Universidad de Concepción, Chile. Ingeniería Civil Biomédica, DIE.

Resumen—En este informe se reúnen los datos obtenidos en ellaboratorio N.º 7 de Frecuencia de Resonancia en Circuito RLC.

En esta actividad se fabricó una bobina con un alambreesmaltado y un tubo de PVC al girar 30 veces el primero sobre elsegundo, después se midió la impedancia de la bobina. Luego secalculó la capacitancia necesaria para que el circuito estuviese enresonancia a una frecuencia 10 k[Hz]. Posteriormente se dibujó eldiagrama de bode considerando Vin como Vs y Vout como VLC,analizando su comportamiento en la fase y en la ganancia. Seconcluyó que a partir de la frecuencia de resonancia, la carga LCpasó de comportarse como un capacitor, a un inductor.

I. INTRODUCCIÓN.

La bobina es un instrumento que sirve para almacenarenergía en forma de campo magnético [1]. En este laboratoriose analizará el comportamiento de una bobina creada pornosotros mismos. Luego el comportamiento, en frecuencia,que esta presente en conjunto al capacitor será analizado deforma teórica por medio del diagrama de bode.

En 1831, Michael Faraday descubrió el principio deinducción e hizo los primeros experimentos con la inducciónentre dos rollos de alambre [2]. Los inductores son muyimportantes para la vida cotidiana, ya que estos sirven paradisminuir el voltaje que entra a objetos o instrumentoselectrónicos.

El diagrama de bode es una representación gráficaque sirve para caracterizar la respuesta en frecuencia de unsistema.[5]

II. MATERIALES Y MÉTODOS.

A. Materiales:

• Generador de Funciones: GW Instek modelo GFG­8216A• Protoboard• Osciloscopio: Tektronic modelo TDS 1002B• Multimetro Digital: Meterman modelo 37XR• Resistencia: R= 10.1 [ ]Ω• 2.0 [m] de alambre esmaltado de 0.32m[m] de espesor.• Tubo de Policloruro de vinilo.• Capacitores: C=C1= 4.76 µ[F] + C2=10.96 µ[F]• Analizador de Impedancia• Software MATLAB 7.1

B. Métodos:El siguiente laboratorio se dividió en dos actividades:

|) Circuito RL:

Para dicha actividad se utilizará una bobina fabricadaen el laboratorio que consta de un alambre esmaltado, unatubo de PVC de 20 [mm] de diámetro y 30 vueltas. Con ella sepasará a armar un circuito RL en conjunto a una resistenciadispuesta en serie de 10 [ ], un voltaje peak de 5 [V] y unaΩfrecuencia de 320 [kHz].

2) Circuito RLC:Utilizando la bobina creada en la actividad 1 se

calculará y considerando una frecuencia de resonancia de 10[kHz] se calculará el valor de un capacitor. Posteriormente, secalculará la frecuencia real de resonancia para luego conectaruna resistencia de 10 [ ], el inductor y el capacitor en serie.Ω

En este laboratorio se utilizarán las siguientesformulas:1) Corriente de carga [3], en [A]:

irms=V s

|Zeq| (1)

Donde, Vs: Voltaje RMS del generador. Zeq:Impedancia total de la carga.

2) Impedancia total de un circuito RLC [3], en ohms:

|Zeq|=√R2+(ωL−

1ωC )

2

(2)

Donde. R: Resistencia en ohms. I:Iductancia enHenry. C: Capacidad en faradios. ω: Velocidad angular enrad/seg.

3) Frecuencia de resonancia para un circuito RLC [4]:

f Res=1

2π√LC (3)

4) Ángulo de desfase entre VS y VLC , en un circuitoRLC [4]:

θ=tr ∙ f ∙360 ° (4)

Donde: tr: Tiempo de retardo entre ambas señales. f: Frecuencia en Hertz.

1Laboratorio 7 de Frecuencia de Resonancia encircuito RLC.

(Noviembre 2015).Claudia Lemunao y Javiera Quiroz, Ingeniería Civil Biomédica,

Profesores Esteban Pino, Roberto López, Ayudantes Jaime Jiménez, Britam Gómez.

Universidad de Concepción, Chile. Ingeniería Civil Biomédica, DIE.

5) La función de transferencia de un sistema para uncircuito RLC, considerando condiciones iniciales nulas es [5]:

salidaentrada

=y (s)

u(s)=H ( s )=

s2 LC+1s2 LC+sRC+1

(5)

6) Al Aplicar Transformada de Fourier, basta reemplazars por j ω en su Transformada de Laplace Bilateral

[5]:

H (s )s= j ω=H ( jω )=1−ω2 LC

(1−ω2 LC )− j (ωRC )(6)

Como H( j ω ) está en el plano de Fourier, posee unmódulo y una fase.

III. DESARROLLO.

a) Actividad 1.En esta actividad se tomó el tubo de policloruro de

vinilo y se enrolló el alambre alrededor del tubo, dándole 30vueltas en total, formando así una bobina. Por medio delanalizador de impedancias se obtuvo la inductancia eimpedancia de la bobina.

Luego, en el protoboard se armó un circuito RL queconsiste en la bobina que fue creada con la resistencia Rdispuestas en serie.

El circuito se conectó a un generador de funciones deVPEAK = 4.86 [V] y de frecuencia 321.016 [kHz].Con ello se calculó la corriente del circuito utilizando (1) y (2)con C = nulo.Después, se calculó los voltajes de los elementos del circuito.

b) Actividad 2:Dado la bobina de la actividad 1 se calculó por medio

de (3) la capacitancia dado una frecuencia de 10.13 [kHz]. Esto entregó C=14.5 [μF], al no existir de forma

practica un capacitor de esas características se utilizó C1 = 4.76[μF] y C2=10.96[μF] dispuestos en paralelo. Con ello secalculó la frecuencia de resonancia real del circuito con (3).

Luego se calculó midió el voltaje del circuito pormedio de un osciloscopio.

Después, por medio de MATLAB se graficó eldiagrama de bode de magnitud y fase del circuito.

IV. RESULTADOS.

a) Actividad 1.En esta actividad se obtuvieron los valores de voltaje

y corriente entregados en la tabla I.Gracias al osciloscopio se obtuvo la gráfica de las

señales donde se aprecia el adelanto de la señal del inductor(Fig 1.)

b) Actividad 2.En esta actividad se obtuvieron los valores de voltaje

y corriente mostrados en la tabla II.

TABLA IVALORES ELEMENTOS CIRCUITO RL

Valor Voltaje [V] Impedancia [Ω]

Resistencia 10.1 [Ω] 4.92 10.1

Inductor 17.39 [μH] 1.46 34.89

La impedancia calculada mediante el analizador de impedancia, la resistenciacalculada por el multimetro y los voltajes entregador por el osciloscopio.

TABLA IIVOLTAJES DEL CIRCUITO RLC EN LA FRECUENCIA DE RESONANCIA

f [Hz] Vin [V] VR [V] VC [V] VL[V]

10.12k 1.53 1.29 136.5m 105.8m

Voltajes de los diferentes elementos presentes en el circuito

Fig. 1. Imagen obtenida por medio del osciloscopio donde se aprecia el voltajede la resistencia y del inductor.

Fig. 2. Imagen obtenida por medio del osciloscopio donde se muestra la señalde voltaje del Condensador­Inductor y de la resistencia.

Universidad de Concepción, Chile. Ingeniería Civil Biomédica, DIE.

Fig. 3. Diagrama de bode del circuito RLC. El eje de las x representa lafrecuencia (rad/seg) y el eje y la magnitud (dB).

Fig. 4. Diagrama de bode del circuito RLC. El eje de las x representa lafrecuencia (rad/seg) y el eje y la fase (grados).

Luego, por medio del osciloscopio se obtuvo la señalmostrada en la figura 2 donde se puede apreciar que el circuitoestá en resonancia dado que no existe retraso o adelanto entrelas señales mostradas.

Luego mediante MATLAB y los datos realesobtenidos en el laboratorio se pudo graficar el diagrama debode de magnitud (Fig. 3) y de fase (Fig. 4).

V. INVESTIGACIÓN.1) Investigue acerca de los fenómenos que ocurrencuando un circuito RLC en serie se encuentra en resonancia.Cuando un circuito se encuentra en resonancia, se tieneque XC + XL = 0, por lo que la impedancia del circuito en serie, espuramente resistiva. Teniendo en cuenta lo anterior, se puedeemplear el concepto de factor de calidad (Q), que se describecomo:[6]

Q=w ₀∆w

Donde w₀, Corresponde a la velocidad angular en el voltaje peak. ∆w, Es el ancho de la curva resonante a la mitad de su valor máximo.Cabe mencionar que mayor sea la resistencia, mayor será el valor de Q.

En cuanto a la potencia del mismo modelo delcircuito RLC, se verá influenciado únicamente por laresistencia.

2) Muestre como se llega a la fórmula de frecuencia de resonancia a partir de las impedancias.Como el circuito en RLC en resonancia, es puramenteresistivo, se tiene que, XC + XL = 0. Teniendo en cuenta que:

X c= 1j wC

y que X ι= jw L

Multiplicando por j tanto tanto en el dividendo como en el divisor de Xc se tiene

X c= − jw C

Igualando, Xc y XL,

jwC

= jw L

Simplificando y despejando, se puede traducir en:

w2=

1LC

→w=1

√LC

Por definición, se tiene que w= 2 f, donde f corresponde a laΠfrecuencia en resonancia. Finalmente,

f Res=1

2π√LC

VI. CONCLUSIONES.

Al tomar VIN como VR, se pudo visualizar mejor lafrecuencia de resonancia del circuito RLC.

En la tabla I, se observó que el VRMS del generador esdistinto su valor teórico porque la fuente que utilizamos en ellaboratorio no puede entregar la corriente necesaria y por esoel VRMS práctico tiende a ser menor. Para solucionar esto sedebería haber trabajado con una resistencia mayor.

Se pudo notar que cuando la frecuencia tiende a ceroo infinito, por (2) ⇒ VLC →∞ y por tanto,

iRMS→0 , haciendo que el voltaje del generador alalcance el valor de idealmente debería ser (

V RMS=10√2

≈7.07voltios ), pero cuando la

frecuencia comienza a acercarse a la fRes ocurre lo contrario alo dicho anteriormente, y se tiene que iRMS→∞ , pero elgenerador tiene un límite de corriente porque de lo contrariose quemaría, y por eso el VS comienza a disminuir cuando seacerca a la frecuencia de resonancia.

Se observó que cuando ω→0 , el ángulo dedesfase entre el VR y el VLC es de ­90°, y cuando ω→∞ ,el ángulo de desfase es de +90°, es decir, que a frecuenciasbajas la carga LC se comporta como un capacitor y afrecuencias altas como un inductor. Y cuando se acerca a lafrecuencia de corte, el VS → VR. Esto se analizó por L.V.K,donde VLC →0 , debido a que su impedancia tiende a cero.

En la Fig. 3, se pudo notar que el bode comienza y semantiene en 0 [dB] ya que cuando ω≪⇒ Vin ≈Vout,debido a que la impedancia equivalente es mayor para unafrecuencia baja (2). Luego en la fRes se tiene que

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20∙log|H ( jω )|→−∞ , y para ω≫⇒ Vin

≈Vout de igual forma que antes, debido a (2), estabilizándoseen 0 [dB].

En la Fig. 3, se observó que éste comienza en 0°porque no hay desfase cuando ω≪ , ya que el tiempo deretardo fue aproximadamente 0 [s], lo mismo ocurre para

ω≫ . Luego cuando f → f Res por la izquierda se

tiene que ∠ H ( j ω ) →−90° y coge el signo negativoporque la señal VLC está atrasada con respecto a VS, perocuando f → f Res por la derecha ocurre lo contrario a lo

dicho anteriormente, es decir, que ∠ H ( j ω ) →+90° .

VII. BIBLIOGRAFÍA.

[1] Unicrom. (2010). Bobina o inductor. 15/11/2015, deUnicrom Sitio web: http://www.unicrom.com/Tut_bobina.asp[2] DEISYSOSA. (2012). Historia de la Bobina eléctrica,Inductor, o Bobina de inducción.. 15/11/2015, deDEISYSOSA Sitio web:http://deisysosa.wordpress.com/2012/08/07/historia­de­la­bobina­electrica­inductor­o­bobina­de­induccion­8/[3] Esteban Pino. Roberto López; Circuitos en CorrienteAlterna (2015), Laboratorio de Circuitos ­ 550111.[4] Esteban Pino. Roberto López; Frecuencia deResonancia en Circuito RLC (2015), Laboratorio de Circuitos­ 550111.[4] R.C. Dorf, J.A. Svoboda. (2006). Cap. 7.5Capacitores en serie y en paralelo. En Circuitos Eléctricos.Mexico: Alfaomega.[5] José Espinoza C.­ Daniel Sbárbaro, “Apuntes sistemas lineales dinámicos”, Departamento de Ingeniería Eléctrica, Curso de Sistemas Lineales­543214.[6] Web en linea. 15/11/2015 de http://hyperphysics.phy­astr.gsu.edu/hbasees/electric/serres.html