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INFORME LABORATORIO DE FÍSICA METROLOGÍA

1.1 OBJETIVOS General:

Conocimiento y empleo de los instrumentos de medida Aplicación de la teoría estadística y la propagación de errores

Específicos:

Manejo del vernier, tornillo micrométrico y balanza Calculo de error en las mediciones directas Calculo de error en las mediciones indirectas (propagación de erros) Determinación de la densidad de cuerpos geométricos regulares

1.2 FUNDAMENTO TEÓRICO

La física es una ciencia experimental que nace de la observación de fenómenos naturales, y para que esta observación sea completa, debemos dar una información cualitativa y cuantitativa de los hechos estudiados, es decir, debemos reportar la medida de la magnitud física en estudio, La técnica experimental empleada para obtener el valor de una magnitud física se llama medición y el valor obtenido es la medida.

Medir una magnitud física, digamos longitud, significa compararla contra una unidad de medida previamente establecida a la cual llamamos patrón.

1.2.1 EXPRESIÓN DE LA MEDIDA

Ningún instrumento de medida es totalmente exacto, en consecuencia, cualquier medida siempre posee cierto error; de esto se concluye que toda medida deba expresarse en la forma:

x = X ± Ex

donde: X = valor medio, valor esperado, valor central, media aritmética, promedio, etc. Ex = Error del valor medio

1.2.2 INSTRUMENTOS DE MEDIDA

A continuación describiremos los instrumentos de mecida de mayor uso en el laboratorio.

Regla

Instrumento utilizado para medir objetos relativamente de grandes dimensiones. Estas reglas, en la mayoría de los casos, permiten apreciar hasta milímetros (Δx max= 1 mm ); existiendo sin embargo, reglas cuyas precisiones alcanzan a 0,5 mm. Algunos errores que pueden presentarse al efectuar medidas con la regla son: Error de cero.- Ocurre mayormente en reglas de madera cuyo extremo de cero se ha desgastado debido al uso excesivo y descuidado.

Afortunadamente, las reglas metálicas han superado este problema.

Error de paralaje.- Se comete este error cuando la línea visual del observador no es perpendicular a la escala del instrumento, más aun si se está midiendo objetos de canto irregular.

Verníer o Nonio

Debido a su mejor aproximación (comparado con la regla), el vemier se utiliza para medir longitudes pequeñas; este instrumento consta de dos escalas, la escala principal que es una escala milimétrica ordinaria grabada sobre una platina con tope fijo, y la escala del vemier que se desliza a lo largo de la platina arrastrando consigo el tope móvil del vemier. El vemier más común es aquel cuya escala de 10 divisiones coincide con 9 divisiones de la escala principal, entonces:

10 Dv =9Dp

donde:

Dv = División de la escala del vemier

Dp = División de la escala principal o milimétrica En general, n divisiones de la escala del vemier equivale a (n - 1) divisiones de la escala principal, entonces:

nDv = (n-l) Dp

De aquí

Dv = ( 1 – 1/n) Dp

La aproximación del instrumento está dado por:

A = Dp - Dv

Sustituyendo

A= Dp-(1 – 1/n) Dp ordenando

A = Dp / n

Con Dp = 1 mm; n = 10 ; la aproximación de este instrumento resulta: A = 0,1 mm Sin

embargo, existen también verniers con mejores aproximaciones, tales como: 0,05 mm y

0,02 mm. En general. La lectura, L, efectuada con un vemier se obtiene mediante la

siguiente ecuación:

L = Lp + Lv (A)

donde: Lp = lectura en la escala principal

Lv =lectura en la escala del vemier (número de divisiones del vemier que coincide exactamente con alguna división de la escala principal)

A = Aproximación del instrumento

El Tornillo Micrométrico llamado también calibrador palmer, es un instrumento adecuado para medir objetos de pequeñas dimensiones; consta también de dos escalas. Una escala principal o lineal graduada en milímetros, y otra circular graduada sobre un tambor en números de 0 a 50. Un giro completo del tambor, logra que el vástago, en consecuencia el tambor, avancen sobre la escala principal una cierta distancia, a esta distancia se llama paso del tomillo.

El tomillo más usual es aquel cuyo paso es de 0,5 mm, es decir, 50 divisiones del tambor equivalen a 0,5 mm de la escala principal; esto quiere decir que la rotación de una división mueve el vastago una distancia de 1/50 del paso, entonces, la aproximación del tomillo resulta: (1/50) x 0,5mm =0,01 mm .

En general, la aproximación de este instrumento se calcula con la expresión:

A = P/n

donde: P = paso n = número de divisiones

Para el tomillo de nuestro laboratorio P = 0,5 mm ; n == 50 , entonces: A = 0,01 mrn La lectura, L, efectuada con un tomillo se ajusta a la ecuación:

L = Lp + Lt(A)

donde: Lp = lectura en la escala principal o lineal (desde el cero hasta el borde del tambor)

Lt = lectura en la escala del tomillo (número de divisiones de la escala circular que coincide con la línea principal de la escala lineal)

A = Aproximación del instrumento

Ahora bien, debido al uso excesivo y descuidado, el tomillo micrométrico puede descalibrarse, esta descalibración a menudo se traduce en el error de cero, es decir que al cerrar el instrumento, el cero de la escala circular no coincida con el cero de la escala lineal. Si esto ocurre, debe observarse si el cero de la escala circular pasa el límite del cero o queda antes del cero de la escala lineal; a continuación, y según sea el caso, debe sumarse o restarse este error al resultado de la medida.

Balanza

Las balanzas pueden agruparse en dos clases: las mecánicas o de brazo y las electrónicas o digitales. De acuerdo al requerimiento específicos del experimentador, se disponen de balanzas de distintas precisiones, así en el laboratorio de física, normalmente se utiliza una balanza que permite apreciar hasta décimas de gramo, es decir, la desviación máxima observada del instrumento es una décima de gramo (Δx max= 1 g), mientras que en el laboratorio de química se requiere balanzas analíticas que puedan apreciar hasta milésimas de gramo o más.

Cronómetro

La mayoría de los cronómetros permiten apreciar hasta una centésima de segundo (0,01 s), sin embargo, a esta desviación debe añadirse el tiempo empleado por el experimentador en pulsar el cronómetro, fijándose de esta manera, en 20 centésimas de segundo la desviación máxima del cronómetro (Δx max = 0,20s).

1.3 EQUIPOS Y MATERIALES

Juego de cuerpos geométricos

Tomillo micrométrico

Vernier

Regla

Balanza

1.4 PROCEDIMIENTO

1.4.1 Propagación de errores

1. Verifique si los instrumentos de medida están o no descalibrados.

2. Identifique claramente las medidas necesarias (largo, ancho, alto, o quizás diámetro) que debe tomarse del cuerpo para calcular su volumen.

3. Para cada cuerpo, mida por lo menos 5 veces cada una de las dimensiones necesarias con el instrumento adecuado

4. Mida 5 veces la masa de cada uno de los cuerpos.

1.4.2 Propagación inversa de errores

1. El docente fijará un error máximo y un nivel de confianza para el error del volumen de un cuerpo geométrico, cilindro por ejemplo.

2. Aplicando propagación inversa de errores, y elegido el instrumento de medida adecuado, por ejemplo vernier, calcule el número de medidas que debe tomar de la altura y el diámetro del cilindro.

3. Efectúe el número de medidas calculadas en el paso ^de cada una de las magnitudes seleccionadas, altura y diámetro en el caso del cilindro.

1.5 CALCULOS

1.5.1 Propagacion de errores

1) Para cada cuerpo y cada instrumento de medida empleado, calcule el valor medio

y el error de las medidas longitudinales y de masa, expresándolos luego en la

forma: x = x� ±E� y m =m� ±E�. Para el cálculo de los errores: E� = tα��

√� y

E� = tα��

√�, tome un nivel de confianza del 95%.

Para cuerpo 1(tabla 1): Arandela

Para el error con regla

Usando la siguiente formula de media aritmética obtenemos los promedios de las medidas

�̅ =��⋯��

�………(a)

�� = 74.8g ; �� = 69,2mm ; �̅ = 34.4mm ; �� = 2.8mm

Los errores de estas medias son los errores del instrumento en este caso la regla:

E� = 0.5mm E� = 0.5mm E� = 0.5mm

� = (��. � ± �. �)��; � = (��. � ± �. �)��;

� = (�. � ± �. �)��

Para el error con vernier

Usando la formula (a) de la media aritmética calculamos los promedios de las mediciones

�� = 69,48mm ; �̅ = 35.44mm ; �� = 3.45mm

- Para el error de “D”

Aplicamos la formula E� = tα��

√� …….. (1)

n= 5; tα��= 2,776

��

(� ��)�� (� ��)

��(� ��)��⋯(� ��)

�

��

→ �� 0.03 …..reemplazando en (1)

Obtenemos que:

E� = 0,04

"� = (��, �� ± �. ��)��"

- Para el error de “d”


√� …….. (2)

n= 5; tα��= 2,77

�

��

�� (��)

�� ⋯��

�

��


Obtenemos que:

E� = 0,31

"� = (��. �� ± �. ��)��"

- Para el error de “e”


√� …….. (3)

n= 5; tα��= 2,77

��

(��)�� (��)

�� (��)��⋯(��)�

��


Obtenemos que:

E� = 0,01

"� = (�. �� ± �. ��)��"

Para cuerpo 2(tabla 2): Cubo medido con vernier

Usamos la ecuación (a) de la media aritmética para el promedio

�̅ = 71.5mm


√� …….. (4)

n= 5; tα��= 2,77

��

(��)�� (��)

��(��)��⋯(��)�

��

→ �� 1,9 …..reemplazando en (4)

Obtenemos que:

E� = 2,36

"� = (��, � ± �, ��)��"

Para cuerpo 3(tabla 3): Esfera

- Para el error con vernier de “D”


�� = 12,66mm


√� …….. (5)

n= 5; tα��= 2,776

��

(� ��)�� (� ��)

��(� ��)��⋯(� ��)

�

��


Obtenemos que:

E� = 0,05

"� = (��, �� ± �. ��)��"

- Para el error con tornillo micrometrico de “D”


�� = 12,62mm


√� …….. (6)

n= 5; tα��= 2,776

��

(� ��)�� (� ��)

��(� ��)��⋯(� ��)

�

��


Obtenemos que:

E� = 0,01

"� = (��, �� ± �. ��)��"

2) Con los valores obtenidos en 1, calcule los volúmenes promedio y sus errores de

cada uno de los cuerpos expresándolos en la forma: V = V� ±E�. Con E� y V�

calcule el error relativo porcentual.

R-. Aplicando propagación de errores, por el método de diferenciación logarítmica

V = π

4(D� −d�)e

ln(V)= lnπ

4+ ln(e)+ ln(D� −d�)

dV

V�=

de

e�+

2D ∗ dD − 2d ∗ dd

D� −d�

E� = ��

��+

��∗��∗��

�� ∗ V�……. (b)

CUERPO 1:

Arandela con regla

�� = 69,2mm, �� = 0.5mm ; �̅ = 34.4mm,�� = 0.5mm ; �� = 2.8mm, �� =

0.5mm

Calculamos el volumen con la formula: V� = �

��D�� −d��e�

V� = 7928.4mm

Reemplazando datos en la ecuación (b)

E� = 1643.6

"� = (��. � ± ��. �)��"

Calculando su error relativo porcentual:

ε% = E�

V�100% =

1643.6mm�

7928.4100% = 20.7%

Arandela con vernier

�� = 69,48mm, �� = 0,04 ; �̅ = 35.44mm, �� = 0,31; �� = 3.45mm, �� = 0,01

Calculamos el volumen con la ecuación: V� = �

��D�� −d��e�

V� = 9677,4mm

Reemplazando datos en la ecuación (b)

E� = 102.65

"� = (��. � ± ��. ��)��"


ε% = E�

V�100% =

102.65mm�

9677.4100% = 1.1%

CUERPO 2: Cubo

Cubo con vernier

Aplicando propagación de errores, por el método de diferenciación logarítmica

V� = L�

ln(V)= 3 ln L

dV

V�= 3

dL

L�

E� = �3��

�� ∗ v�………. (c)

�̅ = 71.5mm, �� = 2,36

Calculamos su volumen con la formula: V� = L�

V� = 365525.9

Reemplazando datos en la ecuación (c)

E� = 36194.7

"� = (��. � ± ��. �)��"


ε% = E�

V�100% =

36194.7mm�

365525.9100% = 9.9%

CUERPO 3:

Esfera con vernier


V� = π

6D��

ln V = lnπ

6+ 3 lnD

dV

V=

3dD

D

E� = ��

�∗ V………. (d)

�� = 12,66mm, �� = 0,05

Calculamos su volumen con la formula:V� = �

�D��

V� = 1062.4mm�

Reemplazando datos en la ecuación (d)

E� = 12.59

"� = (��. � ± ��. ��)��”

Calculando su error relativo porcentual

ε% = E�V100% =

12.59mm�

1062.4cm�100% = 1.2%

Esfera con tornillo micrométrico

�� = 12,62mm, �� = 0,01

Calculamos su volumen con la formula:V� = �

�D��

V� = 1052.4mm�

Reemplazando datos en la ecuación (d)

E� = 2.5

"� = (��. � ± �. �)��”

Calculando su error relativo porcentual

ε% = E�V100% =

2.5mm�

1052.4cm�100% = 0.2%

3) Sabiendo que la densidad de un cuerpo se define como la masa por unidad de

volumen (ρ = m V)⁄ , calcule la densidad y su error para cada uno de los cuerpos y

expréselo en la forma: �ρ = ρ� ±E�� con E� y ρ� calcule el error porcentual de la

densidad.

CUERPO 1:

Arandela con regla


ln ρ = lnm − lnV

dρ

ρ�=

dm

m�−

dV

V�

E� = ��

��+

��

�� ∗ ρ�…….. (e)

�� = 74.8g, �� =0.01 g; �� = 7.93cm�, �� = 1.64

Calculamos su densidad con la formula: ρ� = ��

��

ρ� = 9.43gcm��

Reemplazando datos en la ecuación (e)

E� = 1.95

“�� = (�. �� ± �. ��)�� ”

Calculando su error

ε% = E�

ρ100% =

1.95gcm��

9.43gcm��

100% = 20.69%

Arandela con vernier

�� = 74.8g, �� =0.01 g; �� = 9.7cm�, �� = 0.1


��

ρ� = 7.71gcm��


E� = 0.1

“�� = (�. �� ± �. �)�� ”

Calculando su error

ε% = E�

ρ100% =

0.1gcm��

7.71gcm��

100% = 1.04%

CUERPO 2:

Cubo con vernier

�� = 227g, �� =0.01 g, �� = 365.52cm�, �� = 36.2


��

ρ� = 0.62gcm��


E� = 0.06

“�� = (�. �� ± �. ��)�� ”

Calculando su error

ε% = E�

ρ100% =

0.06gcm��

0.62gcm��

100% = 9.9%

CUERPO 3:

Esfera con vernier

�� = 8.3g, �� =0.01 g, �� = 1.1cm�, �� = 0.01


��

ρ� = 7.54gcm��


E� = 0.08

“�� = (�. �� ± �. ��)�� ”

Calculando su error

ε% = E�

ρ100% =

0.08gcm��

7.54gcm��

100% = 1.03%

Esfera con tornillo micrométrico

�� = 8.3g, �� =0.01 g, �� = 1.1cm�, �� = 0.0025


��

ρ� = 7.54gcm��


E� = 0.03

“�� = (�. �� ± �. ��)�� ”

Calculando su error

ε% = E�

ρ100% =

0.06gcm��

0.62gcm��

100% = 0.4%

4) Realice una comparación de los resultados obtenidos con cada instrumento y

verifique que el error cometido con el tronillo micrométrico es menor al cometido

con el vernier, y este a su vez es menor al cometido con la regla. De no ser así

explique los motivos.

CUERPO

ERROR

PORCENTUAL

REGLA

ERROR

PORCENTUAL

VERNIER

ERROR PORCENTUAL

MICROMETRICO

ARANDELA 20.7% 1.1%

CILINDRO 9.9%

ESFERA 1.2% 0.2%

En la tabla realizada se logro comprobar que el error cometido con la regla es mayor al

error cometido con el vernier y el error del vernier es mayor al error del tornillo

micrométrico.

5) Confeccione una tabla de densidades, y por comparación, indique los materiales

de los que están construidos los cuerpos ensayados en el experimento.

CUERPO DENSIDAD OBTENIDO DENSIDAD REFERENCIA MATERIAL

ARANDELA 7.71 � �� 7.71 � �� ACERO

CUBO 0.62 � �� 0.72 � �� MADERA

ESFERA 7.54 a 7.62 � �� 7.71 � �� ACERO

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