Ttulo: TEORIA DEL ERROR (SERIE DE TAYLOR Y MACLAURIN)

2.1 Ttulo

Teora del Error (Series de Taylor y Maclaurin)

2.2 Objetivos

2.3 Resumen

Enmatemticas, unaserie de Taylores una representacin de unafuncincomo unainfinita suma de trminos.

Estos trminos se calculan a partir de lasderivadasde la funcin para un determinado valor de la variable (respecto de la cual se deriva), lo que involucra un punto especfico sobre la funcin. Si esta serie est centrada sobre el punto cero, se le denominaserie de Maclaurin.

Esta representacin tiene tres ventajas importantes:

La derivacin e integracin de una de estas series se puede realizar trmino a trmino, que resultan operaciones triviales.

Se puede utilizar para calcular valores aproximados de la funcin.

Es posible demostrar que, si es viable la transformacin de una funcin a una serie de Taylor, es la ptima aproximacin posible.

Para una ptima aproximacin posible, es necesario estimar el error cometido. El conjunto de reglas matemticas dedicadas a su estudio se conoce como teora de errores y resulta imprescindible tanto para sacar todo el partido posible a un conjunto de datos experimentales como para evaluar la fiabilidad de ellos.

2.4 Palabras clave:

Teora del error, aproximacin, precisin, exactitud, derivada sucesiva.

2.4 Introduccin

Elobjetivodel presente documento es exponer las bases de lateorade errores, aplicada en varios temas relacionados con losmtodosnumricos existentes, con el fin de entenderlos y tener un manejo claro de estos temas.Uno de los temas relacionados a la Teora de Errores son las Series de Taylor y Maclaurin, los mismos que representan una funcin como una infinita suma de trminos obtenidos de la derivacin sucesiva de la misma.El presente documento tambin tiene como finalidad utilizar los conocimientos adquiridos para aplicarlos en tres ejercicios prcticos, por lo que se debe tener previos conocimientos de clculo de derivadas.

Es muy difcil estimar el error total en el que se incurre al resolver un problema prctico. Por ello se ha propuesto un mtodo computacional para estimar esos errores con mayor facilidad y precisin, utilizando hojas de clculo en Excel.

2.5 Materiales y Metodologa

2.6.1 MATERIALES

Aplicacin de derivadas Hoja de clculo de Excel. Investigacin bibliogrfica.

2.6.2 METODOLOGA

SERIES DE TAYLOR Y MACLAURIN

Serie de Taylor

La serie de Taylor es una serie funcional y surge de una ecuacin en la cual se puede encontrar una solucin aproximada a una funcin.

La mencionada serie proporciona una buena forma de aproximar el valor de una funcin en un punto en trminos del valor de la funcin y sus derivadas en otro punto.Por supuesto, para hacer esta aproximacin slo se pueden tomar unas cuantas expresiones de esta serie, por lo que el resto resulta en un error conocido como el trmino residual, es a criterio del que aplica la serie en nmero de trminos que ha de incluir la aproximacin.

La serie de Taylor se basa en ir haciendo operaciones segn una ecuacin general y mientras ms operaciones tiene la serie, ms exacto ser el resultado que se est buscando. Dicha ecuacin es la siguiente:

Donde:n! es el factorial de n.F(n) es la ensima derivada de f en el punto a.

Como se puede observar en la ecuacin, hay una parte en la cual hay que desarrollar un binomio (x-a)n por lo que para simplificar el binomio se toma en cuenta la siguiente igualdad (a = 0). Para fines prcticosno afecta mucho en el resultado si se hacen muchas operaciones en la serie. [1]

Serie de Maclaurin

Una funcin es analtica si y solo si se puede representar con una serie de potencias; los coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en la frmula de la serie de Taylor.

Si (a = 0), a la serie se le llama serie de Maclaurin.

Esta representacin tiene tres ventajas importantes:

La derivacin e integracin de una de estas series se puede realizar trmino a trmino, que resultan operaciones triviales.

Se puede utilizar para calcular valores aproximados de la funcin.

Es posible demostrar que, si es viable la transformacin de una funcin a una serie de Taylor, es la ptima aproximacin posible.[2]

TEORA DEL ERROR

Los mtodos numricos deben ser lo suficientemente exactos o sin sesgo para satisfacer los requisitos de un problema particular de ingeniera. Tambin deben ser lo suficientemente preciso para ser adecuados al diseo de la ingeniera.

Exactitud y Precisin

Los errores asociados con los clculos y medidas se pueden caracterizar observando su precisin y exactitud.

La precisin se refiere a:

El nmero de cifras significativas que representa una cantidad.

La extensin en las lecturas repetidas de un instrumento que mide alguna propiedad fsica.

La exactitud se refiere a:

La aproximacin de un nmero o de una medida al valor verdadero que se supone representa.

La inexactitud (conocida tambin como sesgo) se define tambin como un alejamiento sistemtico de la verdad.

La siguiente figura nos ilustra lo siguiente:

a) Inexacto e impreciso.

b) Exacto e impreciso.

c) Inexacto y preciso.

d) Exacto y preciso.

Tipos de Error

Error por Truncamiento

Existen muchos procesos que requieren la ejecucin de un nmero infinito de instrucciones para hallar la solucin exacta de un determinado problema. Puesto que es totalmente imposible realizar infinitas instrucciones, el proceso debe truncarse. En consecuencia, no se halla la solucin exacta que se pretenda encontrar, sino una aproximacin a la misma. Al error producido por la finalizacin prematura de un proceso se le denomina error de truncamiento.

Un ejemplo del error generado por este tipo de acciones es el desarrollo en serie de Taylor. Este es independiente de la manera de realizar los clculos, solo depende del proceso de eliminacin de trminos de la serie infinita.

Error por RedondeoSe originan al realizar los clculos que todo mtodo numrico o analtico requieren y son debidos a la imposibilidad de tomar todas las cifras que resultan de operaciones aritmticas como los productos y los cocientes, teniendo que retener en cada operacin el nmero de cifras que permita el instrumento de clculo que se est utilizando.Existen dos tipos de errores de redondeo: Error de redondeo inferior: se desprecian los dgitos que no se pueden conservar dentro de la memoria correspondiente.

Error de redondeo superior: este caso tiene dos alternativas segn el signo del nmero en particular:

Para nmeros positivos, el ltimo dgito que se puede conservar en la localizacin de memoria incrementa en una unidad si el primer dgito despreciado es mayor o igual a 5.

Para nmeros negativos, el ltimo dgito que se puede conservar en la localizacin de la memoria se reduce en una unidad si el primer dgito despreciado es mayor o igual a 5. [3]

Error Relativo PorcentualEs el error absoluto dividido entre un nmero positivo adecuado. Generalmente, el divisor es una de tres elecciones: la magnitud del valor exacto, la magnitud del valor calculado (o redondeado) o el promedio de estas dos cantidades. La mayor parte de las veces utilizaremos:Donde:X= valor verdadero = valor aproximadoAlgunas veces conviene multiplicar el error relativo por 100 (por ciento) para ponerlo en una base porcentual.El error relativo es una mejor medida del error que el error absoluto, en especial cuando se utilizan sistemas numricos de punto flotante. Puesto que los elementos de un sistema de punto flotante no estn distribuidos de manera uniforme, la cantidad de redondeos posibles depende de la magnitud de los nmeros que se redondean. El denominador de la ecuacin de arriba compensa este efecto.Error Relativo Porcentual AproximadoEn los mtodos numricos se utilizan esquemas iterativos donde se obtiene una aproximacin actual sobre la base de una aproximacin anterior. Este proceso se repite sucesivamente para calcular ms y mejores aproximaciones a la solucin. As que el error se puede estimar como la diferencia entre la aproximacin previa y la aproximacin actual.

Donde:

2.6.2.1 Clculos y ResultadosEjercicio 1Exprese el Cos(x) mediante la serie de Maclaurin, trabajar con el Cos(/4) utilizando desde 1, 2, 3, 4, 5, .. 10 trminos de la serie, con 4 decimales y utilice Excel para determinar: El valor verdadero. El error relativo porcentual (Ep). El error relativo porcentual aproximado (ep).Se realiz el clculo de las derivadas consecutivas de la funcin Coseno (Anexo Ejercicio 1) y se obtuvo la siguiente serie de Maclaurin.

Con la ayuda de Excel se obtuvo la siguiente tabla, determinando su valor verdadero, el error relativo porcentual y el error relativo porcentual aproximado.Tabla de la funcin Cos(x)f(x)= Cos(x) a= 0 /4= 45X0,7854

Cos(x)0,7071

# de derivadaCos(x)ErrorEpep

01,0000-0,292941,4216----------

10,00000,7071100,0000----------

2-0,30840,398756,381877,3622

30,00000,7071100,000043,6182

40,01590,691397,75782,2936

50,00000,7071100,00002,2422

6-0,00030,706899,95390,0461

70,00000,7071100,00000,0461

80,00000,707199,99950,0005

90,00000,7071100,00000,0005

100,00000,7071100,00000,0000

Con la presente la tabla, se procedi a graficar la dispersin de los datos con respecto a su tipo de error

Ejercicio 2Exprese el Sen(x) mediante la serie de Maclaurin, trabajar con el Sen(/6) utilizando desde 1, 2, 3, 4, 5, .. 10 trminos de la serie, con 4 decimales y utilice Excel para determinar: El valor verdadero. El error relativo porcentual (Ep). El error relativo porcentual aproximado (ep).Se realiz el clculo de las derivadas consecutivas de la funcin Seno (Anexo Ejercicio 2) y se obtuvo la siguiente serie de Maclaurin.

Con la ayuda de Excel se obtuvo la siguiente tabla, determinando su valor verdadero, el error relativo porcentual y el error relativo porcentual aproximado.Tabla de la funcin Sen(x)f(x)= Sen(x) a= 0 /6= 30X0,5236

Sen(x)0,5000

# de derivadaSen(x)ErrorEpep

00,00000,5000100,0000----------

10,5236-0,02364,7198----------

20,00000,5000100,000095,2802

3-0,02390,476195,21515,0254

40,00000,5000100,00004,7849

50,00030,499799,93440,0656

60,00000,5000100,00000,0656

70,00000,500099,99960,0004

80,00000,5000100,00000,0004

90,00000,5000100,00000,0000

100,00000,5000100,00000,0000

Con la presente la tabla, se procedi a graficar la dispersin de los datos con respecto a su tipo de error.

Ejercicio 3Exprese el ln(x+1) mediante la serie de Maclaurin, vlida para el intervalo -1 < x < 1, para en ln(1,5), utilizando desde 1, 2, 3, 4, 5,..20 trminos de la serie, con 4 decimales y utilice Excel para determinar: El valor verdadero. El error relativo porcentual (Ep). El error relativo porcentual aproximado (ep).Se realiz el clculo de las derivadas consecutivas de la funcin Seno (Anexo Ejercicio 3) y se obtuvo la siguiente serie de Maclaurin.

Con la ayuda de Excel se obtuvo la siguiente tabla.Tabla de la funcin Ln(x+1)X0,5

Ln(x+1)0,4055

# de derivadaLn(x+1)ErrorEpep

00,00000,4055100,0000----------

10,5000-0,094523,3152----------

2-0,12500,280569,171266,2935

30,04170,363889,723722,9065

4-0,01560,389896,14646,6801

50,00630,411798,45862,3484

6-0,00260,408199,35770,9050

70,00110,406699,72470,3680

8-0,00050,405099,87960,1550

90,00020,405299,94650,0669

10-0,00010,405499,97590,0294

110,00000,405599,98910,0131

120,00000,405599,99500,0059

130,00000,405599,99770,0027

140,00000,405599,99890,0012

150,00000,405599,99950,0006

160,00000,405599,99980,0003

170,00000,405599,99990,0001

180,00000,405599,99990,0001

190,00000,4055100,00000,0000

200,00000,4055100,00000,0000

Con la presente la tabla, se procedi a graficar la dispersin de los datos con respecto a su tipo de error.

2.6 Discusin

Al realizar el presente proyecto se observ que los errores por truncamiento, por redondeo y relativo porcentual tienen el inconveniente de que para poder ser evaluados requieren de un valor verdadero, dado que esto no sucede en la vida real, se recurre a definiciones similares o paralelas para calcular errores aproximados.

2.9 Referencias bibliogrficas

[1] Eduardo, Mat.Uson, 17 Octubre 2013. [En lnea]. Available: http://www.mat.uson.mx/eduardo/calculo2/soltaylor/soltaylorHTML/taylor.htm. [ltimo acceso: 18 Abril 2014].

[2] Diego, Analisis Numerico, 8 Junio 2011. [En lnea]. Available: http://esimecu-anumerico.blogspot.com/2011/05/series-de-taylor-maclaurin.html. [ltimo acceso: 18 Abril 2014].

[3] M. Sanchez, Metodos Numericos, 14 Febrero 2008. [En lnea]. Available: http://meto2numericos.blogspot.com/2008/02/tipos-de-errores.html. [ltimo acceso: 18 Abril 2014].