MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE

1. Objetivos.

Conocer las leyes que rigen el Movimiento Armnico Simple.Determinar la constante elstica de un resorte, usando los mtodos: elstico y dinmico.

2. Materiales

Un resorte Universal Un sensor de distancia Un portapesas Un juego de pesas Una regla graduada Una balanza Un cronometro Hoja de papel milimetrado

3. Diseo 4. Fundamentos

Es un movimiento vibratoriobajola accin de unafuerzarecuperadora elstica, proporcional al desplazamiento y en ausencia de todo rozamiento.

ElongacinEn un movimiento armnico simple la magnitud de la fuerza ejercida sobre la partcula es directamente proporcional a su elongacin, esto es la distanciaa la que se encuentra sta respecto a su posicin de equilibrio. En un desplazamiento a lo largo del eje Ox, tomando el origen O en la posicin de equilibrio, esta fuerza es tal quedondees una constante positiva yes la elongacin. El signo negativo indica que en todo momento la fuerza que acta sobre la partcula est dirigida haca la posicin de equilibrio; esto es, en direccin contraria a su elongacin (la "atrae" hacia la posicin de equilibrio).Aplicando lasegunda ley de Newton, el movimiento armnico simple se define entonces en una dimensin mediante laecuacin diferencialSiendola masa del cuerpo en desplazamiento. Escribiendose obtiene la siguiente ecuacin dondees lafrecuencia angulardel movimiento:(2)La solucin de la ecuacin diferencial (2) puede escribirse en la forma.(3)donde:es la elongacin o desplazamiento respecto al punto de equilibrio.es laamplituddel movimiento (elongacin mxima).es lafrecuencia angulares eltiempo.es la fase inicial e indica el estado de oscilacin o vibracin (o fase) en el instantet= 0 de la partcula que oscila.Adems, la frecuencia de oscilacin puede escribirse como esto:, y por lo tanto el periodo como(4)Lavelocidadyaceleracinde la partcula pueden obtenersederivandorespecto del tiempo la expresin.VelocidadLa velocidad instantnea de unpunto materialque ejecuta un movimiento armnico simple se obtiene por lo tanto derivando la posicin respecto al tiempo:..(5)AceleracinLa aceleracin es la variacin de la velocidad del movimiento respecto al tiempo y se obtiene por lo tanto derivando la ecuacin de la velocidad respecto al tiempo:..(6)Amplitud y fase inicialLa amplitudy la fase inicialse pueden calcular a partir de las condiciones iniciales del movimento, esto es de los valores de la elongaciny de la velocidadiniciales.(7).(8)Sumando miembro a miembro las dos ecuaciones (7) y (8) obtenemos.(9)Dividiendo miembro a miembro las dos ecuaciones (7) y (8) obtenemos...(10)En el movimiento armnico simple la fuerza que acta sobre el mvil es directamente proporcional al desplazamiento respecto a su posicin de equilibrio, donde la fuerza es nula. Esta fuerza va siempre dirigida hacia la posicin de equilibrio y el mvil realiza un movimiento de vaivn alrededor de esa posicin..(11)Un ejemplo de MAS sera el que realiza un objeto unido al extremo un muelle, en ese casoksera la constante de elasticidad del muelle.Aplicando la segunda ley de newton tendramos:..(12)Comparando esta ecuacin y la que tenamos para la aceleracin (6) se deduce:..(13)Esta ecuacin nos permite expresar el periodo (T) del movimiento armnico simple en funcin de la masa de la partcula y de la constante elstica de la fuerza que acta sobre ella:..(14)

5. Procedimiento

1) Medir la masa del porta pesas y del resorte. Anotar los valores en la tabla N 2.2) Suspender el resorte del soporte y hacer coincidir su extremo inferior con un valor determinado de la regla.3) Suspender la porta pesas del extremo inferior del resorte y colocar una masa adecuada para producir un peque estiramiento en l. Anotar en la tablaN1 la masa total m (masa del porta pesas + masa colocada)y usando la expresin F=mg anotar en la tabla N 1 la fuerza correspondiente a esta masa y el estiramiento X producido por esta fuerza.4) Repetir el paso(3), colocar otras masa cada vez mayores y complementar los valores correspondientes en la tabla N1, sin deteriorar el resorte,5) Colocar en el porta pesas una pequea masa, produzca oscilaciones libres, sin que produzca perturbaciones ni movimientos laterales.6) Anotar en la tabla N2 la masa total m (masa del porta-pesas+ masa colocada) as mismo, anotar en la parte inferior de esta tabla el valor de la amplitud A, slo para esta primera masa.7) Determine con el cronometro el tiempo t que emplea el sistema masa- resorte en dar n=10 15 oscilaciones completas. Tener cuidado en contar desde cero cuando se empiece a medir el tiempo, produce que la amplitud se mantenga constante.8) Calcular el periodo=t/n para esta masa y anotar este valor en la tabla N2.9) Repetir pasos (5),(6),(7)y(8) para otras masas cada vez mayores y anotar los valores correspondientes en esta misma tabla.10) Observar experimentalmente el efecto de la amplitud sobre el periodo, soltando una masa determinada desde posiciones. Varia el periodo?6. Hoja de datos generales

Mediciones Directas

TABLA N1

NM (gr) (mm)

15161.2

26374.5

38095.2

4102125

5111142

6123153

7134161.3

8145175.1

9156190

10171208

TABLA N2

Nm (gr)a(mm)n(s)(s)(s)

15115104.824.794.96

26315105.385.235.34

38015106.076.206.06

410215106.896.987.02

511115107.377.367.31

612315107.607.707.71

713415107.998.048.08

814515108.638.698.58

915615108.788.918.80

1017115109.099.189.17

Mediciones Indirectas

TABLA N3

N1T(s)F(N)

10.4850.2350.50337

20.5310.2820.62181

30.6070.3680.7896

40.6960.4841.00674

50.7360.5421.09557

60.7670.5881.21401

70.8030.6451.32258

80.8630.7451.43115

90.8830.7791.53972

100.9140.8351.68777

7. GraficasGRAFICA N1

GRAFICA N2

8. Clculos Mediante mnimos cuadrados se obtiene en la GRAFICA N1 la siguiente ecuacin:

Mediante mnimos cuadrados se obtiene en la GRAFICA N2 la siguiente ecuacin:

9. Recomendacin y/o observaciones

Se recomienda usar pesas de poca masa para el experimento como tambin ser muy minucioso con la amplitud para que no haya errores en los clculos y graficas.

10. Cuestionario

a) Usando los valores de la tabla N1, graficar F = F(x). Realice el ajuste por el mtodo de los mnimos cuadrados. Pasa la curva trazada por el origen del sistema de coordenadas? Explicar.

Luego de realizar el mtodo de los mnimos cuadrado se obtuvo la grafica como lo esperbamos que la fuerza depende linealmente de la deformacin del resorte.

b) A partir de la grfica F =F(x), determinar el valor experimental de la constante elstica K del resorte.

La constante elstica es:

c) Cul es el significado del rea bajo la curva obtenida en la grfica F=F(x)? Determinar su valor.

El rea bajo la grafica viene ser el trabajo.Se calcula de la siguiente manera

Como

d) Usando los valores de la tabla N2, m = m (T). Es esta una curva totalmente lineal? Por qu?

La curva se genera en m vs T no es totalmente lineal porque la funcin que es una ecuacin cuadrtica, genera una grfica con tendencia parablica con mnimo y mximo relativo como consecuencia su ajuste es menos aproximacin en comparacin con la grfica F Vs x que si tiene tendencia lineal con mayor aproximacin al realizar su ajuste respectivo.e) A partir de la grfica m = m (T^2), determinar el valor de la constante elstica K del resorte.

A partir del mtodo mnimo cuadrado:

f) Utilizando la grfica m = m (T), calcular la masa del resorte Difiere este valor con respecto al medido por la balanza? Explicar detalladamente.

g) Qu conclusin experimental obtiene del paso (10) del procedimiento de esta experiencia?Varia el periodo al variar la amplitud para una misma masa ? Explicar por qu.

Bueno si varia el periodo para una misma masa si aumentamos la amplitud, porque a mayor amplitud el periodo de oscilacin ser mucho mayor que con respecto a una amplitud pequea.

h) Citar algunos ejemplos de movimiento que sean, aproximadamente, armnicos simples. Por qu son raros los movimientos que son exactamente armnicos simples?

Pndulo simple