INDUCCIÓN MATEMÁTICA

1

El método inductivo consiste en la inferencia (obtención) de conclusiones generales a partir de un gran

número de casos o experimentos individuales. En matemáticas, esta conclusión, aunque pueda parecer

completamente razonable, puede ser falsa. Sin embargo, la inducción matemática se usa a menudo para

verificar, o probar, una conjetura obtenida mediante el método inductivo.

Ejemplo 1. Usando el método inductivo, a continuación se analiza, parte izquierda, la suma de números

enteros positivos pares consecutivos, para 2, 3, 4, 5 y 6 números:

2 números 2 + 4 = 6 6 = 2 (2 + 1) 6 = 2 x 3 6

3 números 2 + 4 + 6 = 12 12 = 3 (3 + 1) 12 = 3 x 4 12

4 números 2 + 4 + 6 + 8 = 20 20 = 4 (4 + 1) 20 = 4 x 5 20

5 números 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30 30 = 5 (5 + 1) 30 = 5 x 6 30

6 números 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 = 42 42 = 6 (6 + 1) 42 = 6 x 7 42

En la parte derecha, se observa que a suma de los dos primeros números pares es igual al producto de los

por el número siguiente. Del mismo modo, la suma de tres números positivos pares consecutivos es igual a 3

por el número siguiente, y así sucesivamente. En general, se tiene que:

𝑷(𝒏): 𝟐 + 𝟒 + 𝟔 + ⋯ 𝟐𝒏 = 𝒏(𝒏 + 𝟏)

Para demostrar la proposición 𝑃(𝑛), siendo el conjunto universo el conjunto de los enteros positivos, se usa

el método de inducción matemática, que consiste en lo siguiente:

1. Mostrar que la propiedad 𝑃(𝑛)se cumple para 𝑛 = 1 (o para algún otro valor especial de 𝑛).

2. Se supone que la propiedad 𝑃(𝑛) es válida para 𝑛 = 𝑘.

3. Se supone que la propiedad 𝑃(𝑛) es válida para 𝑛 = 𝑘 + 1.

4. Se demuestra que 𝑛 = 𝑘 ⟹ 𝑛 = 𝑘 + 1, utilizando el método directo.

Entonces 𝑃(𝑛) se cumple para cualquier 𝑛.

En el ejemplo anterior se tiene que:

1. La propiedad se cumple para 𝑛 = 1. 𝒏 = 𝟏 2 = 1(1 + 1) = 2

2. Se supone que la propiedad es válida para 𝑛 = 𝑘. 𝒏 = 𝒌 2 + 4 + 6 + ⋯ 2𝑘 = 𝑘(𝑘 + 1)

3. Se supone que la propiedad es válida para 𝑛 = 𝑘 + 1. 𝒏 = 𝒌 + 𝟏 𝒏 = 𝒌 + 𝟏

2 + 4 + 6 + ⋯ 2𝑘 + 2(𝑘 + 1) = 𝑘(𝑘 + 1)[(𝑘 + 1) + 1] 2 + 4 + 6 + ⋯ 2𝑘 + 2(𝑘 + 1) = 𝑘(𝑘 + 1)(𝑘 + 2)

4. Se demuestra que 𝑛 = 𝑘 ⟹ 𝑛 = 𝑘 + 1, utilizando el método directo.

2 + 4 + 6 + ⋯ 2𝑘 = 𝑘(𝑘 + 1) ⟹ 2 + 4 + 6 + ⋯ + 2𝑘 + 2(𝑘 + 1) = (𝑘 + 1)(𝑘 + 2) 2𝑘 = 𝑘(𝑘 + 1) ⟹ 2𝑘 + 2(𝑘 + 1) = (𝑘 + 1)(𝑘 + 2)

𝑯𝒊𝒑ó𝒕𝒆𝒔𝒊𝒔 ⟹ 𝒕𝒆𝒔𝒊𝒔

PROPOSICIONES RAZONES

1. 2 + 4 + 6 + ⋯ 2𝑘 = 𝑘(𝑘 + 1) Dato

2. 2 + 4 + 6 + ⋯ 2𝑘 = 𝑘(𝑘 + 1) = 𝑘(𝑘 + 1) + 2(𝑘 + 1) Axioma aditivo (=)

3. 2 + 4 + 6 + ⋯ 2𝑘 = 𝑘(𝑘 + 1) = (𝑘 + 1)(𝑘 + 2) Factor común en 2

Luego, 𝟐 + 𝟒 + 𝟔 + ⋯ + 𝟐𝒏 = 𝒏(𝒏 + 𝟏), se cumple para cualquier valor de n entero positivo par consecutivo.

𝑛 =números de sumandos

INDUCCIÓN MATEMÁTICA

2

Ejemplo 2. Sea 𝑃(𝑛) la afirmación de que la suma de los 𝑛 primeros enteros positivos es igual a la mitad del

producto de los enteros n y (n + 1). Utilizando símbolos, esto se puede expresar como:

𝑃(𝑛) = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛 =𝑛(𝑛 + 1)

2

1. La propiedad se cumple para 𝑛 = 1. 𝒏 = 𝟏

1 =1(1 + 1)

2 1 = 1

2. Se supone que la propiedad es válida para 𝑛 = 𝑘. 𝒏 = 𝒌

1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑘 =𝑘(𝑘 + 1)

2

3. Se supone que la propiedad es válida para 𝑛 = 𝑘 + 1.

𝒏 = 𝒌 + 𝟏 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑘 + (𝑘 + 1) =(𝑘 + 1)[(𝑘 + 1) + 1]

2

𝒏 = 𝒌 + 𝟏 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑘 + (𝑘 + 1) =(𝑘 + 1)(𝑘 + 2)

2

4. Se demuestra que 𝑛 = 𝑘 ⟹ 𝑛 = 𝑘 + 1, utilizando el método directo.

1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑘 =𝑘(𝑘 + 1)

2⟹ 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑘 + (𝑘 + 1) =

(𝑘 + 1)(𝑘 + 2)

2

𝑯𝒊𝒑ó𝒕𝒆𝒔𝒊𝒔 ⟹ 𝒕𝒆𝒔𝒊𝒔

PROPOSICIONES RAZONES

1. 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑘 =𝑘(𝑘 + 1)

2 Dato

2. 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑘 + (𝑘 + 1) =𝑘(𝑘 + 1)

2+ (𝑘 + 1) Axioma aditivo (=)

3. 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑘 + (𝑘 + 1) =[𝑘(𝑘 + 1) + 2(𝑘 + 1)]

2 Suma de fracciones.

4. 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑘 + (𝑘 + 1) =(𝑘 + 1)(𝑘 + 2)

2 Factor común en 2

Por lo tanto, 𝟏 + 𝟐 + 𝟑 + ⋯ + 𝒏 =𝒏(𝒏+𝟏)

𝟐 se cumple para cualquier valor de n entero positivo.

EJERCICIOS

1. Demostrar los siguientes teoremas o fórmulas, que dependen de la variable n, mediante el método de

inducción matemática. El universo es el conjunto de los enteros positivos. 𝟏) 𝟒 + 𝟖 + 𝟏𝟐 + ⋯ + 𝟒𝒏 = 𝟐𝒏(𝒏 + 𝟏)

𝑛 = 1 4(1) = 2 ∙ 1(1 + 1) 4 = 2(2) 4 = 4 𝑛 = 2 4 + 4(2) = 2 ∙ 2(2 + 1) 4 + 8 = 4(3) 12 = 12 𝑛 = 3 4 + 8 + 4(3) = 2 ∙ 3(3 + 1) 4 + 8 + 12 = 6(4) 24 = 24 𝑛 = 4 4 + 8 + 12 + 4(4) = 2 ∙ 4(4 + 1) 4 + 8 + 12 + 16 = 8(5) 40 = 40

𝑛 = 𝑘 4 + 8 + 12 + ⋯ + 4𝑘 = 2𝑘(𝑘 + 1)

𝑛 = 𝑘 + 1 4 + 8 + 12 + ⋯ + 4𝑘 + 4(𝑘 + 1) = 2(𝑘 + 1)[(𝑘 + 1) + 1] 4 + 8 + 12 + ⋯ + 4𝑘 + 4(𝑘 + 1) = 2(𝑘 + 1)(𝑘 + 2)

𝐻 ⟹ 𝑘

𝑛 = 𝑘 ⟹ 𝑛 = 𝑘 + 1 4 + 8 + 12 + ⋯ + 4𝑘 = 2𝑘(𝑘 + 1) ⟹ 4 + 8 + 12 + ⋯ + 4𝑘 + 4(𝑘 + 1) = 2(𝑘 + 1)(𝑘 + 2)

4𝑘 = 2𝑘(𝑘 + 1) ⟹ 4𝑘 + 4(𝑘 + 1) = 2(𝑘 + 1)(𝑘 + 2)

PROPOSICIONES RAZONES

1. 4𝑘 = 2𝑘(𝑘 + 1) Dato

2. 4𝑘 + 4(𝑘 + 1) = 2𝑘(𝑘 + 1) + 4(𝑘 + 1) Axioma aditivo (=)

3. 4𝑘 + 4(𝑘 + 1) = 2(𝑘 + 1)(𝑘 + 2) Factor común en 2

INDUCCIÓN MATEMÁTICA

3

𝟐) 𝟏 + 𝟐 + 𝟑 + ⋯ + 𝒏 =𝟏

𝟐𝒏(𝒏 + 𝟏)

𝑛 = 1

1 =1

2∙ 1(1 + 1)

1

2(2)

2

2 1

𝑛 = 2 1 + 2 =

1

2∙ 2(2 + 1)

2

2(3)

6

2 3

𝑛 = 3 1 + 2 + 3 =

1

2∙ 3(3 + 1)

3

2(4)

12

2 6

𝑛 = 4 1 + 2 + 3 + 4 =

1

2∙ 4(4 + 1)

4

2(5)

20

2 10

𝑛 = 𝑘

1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑘 =1

2𝑘(𝑘 + 1)

𝑛 = 𝑘 + 1 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑘 + (𝑘 + 1) =

1

2(𝑘 + 1)[(𝑘 + 1) + 1]

1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑘 + (𝑘 + 1) =1

2(𝑘 + 1)(𝑘 + 2)

𝐻 ⟹ 𝑘

𝑛 = 𝑘 ⟹ 𝑛 = 𝑘 + 1

1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑘 =1

2𝑘(𝑘 + 1) ⟹ 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑘 + (𝑘 + 1) =

1

2(𝑘 + 1)(𝑘 + 2)

𝑘 =1

2𝑘(𝑘 + 1) ⟹ 𝑘 + (𝑘 + 1) =

1

2(𝑘 + 1)(𝑘 + 2)

PROPOSICIONES RAZONES

1. 𝑘 =1

2𝑘(𝑘 + 1) Dato

2. 𝑘 + (𝑘 + 1) =1

2𝑘(𝑘 + 1) + (𝑘 + 1) Axioma aditivo (=)

3. 𝑘 + (𝑘 + 1) = (𝑘 + 1) (1

2𝑘 + 1) Factor común en 2

4. 𝑘 + (𝑘 + 1) = (𝑘 + 1) (𝑘 + 2

2) Def. (+) de fraccion

5. 𝑘 + (𝑘 + 1) = (𝑘 + 1)1

2(𝑘 + 2) Def. (÷)

6. 𝑘 + (𝑘 + 1) =1

2(𝑘 + 1)(𝑘 + 2) Ax. Conmutativo (x)

𝟑) 𝟑 + 𝟕 + 𝟏𝟏 + ⋯ + (𝟒𝒏 − 𝟏) = 𝒏(𝟐𝒏 + 𝟏)

𝑛 = 1 [4(1) − 1] = 1[2(1) + 1] 4 − 3 = 3(1) 3 = 3 𝑛 = 2 3 + [4(2) − 1] = 2[2(2) + 1] 3 + 7 = 2(5) 10 = 10 𝑛 = 3 3 + 7 + [4(3) − 1] = 3[2(3) + 1] 10 + 11 = 3(7) 21 = 21 𝑛 = 4 3 + 7 + 11 + [4(4) − 1] = 4[2(4) + 1] 21 + 15 = 4(9) 36 = 36

𝑛 = 𝑘 3 + 7 + 11 + ⋯ + (4𝑘 − 1) = 𝑘(2𝑘 + 1)

𝑛 = 𝑘 + 1 3 + 7 + 11 + ⋯ + (4𝑘 − 1) + [4(𝑘 + 1) − 1] = (𝑘 + 1)[2(𝑘 + 1) + 1] 3 + 7 + 11 + ⋯ + (4𝑘 − 1) + (4𝑘 + 3) = (𝑘 + 1)(2𝑘 + 3)

𝐻 ⟹ 𝑘

𝑛 = 𝑘 ⟹ 𝑛 = 𝑘 + 1 3 + 7 + 11 + ⋯ + (4𝑘 − 1) = 𝑘(2𝑘 + 1) ⟹ 3 + 7 + 11 + ⋯ + (4𝑘 − 1) + (4𝑘 + 3) = (𝑘 + 1)(2𝑘 + 3)

(4𝑘 − 1) = 𝑘(2𝑘 + 1) ⟹ 4(𝑘 − 1) + (4𝑘 + 3) = (𝑘 + 1)(2𝑘 + 3)

PROPOSICIONES RAZONES

1. (4𝑘 − 1) = 𝑘(2𝑘 + 1) Dato

2. (4𝑘 − 1) + (4𝑘 + 3) = 𝑘(2𝑘 + 1) + (4𝑘 + 3) Axioma aditivo (=)

3. (4𝑘 − 1) + (4𝑘 + 3) = 2𝑘2 + 𝑘 + 4𝑘 + 3 Def. (x)

4. (4𝑘 − 1) + (4𝑘 + 3) = 2𝑘2 + 5𝑘 + 3 Def. (+)

5. (4𝑘 − 1) + (4𝑘 + 3) = (𝑘 + 1)(2𝑘 + 3) Factorización 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

INDUCCIÓN MATEMÁTICA

4

𝟒) 𝟏 + 𝟑 + 𝟓 + ⋯ + (𝟐𝒏 − 𝟏) = 𝒏𝟐

𝑛 = 1 [2(1) − 1] = (1)2 1 = 1 1 = 1 𝑛 = 2 1 + [2(2) − 1] = (2)2 1 + 3 = 4 4 = 4 𝑛 = 3 1 + 3 + [2(3) − 1] = (3)2 1 + 3 + 5 = 9 9 = 9 𝑛 = 4 1 + 3 + 5 + [2(4) − 1] = (4)2 1 + 3 + 5 + 7 = 16 16 = 16

𝑛 = 𝑘 1 + 3 + 5 + ⋯ + (2𝑘 − 1) = 𝑘2

𝑛 = 𝑘 + 1 1 + 3 + 5 + ⋯ + (2𝑘 − 1) + [2(𝑘 + 1) − 1] = (𝑘 + 1)2 1 + 3 + 5 + ⋯ + (2𝑘 − 1) + (2𝑘 + 1) = (𝑘 + 1)2

𝐻 ⟹ 𝑘

𝑛 = 𝑘 ⟹ 𝑛 = 𝑘 + 1 1 + 3 + 5 + ⋯ + (2𝑘 − 1) = 𝑘2 ⟹ 1 + 3 + 5 + ⋯ + (2𝑘 − 1) + (2𝑘 + 1) = (𝑘 + 1)2

(2𝑘 − 1) = 𝑘2 ⟹ (2𝑘 − 1) + (2𝑘 + 1) = (𝑘 + 1)2

PROPOSICIONES RAZONES

1. (2𝑘 − 1) = 𝑘2 Dato

2. (2𝑘 − 1) + (2𝑘 + 1) = 𝑘2 + (2𝑘 + 1) Axioma aditivo (=)

3. (2𝑘 − 1) + (2𝑘 + 1) = 𝑘2 + 2𝑘 + 1 Supresión de signos de agrupación

4. (2𝑘 − 1) + (2𝑘 + 1) = (𝑘 + 1)2 Trinomio cuadrado perfecto

𝟓) 𝟏 ∙ 𝟐 + 𝟐 ∙ 𝟑 + ⋯ + 𝒏(𝒏 + 𝟏) =𝟏

𝟑𝒏(𝒏 + 𝟏)(𝒏 + 𝟐)

𝑛 = 1 1(1 + 1) =1

3(1)(1 + 1)(1 + 2) 2 =

6

3 2 = 2

𝑛 = 2 1 ∙ 2 + 2(2 + 1) =1

3(2)(2 + 1)(2 + 2) 2 + 6 =

24

3 8 = 8

𝑛 = 3 1 ∙ 2 + 2 ∙ 3 + 3(3 + 1) =1

3(3)(3 + 1)(3 + 2) 2 + 6 + 12 =

60

3 20 = 20

𝑛 = 4 1 ∙ 2 + 2 ∙ 3 + 3 ∙ 4 + 4(4 + 1) =1

3(4)(4 + 1)(4 + 2) 2 + 6 + 12 + 20 =

120

3 40 = 40

𝑛 = 𝑘 1 ∙ 2 + 2 ∙ 3 + ⋯ + 𝑘(𝑘 + 1) =1

3𝑘(𝑘 + 1)(𝑘 + 2)

𝑛 = 𝑘 + 1 1 ∙ 2 + 2 ∙ 3 + ⋯ + 𝑘(𝑘 + 1) + (𝑘 + 1)[(𝑘 + 1) + 1] =

1

3(𝑘 + 1)[(𝑘 + 1) + 1][(𝑘 + 1) + 2]

1 ∙ 2 + 2 ∙ 3 + ⋯ + 𝑘(𝑘 + 1) + (𝑘 + 1)[(𝑘 + 1) + 1] =1

3(𝑘 + 1)(𝑘 + 2)(𝑘 + 3)

𝐻 ⟹ 𝑘

𝑛 = 𝑘 ⟹ 𝑛 = 𝑘 + 1

1 ∙ 2 + 2 ∙ 3 + ⋯ + 𝑘(𝑘 + 1) =1

3𝑘(𝑘 + 1)(𝑘 + 2) ⟹ 1 ∙ 2 + 2 ∙ 3 + ⋯ + 𝑘(𝑘 + 1) + (𝑘 + 1)[(𝑘 + 1) + 1] =

1

3(𝑘 + 1)(𝑘 + 2)(𝑘 + 3)

𝑘(𝑘 + 1) =1

3𝑘(𝑘 + 1)(𝑘 + 2) ⟹ 𝑘(𝑘 + 1) + (𝑘 + 1)(𝑘 + 2) =

1

3(𝑘 + 1)(𝑘 + 2)(𝑘 + 3)

PROPOSICIONES RAZONES

1. 𝑘(𝑘 + 1) =1

3𝑘(𝑘 + 1)(𝑘 + 2) Dato

2. 𝑘(𝑘 + 1) + (𝑘 + 1)(𝑘 + 2) =1

3𝑘(𝑘 + 1)(𝑘 + 2) + (𝑘 + 1)(𝑘 + 2) Axioma aditivo (=)

3. 𝑘(𝑘 + 1) + (𝑘 + 1)(𝑘 + 2) = (𝑘 + 1)(𝑘 + 2) (1

3𝑘 + 1) Factor común en 2

4. 𝑘(𝑘 + 1) + (𝑘 + 1)(𝑘 + 2) = (𝑘 + 1)(𝑘 + 2) [1

3𝑘 +

1

3(3)]

1

𝑎(𝑎) =

𝑎

𝑎= 1

5. 𝑘(𝑘 + 1) + (𝑘 + 1)(𝑘 + 2) = (𝑘 + 1)(𝑘 + 2)1

3(𝑘 + 3) Factor común en 3

6. 𝑘(𝑘 + 1) + (𝑘 + 1)(𝑘 + 2) =1

3(𝑘 + 1)(𝑘 + 2)(𝑘 + 3) Ax. conmutativo

INDUCCIÓN MATEMÁTICA

5

𝟔) 𝟐 + 𝟐𝟐 + 𝟐𝟑 + ⋯ + 𝟐𝒏 = 𝟐𝒏+𝟏 − 𝟐 𝑛 = 1 21 = 21+1 − 2 2 = 22 − 2 2 = 4 − 2 2 = 2 𝑛 = 2 2 + 22 = 22+1 − 2 2 + 4 = 23 − 2 6 = 8 − 2 6 = 6 𝑛 = 3 2 + 22 + 23 = 23+1 − 2 2 + 4 + 8 = 24 − 2 14 = 16 − 2 14 = 14 𝑛 = 4 2 + 22 + 23 + 24 = 24+1 − 2 2 + 4 + 8 + 16 = 25 − 2 30 = 32 − 2 30 = 30

𝑛 = 𝑘 2 + 22 + 23 + ⋯ + 2𝑘 = 2𝑘+1 − 2 𝑛 = 𝑘 + 1 2 + 22 + 23 + ⋯ + 2𝑘 + 2𝑘+1 = 2(𝑘+1)+1 − 2

2 + 22 + 23 + ⋯ + 2𝑘 + 2𝑘+1 = 2𝑘+2 − 2

𝐻 ⟹ 𝑘 𝑛 = 𝑘 ⟹ 𝑛 = 𝑘 + 1

2 + 22 + 23 + ⋯ + 2𝑘 = 2𝑘+1 − 2 ⟹ 2 + 22 + 23 + ⋯ + 2𝑘 + 2𝑘+1 = 2𝑘+2 − 2 2𝑘 = 2𝑘+1 − 2 ⟹ 2𝑘 + 2𝑘+1 = 2𝑘+2 − 2

PROPOSICIONES RAZONES

1. 2𝑘 = 2𝑘+1 − 2 Dato

2. 2𝑘 + 2𝑘+1 = 2𝑘+1 − 2 + 2𝑘+1 Axioma aditivo (=)

3. 2𝑘 + 2𝑘+1 = 2𝑘+1 + 2𝑘+1 − 2 Ax. Conmutativo (+)

4. 2𝑘 + 2𝑘+1 = (2𝑘+1 + 2𝑘+1) − 2 Ax. asociativo (+) 5. 2𝑘 + 2𝑘+1 = 2𝑘+1(1 + 1) − 2 Factor común

6. 2𝑘 + 2𝑘+1 = 2𝑘+1(2) − 2 Ax. Clausurativo (+)

7. 2𝑘 + 2𝑘+1 = 2𝑘+1+1 − 2 𝑎𝑚 ∙ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛

8. 2𝑘 + 2𝑘+1 = 2𝑘+2 − 2 Ax. Clausurativo (+)

𝟕) 𝟑 + 𝟐 ∙ 𝟑 + 𝟐 ∙ 𝟑𝟐 + ⋯ + 𝟐 ∙ 𝟑𝒏 = 𝟑𝒏+𝟏 𝑛 = 1 3 + 2 ∙ 31 = 31+1 3 + 6 = 32 9 = 9 𝑛 = 2 3 + 2 ∙ 3 + 2 ∙ 32 = 32+1 3 + 6 + 18 = 33 27 = 27 𝑛 = 3 3 + 2 ∙ 3 + 2 ∙ 32 + 2 ∙ 33 = 33+1 3 + 6 + 18 + 54 = 34 81 = 81 𝑛 = 4 3 + 2 ∙ 3 + 2 ∙ 32 + 2 ∙ 33 + 2 ∙ 34 = 34+1 3 + 6 + 18 + 54 + 162 = 35 243 = 243

𝑛 = 𝑘 3 + 2 ∙ 3 + 2 ∙ 32 + ⋯ + 2 ∙ 3𝑘 = 3𝑘+1 𝑛 = 𝑘 + 1 3 + 2 ∙ 3 + 2 ∙ 32 + ⋯ + 2 ∙ 3𝑘 + 2 ∙ 3𝑘+1 = 3(𝑘+1)+1

3 + 2 ∙ 3 + 2 ∙ 32 + ⋯ + 2 ∙ 3𝑘 + 2 ∙ 3𝑘+1 = 3𝑘+2

𝐻 ⟹ 𝑘 𝑛 = 𝑘 ⟹ 𝑛 = 𝑘 + 1

3 + 2 ∙ 3 + 2 ∙ 32 + ⋯ + 2 ∙ 3𝑘 = 3𝑘+1 ⟹ 3 + 2 ∙ 3 + 2 ∙ 32 + ⋯ + 2 ∙ 3𝑘 + 2 ∙ 3𝑘+1 = 3𝑘+2 2 ∙ 3𝑘 = 3𝑘+1 ⟹ 2 ∙ 3𝑘 + 2 ∙ 3𝑘+1 = 3𝑘+2

PROPOSICIONES RAZONES

1. 2 ∙ 3𝑘 = 3𝑘+1 Dato

2. 2 ∙ 3𝑘 + 2 ∙ 3𝑘+1 = 3𝑘+1 + 2 ∙ 3𝑘+1 Axioma aditivo (=)

3. 2 ∙ 3𝑘 + 2 ∙ 3𝑘+1 = 3𝑘+1(1 + 2) Factor común

4. 2 ∙ 3𝑘 + 2 ∙ 3𝑘+1 = 3𝑘+1(3) Ax. Clausurativo (+)

5. 2 ∙ 3𝑘 + 2 ∙ 3𝑘+1 = 3𝑘+1+1 𝑎𝑚 ∙ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛

6. 2 ∙ 3𝑘 + 2 ∙ 3𝑘+1 = 3𝑘+2 Ax. Clausurativo (+)

INDUCCIÓN MATEMÁTICA

6

𝟖) 𝟏𝟐 + 𝟐𝟐 + 𝟑𝟐 + ⋯ + 𝒏𝟐 =𝟏

𝟔𝒏(𝒏 + 𝟏)(𝟐𝒏 + 𝟏)

𝑛 = 1 (1)2 =1

6(1)(1 + 1)[2(1) + 1] 1 =

1

6(2)(3) 1 =

6

6 1 = 1

𝑛 = 2 12 + (2)2 =1

6(2)(2 + 1)[2(2) + 1] 5 =

1

6(6)(5) 5 =

30

6 5 = 5

𝑛 = 3 12 + 22 + (3)2 =1

6(3)(3 + 1)[2(3) + 1] 14 =

1

6(12)(7) 14 =

84

6 14 = 14

𝑛 = 4 12 + 22 + 32 + (4)2 =1

6(4)(4 + 1)[2(4) + 1] 30 =

1

6(20)(9) 30 =

180

6 30 = 30

𝑛 = 𝑘 12 + 22 + 32 + ⋯ + 𝑘2 =1

6𝑘(𝑘 + 1)(2𝑘 + 1)

𝑛 = 𝑘 + 1 12 + 22 + 32 + ⋯ + 𝑘2 + (𝑘 + 1)2 =

1

6(𝑘 + 1)[(𝑘 + 1) + 1][2(𝑘 + 1) + 1]

12 + 22 + 32 + ⋯ + 𝑘2 + (𝑘 + 1)2 =1

6(𝑘 + 1)(𝑘 + 2)(2𝑘 + 3)

𝐻 ⟹ 𝑘

𝑛 = 𝑘 ⟹ 𝑛 = 𝑘 + 1

12 + 22 + 32 + ⋯ + 𝑘2 =1

6𝑘(𝑘 + 1)(2𝑘 + 1) ⟹ 12 + 22 + 32 + ⋯ + 𝑘2 + (𝑘 + 1)2 =

1

6(𝑘 + 1)(𝑘 + 2)(2𝑘 + 3)

𝑘2 =1

6𝑘(𝑘 + 1)(2𝑘 + 1) ⟹ 𝑘2 + (𝑘 + 1)2 =

1

6(𝑘 + 1)(𝑘 + 2)(2𝑘 + 3)

PROPOSICIONES RAZONES

1. 𝑘2 =1

6𝑘(𝑘 + 1)(2𝑘 + 1) Dato

2. 𝑘2 + (𝑘 + 1)2 =1

6𝑘(𝑘 + 1)(2𝑘 + 1) + (𝑘 + 1)2 Axioma aditivo (=)

3. 𝑘2 + (𝑘 + 1)2 = (𝑘 + 1) [1

6𝑘(2𝑘 + 1) + (𝑘 + 1)] Factor común en 2.

4. 𝑘2 + (𝑘 + 1)2 = (𝑘 + 1) [1

6𝑘(2𝑘 + 1) +

6

6(𝑘 + 1)]

𝑎

𝑎= 1

5. 𝑘2 + (𝑘 + 1)2 = (𝑘 + 1)1

6[𝑘(2𝑘 + 1) + 6(𝑘 + 1)] Factor común en 4.

6. 𝑘2 + (𝑘 + 1)2 = (𝑘 + 1)1

6(2𝑘2 + 𝑘 + 6𝑘 + 6) Ax. Distributivo - recolectivo

7. 𝑘2 + (𝑘 + 1)2 = (𝑘 + 1)1

6(2𝑘2 + 7𝑘 + 6) Ax. Clausurativo (+)

8. 𝑘2 + (𝑘 + 1)2 = (𝑘 + 1)1

6(2𝑘 + 3)(𝑘 + 2) Trinomio 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

9. 𝑘2 + (𝑘 + 1)2 =1

6(𝑘 + 1)(𝑘 + 2)(2𝑘 + 3) Ax. Conmutativo

INDUCCIÓN MATEMÁTICA

7

𝟗) 𝟏𝟑 + 𝟐𝟑 + 𝟑𝟑 + ⋯ + 𝒏𝟑 =𝟏

𝟒𝒏𝟐(𝒏 + 𝟏)𝟐

𝑛 = 1 (1)3 =1

4(1)2(1 + 1)2 1 =

1

4(1)(2)2 1 =

4

4 1 = 1

𝑛 = 2 (1)3 + (2)3 =1

4(2)2(2 + 1)2 9 =

1

4(4)(3)2 9 =

36

4 9 = 9

𝑛 = 3 (1)3 + (2)3 + (3)3 =1

4(3)2(3 + 1)2 36 =

1

4(9)(4)2 36 =

144

4 36 = 36

𝑛 = 4 (1)3 + (2)3 + (3)3 + (4)3 =1

4(4)2(4 + 1)2 100 =

1

4(16)(5)2 100 =

400

4 100 = 100

𝑛 = 𝑘 13 + 23 + 33 + ⋯ + 𝑘3 =1

4𝑘2(𝑘 + 1)2

𝑛 = 𝑘 + 1 13 + 23 + 33 + ⋯ + 𝑘3 + (𝑘 + 1)2 =

1

4(𝑘 + 1)2[(𝑘 + 1) + 1]2

13 + 23 + 33 + ⋯ + 𝑘3 + (𝑘 + 1)2 =1

4(𝑘 + 1)2(𝑘 + 2)2

𝐻 ⟹ 𝑘

𝑛 = 𝑘 ⟹ 𝑛 = 𝑘 + 1

13 + 23 + 33 + ⋯ + 𝑘3 =1

4𝑘2(𝑘 + 1)2 ⟹ 13 + 23 + 33 + ⋯ + 𝑘3 + (𝑘 + 1)2 =

1

4(𝑘 + 1)2(𝑘 + 2)2

𝑘3 =1

4𝑘2(𝑘 + 1)2 ⟹ 𝑘3 + (𝑘 + 1)2 =

1

4(𝑘 + 1)2(𝑘 + 2)2

PROPOSICIONES RAZONES

1. 𝑘3 =1

4𝑘2(𝑘 + 1)2 Dato

2. 𝑘3 + (𝑘 + 1)2 =1

4𝑘2(𝑘 + 1)2 + (𝑘 + 1)2 Axioma aditivo (=)

3. 𝑘3 + (𝑘 + 1)2 = (𝑘 + 1)2 [1

4𝑘2 + (𝑘 + 1)] Supresión de signos de agrupación

4. 𝑘3 + (𝑘 + 1)2 = (𝑘 + 1)2 [1

4𝑘2 +

4

4(𝑘 + 1)]

𝑎

𝑎= 1

5. 𝑘3 + (𝑘 + 1)2 = (𝑘 + 1)21

4[𝑘2 + 4(𝑘 + 1)] Factor común en 4.

6. 𝑘3 + (𝑘 + 1)2 = (𝑘 + 1)21

4(𝑘2 + 4𝑘 + 4) Ax. Distributivo – recolectivo

7. 𝑘3 + (𝑘 + 1)2 = (𝑘 + 1)21

4(𝑘 + 2)2 Trinomio cuadrado perfecto

8. 𝑘3 + (𝑘 + 1)2 =1

4(𝑘 + 1)2(𝑘 + 2)2 Ax. Conmutativo