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INFORME DE LABORATORIO Nº 4

CAPACITANCIA DEPENDIENTE DE SUS DIMENSIONES GEOMETRICAS

1. Objetivos.-

Verificación experimental del modelo matemático de la capacitancia en función de sus dimensiones geométricas (distancia, área).

Determinación aproximada del valor de la permitividad del vacío con un error probable del 1%.

2. Fundamento Teórico.-

En el caso de un capacitor de placas paralelas, la capacitancia es proporcional al área de sus placas e inversamente proporcional a la separación de éstas:

Donde:

C: capacitancia eléctrica, Faradio

A: área de las placas, m2

d: distancia entre las placas, m

: Constante de permitividad eléctrica del medio,

Como es sabido de la teoría electrostática, una configuración de electrodos cargados en una determinada región del espacio, conlleva la presencia de un campo eléctrico en dicha región y en sus alrededores. A través del análisis de dicho campo eléctrico se puede obtener matemáticamente la diferencia de potencial entre los electrodos.

Visto de otra forma, se podría decir que al aplicar una diferencia de potencial a un par de electrodos dispuestos en una geometría determinada, en ellos se almacenará una cantidad determinada de carga, tal como se muestra en la Figura 1, la cual también puede ser calculada matemáticamente.

En la práctica, la medición de carga es más complicada que la de voltaje, razón por la cual tiene sentido determinar la cantidad de carga a través de una magnitud física relacionada con la geometría de los electrodos utilizados y el medio en el cual se encuentran.Como ya se ha indicado, esta magnitud llamada Capacitancia solo dependerá de la geometría de los electrodos (X,Y,Z) y el medio (є) entre ellos.Quizás la geometría mas sencilla de analizar sea la del capacitor de placas paralelas, ampliamente utilizado. En este capacitor se puede hacer la idealización de estar formado por placas infinitas cuando el tamaño de las placas es mucho mayor que la distancia entre las mismas, a partir de lo cual se demuestra que el campo eléctrico es constante al interior de las placas y cero por fuera de ellas.

3. Hipótesis Experimental.-

El comportamiento o variación de la capacitancia en función de sus dimensiones geométricas es en forma de una hipérbole de 1er grado q pasa por el origen de coordenadas.

Si la permitividad del vacío se considera constante como proporcionalidad (entre la capacitancia y el área e inversamente proporcional a la distancia) entonces no depende de la capacitancia ni de sus dimensiones geométricas.

4. Sistema Experimental.-

Nº INSTRUMENTO CARACTERISTICA1 Capacimetro 0 – 200 pF

Capacitor de Placas Planas Sección Circular (aluminio)

5. Instalación del Sistema de Experimentación.-

Capacitor plano de placas paralelas Capacimetro

Figura 1. Capacitor plano paralelo conectado a una fuente de voltaje. Las placas tienen cargas iguales de signo contrario distribuidas en su superficie, ya que son conductoras.

Primeramente y después del reconocimiento de los instrumentos se debe conectar el equipo.

Luego se debe registrar la capacitancia a distintas distancias respectivamente. Cuidando la escala máxima en cada una de las medidas. Finalmente se debe realizar el procesamiento de datos

6. Registro de Datos Experimentales.-

TABLA Nº 1

MAGNITUD UNIDADDiámetro D mm 25,5

TABLA Nº 2

Nº INSTRUMENTO CLASE % ESCALA MAX. ERROR ABS.1 Capacimetro 5 2000 pF

200 pF100 pF10 pF

Error absoluto del nonius

Para el Capacimetro (de 1- 4) Para el Capacimetro (de 4- 10)

TABLA Nº 3

Nº [m] [F] 1 0,001 10-4 424 x 10-8 10-10

2 0,002 10-4 219 x 10-8 10-10

3 0,003 10-4 149 x 10-8 10-10

4 0,004 10-4 112 x 10-8 10-10

5 0,005 10-4 89,9 x 10-8 10-11

6 0,006 10-4 74,4 x 10-8 10-11

7 0,007 10-4 65 x 10-8 10-11

8 0,008 10-4 56,2 x 10-8 10-11

9 0,009 10-4 50,7 x 10-8 10-11

10 0,01 10-4 44,8 x 10-8 10-11

7. Procesamiento de Datos.-

Para el área

Verificación del Modelo

Grafico Nº 1

0,00E+005,00E-111,00E-101,50E-102,00E-102,50E-103,00E-103,50E-104,00E-104,50E-105,00E-10

0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,012

d (m)

C (F)

Análisis.- La correspondencia entre los datos experimentales y el modelo matemático teórico es suficientemente bueno por tanto el modelo matemático es capaz de representar a las propiedades del sistema de experimentación o del comportamiento de la capacitancia con respecto a sus dimensiones geométricas,

Determinación de la Capacitancia

Grafico Nº 2

0,00E+00

5,00E-11

1,00E-10

1,50E-10

2,00E-10

2,50E-10

3,00E-10

3,50E-10

4,00E-10

4,50E-10

0,0 100,0 200,0 300,0 400,0 500,0 600,0

X

Y

Análisis.- Grafico trazado con los datos linealizados ajustado a la recta de los mínimos cuadrados

TABLA AUXILIARNº X Y X2 Y2 XY1 510,7 4,24E-10 260814,5 1,80E-19 2,17E-072 255,4 2,19E-10 65203,6 4,80E-20 5,59E-083 170,2 1,49E-10 28979,4 2,22E-20 2,54E-084 127,7 1,12E-10 16300,9 1,25E-20 1,43E-085 102,1 8,99E-11 10432,6 8,08E-21 9,18E-096 85,1 7,44E-11 7244,8 5,54E-21 6,33E-097 73,0 6,50E-11 5322,7 4,23E-21 4,74E-098 63,8 5,62E-11 4075,2 3,16E-21 3,59E-099 56,7 5,07E-11 3219,9 2,57E-21 2,88E-09

10 51,1 4,48E-11 2608,1 2,01E-21 2,29E-09

1495,8 1,29E-09 404201,9 2,88E-19 3,41E-07

Grafico Nº 3

y = 8E-13x -5E-12

0

5E-11

1E-10

1,5E-10

2E-10

2,5E-10

3E-10

3,5E-10

4E-10

4,5E-10

0,0 100,0 200,0 300,0 400,0 500,0 600,0

d (m)

C (F)

Análisis.- Grafico trazado con los valores de X reemplazados en

Desviación Estándar

Nº X Y

1 0,001 4,24E-10 4,1356E-10 1,09E-222 0,002 2,19E-10 2,0928E-10 9,45E-233 0,003 1,49E-10 1,4119E-10 6,10E-234 0,004 1,12E-10 1,0714E-10 2,36E-235 0,005 8,99E-11 8,6712E-11 1,02E-236 0,006 7,44E-11 7,3093E-11 1,71E-247 0,007 6,50E-11 6,3366E-11 2,67E-248 0,008 5,62E-11 5,607E-11 1,69E-269 0,009 5,07E-11 5,0396E-11 9,27E-26

10 0,01 4,48E-11 4,5856E-11 1,12E-24

3,04E-22

Desviación Estándar de a y b

Coeficiente de Confianza (t` student)

Errores Absolutos de a y b

Pruebas de Hipótesis Hipótesis 0: Comprobar o rechazar H0Hipótesis 1:

Como el valor de t (valor pico) esta en la zona de aceptación -3,355 < -1,84 < 3,55 aceptamos la hipótesis nula entonces en consecuencia el valor de a = -5,367 x 10-12 se puede hacer 0 con una

confianza del 99% de seguridad o cometer un error del 1%

Hipótesis 0: Comprobar o rechazar H0

Hipótesis 1:

Como tb esta en la zona de aceptación entonces b puede sustituir a y b se aproxima a y se redondea a

Capacitancia

Error Relativo Porcentual

Modelo Matemático y su Comportamiento

Grafico Nº 4

0,00E+005,00E-111,00E-101,50E-102,00E-102,50E-103,00E-103,50E-104,00E-104,50E-10

0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,012d (m)

C (F)

Análisis.- La correspondencia entre las dos rectas con datos originales y los datos corregidos en Y es muy buena ambas describen una curva hiperbolica.