Informe: Determinación de constante elástica de un resorte

8/16/2019 Informe: Determinación de constante elástica de un resorte

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FISICA 1 – LABORATORIO N° 5

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SUR

FISICA 1

DETERMINACION EXPERIMENTAL DE LA

CONSTANTE ELASTICA DE UN RESORTE

Profesor: Gustavo Gasaneo

Alumnos: Juan Mayo, Kevin Vettori, Gaston Vilches

Bahía Blanca, 12 de Octubre de 2015


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Contenido

1.0: RESUMEN: ..........................................................................................................................2

2.0: INTRODUCCION: ................................................................................................................3

2.1: Metodología de trabajo: ................................................................................................3

2.1: Hipótesis: .......................................................................................................................3

2.2: Ecuaciones usadas para los valores estadísticos: ..........................................................3

3.0: MEDICIONES: .....................................................................................................................4

4.0: GUIA DE CÁLCULO: ............................................................................................................5

5.0: CÁLCULO Y RESULTADOS: ................................................................................................10

Período (T): .........................................................................................................................10

Frecuencia (f): .....................................................................................................................11

Frecuencia angular ( ): .....................................................................................................11

Linealización de la curva: ....................................................................................................12

Constante de amortiguamiento (kv): .................................................................................15

Constante elástica del resorte (ke): ....................................................................................16

6.0: CONCLUSIÓN: ..................................................................................................................17

1.0: RESUMEN:

El objetivo del presente trabajo es el análisis de una oscilación mecánica amortiguada,tomando datos de una oscilación real y con estos calcular las constantes de elasticidad y deamortiguación. Para esto utilizamos un resorte colgado verticalmente con un cuerpo en elotro extremo, hacemos oscilar el mismo hasta que se detenga (visiblemente) debido alamortiguamiento y tomamos medidas de las aceleraciones producidas sobre el cuerpo.Para la medición de las aceleraciones, el cuerpo amarrado al resorte es un Smartphone yestas mediciones las hacemos con el acelerómetro del mismo. La aplicación encargada deesto toma la medida de aceleración en cada eje (X, Y, Z) cada un determinado tiempo.Estos valores quedan registrados en un archivo de texto el cual importamos a una hoja decálculo de Microsoft Excel. Usamos este software como herramienta para obtención de

valores que usamos en los cálculos para determinar las constantes ya mencionadas.


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2.0: INTRODUCCION:

2.1: Metodología de trabajo:

Conociendo la naturaleza de las oscilaciones mecánicas, la estructura básica de trabajoplanificada fue la siguiente:

Hipótesis y planteo de ecuaciones↓

Mediciones↓

Cálculo↓

Análisis de resultados y conclusión

2.1: Hipótesis:

Para calcular la constante de elasticidad y la de amortiguamiento del resorte partimos de lahipótesis de que éste es ideal. Esto quiere decir que su masa es despreciable y la fuerzaelástica es directamente proporcional a la deformación a la cual esté sometido. Tambiénconsideramos una fuerza de amortiguamiento que es directamente proporcional a lavelocidad y que se opone al movimiento del cuerpo que oscila. Estas consideraciones lashacemos para simplificación de cálculos. Al adoptarlas los valores obtenidos no difieren deforma notoria a los reales, podemos decir que el error que introducen estasconsideraciones a nuestro estudio del resorte es despreciable.

2.2: Ecuaciones usadas para los valores estadísticos:

Habiendo obtenido un conjunto de n medidasi

x realizadas directamente con su

correspondiente instrumento de medición, calculamos el promedio de las mismas (tambiénllamado valor más probable) y una cota o error donde teóricamente se encontrarían el 68%de las mediciones si n fuese un valor muy grande. Para esto usamos las siguientesecuaciones:

1 1

n

i

i

x

xn

2

1

( )

21

n

i

i

est

x x

n

2 2 2 3nom est apr x

Donde x es el valor promedio de las medidas, est es el desvío estándar del conjunto de

medidas,nom

es el sigma nominal,apr

es el sigma de apreciación y x es el error.

Con estos valores calculamos las mediciones indirectas con las siguientes ecuaciones:


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Sea 1 2( , ,..., )n f f x x x una función que depende de n variables (las cuales serán medidas

con sus respectivos errores), el valor promedio de f estará dado por:

1 2( , ,..., ) (4)n f f x x x

Y el error de f estará dado por:

1 2

2

2

1 , ,.. ,

( ) 5

n

n

i

i i x x x

f f x

x

3.0: MEDICIONES:En esta sección se muestra el procedimiento llevado a cabo para la obtención de la medidade las aceleraciones. Como se explica brevemente en el resumen, colgamos un Smartphonea un resorte vertical el cual esta amarrado en el otro extremo a un punto fijo. Dejamos enreposo el cuerpo para conocer su posición de equilibrio y luego lo movemos de estaposición para que comience a oscilar. Previo al comienzo de la oscilación, en el Smartphoneestá abierta la aplicación Vibration Monitor, la cual toma registro de las aceleraciones enlos 3 ejes de un sistema de referencia cartesiano. Comenzamos el movimiento oscilatorio ydado un determinado tiempo este se detiene debido a la amortiguación.El conjunto resorte-celular es el siguiente:


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Dado que los cálculos dependen de la masa, utilizamos una balanza para medir la masa delcelular. La misma tiene una precisión de 0,01 gramos, el cual consideramos como el errornominal de medición. Para nuestro caso la masa es:

Los valores de aceleración registrados por la aplicación quedan guardados en un archivo, elcual copiamos a la PC e importamos en una hoja de cálculo de Excel. En la mismarealizamos un gráfico de aceleraciones/tiempo del cual extrajimos datos como lo son porejemplos los máximos locales de aceleración alcanzados. La gráfica es la siguiente:

4.0: GUIA DE CÁLCULO:

A continuación se muestra la guía de cálculo seguida para obtener todos los resultados. Enella se explican las ecuaciones usadas y el procedimiento llevado a cabo.

Planteando la segunda ley de Newton para un sistema de resorte horizontal con una masam en un extremo, amortiguado y sin otro rozamiento obtenemos:

143, 27 0, 01m g


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. .e v

F F N m g m a

Dondee

F es la fuerza elástica yv

F es la fuerza que produce el amortiguamiento.

Si consideramos ahora que el resorte esta vertical, en su posición de reposo y se le da unaposición inicial distinta de la de reposo obtenemos:

.e v F F m a

(En una posición de equilibrio vertical consideramos que el desplazamiento entre estaposición y la original compensa el peso. De esta forma el análisis de fuerzas es análogo a

una oscilación horizontal donde se cancelan la normal y el peso en el eje vertical)

Si definimos .e e

F k x y .v v

F k x (donde ke y kv son las constantes elástica y de

amortiguamiento), en el eje vertical nos queda la siguiente ecuación diferencial:

. . 0e v

k x k x mx

. . 0e v

k k x x x

m m

Planteamos la siguiente solución a la ecuación:

.. . .t x t a e sen t

Donde:

2 2

0 ,

2

vk

m ,

0

ek

m

Matemáticamente, es la frecuencia angular de oscilación. Teniendo las medidas deaceleraciones medimos el tiempo entre oscilaciones, llamado período ( ). Este esinversamente proporcional a la frecuencia ( f ), la cual es directamente proporcional a

de la siguiente forma:

1

.

n

i

F m a


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1

6 f

2 . 7 f

De la ecuación (5) para mediciones indirectas obtenemos:

2

2

. . f f

f

2 8 f

2 . 9

f

Teniendo el valor de , obtenemos el valor de de la siguiente forma:

Dado que .. . .t x t a e sen t determina una curva de oscilación periódica donde la

amplitud de las oscilaciones está dadas por el término .. t a e (debido a que . 1 sen t ),

podemos definir una nueva curva * .( ) . t X t a e . Esta intersecta a x t en los extremos de

las oscilaciones. Si a *( ) X t le aplicamos logaritmo miembro a miembro obtenemos:

* . .( ) . t t Log X t Log a e Log a Log e

*( ) . Log X t Log a t


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De esta forma linealizamos la función * .( ) . t X t a e . Usando esto aproximamos la función

lineal obtenida usando el método de cuadrados mínimos a partir de datos extraídos de lasmediciones. Para esto seleccionamos algunos valores máximos de la curva obtenida por elacelerómetro y realizamos dicho método. Cabe aclarar que la linealización se la hacemos a

la curva .. . .t x t b e sen t de aceleraciones, no de posiciones. De todos modos se

obtiene el de la misma forma como pendiente de la recta.

*( ) . . Log X t Log a t Y A B X

Donde B , B

Para el método de cuadrados mínimos usamos las siguientes expresiones:

2

1 1 1 1

2

2

1 1

. .

(10).

n n n n

i i i i i

i i i i

n n

i i

i i

X Y X X Y

A

n X X


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1 1 12

2

1 1

. .

11

.

n n n

i i i i

i i i

n n

i i

i i

n X Y X Y

B

n X X

Definimos ( . )i i i

e Y A B X (diferencia entre valor real y valor aproximado por la recta)

2 2

1 1

2

2

1 1

.

12

2 . .

n n

i i

i i

n n

i i

i i

X e

A

n X n X

2

1

2

2

1 1

.

13

2 . .

n

i

i

n n

i i

i i

n e

B

n X n X

Teniendo el valor de B con su respectivo error calculamos el valor de , y con el calculamos

el valor de kv.

14 B

15 B

2. . 16vk m

22

2 2

, ,

. .v vv

m m

k k k m

m

2 2 2 2

2. . 2. . 17vk m m

Finalmente, el otro valor que calculamos es el ke. Para esto calculamos primero el 0 :

2 20 18


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22

2 20 0

0

, ,

. .

2 2

2 2

02 2 2 2

2 2. .2 2

2 2

0 2 2 2 2

. .

2 2

0 2 2

. .19

Teniendo el valor de0

calculamos el ke:

20. 20ek m

0 0

22

2 2

0

, 0 ,

. .v ve

m m

k k k m

m

2 2 2 22

0 0 0. 2. . . 21

ek m m

5.0: CÁLCULO Y RESULTADOS:

A continuación se muestran los valores de medidas, valores y resultados obtenidossiguiendo el procedimiento mostrado en la guía de cálculo.

En algunas ecuaciones no se muestran los valores reemplazados en las mismas, esto es

debido a que son demasiados.

Período (T): Usando como herramienta el Excel, calculamos el promedio y el error delperíodo entre oscilaciones usando las ecuaciones (1), (2) y (3):


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1 0,917

n

i

i seg n

2

1

( )

0,04391

n

i

i

est seg

n

2 2 2 20, 001 0, 0439 0, 0439 0, 04

nom est seg seg

Entonces:

Frecuencia (f): Reemplazando en la ecuación (6) y (8) los valores de período obtenemos:

11 11, 08696

0,92 f seg

seg

1 1

22

0,040, 04726 0, 05

0,92

seg f seg seg

seg

Frecuencia angular ( ): Reemplazando en la ecuación (7) y (9):

1 12 . 2 .1, 09 6,8487 f seg seg

1 12 . 2 .0, 05 0, 3142 f seg seg

0,92 0,04 seg

11, 09 0,05 f seg

16,8 0,3 seg


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Linealización de la curva: Seleccionando algunos valores a lo largo de la curva deaceleraciones, y aplicando logaritmo a los valores de aceleraciones obtenemos la siguientetabla:

Tiempo Y Tiempo Log(Y)

0 5,743 0 0,7591388160,77 4,354 0,77 0,638888425

2,62 3,678 2,62 0,565611725

3,57 3,455 3,57 0,538448052

6,36 2,57 6,36 0,409933123

7,29 2,375 7,29 0,375663614

8,24 2,178 8,24 0,338057875

10,99 2,014 10,99 0,304059466

12,81 1,823 12,81 0,260786669

13,77 1,547 13,77 0,189490314

17,44 1,362 17,44 0,134177108

18,36 1,29 18,36 0,11058971

21,13 0,935 21,13 -0,02918839

22,04 0,953 22,04 -0,0209071

25,73 0,723 25,73 -0,1408617

26,57 0,646 26,57 -0,18976748

30,24 0,582 30,24 -0,23507702

31,14 0,532 31,14 -0,27408837

33,03 0,45 33,03 -0,34678749

37,79 0,223 37,79 -0,65169514

Con los valores de esta tabla confeccionamos dos gráficos, uno con los valores de laizquierda (reales) y otro con los de la derecha (luego de aplicar el logaritmo):


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Reemplazando los valores de la tabla en las ecuaciones (10) y (11) obtenemos:

2

1 1 1 1

2

2

1 1

. .

0,65828

.

n n n n

i i i i i

i i i i

n n

i i

i i

X Y X X Y

A

n X X


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1 1 1

2

2

1 1

. .

0.031614

.

n n n

i i i i

i i i

n n

i i

i i

n X Y X Y

B

n X X

De esto concluimos que la recta que más se aproxima a los valores de la tabla es0,65828 0,031614.Y X , entonces reemplazando en las ecuaciones (12) y (13):

2 2

1 1 5

2

2

1 1

.

8,67.10

2 . .

n n

i i

i i

n n

i i

i i

X e

A

n X n X

2

1 6

2

2

1 1

.

4,33.10

2 . .

n

i

i

n n

i i

i i

n e

B

n X n X

Como resultado de la linealización obtenemos:

Si graficamos los valores a los que les aplicamos logaritmo y la curva.

Y A B X :

0,031614 0,000005 B

0, 65828 0, 00009 A


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Constante de amortiguamiento (kv): reemplazando en las ecuaciones (14) y (15) elvalor de B obtenemos:

10, 031614 0,031614 B seg

6 15.10 B seg

Usando estos valores en las ecuaciones (16) y (17) obtenemos:

2. . 2.0,14327.0,03 .

0,009058161 6764v

N seg m

mk

2 62 2 2

2. . 2. . 1, 30899.10v

k m m

Entonces el coeficiente de amortiguamiento da como resultado:

.

0, 009059 0, 000001v N seg

k m

10,031614 0,000005

seg


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Constante elástica del resorte (ke): Para calcular el valor de ke primero calculamos elvalor de

0 , usando los valores de y calculados anteriormente en las ecuaciones (18)

y (19)

2 2 2 2 1

0

6,8 0,031614 6,800073 seg

2 2

0 2 2

. .

2 2

0 2 2

6,8.0,3 0, 031614.0, 000005

6,8 0,031614

1

0 0,299997 seg

Esto da como resultado:

Usando este valor en las ecuaciones (20) y (21) obtenemos:

2 20. 0,14327.6, 8 6, 6248e N

k mm

2 2 2 22

0 0 0. 2. . .

ek m m

2 2 2 22

6, 8 . 0, 00001 2.0,14327.6, 8 . 0, 3 0.584542e

N k

m

Entonces el resultado final es:

10 6,8 0,3 seg

6, 6 0, 6e N

k m


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6.0: CONCLUSIÓN:

En cuanto al procedimiento concluimos que es relativamente largo calcular algo que parecesimple como lo es la constante elástica de un resorte, aunque es algo que puede ser muyútil. También pudimos notar que el método de linealizar una curva para aplicar cuadradosmínimos facilitó el cálculo, ya que seguramente debe ser muy complejo encontrar una

curva de tendencia de tipo exponencial.Para este caso en particular nos sorprendimos de la precisión del resultado de la constantede amortiguamiento, podríamos decir que el error es despreciable. En cuanto a laconstante elástica no podemos decir lo mismo pero es un resultado con una precisión quecreemos aceptable.

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