Edwardenis De los Santos 2013-1955

Informe sobre la Regla de L’Hôpital

La Mayoría de los estudiantes de Ingeniería deberían conocer el nombre de L’Hopital, la famosa regla matemática para calcular límites indeterminados, esta regla es una consecuencia del Teorema del valor medio de Cauchy que se da sólo en el caso de las indeterminaciones del tipo 0/0 o ∞/∞. En concreto, la regla L’Hopital dice que, teniendo dos funciones f(x) y g(x) continuas y derivables en x=c, de manera que f(c)=0 y g(x)=0, entonces el límite cuando x tiende a c del cociente de f(x) y g(x) es igual al límite cuando x tiende a c del cociente de las derivadas de f(x) y g(x), siempre que este límite exista.

La regla lleva el nombre del matemático francés del siglo XVII Guillaume Francois Antoine, Marqués de L’Hopital, nacido en 1661 en París, Francia. Inicialmente planeó una carrera militar, pero luego cambió y se dedicó a las matemáticas, entre sus logros están la determinación de la longitud de arco de la gráfica logarítmica y el descubrimiento de una singularidad punto de inflexión en la evoluta de una curva plana, cerca de un punto de inflexión. Además también escribió en 1692 la obra “Analyse des infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes”, el primer libro sobre el cálculo diferencial.

La obra tuvo un gran éxito en su época y se imprimieron varias ediciones durante el siglo XVIII. En la introducción, el autor reconoce sus deudas con Gootfried Leibniz y Johann Bernoulli, de quienes “me he servido libremente de sus descubrimientos” cita en el texto. L’Hopital afirma que Leibniz está en posesión de un Cálculo semejante al de Newton, pero que prefiere el de Leibniz. De Bernoulli, sin embargo, no añade nada. Entonces, ¿quién era Johann Bernoulli y por qué estaba en deuda el marqués de L’Hopital con él?

Johann Bernoulli (Basilea, 27 de julio de 1667-Ibídem, 11 de Enero de 1748), estudió medicina en la Universidad de Basilea. Al mismo tiempo, recibía clases de matemáticas de su hermano mayor Jacob, a quien pronto, igualó en conocimientos. Sus estudios abarcan la Física, la Química, y la Astronomía, aparte de la Matemática. En las ciencias aplicadas Bernoulli contribuyó notablemente a los estudios de la óptica, escribió sobre la teoría de las mareas, y sobre la teoría matemática de las

Edwardenis De los Santos 2013-1955

velas de los barcos, y enunció el principio de los desplazamientos virtuales en la mecánica.

En 1691 viaja a París, donde conoce al marqués de L’Hopital, que ya por entonces era uno de los matemáticos franceses más importantes del país. Este se quedó maravillado con el talento del Joven Bernoulli. Consciente de sus limitaciones, L’Hopital contrató a Bernoulli para que le enseñase los secretos del nuevo cálculo a cambio de una generosa cantidad económica. Las clases continuaron por correspondencia cuando Bernoulli tuvo que volver a Basilea, bajo la promesa de no decírselo a nadie.

Haciendo uso de las lecciones de Bernoulli, L’Hopital publicó en 1696 el primer tratado sobre cálculo diferencial “Analyse des infiniment petits, pour l’intelligence des lignes courbes". Bernoulli por la promesa que le había hecho al marqués, no reclamó su autoría. Pero en privado se lamentó de que L’Hopital hubiese plagiado tan deshonrosamente sus descubrimientos. Solo después de la muerte del marqués en 1704, Bernoulli realizó una serie de reivindicaciones públicas de sus numerosos resultados, y en particular de la regla de L’Hopital. Pero la reputación del marqués era intachable, por lo que no se le presto mucha atención a lo que decía.

No fue hasta 1955, cuando aparecieron las primeras correspondencias entre Bernoulli y L’Hopital. Entonces se descubrió la sorprendente propuesta que el marqués le hizo a Johann Bernoulli, en una carta fechada el 17 de marzo de 1694, la cual decía que el marqués le daría una pensión de 300 libras por las revistas que Bernoulli le mandaba, prometiéndole que en el futuro aumentaría la cantidad de la pensión, pero con la condición de que Bernoulli le comunicara todos sus descubrimientos y que no le contara a nadie más sobre ellos.

Sabiendo estas cosas, creo que se tiene que considerar la idea de cambiarle el nombre a la regla, ya que el Marqués L’Hopital no fue más que un estafador, al aprovecharse de la necesidad del joven Bernoulli que no tenía trabajo en ese entonces, sin decirle que utilizaría sus descubrimientos para su beneficio personal.

Edwardenis De los Santos 2013-1955

Enunciado

Sean f y g dos funciones definidas en el intervalo [a,b], y sean f(c)=g(c)=0, con c perteneciente a (a,b) y g'(x)≠0 si x≠c.

Si f y g son derivables en (a,b), entonces si existe el límite f'/g' en c, existe el límite de f/g (en c) y es igual al anterior. Por lo tanto,

limx→c ( f (x )g(x ))

❑

=limx→c ( f

' (x)g ' (x))

❑

Ejemplos:1-

limx→0 ( sin xx )=00

❑

Con L’Hopital limx→0 ( cos x1 )

❑

=1

2-

limx→1 ( x

a−1xb−1 )=00

❑

Con L’Hopital limx→1 ( axbx )=ab

❑

3-

limx→∞ ( exx2 )

❑

=∞∞

Con L’Hopital limx→∞

( ex2 x )❑

=∞∞

Seguimos teniendo indeterminación, entonces podemos volver a usar la regla para esta segunda función.

Utilizando L’Hopital por segunda vez limx→∞

( ex2 )❑

=∞

4-

limx→∞ ( ln x3√ x )=∞∞

❑

Con L’Hopital limx→∞ ( 1/ x1

3x−2 /3 )

❑

=limx→∞ ( 33√ x )

❑

=0

Edwardenis De los Santos 2013-1955

Parte II

Aplique la regla de l’Hospital donde resulte apropiado. Si existe un método más elemental, úselo.

8- limx→1 ¿

limx→1

¿

limx→1 ( axbx )

❑

=ab

10- limx→0 ( x+ tan xsin x )

❑

limn→∞ ( x+tan xsin x )

❑

=00

limx→0

¿¿¿

12- limt →0

( e3 t−1t )❑

limt →0

( e3 t−1t )❑

=00

limt →0

( e3 t1 )❑

=1

14- limθ→π /2 ( 1−sin θcscθ )

❑

limθ→π /2 ( 1−sin θcscθ )

❑

=0

Edwardenis De los Santos 2013-1955

16- limx→∞

( exx )❑

limx→∞

( exx )❑

=∞∞

limx→∞

( ex1 )❑

=∞

18- limx→∞ ( ln ln xx )

❑

limx→∞ ( ln ln xx )

❑

=∞∞

limx→∞

( 1ln x ( 1x )1 )❑

= limx→∞ ( 1

xlnx )❑

=0

En los problemas siguientes encuentre el límite que se indique. Asegúrese de tener una forma indeterminada antes de aplicar la regla de L’H.

1) limX→0

lncos2 x

7 x2=

limX→0

lncos2 x

7 x2=00

limX→0

1cos 2x

(−sen2 x )2

14 x=limX→0

−2 sen2 x14 xcos2 x

limX→0

−4cos2 x14(cos2x−2xSen2 x)

=limX→0

−2cos 2x7cos2 x−14 xSen2 x

limX→ 0

−2cos2 x7cos2 x−14 xSen2 x

=−27

Edwardenis De los Santos 2013-1955

2) limx→ 0−¿ ¿¿

¿=

limx→ 0−¿ ¿¿

¿

limx→0−¿ ¿¿

¿

3) limx→0

tanx−xsen2 x−2x =

limx→0

tanx−xsen2 x−2x

=00

limx→0

(secx)2−12cos2 x−2

=00

limx→0

( secx )2(tanx)2

−4 sen2 x=00

limx→0

¿¿¿¿

4) limx→∞

(lnx)2

2x=

limx→∞

(lnx)2

2x=∞∞

limx→∞

2 (lnx )( 1x)

2x ln 2=limx→∞

2 ln x

2x xln2=∞∞

Edwardenis De los Santos 2013-1955

limx→∞

2( 1x)

(2x+(x )2x ln 2)=limx→∞

2

x (2¿¿ x+2x xln2)=0¿