Inecuación cuadrática con una incógnita Dirección de Formación Básica.
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Inecuación cuadrática con una incógnita
Dirección de Formación Básica
Habilidades a desarrollar:
Al terminar el presente tema, usted estará en la
capacidad de:
1) Resolver inecuaciones cuadráticas con una
incógnita.
2) Modelar inecuaciones cuadráticas con una
incógnita en situaciones de contexto real.
Inecuación cuadrática con una incógnita
Problema motivador
Un peluquero tiene un promedio de 120 clientes semanales a
un costo actual de $8 por corte de cabello. Por cada
incremento de 75¢ en el precio, el peluquero perderá 10
clientes. Calcule el precio máximo que puede cobrarse de
modo que los ingresos semanales no sean menores que los
actuales.
Inecuación cuadrática con una incógnita
Se llama inecuación cuadrática con una incógnita a una expresión de cualquiera de los siguientes tipos:
donde , y son números reales, pero con .
Inecuación cuadrática con una incógnita
¿Cómo resolver inecuaciones cuadráticas con una incógnita?Teorema 1. Si la expresión cuadrática
tiene , entonces la ecuación cuadrática
posee dos raíces reales diferentes: y , con .
Inecuación cuadrática con una incógnita
𝑟1 𝑟2
+¿−+¿−∞ +∞
Si
𝑟1 𝑟2
−+¿−−∞ +∞
Si
Ejemplo 1 del Teorema 1. Resuelva
Resolución
Inecuación cuadrática con una incógnita
Paso 1. Expresarlo a la forma de la inecuación cuadrática
En nuestro caso:
entonces
Paso 2. Obtenemos las raíces de la ecuación cuadrática
En nuestro caso:
entonces las raíces de la cuadrática son
Paso 3. Ubicamos las raíces de la cuadrática en la recta real.
Paso 4. Usando el Teorema 1 y seleccionando la solución.
Ahora bien, comose concluye que
-5 5−∞ +∞
− ++
-5 5−∞ +∞
La expresión cuadrática es ,
con ello:
𝐶 .𝑆=¿−∞;−5[∪]5 ;+∞ ¿
Ejemplo 2 del Teorema 1. Resuelva
Resolución
Inecuación cuadrática con una incógnita
Paso 1. Expresarlo a la forma de la inecuación cuadrática
En nuestro caso:
entonces
Paso 2. Obtenemos las raíces de la ecuación cuadrática
En nuestro caso:
entonces las raíces de la cuadrática son
Paso 3. Ubicamos las raíces de la cuadrática en la recta real.
Paso 4. Usando el Teorema 1 y seleccionando la solución.
Ahora bien, como se concluye que
0 2/3−∞ +∞
− ++
0 2/3−∞ +∞
La expresión cuadrática es ,
con ello:
𝐶 .𝑆=[ 0 ; 23 ]
Ejemplo 3 del Teorema 1. Resuelva
Resolución
Inecuación cuadrática con una incógnita
Paso 1. Expresarlo a la forma de la inecuación cuadrática
En nuestro caso:
entonces
Paso 2. Obtenemos las raíces de la ecuación cuadrática
En nuestro caso:
entonces las raíces de la cuadrática son
Paso 3. Ubicamos las raíces de la cuadrática en la recta real.
Paso 4. Usando el Teorema 1 y seleccionando la solución.
Ahora bien, como se concluye que
-1/2 1−∞ +∞
− ++
-1/2 1−∞ +∞
La expresión cuadrática es ,
con ello:
𝐶 .𝑆=¿−∞;−1/2¿ ¿∪¿
Teorema 2. Si la expresión cuadrática
tiene , entonces la ecuación cuadrática
tiene multiplicidad de raíces, es decir .
Inecuación cuadrática con una incógnita
𝑟1
+¿+¿−∞ +∞
Si
𝑟1
−−−∞ +∞
Si
Ejemplo 1 del Teorema 2. Resuelva
Resolución
Inecuación cuadrática con una incógnita
Paso 1. Expresarlo a la forma de la inecuación cuadrática
En nuestro caso:
entonces
Paso 2. Obtenemos las raíces de la ecuación cuadrática
En nuestro caso:
entonces las raíces de la cuadrática son
Paso 3. Ubicamos la raíz de la cuadrática en la recta real.
Paso 4. Usando el Teorema 2 y seleccionando la solución.
Ahora bien, como se concluye que
2−∞ +∞
++
2−∞ +∞
La expresión cuadrática es ,
con ello:
𝐶 .𝑆=¿−∞;+∞ ¿
Ejemplo 2 del Teorema 2. Resuelva
Resolución
Inecuación cuadrática con una incógnita
Paso 1. Expresarlo a la forma de la inecuación cuadrática
En nuestro caso:
entonces
Paso 2. Obtenemos las raíces de la ecuación cuadrática
En nuestro caso:
entonces las raíces de la cuadrática son
Paso 3. Ubicamos la raíz de la cuadrática en la recta real.
Paso 4. Usando el Teorema 2 y seleccionando la solución.
Ahora bien, como se concluye que
-3/2−∞ +∞
++
-3/2−∞ +∞
La expresión cuadrática es ,
con ello:
𝐶 .𝑆=¿−∞;+∞ ¿
Ejemplo 3 del Teorema 2. Resuelva
Resolución
Inecuación cuadrática con una incógnita
Paso 1. Expresarlo a la forma de la inecuación cuadrática
En nuestro caso:
entonces
Paso 2. Obtenemos las raíces de la ecuación cuadrática
En nuestro caso:
entonces las raíces de la cuadrática son
Paso 3. Ubicamos la raíz de la cuadrática en la recta real.
Paso 4. Usando el Teorema 2 y seleccionando la solución.
Ahora bien, como se concluye que
1/3−∞ +∞
++
1/3−∞ +∞
La expresión cuadrática es ,
con ello:
𝐶 .𝑆={1/3 }
Ejemplo 4 del Teorema 2. Resuelva
Resolución
Inecuación cuadrática con una incógnita
Paso 1. Expresarlo a la forma de la inecuación cuadrática
En nuestro caso:
entonces
Paso 2. Obtenemos las raíces de la ecuación cuadrática
En nuestro caso:
entonces las raíces de la cuadrática son
Paso 3. Ubicamos la raíz de la cuadrática en la recta real.
Paso 4. Usando el Teorema 2 y seleccionando la solución.
Ahora bien, comose concluye que
−1−∞ +∞
++
−1−∞ +∞
La expresión cuadrática es ,
con ello:
𝐶 .𝑆=𝜙
Teorema 3. Si la expresión cuadrática tiene , entonces la ecuación cuadrática no tiene una sola raíz real, por tanto: Si y entonces Si y entonces
Inecuación cuadrática con una incógnita
Ejemplo 1 del Teorema 3. Resuelva
Resolución
Inecuación cuadrática con una incógnita
Paso 1. Expresarlo a la forma de la inecuación cuadrática
En nuestro caso:
entonces
Paso 2. Obtenemos las raíces de la ecuación cuadrática
En nuestro caso:
no tiene raíces reales, ya que
Paso 3. Concluyendo
Como y además se tiene que y ,
entonces
Ejemplo 2 del Teorema 3. Resuelva
Resolución
Inecuación cuadrática con una incógnita
Paso 1. Expresarlo a la forma de la inecuación cuadrática
En nuestro caso:
entonces
Paso 2. Obtenemos las raíces de la ecuación cuadrática
En nuestro caso:
no tiene raíces reales, ya que
Paso 3. Concluyendo.
Como y además se tiene que y ,
entonces
Ejemplo 1. Si árboles producen frutos cada uno. Calcule cuántos árboles habrán de plantarse para que la próxima cosecha supere los 1 500 frutos.Resolución
Inecuación cuadrática con una incógnita
La cosecha se define como
Con ello
Piden hallar de tal manera que la cosecha supere los 1500 frutos, es decir
Escribiendo la inecuación cuadrática
Las raíces de la cuadrática son:
Ubicando las raíces en la recta real:
30 50
− ++
−∞ +∞Concluiremos que: se deben de plantar entre 31 a 49 árboles.
Ejemplo 2. Si el precio (en dólares) de cierto artículo depende de la cantidad demanda y está dada por . Obtenga las unidades que deben demandarse para obtener ingresos de al menos $1800.Resolución
Inecuación cuadrática con una incógnita
Recuerde que el ingreso se define como
Con ello
Piden hallar de tal manera que el ingreso sea de al menos $1800 frutos, es decir
Escribiendo la inecuación cuadrática
Las raíces de la cuadrática son:
Ubicando las raíces en la recta real:
20 30
− ++
−∞ +∞Concluiremos que: se deben de vender de 20 a 30 artículos.
Ejemplo 3. El costo de producir lámparas está dada por
Si éstas se pueden vender a S/.160. Calcule la cantidad de lámparas que se deben de producir y vender para obtener utilidades semanales de al menos S/.1000.Resolución
Inecuación cuadrática con una incógnita
Sea las lámparas producidas y vendidas.El ingreso estará dada por
Con ello, la utilidad es
Piden hallar de tal manera que la Utilidad sea del menos S/. 1 000, es decir:
Escribiendo la inecuación cuadrática
Las raíces de la cuadrática son:
Ubicando las raíces en la recta real:
20 60
− ++
−∞ +∞Concluiremos que: se deben de vender de 20 a 60 lámparas.
Ejemplo 4. Un vendedor de periódicos atiende en promedio a 120 clientes a la semana, cobrándoles 4 soles por el servicio a domicilio. Por cada incremento de 0,5 soles en el precio, el vendedor pierde 8 clientes. Calcule el precio máximo que deberá fijar para obtener ingresos semanales de al menos 520 soles.Resolución
Inecuación cuadrática con una incógnita
Sea la cantidad de veces que se incremento el precio en S/.0,5, entonces el ingreso por la ventas de periódicos es
Vamos a hallar los valores de de tal manera que el ingreso sea de al menos S/.520, es decir
Escribiendo la inecuación cuadrática
Las raíces de la cuadrática son:
Ubicando las raíces en la recta real:
2 5
− ++
−∞ +∞Es decir: Ahora bien, el precio máximo que deberá fijar es: nuevos soles.
Conclusiones1) Para resolver una inecuación cuadrática, primero se tiene que llevar
a una de las formas conocidas.2) Debemos de mantener al número que multiplica al con signo
positivo.3) Se deben de hallar las raíces reales de la ecuación cuadrática y
posteriormente usar el teorema 1 o 2, dependiente de las raíces encontradas. Si no hay raíces reales, usar el teorema 3.
4) Concluir adecuadamente.
Inecuación cuadrática con una incógnita
Bibliografía• [1] Arya, Jagdish C. (2009) Matemática aplicada a la Administración.
Ed 5. México, D.F. Pearson. • [2] Haeussler, Ernest F. (2008). Matemática para Administración y
Economía. Ed 12. Pearson Educación.
Inecuación cuadrática con una incógnita