Informe: Cálculo de índice de refracción del agua y distancia focal de lentes delgadas

8/16/2019 Informe: Cálculo de índice de refracción del agua y distancia focal de lentes delgadas

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Universidad Nacional del Sur – Mayo 2016

Electromagnetismo

Cálculo de índice de refracción del agua ydistancias focales de lentes delgadas

K. Vettori, G. Vilches.


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Indice1.0: Resumen: ................................................................................................................................ 2

2.0: Introducción: .......................................................................................................................... 2

2.1: Objetivo: ............................................................................................................................. 2

2.2: Descripción del sistema:..................................................................................................... 3

2.3: Ecuación de Gauss: ............................................................................................................. 3

2.4: Método de Bessel: .............................................................................................................. 4

2.5: Lentes delgadas: ................................................................................................................. 4

2.6: Ley de refracción de Snell: ................................................................................................. 4

2.7: Método de cuadrados mínimos: ........................................................................................ 4

2.8: Unidades: ........................................................................................................................... 5

3.0: Procedimiento: ....................................................................................................................... 5

3.1: Lente convergente: ............................................................................................................ 5

3.1.1: Ecuación de Gauss: ...................................................................................................... 5

3.1.2: Método de Bessel: ....................................................................................................... 6

3.1: Lente divergente: ............................................................................................................... 6

3.3: Índice de refracción del agua: ............................................................................................ 7

4.0: Resultados: ............................................................................................................................. 8

5.0: Conclusiones: ......................................................................................................................... 9

6.0: Referencias: ............................................................................................................................ 9

1.0: Resumen:El objetivo del presente fue conocer la distancia focal de una lente convergente y una

divergente, y el índice de refracción del agua. Para calcular la distancia focal de la lente

convergente se utilizó la ecuación de Gauss y el método de Bessel , para la lente divergente se

creó un sistema convergente utilizando la otra lente y se utilizó la ecuación de Gauss. Para

obtener el índice de refracción se utilizó la ley de Snell . Se concluyó que es simple y rápido si

no se requiere de una gran precisión de los resultados.

2.0: Introducción:

2.1: Objetivo:

El objetivo del presente trabajo fue determinar de forma experimental la distancia focal de una

lente delgada convergente [Caso (1)], la de una lente delgada divergente [Caso (2)] y el índice


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de refracción del agua [Caso (3)]. Estos datos son útiles y/o necesarios para la realización de

experimentos y cálculos relacionados con la óptica.

2.2: Descripción del sistema:

Para el caso (1) el sistema se compone, en orden, de una fuente de luz, una pantalla difusora

que actúa como objeto, una lente delgada convergente y una pantalla opaca que hace lafunción de sistema de observación.

Fig. 1: Lente convergente

En el caso (2) el sistema es similar al (1) con la diferencia de que entre la lente convergente y la

pantalla opaca hay una lente divergente, la cual es el objeto de estudio.

En el caso (3) el sistema se compone simplemente de un recipiente de vidrio de base

rectangular lleno de agua y un laser que hace las veces de rayo de luz.

2.3: Ecuación de Gauss:

La ecuación de Gauss relaciona geométricamente en un sistema óptico la distancia del objeto a

la lente (s), la distancia focal (f) y la distancia de la imagen a la lente (s’). La misma es válida

sólo para lentes delgadas (véase 2.5: Lentes delgadas) y la usamos para conocer la distancia

focal de los dos tipos de lentes. Su expresión es:

1 1 1

' f s s

Para el caso (1) de la lente convergente sólo basta con obtener las medidas de S y S’ y

despejar, o en el caso de que se tengan varias mediciones aplicar algún método para

aproximar el valor de f . Para el caso (2) de la lente divergente este método resulta un poco

más complejo porque se tiene un sistema de dos lentes y hay que resolver la ecuación (1) para

cada lente del sistema. Para este último es necesario conocer la distancia focal de la lente

convergente.

(1)


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2.4: Método de Bessel:

Este método se basa en el hecho de que definidas las posiciones del caso (1) existen solo dos

posiciones de la lente convergente que hacen que se forme una imagen nítida del objeto. La

distancia entre las posiciones mencionadas, la distancia entre el plano imagen y el plano

objeto y la distancia focal se relacionan mediante la siguiente ecuación. Las mismas son

llamadas d , L, y f respectivamente.

2 ( 4 )d L L f

Y despejando f se obtiene:

2 2

4

L d f

L

2.5: Lentes delgadas:

La ecuación de Gauss (2.3) es sólo válida para lentes delgadas. Esto es que el grosor de la lentees despreciable comparado con los radios de curvatura de las caras que forman la lente. En

nuestro caso consideramos que las lentes son delgadas.

2.6: Ley de refracción de Snell:

Es una fórmula utilizada para calcular el ángulo de refracción de la luz al atravesar la superficie

de separación entre dos medios de propagación de la luz (o cualquier onda electromagnética)

con índice de refracción distinto. [1] El índice de refracción es el cociente entre la velocidad de

la luz en el vacío y la velocidad de propagación de la luz en el medio.

La misma afirma

que la multiplicación del índice de refracción por el seno del ángulo deincidencia respecto a la normal es constante para cualquier rayo de luz incidiendo sobre la

superficie separatriz de dos medios.

cn

v

1 1 2 2. .n sen n sen

2.7: Método de cuadrados mínimos:

Éste es un método que teniendo un conjunto de valores de dos datos que tengan unatendencia lineal permite obtener la ecuación de la recta a la que más se aproxima la dispersión

de valores. Para nuestro caso sólo usamos la expresión para obtener el valor de la ordenada:

.XY A B

2

1 1 1 1

2

2

1 1

( ) . ( ) ( ). ( . )

. ( ) ( )

n n n n

i i i i i

i i i i

n n

i i

i i

x y x x y

A

n x x

(2)

(3)

(5)

(4)

https://es.wikipedia.org/wiki/Refracci%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Luzhttps://es.wikipedia.org/wiki/Onda_electromagn%C3%A9ticahttps://es.wikipedia.org/wiki/%C3%8Dndice_de_refracci%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/%C3%8Dndice_de_refracci%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Onda_electromagn%C3%A9ticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Luzhttps://es.wikipedia.org/wiki/Refracci%C3%B3n


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2.8: Unidades:

Para simplificar la escritura, las unidades de las distancias y demás parámetros no se escribirán

exceptuando los resultados importantes.

3.0: Procedimiento:

3.1: Lente convergente:

3.1.1: Ecuación de Gauss:

Se colocaron sobre el banco, convenientemente sobre una regla milimetrada, los elementos

descriptos en la sección 2.2 para el caso (1). Se realizaron 5 mediciones diferentes de las

distancias entre cada elemento. Para realizar cada medición se acomodaron el objeto y la

pantalla opaca en posiciones arbitrarias y se movió la lente hasta que sobre la pantalla

mencionada se distinguió la imagen más nítida posible. Los valores de estas mediciones se

colocaron en la siguiente tabla, donde S y S’ son las medidas de la Fig. 1:

Acomodando la ecuación (1) obtuvimos:

1 1 1

' s f s

Esta ecuación se representó como una función lineal donde -1 es la pendiente, 1/s es la

variable independiente y 1/f es la ordenada. De esta forma, se aplicó el método de cuadrados

mínimos (véase 2.6) y se obtuvo el siguiente gráfico:

Grafico 1: Mediciones de S y S’

y = -1,0268x + 0,02950

0,002

0,004

0,006

0,008

0,01

0,012

0,014

0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025

1 / S '

1/S


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Para calcular el valor de la ordenada (en este caso la ordenada es 1/f) se resolvió la ecuación

(4) y se obtuvo:

10, 02945469 33, 95 f cm

f

3.1.2: Método de Bessel:

Se dispusieron de la misma forma los elementos descriptos en la sección 2.2 para el caso (1) y

se realizó la siguiente medición:

160 , 57, 4 L d

Reemplazando en la ecuación (2) se obtuvo:

34,85 f cm

3.1: Lente divergente: Aclaración: los subíndices 1 y 2 son para representar dimensiones o datos de las diferentes lentes según

indica la figura 2.

• Ecuación de Gauss: Se colocaron sobre el banco, convenientemente sobre una regla

milimetrada, los elementos descriptos en la sección 2.2 para el caso (1).

Se realizó una medida de las posiciones de los elementos del sistema para calcular las

distancias involucradas en la ecuación (1):

Fig. 2: Sistema óptico convergente


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Los datos conocidos fueron: (ver Fig. 2)

Resolviendo la ecuación (1) para el lente convergente con S1’ y f1 se obtiene:

1 66,01S

Por suma de segmentos:

2 1' 66, 01 62, 7S S L

2 ' 3, 31S

Resolviendo la ecuación (1) para el lente divergente con S2 y S2’ se obtiene:

2 3,02 f cm

3.3: Índice de refracción del agua:

Se dispuso sobre el lugar de trabajo el recipiente lleno de agua y el láser, de modo que éste

último incidía con un ángulo que se midió con un transportador. Luego con una regla

milimetrada se midieron las distancias d y e de la Fig. 3.

Fig. 3: Refracción del laser en el agua


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De las ecuaciones (3) y (4), considerando la velocidad de la luz en el aire igual a la velocidad de

la luz en el vacío, se obtuvo:

1

2

sencn

v sen

Donde1

es el ángulo que se midió, que vale 15°, y2

se obtuvo geométricamente con las

distancias mencionadas:

21,5 5

tan6, 3 21

d

e

2

5arc tan 13, 39

21

15

13,39

senn

sen

1,12n

4.0: Resultados:• Distancia focal de la lente convergente: El resultado de resolver la ecuación de Gauss y

utilizar el método de cuadrados mínimos fue:

33,95 f cm

Y el de aplicar el método de Bessel:

34,85 f cm

Esta diferencia de 0,90cm nos llamó la atención y calculamos el primer valor de forma

diferente. Aplicamos la ecuación de Gauss a las mismas 5 mediciones y calculamos la distancia

focal para cada medición, luego calculamos el promedio de esas distancias focales y el

resultado fue el siguiente:

34,56 f cm

Comparando este resultado con los anteriores se planteó a la hipótesis de que el método de

cuadrados mínimos no es el más correcto.


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• Distancia focal de la lente divergente: El resultado de resolver la ecuación de Gauss para el

sistema óptico fue:

2 3,02 f cm

• Índice de refracción del agua: El resultado de resolver la ecuación de la ley de Snell fue:

1,12n

En diversas fuentes se encontró que el índice de refracción del agua es de aprox. 1,33 [2]. Esto

hace pensar que tal vez la experiencia no se realizó de la forma más adecuada o los cálculos y

mediciones no fueron muy precisos.

5.0: Conclusiones:

Resulta simple conocer experimentalmente los datos calculados, tanto la distancia focal de unalente como el índice de refracción del agua. Un punto desfavorable de esto es la imprecisión

de los resultados, sería bueno realizar más mediciones de todo y calcular el error de éstos. A

esto anterior podría ayudar el utilizar instrumentos de medición más precisos, más que nada

para calcular el índice de refracción.

6.0: Referencias:1. https://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_Snell (Visitado en mayo de 2016)

2. https://es.wikipedia.org/wiki/Índice_de_refracción (Visitado en mayo de 2016)
https://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_Snellhttps://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_Snellhttps://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_Snellhttps://es.wikipedia.org/wiki/%C3%8Dndice_de_refracci%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/%C3%8Dndice_de_refracci%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/%C3%8Dndice_de_refracci%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/%C3%8Dndice_de_refracci%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_Snell

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