“UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO”

FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS

PRÁCTICAS PRE-PROFESIONALES

TEORÍA DE BANDAS

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MENDOZA CARLOS JUAN CARLOS QUEREBALÚ GARCÍA CECILIA

ASESOR:

JOSÉ FERNANDEZ CALDERÓN

LAMBAYEQUE - PERÚ

AÑO - 2011

INTRODUCCIÓN

INTRODUCCIÓN

Cuando un electrón se mueve a través de la red cristalina actúan sobre él

fuerzas electrostáticas que hacen variar su cantidad de movimiento, la

partícula se acelera al acercarse al núcleo atómico y se desacelera al alejarse de

él. Este constante cambio de su energía cinética es compensado con un

aumento o disminución de su energía potencial de acuerdo a la distancia de la

partícula con respecto al núcleo, se establecen por lo tanto niveles de energía

potencial que delimitaran el movimiento de las partículas a través de la red.

A medida que el electrón se encuentra en niveles energéticos superiores,

las bandas permitidas se hacen más amplias y puede moverse con facilidad

hasta el punto en las diferentes bandas adyacentes se superponen y el electrón

puede desplazarse con libertad de un átomo a otro. Las bandas superpuestas

en donde los electrones pueden moverse libremente son llamadas bandas de

conducción en la que se encuentra fijos se denominan bandas de valencia; los

electrones de la banda de valencia pueden pasar a la banda de conducción si se

le suministra energía suficiente.

Los electrones que se encuentran en las capas inferiores a la banda de

conducción son llamados electrones de valencia, los que se encuentran en la

banda de conducción son considerados electrones libres. El objetivo es

entender que existe una relación entre la estructura de bandas de energía y el

comportamiento atómico local y las propiedades electrónicas.

MARCO LÓGICO

MARCO LÓGICO

1.1. ANTECEDENTES

Al final del primer Congreso Solvay, en 1911, termina la etapa inicial de la

historia de la teoría cuántica, en la que gran parte de la comunidad científica

reconoció que en la suposición de Planck había “algo” real. En los trabajos de

Einstein por primera vez se aplicaron estas ideas, esencialmente en osciladores

armónicos. Las ideas cuánticas no se habían utilizado en otro tipo de sistemas, ni

se sabía cómo hacerlo. Sin embargo, las aplicaciones hechas fueron suficientes

para concluir que la física clásica era limitada. El problema entonces sería cómo

desarrollar una teoría consistente.

En 1912, Niels Bohr se unió al grupo de Rutherford en Manchester,

Inglaterra. Bohr llegó justo en un momento importante, cuando se investigaban

las consecuencias del modelo atómico de Rutherford. Un problema al que de

inmediato se dedicó Bohr fue el de la estabilidad del átomo propuesto. Bohr

aplicó la física clásica a esta cuestión, dándose cuenta de que se llegaba a una

inmensa contradicción y que la estabilidad del átomo, según el modelo de

Rutherford, no podía reconciliarse con los fundamentos de la mecánica de

Newton y el electromagnetismo de Maxwell.

En 1913 se inicia la segunda etapa del desarrollo de la física cuántica, al

publicar Niels Bohr su notable trabajo sobre la constitución de átomos y

moléculas, en el cual aplicó las ideas cuánticas a la estructura del átomo de

hidrógeno.

Bohr trabajó con el átomo de hidrógeno, ya que solamente tiene un electrón

y encontró los valores de las frecuencias que debería tener la radiación emitida

por el electrón. Resultó que estos valores que obtuvo concordaban, con los

valores experimentales que se conocían desde hacía mucho tiempo. Además,

encontró en términos de la constante de Planck, de la masa y de las cargas

eléctricas del electrón, una cantidad que se había obtenido empíricamente, en

relación a los espectros de los átomos, que es la llamada constante de Rydberg.

Asimismo, Bohr predijo la existencia de otras líneas del espectro que no caían en

la región visible, sino en el ultravioleta extremo y en el infrarrojo extremo. Parte

de estas predicciones fueron verificadas experimentalmente por T. Lyman en

1914, otra parte por F. Bracett en 1922 y otra parte más por A. H. Pfund en

1924.

En noviembre de 1924, Louis de Broglie presentó en la Universidad de París

su tesis doctoral “Investigaciones sobre la teoría de los cuanta”. Al realizar este

trabajo, De Broglie estuvo muy influenciado, entre otras cosas, por el trabajo de

Einstein de 1905 sobre los cuantos de radiación (fotones) así como por algunas

ideas de su teoría de la relatividad especial.

Hasta ese momento se había aceptado, aunque no entendido muy bien, el

carácter dual de la radiación: en ciertas circunstancias la luz se comportaba

como onda y en otras, como partícula. L. de Broglie avanzó un paso al llegar a la

idea de que, al igual que la luz, la materia también debería tener este

comportamiento dual.

Posteriormente, Schrödinger demostró que la mecánica ondulatoria y la

mecánica de matrices son versiones matemáticas diferentes de una misma

teoría, hoy denominada mecánica cuántica. Incluso en el caso del átomo de

hidrógeno, formado por sólo dos partículas, ambas interpretaciones

matemáticas son muy complejas. El siguiente átomo un poco más complejo (en

comparación con el hidrógeno), el de helio, tiene tres partículas, e incluso en el

sistema matemático relativamente sencillo de la dinámica clásica, el problema

de los tres cuerpos (la descripción de las interacciones mutuas de tres cuerpos

distintos) no se puede resolver por completo. Sin embargo, sí es posible calcular

los niveles de energía. La elección depende de la conveniencia de la formulación

para obtener soluciones aproximadas apropiadas.

Todos estos trabajos de investigación llevados a cabo a principios del

siglo pasado han ayudado a desarrollar lo que ahora conocemos como mecánica

cuántica, que permite determinar y conocer las características electrónicas de

los materiales así como su comportamiento subatómico, esto hace posible

entender el por qué los metales son buenos conductores de la electricidad y del

calor.

Si la banda está parcialmente desocupada es factible la dispersión de

electrones a estados desocupados, entonces existe flujo de electrones en el

material, que determina el comportamiento de los metales.

Si la banda está llena los electrones pasan a través del material, si existen

estados desocupados en bandas de energía más altas sólo accesibles por

excitación térmica por lo que el material se considera aislante. Un

semiconductor es un material que se comporta como conductor o como aislante

dependiendo del campo eléctrico en el que se encuentra. La configuración de las

últimas bandas de energía son las de mayor interés en la conductividad

eléctrica. Si la banda más externa no está completamente llena se denomina

banda de conducción, pero si está llena se denomina banda de valencia.

La diferencia de energía existente entre el máximo de la banda de

valencia y el mínimo de la banda de conducción se le llama “band gap” (Eg). Así,

para que un material pueda conducir electricidad, los electrones de la banda de

valencia tienen que “saltar” a la banda de conducción y requieren una energía Eg

como mínimo, la cual es del orden de unos cuantos electrón-volts (eV). Un

material semiconductor tiene un band gap pequeño de alrededor de 1eV, de tal

manera que los electrones pueden saltar a la banda de conducción con la

energía térmica que pueden recibir de sus alrededores. Al saltar un electrón a la

banda de conducción, deja un estado vacío en la banda de valencia que se le

denomina “hueco”. Los huecos pueden tratarse como partículas con carga igual a

la de los electrones, pero positiva. Es por esto que en un semiconductor puede

haber flujo de electrones en la banda de conducción y flujo de huecos en la

banda de valencia.

La ciencia de materiales en la actualidad busca relacionar las propiedades

de estos para determinar las aplicaciones en equipos y dispositivos cada vez

más sofisticados y con mejores propiedades, tanto electrónicas como mecánicas.

Sabemos que las propiedades de los materiales están determinadas por

su comportamiento electrónico desde el punto de vista atómico, y que dependen

de su arreglo atómico cristalino. Desde los años 20's a 30's, surgió una nueva

forma de la estructura electrónica de los materiales, más bien desde un punto de

vista químico que del físico, aunque mucho de este trabajo ha sido realizado por

los físicos.

Para entender las propiedades de los materiales cristalinos y no

cristalinos debemos tomar en cuenta diferentes puntos de vista y colocarnos en

un problema del espacio real. Estas ideas no son nuevas, ya que en los años 20's

y 30's del siglo XX, cuando se empezó a analizarse más a fondo la teoría de

bandas en los sólidos, los físicos del estado sólido, y también los químicos

trataron de entender las propiedades de los sólidos en términos de enlaces

individuales.

La teoría moderna nos permite analizar ya sea el punto de vista del

espacio real o del espacio recíproco.

1.2. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

Un área particularmente importante, que se encuentra en cualquier curso

de física del estado sólido, es el estudio de las energías de los electrones en

cristales.

Familiarizarse con este tema es la base para entender los fenómenos

eléctricos en metales y semiconductores, en el presente trabajo explicaremos

como responden los electrones a un campo eléctrico aplicado, donde se verá que

los electrones en los cristales están repartidos en bandas de energía en las que

no existen orbitales electrónicos ondulatorios. A estas regiones no permitidas se

les denomina bandas prohibidas o bandas de energía prohibidas.

1.3. HIPÓTESIS:

El cálculo de las bandas electrónicas requiere resolver la ecuación de

Schrödinger en presencia de un potencial debido a los iones de la red.

En el presente trabajo creemos que resolver la Ecuación de Schrödinger,

para electrones dentro de un cristal en un potencial periódico unidimensional,

teniendo en cuenta las propiedades electrónicas de un sistema unidimensional,

considerando una serie de potenciales periódicos, en los cuales se puede variar

la forma, magnitud y el periodo, nos ayudara a entender y clasificar a los

materiales de acuerdo a la teoría de bandas en materiales conductores,

semiconductores y aislantes.

1.4. OBJETIVOS:

1.4.1. OBEJTIVO GENERAL:

El objetivo general del presente trabajo es estudiar las propiedades

electrónicas de sistemas unidimensionales, partiendo de la solución de la

ecuación de Schrödinger para varios potenciales periódicos en los cuales

se puede variar la forma, magnitud y el periodo.

1.4.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS:

Explicación de la formación de las bandas de energía: mencionamos cómo

se forman las bandas de energía considerando un modelo simple asociado

a los estados en que se encuentra un átomo de acuerdo a su número

cuántico.

Cadenas infinitas: se muestra un modelo del origen de las bandas de

energía considerando una cadena lineal de átomos donde se asocia un

átomo a dos estados de energía, así como los principios químicos de las

bandas de energía considerando una aleación binaria AB.

Band gap en una dimensión: se muestra un análisis de la variación que

sufren las bandas de energía en un semiconductor en función de la

temperatura y que provocan una expansión en la celda cristalina del

semiconductor.

Explicación del Modelo de electrones casi libres, Funciones de Bloch,

Modelo de Kronig-Penney.

Desarrollo y explicación de la Ecuación de onda de un electrón en un

potencial periódico, solución aproximada cerca de un límite de zona,

numero de orbitales en una banda.

MARCO TEÓRICO

MARCO TEÓRICO

I. INTRODUCCIÓN

En un material cristalino existen bandas de energía donde los electrones se

mueven libremente, es decir, estas bandas son el resultado de la superposición

de los niveles atómicos de los átomos que constituyen un cristal. Cuando los

átomos individuales se acercan para formar el cristal, se colocan en un arreglo

periódico formando una red cristalina, donde sus niveles de energía atómicos

interaccionan entre sí, dando lugar a bandas de energía. Una ilustración simple

de los orígenes atómicos de algunos anchos de banda de energía prohibida

(band gaps) se dan con un ejemplo de una cadena lineal de átomos en los cuales

cada átomo está asociado con dos estados. Los orígenes químicos del band gap

se indican considerando una aleación binaria AB. Se describe la clasificación de

los metales y aislantes de acuerdo a la teoría de bandas y el concepto de enlace

metálico se introduce como un enlace covalente insaturado.

II. FORMACION DE LAS BANDAS DE ENERGIA

El análisis de la formación de bandas basado en un modelo simple

considerando únicamente la banda s, donde asociamos un estado s con cada

átomo, nos lleva a una banda de estados. El modelo de la banda s es un

simplificación burda, ya que un átomo está asociado con más de un estado s.

Dependiendo del valor del número cuántico principal puede haber estados s, p,

d,... dentro de cada capa del átomo. A energías más altas, hay un continuo de

estados de energía del electrón libre, los cuales lejos del átomo se representan

por ondas planas. En este artículo nos enfocaremos sólo a los electrones de

valencia. En el estado sólido, a presiones normales, los estados permanecen

enlazados al núcleo y por lo tanto no elevan las bandas de energía. Se obtiene

que existe una banda para cada estado de valencia en una celda unitaria de un

cristal. Por lo tanto, si hay Na átomos en la celda unitaria y Nv estados de

valencia asociados a cada átomo, entonces hay NaNv bandas. Los gaps de las

bandas son rangos de energía en la cual no caen las bandas de energía, estos no

sólo son importantes por las propiedades eléctricas y ópticas que comunican a

los materiales, sino también pueden estabilizar un cristal en una estructura en

particular.

La figura 1 muestra los cambios en los niveles de energía del electrón de

un conjunto infinito de átomos en un cristal, así como el parámetro de red es

reducido de 1 m a 1 Å. Cuando los átomos están separados 1 m, los dos estados

de valencia de cada átomo no interactúan con estados de otros átomos (ejemplo,

la probabilidad de tunelaje del electrón entre los átomos es despreciable).

Cuando los átomos llegan a estar dentro del rango de tunelaje uno con

respecto al otro (del orden de 10 Å), hay una probabilidad finita de que un

electrón brinque de un átomo al siguiente y se produzca la formación de la

banda. El ancho de la misma se incrementa en proporción al aumento de la

probabilidad de tunelaje, el cual está determinado por la integral de salto.

Eventualmente, en algunas densidades críticas, las bandas de energía empiezan

a traslaparse y aumentan la densidad que amplía las bandas y provoca un mayor

traslape de estas. Sin embargo, si la densidad de equilibrio del material está

debajo de la densidad crítica, entonces hay un gap de energía entre las bandas.

Los dos estados atómicos de la figura 1, podrían tener dos orígenes

distintos. La primera posibilidad es que son dos estados atómicos en el mismo

átomo, por ejemplo los estados 1s y 2s. La segunda posibilidad es que se refiera a

estados en dos átomos distintos en la celda de un cristal, por ejemplo un estado

en un átomo A y un estado en un átomo B en una aleación AB. Estas

posibilidades son consistentes con el panorama de que el band gap tiene un

origen atómico o químico. Una posible característica engañosa de la figura 1 es

el hecho de que las dos bandas de estado provienen de dos estados atómicos a la

izquierda. Podríamos pensar que los estados en la banda superior están

formados a partir de combinaciones lineales de los estados atómicos superiores

en átomos a través del cristal. Esto es incorrecto, ya que las bandas son mezclas

de estados atómicos. Los estados moleculares son funciones de Bloch no de

estados atómicos puros sino de combinaciones de estados atómicos llamados

“híbridos”, esta mezcla de estados atómicos es llamada “Hibridación”.

FIGURA 1. Se muestra los dos niveles de energía en cada átomo de un cristal

infinito ensanchado en las bandas, tanto que el parámetro de red es reducido a

partir de un valor muy grande, donde el salto del electrón no ocurre, al valor a0 ,

perteneciendo al cristal en equilibrio. En a0, las bandas de energía están separadas

por un gap.

III. CADENAS INFINITAS

Consideramos una cadena lineal infinita de átomos con espaciamiento atómico a

y condiciones periódicas de frontera aplicadas en los extremos de la cadena.

Cada átomo está asociado a dos estados |1 ⟩ y |2 ⟩ .

Los elementos de la matriz Hamiltoniana son todos cero excepto para las

integrales de salto entre átomos vecinos y los elementos de la matriz

localizados. Si ε 1 y ε 2 están además en los elementos de matriz localizados en

⟨1|H|1 ⟩ y ⟨2|H|2 ⟩ con ε 1 y ε 2, y si |m ,1 ⟩ y |m ,2 ⟩ indican los estados |1 ⟩ y |2 ⟩ en un

átomo m, entonces las integrales de salto β1, β12 y β2 son por lo general diferentes

de cero:

⟨m ,1|H|m±1,1 ⟩=β1 ,

⟨m ,1|H|m±1,2 ⟩=β12 ,

⟨m ,2|H|m±1,2 ⟩=β2 ,

así suponemos que las integrales de salto entre diferentes estados atómicos en

átomos vecinos son las mismas. El modelo tiene por lo tanto cinco parámetros

con ε 1 , ε 2, β1, β12 y β2.

Debido a que hay una simetría traslacional podemos aplicar el teorema de

Bloch. Sin embargo, ya que hay dos estados en cada sitio atómico, el teorema de

Bloch establece una combinación lineal de los estados atómicos:

Ѱ k(n )=N

−12 ∑

m

eikma (c1(n ) ( k )|m,1 ⟩+c2(n) (k )|m ,2 ⟩ ) ,

Aquí (c1(n) (k )|m ,1 ⟩+c2(n ) (k )|m ,2 ⟩ ) es el estado hibrido, por ejemplo de una

combinación lineal de estados atómicos en un átomo m. Para asegurar que éste

estado híbrido está normalizado requerimos que:

(1)

(2)

(3)

|c1(n) (k )|2+|c1(n) (k )|2=1

en donde (n) anticipa el hecho que en cada k habrá dos eigenestados los cuales

deberán etiquetarse con n=1 y n=2. n es llamada el índice de la banda. Así, los

números cuánticos para los eigenestados del sistema son el vector de onda k y el

índice de banda n. La suma en la Ec. (2) de todos los sitios atómicos m y el factor

N−1 /2es para normalizar el estado de Boch, donde N es el número (infinito) de

sitios atómicos de la cadena.

La ecuación de Schrödinger puede ser escrita como

H|Ѱ k(n) ⟩=E|Ѱ k

(n ) ⟩

Sustituyendo la Ec. (2) para en la Ec. (4) tenemos:

∑m

eikma (c1(n) ( k )H |m ,1 ⟩+c2(n) (k ) H|m ,2 ⟩ )=Ek(n)∑

m

eikma (c1(n) (k ) H|m ,1 ⟩+c2(n) (k ) H|m,2 ⟩ )

Proyectando la Ec. (5) sobre los estados |0 ,1 ⟩ y multiplicando la izquierda por

⟨0,1| tenemos que satisface la ecuación de Euler:

0=(ε1+2β1 cos (ka )−Ek(n) )c1(n )+2β12cos (ka ) c2

(n ),

Similarmente, proyectando la Ec. (5) sobre |0 ,2 ⟩, multiplicando a la izquierda

por tenemos:

0=2β12 cos (ka )c1(n)+(ε2+2β2 cos (ka )−Ek

(n) )c2(n ),

las Ecs. (6) y (7) son ecuaciones seculares. Hay dos ecuaciones debido a que hay

dos estados atómicos base en la celda unitaria. Para soluciones no triviales

requerimos que el determinante secular sea cero:

0=|ε 1+2 β1cos (ka )−Ek(n ) 2β12cos (ka )

2β12cos (ka ) ε 2+2 β2cos (ka )−Ek(n )|.

(4)

(5)

(6)

(7)

Expandiendo el determinante obtenemos una ecuación cuadrática con las raíces:

E k(1)=

g1 ( k )+g2(k )2

+(( g1 (k )−g2(k )2 )

2

+4 β122 cos2(ka))

1 /2

Y

E k(2)=

g1 ( k )+g2(k )2

−(( g1 ( k )−g2(k)2 )

2

+4 β122 cos2(ka))

1 /2

En donde:

g1 (k )=ε1+2β1 cos (ka )

Y

g2 (k )=ε2+2 β2 cos (ka ) .

Estas dos soluciones están graficadas como una función de k en la Fig. 2.

Reconocemos a g1 (k )como la estructura de banda para la cadena lineal infinita si

hubiera sólo estados |1 ⟩, asociados con los átomos. Luego, g2 (k ) es la estructura

de banda para una cadena infinita si solamente hubiera estados |2 ⟩, asociados

con los átomos. En la Fig. 3, la banda inferior E k(1) cae de g1 (k ) y g2 (k ), mientras

que la banda superior E k(2) cae arriba de g1 (k ) y g2 (k ) excepto en k=±π /2a donde

E k(1)=g1 (k ) y E k

(2)=g2 (k ).

Por otra parte observamos que el efecto de los estados acoplados |1 ⟩ y |2 ⟩ sobre

los átomos adyacentes, a través de β12 aumenta la diferencia de energía entre las

dos bandas g1 (k ) y g2 (k ). Este efecto disminuye a medida que la diferencia de

energía |g1 (k )−g2 ( k )| se incrementa a medida que |β12| decrece.

(8)

(9)

(10)

A cualquier valor particular de k hay obviamente un gap de energía entre E k(1) y

E k(2), pero esto no significa que sea un gap de energía. Cuando hablamos de un

gap de energía, significa que hay un rango de energías donde no hay

eigenvalores para todos los vectores de onda. Así hay un gap en la densidad de

estados como una función de la energía, esto se obtiene en la Fig. 3 si el máximo

de la banda inferior está por abajo del mínimo de la banda superior, lo cual se

alcanza cuando los parámetros ε 1 , ε 2, β1, β12 y β2, satisfacen una simple

desigualdad. Esto se ilustra en la Fig. 3, donde la densidad de estados

correspondientes se muestra también a la derecha de la estructura de banda. Así

los band gaps surgen a partir de los conjuntos base extendiéndose a cada átomo

incluyendo estados de energía atómicos más altos.

FIGURA 2. Las bandas de energía E k(1) y E k

(2) , dadas por las Ecs. (9) y (10) para un

anillo infinito en el cual cada átomo está asociado con dos estados con energías

localizadas ε 1 , ε 2. Las curvas etiquetadas g1 (k ) y g2 (k ) son las bandas de energía

en ausencia de saltos β12 entre los estados |1 ⟩ y |2 ⟩ sobre átomos adyacentes como

se muestra en la Ec. (11). Nótese que es menor que g1 (k ) y es mayor que g2 (k )en

todos los vectores de onda excepto para k=±π /2a.

Si consideramos una cadena lineal de átomos A y B en una aleación, cada

átomo está asociado con un sólo estado, y se obtienen dos bandas se estados,

una de enlace y otra de antienlace. El gap de energía es la diferencia en energía

entre el máximo de estados enlazados y el mínimo de estados no enlazados, la

cual es sólo ε A−εB . Es este caso el band gap es una consecuencia de la presencia

de dos átomos distintos en una celda unitaria.

FIGURA 3. A la izquierda vemos la bandas de energía E k(1) y E k

(2) mostradas en la

Fig. 2. A la derecha la densidad de estados correspondientes d(E) está graficada

como una función de la energía. Hay un gap de energía indirecto entre el máximo

de E k(1) y el mínimo de E k

(2) .

Para entender el valor del cambio del gap de energía, es necesario conocer la

densidad de estados y la energía de los orbitales electrónicos. Se requieren

simulaciones basadas en la teoría de la densidad funcional (Density Functional

Theory) para calcular la función de onda electrónica y su periodicidad. Para esto

se puede emplear un software de alta confiabilidad y reputación como el

programa de simulación Viena.

IV. BAND GAP EN UNA DIMENSIÓN

Dentro de cada gap, la luz es completamente reflejada (Bragg), resultando

una fuerte dispersión cerca de las frecuencias críticas del gap. Los eigenmodos

de las ecuaciones de Maxwell en la vecindad del gap, son también modificados.

En lugar de las ondas planas usuales, los eigenmodos llegan a ondas

cuasiestáticamente moduladas, con una onda pura permanente se llega a

alcanzar exactamente al número de onda para la resonancia. En este caso hay

dos posibles ondas permanentes con diferentes fases espaciales.

Estas son familiares en la teoría electrónica del band-gap, y tienen la

propiedad usual de que una tiene una eigenfrecuencia arriba y la otra abajo, de

la frecuencia central del gap. La propagación de un campo libre con una

frecuencia en la región del gap es, claro, prohibido. Sin embargo, en presencia de

un medio no lineal, es posible que la propagación pueda ocurrir a un cambio de

fase no lineal.

Las bandas de energía de semiconductores exhiben grandes cambios con

la temperatura a presión constante. Hay dos efectos que contribuyen a estos

cambios: el primero es la expansión térmica de la celda, relacionada al cambio

de energías del electrón con el volumen, y el segundo efecto es la

renormalización directa de las bandas de energías debido a las interacciones

electrón-fonón.

La expresión completa del cambio del gap Egcon la temperatura es:

( ∂ Eg

∂T )P

=( ∂ Eg

∂T )Ep

+( ∂Eg

∂T )TE

(11)

En donde

( ∂ Eg

∂T )TE

=−3α B( ∂ Eg

∂ p )T

Siendo α=L−1( ∂L∂T ) el coefiente de expansión lineal y B=−V ( ∂ p∂V )T el módulo de

expansión volumétrica. Los cambios del gap inducidos por la expansión térmica

son obtenidos usualmente de valores experimentales de , α B y la variación del

gap con la presión hidrostática, medida en experimentos a presión alta.

El efecto de la interacción electrón-fonón, por otra parte, implica el cálculo de

dos tipos de procesos, los términos Debye-Waller (DW) y el Self-Energy (SE).

Estos términos surgen de la teoría de perturbaciones hasta un segundo orden y

ambos son proporcionales al cuadrado del desplazamiento atómico u,

proporcional a T, esto es, a mayor T mayor u y ambos términos DW y SE

aumentan. El término DW está relacionado con la segunda derivada del

potencial en primer orden de la teoría de perturbaciones y es más fácil de

evaluar. El término SE contiene la primera derivada del potencial del cristal

(interacción electrón-fonón) y está dado por el segundo orden de la teoría de

perturbaciones (emisión y reabsorción de un fonón y viceversa). Para obtener el

término SE se tiene que sumar sobre todos los estados intermedios, i.e., se debe

llevar a cabo una integración en el espacio k. Algunas veces este término puede

despreciarse ya que la corrección DW produce una contribución más

importante.

Sin embargo, en años recientes ha sido más reconocido que se tiene que

incluir ambos tipos de términos para calcular la variación del gap con la

temperatura.

(12)

V. EL MODELO DE ELECTRONES LIBRES

Este modelo permite explicar muchas propiedades físicas de los metales, los

electrones que se encuentran débilmente ligados a los átomos se mueven por

todo el material (mar de electrones), estos electrones se les denomina

electrones de valencia ya que conducen la electricidad en el metal y reciben otro

nombre como electrones de conducción.

En este modelo de aproximación no se considera las fuerzas entre los

electrones de conducción y los núcleos iónicos, por lo tanto la energía total es la

energía cinética solamente.

El modelo de electrones libres es aplicable principalmente en aquellos

experimentos que dependen únicamente de la energía cinética y/o propiedades

cinéticas de los electrones de conducción.

La posible interpretación de las propiedades de los metales con el modulo de

los electrones libres se realizo antes de que surgiera el desarrollo de la mecánica

cuántica, empleando la teoría clásica, donde se tuvieron aciertos como fracasos

también, por ejemplo: la teoría clásica es insuficiente para explicar la capacidad

calorífica de los electrones de conducción, etc.

Ahora como hemos visto en este método se emplea la energía cinética de los

electrones de conducción, pero la interacción de los electrones de conducción

con la red cristalina no lo podemos estudiar con este método; así es que

utilizaremos el método de electrones casi libres.

VI. EL METODO DE ELECTRONES CASI LIBRES

El modelo de electrones libres que se ha expuesto nos ha permitido obtener

muchas propiedades electrónicas de los metales, sin embargo cuando algunos

elementos químicos cristalizan para formar buenos conductores, aislantes o

semiconductores no lo podemos explicar por el método de electrones libres.

Todo solido contiene electrones, ahora como estos electrones reaccionan

ante un campo eléctrico seria nuestro propósito; así que estos electrones están

distribuidos dentro del cristal en bandas de energía, separadas por regiones

llamadas bandas o zanjas prohibidas, esto resulta de la interacción de los

electrones de conducción con los núcleos iónicos del cristal. Estas bandas

prohibidas de energía tienen un significado decisivo para clasificar si un sólido

es conductor o aislador.

La estructura de las bandas se puede explicar con este modelo que nos dice

que los electrones se encuentran ligeramente perturbados por el potencial

periódico creado por los núcleos iónicos; este modelo responde casi a todas las

interrogantes cualitativas acerca del comportamiento de los electrones dentro

del metal.

Consideremos un sólido lineal de parámetro de la red “a”.

Representación de la estructura de bandas para electrones completamente libres.

Pero por el método de electrones casi libres tenemos:

- El vector base en la red reciproca es A, que mide 2π/a. Las

perpendiculares que los bisecan forman los límites de la primera zona de

Brillouin y están situados a K=±π/a.

Por la conducción de Bragg para la difracción de una onda de vector de onda K

es una dimensión:

K ´2=K2

Pero: K ´=K+G

Entonces:

(K+G)2=K2

K2+2KG+G2=K2

2KG+G 2=0

Por lo tanto es mejor sustituir G por –G para obtener la condición de difracción

de la forma:

2K .G=G2

Por lo tanto el cambio no altera el significado de la condición de difracción, si G

es un vector de la red reciproca también lo será –G, entonces:

2K=G

K=G2

Generalizando:

K=±12G=±nπ /a

En donde:12G=± nπ

a

G=± 2nπaDonde G es un vector de la red reciproca y n es un numero entero, entonces la primera zona prohibida de energía aparece cuando n=1, entonces K=±π/a, las demás bandas prohibidas se irán

presentando conforme se va tomando distintos valores de n.

Representación de la energía en función del vector de onda, la primera banda prohibida Eg se asocia con la primera reflexión de Bragg.

En K=±π/a las funciones de onda son ondas estacionarias para cada

reflexión de Bragg se invierte la dirección de propagación. Tenemos una onda

que se propaga a la derecha y otra hacia la izquierda y son: e iπx /a y e−iπx /a donde

podemos formar dos ondas estacionarias diferentes:

Ѱ ψ ¿

ψѰ ¿ )

ψѰ ¿

Ѱ ψ ¿

Ѱ ψ ¿ )

ψѰ ¿

Por lo tanto se coloca ψ (+) o ψ (-) según cambien o no de signo al sustituir x por

–x.

Estas dos ondas estacionarias acumulan electrones en zonas distintas con

respecto a los iones (porque tienen diferente valor de energía potencial). Esto es

el origen de las bandas de energía.

En mecánica cuántica, para una onda e ikx la densidad de probabilidad es:

ρ=|ψѰ|2

ρ=e−ikx . eikx=1

Esto significaba que la densidad de carga es constante.

Pero consideremos la estacionaria Ѱ ψ ¿ tenemos:

ρ=¿¿

ρ=ψѰ ¿¿

ρ=2cos (−π xa ) .2 cos ( π xa )

ρ ¿

Como observamos no es 1, entonces la densidad de carga no es constante,

sino que acumula carga negativa cerca de los iones positivos, donde la energía

potencial es pequeña.

Para Ѱ ψ ¿ analogamente es ρ ¿, donde acumula carga en la región entre los

iones y los núcleos iónicos, aumentando la energía potencial con respecto a la

que ve una onda de propagación.

Entonces las energías potenciales de ρ ¿ y ρ ¿ difieren en una cantidad que es Eg.

Esto es un alcance a lo que se quiere lograr, como una interpretación física;

porque en si tenemos que dar solución a la ecuación de Schrödinger y hallar sus

correspondientes niveles de energía y la forma de su función de onda, existen

otros modelos como el de Kroning-Penney pero que no guarda relación con la

realidad ni ofrece soluciones profundas, solo sirve para una simple

aproximación pero de todas maneras las estudiaremos.

VII. FUNCIONES DE BLOCH

En 1928, Bloch demostró formalmente que asumiendo la existencia de un

potencial perfectamente periódico que se extiende hasta el infinito, siendo

además simétrico alrededor del centro de cada celda unidad, las soluciones de la

ecuación de Schrödinger para la función de onda electrónica se denominan

funciones de Bloch, las funciones propias de la ecuación de ondas para un

potencial periódico son el producto de una onda plana e i k⃗r por una función uk⃗ ( r⃗)

periódica, con la periodicidad de la red.

TEOREMA DE BLOCH

Los autoestados de la ecuación de onda para un potencial periódico tienen la

forma de un producto de una onda plana e i k⃗r veces una función uk⃗ ( r⃗) con la

periodicidad de la red cristalina:

ψ k⃗ (r⃗ )=ei k⃗ . r⃗u k⃗ (r⃗ )

Demostración:

ψ k⃗ ( r⃗ )=∑⃗G

C ( k⃗¿−G⃗)e i (k⃗−G⃗ ) .r⃗ ¿=¿

Con:

uk⃗ ( r⃗ )≡∑⃗G

C (k⃗¿−G⃗)e−i G⃗ .r⃗ ¿

El cual cumple:

uk⃗ ( r⃗+ R⃗ )≡∑⃗G

C( k⃗¿−G⃗)e−i G⃗ .( r⃗+R⃗ )¿=e−i G⃗ . R⃗ ¿

uk⃗ ( r⃗+ R⃗ )≡uk⃗ ( r⃗ )

Bajo una traslación de r⃗ a r⃗+ R⃗ la función de Bloch queda multiplicada por un

factor de fase e i k⃗ . R⃗ :

ψ k⃗( r⃗+ R⃗ )=e i k⃗ . R⃗ e i k⃗ .r⃗uk⃗ ( r⃗+ R⃗ )=e i k⃗ . R⃗ ei k⃗ . r⃗u k⃗ ( r⃗ )=e i k⃗ .R⃗ψ k⃗ ( r⃗ )

En forma general tenemos:

ѱ ψ k⃗n ( r⃗ )=e i k⃗ .r⃗ . uk⃗

n ( r⃗ )

Donde:

uk⃗n ( r⃗ ) : es una función periódica.

n : son los diferentes niveles de las bandas.

k⃗ : es el vector de onda y/o es la restricción de la primera zona de Brillouin.

La ecuación: ψ k⃗ ( r⃗ )=ei k⃗ .r⃗u k⃗ ( r⃗ ) define el teorema de Bloch que establece que

las funciones propias de la ecuación de onda para un potencial periódico son el

producto, de una onda plana e i k⃗ . r⃗ por una función uk⃗ ( r⃗ ) que tiene la periodicidad

de la red.

Donde el subíndice k⃗ indica que la función uk⃗ ( r⃗ ) depende del vector de

onda k⃗ . Un orbital de esta forma es conocido como función de Bloch.

Estas soluciones están formadas por ondas de propagación que pueden

agruparse en paquetes de oda representando a los electrones que se propagan

libremente por el campo de potencial que crean los núcleos iónicos.

VIII. EL MODELO DE KRONIG-PENNEY

En física del estado sólido, el modelo de Kronig-Penney, formulado por los

físicos Ralph Kronig y William George Penney, describe los estados de energía

de un electrón perteneciente a un cristal.

Para esto supone que la estructura cristalina configura un potencial

periódico, de cambios abruptos que, si bien es hipotético, es de gran ayuda en

los cálculos.

La forma unidimensional de este potencial es como indica la figura.

La distribución probabilística del electrón, , está regida por la Ψ ecuación de

Schrödinger:

ћ2

2m∇2ѱ ψ=(U−iћ ∂

∂ t)ψ ѱ (13)

U representa el potencial en el cristal y, debido a su regularidad, se lo

puede aproximar con una función periódica. En el modelo unidimensional de

Kronig-Penney el potencial presenta discontinuidades abruptas que, si bien es

físicamente imposible, puede hacerse una buena aproximación a un caso real.

Además, la solución a la ecuación en este caso es más sencilla, que si se

haría una mejor aproximación con la ley de Coulomb. La solución a esta

ecuación es una onda de Bloch, que tiene el mismo período que el potencial y se

expresa en la forma:

(Ψ x) = (μ x)eikx (14)

Al sustituir la ecuación (13) en la ecuación (14), la ecuación u(x) debe satisfacer

d2udx2

+2 ik dudx

−(k2−α2+ 2mUћ2 )u(x )

La solución nos dará una función F(E) = cos(kL) acotada en ( − 1,1). Esta función

nos define las bandas de energía permitidas y prohibidas.

FIGURA: Las curvas azules resultan la superposición de los niveles de energía. Al

estar los electrones unos muy cerca de los otros, los niveles de energía se desdoblan

en bandas de energía y zonas prohibidas.

Consideremos el movimiento de una partícula en un potencial periódico

de periodo l=a+b, formado por un pozo de potencial de anchura a y profundidad

E0, y una barrera de potencial de anchura b. En la figura muestra tres regiones

en las que vamos a obtener la solución de la ecuación de Schrödinger.

En la primera

Ѱ ψ1 (x )=A1 ei k1 x+B1 e

−i k1 x con k 12=2m(E−E0)

ћ2

En la segunda región

Ѱ ψ2 ( x )=A2 ei k2 x+Be−i k2x con k 2

2=2mEћ2

En la tercera región, la solución se puede obtener a partir de la primera

aplicando la condición de periodicidad.

Ѱ ψ3 ( x )=u(x )e ikx

Ѱ ψ1 (x−l )=u(x−l)eik ( x−l )

El punto x en la región 3 se corresponde con el punto x-l en la región 1, de modo

que u(x)=u(x-l).

A1 ei k1 (x−l)+B1 e

−i k1 (x−l)=u (x)eik (x−l )

Despejando u(x) e introduciendo dicha expresión en la función de onda en la

tercera región.

Ѱ ψ3 ( x )=e ikl(A ¿¿1ei k1 (x−l)+B1e−i k1 (x−l ))¿

Escribiremos ahora las condiciones de continuidad de la función de onda y de su

derivada primera en los puntos x=0, y x=a.

en x=0

Ѱ ψ1 (0 )=ψѰ 2 (0 ) y dѰ ψ1dx |

x=0=d ψѰ 2

dx |x=0

Se obtiene

A1+B1=A2+B2

k 1 A1−k1B1=k2 A2−k2B2

en x=a

Ѱ ψ2 (a )=Ѱ ψ3 (a ) y dψ Ѱ 2

dx |x=a

=d Ѱ ψ3dx |

x=a

A1 ei k2a+B1 e

−i k2a=e ikl(A1 e−i k1b+B1 e

i k1b)

k 2(A ¿¿1ei k2a−B1 e−i k2a)=eikl(A1e

−i k1b−B1 ei k1b)k1¿

Tenemos un sistema homogéneo de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas, el

determinante de los coeficientes debe ser cero. Para el caso en el que E<E0, k 1 es

una cantidad imaginaria, llamemos k 1=ik 3.

cos (kl)=cos (k2a )cosh (k 3b )+k32−k 2

2

2k 2k 3sen (k2a ) senh (k3b )

Ecuación que nos da la relación entre la energía E y el número de onda k, ya que

el módulo del coseno no puede ser mayor que la unidad, obtenemos así la

condición impuesta a k 3 y a k 2y por tanto a la energía E.

−1≤cos (k2a )cosh (k3b )+k32−k 2

2

2k 2k3sen (k2a ) senh (k3b )≤1

Esta condición define las bandas de energía permitidas.

Figura: Bandas de energía permitidas y prohibidas.

IX. . ECUACIÓN DE ONDA DE UN ELECTRÓN EN UN POTENCIAL PERIÓDICO

Cuando dimos a conocer sobre el origen de las bandas de energía dimos una

solución aproximada a la ecuación de Schrödinger pero ahora lo vamos a

resolver detalladamente y una solución más general así pues la ecuación de

onda de un electrón en el cristal es:

HѰ ψ=EѰ ψ

Donde: H es la hamiltoniana y E es el autovalor de la energía y ψ son las

funciones propias en orbitales. La ecuación de Schrödinger:

[−ћ2

2md2

dx2+U ( x )]ψѰ ( r⃗ )=EѰ ψ ( r⃗ )

Llamemos U(x) la energía potencial de un electrón en una red lineal con una

constante “a” donde se cumple:

U ( x )=U ( x+a )

La energía potencial puede desarrollarse en series de Fourier por lo tanto:

U ( x )=∑G

UG eiGx

Los coeficientes UG para potenciales en el cristal reales son inversamente

proporcionales a G; esto quiere decir que tiende a decrecer rápidamente,

entonces queremos de la función U ( x ) sea real entonces se debe cumplir que:

U ( x )=U ¿ (x)

∑G

U GeiGx=∑

G

UG¿ e−iGx

Siendo: (e iGx)¿=e−iGx

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(13)

U−G=UG¿

Si U ( x ) es función para entonces: U ( x )=U (−x )

∑G

U Ge−iGx=∑

G

U G¿ e−iGx

UG=UG¿

Nos quiere decir que los coeficientes son reales si la función U(x) es par

entonces:

U ( x )=∑G>0

UG (e¿¿iGx¿+e−iGx)¿¿

U ( x )=2∑G>0

UGcosGx

Muchos cristales poseen centros de inversión y si dicho punto es elegido como

origen de coordenadas entonces: U ( x )=U (−x ), la simetría lleva a una reducción

en los cálculos entonces para los potenciales escogemos el origen.

[−ћ2

2md2

dx2+U ( x )]ψѰ ( x )=EѰ ψ ( x )

Sabemos que p⃗2=−ћ2d2

dx2 , reemplazando:

[ p⃗22m+U ( x )]Ѱ ψ ( x )=EѰ ψ (x )

Reemplazando el potencial:[ p⃗22m+∑

G

UGeiGx ]Ѱ ψ ( x )=EψѰ ( x )

Expandiendo la función de onda en series de Fourier de la forma:

Ѱ ψ ( x )=∑k

C (k )eikx

(8)

(7)

(9)

(10)

(11)

(12)

(14)

Con k i=2 π niL (condiciones periódicas)

Determinaremos los coeficientes C (k); para ello expresaremos primeramente la

ecuación de onda como un conjunto de ecuaciones algebraicas lineales en C.

[ p⃗22m+∑G

UGeiGx ]Ѱ ψ ( x )=EѰ ψ ( x )

12p⃗2

mѰ ψ ( x )= 1

2m (−iћddx )

2

ψѰ ( x )

12p⃗2

mѰ ψ ( x )=−ћ2

2mddx2

2

Ѱ ψ ( x )

12p⃗2

mѰ ψ ( x )=−ћ2

2mddx2

2

[∑k C (k )eikx ]12p⃗2

mψѰ ( x )=−ћ2

2m∑k

C(k )(ik)2 eikx

12p⃗2

mѰ ψ ( x )=−ћ2

2m∑k

k2C(k)e ikx(14.a)

Y la energía potencial:

(∑G UGeiGx)Ѱ ψ ( x )=∑

G∑k

UGeiGxC (k )eikx

(∑G UGeiGx)ψѰ ( x )=∑

G∑k

UGC (k )ei (k+G )x (14.b)

Sumando (14.a) y (14.b) tenemos:

∑k

−ћ2

2mk2C (k)e ikx+∑

G∑k

U GC(k)e i(k+G) x=E∑k

C(k )e ikx (14.c)

Por propiedad de ortogonalidad de las componentes de Fourier:

∫0

L

ei (k−k ´) xdx={[e i (k−k ´ )L−1 ]i (k−k´ )

=0 ; si : k´≠k

L ;si :k´=k

Donde: k=2πnL

y k ´=2 π n´

L

Además n y n´ son números enteros por lo que

exp [i (k−k´ ) L ]=exp [ i (2πn−2πn ´) LL ]=exp [2πi (n−n´ ) ]=1

Entonces en (14.c) multiplicamos por e−i k ´ x

∑k

−ћ2

2mk2C (k ) e ikx . e−i k´ x+∑

G∑k

UGC (k ) ei ( k+G ) x . e−i k ´ x=E∑k

C (k ) eikx . e−i k ´ x (15)

ћ2

2mk2C (k )∫ ei (k−k ´ )x dx+∑

G

UGC (k )∫e i (k +G−k ´ )x dx=E∑k

C ( k )∫ ei (k−k ´ )x dx(16 )

Tenemos:

ћ2

2mk´2C (k´ ) L+∑

G

UGC (k ´−G ) L=EC (k ´) L

ћ2

2mk´2C (k´ ) L+∑

G

UGC (k ´−G ) L=EC (k ´) (17)

Esta es la ecuación más importante de la teoría de bandas de los sólidos.

Utilizando la notación:

λk≈ћ2

2mk2

Entonces:

λkC (k )+∑G

UGC (k−G )=EC (k )

(20)

(21)

(λk−E )C (k )+∑G

UGC (k−G )=0(18)

Las soluciones que a nosotros nos interesa son las de menos energía, entonces

para cualquier k o , designemos con g el valor más pequeño de G y la energía

potencial U ; tenemos de (18):

( λko−E )C (k o )+U [C (ko+g )+C (ko−g ) ]=0(19)

Ahora sustituyendo k o por k o+g y k o−g tenemos:

( λko+g−E )C (k o+g )+U [C (ko+2g )+C (ko ) ]=0

( λko−g−E )C (ko−g )+U [C (ko )+C (ko−2g ) ]=0

Ahora vemos que C (ko+2g ) y C (ko−2 g ) se han introducido en el problema y

otras dos ecuaciones del sistema (18) son:

( λko+2g−E )C (ko+2 g )+U [C (ko+3 g )+C (k o+g ) ]=0

( λko−2g−E )C (ko−2 g )+U [C (ko−g )+C (ko−3 g ) ]=0

y así con C (ko±3 g ) podríamos seguir escribiendo ecuaciones hasta infinito pero

lo que debemos determinar es E , por que λko+ sg, vale ћ2(k o+sg)

2

2m , donde s es un

numero natural.

De (18) se puede escribir:

(λk−E )C (k )=−∑G

UGC (k−G )

C ( k )=−∑

G

UGC ( k−G )

(λk−E )

C ( k )=∑G

UGC (k−G )

E− λk

Pero λk=ћ2 k2

2m

C ( k )=∑G

UGC (k−G )

E−ћ2k2

2m

(22)

El coeficiente C(k) ∞ , si ћ2 k2

2m≈ E

Si C(k) ∞ y existe otro coeficiente C (k−G´ ) tal que :

ћ2(k−G´)2

2m≈ћ2 k2

2m≈ E(23)

Entonces C (k−G´ ) también será grande reemplazando en (22):

C (k−G´ )=∑G

U GC (k−G´−G )

E−ћ2(k−G ´)2

2m

(24)

La condición para unir las dos componentes k y k−G´:

(k−G´)2=k2(25)

Esta relación es conocida como la condición de Bragg para la reflexión de Rayos

x, electrones y neutrones en una red cristalina.

ESQUEMA DE ZONA EXTENDIDA

En este esquema ε es una función univaluada de k y las diferentes bandas

se representan sobre las distintas zonas del espacio de vectores de onda. La

primera figura de abajo muestra el caso de un electrón libre, donde se observa

que la banda es una parábola simple.

E k=ћ2k 2

2m

La primera figura de abajo, muestra la energía de un electrón afectado por

un potencial periódico débil. Se muestran todas las bandas sin restricción,

donde la primera zona de Brillouin corresponde a los valores de k entre – /a yπ

/a, la segunda zona de Brillouin entre −2 /a y – /a y también entre /a yπ π π π

2 /a, etc. En las figuras se muestran varias zonas de Brillouin.π

FIGURA: energía de un electrón libre (V(x)=0) en una red unidimensional.

FIGURA: energía de un electrón en un potencial débil con V(x)≈0 (electrón casi libre) en una red unidimensional.

ESQUEMA DE ZONA REDUCIDA

Aquí ε es una función multivaluada de k y todas las bandas se representan

en la primera zona de Brillouin. En el esquema de zona reducida encontramos,

para un mismo valor del vector de onda, distintos valores de energía y cada

valor de energía caracteriza una banda diferente. Por lo tanto, solo tenemos que

determinar los valores de energía en la primera zona de Brillouin, para cada

banda, llamando banda de energía a cada una de las ramas de la representación

de E en función de k. En las figuras se observan los casos del electrón libre y casi

libre respectivamente.

FIGURA: energía de un electrón libre (V(x)=0) en una red unidimensional, como función de k.

FIGURA: energía de un electrón con (V(x)≠0) en una red unidimensional, como función de k.

ESQUEMA DE LA ZONA PERIÓDICA

En esta representación la energía es una función multivaluada de k yε

todas las bandas se representan en todas las zonas de Brillouin. En algunos

casos, es conveniente imaginar que la primera zona de Brillouin se repite

periódicamente en el espacio de los vectores de onda. Para repetir la zona solo

tenemos que trasladar por un vector de la red reciproca.ε

E k=Ek +G

En donde E k+G se refiere a la misma banda de energía que E k. El esquema

en zona periódica es útil, por ejemplo, al analizar las orbitas de los electrones en

un campo magnético. Puesto que E k = E−k (teorema de Kramers), la energía del

electrón depende de = 2 /k, pero no de que si el electrón este moviéndose enλ π

la dirección +x o –x por consiguiente, solamente es necesario presentar los

resultados para k > 0.

FIGURA: energía de un electrón en una red unidimensional, como función multivaluada de k, cuando k no está restringida.

X. SOLUCIÓN APROXIMADA CERCA DE UN LÍMITE DE ZONA

En la frontera de zona

En la frontera de zona a 12G1, es decir /a entonces:π

k 2=( 12G1)2

(26)

(k−G1)2=( 12G1−G1)

2

=( 12G1)2

(27)

Dado que en la frontera de zona las energías cinéticas de las dos ondas e ikx y

e i(k−G1) x son iguales:

ћ2

2mk2= ћ2

2m(k−G1)

2= ћ2

2m ( 12G1)2

(28)

k=12G y λk≈

ћ2

2m ( 12G1)2

(29)

Entonces:

(λ1−E )C (12G1)+U 1C(−12 G1)=0(30)U 1=U G1

=U−G1, otra ecuación de (18) es:

(λ−1−E )C (−12 G1)+U 1C ( 12G1)=0(31)Las dos ecuaciones, tienen soluciones:

|λ1−E U 1

U1 λ−1−E|=0Si: λ1=λ−1 . Entonces: (λ1−E)2=U 1

2 ;

(34)

(λ1−E )=±U 1

E=λ1±U 1

E= ћ2

2m ( 12 G1)2

±U 1(32)

La energía tiene dos soluciones, una inferior en U 1 , a la energía cinética de un

electrón libre y otra superior a ella en U 1.

En conclusión: es decir que la energía potencial a creado en la frontera de zona

una banda prohibida de energía de extensión 2U 1 .

Cerca de la frontera de zona

Utilizamos la función de onda de la forma:

Ѱ ( x )=C (k ) eikx+C (k−G1 )e i (k−G1 )x (33)

Partiendo de (18) resolvemos el par de ecuaciones:

(λk−E )C (k )+U 1C (k−G1 )=0

( λk−G1−E )C (k−G1 )+U 1C (k )=0

Con: λk=ћ2 k2

2m ; la solución de estas ecuaciones es:

|λk−E U 1

U 1 λk−G1−E|=0(λk−E )( λk−G1−E )−U 1

2=0

λk . λk−G1−E λk−E λk−G1+E2−U 1

2=0

E2−E ( λk+ λk−G1 )+( λk . λk−G1−U 12 )=0

Resolviendo la ecuación cuadrática:

E=( λk+λk−G1 )±√( λk+λk−G1 )

2−4 ( λk . λk−G1−U 12)

2

E=12 (λk+ λk−G1 )±[ 14 (λk−G1−λk )2+U1

2]1 /2

(35)

La solución describe una banda de energía.

δ ≈12G1−k ; k=

12G1−δ (36)

Con (36) entonces (35) queda:

E k=12 (λk+ λk−G1 )±[ 14 (λk−λk−G1 )

2+U 12]1 /2

Trabajando con el primer sumando:

12 (λk+λk−G 1 )=

12 [ ћ22m (k−G1)

2+ ћ2

2mk2]

12 (λk+λk−G 1 )=

ћ2

2m [ 12 (k−G1)2

+ 12k 2]= ћ2

2m [ 2k2−2kG1+G12

2 ]12 (λk+λk−G 1 )=

ћ2

2m [ 12 G12+k2−k G1]= ћ2

2m [ 14 G12+ 14G 1

2−G 1k+k2]

12 (λk+λk−G 1 )=

ћ2

2m [( 12G1)2

+( 12G1−k)2]= ћ2

2m [ 14 G12+δ 2](37)

Ahora en el segundo sumando:

[ 14 ( λk−G 1−λk )2+U 1

2]1/2

=[ 14 {ћ2

2m(k−G1 )2− ћ2

2mk2}2+U 1

2]1 /2

[ 14 ( λk−G 1−λk )2+U1

2]1/2

=¿¿

[ 14 ( λk−G 1−λk )2+U 1

2]1/2

=[ 14 {ћ2

2m(2G1( 12G1−k ))}2+U 1

2]1 /2

[ 14 ( λk−G 1−λk )2+U 1

2]1/2

=[ 14 {ћ2

2m(2G1δ)}

2+U 12]1 /2

[ 14 ( λk−G 1−λk )2+U 1

2]1/2

=[ 14 ћ4

4m2 4G12δ 2+U 1

2]1/2

Como sabemos que: λ1=ћ2

2m (12 G1)2

[ 14 ( λk−G 1−λk )2+U 1

2]1/2

=[ 4 λ1( ћ22m δ 2)+U 12]1 /2

(38)

Si suma (37) y (38):

E k=ћ2

2m [ 14 G12+δ 2]± [4 λ1( ћ22m δ 2)+U 1

2]1 /2

(39)

E k=ћ2

2m [ 14 G12+δ 2]±U 1[1+2( λ1

U 12 )( ћ

2

2mδ2)]

Haciendo las soluciones de (32) como E1(±); podemos escribir (39) como:

E k¿

E k¿

En conclusión: estas son las dos soluciones de la energía para U 1 negativo, la

solución E k¿ corresponde a la superior, E k¿ a la inferior de las dos bandas con

las restricciones:

ћ2G12

2m≫|U 1|y λ1≫|U 1|(42)

XI. NÚMERO DE ORBITALES EN UNA BANDA

Consideremos un cristal lineal formado por celdas primitivas de parámetro de la

red “a”. Los valores permitidos del vector de onda k en la primera zona de

Brillouin está dado por:

k=0 ;± 2πL;±4 πL;…. ;

NπL

(43)

Donde: k=NπL≈πa

ya que es la frontera de la zona, el número total de puntos de

(43) es exactamente N, número de celdas primitivas.

Cada celda primitiva contribuye exactamente con un valor independiente

de k a cada banda de energía. Este resultado se extiende a tres dimensiones.

Teniendo en cuenta las orientaciones independientes del espín del electrón,

existen 2N orbitales independientes en cada banda de energía. Si existe un solo

átomo de valencia unidad en cada celda primitiva, la banda puede estar llena

hasta la mitad con electrones. Si cada átomo contribuye con dos electrones de

valencia de banda, esta puede estar llena en su totalidad. Si en cada celda

primitiva se encuentran dos átomos d valencia uno, la banda puede encontrarse

también llena en su totalidad.

METALES Y AISLANTES

Si los electrones de valencia llenan totalmente una o mas bandas, dejando otras

vacías, el cristal será un aislante. Un campo eléctrico exterior no originara

ningún flujo de corriente en un aislante.(se supone que el campo eléctrico no es

lo suficientemente intenso como para producir la ruptura de la estructura

electrónica). Con tal de que una banda llena este separada por una banda

prohibida de la siguiente banda superior, no existe ningún modo continuo de

variar la cantidad de movimiento total de los electrones si están llenos todos los

estados accesibles. No hay ningún cambio cuando se aplica el campo. Esta

situación es muy distinta de la correspondiente a los electrones libres para los

que k aumenta uniformemente en un campo.

Figura. Estados ocupados y estructuras de bandas que originan (a) un aislante,

(b) un metal o un semimetal debido al solapamiento de las bandas y (c) un metal

debido a la concentración de electrones. En (b) el solapamiento necesario no se

verifica a lo largo de las mismas direcciones de la zona de Brillouin. Si el

solapamiento es pequeño, interviniendo relativamente pocos estados, hablamos de

un semimetal.

Para terminar: hay regiones de energía para los cuales no existen

funciones de Bloch como soluciones de la ecuación de onda. Estas regiones

forman regiones prohibidas en las que las funciones de onda se amortiguan en el

espacio y los valores de k son complejos como se representa a continuación. La

existencia de aislantes es debida a la existencia de estas regiones de energías

prohibidas.

Figura: en la banda prohibida de energía existen soluciones de la ecuación de

ondas correspondientes a valores comlejos del vector de ondas. En el limite de la

primera zona la parte real del vector de ondas es 12G. La parte imaginaria de k en

el espacio prohibido se ha representado en la aproximación de las ondas planas,

para U=0.01ћ2G2/2m. En un cristal limitado infinito el vector de ondas debe ser

real, o bien la amplitud aumentara sin limite. Pero en una superficie o en una

unión pueden existir soluciones con vectores de ondas complejos.

CONCLUSIONES

CONCLUSIONES

El estudiar el carácter electrónico de los materiales con el

comportamiento químico y atómico, relacionado con las bandas de

energía acerca de los orígenes atómicos del band gap nos permite

clasificar a los materiales de acuerdo a la teoría de bandas en materiales

conductores, semiconductores y aislantes.

Podemos cambiar las propiedades de un material variando el ancho de la

banda de energía, lo que provoca un cambio en el color de la luz que se

producirá cuando los pares electrón-hueco se recombinen. La posibilidad

de cambiar el band gap de los semiconductores por medio de la variación

de las composiciones químicas de compuestos y aleaciones, ha tenido un

impacto impresionante en el desarrollo científico y tecnológico de estos

materiales.

La formación de las bandas de energía es importante, ya que nos permite

conocer el comportamiento de los materiales desde el punto de vista de

sus propiedades electrónicas, lo que nos ayuda a caracterizar y

desarrollar nuevos materiales para aplicaciones más específicas, puesto

que actualmente el desarrollo tecnológico y científico requiere de un

conocimiento más detallado de las propiedades de los materiales

modernos que permita aplicaciones más especializadas de éstos.