INDUCTANCIA

Autoinducción

Supongamos un solenoide de N espiras, de longitud d y de sección S recorrido por una corriente de intensidad i.

En un circuito existe una corriente que produce un campo magnético ligado al propio circuito y que varía cuando lo hace la intensidad. Por tanto, cualquier circuito en el que exista una corriente variable producirá una fem inducida que denominaremos fuerza electromotriz autoinducida.

La variación del flujo magnético es producida por la variación de la corriente en el circuito. Esto lo podemos expresar como:

dt

dI

dt

d

Haciendo una igualdad y agregando una constante que la llamaremos L queda:

dt

dIL

dt

d

Aplicando la ley de Faraday para N espiras

dt

dIL

dt

dN

dt

dN

Integrando

I

NL

LIN

Representa el flujo magnético a través del circuito.

Donde:

N representa el número de espiras que tenga circuito.

I representa la corriente que circula en el circuito

La constante de proporcionalidad L es conocida con el nombre de inductancia, y representa físicamente la oposición que presenta el circuito a la variación de la corriente, es una propiedad similar a la inercia en los sistemas mecánicos, esto es, de oponerse al cambio en la cantidad de movimiento.

De la misma forma en que la resistencia R de un material es una propiedad del tipo de material y de su geometría, así como la capacitancia C de un circuito depende de la geometría , la inductancia L depende de la geometría del dispositivo del circuito

Ejemplo:

Un toroide tiene un radio mayor R y un radio menor r y se enrolla con N vueltas de alambre muy próximas entre si. Si R >>r, el campo magnético dentro de la región del toroide de área de sección transversal A =πr2 es esencialmente el de un solenoide largo que se ha doblado como un gran círculo de radio R. Demuestre que la inductancia de dicho toroide es aproximadamente:

R

ANL

2

20

El campo magnético en el interior de un solenoide muy largo (ideal) es:

El flujo magnético en el interior del toroide, suponiendo el campo uniforme es:

2rA

BA

La inductancia del toroide será :

nII

NA

I

NBA

I

NL 0

R

Nn

l

Nn

nIB

2

0

R

ANL

R

NNAL

2

22

0

0

Observe que la inductancia depende de la geometría del toroide mas no del flujo magnético o de la corriente.

dNi

B 0dSiN

NBSm

200cos

Se denomina coeficiente de autoinducción L al cociente entre el flujo propio m y la intensidad i.

d

SN

iL m

20

Del mismo modo que la capacitancia, el coeficiente de autoinducción solamente depende de la geometría del circuito y de las propiedades magnéticas de la sustancia que se coloque en el interior del solenoide.

La unidad de medida de la autoinducción se llama henry, abreviadamente H, en honor a Joseph Henry.

Sea un solenoide de N espiras, de longitud d, recorrido por una corriente I, cuya sección transversal es S.

Corriente autoinducida

Cuando la intensidad de la corriente i cambia con el tiempo, se induce una corriente en el propio circuito (flecha de color rojo) que se opone a los cambios de flujo, es decir de intensidad.

Derivando respecto al tiempo la expresión del flujo propio:

dtdi

dSN

dSiN

dtd

dtd m

20

20

dtdi

L La fem autoinducida siempre actúa en el sentido que se opone a la variación de corriente.

Circuitos RL

0 cabcab VVV

00 Vdtdi

LiR

ti

dtiRV

Ldi

00 0

tLReR

Vi 10

Si R/L es grande, como sucede en la mayor parte de los casos prácticos, la intensidad de la corriente alcanza su valor máximo constante V0/R muy rápidamente.

Circuitos RL

0 baab VV

0dtdi

LiR

ti

i

dtLR

idi

00

tLR

eii 0

La corriente disminuye exponencialmente con el tiempo. En la mayor parte de los casos, R/L es grande, por lo que la corriente desaparece muy rápidamente.

Energía del campo magnético

Hemos visto que para mantener una corriente en un circuito es necesario suministrar energía. La energía suministrada por la batería en la unidad de tiempo es V0· i. Esta energía se disipa, en la resistencia por efecto Joule y se acumula en la autoinducción en forma de energía magnética.

dtdi

LiRV 0 dtdi

LiRiiV 20

El último término, es la energía por unidad de tiempo que se necesita para establecer la corriente en la autoinducción o su campo magnético asociado.

dtdi

LidtdU B

221 LiUB

Esta es la energía acumulada en el campo magnético del inductor cuando la corriente es i.

Esta expresión representa la energía almacenada en el campo magnético del inductor cuando la corriente es I.

También se puede determinar la densidad de energía de un campo magnético.

Se va a considerar un solenoide cuya inductancia está dada por:

AlnL 20

El campo magnético de un solenoide está por:

n

BI

nIB

0

0

Sustituyendo L e I en la expresión para la energía:

AlB

n

BAlnLIU

0

22

0

20

2

22

1

2

1

Debido a que Al es el volumen del solenoide, la energía almacenada por unidad de volumen en el campo magnético que rodea al inductor es:

0

2

2B

Al

UuB

Aunque esta ecuación se dedujo para el caso de un solenoide, es válida para cualquier región del espacio en la cual haya un campo magnético

Circuito LC. Oscilaciones libres

0 baab VV

LC

10

0C

q

dt

dIL

02

2

C

q

dt

qdL

Circuito LC. Oscilaciones libres

La solución de la ecuación diferencial es

)( 0 tQsenq

La intensidad i es:

)cos( 00 tQdtdq

i

La energía del circuito en el instante t es la suma de la energía del campo eléctrico en el condensador y la energía del campo magnético en la bobina.

221

2

21 LiCq

UUU BE

Circuito LC. Oscilaciones libres

El equivalente mecánico del circuito LC son las oscilaciones de un sistema formado por una masa puntual unida a un resorte perfectamente elástico. El equivalente hidráulico es un sistema formado por dos vasos comunicantes.

ejemplo

Circuito LCR. Oscilaciones amortiguadas.

Las oscilaciones libres no se producen en un circuito real ya que todo circuito presenta una resistencia.

Circuito LCR conectado a un fem alterna. Oscilaciones forzadas

Las oscilaciones amortiguadas desaparecen al cabo de cierto tiempo, para mantener la oscilación en el circuito podemos conectarla a una fem alterna de frecuencia .