Inecuaciones de 1er y 2do Grado
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MATEMTICA BSICA
Ing. Jessica Estrada Camacho [email protected]
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REGLAS
Llegar temprano a clases
Presentar sus prcticas
Venir con ganas de aprender
Estudiar
Practicar
Aprobar el curso
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Al finalizar el curso el estudiante resuelve problemas aplicativos, utilizando
como herramientas las ecuaciones e
inecuaciones en general, matrices,
sistemas de ecuaciones lineales,
relaciones en R2 y geometra analtica
(La recta y las cnicas) e interpretando
los resultados.
Logros del Curso
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Al finalizar la unidad, el estudiante resuelve problemas aplicados a la ingeniera y gestin empresarial sobre inecuaciones polinmicas y racionales, ecuaciones exponenciales y logartmicas, aplicando propiedades y criterios de solucin, con criterio.
Logros de la Unidad
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EJEMPLO DE T1
EE(40%) + PC(20%) + PD(20%) + PC(20%)
EE= 20
20*0.2 = 4 PC= 20
20*0.4= 8
PD= 20 20*0.4= 4
PC= 4 4
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Una empresa produce jarras de vidrio. Mencionadas jarras tienen un precio de venta unitario de $.18 y un costo unitario de $.13. Si los costos fijos mensuales son $.30 000, determine el nmero mnimo de jarras que deben venderse para que la empresa tenga utilidades.
Cmo resolver el siguiente problema?
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Logro de la Sesin
Al finalizar la sesin el estudiante resuelve ejercicios de inecuaciones de primer y segundo grado y problemas del contexto real relacionados a la gestin empresarial, haciendo uso de la teora de inecuaciones lineales y cuadrticas; de forma correcta.
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INECUACIONES DE PRIMER GRADO
Desigualdad:
Una desigualdad es una relacin entre dos
expresiones numricas, en la cul una de ellas puede
ser mayor, menor o mayor igual, menor o igual que la
otra cantidad.
Por ejemplo:
6 > 4
3 < 7
-8 -5
4 0 <
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En General
Dado a y b, dos nmeros reales, se cumple SLO una alternativa:
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Relacin de orden en los Reales Sean a y b dos nmeros reales cualquiera, se establece
la relacin de orden:
a b
a b a b
a b a menor que b a mayor que b
a menor igual que b a mayor igual que b
b mayor que a b menor que a
b mayor igual que a b menor igual que a
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PROPIEDADES DE LA RELACIN DE ORDEN EN LOS NMEROS REALES
Dados los nmeros reales a, b y c, la relacin de orden satisface las siguientes propiedades: 1) Si a < b entonces a + c < b + c Ejemplo: x + 2 < 3 implica (x + 2)+ (-2) < 3 + (- 2) luego: x < 1 2) Si a < b y c > 0, entonces c.a < c.b (prevalece el sentido de la desigualdad al multiplicar por un nmero
positivo) Ejemplo:
1 1
3 5 3 53 3
5
3
x x
x
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24/03/2014
3) Si a < b y c < 0, entonces c.a > c.b (se invierte el sentido de la desigualdad al multiplicar a la
desigualdad por un nmero negativo) Ejemplo:
3 5
1 13 5
3 3
5
3
x
x
x
2 2
4)
1 15)0
1 16) 0
7)0
Si a b b c a c
a ba b
a ba b
a b a b
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24/03/2014
INTERVALO
Los intervalos son subconjuntos de los nmeros reales que se
Pueden representar grficamente en la recta numrica por un
trazo o una semirrecta.
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Desigualdad Notacin Grfica
a < x < b
[ a ; b ] x
[ a ; b [ x
] a ; b ] x
] a ; b [ x
a
b
a
b
a
b
a
b
Intervalos
Nota ; ; ;a b a b a b
a x b
a x b
a x b
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Desigualdad Notacin Grfica
[ a ; [ x
]- ; a] x
a
a
a
a
a ; [ x ]
]- ; a[ x
ax
ax
ax
ax
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EJEMPLOS DE INTERVALOS
Representemos los siguientes intervalos: 1. 2. [-1;7] 3.
Escribe en notacin conjuntista los intervalos presentados:
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Una inecuacin lineal en variable x, es la desigualdad que se puede
reducir a:
ax + b < c
donde a, b y c son nmeros reales. a 0
INECUACIONES DE PRIMER GRADO
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Pasos a seguir para resolver una inecuacin lineal:
Simplifique cada lado de la desigualdad , tanto como sea posible, utilizando la propiedad distributiva para eliminar los signos de agrupacin y mediante la combinacin de trminos semejantes.
Utilice la propiedad de la adicin de la desigualdad para expresarla convenientemente; los trminos que tengan variables queden a un lado y los trminos independientes estn al otro lado.
Use la propiedad de la multiplicacin para llegar a la desigualdad de la forma x < k.
Se sugiere representar grficamente la solucin y escribir el intervalo correspondiente, como conjunto solucin.
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EJERCICIOS RESUELTOS
1) Resolver: Solucin. algebraicamente grficamente
1332
xx
63 1 3 2
2 2
5 4
4
5
x x xx
x
x
4. : ,
5C S x
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EJERCICIOS RESUELTOS
2) Resolver: Solucin. algebraicamte grficamente
44212 x
12 2 4 4
8 2 8
4 4
x
x
x
. . 4;4C S
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SOLUCIN DEL PROBLEMA APLICATIVO
Sea q : # de jarras producidas o vendidas. p : precio de venta unitario.
Costo variable CV=13q Costo Total: C=CV+CF C=13q+30 000 Ingreso total: I=p.q I=18q
Por datos se obtiene: p=18 Costo unitario : Cu=13 Costo fijo: CF=30 000
Una empresa produce jarras de vidrio. Mencionadas jarras tienen un precio de venta unitario de $.18 y un costo unitario de $.13. Si los costos fijos mensuales son $.30 000, determine el nmero mnimo de jarras que deben
venderse para que la empresa tenga utilidades.
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Agrupe los trminos lineales a un lado de la inecuacin y los trminos independientes al otro.
Reducimos los trminos semejantes en el primer lado de la inecuacin.
Para despejar q, multiplicamos a ambos por 1/5.
Una empresa obtiene utilidades, cuando sus Ingresos totales son mayores que sus costos totales. Es decir: I > C
Tenemos que resolver la inecuacin:
18 13 30000
18 13 30000
5 30000
1 1( ) ( )300005 5
6000
q q
q q
q
q
q
Es decir: Para que la empresa obtenga utilidades debe producir y vender como mnimo 6001 jarras de vidrio al mes.
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Qu tipo de problemas cotidianos se podran resolver aplicando inecuaciones de primer grado?
Qu dificultades se presentaron en la resolucin de ejercicios?,
Qu he aprendido en esta sesin?
METACOGNICIN
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PRACTIQUEMOS:
1. Resolver -4(x+2) + 5 > 5 2x
2. Resolver 4(x - 5) + 3 3 4x + (2 - x)
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Ejemplos:
1. Resolver -4(x+2) + 5 > 5 2x -4x -8 +5 > 5 2x -4x -3 > 5 2x -4x + 2x > 5 + 3 -2x > 8 x < -4
-4
C.S. = -, -4
2. Resolver 4(x - 5) + 3 3 4x + (2 - x) 4x 20 + 3 3 4x + 2 x 4x 17 5 5x 4x + 5x 5 + 17 9x 22 x 22/9
22/9
C.S. = [22/9, +
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APLICACIONES
Una fabrica de polos produce q prendas con un costo de mano de obra de S/ 0.8 por unidad y un costo de material de S/. 0.6 por unidad. Los costos fijos constantes de la planta son de S/. 3000. Si cada polo se vende a S/. 7.50 Cuntas prendas como mnimo deben venderse para que la compaa tenga utilidades?
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CT = 1.4q + 3000
Costo total:
Costo variable
Costo fijo: 3000
Mano de obra: 0.80
Material: 0.60 1.4 q
Precio : 7.50 Ingreso: 7.50 q
I = 7.5 q
Se sabe que: U = I - CT
Se necesita tener utilidades : U > 0
-
U > 0
7.5 q - (1.4q + 3000) > 0
7.5 q 1.4 q 3000 > 0
6.1 q -3000 > 0
q > 491. 8
La fbrica debe vender como mnimo 492 polos, para obtener utilidades.
RESPUESTA
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Resolver las siguientes inecuaciones lineales: 1. 4x + 1 21 2. 3k 1 > 20 3. -4x < 16 4. 5.
3 26 3
5 10x x
3 24 1
2 4
x x
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RESOLVER:
Ejemplo 1 Resolver la inecuacin:2( 2) 3( 3)
56
x x
Ejemplo 2. Resolver la inecuacin: 2 1
3( ) ( 3) 23 2
x x x
Ejemplo 3. Dada la inecuacin: 3 5 3 1x x
Ejemplo 4 Resolver la inecuacin: 3 2 3 7 3x x x
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Una inecuacin cuadrtica es aquella expresin que se reduce a cualquiera de las cuatro formas siguientes:
ax2 + bx + c > 0
ax2 + bx + c < 0
ax2 + bx + c 0
ax2 + bx + c 0
a, b c son nmeros reales y a es diferente
de cero
INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
- Pasos a seguir para resolver una inecuacin de segundo grado: ax2+bx +c > 0 (
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Discriminante positivo >
entonces hay dos valores reales diferentes que anula al trinomio , es decir el polinomio es factorizable. Para factorizar se puede utilizar el aspa simple la formula general. Formula general:
Luego se resuelve las desigualdades aplicando el criterio de los puntos crticos.
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EJEMPLO
1. Resolver: 22 1 0x x
Solucin:
Solucin:
1. Resolver: 23 5 2 0x x
Solucin:
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Discriminante cero =
El polinomio es un trinomio cuadrado perfecto. Es decir tiene una solucin real doble
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EJEMPLO
Sea2( ) 6 9p x x x ,
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Discriminante negativo <
no tiene solucin real(no hay puntos de corte con el eje X). Por lo tanto, el signo del trinomio es el mismo que el del coeficiente a.
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EJEMPLO
Sea 2( ) 4 2 3P x x x , su 0
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APLICACIONES
Un supermercado se encuentra con grandes existencias de carne de res que deben vender rpidamente. El gerente sabe que si la carne se ofrece a p soles por kilo, vender q kilos, con q = 1000 20p. Qu precio mnimo deber fijar con el fin de obtener ingresos de por lo menos S/. 12000?
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p: precio
q: cantidad en kilos q = 1000 - 20p
Se necesita que el ingreso sea de por lo menos 12000 I 12000
Se sabe que I = p.q
p(1000 20p) 12000
20p2 1000p + 12000 0
(p - 30)(p - 20) =0
20 30 + - +
Respuesta: Debe fijar un precio de S/. 20 como mnimo por kilo de carne.
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Resolver las siguientes inecuaciones cuadrticas: 1. x2 5x + 6 > 0 2. x2 6x + 9 < 0 3. x2 + x +1 0 4. x2 + x -2 < 0 5. x2 + 4x + 4 > 0 6. x2 + x + 3 0
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1. Haeussler, Ernest; Richard Paul. Matemtica para
administracin y economa.
2. Miller; Heeren; Hornsby. Matemtica:
Razonamiento y aplicaciones.
Bibliografa