Informe 2 - Datos Experimentales-1k

Tratamiento de datos Experimentales



I.OBJETIVOS Aprender a graficar y organizar datos experimentales utilizando tablas y papeles grficos.

Construir ecuaciones experimentales que describen el fenmeno fsico e interpretar su comportamiento.

Aprender tcnicas de ajuste de curvas, principalmente el mtodo de regresin lineal y el mtodo de mnimos cuadrados.

II.MATERIALES: -Calculadora cientfica:

-Hojas de papel milimetrado:

-Hojas de papel logartmico:

-Hojas de papel semilogartmico:

III.FUNDAMENTO TERICOLos datos obtenidos en un proceso de medicin se organizan en tablas. Las tablas de valores as confeccionadas nos informan acerca de relaciones existentes entre una magnitud y otra. Una alternativa para establecer dichas relaciones es hacer representaciones grficas en un sistema de ejes coordenados con divisiones milimetradas, logartmicas o semilogartmicas segn sea el caso. De estas se buscan grficas lineales (rectas), para facilitar la construccin de las frmulas experimentales que representen las leyes que gobiernan el fenmeno.

USO DEL PAPEL MILIMETRADO:Empezamos graficando los valores de la tabla de datos en el papel milimetrado:1. Siempre tenga cuidado de escribir los valores de la variable independiente en el eje de las abscisas y las variables dependientes en el eje de las coordenadas.2. La distribucin de puntos as obtenida se unen mediante una curva suave, usando una regla curva o trazo a media alzada.3. La representaciones grficas que aparecen con ms frecuencia son: Funcin lineal y = b + mx Funcin Potencial y = k xn Funcin Exponencial y = k 10xn

Veamos el primer caso, si la distribucin de puntos en el papel milimetrado es de tendencia lineal, entonces, se realiza el ajuste de la recta mediante el mtodo de regresin lineal por mnimos cuadrados. Mtodo de mnimos cuadrados:Mnimos cuadrados es una tcnica de anlisis numrico encuadrada dentro de la optimizacin matemtica, en la que, dados un conjunto de pares ordenados: (variable independiente, variable dependiente) y una familia de funciones, se intenta encontrar la funcin, dentro de dicha familia, que mejor se aproxime a los datos (un "mejor ajuste"), de acuerdo con el criterio de mnimo error cuadrtico.

Esto significa que la relacin que se busca tiene la forma de una recta cuya ecuacin es: y = mx + bEn donde las constantes a determinar son: m la pendiente de la recta y b ordenada en el origen (intercepto), siguiendo el procedimiento que se detalla a continuacin:Primero se construye una tabla de la forma:

xiyixi yixi2

x1y1x1 y1x12

x2y2x2 y2x22

...xp...yp...xpyp...xp2

Luego se calcula la pendiente y el intercepto.

; Donde p es el nmero de mediciones.En el segundo caso, cuando la distribucin de puntos en el papel milimetrado no es de tendencia lineal; se pasan los datos de la tabla un papel logartmico o semilogartmico, en alguno de estos papeles la distribucin de los puntos saldr una recta.USO DEL PAPEL LOGARTMICO:Las relaciones de la forma y = k xn ; ( n1 ), son funciones potenciales y sus grficas en el papel logartmico son rectas de pendientes m = n, que cortan el eje vertical en b = log k. Se recomienda preferentemente usar papel logartmico 3x3; en donde cada ciclo est asociado a una potencia de base 10. El origen de un eje coordenado logartmico puede empezar con., 10-1 , 100 , 101 , 102 , 103 ,etc.

Al tomar logaritmo decimal a la ecuacin y = k xn;(n1) obtenemos logy = mlogx + logk, que tiene la forma lineal Y = mX + b, en donde X = logx, Y = logy y b = logk .Concluimos entonces, que el mtodo de regresin lineal puede ser aplicado a una distribucin potencial de puntos, para ello se toma logaritmo decimal a cada uno de los datos de la tabla. Construya la siguiente tabla cuidando de colocar los valores con un mnimo de cuatro decimales de redondeo en cada columna. xiyiXi = log xiYi = log yiXiYi =logxilogyiXi2=(log xi)2

x1y1log x1log y1logx1 logy1

x2y2log x2log y2logx2 logy2

...xp...yp...log xp...log yp...logxplogyp...

Para determinar la ecuacin de la recta en el papel logartmico, se calculan ahora los valores de:

Para encontrar la ecuacin de la funcin potencial y = k xn graficada en el papel milimetrado debemos determinar los valores de m y k. Del prrafo anterior se tiene que m = n y k = 10. USO DEL PAPEL SEMILOGARTMICO:Para relaciones exponenciales de la forma y = k 10xn se utiliza papel semilogartmico, por qu? Construya adecuadamente su tabla para aplicar el mtodo de regresin lineal.

EXTENSION DEL METODO DE REGRESION LINEAL:El estudio de este mtodo relativamente sencillo y tiene doble inters: de un lado este tipo de diferencia es frecuente entre magnitudes fsicas; por otro lado, muchas otras dependencias ms complicadas pueden reducirse a la forma lineal mediante un cambio adecuado de variables, algunos casos se muestran en la siguiente tabla:

Forma inicialCambioForma lineal

y = a x2x2 = zy = a z

y = a= zy = a z

y = a exp (nx)ln(y) = z ; ln(a) = bz = nx + b

y = a ln(y) = z ; ln(a) = b ; ln(x) = tz = b + nt

USO DE LA CALCULADORA CIENTIFICA:Estas calculadoras presentan la funcin LR del ingls linear regresin lo cual nos permite obtener en forma directa los valores del intercepto (A) y la pendiente (B) de la recta y el factor de correlacin (r) usando el mtodo de regresin lineal por mnimos cuadrados.Existen calculadoras modernas que grafican la tabla de datos y presentan otros modos de regresin tales como: lineal, logartmica, exponencial, potencial, inversa y cuadrtica, aqu el concepto del coeficiente de correlacin juega un rol muy importante.Para hallar la frmula experimental de la curva obtenida en papel milimetrado haga uso de la siguiente tabla:Distribucin de puntos enCalculadora

PapelMilimetradoPapelLogartmicoPapelSemilogartmicoTipoRegresinFrmula

LinealLineal y = A + Bx

CurvaLinealPotencialy = AxB

CurvaLinealExponencialy = A exp(Bx)

CurvaLinealCuadrticay = A + Bx + Cx2

USO DEL COMPUTADOR:Se pueden construir programas en C, Fortran, Pascal o Basic para hacer los ajustes que se requieran. Tambin se puede usar programas como Gnuplot, MicrocalOrigin, entre otros. Pero el ms accesible es el EXCEL que nos permite hacer grficas y presentar las curvas de regresin con sus respectivas frmulas de correspondencia y coeficientes de correlacin.

IV.PROCEDIMIENTO EXPERIMENTALEn primer lugar ubicamos los datos de los cuadros dentro de las hojas milimetradas, semilogaritmicas y logartmicas encontrando as diversas figuras como rectas y curvas, luego hallamos la ecuacin para cada grafica haciendo uso de las ecuaciones como la recta, mtodos de mnimos cuadros y finalmente haciendo los ajustes respetivos.Tabla 1: datos de este experimento.La medida de la intensidad de corriente elctrica conducida por un hilo conductor de Micrn, y de la diferencia de potencial aplicada entre los extremos de este.i(A)V(V)

0.51.95

1.03.65

2.010.45

4.013.85

5.017.25

Tabla 2:Muestra las medidas del tiempo de vaciado (t) de un depsito con agua y las medidas de las alturas del nivel de agua para cuatro llaves de salida de diferentes dimetros (D)H (cm)30201041

D(cm)Tiempo de vaciado t (s)

1.573.059.943.026.713.5

2.041.233.723.715.07.8

3.018.414.910.56.83.7

5.06.85.33.92.61.5

7.03.22.72.01.30.8

Tabla 3: Muestra los porcentajes de las medidas de la cantidad radioactiva del radn. El da cero se detecto una desintegracin de 4.3x1018 ncleos.t(das)012345678910

A (%)200155.76121.3194.4773.5857.3044.6334.7527.0721.0816.42

V.APLICACIONES1. Usando los datos de la Tabla 1, encuentre la relacin V vs. i.1. Adjunto1. Puede utilizar el mtodo de regresin lineal por mnimos cuadrados (procedimiento manual) para ajustar la distribucin de puntos? Por qu?Si, ya que la grfica en el papel milimetrado se aproxima a una lnea recta, sera un tipo de regresin lineal, por lo cual si usamos el mtodo de mnimos cuadrado hara el ajuste necesario. 1. Escriba la ecuacin que relaciona estas variables.Ajuste de la recta mediante el mtodo de regresin lineal por mnimos cuadrados Y=mx+b => ecuacin de la recta.

0,51,950.9750,25

13,653,651

210,4520,94

413,8555,416

517,2586,2525

Calculo de la pendiente y del intercepto

La ecuacin quedara:

1. Utilice su calculadora cientfica y haga el ajuste de los puntos, escriba la ecuacin y el coeficiente de correlacin.Coeficiente de Correlacin:

XiYi

0,51,950,253,80250,975

1,03,651,0013,32253,65

2,010,454,00109,202520,9

4,013,8516,0191,822555,4

5,017,2525,0297,562586,25

12,547,1546,25615,7125167,175

1. Utilice el Excel y presente la distribucin de puntos, la lnea de tendencia, la ecuacin y el coeficiente de correlacin.

1. Compare e indique el nivel de dificultad entre los procedimientos usados :ProcedimientoManualCalculadoraExcel

Ecuacin V vs i3,286X+1,213

Coef. Correlacin0,9741

Nivel de dificultadaltomediobajo

2. Usando los datos de la tabla 2:2.1 Encuentre la relacin entre t vs. Da) En una misma hoja de papel milimetrado grafique t vs. D para cada una de las alturas, es decir, deben haber cinco graficas en la hoja de papelb) En una misma hoja de papel logartmico grafique t vs. D para cada una de las alturas, es decir, deben haber cinco graficas en la hoja de papelc) Qu conclusiones obtiene a partir de las grficas? Qu regresin utilizara? d) Use la calculadora cientfica para hallar la ecuacin de distribucin de puntos, halle tambin el coeficiente de correlacin de cada distribucin.e) Use Excel y presente una grfica similar al caso (a) .Presente la ecuacin y el coeficiente de correlacin de cada distribucinf)En Excel cambie a escala logartmica y presente una grfica similar al caso (b)g)Compare mediante tablas los resultados obtenidos en los casos (d) y (e).h)Cules son sus conclusiones?Desarrolloa)adjuntob)adjuntoc)*se observa que la grfica en el papel milimetrado no tiene una tendencia lineal pero en el papel logartmico si tiene una tendencia lineal .*se utilizara una regresin potenciald)tDlogtlogDlogt.logD(logt)^2

731.51.863322860.176091260.328114873.47197208

41.221.6148972160.301030.48613252.60789302

18.431.2648178230.477121250.603471471.59976413

6.850.8325089130.698970.581898760.69307109

3.270.5051499780.845098040.426901260.2551765

6.080696792.498310552.426518858.62787682

Coeficiente de relacin R1COEFICIENTE DE RELACIN (R)R=tp=28.52 Dp=3.7

R1=-0.0747

ECUACIN:

tDlogtlogDlogt.logD(logt)^2

59.91.51.7774268220.176091260.312989333.15924611

33.721.5276299010.301030.459862422.33365311

14.931.1731862680.477121250.55975211.37636602

5.350.724275870.698970.506247110.52457554

2.770.4313637640.845098040.364544670.1860747

5.6338826252.498310552.203395637.57991548

Coeficiente de relacin R2tp=23.3 Dp=3.7

R1=-0.846ECUACIN:


431.51.6334684560.176091260.287639522.6682192

23.721.3747483460.301030.413840491.88993301

10.531.0211892990.477121250.487231121.04282758

3.950.5910646070.698970.413136430.34935737

270.3010299960.845098040.254399860.09061906

4.9215007032.498310551.856247426.04095622


R1=-0.841


26.71.51.4265112610.176091260.251196162.03493438

1521.1760912590.301030.354038751.38319065

6.830.8325089130.477121250.39720770.69307109

2.650.4149733480.698970.290053920.17220288

1.370.1139433520.845098040.09629330.01298309

3.9640281332.498310551.388789834.29638209


R1=-0.845


13.51.51.1303337680.176091260.19904191.27765443

7.820.8920946030.301030.268547230.79583278

3.730.5682017240.477121250.271101120.3228532

1.550.1760912590.698970.123082510.03100813

0.87-0.096910010.84509804-0.081898460.00939155

2.6698113412.498310550.77987432.43674009


R1=-0.854

e)T1D1T2D2T3D3T4D4T5D5

731.49559.91.498431.38926.71.49313.51.488

41.21.9933.71.99223.71.876152.0087.82.009

18.42.97914.92.98610.52.8276.83.0123.73.024

6.84.9025.34.9863.94.6572.64.9331.54.96

3.27.1492.76.96726.521.37.040.87

DIBUJO MILIMETRADO f) EN ESCALA LOGARITMICA

g) CUADRO DE COMPARACINT1DD1T2DD2T3DD3T4DD4T5DD5

731.51.49559.91.51.498431.51.38926.71.51.49313.51.51.488

41.221.9933.721.99223.721.8761522.0087.822.009

18.432.97914.932.98610.532.8276.833.0123.733.024

6.854.9025.354.9863.954.6572.654.9331.554.96

3.277.1492.776.967276.521.377.040.877

h) CONCLUSIONESDespus de hacer las operaciones con los datos presentados obtenemos nuevos datos usando en el mtodo de regresin lineal, en primera parte con los datos primeros la grfica en papel milimetrado salan curvas ya usado el mtodo de regresin con los nuevos datos se grafica pero ahora en papel logartmico que nos debe dar lneas efectivamente se corrobora en la figura; en conclusin este tema nos ayuda a saber cmo pasar una grfica de papel milimetrado a papel logartmico usando clculos matemticos ser de gran ayuda en los problemas similares a este caso visto.2.2. Encuentre la relacin entre t vs. ha) En una misma hoja de papel milimetrado grafique t vs h para cada dimetro.b) En una misma hoja de papel logartmico grafique t vs h para cada dimetro.c) Qu conclusiones sacara a partir de las grficas? Qu regresin utilizara?d) Use la calculadora cientfica para hallar la ecuacin de distribucin de puntos, halle tambin el coeficiente de correlacin de cada distribucin.e) Use Excel y presente una grfica similar al caso (a) .Presente la ecuacin y el coeficiente de correlacin de cada distribucinf) En Excel cambie a escala logartmica y presente una grfica similar al caso (b)g) Compare mediante tablas los resultados obtenidos en los casos (d) y (e).h) Cules son sus conclusiones?Desarrolloa) (Adjunto)b) (Adjunto)c) Como podemos observar la grfica en el papel milimetrado es una grfica exponencial para cada uno de los cinco dimetros, analizando cada una de estas, en el papel milimetrado, se ve que mientras va aumentando el dimetro del cao ms se demora en sacar por completo todo el lquido que est en el depsito. Al ver los mismos resultados en el papel logartmico, se aprecian unas lneas casi rectas un poco curveadas, esto no debera ocurrir ya que deberan formar una lnea recta, por eso realizamos la regresin de lineal, con las frmulas indicadas en el folleto y una vez obtenidos los resultados, al graficarlos se ve que forman una lnea recta.d) La ecuacin de cada uno de las grficas y su coeficiente de correlacin son los siguientes:1. Para el dimetro de 1.5 cm. La ecuacin de la grfica es: Y = 0.4864x-8.026Su coeficiente de correlacin es: R2:0.96 2. el dimetro de 2 cm.La ecuacin de la grfica es: Y = 0.8684x-8.0849Su coeficiente de correlacin es: R2:0.9665

2. Para el dimetro de 3 cm.La ecuacin de la grfica es: Y = 1.9851x-8.558Su coeficiente de correlacin es: R2:0.9717

3. Para el dimetro de 5 cm.La ecuacin de la grfica es: Y = 5.6119x-9.5598Su coeficiente de correlacin es: R2:0.9772

4. Para el dimetro de 7 cm.La ecuacin de la grfica es: Y = 11.917x-10.834Su coeficiente de correlacin es: R2:0.9584e)D=1,5D=2D=3D=5D=7h

7341.218.46.83.230

59.933.714.95.32.720

4323.710.53.9210

26.7156.82.61.34

13.57.83.71.50.81

x(D=1,5)ylogxlogylogx.logylogx2

73301.863322861.477121252.7523538013.471972081

59.9201.777426821.301032.3124856113.159246109

43101.6334684611.6334684562.668219195

26.741.426511260.602059990.8588453582.034934379

13.511.13033377001.277654428

7.831063174.380211247.55715322512.61202619

m2.00858649

b-2.26983129

x(D=2)ylogxlogylogx.logylogx2

41.2301.614897221.477121252.3853990022.607893018

33.7201.52762991.301031.9874923232.333653114

23.7101.3747483511.3747483461.889933015

1541.176091260.602059990.7080774931.38319065

7.810.8920946000.79583278

6.585461324.380211246.4557171659.010502577

m2.03826718

b-1.80854369


18.4301.264817821.477121251.868289291.599764125

14.9201.173186271.301031.5263505261.37636602

10.5101.021189311.0211892991.042827585

6.840.832508910.602059990.5012203090.69307109

3.710.56820172000.322853199

4.859904034.380211244.9170494235.034882019

m2.1197852

b-1.18434828


6.8300.832508911.477121251.229716610.69307109

5.3200.724275871.301030.9423046310.524575535

3.9100.5910646110.5910646070.34935737

2.640.414973350.602059990.249838850.17220288

1.510.17609126000.031008132

2.7389144.380211243.0129246981.770215006

m2.27326548

b-0.36921348


3.2300.505149981.477121250.746167770.255176501

2.7200.431363761.301030.5612171960.186074697

2100.3010310.3010299960.090619058

1.340.113943350.602059990.0686007340.012983088

0.81-0.09691001000.009391551

1.254577084.380211241.6770156950.554244894

m2.41364771

b0.27042083

D=1,5D=2D=3

7329.70392474130.41223281831.3901813

59.919.9656853420.19176121520.0703345

4310.2596226249.85282448119.55770639

26.73.93948961153.878327916.83.80532535

13.51.001248437.81.022782913.71.04741148

D=5D=7

6.833.36570413.230.8798314

5.318.93467492.720.4918417

3.99.4282977229.9311877

2.63.750862181.33.51107366

1.51.074208780.81.0877127

f)

h) Conclusiones:Se puede hacer un buen tratamiento de datos experimentales por medio manual, con ayuda de la calculadora y con ya programas especializados como es el Excel, o cualquier otro. La diferencia entre uno y otro es se hace notoria mediante las ecuaciones, al momento de graficar, mientras que el manual tiene muchas fallas , el programa en Excel con ayuda de algn tipo de regresin ,en este caso es la lineal, no contiene fallas se hace mucho ms rpido y no es tan complicado el tratamiento de los clculos como cuando se hace con calculadora2.3 Mtodo alternativo. Encuentre la relacin entre t vs. Da) Adjuntob) Use la calculadora cientfica para hacer los ajustes correspondientes.X1X2X3X4X5Y

7359,943,026,713,5

41,233,723,715,07,80.25

18,414,910,56,83,7

6,85,33,92,61,50,04

3,22,72,01,30,80,020

Haciendo los clculos de los mnimos cuadrados en la calculadora cientfica, obtenemos las siguientes ecuaciones de recta.I. Para X1 e Y : Ecuacin de la recta :

Coeficiente de Correlacin :

II. Para X2 e Y : Ecuacin de la recta :

Coeficiente de correlacin :

III. Para X3 e Y : Ecuacin de la recta :

Coeficiente de Correlacin :

IV. Para X4 e Y : Ecuacin de la recta :


V. Para X5 e Y : Ecuacin de la recta :


c) Use el Excel para graficar, mostrar la lnea de tendencia y el coeficiente de correlacin para cada una de las distribuciones.

3.- Usando los datos de la tabla 3, encuentre la relacin A vs. t :a) En una misma hoja de papel milimetrado grafique A vs. t.b) En una misma hoja de papel semilogartimica grafique A vs. t.c) Qu conclusiones obtiene a partir de las grficas? Qu regresin utilizara?d) Use la calculadora cientfica para hallar la ecuacin de la distribucin de puntos, halle tambin el coeficiente de correlacin.e) Use el Excel y presente una grfica similar al caso (a).Presente la ecuacin y el coeficiente de correlacin.f) En el Excel cambie a escala semilogaritmica y presente una grfica similar al caso (b)g) Compare mediante una tabla los resultados obtenidos en los casos (d) y (e).h) Cules son sus conclusiones?i) Calcular el tiempo en que se ha desintegrado el 50% de los ncleos de radn segn la tabla 2.

Desarrolloa) Adjuntob) adjuntoc)*Se observa que la grfica en el papel milimetrado no es de tendencia lineal; se pasa los datos a un papel logartmico o semilogaritmico en alguno de estos papeles la distribucin de los puntos saldr una recta, como se observa en el papel semilogaritmico sale una recta.* utilizara el mtodo de regresin exponencial debido a q se forma una recta en el papel semilogaritmicod) lny=nx +lnaY=mX+b

xyX=xY=lnyXY= xlnyX^2 = x^2

010005.29835.04830

1155.7615.04835.04831

2121.3624.79839.59664

394.4734.548313.64499

473.5844.298417.193616

557.354.048320.241525

644.6363.798422.790436

734.7573.548224.837449

827.0783.298426.387264

921.0893.048327.434781

1016.43102.798527.985100

=55=44.5317=195.1596=385

b= m= = -0.2500

b= = 5.2983Y=mX + b Y=-0.2500x + 5.2983 ecuacin exponencial: su coeficiente de correlacin es: R2 =-0.9997) e)

f)

h) Cules son sus conclusiones?debido a que no se forma una recta en el papel milimetrado se opta por la logartmica o semilogartmica en este caso la semilogartitmica te da una funcin lineal.

4. Para InvestigarPara obtener la formula de una distribucin de puntos en donde solo se relacionan dos variables y=y(x), se utilizo la regresin simple.Cuando se tiene tres o ms variables, y=y (v,w,.,z) se tendr que realizar la regresin mltiple.a) Encuentre la formula t=t (h.D), utilice tabla dos.b) Hallar t para h=15cm. y D= 6cm.c) Hallar t para h=40cm y D= 1 cm.SOLUCION:Aplicando el mtodo de mnimos cuadrados T=a+b1h+b2DT= na + b1h +b2DhT=ah + b1h2 +b2hDDT=aD+b1hD+b2D2A partir de ellos podemos obtener el error estndar.

Donde: y: valores observados en la muestrax: valores estimados a partir de la ecuacin regresivan: numero de datos totalesm: numero de variables independientesa) T= 79.5+ 1.44h + 37.3DCon un S=6.83 T=30.2+0.746+6.35DCon un S=11.05*Concluimos mientras ms datos obtenemos el erro es mayor.

b) h=15cm y D =6 cmRemplazando en la ecuacin obtenida se tiene:T=30.2+0.746(15)+6.35 (6)T=79.49c) h=40cm y D=1cmRemplazando en la ecuacin obtenida se tiene:T=30.2+0.746(40)+6.35 (1)T=67.19

VI.CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES Se puede concluir que existen diferentes tipos de tabulaciones en diferentes tipos de procedimientos cientficos que pueden plasmarse en diferentes clases de papeles cientficos (milimetrado, logartmico, semilogartmico). Existen diferentes tipos para comprobar si alguna tabulacin cientfica esta correctamente hecha, por ejemplo: si en el papel milimetrado te sale una curva, se puede comprobar si esta correctamente tabulado, plasmando los mismos datos en el papel logartmico; y si resulta ser una lnea, entonces la tabulacin estar correctamente hecha. Tambin se puede llegar a concluir que existen errores en el momento del procedimiento cientfico, pudiendo ser de gran o pequea magnitud, dependiendo de la eficiencia del individuo que lo realiza; y lo que se hace en las tabulaciones siempre es lo ms cercano mas no preciso.

VII.BILIOGRAFIAhttp://www.aulafacil.com/CursoEstadistica/Lecc-12-est.htmhttp://www.vitutor.com/estadistica/bi/coeficiente_correlacion.htmlhttp://www.youtube.com/watch?v=sNprK2Zj4Uo[Escriba texto]Pgina 0UNMSM- FISICAPgina 20

Informe 2 - Datos Experimentales-1k

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