1. Una poblacin consiste en las edades de los nios en una familia de cuatro hijos. Estas edades son: . (a) Determina la media y la desviacinx1 = 2anos, x2 = 4anos, x3 = 6anos, x4 = 8anos

tpica de la poblacin. (b) Enumera todas las muestras posibles de dos nios que pueden seleccionarse en

esta familia y determina la media aritmtica, para cada muestra. (c) Determina la media x i x = E(X)

y la desviacin tpica de la distribucin de medias. (d) Comprueba que x x =n$

n1

2. Una poblacin consta de los nmeros 2, 3, 6, 8 y 11. Consideremos todas las posibles muestras conreposicin de tamao 2 de esa poblacin. Calcula: (a) La media y la desviacin tpica de la poblacin. (b)La media y la desviacin tpica ( error estndar) de la distribucin muestral de medias. (c) Comprueba la

relacin entre parmetros poblacionales y estadsticos muestrales.

3. Resuelve el problema anterior para el caso de muestreo sin reposicin.

4. Quinientas bolas de cojinete tienen un peso medio de 5'02 g y una desviacin tpica de 0'30 g. Halla laprobabilidad de que una muestra aleatoria (sin reposicin) de 100 bolas de ese conjunto tengan un pesototal: (a) entre 496 g y 500 g. (b) ms de 510 g.

5. Las alturas de 3000 estudiantes varones de un Instituto de Educacin Secundaria estn normalmentedistribuidas, con media 68 pulgadas y desviacin tpica 3 pulgadas. Si se toman 80 muestras de 25estudiantes cada una, cules sern la media y la desviacin tpica esperadas de la distribucin muestral demedias resultante, si el muestreo se hizo: (a) con reposicin? (b) sin reposicin?

6. Un fabricante de radios recibe semanalmente un cargamento de 100.000 pilas de nueve voltios. Para decidirsi acepta o rechaza el cargamento, utiliza la siguiente regla de muestreo: mide la vida til de 36 pilas decada cargamento. Si la media de la muestra es de 50 o ms horas acepta el cargamento, en caso contrariolo rechaza. (a) Cul es la probabilidad de aceptar un cargamento que tiene una vida til media de 49horas y una desviacin tpica de 3 horas? (b) Cul es la probabilidad de rechazar un cargamento quetiene una vida til media de 50'5 horas y una desviacin tpica de 3 horas?

7. Cierta marca de neumticos tiene una vida til media de 21.000 km. con una desviacin tpica de 800 km. (a)Suponiendo que las vidas tiles de los neumticos estn distribuidas normalmente, cul es laprobabilidad de que un neumtico cualquiera dure menos de 20.900 km.? (b) Cul es la probabilidad deque la vida til media de 64 neumticos sea inferior a 20.900 km.? (c) Cul es la probabilidad de que lavida til media de 256 neumticos sea inferior a 20.900 km.?

8. Un procesador de alimentos envasa caf en frascos de 400 g. Para controlar el proceso, se utiliza la siguienteregla de muestreo: se seleccionan 64 frascos cada hora. Si su peso medio es inferior a un valor crtico L,se detiene el proceso y se reajusta; en caso contrario, se contina la operacin sin detener el proceso.Determina el valor crtico L de modo que haya una probabilidad de slo 0'05 de detener el proceso cuando

est envasando a un promedio de 407'5 g con una desviacin tpica de 2'5 g. .( = 4075, = 2 5)9. La media del PVP. de un producto es de 750 PTA. con una desviacin tpica de 15 PTA. Si se seleccionan

cien establecimientos, cul es la probabilidad de que el precio medio obtenido en esos cienestablecimientos se aleje ms de 2 PTA. del precio medio global (750 PTA.)?

10. El tiempo que tarda una persona en desplazarse desde su vivienda al lugar de trabajo responde a unadistribucin normal de media 32 minutos y desviacin tpica 2 minutos y 30 segundos. En una semana: (a)Cul es la probabilidad de que la media sea menor que 31 minutos? (b) Cul es la probabilidad de quela media est comprendida entre 32 minutos 30 segundos y 33 minutos?

11. En la poblacin formada por los cinco profesores de Departamento de Psicologa se ha estudiado su estadocivil: (lvarez - Casado), (Bono - Soltero), (Cascos - Casado), (Daz - Soltero) y (Evelio - Soltero). (a)Determina la proporcin de miembros casados de esta poblacin. (b) Determina todas las muestrasposibles de 2 elementos de esta poblacin y calcula la proporcin de miembros casados en cada muestra.

(c) Calcula la media y la desviacin tpica de las 10 proporciones muestrales calculadas en (b). (d)p p

Comprueba que p =p(1p)

n $n1

12. Dada la siguiente informacin acerca de una poblacin de seis personas: Persona ivel educacional

A Graduado universitarioB Ttulo de Enseanza Secundaria Obligatoria

Ejercicios de inferencia estadstica

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C Graduado universitarioD Ttulo de Enseanza Secundaria ObligatoriaE Graduado universitarioF Ttulo de Enseanza Secundaria Obligatoria

(a) Determina la proporcin de graduados universitarios en la poblacin. (b) Selecciona todas las muestrasposibles de tres personas de esta poblacin y calcula la proporcin de graduados universitarios en cadamuestra. (c) Cul es la probabilidad de que la proporcin muestral (con n = 3) sea mayor que 40%?(Indicacin: Cuntas de las veinte proporciones muestrales son mayores que 40 %) (d) Cul es laprobabilidad de que la proporcin muestral (con n = 3) difiera de la proporcin poblacional en 20 % omenos?

13. El diez por ciento de las personas de cierta comunidad tiene sangre tipo B. Si se selecciona una muestraaleatoria de 900 personas de esa comunidad, cul es la probabilidad de que la proporcin muestral depersonas con sangre tipo B(a) sea ms de 12 %? (b) sea menor de 10'5 % ? (c) est entre el 11 % y l3%?

14. Para decidir si apoya o no al candidato X, la Sociedad de Votantes Independientes adopta el procedimientosiguiente: Se selecciona una muestra de 400 votantes inscritos. Si el 50% o ms de stos estn en favor deX, la Sociedad lo apoyar; en caso contrario, no lo apoyar. Cul es la probabilidad de que la Sociedad:

(a) apoye al candidato X si slo el 45 % de los votantes estn en favor de l? (b) no apoye a X, si el 55 % de los votantes estn en favor de l?

15. La siguiente regla se utiliza en el control de la operacin de un proceso de produccin de ciertas piezas:Seleccionar una muestra de 36 piezas. Si el porcentaje de piezas defectuosas en la muestra es p* % o ms,detener el proceso; en caso contrario, continuar con el proceso. Determnese el valor de p* de modo quehaya una probabilidad de 90% de que sea detenido un proceso que est produciendo un 10 % de piezasdefectuosas, en promedio.

16. Para decidir si apoya o no al candidato X, la Sociedad de Votantes Independientes adopta el procedimientosiguiente: Seleccionar una muestra aleatoria de n votantes inscritos. La Sociedad apoyar al candidato Xslo si por lo menos p* % de los votantes de la muestra estn en su favor. Determnense los valores de n yp* de modo que haya un riesgo de slo 0,05 de apoyar al candidato cuando slo 45 % de los votantesestn en su favor y un riesgo de slo 0,01 de no apoyarlo cuando el 50 % de los votantes estn en sufavor.

17. En una consulta de ortodoncia se ha observado que en todos aquellos pacientes de 8 aos que presentanmaloclusiones dentarias, el 52 % se resuelven favorablemente con ortopedia funcional. Si en un mescomienzan el tratamiento 40 nios, cul es la probabilidad de que al menos en 18 nios se solucione suproblema?

18. Se sabe que el 30 % de los alumnos de un Instituto tienen algn defecto visual. Cul es la probabilidad deque eligiendo al azar una muestra de 80 alumnos, en ella aparezcan 26 alumnos con defecto visual?

19. Una cierta marca cubre el 25 % del mercado de ordenadores personales con memoria mayor que 512 Kb. Sise elige una muestra de 200 compradores de ordenadores de ese tipo, cul es la probabilidad de encontraren ella a 55 personas que hayan comprado un ordenador de esa marca?

20. Una poblacin est formada por los elementos 1, 2, 4 y 6. (a) Calcula la proporcin de cifras impares. (b)Escribe todas las muestras de tamao 2 que pueden extraerse con reemplazamiento. (c) Calcula para cadauna de las muestras la proporcin de cifras impares. (d) Calcula la media y la desviacin tpica de la

distribucin muestral de las proporciones. (e) Comprueba quep = p y p =p(1p)

n

21. Una muestra aleatoria de 100 alumnos de cierta universidad tiene una puntuacin media del C.I. de 112 yuna desviacin estndar de 10.

(a) Establzcase un intervalo de confianza 0,95 de estimacin de la puntuacin media del C.I. de todos losalumnos de la universidad. (b) Establzcase un intervalo de confianza 0,99 de estimacin de la puntuacin media de C.I. de todos los alumnos de la universidad.

22. Una encuesta hecha a 400 familias de una gran ciudad dio un gasto medio anual en zapatos de $740 porfamilia. La desviacin estndar de esta muestra fue de $400.

(a) Establzcase un intervalo de confianza 0,95 de estimacin del gasto medio anual de zapatos por familia enesa ciudad. (b) Qu conclusin se puede obtener, con confianza 0,99, acerca del error mximo cometido alestimar en $740 el gasto medio anual en zapatos por familia en esa ciudad? (e) Con qu grado de confianzapuede afirmarse que el gasto medio anual en zapatos por familia en esa ciudad est entre $710 y $770?

Ejercicios de inferencia estadstica

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23. En 1974 se realiz una encuesta para determinar el salario promedio por hora de las vendedoras de tiendasdel centro de una metrpoli. Con ese motivo, se seleccion una muestra aleatoria simple de 225vendedoras, obtenindose la informacin siguiente:

X = salario por hora de una vendedora,

$4500,00 = $201.600,00 x = (x x)2

Cul es el intervalo de confianza 0,99 para el salario medio por hora?

24. Una tienda de departamentos tiene 10.000 clientes con cuenta corriente. Para estimar el total adeudado porestos clientes, se selecciona una muestra aleatoria de 36 cuentas la cual da una media de $1500 por cuenta

y una desviacin estndar de $600, . Establzcase un intervalo de(x i = 1500, i = 600)confianza 0,95 para estimar la cantidad total adeudada por todos los clientes de la tienda.

25. Qu tamao debe tener la muestra para estimar el ingreso familiar medio en el caso anterior si se

especifica que debe tenerse una confianza 0,95 de que el error en la estimacin no exceda a $5000?Segn datos de un censo reciente en esa ciudad, el ingreso familiar medio era de $70.000 y la desviacinestndar de $40.000.

26. Se seleccion una muestra aleatoria de 30 docentes de entre los profesores de una universidad con el objetode estimar la experiencia docente media de ellos. Los resultados obtenidos en la muestra (medidos enaos) fueron:

3, 4, 4, 6, 2, 3, 4, 6, 2, 46, 4, 3, 4, 4, 7. 3, 4, 5, 61, 6, 4, 5, 4, 3, 2, 4, 3, 4

Utilizando la informacin anterior, obtngase un intervalo de confianza 0,99 para estimar la experiencia docentemedia de los profesores de la universidad.

27. La gerencia de una empresa manufacturera desea determinar el tiempo promedio requerido para realizar unadeterminada operacin manual. Se precisa tener una confianza 0,95 de que el error en la estimacin noexceda a 2 minutos.

(a) Qu tamao de muestra se necesita si la desviacin estndar del tiempo necesario para realizar la operacinha sido estimada por un experto en estudios de tiempos y movimientos en 10 minutos? (b) Qu tamao demuestra se necesita si la desviacin estndar del tiempo necesario para realizar la operacin ha sido estimada porun experto en estudios de tiempos y movimientos en 16 minutos? (c) Explique intuitivamente (sin hacerreferencias a la frmula) por qu el tamao necesario es mayor en (b) que en (a).

28. Se ha medido el contenido de nicotina de 36 cigarrillos de una determinada marca. A continuacin seresumen los resultados obtenidos:

X = contenido de nicotina de un cigarrillo, medido en miligramos.

= 756 miligramos, x

= 315 miligramos.(x x)2

Obtngase un intervalo de confianza 0,95 para estimar el contenido promedio de nicotina de los cigarrillos deesta marca.

29. La Asociacin de Ahorro y Prstamo La Tacaa desea determinar la cantidad promedio que tienen susclientes en sus cuentas de ahorro. La desviacin estndar de todas las cuentas de ahorro es estimada por elgerente en $4000.

(a) Qu tamao de muestra se requiere para afirmar con confianza 0,95 que el error en la estimacin no excedede $200? (b) Qu tamao de muestra se requiere para afirmar con confianza 0,95 que el error en la estimacinno excede de $400? (c) Comprense los tamaos mustrales y los errores mximos permisibles en (a) y (b).Qu sucede con el tamao muestras cuando el error mximo permisible se duplica?

30. La presin sistlica de 100 pacientes que han ingerido 20 miligramos de cierta droga presenta un aumentomedio de 18 con una desviacin estndar de 6

(a) Obtngase un intervalo de confianza 0,99 para estimar el aumento en la presin sistlica causado por 20miligramos de esa droga. (b) Qu puede afirmarse con probabilidad 0,95 acerca del error mximo en laestimacin si el aumento promedio en la presin se estima en 18?

Ejercicios de inferencia estadstica

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31. Una firma constructora desea estimar la resistencia promedio de las barras de acero utilizadas en laconstruccin de edificios de departamentos. Qu tamao muestral se requiere para garantizar que habrun riesgo de slo 0,001 de sobrepasar un error de 5 kg. o ms en la estimacin? La desviacin estndar dela resistencia de este tipo de barras se estima en 25 kg.

32. Cuarenta y nueve cerdos recibieron una alimentacin especial por un periodo de tres meses, siendo elaumento medio de peso en este perodo de 60 kg. con una desviacin estndar de 7 kg. Con qu grado deconfianza puede afirmarse que esta dieta produce un aumento medio de peso de 59,25 a 60,75 en unperiodo de tres meses?

33. Se seleccion una muestra aleatoria de 64 cuentas por cobrar de un registro que contiene 10.000 cuentas.La muestra dio una media de $1200 y una desviacin estndar de $400.(a) Obtngase un intervalo de confianza 0,90 para estimar la media de las cuentas del registro. (b) Qu puede afirmarse con confianza 0,95 acerca del error mximo en la estimacin si el promedio de

las cuentas por cobrar de todo el registro se estima en $1200.

34. Para estimar la cantidad total de depsitos a la vista, un banco comercial selecciona una muestra aleatoriade 400 cuentas. La muestra da una media de $5000 y una desviacin estndar de $ 1000. Suponiendoque el banco tiene 12.000 cuentas a la vista, obtngase un intervalo de confianza 0,99 para la cantidadtotal en depsitos a la vista en el banco.

35. Tamao de la muestra que se ha de considerar para, con un nivel de confianza del 95 %, estimar el pesomedio de los individuos de la poblacin con un error inferior a 1 kg. Explicar los pasos seguidos paraobtener la respuesta. (Selectividad junio 96)

36. Se sabe que la desviacin tpica del nmero de pulsaciones por minuto de los individuos de una ciertapoblacin es de 9 pulsaciones por minuto. Se considera una muestra aleatoria de 100 individuos querevela un nmero medio de pulsaciones por minuto de 68. Con un nivel de confianza del 99 %, determinarel intervalo en el que se encontrar el nmero medio de pulsaciones por minuto de los individuos de estapoblacin. Explicar los pasos seguidos para obtener la respuesta. (Selectividad septiembre 96)

37. Se sabe que la desviacin tpica de la duracin de las lmparas elctricas fabricadas en cierta empresa es de250 horas. Calcular el tamao mnimo que debe tener una muestra para que, con un nivel de confianza del95 %, se pueda estimar la duracin media de las lmparas con un error menor que 40 horas. Explicar lospasos seguidos para obtener la respuesta . (Selectividad junio 97)

38. En una gran empresa la desviacin tpica de la edad de sus trabajadores es 6 aos. Se considera una muestraaleatoria de 100 trabajadores que revela una media de edad de 38 aos. Determinar un intervalo deconfianza del 95 % para la edad media de los trabajadores de esta empresa. Explicar los pasos seguidospara obtener la respuesta. (Selectividad junio 96)

Modelos resueltos: Inferencia estadstica

1.Una encuesta hecha a 400 familias de una gran ciudad dio un gasto medio anual en zapatos de 740 porfamilia. Por estudios previos es conocida la desviacin tpica de la poblacin 400 . =

(a) Establece un intervalo de confianza del 95 % para estimar el gasto medio anual en zapatos por familia

en esa ciudad.

(b) Determina el error en la estimacin del gasto medio si la confianza que establecemos es del 99 %.

(c) Con qu grado de confianza puede afirmarse que el gasto medio anual en zapatos por familia en esa

ciudad est entre 710 y 770 ?

2. Es sabido que el 58 % de los votantes de un cierto distrito electoral apoyan al partido A.

(a)Cul es la probabilidad de que una muestra aleatoria simple de 100 votantes de ese distrito de una

proporcin de simpatizantes de A del 60 % o menos?

Ejercicios de inferencia estadstica

[4]

(b) Supongamos ahora que se toma una muestra de 400 votantes del distrito. Cul es la probabilidad de

que la proporcin muestral sea del 60 % o menos?

(c) Sabiendo que si tomamos una muestra de 400 votantes la probabilidad de que la proporcin de

simpatizantes de A sea menor de L es 085, determina dicho valor L.

3. En un pas se selecciona aleatoriamente una muestra de 900 personas. A la salida de los colegioselectorales se les pregunt si haban votado al partido poltico X y 288 contestaron que s y el resto que

no.

(a) Determina un intervalo que nos d el porcentaje de votos del partido X con un nivel de confianza del

90 %, explicando los pasos seguidos para su obtencin.

(b) De qu tamao hemos de elegir la muestra si queremos que el error no exceda en 005 ?

4. La presin arterial de los individuos de una poblacin sigue un ley normal de media 120 y desviacin tpica40. Resuelve las siguientes cuestiones:

(a) Calcula la probabilidad de que una persona elegida al azar tenga una tensin arterial superior a 140.

(b) Se considera una muestra de tamao 36, cul es la probabilidad de que la media de la muestra

tenga un valor superior a 140?

(c) Si conociramos nicamente la desviacin tpica de la presin arterial ,cul ha de ser el( = 40)tamao de la muestra elegida para que el error en la estimacin de la media poblacional sea menor o

igual que 3 con una confianza del 95 % ?

5. Una fbrica produce ciertas piezas de precisin con un porcentaje de defectuosas en torno al 10 %,aproximadamente.

Seleccionamos una muestra de 36 piezas. Si la probabilidad de que la proporcin de piezas defectuosas

en la muestra sea menor que D es de 053, calcula el valor de D.

6. En una encuesta realizada sobre el examen de selectividad a 150 alumnos, estaban en contra de la prueba105.

(a) Entre qu valores podemos asegurar que est el porcentaje de alumnos contrarios a la selectividad

con un nivel de confianza del 90 % ?

(b) Entre qu valores podemos asegurar que est el porcentaje de alumnos contrarios a la selectividad

con un nivel de confianza del 99 % ?

SOLUCIONES:

1. Poblacin (X=gasto en zapatos, desconocida, = 400 ) Muestra (n = 400 > 30 , )e X = (x = , x = 400400 = 20) x i = 740(a) Intervalo de confianza para : x i ! Z

2$ x

Como 1 = 0 95 e Z 2

= 1 96 (740 1 96 $ 20, 740 + 196 $ 20) = (700 8, 779 2) con una confianza del 95 % c (700 8, 779 2)

Ejercicios de inferencia estadstica

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(b) . Cometemos un error mximo de 515 Error = Z

2$ x

1 = 099 e Z 2

= 2 575

e E = 2 575 $ 20 = 51 5

en la estimacin de la media de la poblacin con una confianza del 99 %.

(c) Intervalo de confianza= (710, 770)e Z 2$ x =

7707102 = 30 e Z 2 $ 20 = 30 e Z 2 = 1

5 P(Z < 1 5) = 1 + 2 e 0 9332 = 1 + 2 e = 0 1336 e 1 = 0 8664La confianza es del 8664 %.

2. Poblacin (p= 058 = proporcin de votantes que apoyan a A)

(a) Muestra (n=100 >30 )e P = (p = p = 058,p = 058$042100 = 0 0494) P(P [ 0 6) = P Z [ 0605800494 = P(Z [ 0 41) = 0 6591(b) Muestra (n=400 >30 )e P = (p = p = 058,p = 058$042400 = 0 0247) P(P [ 0 6) = P Z [ 0605800247 = P(Z [ 0 81) = 0 7910(c) Muestra (n=400 >30 )e P = (p = p = 058,p = 058$042400 = 0 0247) Interpolando obtenemos P(P [ L) = 0 85 e P(Z [ L05800247 ) = 0 85 e L0

5800247 = 1

037 e L = 06056

3. Muestra (p i =288900 = 0

32, n = 900 > 30 e P = p = p,p =032$068

900 = 00155

Poblacin: p a estimar.

(a) 1 = 0 90 e Z 2

= 1 645Intervalo de confianza para p: p i ! Z

2$ p = 0 32 ! 1 645 $ 0 0155 e

p se encuentra en el intervalo : con una confianza del 90 %.(0 2945, 03455)

(b) E = Z

2$ p = 0 05

1 = 090 e Z 2

= 1 645

e 0 05 = 1 645 $

032$068

ne n = 235 5.. j 236

4. Poblacin: X=presin arterial = ( = 120, = 40)(a) P(X > 140) = P(Z > 05) = 1 P(Z < 0 5) = 1 0 6915 = 0 3085(b) Muestra n=36>30 e X = presion media = (x = 120,x = 4036 =

203 )

P(X > 140) = P(Z > 3) = 1 P(Z < 3) = 1 09987 = 0 0013(c) Muestra n>30 e X = presion media = (x = 120,x = 40n ) Error = 3 = Z

2$ x = 1 96 $

40ne n =

196$403

2= 682 9.. j 683

5. Poblacin: p=proporcin de piezas defectuosas =01

Muestra (n=36 >30 )e P = (p = p = 01,p = 01$0936 = 0 05) P(P < D) = 0 53 e P(Z < D01005 ) = 0 53 e Interpolando obtenemos D0

1005 = 0

075 e D = 0 05 $ 0 075 + 0 1 = 0 10375

6. Poblacin (p= proporcin de alumnos que estn en contra de la prueba , a estimar)

Muestra (p i =105150 = 0

7, n = 150 > 30 e P = p = p,p =07$03

150 = 00374

(a) Intervalo de confianza para p : p i ! Z 2$ p = 0 7 ! Z

2$ 00374

Si Intervalo de confianza para p: 1 = 0 90 e Z 2

= 1 645 e = (0 7 1645 $ 0 0374, 0 7 + 1 645 $ 0 0374) (0 6385, 07615)(b) Si Intervalo de confianza para p: 1 = 0 99 e Z

2= 2 575 e

(0 7 2575 $ 0 0374, 0 7 + 2575 $ 0 0374) = (0 6106, 07894)

Ejercicios de inferencia estadstica

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Se puede observar que cuanto mayor es la confianza ( manteniendo el tamao de la muestra) el intervalo en el

que se encuentra p tiene una amplitud mayor.

Ejercicios de inferencia estadstica

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