si x y z son dos puntos en X que cumplen las condiciones dela Proposicion 17.10, entonces ω(z, f) ⊂ ω(x, f).

Corolario 17.12. Sea X un espacio metrico compacto, y sea f : X → X unafuncion continua. Si x0 ∈ X es un punto distal de f , entonces x0 ∈ ω(x0, f) yω(x0, f) es minimal.


Demostracion. Sea x0 ∈ X un punto distal de f . Por la Proposicion 17.10, existez ∈ X tal que (x0, z) ∈ Prox(f), z ∈ ω(z, f), y el conjunto ω(z, f) es minimal.

Como x0 es un punto distal de f , entonces se tiene que x0 = z. La demostracionesta completa.

Definicion 17.13. Sea X un espacio metrico compacto, y sea f : X → X unafuncion continua. Decimos que f : X → X es distal si todo punto x ∈ X es unpunto distal bajo f .

Observacion 17.14. Sea X un espacio metrico compacto, y sea f : X → X unafuncion continua. Las siguientes afirmaciones son inmediatas:

Si f es distal, entonces ∆ = Prox(f).Si f es una isometrıa, entonces f es distal.Si existe N ∈ N tal que fN es la funcion identidad, fN = idX , entonces fes distal.Si todo punto de X es periodico, Per(f) = X, entonces f es distal.

Ejemplo 17.15. Sea D = z ∈ C : |z| ≤ 1. La funcion f : D → D dada por

f(z) = f(reiθ) = rei(θ+2π·r)

es distal.

Demostracion. Sea z ∈ D. Sea u ∈ D, u = z.Si z y u estan en la misma circunfernecia Sr, entonces para toda n ∈ N , se tiene

que

d(fn(z), fn(u)) = d(z, u).

Si z ∈ Sr y u ∈ St con r = t, entonces toda n ∈ N , se tiene que

d(fn(z), fn(u)) ≥ |r − t|.

En ambos casos, la pareja (z, u) no es proximal.

Corolario 17.16. Sea X un espacio metrico compacto, y sea f : X → X unafuncion continua. Si f es distal, entonces f es un homeomorfismo.

Demostracion. Sea f : X → X una funcion distal. Es inmediato que f es inyectiva.Por el Corolario 17.12 cada punto x ∈ X es elemento de su conjunto lımite ω(x, f). Ycomo cada ω(x, f) es fuertemente invariante bajo f , entonces f es suprayectiva.

Definicion 17.17. Sea X un espacio metrico compacto, y sea f : X → X unafuncion continua. Sea (x, y) ∈ X × X. Decimos que (x, y) es una pareja de Li yYorke si

lım infd(fn(x), fn(y)) : n ∈ N = 0,

y

lım supd(fn(x), fn(y)) : n ∈ N > 0.

Decimos que S ⊂ X es un conjunto revuelto si para todo par de puntos x, y ∈ S,con x = y, se tiene que (x, y) es una pareja de Li y Yorke.

Decimos que f : X → X es caotica segun Li y Yorke si existe un conjuntorevuelto S ⊂ X de cardinalidad infinita no numerable.


Ejemplo 17.18. Sea T : [0, 1] → [0, 1] la funcion Tienda. Sea x0 ∈ [0, 1] tal queω(x0, T ) = [0, 1]. La orbita del punto (x0, T (x0)), bajo la funcion T × T , es densaen la grafica de T . Por lo tanto,

ω((x0, T (x0)), T × T ) = (x, y) : x ∈ [0, 1], y = T (x).De aquı se sigue que (x0, T (x0)) es una pareja de Li y Yorke. Ver Ejercicio 149.

Observacion 17.19. Sea X un espacio metrico compacto, y sea f : X → X unafuncion continua. Entonces las siguientes condiciones se cumplen.

Sea S ⊂ X, S = ∅ un conjunto revuelto de f , entonces para para todo parde puntos x, y ∈ S se tiene que (x, y) ∈ Prox(f).El punto (x, y) ∈ X ×X es un par de Li y Yorke si y solo si

ω((x, y), f × f) ∩∆ = ∅, y ω((x, y), f × f) ∩ ((X ×X) \∆) = ∅.Si S ⊂ X, S = ∅, es un conjunto revuelto de f , entonces S contiene a lo masun punto periodico de f , card(S ∩ Per(f)) ≤ 1.Si f es una funcion distal, entonces f no tiene ninguna pareja de Li y Yorke.Por lo tanto f no es caotica segun Li y Yorke.

La demostracion del Teorema 17.20 se puede consultar en [12].

Teorema 17.20. Sea X un espacio metrico compacto. Sea f : X → X una funcioncontinua. Si la entropıa de f es positiva, ent(f) > 0, entonces f es caotica segunLi y Yorke.

Observacion 17.21. Existen funciones caoticas en el sentido de Li y Yorke que tienenent(f) = 0. Buscar referencia.

Corolario 17.22. Sea f : X → X. Si f es distal, entonces ent(f) = 0.

Demostracion. Sea f una funcion distal. Por la Observacion 17.19, f no tiene pa-rejas de puntos de Li y Yorke. Del Teorema 17.20 se sigue que ent(f) = 0. 17.1. Lo que sucede en el hiperespacio. Sea X un espacio metrico compacto.Recordemos lo siguiente:

2X = A ⊂ X : A = ∅, A es cerrado.Para cada k ∈ N,

Fk(X) = A ∈ 2X : card(A) ≤ k,donde card(A) denota la cardinalidad del conjunto A.

Observacion 17.23. Sea k ∈ N. Sea A ∈ 2X un conjunto con exactamente k ele-mentos,

A = a1, a2, . . . , ak, si i = j, entonces ai = aj .

Es inmediato que para toda n ∈ N, card(fn(A)) ≤ k.

En el conjunto 2X consideramos la metrica de Hausdorff, la cual denotamos ası

H(A,B), A,B ∈ 2X .

Cada funcion continua f : X → X induce una coleccion de funciones continuas,

2f : 2X → 2X , y fk : Fk(X) → Fk(X), k ∈ N.Para cada A ∈ 2X , 2f (A) = f(A). Si A ∈ Fk(X), entonces fk(A) = f(A). Es

decir, fk es la restriccion de la funcion inducida 2f al subconjunto Fk(X).


Las afirmaciones contenidas en la siguiente observacion son utiles y no son difıci-les de demostrar.

Observacion 17.24. Sea X un espacio metrico compacto. Sea f : X → X unafuncion continua. Sea k ∈ N, y sea fk : Fk(X) → Fk(X) la funcion inducida en elhiperespacio Fk(X). Las siguientes condiciones se cumplen:

El hiperespacio Fk(X) es un subconjunto cerrado de 2X .2f (Fk(X)) ⊂ Fk(X), y si f : X → X es suprayectiva, entonces cada Fk(X)es un conjunto fuertemente invariante bajo 2f .Sea A ∈ Fk(X), entonces para todo B ∈ ω(A, 2f ), card(B) ≤ card(A). Asıpara cada elemento A ∈ Fk(X), se tiene que ω(A, 2f ) ⊂ Fk(X).Si X no tiene puntos aislados, int(Fk(X)) = ∅.El conjunto F (X) = ∪∞k=1Fk(X) es denso en 2X .

Proposicion 17.25. Sea X un espacio metrico compacto. Sea f : X → X unafuncion continua. Sea k ∈ N, k ≥ 2. Sean a1, a2, . . . , ak ∈ X, k puntos distal de f ,todos ellos distintos entre sı. Entonces el conjunto A = a1, a2, . . . , ak es un puntodistal de la funcion inducida 2f : 2X → 2X .

Demostracion. Sean a1, a2, . . . , ak ∈ X, k puntos distal de f , todos ellos distintosentre sı. Sea A = a1, a2, . . . , ak.

Paso 1. Sean 1 ≤ i, j ≤ k, i = j. Como

lım infd(fn(ai), fn(aj)) > 0,

existe δij > 0 tal que

d(fn(ai), fn(aj)) ≥ δij , para toda n ∈ N.

Tomando δ = mınδij : 1 ≤ i, j ≤ k, i = j obtenemos que para toda n ∈ N ypara todo par i, j, con i = j, se tiene que

d(fn(ai), fn(aj)) ≥ δ.

Sea η = δ2 . Observese que si para alguna n ∈ N y para algun B ∈ 2X se tiene

que

H((2f )n(A), B) < η,

entonces la cardinalidad de B debe ser mayor o igual a k = card(A). De aquı sesigue, junto con la Observacion 17.24, que si B es un elemento del conjunto lımiteω(A, 2f ), entonces card(B) es exactamente k. Es decir,

ω(A, 2f ) ⊂ Fk(X) \ Fk−1(X).

Paso 2. Sea B ∈ 2X tal que

lım infH((2f )n(A), (2f )n(B)) = 0.

Vamos a demostrar que A = B.Sea η = δ

2 , el valor descrito en el Paso 1.Existe ni ⊂ N, una sucesion estrictamente creciente, tal que cumple las si-

guientes dos condiciones:

Para toda i ∈ N, H((2f )ni(A), (2f )ni(B)) < η.lımi→∞H((2f )ni(A), (2f )ni(B)) = 0.


Para cada i ∈ N sea γi la distancia entre (2f )ni(A) y (2f )ni(B),

γi = H((2f )ni(A), (2f )ni(B)).

Las siguientes dos condiciones se cumplen:

fni(B) ⊂ ∪kl=1cl(B(fni(al), γi)).

Para cada 1 ≤ l ≤ k, fni(B) ∩ cl(B(fni(al), γi)) = ∅.Entonces, para cada i ∈ N, el conjunto B se expresa como la union de una

coleccion de k conjuntos cerrados, no vacıos, ajenos entre sı,

B = Bi1 ∪Bi

2 ∪ · · · ∪Bik,

donde,Bi

l = b ∈ B : d(fni(b), fni(al)) ≤ γi.Sea b0 un punto en B. Entonces existe un valor l fijo, 1 ≤ l ≤ k, y existe una

subsucesion nij ⊂ ni tal que para toda j ∈ N, b0 es elemento del conjunto Bijl .

Por lo tanto la pareja (b0, al) es proximal bajo la funcion f . Como al es un puntodistal de f , b0 = al. Es decir, b0 ∈ A, y con ello, B ⊂ A.

Ahora, sea E ∈ ω(A, 2f ) ∩ ω(B, 2f ).Sabemos que card(E) = k. Entonces card(B) ≥ k. Por lo tanto, B = A.

Corolario 17.26. Sea X un espacio metrico compacto. Sea f : X → X una funcioncontinua. Sea k ∈ N. Entonces las siguientes tres condiciones son equivalentes.

f es una funcion distal.Para toda k ≥ 2, fk : Fk(X) → Fk(X) es distal.Existe k ≥ 2, tal que fk : Fk(X) → Fk(X) es distal.

Demostracion. Supongamos que f : X → X es distal. Sea k ≥ 2.Sea A ∈ Fk(X), A = a1, a2, . . . , al, donde 1 ≤ l ≤ k, y tal que ai es distinto

de aj si i = j.Cada ai ∈ A es un punto distal de f . Por la Proposicion 17.25, A es un punto

distal de la funcion 2f . Por lo tanto, A es un punto distal de la funcion inducidafk : Fk(X) → Fk(X).

De aquı se sigue que fk es una funcion distal. Esto prueba que la primera con-dicion implica la segunda.

Es inmediato que la segunda condicion implica la tercera.Demostramos a continuacion que la tercera implica la primera.Sea k ≥ 2. Supongamos que fk : Fk(X) → Fk(X) es distal.Sean x, y ∈ X tales que (x, y) ∈ Prox(f). Sean A = x y B = y.Entonces A y B son elementos de Fk(X) y (A,B) ∈ Prox(fk).Como fk es distal, entonces A = B. Con ello, x = y.

Existen funciones continuas f : X → X, X metrico y compacto, que son distaly tales que la funcion inducida 2f : 2X → 2X no es distal. Comentamos sobre estoinmediatamente despues del Corolario 17.28.

Por lo pronto llamamos la atencion del lector hacia el siguiente hecho. Resultaque la densidad, en X, del conjunto de puntos distal de f implica la densidad, en2X , del conjunto de puntos distal de la funcion inducida 2f . En la demostracion deeste hecho usamos el Lema 17.27.

Lema 17.27. Sea X un espacio metrico compacto. Sea A ⊂ X, A = ∅. SeaF (A) = B ∈ 2X : B ⊂ A, card(B) es finita.


Si A es un conjunto denso en X, entonces F (A) es un conjunto denso en 2X .

Demostracion. El argumento es sencillo y se deja al lector. Sea f : X → X una funcion continua. Sea

Distal(f) = x ∈ X : x es punto distal de f.

Proposicion 17.28. Sea X un espacio metrico compacto. Sea f : X → X unafuncion continua. Si el conjunto Distal(f) es denso en X, entonces Distal(2f ) esdenso en el hiperespacio 2X .

Demostracion. Supongamos que Distal(f) es denso en X. Entonces, por el Lema17.27, F (Distal(f)) es denso en 2X .

Sea A ∈ F (Distal(f)). Entonces A es de la forma A = a1, a2, . . . , ak dondecada ai es un punto distal de f , y ai = aj si i = j. Por la Proposicion 17.25, A esun punto distal de la funcion 2f . Por lo tanto, F (Distal(f)) ⊂ Distal(2f ).

Ası, gracias al Lema 17.27, Distal(2f ) es denso en 2X . Observacion 17.29. En la pagina 1060 del artıculo Recurrence properties and dis-jointness on the induced spaces, [34], los autores sugieren, sin demostrarlo, queexisten un espacio metrico y compacto y una funcion continua f : X → X tal queel conjunto Distal(f) no es denso en X, pero Distal(2f ) sı es un conjunto denso en2X . Mas tarde, en [33], los autores muestran una funcion f : X → X que cumpleesas condiciones.

Ejemplo 17.30. La funcion f : D → D dada en el Ejemplo 17.15,

f(z) = f(reiθ) = rei(θ+2π·r), D = z ∈ C : |z| ≤ 1,es distal.

Por la Proposicion 17.28, el conjunto de puntos distal de 2f es denso en 2D.Sin embargo no todo elemento de 2D es un punto distal de 2f . Sea

(42) A = z ∈ D : z = x, x ∈ R, 0 ≤ x ≤ 1.Observese que A ∈ 2D y que

lımn→∞

H((2f )n(A), (2f )n(D)) = 0.

Es decir, la pareja (A,D) es proximal bajo la funcion inducida 2f : 2D → 2D. Asıni A ni D son puntos distal de 2f .

Otro hecho interesante en el Ejemplo 17.15 es el siguiente: El conjunto A, definidoen (42), cumple las siguientes condiciones

ω(A, 2f ) = D, y α(A, 2f ) = D.

Como para toda n ∈ Z, (2f )n(A) = D, entonces ent(22f

) ≥ log(2).Todo indica que la siguiente conjetura es cierta.

Conjetura 13. Sea f : D → D la funcion dada en el Ejemplo 17.15. Entonces laentropıa de la funcion inducida 2f : 2D → 2D tambien es cero.

Tal vez es interesante relacionar las entropıas de f y 2f cuando f : X → X esdistal. El Corolario 17.22 dice que si f : X → X es distal, entonces ent(f) = 0.

Pregunta 14. Sea X un espacio metrico compacto. Sea f : X → X una funcioncontinua. ¿Si f : X → X es distal, entonces ent(2f ) = 0?


Un camino hacia la solucion de la Pregunta 14 podrıa iniciar intentando primerola Pregunta 15.

Pregunta 15. Sea X un espacio metrico compacto. Sea f : X → X una funcioncontinua. ¿Si f : X → X es distal, entonces 2f no es caotica segun Li y Yorke?

Conjetura 16. Sea X un espacio metrico compacto. Sea f : X → X una funcioncontinua tal que todo punto de X es periodico, Per(f) = X.

Entonces la funcion inducida 2f : 2X → 2X tiene entropıa cero.Si la opcion anterior falla, entonces se puede intentar la siguiente afirma-cion: Entonces la funcion inducida 2f : 2X → 2X no es caotica segun Li yYorke.

Pregunta 17. Sea X un espacio metrico compacto. Sea f : X → X una fun-cion continua. ¿Si el conjunto Distal(f) es denso en X, pero Distal(f) no es X,entonces ent(2f ) es positiva?

Pregunta 18. Sea X un espacio metrico compacto. ¿Existe f : X → X, funcioncontinua, tal que Distal(f) = ∅, y Distal(2f ) = ∅?

En el artıculo [34], paginas 1071 y 1072, los autores proponen la Definicion 17.31y establecen la Conjetura 19.

Definicion 17.31. Sea X un espacio metrico compacto. Sea f : X → X unafuncion continua. Decimos que f tiene densidad de conjuntos distal si para cadaconjunto abierto U ⊂ X, U = ∅, existe C ∈ 2X tal que C ⊂ U , y C ∈ Distal(2f ).

Conjetura 19. Sea X un espacio metrico compacto. Existe f : X → X, funcioncontinua, tal que f tiene densidad de conjuntos distal y f no tiene densidad depuntos distal.

Sea X un espacio metrico compacto. Sea f : X → X una funcion continua. Seak ∈ N. Con X(k) representamos el producto cartesiano X × X × · · · × X, con kfactores.

La metrica en X(k) esta dada por

d((a1, a2, . . . , ak), (b1, b2, . . . , bk)) = maxd(ai, bi) : 1 ≤ i ≤ k.

Dada f : X → X, la funcion producto, f (k) : X(k) → X(k), f (k) = f×f×· · ·×f ,esta dada por

f (k)(a1, a2, . . . , ak) = (f(a1), f(a2), . . . , f(ak)).

La Proposicion 17.32 estudia la posibilidad de que f (k) : X(k) → X(k) sea unafuncion distal. El resultado es similar al obtenido para la funcion inducida fk :Fk(X) → Fk(X) en el Corolario 17.26.

Proposicion 17.32. Sea X un espacio metrico compacto. Sea f : X → X unafuncion continua. Sea k ∈ N. Las siguientes condiciones son equivalentes.

f : X → X es distal.Para toda k ≥ 2, se tiene que f (k) : X(k) → X(k) es distal.Existe k ≥ 2, tal que f (k) : X(k) → X(k) es distal.

Demostracion. Supongamos que f : X → X es distal. Sea k ≥ 2.


Sean a = (a1, a2, . . . , ak) y b = (b1, b2, . . . , bk) dos puntos de X(k), y ni ⊂ Nuna sucesion estrictamente creciente tales que

lımi→∞

d((f (k))ni(a), (f (k))ni(b)) = 0.

Para cada l, 1 ≤ l ≤ k, se tiene que

lımi→∞

d(fni(al), fni(bl)) = 0.

De aquı se sigue que al = bl y, con ello, a = b.Es decir, la primera condicion implica la segunda.Que la segunda condicion implica la tercera es inmediato.Demostramos ahora que la tercera implica la primera.Sea k ≥ 2. Supongamos que f (k) : X(k) → X(k) es una funcion distal.Sean a, b ∈ X, y ni ⊂ N una sucesion estrictamente creciente tales que

lımi→∞

d(fni(a), fni(b)) = 0.

Sean a = (a, a, . . . , a) y b = (b, b, . . . , b) puntos de X(k). Entonces

lımi→∞

d((f (k))ni(a), (f (k))ni(b)) = 0.

Como f (k) : X(k) → X(k) es distal, a = b. Por lo tanto, a = b.

17.2. Funciones puntualmente casi periodicas. La Definicion 17.33 y lasProposiciones 17.35 y 17.36 aparecen en el libro [13].

Definicion 17.33. Sea X un espacio metrico compacto. Sea f : X → X unafuncion continua. Decimos que x0 ∈ X es un punto fuertemente recurrente de f sipara todo conjunto abierto U ⊂ X, con x0 ∈ U , existe N ∈ N, N = N(U), tal quesi fm(x0) ∈ U , para m ≥ 0, entonces

fm+k(x0) ∈ U, para alguna k con 0 < k ≤ N.

Observacion 17.34. Sea x0 ∈ X.

El punto x0 es fuertemente recurrente si para toda vecindad abierta de x0,x0 ∈ U , existe N ∈ N tal que en cada segmento de N de la forma

J = m+ 1,m+ 2, . . . ,m+N, m ≥ 0,

existe un elemento m+ k ∈ J , tal que fm+k(x0) ∈ U .Si x0 es fuertemente recurrente, entonces x0 ∈ ω(x0, f).

Proposicion 17.35. Sea X un espacio metrico compacto. Sea f : X → X unafuncion continua. Sea M ∈ 2X . Si M es un conjunto minimal de f , entonces todoelemento x ∈M es un punto fuertemente recurrente de f .

Proposicion 17.36. Sea X un espacio metrico compacto. Sea f : X → X unafuncion continua. Si x0 ∈ X es un punto fuertemente recurrente de f , entoncescl(o(x0, f)) es un conjunto minimal bajo f .

Observacion 17.37. Supongamos que x0 ∈ X es un punto fuertemente recurren-te de f : X → X, X metrico y compacto. Como x0 es elemento de cl(o(x0, f)) yel conjunto ω(x0, f) es cerrado y fuertemente invariante bajo f , entonces ω(x0, f) ⊂cl(o(x0, f)). Dado que cl(o(x0, f)) es un conjunto minimal bajo f , entonces ω(x0, f) =cl(o(x0, f)).


La demostracion del Lema 17.38 no es difıcil.

Lema 17.38. Sea X un espacio metrico compacto. Sea f : X → X una funcioncontinua. Sea x ∈ X. Entonces el conjunto cl(o(x, f)) es minimal si y solo si paratoda y ∈ cl(o(x, f)) se tiene que cl(o(y, f)) = cl(o(x, f)).

La Definicion 17.39 aparece en el artıculo [3].

Definicion 17.39. Sea X un espacio metrico compacto. Sea f : X → X una fun-cion continua. Decimos que x0 ∈ X es un punto casi periodico bajo f si cl(o(x0, f))es un conjunto minimal de f .

Proposicion 17.40. Sea X un espacio metrico compacto. Sea f : X → X unafuncion continua. Sea x0 ∈ X. Entonces x0 es un punto fuertemente recurrente siy solo si x0 es un punto casi periodico.

Demostracion. La Proposicion 17.36 dice que si x0 es fuertemente recurrente, en-tonces x0 es un punto casi periodico.

Por otro lado, si x0 es un punto casi periodico, entonces cl(o(x0, f)) es un con-junto minimal de f . Como x0 es un elemento de cl(o(x0, f)), por la Proposicion17.35, x0 es un punto fuertemente recurrente.

Ası, cuando consideramos puntos en X, ambas propiedades, fuertemente recu-rrente y casi periodicidad, son equivalentes.

Definicion 17.41. Sea X un espacio metrico compacto. Sea f : X → X unafuncion continua. Decimos que f es puntualmente casi periodica, (f es pcp), sitodo punto x ∈ X es un punto casi periodico bajo f .

Proposicion 17.42. Sea X un espacio metrico compacto. Sea f : X → X unafuncion continua. Si f es distal, entonces f es pcp.

Demostracion. La conclusion se sigue de los Corolarios 17.12 y 17.16.

Observacion 17.43. En el artıculo [31] los autores muestran una funcion minimalque no es inyectiva. Por lo tanto, la condicion f es pcp no implica la condicion f esdistal.

La Observacion 17.44 contiene algunas propiedades de la dinamica de la funcionproducto f (k) : X(k) → X(k). Las demostraciones correspodientes no son difıciles.La informacion que obtendremos es importante en la demostracion que ofrecemosde la Proposicion 17.45. La meta es mostrar que en el terreno de las funcionesproducto, f (k) : X(k) → X(k), con k ≥ 2, las condiciones f (k) es distal y f (k) es pcpsı son equivalentes.

Observacion 17.44. Sea X un espacio metrico compacto. Sea f : X → X unafuncion continua. Sean i, j, k ∈ N tales que 1 ≤ i < j ≤ k. Sea

Sij = a = (a1, a2, . . . , ak) ∈ X(k) : ai = aj.

Entonces:

Sij es un subconjunto cerrado de X(k); Sij es no vacıo y, si X no tiene puntosaislados, int(Sij) = ∅.f (k)(Sij) ⊂ Sij . Si f es suprayectiva, entonces f (k)(Sij) = Sij .

Si a ∈ Sij , entonces ω(a, f(k)) ⊂ Sij .


Proposicion 17.45. Sea X un espacio metrico compacto. Sea f : X → X unafuncion continua. Sea k ∈ N, k ≥ 2. Si la funcion producto f (k) : X(k) → X(k) espuntualmente casi periodica, entonces f : X → X es distal.

Demostracion. Sean a, b ∈ X tales que

lım infd(fn(a), fn(b)) : n ∈ N = 0.

Entonces existe un punto c ∈ X y una subsucesion estrictamente creciente ni ⊂N tales que

(43) lımi→∞

fni(a) = lımi→∞

fni(b) = c.

Sea a = (a, b, b, . . . , b) ∈ X(k). Como f (k) : X(k) → X(k) es puntualmente casiperiodica, entonces a ∈ ω(a, f (k)) y ω(a, f (k)) es un conjunto minimal bajo f (k).

Por (43),

lımi→∞

(f (k))ni(a) = (c, c, . . . , c)) = c.

De aquı se sigue que c ∈ ω(a, fk), y que c ∈ S11.Como ω(c, f (k)) ⊂ S11 y ω(c, f (k)) = ω(a, f (k)), entonces a ∈ S11.Por lo tanto a = b.

Corolario 17.46. Sea X un espacio metrico compacto. Sea f : X → X una funcioncontinua. Sea k ∈ N, k ≥ 2.

Entonces las siguientes tres condiciones son equivalentes.

La funcion producto f (k) : X(k) → X(k) es puntualmente casi periodica.La funcion f : X → X es distal.La funcion producto f (k) : X(k) → X(k) es distal.

Demostracion. El resultado se sigue de las Proposiciones 17.32, 17.42 y 17.45. Observacion 17.47. Sea X un espacio metrico compacto. Sea f : X → X unafuncion continua. Sea k ∈ N, k ≥ 2. Sea fk : Fk(X) → Fk(X) la funcion inducidapor f en el hiperespacio Fk(X). Sea A ∈ Fk(X). Las siguientes condiciones secumplen.

Si card(A) = l, entonces para todo B ∈ ω(A, fk) se tiene que card(B) ≤ l.Si A ∈ ω(A, fk) y ω(A, fk) es un conjunto minimal bajo fk, entonces paratodo B ∈ ω(A, fk) se tiene que card(B) = card(A).

Con la Proposicion 17.48 y el Corolario 17.49 mostramos que en el terreno delas funciones inducidas, fk : Fk(X) → Fk(X) , k ≥ 2, las condiciones fk es distal yfk es pcp tambien son equivalentes.

Proposicion 17.48. Sea X un espacio metrico compacto. Sea f : X → X unafuncion continua. Sea k ∈ N, k ≥ 2. Si fk : Fk(X) → Fk(X) es pcp, entonces f esdistal.

Demostracion. Sean a, b ∈ X tales que lım infd(fn(a), fn(b)) : n ∈ N = 0. Seanc ∈ X y ni ⊂ N, una sucesion estrictamente creciente, tales que

lımi→∞

fni(a) = lımi→∞

fni(b) = c.

Entonces c ∈ ω(a, b, fk).Como ω(a, b, fk) es un conjunto minimal bajo fk, entonces

ω(a, b, fk) = ω(c, fk) ⊂ F1(X).


Dado que a, b ∈ ω(a, b, fk), concluimos que a = b. Corolario 17.49. Sea X un espacio metrico compacto. Sea f : X → X una funcioncontinua. Sea k ∈ N, k ≥ 2.

Las siguientes tres condiciones son equivalentes:

La funcion fk : Fk(X) → Fk(X) es pcp.La funcion f : X → X es distal.La funcion fk : Fk(X) → Fk(X) es distal.

Demostracion. La Proposicion 17.48 dice que si fk es pcp, entonces f es distal.El Corolario 17.26 aporta la implicacion f es distal, entonces fk es distal.La implicacion fk es distal, entonces fk es pcp se demostro en la Proposicion

17.42. Corolario 17.50. Sea X un espacio metrico compacto. Sea f : X → X una funcioncontinua. Sea k ∈ N, k ≥ 2. La funcion producto f (k) : X(k) → X(k) es pcp si ysolo si la funcion fk : Fk(X) → Fk(X) es pcp.

Demostracion. Del Corolario 17.46 se sigue que la funcion producto f (k) : X(k) →X(k) es pcp si y solo si f : X → X es distal.

Por el Corolario 17.49 sabemos que f : X → X es distal es equivalente a que lafuncion inducida fk : Fk(X) → Fk(X) sea pcp. 17.3. Funciones equicontinuas. En esta seccion definimos el concepto de fun-cion equicontinua, y lo relacionamos con los conceptos de funcion distal y funcionpuntualmete casi periodica (pcp).

Definicion 17.51. Sea X un espacio metrico compacto. Sea f : X → X unafuncion continua.

Decimos que f es equicontinua en el punto x0 ∈ X si para toda ε > 0, existeδ > 0, δ = δ(x0, ε), tal que para toda y ∈ X con d(x0, y) < δ y para todan ≥ 0, se tiene que d(fn(x0), f

n(y)) < ε.Sea A ⊂ X, A = ∅. Decimos que f es equicontinua en A si para toda x ∈ A,f es equicontinua en x.Decimos que f es equicontinua si para toda ε > 0, existe δ > 0, δ = δ(ε), talque para toda pareja de puntos x, y ∈ X con d(x, y) < δ, se tiene que paratoda n ≥ 0, d(fn(x), fn(y)) < ε.

Proposicion 17.52. Sea X un espacio metrico compacto. Sea f : X → X unafuncion continua. La funcion f es equicontinua si y solo si la funcion inducida2f : 2X → 2X es equicontinua.

Demostracion. Supongamos que f : X → X es equicontinua.Sea ε > 0. Sea δ > 0 tal que para toda pareja de puntos u, v ∈ X con d(u, v) < δ,

se cumple que para toda n ≥ 0, d(fn(u), fn(v)) < ε.Sean A,B ∈ 2X tales que H(A,B) < δ. Sean a ∈ A y n ≥ 0. Existe b ∈ B tal

que d(a, b) < δ, con ello d(fn(a), fn(b)) < ε.Entonces el conjunto fn(A) esta contenido en la nube N(fn(B), ε). Observese

que esto sucede para cada n ≥ 0.De manera analoga obtenemos que fn(B) ⊂ N(fn(A), ε), para toda n ≥ 0.Por lo tanto, para toda n ≥ 0, se tiene que

H((2f )n(A), (2f )n(B)) < ε.


Por otro lado, supongamos ahora que 2f : 2X → 2X es equicontinua.Sea ε > 0. Sea δ > 0 tal que para toda pareja A,B ∈ 2X con H(A,B) < δ, se

tiene que para toda n ≥ 0, H((2f )n(A), (2f )n(B)) < ε.Sean x, y ∈ X tales que d(x, y) < δ. Sean A = x y B = y.Entonces H(A,B) < δ. Por lo tanto para toda n ≥ 0 se tiene que

H((2f )n(A), (2f )n(B)) < ε.

De aquı se sigue que para toda n ≥ 0, d(fn(x), fn(y)) < ε. De manera similar, a lo hecho en la Proposicion 17.52, se puede argumentar la

Proposicion 17.53.

Proposicion 17.53. Sea X un espacio metrico compacto. Sea f : X → X unafuncion continua. Sea k ∈ N, k ≥ 2. La funcion f es equicontinua si y solo si lafuncion inducida fk : Fk(X) → Fk(X) es equicontinua.

La equicontinuidad tambien se comporta muy bien cuando tratamos con funcio-nes producto. La demostracion de la Proposicion 17.54 no es difıcil.

Proposicion 17.54. Sea X un espacio metrico compacto. Sea f : X → X unafuncion continua. Sea k ∈ N, k ≥ 2. La funcion f es equicontinua si y solo si lafuncion producto f (k) : X(k) → X(k) es equicontinua.

El Lema 17.55 nos ayudara a ver la relacion entre equicontinuidad y funcionespcp.

Lema 17.55. Sea X un espacio metrico compacto. Sea f : X → X una funcioncontinua. Sean x, y ∈ X, ε > 0. Si para toda n ∈ N se tiene que d(fn(x), fn(y)) < ε,entonces H(ω(x, f), ω(y, f)) ≤ ε.

Demostracion. Sean x, y ∈ X, y sea ε > 0 tales que para toda n ∈ N,d(fn(x), fn(y)) < ε.

Sea u ∈ ω(x, f). Existe una sucesion estrictamente creciente ni : i ∈ N, conte-nida en N, tal que lımi→∞ fni(x) = u.

Podemos suponer, sin perder generalidad, que la sucesion fni(y) : i ∈ Ntambien es convergente, digamos al punto v ∈ X. Como para toda i ∈ N se tieneque d(fni(x), fni(y)) < ε, entonces d(u, v) ≤ ε. Ası, u ∈ cl(N(ω(y, f), ε)).

Por lo tanto, ω(x, f) ⊂ cl(N(ω(y, f), ε)).De manera analoga se argumenta que ω(y, f) ⊂ cl(N(ω(x, f), ε)).Concluimos que H(ω(x, f), ω(y, f)) ≤ ε.

Proposicion 17.56. Sea X un espacio metrico compacto. Sea f : X → X unafuncion continua. Si la funcion f es equicontinua, entonces para toda x ∈ X, elconjunto lımite ω(x, f) es un conjunto minimal bajo f .

Demostracion. Sea x ∈ X. Por el Corolario 17.9, existe z ∈ ω(x, f) tal que ω(z, f)es un conjunto minimal bajo f .

Sea ε > 0. Sea δ > 0 tal que para toda pareja de puntos u, v ∈ X que cumpled(u, v) < δ, se tiene que para toda n ≥ 0, d(fn(u), fn(v)) < ε.

Como z ∈ ω(x, f), existe N ∈ N tal que d(fN (x), z) < δ. Entonces para todan ∈ N se tiene que

d(fn(fN (x)), fn(z)) < ε.

Por el Lema 17.55, obtenemos que H(ω(fN (x), f), ω(z, f)) ≤ ε.


Ahora conviene recordar que ω(fN (x), f) = ω(x, f).Obtenemos que para toda ε > 0, H(ω(x, f), ω(z, f)) ≤ ε. De aquı se sigue que

ω(x, f) = ω(z, f). La demostracion esta completa.

Proposicion 17.57. Sea X un espacio metrico compacto. Sea f : X → X unafuncion continua. Si la funcion f es equicontinua, y suprayectiva, entonces paratodo x0 ∈ X se tiene que x0 ∈ ω(x0, f).

Demostracion. Sea x0 ∈ X.Como f es suprayectiva, existe una sucesion x−n : n ≥ 0 contenida en X tal

que f(x−1) = x0, y tal que para toda n ∈ N, f(x−n) = x−n+1.Como X es compacto, existe un punto y ∈ X y una sucesion estrictamente

creciente ni ⊂ N tal que lımi→∞ x−ni= y.

Sea ε > 0. Sea δ > 0 tal que para toda pareja de puntos u, v ∈ X que cumpled(u, v) < δ, se tiene que para toda n ≥ 0, d(fn(u), fn(v)) < ε.

Sea M ∈ N. Entonces existe N ∈ N, N > M , tal que d(x−N , y) < δ. De aquı sesigue que d(x0, f

N (y)) < ε.Es decir, para toda ε > 0 y para toda M ∈ N, existe m ∈ N, m > M , tal que

d(x0, fm(y)) < ε.

¡Aja! Entonces x0 es elemento de ω(y, f).Por la Proposicion 17.56, ω(y, f) es un conjunto minimal bajo f .Entonces ω(x0, f) = ω(y, f). Por lo tanto, x0 ∈ ω(x0, f).

Corolario 17.58. Sea X un espacio metrico compacto. Sea f : X → X una funcioncontinua. Si la funcion f es equicontinua, y suprayectiva, entonces f es pcp.

Demostracion. La afirmacion se sigue de manera inmediata a partir de las Propo-siciones 17.56 y 17.57.

Observacion 17.59. La funcion f : D → D, D = z ∈ C : |z| ≤ 1, dada en elEjemplo 17.15 es pcp, es suprayectiva y no es equicontinua.

Observacion 17.60. Sea X un espacio metrico compacto. Sea f : X → X una fun-cion continua. Si f es una funcion pcp, entonces una de las siguientes dos condicionesse cumple:

El espacio X es un conjunto minimal bajo f .El espacio X se puede expresar como una union, X = ∪λ∈ΛMλ, donde cadaMλ es un conjunto cerrado, no vacıo, minimal bajo f , y con la propiedad deque si λ = µ, λ, µ ∈ Λ, entonces Mλ ∩Mµ = ∅.

Con lo que ya tenemos podemos avanzar un poco mas. La afirmacion contenidaen la Proposicion 17.61 es mencionada en [11].

Proposicion 17.61. Sea X un espacio metrico compacto. Sea f : X → X unafuncion continua. Si la funcion f es equicontinua, y suprayectiva, entonces f esdistal.

Demostracion. Supongamos que f es equicontinua, y suprayectiva. Entonces, porla Proposicion 17.53, la funcion inducida f2 : F2(X) → F2(X) es equicontinua ysuprayectiva.

Por el Corolario 17.58, f2 : F2(X) → F2(X) es una funcion pcp.Finalmente, el Corolario 17.49, nos dice que si f2 es pcp, entonces f es una

funcion distal.


Corolario 17.62. Sea X un espacio metrico compacto. Sea f : X → X una funcioncontinua. Si la funcion f es equicontinua, y suprayectiva, entonces ent(f) = 0.

Demostracion. La Proposicion 17.61 nos dice que si f es equicontinua y suprayec-tiva, entonces f es distal.

Ahora, por el Corolario 17.22, f tiene entropıa cero. Proposicion 17.63. Sea X un espacio metrico compacto. Sea f : X → X unafuncion continua. Si la funcion f es equicontinua, entonces ent(f) = 0.

Demostracion. Sea Y = ∩n≥0fn(X).

El conjunto Y es cerrado y es fuertemente invariante bajo f .La entropıa de f coincide con la entropıa de la restriccion f |Y : Y → Y .Como f |Y es suprayectiva y equicontinua, entonces ent(f) = ent(f |Y ) = 0. En [4] se menciona el siguiente resultado.

Proposicion 17.64. Sea X un espacio metrico compacto. Sea f : X → X unafuncion equicontinua. Entonces f es minimal si y solo si f es transitiva.

Demostracion. Es inmediato que si f es minimal, entonces f es transitiva.Por otro lado, si f es transitiva, entonces f es suprayectiva. Por el Corolario

17.58, todo conjunto lımite ω(x, f) es minimal.Ahora, por ser f transitiva, existe x0 ∈ X tal que ω(x0, f) = X.Por lo tanto f es minimal.



Ejercicio 148. Sea T : [0, 1] → [0, 1] la funcion Tienda. Demuestra lo siguiente:

El conjunto Prox(T ) es denso en [0, 1]× [0, 1].El conjunto ([0, 1]× [0, 1]) \ Prox(T ) tambien es denso en [0, 1]× [0, 1].Distal(T ) = ∅.

Ejercicio 149. Sea T : [0, 1] → [0, 1] la funcion Tienda. Sea x0 ∈ [0, 1] tal queω(x0, T ) = [0, 1]. Sean k, l ∈ N tales que k = l.

Entonces la pareja (T k(x0), Tl(x0)) es de Li y Yorke.

Ejercicio 150. Sea S ⊂ X un conjunto revuelto bajo f . Entonces card(S∩Per(f)) ≤1.

Ejercicio 151. Muestra una funcion f : X → X y dos puntos x, y ∈ X tales queω(x, f) ∩ ω(y, f) = ∅, y (x, y) /∈ Prox(f).

Ejercicio 152. Sea x ∈ X. Si f |ω(x,f) : ω(x, f) → ω(x, f) no es transitiva. Enton-ces para todo punto y ∈ ω(x, f) se tiene que (x, y) es una pareja de Li y Yorke.

¡Gulp!

Ejercicio 153. Sea T : [0, 1] → [0, 1] la funcion Tienda. El conjunto

Tr(T × T ) = (x, y) ∈ [0, 1]× [0, 1] : ω((x, y), T × T ) = [0, 1]× [0, 1]es totalmente disconexo.

Ejercicio 154. Supongamos que la funcion f : X → X es tal que 2f : 2X → 2X

es transitiva. Demostrar lo siguiente:


Sea A ∈ 2X tal que ω(A, 2f ) = 2X . Entonces para toda a, b ⊂ A se tieneque (a, b) ∈ Prox(f).El conjunto Prox(f) es denso en X ×X.

Ejercicio 155. Sea f : X → X una funcion debilmente mezclante. Sea k ≥ 2. SeaA ∈ Fk(X), A = a1, a2, . . . , ak, tal que ω(A, fk) = Fk(X). Entonces para todopar de puntos a, b ⊂ A, con a = b, se tiene que (a, b) es una pareja de Li y Yorkede la funcion f .

Comentarios.


18. Conjeturas ingenuas y preguntas aparentemente abiertas

Todas las funciones consideradas en esta seccion son continuas. La letra X re-presenta un espacio metrico compacto.

Sea f : [0, 1] → [0, 1]. Se sabe que si f es suprayectiva y f tiene un unico puntofijo, entonces f tiene un punto periodico de periodo 2. Por otro lado, existen unadendrita D y un homeomorfismo g : D → D tal que g tiene un unico punto fijo yg no tiene puntos periodicos de periodo n > 1.

Conjetura 20. Sea X un arbol. Si f : X → X es suprayectiva y f tiene un unicopunto fijo, entonces existe x ∈ Per(f) de periodo n > 1.

Conjetura 21. Sea f : X → X. Sea A ∈ C(X). Si existe N ∈ N tal quefN (A) ∩ A = ∅, entonces la orbita o(A,C(f)) no puede ser densa en C(X). Esdecir, ω(A,C(f)) = C(X).

Se sabe que si la funcion inducida 2f : 2X → 2X es transitiva, entonces 2f estotalmente transitiva.

La Preguntas 22 y 23 son de Artico.

Pregunta 22. Sea f : X → X. ¿Si C(f) : C(X) → C(X) es transitiva, entoncesC(f) es totalmente transitiva?

Pregunta 23. Sea f : X → X. ¿Si C(f) : C(X) → C(X) es transitiva, entoncesC(f) es debilmente mezclante?

Si f : [0, 1] → [0, 1] es tal que f2 = id, entonces la funcion inducida C(f) noes transitiva por cadenas (ver Proposicion 15.8, 121). Existen, por otro lado, unadendrita D y un homeomorfismo f : D → D tales que para toda n ∈ N, fn = id, ytanto 2f : 2D → 2D como C(f) : C(D) → C(D) son transitivas por cadenas.

Conjetura 24. Sea X un arbol. Sea N = k!, donde k es la cardinalidad del conjuntoEnd(X). Entonces, para toda funcion f : X → X tal que fN = id se tiene que lafuncion inducida a los subcontinuos, C(f) : C(X) → C(X), no es transitiva porcadenas.

Conjetura 25. Sea X la curva sen( 1x ). Entonces, para toda funcion f : X → Xtal que f = id se tiene que la funcion inducida a los subcontinuos, C(f) : C(X) →C(X), no es transitiva por cadenas.

Sean X una grafica, y f : X → X. En [7] se demuestra que f es debilmentemezclante si y solo si f es mezclante. En ese mismo artıculo los autores se preguntansi esta equivalencia es valida para toda funcion definida en un continuo de dimensionuno. Recientemente, en [27], los autores presentan una funcion g : D → D, definidaen una dendrita D, que es debilmente mezclante y no es mezclante.

Pregunta 26. Sea X un continuo tipo arco. ¿Sera cierto que para toda f : X → X,mezclado debil es equivalente a mezclado?

La Pregunta 27 es formulada en [1].

Pregunta 27. ¿Existen una dendrita D y una funcion mezclante f : D → D, talesque el conjunto Per(f) no es denso en X?

Pregunta 28. Sean f : [0, 1] → [0, 1], x ∈ [0, 1]. ¿Si ω(x, f) es un conjunto deCantor, entonces

f |ω(x,f) : ω(x, f) → ω(x, f)


es transitiva?

La respuesta a la pregunta 28 es no. En agosto ofreceremos un ejemplo. Gulp!Dada f : X → X, denotamos con ω(f) a la coleccion de todos los elementos

A ∈ 2X tales que existe x ∈ X con A = ω(x, f). Denotamos con ITC(f) a lacoleccion de todos los A ∈ 2X tales que f es transitiva por cadenas en A.

Conjetura 29. Sea f : [0, 1] → [0, 1] una funcion suprayectiva. Si f2 = id, enton-ces el hiperespacio ω(f) no es conexo.

Pregunta 30. Sea f : [0, 1] → [0, 1]. ¿Si f es mezclante, entonces ω(f) = ITC(f)?

Conjetura 31. Sea X un continuo tipo arco. Sea f : X → X. Si f es suprayectiva,entonces el hiperespacio ω(f) tiene mas de un elemento. Nota. En la circunferenciano sucede esto.

Conjetura 32. Sea f : [0, 1] → [0, 1]. Si existe c ∈ [0, 1] tal que ω(f) = c,entonces f tiene la propiedad del sombreado.

La siguientes dos conjeturas son un poco mas audaces. Tal vez es util reconocerque nacen a partir de nuestro desconocimiento de ejemplos no triviales de funcionesf : [0, 1] → [0, 1] donde F3(f) : F3([0, 1]) → F3([0, 1]) tenga la propiedad delsombreado.

Conjetura 33. Sea f : [0, 1] → [0, 1]. Si f es suprayectiva, entonces la funcioninducida F3(f) : F3([0, 1]) → F3([0, 1]) no tiene la propiedad del sombreado.

Conjetura 34. Sea f : [0, 1] → [0, 1]. La funcion inducida F3(f) : F3([0, 1]) →F3([0, 1]) tiene la propiedad del sombreado si y solo si ω(f) = c, c ∈ [0, 1].

Se sabe que para funciones definidas en graficas, f : X → X, el hiperespacioω(f) es un subconjunto cerrado de 2X . En [30] los autores muestran una dendritaD y una funcion g : D → D tales que ω(g) no es cerrado en 2D.

Pregunta 35. ¿Cuales propiedades caracterizan a las dendritas D tales que todafuncion f : D → D tiene hiperespacio ω(f) cerrado?

La respuesta a la Pregunta 35 la tienen Noraly y Jorge.Se sabe que si X = [0, 1], o si X es una grafica, y f tiene la propiedad del

sombreado, entonces ω(f) = ITC(f), ver [38].

Conjetura 36. Sea D una dendrita. Sea f : D → D. Si f tiene la propiedad delsombreado, entonces ω(f) = ITC(f).

En [8] se presenta la Conjetura 37. Es inmediato que la conjetura 36 es un casoparticular de esta afirmacion.

Conjetura 37. Sea f : X → X. Si f tiene la propiedad del sombreado, entoncesω(f) = ITC(f).

La Conjetura 37 ya la resolvieron Oprocha y amigos. Revisar su contraejemplo.Sea f : X → X. Sea

P (f) = A ∈ 2X : existe x ∈ Per(f), A = o(x, f).Observese que P (f) ⊂ ω(f).

Existe una funcion f : [0, 1] → [0, 1] tal que P (f) no forma un conjunto densoen el hiperespacio ω(f). Ver [14].


Conjetura 38. Sea f : [0, 1] → [0, 1]. Si f tiene la propiedad del sombreado,entonces P (f) es denso en el hiperespacio ω(f).

Un poco menos general.

Conjetura 39. Sea T : [0, 1] → [0, 1] la funcion Tienda. Entonces el espacio P (T )es denso en el hiperespacio ω(T ).

Un poco mas general.

Conjetura 40. Sea f : [0, 1] → [0, 1] una funcion lineal por partes tal que la pen-diente en cada segmento de su grafica es, en valor absoluto, mayor que 1. Entoncesel espacio P (f) es denso en el hiperespacio ω(f).

Pregunta 41. ¿Existe f : [0, 1] → [0, 1] tal que Λ(f) = cl(Per(f)) y, a pesar deesto, ω(f) = cl(P (f))?

Recientemente, en [20], los autores demuestran que f : X → X tiene la propiedadde sombreado si y solo si 2f : 2X → 2X tambien la tiene.

Pregunta 42. Sea f : [0, 1] → [0, 1]. ¿Si f tiene la propiedad de sombreado,entonces la funcion inducida al hiperespacio de los subcontinuos C(f) : C([0, 1]) →C([0, 1]) tambien la tiene?

En [37] los autores hacen la siguiente observacion: Sea f : [0, 1] → [0, 1]. Laasignacion x → ω(x, f) casi nunca es una funcion continua (ver [17]). A pesar deesto, el hiperespacio ω(f), que es la imagen de [0, 1] bajo esta asignacion, siemprees un conjunto cerrado en 2[0,1]. ¿Extrano, no?


Referencias

1. G. Acosta, R. Hernandez-Gutierrez, I. Naghmouchi y P. Oprocha, Periodic Points and Tran-sitivity on Dendrites, Ergodic Theory Dynam. Systems 37 (2017), no. 7, 2017-2033.

2. G. Acosta, A. Illanes y H. Mendez, The Transitivity of Induced Maps, Topology and its

Applications 156, (2009), 1013-1033.3. E. Akin, J. Auslander, A. Nagar, Dynamics of induced systems, Ergodic Theory Dynam.

Systems 37 (2017), no. 7, 2034-2059.

4. J. Auslander, On the proximal relation in topological dynamics, Proc. Amer. Math. Soc. 11,(1960) 890-895.

5. J. Banks, Chaos for Induced Hyperspace Maps, Chaos, Solitons and Fractals 25, 3, (2005),1581-1583.

6. J. Banks, Topological Mapping Properties Defined by Digraphs, Discrete and Continuous Dy-

namical Systems 5, 1, (1999), 83-92.7. J. Banks y B. Trotta, Weak Mixing Implies Mixing for Maps on Topological Graphs, Journal

of Differential Equations and Applications 11, No. 12, (2005), 1071-1080.

8. A. D. Barwell, G. Davis y C. Good, On the ω-limit sets of tent maps, Fundamenta Mathe-maticae 217, No. 1, (2012), 35-54.

9. A. D. Barwell, C. Good, P. Oprocha y B. Raines, Characterization of ω-limit sets in topologi-

cally hyperbolic systems, Discrete and Continuous Dynamical Systems 33, (2013), 1819-1833.10. W. Bauer y K. Sigmond, Topological Dynamics of Transormations Indeced on the Space of

Probability Measures, Discrete and Continuous Dynamical Systems 33, (2013), 1819-1833.11. F. Blanchard, Topological chaos: what may this mean?, Journal of Difference Equations and

Applications, 15, (2009), 23-46.

12. F. Blanchard, E. Glasner, S. Kolyada, A. Maass, On Li-Yorke pairs, J. Reine Angew. Math.547 (2002), 51-68.

13. L. S. Block y W. A. Coppel, Dynamics in One Dimension. Lecture Notes in Mathematics

1513, Springer-Verlag, Berlin, 1992.14. L. S. Block y E. Coven, ω-limit sets for maps of the interval. Ergodic Theory and Dynamical

Systems 6, (1986), 335-344.

15. A. Blokh, A. M. Bruckner, P. D. Hume y J. Smital, The space of ω-limit sets of a continuousmap of the interval, Transactions of the American Mathematical Society 348, (1996), 1357-

1372.16. M. Brin y G. Stuck, Introduction to Dynamical Systems, Cambridge University Press, Cam-

bridge, U.K., 2002.17. A. M. Bruckner y J. Ceder, Chaos in terms of the map x → ω(x, f), Pacific Journal of

Mathematics 156, (1992), 63-96.18. E. Coven, I. Kan y J. Yorke, Pseudo-orbit Shadowing in the Family of Tent Maps, Transactions

of the American Mathematical Society 308, (1988), 227-241.19. R. L. Devaney, An Introduction to Chaotic Dynamical Systems, Second Edition, Addison-

Wesley, Redwood City, CA, 1989.20. L. Fernandez y C. Good, Shadowing for induced maps of hyperspaces, Fund. Math. 235 (2016),

no. 3, 277-286.

21. L. Fernandez, C. Good, M. Puljiz y A. Ramırez Chain Transitivity in hyperspaces, Chaos,

Solitons and Fractals, 81, (2015), 83-90.22. J. L. Garcıa, D. Kwietniak, M. Lampart y P. Oprocha, Chaos on Hyperspaces, Nonlinear

Analysis 71, (2009), 1-8.23. Gottschalk y G. Hedlund, Topological Dynamics, A.M.S. Coll. Publ. 34, 1955.

24. G. Haranczyk, D. Kwietniak y P. Oprocha, A note on transitivity, sensitivity and chaos for

graph maps, Journal of Difference Equations and Applications 17, No. 10, (2011), 1549-1553.25. Hasselblatt y Katok, A first course in dynamics.

26. M. W. Hirsch, H. L. Smith y X-Q. Zhao, Chain transitivity, attractivity, and strong repelors

for semy-dynamical systems, Journal of Dynamics and Differential Equations 13, (2001), 107-131.

27. L. Hoehn y C. Mouron, Hierarchies of chaotic maps on continua, Ergodic Theory and Dyna-

mical Systems 34, No. 6, (2014), 1897-1913.28. A. Illanes y S. Nadler, Hyperspaces, Fundamentals and Recent Advances, Monographs and

Textbooks in Pure and Applied Mathematics, Vol. 216, Marcel Dekker Inc., New York, 1999.


29. J. King y H. Mendez, Sistemas dinamicos discretos, Las Prensas de Ciencias, UNAM, MexicoD.F., 2014.

30. Z. Kocan, V. Kornecka-Kurkova y M. Malek, On the centre and the set of ω-limit points ofcontinuous maps on dendrites, Topology and its Applications 156, (2009), 2923-2931.

31. S. Kolyada, L. Snoha y S. Trofimchuk, Noninvertible minimal maps, Fund. Math. 168 (2001),

no. 2, 141-163.32. D. Kwietniak y P. Oprocha, Topological Entropy and Chaos for Induced Hyperspace Maps,

Chaos, Solitons and Fractals 33, (2007), 76-86.

33. J. Li, P. Oprocha, X. Ye y R. Zhang, When are all closed subsets recurrent?, Ergodic TheoryDynam. Systems 37 (2017), no. 7, 2223-2254.

34. J. Li, K. Yan y X. Ye, Recurrence properties and disjointness on the induced spaces, Discreteand Continuous Dynamical Systems 35, No. 3, (2015), 1059-1073.

35. G. Liao, L. Wang y Y. Zhang, Transitivity, mixing and chaos for a class of set-valued map-

pings, Science in China: Series A Mathematics 49, (2006), 1-8.36. M. Matviichuk y D. Robatian, Chain Transitivity Induced Interval Maps on Continua, Dis-

crete and Continuous Dynamical Systems 35, (2015), 741-755.37. J. H. May y S. Shao, Spaces of ω-limit sets of graph maps, Fundamenta Mathematicae 196,

(2007), 91-100.38. J. Meddaugh y B. Raines, Shadowing and internal chain transitivity, Fundamenta Mathema-

ticae 222, No. 3, (2013), 279-287.39. H. Mendez, On Density of Periodic Points for Induced Hyperspace Maps, Topology Procee-

dings 35, (2010), 281-290.

40. I. Mizera, Generic properties of one dimensional dynamical systems, Ergodic Theory andRelated Topics III, Springer, (1992), 163-173.

41. S. B. Nadler, Continuum Theory, an Introduction, Marcell Dekker, New York, 1992.42. P. Oprocha y G. Zhang, On sets with recurrence properties, their topological structure and

entropy, Topology and its Applications 159, (2012), 1767-1777.43. H. L. Royden, Real Analysis, Macmillan Company, Toronto, Ontario, 1968.44. M. Vellekoop y R. Berglund, On Intervals, Transitivity=Chaos, American Mathematical

Montly 101, (1994), 353-355.45. P. Walters, An Introduction to Ergodic Theory. Graduate Texts in Mathematics 79, Springer

Verlag, New York, 1982.

Departamento de Matematicas, Facultad de Ciencias, UNAM, Ciudad Universitaria,

C.P. 04510, Cd. Mx., MEXICO.Email address: [email protected]

Indice - tifon.fciencias.unam.mxtifon.fciencias.unam.mx/hml/chain-recurrence-2.pdf · Un espacio m...

Documents

Transcript of Indice - tifon.fciencias.unam.mxtifon.fciencias.unam.mx/hml/chain-recurrence-2.pdf · Un espacio m...