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ESTADÍSTICA GRADOS EN INGENIERÍA MECÁNICA, INGENIERÍA QUÍMICA E

INGENIERÍA EN ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL

Tema 0. Introducción 1

TEMA 0.- INTRODUCCIÓN

- El fenómeno de la variabilidad. - El papel de la Estadística. - Fases de la Estadística:

- Estadística Descriptiva: Descripción de la variabilidad. - Cálculo de Probabilidades: Modelado de la variabilidad. - Inferencia Estadística.




EL FENÓMENO DE LA VARIABILIDAD

En la naturaleza nos encontramos con multitud de procesos, fenómenos, experimentos, etc. cuya característica esencial es la incertidumbre sobre su resultado porque existen causas de variabilidad no controlables, que llamamos “azar”. Esta ince rtidumbre se traduce en la presencia de variabilidad entre los resultados de las distintas realizaciones bajo condiciones controlables idénticas.

Todos los procesos de interés del ámbito de la Ingeniería Industrial están afectados por la presencia de variabilidad: Procesos de fabricación, Servicios, Economía, Investigación e innovación, … Ejemplos: La duración de lámparas aparentemente idénticas es variable. El consumo energético de motores aparentemente idénticos es variable. El tiempo para resolver una avería en la distribución eléctrica es variable. La demanda de un producto en un establecimiento comercial es variable. La dureza de un espécimen fabricado con un nuevo material

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EL PAPEL DE LA ESTADÍSTICA

La variabilidad no se comporta de manera arbitraria e impredecible, sino que se somete a patrones que se pueden estudiar y conocer mediante el uso de técnicas estadísticas.

La Estadística es una colección de herramientas diseñadas para medir, describir, modelar y explicar la variabilidad.

La Estadística nos ayudará a comprender y manejar adecuadamente la variabilidad:

Reducir la variabilidad en procesos de fabricación y servicios (mejora de la calidad). - Conseguir que los productos fabricados no se alejen de los estándares previstos.

Menos del 1% de arandelas con diámetro fuera de 3±cm. Menos del 2% de lámparas que duren menos de 5000 h.

- Conseguir que los servicios satisfagan criterios de calidad preestablecidos. Ninguna avería eléctrica no restablecida en las primeras 10 horas.

Prever la demanda de un producto (evitar costes y aumentar de beneficios). - Establecer el plan de aprovisionamiento para un producto alimenticio perecedero. - Evitar stocks excesivos en un producto de temporada.

Establecer la posición de los factores controlables que optimizan el valor de una característica crítica de interés (innovación).

- Condiciones de fabricación que maximizan el rendimiento de un proceso químico. - Composición de una cerámica para conseguir un determinado nivel de dureza. - Características del sistema de airbag para minimizar las lesiones cervicales.

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FASES DE LA ESTADÍSTICA

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA: descripción de datos

Los fenómenos sometidos a variabilidad deben ser observados y los resultados anotados deben ser estudiados para empezar a comprender dichos fenómenos. La Estadística Descriptiva proporciona herramientas para explorar, describir, analizar, resumir y sintetizar la información registrada sobre los procesos en los que está presente la variabilidad. CÁLCULO DE PROBABILIDADES: modelos matemáticos teóricos y sus propiedades

El Cálculo de Probabilidades tiene por objeti vo construir un escenario de posibles modelos matemáticos para los procesos sometidos a variabilidad y estudia sus propiedades.

Diseña una amplia colección de éstos que pueden utilizarse como modelos subyacentes capaces de explicar el comportamiento aleatorio de los diversos procesos sometidos a variabilidad.

Estudia las propiedades de estos modelos matemáticos mediante razonamientos deductivos ESTADÍSTICA INFERENCIAL: a partir de los datos decide sobre el modelo subyacente apropiado

Colección de técnicas (estimación de parámetr os y contraste de hipótesis) para realizar razonamientos inductivos sobre los fenómenos con variabilidad. Utiliza la información experimental proporcionada por sucesivas repeticiones del fenómeno aleatorio objeto de estudio. Mediante estos razonamientos se proponen y validan modelos matemáticos coherentes con lo encontrado en la fase descriptiva para poder utilizar las propiedades que tienen dichos modelos y que hemos estudiado en el Cálculo de Probabilidades.

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Tema 1. Descripción de datos 5

TEMA 1.- DESCRIPCIÓN DE DATOS

- La Estadística Descriptiva - Población y muestra. - Variables estadísticas. Datos. - Tabulación de datos.




LA ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA La Estadística Descriptiva es una colección de t écnicas numéricas y gráficas que tiene por objetivo describir la variabilidad que contienen los datos tomados en un estudio estadístico. Describir significa Analizar, Resumir (Sintetizar) y Presentar adecuadamente los resultados.

El objetivo último de la Estadística Descriptiva es conseguir que dejemos de ver el conjunto de datos como un agregado de números o mediciones individuales, para pasar a tener una concepción global de los mismos.

DATOS INFORMACIÓN

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POBLACIÓN Y MUESTRA

Población (Universo): Conjunto de “individuos” sobre los que se va a realizar el estudio estadístico. En cada estudio estadístico deberá estar bien delimitada en el tiempo, en el espacio. En muchas ocasiones es un concepto abstracto que reúne de una forma ideal el conjunto de todas las realizaciones posibles del experimento aleatorio en todas las posibles condiciones experimentales. Realizar el experimento consiste de forma general en observar uno de estos individuos.

Individuos (Unidades estadísticas): Cada uno de los elementos que forman la población.

Censo: Relación exhaustiva de todos los elementos de una población (cuando exista). Las poblaciones de interés estadístico en Ingeniería con frecuencia son de tamaño infinito y/o abstractas.

Ejemplos de poblaciones: Poblaciones humanas (u otros seres vivos): - Habitantes de una ciudad, región, país, ... - Pinos de una determinada especie y una determinada área geográfica. Conjuntos de objetos (existentes o hipotéticos): - Piezas fabricadas el día D por la fábrica F. - Coches marca X fabricados en España en 2010. - Pilas de 1,5 V fabricadas por la casa C. - Artículos que producirá cierta máquina. - Piezas de tela que se fabricarán con una composición nueva que se quiere experimentar. - Ladrillos producidos bajo cocción a determinada temperatura experimental. Otros entes: - Mineral proporcionado por un determinado proveedor a una fundición - Futuros clientes demandantes de un nuevo servicio

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- Conjunto de todos los posibles e hipotéticos lan zamientos que podríamos realizar de una moneda, de un dado, dardo, de un tipo de proyectil … - Conjunto de todos los valores posibles de todos las condiciones que afectan al tiempo de funcionamiento de un aparato, componente, sistema …

Lo fundamental es que las variables de interés se comportan sobre todos individuos de la población de acuerdo a un modelo probabilístico concreto. Este modelo subyacente por lo general será desconocido y obtendremos información sobre él a partir de los valores obervados sobre unos cuantos individuos, representantes de la población, que componen lo que llamaremos una muestra.

Muestra: Conjunto de elementos extraidos de la población con el que se va a trabajar en el estudio estadístico (medir variables, estudiar características, etc.)

Casos: Cada individuo de la muestra.

Obtención de la muestra: Exhaustiva: Bases de datos con “todos” los individuos de la población finita. Cada vez es más

frecuente gracias a las nuevas tecnologías. Ejemplos: Padrón municipal, clientes de una compañía, visitas a una web, …

Muestreo: La muestra se obtiene mediante algún proceso de selección de individuos de la pobl. Ejemplos: Encuesta telefónica a 5.000 personas sobre uso de las TIC. Seleccionamos una pieza fabricada cada media hora en un proceso industrial …

Diseño de experimentos: Muestra formada por especímenes creados a propósito de una población hipotética. Ejemplos: cuatro ladrillos fabricados bajo cada combinación de Temperatura del horno (100ºC, 150ºC, 200ºC) y de Tiempo de cocción (15 min.,30 min.) .

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Lo más habitual es trabajar con una muestra “pequeña” en relación con el tamaño de la población.

Necesidad del muestreo: Poblaciones infinitas. Limitaciones sobre el coste del estudio estadístico. Limitaciones temporales: Presentación de resultados antes de determinada fecha. Estudios destructivos: p. e. Resistencia de envases de vidrio a la explosión.

Características de una muestra: Estudio descriptivo: Cualquier muestra. Estudio inferencial: Muestra “representativa”. Aleatoriedad (Permite extrapolar los resultados) Tamaño (Precisión de los resultados).

POBLACIÓN

MUESTRA x

x

x

x

x x

x x

x

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x x

x

x

x

x

x

INDIVIDUOS

CASOS A ESTUDIAR

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VARIABLE ALEATORIA

Característica de interés sujeta a variabilidad, observable en cada individuo de la población a estudiar.

- Su variabilidad se debe a variables no controlables por el experimentador y obedece a un determinado modelo probabilístico generalmente desconocido. Llamamos “azar” a nuestra propia incapacidad para controlar todas las variables que influyen en el resultado y decimos que la variable aleatoria “depende del azar”.

Notación: Letras mayúsculas X, Y, Z, T, ..., X1, ..., Xn.

Ejemplos: - Población de piezas fabricadas en la factoría F el día D en la línea L:

Longitud (cm), Resistencia a la torsión, Peso específico, … - Población de coches de determinada marca, modelo y año de fabricación:

Consumo (l/100 Km), Tiempo de aceleración de 0 a 100 Km/h (seg), … - Población de averías en redes de distribución eléctrica: Tiempo de acceso, Tiempo de reposición,

Estado de la atmósfera, Zona donde se produce la avería, … - Población de trabajadores de la Factoría F: Sexo: (V, H), Edad (años), Nivel de Estudios, Salario,

… Estudios univariantes: Tratan una sola variable. El objetivo es describir el comportamiento de cada variable por separado.

Estudios multivariantes: Tratan varias características observadas simultáneamente sobre cada individuo o unidad experimental. El objetivo es analizar las relaciones entre las variables.

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MEDICIÓN DE VARIABLES. ESCALAS DE MEDIDA:

Escala nominal: Para cada dos valores de la variable s obre dos individuos de la población, sólo podemos decir: x = y ó x y. Ejemplos: Sexo (V, H), Procedencia de artículos (Europeo, japonés, chino, ...)

Escala ordinal: Los valores de la variable admiten una ordenación natural: x1 x2 ... xn ... Ejemplos: Grado de satisfacción con un producto alimenticio (muy malo, malo, regular, bueno, muy bueno), Titulación académica: (Sin estudios, estudios primarios, estudios secundarios, estudios superiores).

Escala de intervalo: Los valores son representables en un eje (la recta real) con sentido de la distancia. El origen (cero) puede ser arbitrario, por lo que la razón entre dos valores no tiene porqué tener sentido. Se fija una unidad de medida que puede ser arbitraria, pero que su significado permanece invariable a lo largo del eje.

Ejemplos: Longitud, Temperatura, Tiempo, Edad, Número de averías, …

Escala de razón o proporción: Escala de intervalo con existencia de un origen natural ( cero). La razón entre dos valores de la variable cobra sentido. Ejemplos: La mayoría de las variables que se miden en escala de intervalo, realmente lo son en escala de razón o proporción. Una excepción son las escalas de Temperatura Centígrada o Farenheit.

x y z t y-x = z-t

0 x y z y = 2x, z = 3x

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TIPOS DE VARIABLES:

Variables cualitativas o atributos: Sus valores o categorías sólo expresan la posesión de una u otra característica. Escala nominal: Categorías no ordenables. Ejemplos:

- Estado civil: Soltero casado, divorciado, viudo, ... - Origen de artículos: Europeo, americano, japonés, ...

Escala ordinal: Categorías ordenables de manera natural: Ejemplos:

- Pronóstico de un enfermo: Muy grave, grave, leve, ... - Opinión sobre un asunto: Muy a favor, a favor, indiferente, en contra, muy en contra. - Calidad de productos alimenticios: Extra, Primera, Segunda, ...

Variables cuantitativas o numéricas: Sus valores son números reales. Siempre se miden en escala de intervalo o de razón.

- Variables discretas: Toman un conjunto de valores aislados, finito o numerable, habitualmente los números naturales. Ejemplos: Variables de tipo “contador”: Nº de llam adas a una central telefónica, Nº de artículos defectuosos por lote.

- Variables continuas: Toman valores en un intervalo de la recta real de forma continua: Ejemplos: Longitud (m), Tiempo (s), Temperatura (ºC), Rendimiento (%), Acidez (pH).

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Variables Casos X1 X2 … Xj … Xp

1 x11 x12 ... x1j ... x1p 2 x21 x22 ... x2j ... x2p ... ... ... ... ... i xi1 xi2 ... xij ... xip ... ... ... ... ... n xn1 xn2 ... xnj ... xnp

DATOS

Datos: Valores de las variables en estudio medidos sobre los individuos o casos de la muestra. Generalmente se arreglan en forma matricial:

Depuración de los datos. En cualquier conjunto de datos suele haber errores: Errores de medición. Interpretación incorrecta del cuestionario. Errores de transcripción y tecleado de los datos. Observaciones anómalas (individuos de otra población, elementos atípicos, …).

Previamente a cualquier análisis debemos cerciorarnos de que no hay errores en los datos que puedan llevarnos a conclusiones incorrectas. Las técnicas de la Estadística Descriptiva también permiten realizar esta depuración.

Matriz n x p

n = número de individuos de la muestra o casos.

p = número de variables en estudio

xij = valor de la variable X j sobre el caso número i de la muestra, i=1,2, ..., n, j = 1, 2, ..., p.

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EJEMPLO: DATOS DE AUTOMÓVILES (Cardata)MPG Miles per gallon (Consumo de combustible) CYL Cylinders (Número de cilindros) DISPL Displacement in cu. in. (cilindrada del motor) HP Engine horsepower (potencia del motor) ACCEL Seconds from 0 to 60 (tiempo de aceleración) YEAR Model Year (Año del modelo) WEIGHT Weigtt in lbs. (Peso) ORIG Origin (1=U.S.A., 2=EUROPE, 3=JAPAN) MAKE Manufacturer (fabricante) MODEL Model PRICE Current book value (Precio)

MPG CYL DISPL HP ACCEL YEAR WEIGHT ORIG MAKE MODEL PRICE 1 43,1 4 90 48 21,5 78 1985 2 Volkswagen Rabbit Dl 24002 36,1 4 98 66 14,4 78 1800 1 Ford Fiesta 19003 32,8 4 78 52 19,4 78 1985 3 Mazda GLC Deluxe 22004 39,4 4 85 70 18,6 78 2070 3 Datsun B210 GX 27255 36,1 4 91 60 16,4 78 1800 3 Honda Civic CVCC 22506 19,9 8 260 110 15,5 78 3365 1 Oldsmobile Cutlass 33007 19,4 8 318 140 13,2 78 3735 1 Dodge Diplomat 31258 20,2 8 302 139 12,8 78 3570 1 Mercury Monarch 28509 19,2 6 231 105 19,2 78 3535 1 Pontiac Phoenix 2800

10 20,5 6 200 95 18,2 78 3155 1 Chevrolet Malibu 327511 20,2 6 200 85 15,8 78 2965 1 Ford Fairmont A 237512 25,1 4 140 88 15,4 78 2720 1 Ford Fairmont M 227513 20,5 6 225 100 17,2 78 3430 1 Plymouth Volare 270014 19,4 6 232 90 17,2 78 3210 1 AMC Concord 230015 20,6 6 231 105 15,8 78 3380 1 Buick Century 330016 20,8 6 200 85 16,7 78 3070 1 Mercury Zephyr 242517 18,6 6 225 110 18,7 78 3620 1 Dodge Aspen 270018 18,1 6 258 120 15,1 78 3410 1 AMC Concord D1 242519 19,2 8 305 145 13,2 78 3425 1 Chevrolet MonteCarlo 390020 17,7 6 231 165 13,4 78 3445 1 Buick RegalTurbo 440021 18 1 8 302 139 11 2 78 3205 1 Ford Futura 2525




EJEMPLO: DATOS DE PROFESIONALES DE UNA COMPAÑÍA INFORMÁTICA (Salary) EXPRNC Años de experiencia EDUC Formación Académica (1=High School; 2=College; 3=Advanced Degree) MGT Desempeño de un cargo de responsabilidad (1=SI, 0=NO) SALARY Retribuciones brutas anuales (en U.S. $)

EXPRNC EDUC MGT SALARY 1 1 1 1 13876 2 1 3 0 11608 3 1 3 1 18701 4 1 2 0 11283 5 1 3 0 11767 6 2 2 1 20872 7 2 2 0 11772 8 2 1 0 10535 9 2 3 0 12195

10 3 2 0 12313 11 3 1 1 14975 12 3 2 1 21371 13 3 3 1 19800 14 4 1 0 11417 15 4 3 1 20263 16 4 3 0 13231 17 4 2 0 12884 18 5 2 0 13245 19 5 3 0 13677 20 5 1 1 15965 21 6 1 0 12336 22 6 3 1 21352 23 6 2 0 13839 24 6 2 1 22884 25 7 1 1 16978 26 8 2 0 14803 27 8 1 1 17404 28 8 3 1 22184 29 8 1 0 13548 30 10 1 0 14467 31 10 2 0 15942




EJEMPLO: DATOS DE AUTOPISTAS (Minnesota 1973) (Highway) RATE 1973 accident rate per million vehicle miles. LEN Length of the segment in miles. ADT Average daily traffic count in thousands (estimated) TRKS Truck volume as a percent of the total volume. SLIM Speed limit LWID Lane width in feet. SHLD Width in feet of outer shoulder on the roadway. ITG Number of freeway-type interchanges per mile in the segment. SIGS Number of signalized interchanges per mile in the segment. ACTP Number of acces points per mile in the segment. LANE Total number of lanes of traffic in both directions. TYPE Type of highway (FAI=Federal aid interstate; PA=Principal arterial; MA=Major arterial; MC=Major collectors)

RATE LEN ADT TRKS SLIM LWID SHLD ITG SIGS ACTP LANE TYPE 1 4,58 4,99 69 8 55 12 10 1,2 0 4,6 8 FAI 2 2,86 16,11 73 8 60 12 10 1,43 0 4,4 4 FAI 3 3,02 9,75 49 10 60 12 10 1,54 0 4,7 4 FAI 4 2,29 10,65 61 13 65 12 10 0,94 0 3,8 6 FAI 5 1,61 20,01 28 12 70 12 10 0,65 0 2,2 4 FAI 6 6,87 5,97 30 6 55 12 10 0,34 1,84 24,8 4 PA 7 3,85 8,57 46 8 55 12 8 0,47 0,7 11 4 PA 8 6,12 5,24 25 9 55 12 10 0,38 0,38 18,5 4 PA 9 3,29 15,79 43 12 50 12 4 0,95 1,39 7,5 4 PA

10 5,88 8,26 23 7 50 12 5 0,12 1,21 8,2 4 PA 11 4,2 7,03 23 6 60 12 10 0,29 1,85 5,4 4 PA 12 4,61 13,28 20 9 50 12 2 0,15 1,21 11,2 4 PA 13 4,8 5,4 18 14 50 12 8 0 0,56 15,2 2 PA 14 3,85 2,96 21 8 60 12 10 0,34 0 5,4 4 PA 15 2,69 11,75 27 7 55 12 10 0,26 0,6 7,9 4 PA 16 1,99 8,86 22 9 60 12 10 0,68 0 3,2 4 PA 17 2,01 9,78 19 9 60 12 10 0,2 0,1 11 4 PA 18 4,22 5,49 9 11 50 12 6 0,18 0,18 8,9 2 PA 19 2,76 8,63 12 8 55 13 6 0,14 0 12,4 2 PA 20 2,55 20,31 12 7 60 12 10 0,05 0,99 7,8 4 PA




1

p

ii

n n

11

p

ii

f

TABULACIÓN DE DATOS. TABLAS DE FRECUENCIAS

Es el primer paso en el análisis descriptivo de los datos. Tablas de frecuencias para variables cualitativas o atributos y variables discretas:

Escala nominal: Sólo son de interés ni y fi . ni = frecuencia absoluta de la categoría Ai (nº de individuos de la muestra con la característica Ai). fi = ni/n = frecuencia relativa de la categoría Ai. (Se puede expresar en porcentaje)

Escala ordinal: Se añaden las frecuencias acumuladas Ni y Fi . Ni = frecuencia absoluta acumulada hasta la categoría Ai, incluyendo la propia categoría Ai. Fi = Ni/n = frecuencia relativa acumulada hasta la categoría Ai, incluyendo la propia categoría Ai.

Es obligatorio conservar en la tabla el orden natural de las categorías: A1<A2<…<Ap.

Variables discretas: Si toman un número no muy elevado de valores diferentes, p. ej. 0, 1, 2, 3, .., se tabulan igual que las variables medidas en escala ordinal, siendo de interés ni ,fi , Ni y Fi .

En los tres casos el soporte de la variable es un conjunto de valores aislados (puntos en las variables discretas), posibles todos ellos.

Distribución de frecuencias xi ni fi Ni Fi A1 n1 f1 N1 F1 A2 n2 f2 N2 F2 ... ... ... ... ... Ap np fp Np=n Fp=1

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Tabla de Frecuencia para ORIG (Cardata) Frecuencia Frecuencia Frecuencia

Clase Valor Frecuencia Relativa Acumulada Rel. acum. 1 1 (USA) 85 0,5484 85 0,5484 2 2 (Europe) 26 0,1677 111 0,7161 3 3 (Japan) 44 0,2839 155 1,0000 155 1

Tabla de Frecuencia para CYL (Cardata) Frecuencia Frecuencia Frecuencia

Clase Valor Frecuencia Relativa Acumulada Rel. acum. 1 3 1 0,0065 1 0,0065 2 4 104 0,6710 105 0,6774 3 5 3 0,0194 108 0,6968 4 6 30 0,1935 138 0,8903 5 8 17 0,1097 155 1,0000 155 1

EJEMPLOS

Tabla de Frecuencia para EDUC (Salary) Frecuencia Frecuencia Frecuencia

Clase Valor Frecuencia Relativa Acumulada Rel. acum. 1 1 (H.School) 14 0,3043 14 0,3043 2 2 (College) 19 0,4130 33 0,7174 3 3 (Ad. Deg.) 13 0,2826 46 1,0000 46 1




Tablas de frecuencias para variables continuas: datos agrupados.

Los valores observados serán diferentes unos de otros (si se mide con precisión suficiente), pero … los valores exactos no se pueden obtener en la práctica y cada punto observable representa todo el intervalo de valores que por redondeo (a mm, Km, ºC, mg…) se aglutinan en él. Los datos se pueden tabular agrupándolos en clases o intervalos. El protagonismo en la distribución de frecuencias lo toman los intervalos de valores.

(a, b) = soporte de la variable. a = a0 <a1< … <ak = b rejilla de puntos que delimitan los intervalos de clase.

ai-1, ai = extremos de clase. mi=(ai-1+ai)/2 = marca de clase. ai-ai-1, = amplitud de clase. ni = frecuencia absoluta de la clase fi = ni/n = frecuencia relativa Ni = frecuencia absoluta acumulada Fi = Ni/n = frecuencia relativa acum.

También se emplea la agrupación en clases para ta bular datos de una variable discreta con un rango muy amplio de valores diferentes.

Elección de las clases: Elegir un número razonable de clases “significativas”. Se recomienda usar clases de igual amplitud. Las clases deben definirse con precisión (intervalos abiertos a la derecha y cerrados a la izquierda, o viceversa) para poder clasificar sin ambigüedad las observaciones en uno de los intervalos sólamente.

Distribución de frecuencias Clase mi ni fi Ni Fi a0-a1 m1 n1 f1 N1 F1 a1-a2 m2 n2 f2 N2 F2

... ... ... ... ... ak-1-ak mk nk fk Nk=n Fk=1

n 1

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EJEMPLOS

Tabla de Frecuencias para MPG (Cardata) Límite Límite Frecuencia Frecuencia Frecuencia

Clase Inferior Superior Punto Medio Frecuencia Relativa Acumulada Rel. Acum.1 15,0 20,0 17,5 23 0,1494 23 0,1494 2 20,0 25,0 22,5 29 0,1883 52 0,3377 3 25,0 30,0 27,5 32 0,2078 84 0,5455 4 30,0 35,0 32,5 37 0,2403 121 0,7857 5 35,0 40,0 37,5 24 0,1558 145 0,9416 6 40,0 45,0 42,5 8 0,0519 153 0,9935 7 45,0 50,0 47,5 1 0,0065 154 1,0000 154 1

Tabla de Frecuencias para RATE (Highway) Límite Límite Frecuencia Frecuencia Frecuencia

Clase Inferior Superior Punto Medio Frecuencia Relativa Acumulada Rel. Acum.1 1,5 2,5 2,0 8 0,2051 8 0,2051 2 2,5 3,5 3,0 13 0,3333 21 0,5385 3 3,5 4,5 4,0 7 0,1795 28 0,7179 4 4,5 5,5 5,0 3 0,0769 31 0,7949 5 5,5 6,5 6,0 3 0,0769 34 0,8718 6 6,5 7,5 7,0 2 0,0513 36 0,9231 7 7,5 8,5 8,0 1 0,0256 37 0,9487 8 8,5 9,5 9,0 2 0,0513 39 1,0000 39 1



Tema 2. Representación Gráfica 21

TEMA 2.- REPRESENTACIÓN GRÁFICA

- Diagramas de barras y sectores. - Diagramas de Pareto. - Histogramas y polígonos de frecuencias. - Diagramas acumulativos. - Representación de datos temporales.

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REPRESENTACIONES GRÁFICAS DE DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS

El objetivo es graficar la información numérica contenida en la tabla de frecuencias. Para cada tipo de variable existen representaciones apropiadas que son variaciones de la misma idea.

VARIABLES CUALITATIVAS O ATRIBUTOS

Diagrama de sectores: Sobre un círculo se representan sectores asociados a cada valor de la variable. Los sectores son proporcionales a las frecuencias (absolutas o relativas). Se usa preferentemente para variables medidas en escala nominal, pero también para la ordinal. En el caso ordinal hay que mantener el orden natural de las categorías de la variable.

EJEMPLOS: Diagrama de sectores de ORIG (Cardata) y de TYPE (Highway) Escala Nominal Escala Ordinal

Diagrama de Sectores de ORIG

ORIG123

54,84%

16,77%

28,39%

48,72%

5,13%Diagrama de Sectores de TYPE_1

TYPE_11FAI2PA3MA4MC

12,82%

33,33%

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Diagramas de Barras:

Sobre un eje simbólico se representan los valores de la variable. Sobre cada valor se levanta un rectángulo (barra) cuya altura representa la frecuencia. Se pueden hacer con frecuencias absolutas o relativas. Las frecuencias relativas permiten la comparación de muestras diferentes. Se usan tanto para variables medidas en escala nominal como ordinal. En el caso ordinal hay que mantener el orden natural de las categorías de la variable. EJEMPLOS: Diagrama de barras de ORIG (Cardata) y de TYPE (Highway) Escala Nominal Escala Ordinal

Diagrama de Barras de ORIG

0

10

20

30

40

50

60

porc

enta

je

1 2 3

Diagrama de Barras de TYPE_1

0

10

20

30

40

50

porc

enta

je

1FAI 2PA 3MA 4MC

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freq

uenc

y

0

30

60

90

120

150

Corte Impr. Tinta Enc. Port Lomo

42,86

71,43

85,7194,29 98,57 100,00

Diagramas de Pareto:

Diagrama de barras con las categorías de la variable ordenadas de mayor a menor frecuencia. Sólo para atributos nominales. (Los ordinales sólo admiten la ordenación natural de las categorías.) Las clases menos significativas se pueden agrupar como “OTROS”, que se colocará en último lugar.

Herramienta importante en “Control Estadístico de la Calidad” para estudiar variables como: -Causa de fallos, defectos, paradas, … -Tipo de fallo, defecto, … Muy frecuentemente ocurre la siguiente situación: - Unas pocas clases acaparan casi toda la frecuencia y son las que merecen mayor atención. - El resto de clases pueden ser muchas, pero apenas tienen interés. El análisis de Pareto indica las prioridades de actuación.

EJEMPLO: Defectos en libros en una imprenta

TIPOS Frecuencia Frec. Relativa Corte de las hojas 60 0,43 Mala impresión 40 0,29 Tinta irregular 20 0,14 Encuadernación 12 0,09 Portada 6 0,04 Lomo 2 0,01 TOTAL 140 1,00

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Gráfica de Pareto para LESIONES

0

1

2

3

4(X 10000,0)

frecu

enci

a

1 2 3 4 5 6 Otros

33,23

55,81

73,9481,52

88,3294,51 100,00

EJEMPLO: Accidentes en jornada de trabajo con baja según naturaleza de la lesión. Castilla y León, 1988.

LESIONES

Orden Frec. Frec. Acum.

Porcent. Porcent. Acum.

Fracturas, luxaciones, torceduras, esguinces y distensiones 1 10045 10045 33.23 33.23 contusiones y aplastamientos 2 6824 16869 22.58 55.81 otras heridas 3 5478 22347 18.12 73.94 traumatismos superficiales 4 2293 24640 7.59 81.52 amputaciones y perdida del globo ocular, cuerpos extraños en los ojos y conjuntivitis 5 2054 26694 6.80 88.32 lumbalgias y hernias discales 6 1871 28565 6.19 94.51 quemaduras 7 614 29179 2.03 96.54 conmociones y traumatismos internos 8 541 29720 1.08 98.33 lesiones multiples 9 338 30058 1.01 99.45 infartos, derrames cerebrales y otras patologias no traumáticas 10 62 30120 0.21 99.65 envenenamientos e intoxicaciones, exposicion al medio ambiente y asfixias 11 60 30180 0.20 99.85 efectos de la electricidad y radiaciones 12 45 30225 0.15 100.00




EJEMPLO: Análisis de Pareto en la fabricación de tarjetas de circuitos impresos.

CÓDIGO DE DEFECTOS FREC FR. ACUM. % % ACUM 1 SOLD. INSUFICIENTE 40 40 40,8163 40,81632 SOLD. JUNTAS FRIAS 20 60 20,4082 61,2245 3 SOLD. ABIERTA/DEWE 7 67 7,14286 68,3673 4 COMP. INADEC.1 6 73 6,12245 74,4898 5 SOLD. SALPICADURA/W 5 78 5,10204 79,5918 6 MARCA PRUEBA EC 3 81 3,06122 82,6531 7 MARCA PRUEBA BLANCA 3 84 3,06122 85,7143 8 TARJ. EN BRUTO ENVOLT. RE 3 87 3,06122 88,7755 9 COMP. PIEZA EXTRA 2 89 2,04082 90,8163

10 COMP. DAÑADO 2 91 2,04082 92,8571 11 COMP. FALTANTE2 2 93 2,04082 94,898 12 ALAMBRADO INCORR. S 1 94 1,02041 95,9184 13 ESTAMP. ID. OPERADOR 1 95 1,02041 96,9388 14 ESTAMP. FALTANTE 1 96 1,02041 97,9592 15 SOLD. ESCASA 1 97 1,02041 98,9796 16 TARJ. EN BRUTO DAÑADA 1 98 1,02041 100

Diagrama de Control de Disconformidades

freq

uenc

y

0

20

40

60

80

100

1 2 3 4 5 8 7 6 11 10 9 16 15 14 13 12

40,82

61,2268,37

74,4979,59 82,65 85,71 88,78 90,82 92,86 94,90 95,92 96,94 97,96 98,98100,00

0

20

40

60

80

100

1 2 3 4 5 8 7 6 Other

40,82

61,2268,37

74,4979,59 82,65 85,71 88,78

100,00




VARIABLES CUANTITATIVAS DISCRETAS

Diagramas de BARRAS (VARILLAS) Se levantan barras o varillas sobre los valores de la variable según su frecuencia. La varilla (anchura cero sobre el eje) hace alusión al carácter discreto de la variable. Se pueden hacer con frecuencias absolutas o relativas. Las frecuencias relativas facilitan la comparación de muestras.

EJEMPLO: Averías registradas en periodos de una semana en una cadena de montaje.

NUMERO DE AVERÍAS

freq

uenc

y

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 90

10

20

30

40

50

----------------------------------- Rel. Cumul. Cum.Rel. Value Freq. Freq. Freq. Freq. ----------------------------------- 0 49 0,4118 49 0,4118

1 30 0,2521 79 0,6639 2 20 0,1681 99 0,8319 3 9 0,0756 108 0,9076 4 5 0,0420 113 0,9496 5 3 0,0252 116 0,9748 6 2 0,0168 118 0,9916 7 0 0,0000 118 0,9916

8 1 0,0084 119 1,0000 ----------------------------------

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VARIABLES CUANTITATIVAS CONTINUAS

HISTOGRAMA (datos agrupados) Se levantan rectángulos sobre las clases en que han sido agrupados los valores de la variable. Los rectángulos tienen que ser adyacentes para reflejar la continuidad de la variable. La frecuencia se representa a través del área de cada rectángulo. El área bajo el histograma es 1 si son frecuencias relativas, o n si son absolutas. Para comparar muestras hay que usar frecuencias relativas. El aspecto del histograma depende tanto del número de clases como de la posición de éstas. Es conveniente usar clases de igual longitud. De esta manera, la frecuencia también se verá

representada por la altura de los rectángulos, lo cual facilita la representación e interpretación. Para elegir el número de clases y su posición, conviene probar varias posibilidades y elegir la

que proporcione una representación más razonable. El histograma refleja la densidad de aparición de observaciones sobre el soporte de la variable. El histograma pone de manifiesto las características de cada conjunto de datos:

- Localización. - Dispersión. - Simetría o asimetría. - Unimodalidad o multimodalidad. - Observaciones atípicas, etc.

Tomando una muestra representativa, cada vez más grande, y haciendo tender a 0 la amplitud de las clases, aparece en el límite una curva que va a reflejar el modelo de la población.

Es una herramienta importante en el control de calidad.

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Tema 2. Representación Gráfica 291500 2000 2500 3000 3500 4000 4500

WEIGHT

0

5

10

15

20

25

30

frecu

enci

a

EJEMPLO: Fichero Cardata. Variable WEIGHT

Tabla de Frecuencias para WEIGHT Límite Límite Punto Frecuencia Frecuencia Frecuencia

Clase Inferior Superior Medio Frecuencia Relativa Acumulada Rel. Acum.1 1500,0 1750,0 1625,0 0 0,0000 0 0,0000 2 1750,0 2000,0 1875,0 22 0,1419 22 0,1419 3 2000,0 2250,0 2125,0 29 0,1871 51 0,3290 4 2250,0 2500,0 2375,0 16 0,1032 67 0,4323 5 2500,0 2750,0 2625,0 26 0,1677 93 0,6000 6 2750,0 3000,0 2875,0 19 0,1226 112 0,7226 7 3000,0 3250,0 3125,0 14 0,0903 126 0,8129 8 3250,0 3500,0 3375,0 13 0,0839 139 0,8968 9 3500,0 3750,0 3625,0 8 0,0516 147 0,9484 10 3750,0 4000,0 3875,0 5 0,0323 152 0,9806 11 4000,0 4250,0 4125,0 2 0,0129 154 0,9935 12 4250,0 4500,0 4375,0 1 0,0065 155 1,0000




EJERCICIO: ELECCIÓN DEL NÚMERO DE CLASES

EJEMPLO: Fichero Cardata. Variable ACCEL (ORIGIN=1) Explicar el efecto de aumentar o disminuir el número de clases. ¿Cuál te parece la elección más adecuada?

10 13 16 19 22 25ACCEL

0

10

20

30

40

frecu

enci

a

10 13 16 19 22 25

ACCEL

0

4

8

12

16

20

24

frecu

enci

a

10 13 16 19 22 25ACCEL

0

3

6

9

12

15

frecu

enci

a

10 13 16 19 22 25

ACCEL

0

2

4

6

8

frecu

enci

a

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EJEMPLO: Fichero Salary. Variable SALARY

Explicar el efecto de aumentar o disminuir el número de clases. ¿Cuál te parece la elección más adecuada?

1 1,5 2 2,5 3(X 10000,0)SALARY

0

4

8

12

16

20

frecu

enci

a

1 1,4 1,8 2,2 2,6 3

(X 10000,0)SALARY

0

2

4

6

8

10

12

frecu

enci

a

1 1,4 1,8 2,2 2,6 3(X 10000,0)SALARY

0

2

4

6

8

frecu

enci

a

1 1,4 1,8 2,2 2,6 3

(X 10000,0)SALARY

0

1

2

3

4

5

frecu

enci

a

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EJERCICIO: Aplicación del Histograma en Control Estadístico de la Calidad

El valor objetivo para la longitud de las piezas fabricadas en un proceso es 3cm. Los límites de especificación son 3±0,03. (LIE=Límite Inferior de Especificación, LSE=Límite Superior de Especificación). Explicar la situación de los procesos siguientes:

LONGITUD DE PIEZAS2,96 2,97 2,98 2,99 3 3,01 3,02 3,03 3,04

0

4

8

12

16

20

porc

enta

je

LONGITUD DE PIEZAS2,96 2,98 3 3,02 3,04

0

4

8

12

16

20

porc

enta

je

LONGITUD DE PIEZAS2,96 2,97 2,98 2,99 3 3,01 3,02 3,03 3,04

0

5

10

15

20

25

30

porc

enta

je

LONGITUD DE PIEZAS2,95 2,97 2,99 3,01 3,03 3,05

0

3

6

9

12

15

porc

enta

je

LSE LIE LSE

LSE LSE

LIE

LIE LIE




EJERCICIO: Asociar los histogramas con las situaciones descritas debajo.

2,96 2,97 2,98 2,99 3 3,01 3,02 3,03 3,04 3,05 3,060

2

4

6

8

10

12

porc

enta

je

0 10 20 30 40 50 600

10

20

30

40

porc

enta

je

2,96 2,98 3 3,02 3,040

4

8

12

16

20

porc

enta

je

2,96 2,97 2,98 2,99 3 3,01 3,02 3,03 3,040

4

8

12

16

20

24

porc

enta

je

2,96 2,97 2,98 2,99 3 3,01 3,02 3,03 3,040

4

8

12

16

20

porc

enta

je

0 0,2 0,4 0,6 0,8 10

2

4

6

8

10

12

porc

enta

je

1.-Tiempos de vi da de un dis positivo. 2.-Números al azar en un i ntervalo. 3- Medi da (longitud, peso,…) de artículos de un pr oceso industrial. 4.-Mezcla de dos pobl aciones. 5.- Medida de artículos de un pr oceso industrial con datos atípicos. 6.- Medida de artículos de un proceso industrial después de una inspección de calidad.

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POLÍGONO DE FRECUENCIAS SOBRE EL HISTOGRAMA

Se traza un polígono uniendo los valores del histograma en las marcas de clase. Si las clases son de igual amplitud, los extremos del polígono se unen con los puntos correspondientes a las marcas de clase de las que serían la anterior y la posterior a las utilizadas para agrupar los datos. Si se hace con frecuencias relativas y clases de igual amplitud, el área bajo el polígono es 1. Es una versión suavizada del histograma, en un intento de aproximar el modelo poblacional que surgiría con muchas observaciones y clases de amplitud tendiendo a 0.

7,5 10 12,5 15 17,5 20 22,5 25 27,5ACCEL

0

10

20

30

40po

rcen

taje

10 15 20 25 30 35 40 45 50 55MPG

0

5

10

15

20

25

porc

enta

je

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0 10 20 30 40 50 60

ACTP

0

3

6

9

12

15

frecu

enci

a

HISTOGRAMAS AJUSTADOS POR MODELOS

Cardata. Var. ACCEL (ORIG.=1) (Modelo normal) Cardata. Variable PRICE (Modelo lognormal)

10 13 16 19 22 25

ACCEL

0

5

10

15

20

25

30

frecu

enci

a

0 3 6 9 12 15 18(X 1000,0)PRICE

0

10

20

30

40

50

frecu

enci

a

Datos de Autopistas. Var. ACTP (Modelo gamma)

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Ejemplo: Aumento del tamaño muestral (50, 100, 200, 500, 2000, 10000) y del número de clases.

0 1 2 3 4 5 6 7 80

4

8

12

16

20

24

frecu

enci

a

0 2 4 6 80

5

10

15

20

25

30

frecu

enci

a

0 2 4 6 80

10

20

30

40

50

60

frecu

enci

a

0 2 4 6 80

20

40

60

80

100

frecu

enci

a

0 2 4 6 80

50

100

150

200

250

300

frecu

enci

a

0 2 4 6 80

200

400

600

800

1000fre

cuen

cia

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0 10 20 30 40 50 60MPG

0

20

40

60

80

100

porc

enta

je

0 4 8 12 16TRKS

0

20

40

60

80

100

porc

enta

je

DIAGRAMAS ACUMULATIVOS.

Histograma acumulativo y Polígono de frecuencias acumuladas: Es una representación gráfica de la frecuencia acumulada hasta cada valor x del soporte de la variable. Tiene especial interés para variables continuas con datos agrupados. Sobre cada intervalo se levanta una barra de altura igual a la frecuencia acumulada hasta ese intervalo incluyéndole. Uniendo los extremos de estas barras se obtiene el polígono. Se puede hacer con frecuencias absolutas y relativas. Si se hace con frecuencias relativas es una función que empieza en 0 y acaba en 1. Ejemplos: Diagramas acumulativos para las variables TRKS y (Highway) MPG (Cardata)

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SERIES TEMPORALES En las descripciones de variables que hemos estudi ado hasta ahora el orden en que se han realizado las observaciones no ha sido tenido en cuenta. Se suponía que las observaciones podían ser intercambiadas de orden sin alterar la información que contenían sobre la variable. Hay situaciones en las que el orden de las obse rvaciones indica una secuenciación temporal de las mismas. Si además la variable presenta cierta “inercia” o correlación entre observaciones próximas en el tiempo, no se puede obviar esta circunstancia en la descripción y análisis de los datos. Para estas variables será de interés describir y analizar la evolución de la variable en el tiempo. Esta evolución puede reflejar: Tendencias Comportamientos cíclicos, Comportamientos estacionales, Variabilidad aleatoria, etc.

Los conjuntos de datos de esta naturaleza se llaman series temporales (o cronológicas) y para su descripción y análisis existen técnicas estadísticas específicas. El análisis más elemental lo proporcionan los diagramas bidimensionales que representan a la variable frente al tiempo o el orden de observación.

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EJEMPLOS DE SERIES TEMPORALES:

EJEMPLO:Número mensual de viajeros, en miles, que utilizan líneas aéreas internacionales . (144 datos)

0

100

200

300

400

500

600

700

0

100

200

300

400

500

600

700

JAN 1949JAN 1950

JAN 1951JAN 1952

JAN 1953JAN 1954

JAN 1955JAN 1956

JAN 1957JAN 1958

JAN 1959JAN 1960

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EJEMPLO:Agua embalsada en los pantanos españoles en millones de m 3 al final de cada mes. Datos bimensuales. Fuente: I.N.E., Boletín mensual. Años 1951-1983.

Años 1951-1983

Mill

ones

de

met

ros

cúbi

cos

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

35000

40000

-5000

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

35000

40000

1951 1954 1957 1960 1963 1966 1969 1972 1975 1978 1981

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Tema 3. Descripción numérica 41

TEMA 3.- DESCRIPCIÓN NUMÉRICA

- Estadísticos. - Medidas de posición. - Medidas de dispersión. - Medidas de forma: simetría y apuntamiento. - Diagramas de cajas. - Transformaciones de variables.

Pafnutiy Lvovich Chebyshev

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DESCRIPCIÓN NUMÉRICA DE VARIABLES CUANTITATIVAS.

Las representaciones gráficas ponen de manifiesto distintas tipologías de distribuciones de frecuencias de variables cuantitativas atendiendo a aspectos como:

- Posición de la distribución: Zona o punto central en torno al cual se aglutinan los valores de la variable. - Dispersión de la distribución respecto a la zona central. - Forma de la distribución, incluyendo aspectos como: - Simetría o asimetría respecto a la zona central (Skewness). - Apuntamiento: Peso de las colas en relación con la parte central de la distribución (Kurtosis). - Otros aspectos: Unimodalidad o multimodalidad (mezcla de datos de poblaciones diferentes), existencia de “lagunas”, posibles valores atípicos, ...

Interés de los resúmenes numéricos: - Unos pocos números resumen las características fundamentales de la distribución. - Complemento natural de la descripción gráfica. - Facilitan la comparación de muestras con modelos de referencia y la comparación entre muestras.

Determinados valores calculados a partir de los datos de la muestra expresan numéricamente características importantes de las distribuciones de frecuencias citadas anteriormente. - Estadístico: Cualquier función de la muestra (se utilizan diversos estadísticos para cuantificar diferentes aspectos de la distribución de frecuencias: centralidad, dispersión, apuntamiento…). - Cuando la muestra es representativa, los estadísticos muestrales son aproximaciones naturales de los parámetros poblacionales correspondientes que se definirán de manera análoga más adelante.

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GNIFICADO DE LOS ASPECTOS POSICIÓN, DISPERSIÓN Y FORMA DE UNA DISTRIBUCIÓN

-5 -3 -1 1 3 5

0

0.2

0.4

0.6

Distribuciones que difieren sóloen la posición

-8 -4 0 4 8

0

0.1

0.2

0.3

0.4

Distribuciones que difieren sóloen la dispersión

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Simetría y asimetría

-3 -2 -1 0 1 2 3

0

0.25

0.5

0.75

1

Apuntamiento

Muyapuntada

Normal

Pocoapuntada




MEDIDAS DE POSICIÓN (TENDENCIA CENTRAL)

Media: X = Promedio de las observaciones (centro de gravedad de la distribución de frecuencias).

- Muestra sin tabular x1, x2,..., xn: X xn ii

n

1

1.

- Muestra tabulada:

- Variable discreta (con observaciones repetidas): X n x f xn i ii

ki i

i

k

1

1 1.

- Variable continua (datos agrupados): X n m f mn i i i ii

k

i

k

1

11.

(mi = marca de clase)

Mediana: Me. Punto que parte la muestra ordenada en dos mitades (50% a cada lado): - Si n es impar: Observación central en la muestra ordenada. - Si n es par: Promedio de las dos observaciones centrales en la muestra ordenada.

La mediana tiene sentido también para variables cualitativas ordinales.

Moda: Mo. Punto donde se alcanza el máximo de la distribución de frecuencias. Para variables continuas con datos agrupados, hablaremos de intervalo modal. Podemos encontrar distribuciones con varias modas locales: bimodales o multimodales. La Moda tiene sentido también para variables cualitativas ordinales y categóricas.

n=7

n=8

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1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.50

0.04

0.08

0.12

0.16

0.2

0.24

frec.

Histograma de frecuencias

0.5 0.5

0

frec.

Polígono de frecuencias acumuladas

0.5

Me

OBTENCIÓN GRÁFICA DE LA MEDIANA CON DATOS AGRUPADOS

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f(x)

Distribución Simétrica

ModaMedianaMedia

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Distribución con asimetría positivaCA>0

Moda MediaMediana

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Distribución con asimetría negativaCA<0

Media ModaMediana

POSICIÓN RELATIVA DE MEDIA, MEDIANA Y MODA.




ELECCIÓN DE LA MEDIDA DE TENDENCIA CENTRAL ADECUADA La elección de una medida de posición óptima no tiene una solución universal. Depende del criterio de comparación.

Media y mediana representan el centro de la distribución según criterios diferentes:

La Media es la solución del problema de mínimos cuadrados: ( ) ( )x X x xii

n

ii

n

xmin

2

1

2

1

La Mediana es la solución del problema de mínimas distancias: x Me x xii

n

ii

n

xmin

1 1

-Eficiencia: Para datos “normales”, la media es más efic iente que la mediana. La media utiliza “todas las observaciones”. La mediana sólo las centrales.

-Robustez: Estabilidad frente a la presencia de observaciones atípicas. La Media es poco robusta: una sola observación errónea puede cambiar mucho la media. La Mediana es más robusta: se necesitan muchas observaciones erróneas para producir cambios importantes en la mediana

-La idea de posición se traslada al contexto de variables cualitativas (con escalas menos precisas): La moda se puede usar incluso con variables cualitativas nominales. La mediana se puede definir con variables cualitativas ordinales. La media sólo tiene sentido para variables numéricas.

-Distribuciones simétricas y asimétricas. En una distribución simétrica y unimodal las tres medidas coinciden. En el caso de asimetría puede haber grandes diferencias. La Mediana puede reflejar mejor la posición de la zona central.

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OTRAS MEDIDAS DE POSICIÓN CUANTILES:

xp: p-cuantil (0 p 1)

Definición: Punto que parte la distribución de frecuencias en dos trozos: a la izquierda deja una proporción p a la derecha deja una proporción 1-p.

Cálculo: Si np no es entero: Observación que ocupa el lugar [np]+1 en la muestra ordenada. Si np es entero: Promedio de las observaciones en lugares [np] y [np]+1 en la muestra ordenada.

Cuantiles de especial interés: Cuartiles:

- Primer Cuartil: Q 1= 0.25-cuantil. - Mediana (segundo cuartil): Me=0,50-cuantil. - Tercer Cuartil: Q 3= 0.75-cuantil.

Percentiles: - Percentil 100p = p-cuantil: (p = 0.01, 0.02, …, 0.99): Punto que parte la distribución de

frecuencias en dos trozos, a la izquierda 100p% y a la derecha 100(1-p)%.

Mínimo=X(1): Observación más pequeña de la muestra.

Máximo=X(n): Observación más grande de la muestra.

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MEDIDAS DE DISPERSIÓN

Varianza: Promedio de las desviaciones cuadráticas en torno a la media.

-Muestra sin tabular: x1, x2, ..., xn,

n

iin XxS

1

212 )( Expresión abreviada

n

iin XxS

1

2212

-Muestra tabulada de una variable discreta (con valores repetidos): S x X fi ii

k2 2

1

( ) .

-Muestra tabulada de una variable continua (datos agrupados): S m X fi ii

k2 2

1

( ) .

Desviación típica: S x Xn ii

n

1 2

1( ) . Se mide en las mismas unidades que la variable.

Recorrido: R = X(n) X(1): MáximoMínimo.

Rango Intercuartílico: RIQ = Q3Q1.

Coeficiente de Variación: CVSX

- Sólo para variables positivas. - Relativiza la dispersión en función de la magnitud (escala) de las observaciones. - No tiene unidades. - Facilita la comparación.

Cuasivarianza (Varianza corregida) y cuasi desv. típica: 2 21

11

( )n

c ini

S x X

, 21

11

( )n

c ini

S x X

Se verá su interés en la Estadística Inferencial.

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fr X X S k

fr X X S k

fr X X S k

fr X X S k

fr X X S k

2 11

20 7500 2

3 113

08888 3

4 11

40 9375 4

5 11

50 9600 5

6 11

60 9722 6

2

2

2

2

2

. ,

. ,

. ,

. ,

. ,

Ilustración de la Desigualdadde Chebyshev

X-4S X-3S X-2S X-S X X+S X+2S X+3S X+4S

RELACIÓN MEDIA-DESVIACIÓN TÍPICA: DESIGUALDAD DE CHEBYSHEV

0,11 2 kk

kSXxfr i 0,12 k

kkSXxfr i

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Ejercicio: Una panadería fabrica panes que se venden como unidades de 250 gramos. Los límites de especificación del fabricante son 25510 gramos. Se toma una muestra de 200 unidades y resulta:

X gr S gr 254 5 2 25, . , . Responder a las siguientes preguntas: 1.- ¿Cuál es la proporción de unidades fraudulentas en la muestra como máximo? 2.- ¿Qué proporción de la muestra como máximo no cumple las especificaciones? Resuélvase el problema en cada una de las situaciones siguientes: a) No se conoce el aspecto de la distribución. b) La distribución presenta un aspecto simétrico. Ejercicio: En el fichero de datos de partes de averías de una empresa de suministro eléctrico, se obtiene a partir de los datos del año 1997 los siguientes valores de la media y desviación típica para la variable tiempo de acceso al lugar de la avería:

.min6,30.min1,33 SX Hallar la proporción máxima de clientes que pueden haber sufrido tiempos de acceso superiores a 6 horas.

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EJERCICIO: Ilustración de la complementariedad de la descripción numérica y gráfica.

Tratar de asociar los histogramas y los resúmenes estadísticos de posición y dispersión. Comprobar que las distribuciones unimodales se reconocen mejor.

DISTR1 DISTR2 DISTR3 DISTR4 DISTR5 DISTR6 DISTR7 DISTR8 Average 50,7611 13,2301 24,1104 50,0 50,0 86,7699 49,1235 50,0 Median 52,1207 8,47915 21,1166 49,3649 50,4052 91,5209 47,9288 50,1535 Std. Dev. 28,1797 14,1507 15,0 12,1 25,0 14,1507 42,5122 15,0 Q1 25,3621 3,52832 13,5156 44,0525 26,2216 82,2832 2,51195 39,8085 Q3 74,543 17,7168 31,1129 55,2831 73,4258 96,4717 97,5952 60,0592

VAR 10 20 40 60 80 100

0

30

60

90

120

150

VAR 20 20 40 60 80 100

0

10

20

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40

50

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VAR 30 20 40 60 80 100

0

50

100

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200

250

300

VAR 40 20 40 60 80 100

0

40

80

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0

40

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20

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VAR 10 20 40 60 80 100

0

30

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0

10

20

30

40

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0

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200

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0

40

80

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10

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VAR 80 20 40 60 80 100

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VAR 10 20 40 60 80 100

0

30

60

90

120

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VAR 20 20 40 60 80 100

0

10

20

30

40

50

60

VAR 30 20 40 60 80 100

0

50

100

150

200

250

300

VAR 40 20 40 60 80 100

0

40

80

120

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VAR 50 20 40 60 80 100

0

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200

VAR 60 20 40 60 80 100

0

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40

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VAR 70 20 40 60 80 100

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250

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VAR 80 20 40 60 80 100

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30

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VAR 10 20 40 60 80 100

0

30

60

90

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150

VAR 20 20 40 60 80 100

0

10

20

30

40

50

60

VAR 30 20 40 60 80 100

0

50

100

150

200

250

300

VAR 40 20 40 60 80 100

0

40

80

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VAR 50 20 40 60 80 100

0

40

80

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200

VAR 60 20 40 60 80 100

0

20

40

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100

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VAR 70 20 40 60 80 100

0

50

100

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200

250

300

VAR 80 20 40 60 80 100

0

30

60

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fr Z k

fr Z k

fr Z k

fr Z k

fr Z k

2 2 11

20 7500 2

3 3 11

30 8888 3

4 4 11

40 9375 4

5 5 11

50 9600 5

6 6 11

60 9722 6

2

2

2

2

2

. ,

. ,

. ,

. ,

. ,

TIPIFICACIÓN y ESTANDARIZACIÓN DE VARIABLES:

Consiste en centrar la variable en el origen y escalarla en unidades de desviación típica:

x1, x2, ..., xn muestra. Media X y Desviación típica S.

z1, z2, ..., zn muestra tipificada: niS

Xxz ii ,...2,1,

Media 0 y Desviación Típica 1.

Características de una muestra tipificada:

- Una muestra tipificada tiene media 0 y desviación típica 1: Z SZ 0 1; - Una variable tipificada no tiene unidades. Los valores representan el número de desviaciones típicas que se alejan de la media y en qué dirección (a través del signo). - La estandarización facilita la comparación de la forma de las distribuciones, ya que elimina los factores posición y dispersión. - La desigualdad de Chebyshev nos dice que

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MEDIDAS DE FORMA DE UNA DISTRIBUCIÓN

ASIMETRÍA o SKEWNESS: Coeficiente de asimetría muestral:

x1, x2, ..., xn muestra. X S, : Media y Desviación típica. z1, z2, ..., zn muestra tipificada

Coeficiente de asimetría:

n

iin

n

iin

zS

XxCA

1

313

3

1

1 )(

Interpretación: Distribución simétrica (colas iguales): CA 0 Distribución asimétrica positiva (cola derecha más pesada): CA>0 Distribución asimétrica negativa (cola izquierda más pesada): CA<0.

Justificación: La función x3 es impar y por lo tanto Si la distribución es simétrica (aprox.) los sumandos zi

3 positivos y negativos se compensan. Si la cola derecha es más pesada, los valores zi

3 positivos pesarán más que los negativos. Si la cola izquierda es más pesada, los valores zi

3 negativos pesarán más que los positivos.

Ejemplos: Las variables que son el resultado de sumar muchas causas independientes y de contribución

pequeña, presentan distribuciones simétricas. Los tiempos de espera, tiempos de vida, etc. presentan habitualmente fuerte asimetría positiva.

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APUNTAMIENTO o KURTOSIS: Coeficiente de apuntamiento o kurtosis

Medida de la importancia de las colas de la distribución.

x1, x2, ..., xn muestra. X S, : Media y Desviación típica. z1, z2, ..., zn muestra tipificada

Coeficiente de apuntamiento o kurtosis:

n

iin

n

iin

zS

XxCK

1

414

4

1

1 )(

- Interpretación: Distribución normal: (Mesocúrtica) CK 3 Distribución más apuntada: (Leptocúrtica) CK>3 Distribución menos apuntada: (Platicúrtica) CK<3.

Justificación: La función x4 crece muy rápidamente a partir de x=1, por tanto, al calcular el momento de orden 4 de los datos tipificados, el resultado está muy influenciado por las observaciones más alejadas: Si la distribución tipificada tiene colas pesadas, (observaciones z i

muy alejadas de la parte central) esas observaciones aportarán sumandos zi

4 muy grandes. Si la distribución no tiene colas, los sumandos zi

4 serán pequeños. Si la distribución no es simétrica, la interpretación del coeficiente de kurtosis se hace complicada. Algunos autores y programas utilizan CK3, con lo que el elemento de comparación es el 0. En control de calidad, las distribuciones muy apuntadas presentan problemas de artículos fuera de los límites de especificación con más frecuencias que las normales.

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EJERCICIO: Ilustración del significado de asimetría y apuntamiento o kurtosis.

Todas las distribuciones representadas tienen media 0 y desviación típica 1. Ordena las distribuciones según el grado de asimetría. Varias de ellas tienen coeficientes similares. Indica qué variables tendrían asimetría claramente positiva o negativa, o próxima a 0. Separa las distribuciones aproximadamente simétricas y unimodales y ordénalas por el grado de

apuntamiento.

-5 -3 -1 1 3 5VAR 1

0

20

40

60

80

100

VAR 2-5 -3 -1 1 3 5

0

20

40

60

80

-5 -3 -1 1 3 5VAR 3

0

40

80

120

160

200

240

-5 -3 -1 1 3 5VAR 4

0

20

40

60

80

100

120

-5 -3 -1 1 3 5VAR 5

0

40

80

120

160

VAR 6-5 -3 -1 1 3 5

0

20

40

60

80

100

120

-5 -3 -1 1 3 5VAR 7

0

40

80

120

160

200

240

VAR 8-5 -3 -1 1 3 5

0

20

40

60

80

100




EJERCICIO: Ilustración del significado de asimetría y apuntamiento o kurtosis.

Todas las distribuciones representadas tienen media 0 y desviación típica 1. Ordena las distribuciones según el grado de asimetría. Varias de ellas tienen coeficientes similares. Indica qué variables tendrían asimetría claramente positiva o negativa, o próxima a 0. Separa las distribuciones aproximadamente simétricas y unimodales y ordénalas por el grado de

apuntamiento.

-5 -3 -1 1 3 5VAR 1

0

20

40

60

80

100

VAR 2-5 -3 -1 1 3 5

0

20

40

60

80

-5 -3 -1 1 3 5VAR 3

0

40

80

120

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-5 -3 -1 1 3 5VAR 4

0

20

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60

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100

120

-5 -3 -1 1 3 5VAR 5

0

40

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120

160

VAR 6-5 -3 -1 1 3 5

0

20

40

60

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100

120

-5 -3 -1 1 3 5VAR 7

0

40

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160

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240

VAR 8-5 -3 -1 1 3 5

0

20

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80

100

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simétricas

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DIAGRAMAS DE CAJA: BOX-PLOTS.

Resumen “rápido” de una distribución de frecuencias de una muestra utilizando cinco estadísticos: los cuartiles: Q1, Me, Q3 y las observaciones extremas: Máximo y Mínimo. Se completa con unos límites (LI, LS), (inferior y superior): Datos fuera de (LI, LS) son posibles datos anómalos (outliers), errores de medición o de tecleado, etc. Límite inferior: LI = Q11.5(Q3Q1) Límite superior: LS = Q3+1.5(Q3Q1)

Para datos normales, fr(LI, LS)99%.

Caja: Q1, Me, Q3. (contiene el 50% de datos) Patas: mínxi: xiLI, máxxi: xiLS. (cada pata contiene el 25% de los datos) El box-plot aporta información rápida sobre posición, dispersión y forma de la distribución.

0 2 4 6 8 10RATE

6 8 10 12 14 16TRKS

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Summary Statistics Average = 17270,2 Median = 16436,0 Variance = 2,22466E7 Standard deviation = 4716,63 Minimum = 10535,0 Maximum = 27837,0 Range = 17302,0 Lower quartile = 13245,0 Upper quartile = 20872,0 Interquartile range = 7627,0 Skewness = 0,518932 Kurtosis = -0,784589

Percentiles 1,0% = 10535,0 5,0% = 11417,0 10,0% = 11767,0 25,0% = 13245,0 30,0% = 13677,0 40,0% = 14861,0 50,0% = 16436,0 60,0% = 17949,0 70,0% = 19800,0 75,0% = 20872,0 90,0% = 24170,0 95,0% = 25685,0 99,0% = 27837,0

Frequency Tabulation for SALARY -------------------------------------------------------------------------------- Lower Upper Relative Cumulative Cum. Rel. Class Limit Limit Midpoint Frequency Frequency Frequency Frequency -------------------------------------------------------------------------------- 1 10000,0 12500,0 11250,0 9 0,1957 9 0,1957 2 12500,0 15000,0 13750,0 11 0,2391 20 0,4348 3 15000,0 17500,0 16250,0 7 0,1522 27 0,5870 4 17500,0 20000,0 18750,0 6 0,1304 33 0,7174 5 20000,0 22500,0 21250,0 5 0,1087 38 0,8261 6 22500,0 25000,0 23750,0 4 0,0870 42 0,9130 7 25000,0 27500,0 26250,0 3 0,0652 45 0,9783 8 27500,0 30000,0 28750,0 1 0,0217 46 1,0000

1 1,4 1,8 2,2 2,6 3(X 10000)SALARY

0

2

4

6

8

10

12

SALARY1 1,4 1,8 2,2 2,6 3

(X 100

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Percentiles

1,0% = 1760,0 5,0% = 1875,0 10,0% = 1975,0 25,0% = 2144,0 30,0% = 2205,0 40,0% = 2400,0 50,0% = 2620,0 60,0% = 2767,5 70,0% = 2950,0 75,0% = 3070,0 90,0% = 3530,0 95,0% = 3830,0 99,0% = 4080,0

Summary Statistics

Count = 155 Average = 2673,02 Median = 2620,0 Variance = 361374,0 Standard deviation = 601,144 Minimum = 1755,0 Maximum = 4360,0 Range = 2605,0 Lower quartile = 2144,0 Upper quartile = 3070,0 Interquartile range = 926,0 Skewness = 0,545929 Kurtosis = -0,520033

Frequency Tabulation for WEIGHT (Cardata) -------------------------------------------------------------------------------- Lower Upper Relative Cumulative Cum. Rel. Class Limit Limit Midpoint Frequency Frequency Frequency Frequency -------------------------------------------------------------------------------- 1 1750,0 2000,0 1875,0 22 0,1419 22 0,1419 2 2000,0 2250,0 2125,0 29 0,1871 51 0,3290 3 2250,0 2500,0 2375,0 16 0,1032 67 0,4323 4 2500,0 2750,0 2625,0 26 0,1677 93 0,6000 5 2750,0 3000,0 2875,0 19 0,1226 112 0,7226 6 3000,0 3250,0 3125,0 14 0,0903 126 0,8129 7 3250,0 3500,0 3375,0 13 0,0839 139 0,8968 8 3500,0 3750,0 3625,0 8 0,0516 147 0,9484 9 3750,0 4000,0 3875,0 5 0,0323 152 0,9806 10 4000,0 4250,0 4125,0 2 0,0129 154 0,9935 11 4250,0 4500,0 4375,0 1 0,0065 155 1,0000

WEIGHT1750 2000 2250 2500 2750 3000 3250 3500 3750 4000 4250 4500

0

5

10

15

20

25

30

WEIGHT1750 2250 2750 3250 3750 4250 4750




EJERCICIO: ASOCIAR ESTADÍSTICOS, HISTOGRAMAS Y BOX-PLOTS

media mediana rango RIQ D.T. Skewness KurtosisVAR1VAR2 VAR3 VAR4 VAR5 VAR6

0,05939 0,06047 -0,06722 0,02525 0,06011 -0,04799

0,06996 0,04452 -0,32299 0,30059 -0,16929 0,00136

5,622903,44756 4,19515 5,63447 5,10518 7,63452

1,418071,78006 1,07816 1,10832 1,24452 1,01170

1,046781,04115 0,83109 0,87335 0,95499 1,00638

0,04216-0,04259 1,27951 -1,46087 1,29590 -0,25662

-0,10087-1,20470 1,46917 2,79646 2,01373 1,53852

-EXPONENCIAL

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10

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Box-and-Whisker Plot

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5






0,05939 0,06047 -0,06722 0,02525 0,06011 -0,04799

0,06996 0,04452 -0,32299 0,30059 -0,16929 0,00136

5,622903,44756 4,19515 5,63447 5,10518 7,63452

1,418071,78006 1,07816 1,10832 1,24452 1,01170

1,046781,04115 0,83109 0,87335 0,95499 1,00638

0,04216-0,04259 1,27951 -1,46087 1,29590 -0,25662

-0,10087-1,20470 1,46917 2,79646 2,01373 1,53852

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0,05939 0,06047 -0,06722 0,02525 0,06011 -0,04799

0,06996 0,04452 -0,32299 0,30059 -0,16929 0,00136

5,622903,44756 4,19515 5,63447 5,10518 7,63452

1,418071,78006 1,07816 1,10832 1,24452 1,01170

1,046781,04115 0,83109 0,87335 0,95499 1,00638

0,04216-0,04259 1,27951 -1,46087 1,29590 -0,25662

-0,10087-1,20470 1,46917 2,79646 2,01373 1,53852

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0,05939 0,06047 -0,06722 0,02525 0,06011 -0,04799

0,06996 0,04452 -0,32299 0,30059 -0,16929 0,00136

5,622903,44756 4,19515 5,63447 5,10518 7,63452

1,418071,78006 1,07816 1,10832 1,24452 1,01170

1,046781,04115 0,83109 0,87335 0,95499 1,00638

0,04216-0,04259 1,27951 -1,46087 1,29590 -0,25662

-0,10087-1,20470 1,46917 2,79646 2,01373 1,53852

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ge

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 505

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TRANSFORMACIONES DE VARIABLES

Transformaciones lineales: Y=aX+b

Son simples cambios de localización y escala. Se usan para eliminar cifras no significativas y expresar los datos en unidades más sencillas de interpretar.

Conservan la estructura (forma) original de los datos (simetría y puntos raros). Los estadísticos se transforman de manera sencilla: Si a>0, entonces:

baxyCuantilesCKCKKurtosisaSSTípicaDesvbaMeMeMedianaCACAAsimetriaSaSVarianzabXaYMedia

pp

XYXYXY

XYXY

.

222

Datos agrupados en clases de igual longitud: clases transformadas tienen la misma longitud. Longitud: metros centímetros: Y=100X

Ingresos: miles millones: Y=X/1000 Temper atura: ºC ºF: Y=32+1.8X Peso: gramos error respecto a un valor p0 : Y=X-p0

Transformaciones no lineales (monótonas): Y=h(X)

Cambian la estructura (forma) original de los datos. Se usan para promover simetría integrar puntos atípicos de las colas. Las más usadas son: Y= log X; Y=1/X; Y=X1/2; Y=X2. Los estadísticos no se transforman de manera sencilla: Ej: log( ) log( )X X Datos agrupados en clases iguales: Las clases transformadas no tienen la misma longitud.

Acidez: Concentración de H+ pH: Y=log10X. Consumo de combustible: litros/100 Km. Km/litro: Y=100/X

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EJEMPLOS:

Variable ACTP (Highway)

Variable MPG (Cardata) )

235,2146/MPG=litros/100Km

5 7 9 11 13 15 17

235,2146/MPG=litros/100Km4 6 8 10 12 14 16

0

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20

30

40

MPG10 15 20 25 30 35 40 45 50

MPG10 20 30 40 50

0

10

20

30

40

log(ACTP)0 1 2 3 4 5

0

3

6

9

12

15

18

ACTP0 10 20 30 40 50 60

ACTP0 10 20 30 40 50 60

0

2

4

6

8

10

12

log(ACTP)0 1 2 3 4 5

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EJEMPLO: Población de las comarcas catalanas.

Comarca Población Log10.| Comarca Población Log10.Alta Ribagorça 4 0,602 | Berguedà 41 1,613 Pallars Sobirà 5 0,699 | Garrotxa 45 1,653 Val d’Aran 6 0,778 | Montsià 54 1,732 Priorat 10 1,000 | Baix Ebre 64 1,806 Solsonès 11 1,041 | Alt Penedès 67 1,826 Cernanya 12 1,079 | Garraf 72 1,857 Terra Alta 13 1,114 | Anoia 80 1,903 Pallars Jussà 14 1,146 | Baix Empordà 84 1,924 Segarra 17 1,230 | Alt Empordà 85 1,929 Conca de Barberà 18 1,255 | Selva 91 1,959 Alt Urgell 19 1,279 | Osona 115 2,061 Garrigues 20 1,301 | Gironès 122 2,086 Pla de l’Estany 21 1,322 | Baix Camp 124 2,093 Ribera d’Ebre 24 1,380 | Tarragonès 149 2,173 Ripollès 28 1,447 | Bages 150 2,176 Pla d’Urgell 29 1,462 | Segrià 159 2,201 Urgell 30 1,477 | Vallès Oriental 240 2,380 Baix Penedès 33 1,519 | Maresme 270 2,431 Alt Camp 34 1,531 | Baix Llobregat 583 2,766 Noguera 36 1,556 | Vallès Occid. 621

2,793

Población0 200 400 600 800

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EJEMPLO: Población de las comarcas catalanas.

Comarca Población Log10.| Comarca Población Log10.Alta Ribagorça 4 0,602 | Berguedà 41 1,613 Pallars Sobirà 5 0,699 | Garrotxa 45 1,653 Val d’Aran 6 0,778 | Montsià 54 1,732 Priorat 10 1,000 | Baix Ebre 64 1,806 Solsonès 11 1,041 | Alt Penedès 67 1,826 Cernanya 12 1,079 | Garraf 72 1,857 Terra Alta 13 1,114 | Anoia 80 1,903 Pallars Jussà 14 1,146 | Baix Empordà 84 1,924 Segarra 17 1,230 | Alt Empordà 85 1,929 Conca de Barberà 18 1,255 | Selva 91 1,959 Alt Urgell 19 1,279 | Osona 115 2,061 Garrigues 20 1,301 | Gironès 122 2,086 Pla de l’Estany 21 1,322 | Baix Camp 124 2,093 Ribera d’Ebre 24 1,380 | Tarragonès 149 2,173 Ripollès 28 1,447 | Bages 150 2,176 Pla d’Urgell 29 1,462 | Segrià 159 2,201 Urgell 30 1,477 | Vallès Oriental 240 2,380 Baix Penedès 33 1,519 | Maresme 270 2,431 Alt Camp 34 1,531 | Baix Llobregat 583 2,766 Noguera 36 1,556 | Vallès Occid. 621

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Tema 4. Descripción de datos bivariantes. Asociación. 64

TEMA 4.- DESCRIPCION DE DATOS BIVARIANTES. ASOCIACIÓN

- Tabulación de datos bivariantes. - Asociación entre variables cualitativas. - Representaciones gráficas. - Asociación entre atributos y variables numéricas:

Comparación de grupos mediante box-plots. - Asociación entre variables cuantitativas:

Regresión y Correlación. (Se verá más adelante)

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DESCRIPCIÓN DE DATOS BIVARIANTES

En la mayoría de los problemas de interés interviene más de una variable y se dispone de un conjunto de datos bivariantes o multivariantes.

EJEMPLOS: Datos de Automóviles (Cardata). Datos Compañía Informática (Salary). Datos de Autopistas (Highway).

Las descripciones univariantes de las variables que intervienen en estos problemas dan información incompleta de los mismos. El mayor interés está en el estudio de la asociación (relaciones) entre las distintas variables. Descubrir la existencia de cierto tipo de relaci ón entre una variable Y y otra variable X, puede permitir a veces atribuir parte de la variabilidad de la primera a la variabilidad de esta última. Las técnicas estadísticas para estudiar la asociación entre variables tienen importantes aplicaciones a la vigilancia y control de los procesos industriales y de servicios: Identificar las causas asignables de la variabilidad de las características de calidad de productos y servicios permite controlar y reducir la variabilidad. Las técnicas descriptivas para medir la asociación entre variables varían según el tipo de variables a estudiar.

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1. ASOCIACIÓN ENTRE VARIABLES CUALITATIVAS O ATRIBUTOS: ANALISIS DE

TABLAS DE CONTINGENCIA O COMPAR ACIÓN DE GRUPOS RESPECTO A UNA VARIABLE CUALITATIVA.

En el fichero de DATOS DE PROFESIONALES INFORMÁTICOS se quiere saber si el desempeño de puestos de responsabilidad (MGT) está asociado al nivel de formación (EDUC).

2. ASOCIACIÓN ENTRE UNA VAR. NUMÉRICA Y UNA CUALITATIVA: COMPARACIÓN DE GRUPOS RESPECTO A UNA VARIABLE CUANTITATIVA.

En el fichero de DATOS DE AUTOMÓVILES se quiere conocer si existen diferencias en el peso de los vehículos (WEIGHT) según el origen (ORIGIN).

En el fichero de DATOS DE PROFESIONALES INFORMÁTICOS se quiere estudiar cómo repercute el desempeño de un cargo de responsabilidad (MGT) sobre las retribuciones (SALARY).

En el fichero de DATOS DE AUTOPISTAS se quiere es tudiar si existen diferencias en la tasa de accidentes (RATE) según el tipo de autopista (TYPE)

3. ASOCIACIÓN ENTRE VARIABLES CUANTITATIVAS: REGRESIÓN Y CORRELACIÓN.

En el fichero de DATOS DE AUTOMÓVILES se quiere estudiar la relación entre consumo de combustible (MPG) y peso (WEIGHT).

En el fichero de DATOS DE PROFESIONALES INFORMÁTICOS se quiere estudiar la relación entre retribuciones (SALARY) y experiencia (EXPRNC).

En el fichero de DATOS DE AUTOPISTAS se quiere es tudiar la incidencia que tiene el límite de velocidad (SLIM) sobre la tasa de accidentes (RATE).

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TABULACIÓN DE DATOS BIVARIANTES. DISTRIBUCIÓN CONJUNTA Y MARGINALES

X e Y variables que toman un número “pequeño” de valores o categorías: Categorías “naturales” en el caso de Var. Cualitativas o Var. Discretas (con pocos valores). Intervalos de clase (datos agrupados) en caso de Var. Continuas (o discretas con muchos valores).

Categorías de la variable X: A1, A2, …, Ar. Categorías de la variable Y: B1, B2, …, Bc.

Tablas de contingencia: Arreglo matricial de las frecuencias.

Datos originales

Caso X Y 1 Ai Bj 2 A2 B1

… … … … … …

n-1 Ar Bc n A3 B4

Frecuencias Absolutas

YX

B1

…

Bj

…

Bc

A1 n11 … n1j … n1c n1. … … … … … … … Ai ni1 … nij … nic ni. … … … … … … … Ar nr1 … nrj … nrc nr.

n.1 … n.j … n.c n

nnnnnnnnc

jj

r

ii

r

i

c

jij

r

iijj

c

jiji

1.

1.

1 11.

1. ;;

Distribución conjunta nij = Número de casos con X=Ai e Y=Bj i=1, …, r, j=1, …, c

Distribuciones marginales ni. = Número de casos con X=Ai , i=1, …, r n.j = Número de casos con Y=Bj , j=1, …, c

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.,...,1,,...1, cjrinn

f ijij

11

.1

.1 1

c

jj

r

ii

r

i

c

jij fff

TABULACIÓN DE DATOS BIVARIANTES. DISTRIBUCIÓN CONJUNTA Y MARGINALES

Frecuencias Relativas

YX

B1

…

Bj

…

Bc

A1 f11 … f1j … f1c f1. … … … … … … … Ai fi1 … fij … fic fi. … … … … … … … Ar fr1 … frj … frc fr.

f.1 … f.j … f.c 1

Distribución conjunta

Distribuciones marginales

.,...,1,

,...1,

1

..

1

..

cjfn

nf

rifnn

f

r

iij

jj

c

jij

ii

Frecuencias Absolutas

Y X

B1

…

Bj

…

Bc

A1 n11 … n1j … n1c n1.… … … … … … …Ai ni1 … nij … nic ni. … … … … … … …Ar nr1 … nrj … nrc nr.

n.1 … n.j … n.c n

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ricj

ff

nn

ABfrf

i

ij

i

ij

i

jij ,...,1

,...,1

../

DISTRIBUCIONES de FRECUENCIA CONDICIONADAS

Distribuciones de Y condicionada por X

Frecuencias Condicionadas

YX

B1

…

Bj

…

Bc

A1 f1/1 … fj/1 … fc/1 1 … … … … … … …Ai f1/i … fj/i … fc/i 1 … … … … … … …Ar f1/r … fj/r … fc/r 1

fj/i= frecuencia relativa de Bj condicionada por Ai = frecuencia relativa de los casos con Y=Bj entre los que tienen X=Ai.

La tabla se lee por filas: Familia de r distribuciones condicionadas de la variable Y a cada valor de X=Ai, i=1,…,r.

Distribución de Frecuencias de Y condicionada por X=Ai

iAXY

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ricj

ff

nn

BAfrf

j

ij

j

ij

j

iji ,...,1

,...,1

../

DISTRIBUCIONES de FRECUENCIA CONDICIONADAS

Distribuciones de X condicionada por Y

Frecuencias Condicionadas

YX

B1

…

Bj

…

Bc

A1 f1/1 … f1/j … f1/c … … … … … … Ai fi/1 … fi/j … fi/c … … … … … … Ar fr/1 … fr/j … fr/c

1 … 1 … 1

fi/j= frecuencia relativa de Ai condicionada por Bj = frecuencia relativa de los casos con X=Ai entre los que tienen Y=Bj.

La tabla se lee por columnas: Familia de c distribuciones condicionadas de la variable X a cada valor de Y=Bj, j=1,…,c.

Distribución de Frecuencias de X condicionada por Y=Bj

jBYX

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cjri

fffcjri

fff

f jiijij

ijji ,...,1

,...,1,...,1,...,1

....

/

ASOCIACIÓN ENTRE VARIABLES CUALITATIVAS

Asociación o Dependencia: Distribuciones condicionadas muy diferentes entre sí. (tanto Y/X como X/Y)

EJEMPLO: X=Línea de fabricación (L1, L2, L3); Y= Tipo de defecto (D1, D2, D3) Frecuencias Absolutas Frecuencias Relativas Distrib. Condicionadas Y/X

Las distribuciones condicionadas son muy diferentes. Las variables muestran una fuerte dependencia.

Independencia: Distribuciones condicionadas muy parecidas entre sí. (tanto Y/X como X/Y)

EJEMPLO: X=Género (Varón, Mujer); Y= Calificación en Estadística (Susp, Aprob, Notable o más) Frecuencias Absolutas Frecuencias Relativas Distrib. Condicionadas Y/X

Las distribuciones condicionadas son prácticamente iguales.

D1 D2 D3 Tot D1 D2 D3 Tot D1 D2 D3 L1 7 39 7 53 L1 0,03 0,19 0,03 0,26 L1 0,13 0,74 0,13 1,00 L2 55 8 12 75 L2 0,27 0,04 0,06 0,37 L2 0,73 0,11 0,16 1,00 L3 10 4 59 73 L3 0,05 0,02 0,29 0,36 L3 0,14 0,05 0,81 1,00 Tot 72 51 78 201 Tot 0,36 0,25 0,39 1,00 Marg 0,36 0,25 0,39 1,00

S A N Tot S A N Tot S A N V 31 45 14 90 V 0,21 0,30 0,09 0,60 V 0,34 0,50 0,16 1,00 M 21 29 10 60 M 0,14 0,19 0,07 0,40 M 0,35 0,48 0,17 1,00

Tot 52 74 24 150 Tot 0,35 0,49 0,16 1,00 Marg 0,35 0,49 0,16 1,00

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EJEMPLO: Estudio realizado sobre una muestra de 200 trabajadores de una empresa para determinar en qué medida el hábito de fumar es tá asociado con el absentismo laboral. Sólo se consideran bajas no ocasionadas por accidentes laborales.

X = Hábito de fumar (F = Fumador, NF = No Fumador). Variable cualitativa nominal. Y = Absentismo: (B = Bajo, M = Medio, A = Alto). Variable cualitativa ordinal.

DISTRIBUCIÓN CONJUNTA Y DISTRIBUCIONES MARGINALES Frecuencias Absolutas Frecuencias Relativas

Y X

B

M

A

Y X

B

M

A

F 50 22 8 80 F 0.25 0.11 0.04 0.4 NF 110 8 2 120 NF 0.55 0.04 0.01 0.6

160 30 10 200 0.80 0.15 0.05 1

DISTRIBUCIONES CONDICIONADAS Distribuciones de X/Y Distribuciones de Y/X

Y X

B

M

A

Y X

B

M

A

F 0.3125 0.7333 0.8 F 0.625 0.275 0.10 1NF 0.6875 0.2666 0.2 NF 0.9166 0.0666 0.0166 1

1 1 1 Las distribuciones condicionadas son muy heterogéneas e indican la existencia de una asociación importante: Entre los fumadores el nivel de absentismo es globalmente mayor. En este caso es más interesante estudiar Y/X. (Y es la var. dependiente y X la independiente)

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REPRESENTACIÓN GRÁFICA Diagrama de Barras Múltiple Mosaico

0

10

20

30

40

50

60

porc

enta

je

ABSENTISMO SEGÚN HÁBITO DE FUMAR

FUMADOR NO FUMADOR

BAJOMEDIOALTO

ABSENTISMO SEGÚN HÁBITO DE FUMAR

FUMADOR NO FUMADOR

BAJOMEDIOALTO

Perfiles de las filas

HÁBITO DE FUMAR SEGÚN ABSENTISMO

0

10

20

30

40

50

60

porc

enta

je

BAJO MEDIO ALTO

FUMADORNO FUMADOR

HÁBITO DE FUMAR SEGÚN ABSENTISMO

BAJO MEDIO ALTO

FUMADORNO FUMADOR

Perfiles de las columnas

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Ejemplo: Una empresa tiene 600 clientes clasificados en categorías según dos criterios, TIPO de cliente (mayorista, minorista y detalle) y ZONA de residencia (norte, centro y sur).

Frecuencias absolutas nij Norte Centro Sur Total = ni.

Mayorista 150 50 20 220 Minorista 40 110 50 200 Detalle 60 30 90 180

Total = n.j 250 190 160 600

Frecuencias relativas fij Norte Centro Sur Total = fi.

Mayorista 0,25 0,08 0,03 0,3667 Minorista 0,07 0,18 0,08 0,3333 Detalle 0,10 0,05 0,15 0,3000

Total = f.j 0,4167 0,3167 0,2667 1,0000

Frecuencias condicionadas de las filas Frecuencias condicionales de las columnas

fj / i Norte Centro Sur Total Mayorista 0,6818 0,2273 0,0909 1 Minorista 0,2000 0,5500 0,2500 1 Detalle 0,3333 0,1667 0,5000 1

Marginal = f.j 0,4167 0,3167 0,2667 1 Se observa una fuerte asociación: La distribución del TIPO depende fuertemente de la ZONA

fi / j Norte Centro Sur Marginal = fi. Mayorista 0,6000 0,2632 0,1250 0,3667 Minorista 0,1600 0,5789 0,3125 0,3333 Detalle 0,2400 0,1579 0,5625 0,3000 Total 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

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DISTRIBUCIÓN DE ZONA SEGÚN TIPO

0

5

10

15

20

25

porc

enta

je

Mayorista Minorista Detalle

NorteCentroSur

DISTRIBUCIÓN DE ZONA SEGÚN TIPO

Mayorista Minorista Detalle

NorteCentroSur

Perfiles de las filas

DISTRIBUCIÓN DE TIPO SEGÚN ZONA

0

5

10

15

20

25

porc

enta

je

Norte Centro Sur

MayoristaMinoristaDetalle

DISTRIBUCIÓN DE TIPO SEGÚN ZONA

Norte Centro Sur

MayoristaMinoristaDetalle

Perfiles de las columnas

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EJEMPLO: Estudio de la asociación entre MGT y EDUC (Salary)

Frecuencias Absolutas 0 1 Total 1 9 5 14 2 12 7 19 3 5 8 13 Total 26 20 46

Frecuencias relativas (porcentajes) 0 1 Total 1 19,57% 10,87% 30,43% 2 26,09% 15,22% 41,30% 3 10,87% 17,39% 28,26% Total 56,52% 43,48% 100,00%

Condicionadas MGT por EDUC 0 1 Total 1 64,29% 35,71% 100% 2 63,16% 36,84% 100% 3 38,46% 61,54% 100% Marginal 56,52% 43,48% 100%

Condicionadas EDUC por MGT 0 1 Marginal 1 34,62% 25,00% 30,43% 2 46,15% 35,00% 41,30% 3 19,23% 40,00% 28,26% Total 100% 100% 100%

Hay una ligera asociación entre MGT y EDUC: MGT=1 abunda más en EDUC=3.

¿Dónde se dan las diferencias más relevantes?

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0

5

10

15

20

25

30po

rcen

taje

MGT

EDUC según MGT

0 1

EDUC123

MGT según EDUC

0

5

10

15

20

25

30

porc

enta

je

EDUC1 2 3

MGT01

Perfil de cada MGT Perfil de cada nivel Educ

MGT según EDUC

1 2 3

EDUC01 EDUC según MGT

0 1

MGT123

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Cuadro de texto

+

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Rectángulo

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-

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Cuadro de texto

-




ASOCIACIÓN ENTRE VARIABLES CUANTITATIVA Y CUALITATIVA

Diagrama de Cajas Múltiple: Representación gráfica para valorar la asociación.

Ejemplo: SALARY (cuantitativa) frente a MGT y EDUC (cualitativas). Fichero Salary.

SALARY

EDU

C

1

2

3

1 1,3 1,6 1,9 2,2 2,5 2,8(X 10000)

SALARY

MG

T

0

1

1 1,3 1,6 1,9 2,2 2,5 2,8(X 10000) SALARY

MG

TxED

UC

0x1

0x2

0x3

1x1

1x2

1x3

1 1,3 1,6 1,9 2,2 2,5 2,8(X 10000)

Se observan diferencias importantes en SALARY según MGT y EDUC. Ejemplo: RATE y ADT (cuantitativas) frente a LANE (discreta)

RATE

LAN

E

2

4

0 2 4 6 8 10ADT

LAN

E

2

4

0 20 40 60 80

No se observan diferencias importantes en RATE según LANE (2 y 4). Hay diferencias importantes en ADT según LANE (2 y 4).

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Ejemplo: RATE y ADT (cuantitativas) frente a TYPE (cualitativa ordinal). Fichero Highway.

RATE

TYPE

FAI

PA

MA

MC

0 2 4 6 8 10ADT

TYPE

FAI

PA

MA

MC

0 20 40 60 80

Ejemplo: Varios ejemplos con variables del fichero Cardata.

1

2

3

0 4 8 12 16(X 1000)PRICE

OR

IGIN

PRICE

YEA

R

78

79

80

81

82

0 4 8 12 16(X 1000)

WEIGHT

OR

IGIN

1

2

3

1700 2200 2700 3200 3700 4200 4700MPG

OR

IGIN

1

2

3

15 25 35 45 55

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ASOCIACIÓN ENTRE VARIABLES CUANTITATIVAS: REGRESIÓN Y CORRELACIÓN

La representación gráfica exploratoria más importante es le diagrama de dispersión. Cuando la “nube de puntos” presente un aspecto lineal, veremos herramientas estadísticas para: Medir la intensidad de la asociación y Describir la tendencia mediante una ecuación lineal entre las variables.

Recta de Regresión: HORSEPOWER = 46,8351 + 0,273046*DISPL

DISPLACEMENT

HO

RSE

POW

ER

0 100 200 300 4000

30

60

90

120

150

180Coeficiente de correlación: 0,817339

Recta de Regresión: PRICE = 4617,19 - 0,258836*MPG

MPG

PRIC

E

Coeficiente de correlación: -0,000948166

15 25 35 45 550

4

8

12

16(X 1000)

Recta de regresión: MPG = 55,8971 - 0,0101428*WEIGHT

WEIGHT

MPG

1700 2200 2700 3200 3700 4200 470015

25

35

45

55Coeficiente de correlación: -0,829081

15 25 35 45 55MPG

11

14

17

20

23

26

AC

CEL

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Tema 5. Probabilidad 81

TEMA 5.- PROBABILIDAD

- Noción de modelo probabilístico. - Experimento aleatorio. Variable aleatoria.

Terminología. - Probabilidad. - Reglas básicas del cálculo de probabilidades:

reglas de la adición, probabilidad condicionada y regla de Bayes.

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NOCIÓN DE MODELO PROBABILÍSTICO La Estadística Descriptiva nos ha permitido constatar la presencia de variabilidad en multitud de procesos de interés en el área de Ingeniería, mostrándonos además que variabilidad o aleatoriedad no significa caos total. Hemos observado patrones comunes a muchas situaciones que en principio no tenían nada en común. Estos patrones de regularidad obedecen a modelos matemáticos subyacentes a las poblaciones y las variables en estudio. Estos modelos se llaman indistintamente modelos de probabilidad, modelos probabilísticos, distribuciones de probabilidad, ...

EJEMPLO: Los histogramas siguientes muestran diámetros interiores de arandelas fabricadas con el propósito de que dichos diámetros midieran 1 cm. Inicialmente, se tomaron 3 muestras de 20 arandelas, luego 3 de 100 y finalmente otras 3 de 1000.

97 98 99 100 101 102 103(X 0.01)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

fr.

Diámetros interiores de 20 arandelas

97 98 99 100 101 102 103(X 0.01)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

fr.


97 98 99 100 101 102 103 (X 0.01)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

fr.


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97 98 99 100 101 102 103(X 0.01)

0

0.04

0.08

0.12

0.16

0.2

fr.


97 98 99 100 101 102 103(X 0.01)

0

0.04

0.08

0.12

0.16

0.2

fr.


97 98 99 100 101 102 103 (X 0.01)

0

0.04

0.08

0.12

0.16

0.2

fr.


96 98 100 102 104(X 0.01)

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

fr.


96 98 100 102 104(X 0.01)

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

fr.

Diametros interiores de 1000 arandelas

96 98 100 102 104 (X 0.01)

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

fr.





EJEMPLO: En cierto proceso de fabricación de artículos, éstos son catalogados como Defectuosos o Aceptables. Si se extraen muestras de artículos, es imposible predecir el número de artículos que se van a obtener de cada tipo, pero para muestras grandes y representativas se va perfilando una tasa de defectos parecida para todas las muestras. Los gráficos siguientes muestran los resultados de tres muestras de 20 artículos y luego de 100.

0

3

6

9

12

15

18

Aceptable Defectuoso

Muestra de 20 artículos

0

3

6

9

12

15

18



0

3

6

9

12

15

18



0

40

80

120

160

200



0

40

80

120

160

200



0

40

80

120

160

200



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EJEMPLO: Los gráficos siguientes muestran datos procedentes de dos problemas tan dispares como el estudio de diámetros de cojinetes y la longitud de fémur en fetos. A pesar de la diferente naturaleza de ambos problemas, parecen presentar pautas de comportamiento comunes.

4.97 4.99 5.01 5.03 5.05

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

Diametros de cojinetesmuestra de 1000 unidades

7.5 8.5 9.5 10.5 11.5 12.5 13.5

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

frec.

Longitudes de fémur en fetos de cierta edad.muestra de 1000 fetos

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EXPERIMENTO ALEATORIO. VARIABLE ALEATORIA. TERMINOLOGÍA.

Experimento aleatorio: Se denomina genéricamente como experimento aleatorio a cualquier experimento cuyo resultado es imposible conocer antes de cada repetición bajo condiciones controlables idénticas. En este tipo de experiment os resulta imposible controlar completamente todas las variables que influyen en el resultado y resumimos diciendo que éste “depende del azar” o “es aleatorio”. (Ejemplos: Lanzar un dado y observar el resultado. Elegir un coche recién fabricado y observar los defectos que presenta. Seleccionar una lámpara de una cadena de producción y observar su duración…)

Variable aleatoria: Cualquier característica asociada a un experimento aleatorio. (Ejemplos: duración de la lámpara, resultado del dado, nº de defectos del coche…) Cuando sólo estemos analizando una característica o variable de un exper imento aleatorio, identificaremos el exp. aleatorio con la variable aleatoria y nos referiremos indistintamente a cualquiera de ellos.

Ejemplos de experimentos aleatorios (y de variables): - Juegos del azar cotidianos: Loterías, quinielas, ruletas ... - Procesos de producción: Longitudes de piezas, duraciones de máquina s, número de defectos en lotes de artículos ... - Problemas biomédicos: Aplicación de un tratam iento a un paciente para estudiar s u evolución posterior; medimos sus constantes vitales antes y después ... - Problemas macroeconómicos: Evolución de la tasa de desempleo, del I.P.C., del déficit público ... - Problemas microeconómicos: Demanda de un artículo en un establecimiento, número de clientes, volumen de ventas de un comercio... - Problemas sociológicos: Intención de voto, edad, sexo, nivel de es tudios, ingresos... dentro de difer entes poblaciones o colectivos

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Espacio muestral: Se denomina espacio muestral y se denot ará en adelante por E al conjunto de resultados posibles al realizar un experimento aleatorio. Al realizar el experimento, resulta un punto de este espacio muestral y sólo uno. Este conjunto tiene que estar definido sin ambigüedad en cada experimento aleatorio que queramos estudiar. Ejemplos: Lanzamiento de una moneda: E= C,X. Sorteo del cupón de la O.N.C.E.: E= 00000, 00001,...., 99998, 99999. Tomar N artículos y contar los Defectuosos: E=0, 1, ..., N. Llamadas telefónicas que se reciben en un día en una central: E=0, 1, 2, 3 .... Duración de una lámpara: E= 0,) Longitud (en cm) de piezas producidas en serie: E=(a , b )

Suceso: Cada punto del espacio muestral es un Suceso Elemental. Más en general, se denomina suceso a cualquier conjunto de resultados (puntos) del Espacio Muestral. Se notan con mayúsculas: A, B, C...

Ejemplos de sucesos: - Obtener C en el lanzamiento de una moneda (Suceso elemental) - {Obtener Rojo y Par} en una tirada de ruleta. - Obtener un número múltiplo de 10 en el sorteo de la O.N.C.E. - Obtener más de 3 artículos defectuosos en una muestra de 100 artículos - Duración menor de 100 horas en el funcionamiento de una lámpara. - Obtener una pieza de longitud menor que 3 cm en un proceso de fabricación - Obtener un individuo de más de 35 años que no fume en un estudio sociológico.

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Sucesos elementales: Los formados por un solo punto del espacio muestral.

Sucesos compuestos: Son aquéllos formados por más de un punto del espacio muestral.

Suceso imposible: Se denota por (conj. vacío) y representa a un suceso que nunca puede ocurrir.

Suceso seguro: Es otra forma de denominar al propio espacio muestral, E, que siempre ocurre.

Sucesos incompatibles: Aquéllos que no se pueden dar simultáneamente y que se representan mediante conjuntos disjuntos. AB=.

* * * * *

Suceso compuesto

* * * * *

Suceso elemental

*

Sucesos incompatibles

A B

E

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La expresión de los sucesos en términos conjuntistas nos permite realizar representaciones sencillas mediante diagramas de Venn, así como utilizar la s operaciones habituales entre conjuntos (unión intersección y complementación) y sus propiedades: AB significa que se dan simultáneamente A y B. A veces se suprime el signo y se escribe AB A B significa que se da al menos uno de los dos sucesos A o B. A (Complementario de A) significa que no ocurre A.

A E A

B A E AB

AB

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PROBABILIDAD Asociada de una manera natural a la idea de experimento aleatorio, está la idea de probabilidad como medida de la incertidumbre previa sobre la ocurrencia de los distintos sucesos de un experimento aleatorio. En el lenguaje coloquial, usamos el término probabilidad para designar las oportunidades relativas de unos sucesos respecto a otros, a la hora de ocurrir. Pero estas nociones intuitivas requieren una formalización matemática para poder trabajar. Definición: Una probabilidad sobre un experimento aleatorio es cualquier asignación de números a los sucesos de dicho experimento, satisfaciendo las siguientes condiciones: Regla 1.- A cualquier suceso A se le asigna un número P(A)0. Regla 2.- La probabilidad del suceso seguro es P(E)=1. Regla 3.- La probabilidad es aditiva:

si tenemos una colección de sucesos A1, ..., An, ... disjuntos dos a dos, entonces se tiene :

11

).(n

nn

n APAP

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REGLAS DE LA ADICIÓN

A partir de las tres reglas iniciales anteri ores, escribiendo los sucesos como uniones de otros sucesos más sencillos, surgen los siguientes resultados: Probabilidad del complementario:

En particular, el suceso imposible verifica,

P( ) 0 Relación de inclusión: Si A y B son sucesos satisfaciendo AB, entonces se tiene:

P A P B P B A P B A P B P A( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ). Probabilidad de la unión de dos sucesos: Si A y B son sucesos cualesquiera,

)()()()( BAPBPAPBAP

)(1)( APAP

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Si además A y B son sucesos incompatibles, se tiene:

P A B P A P B( ) ( ) ( ) Probabilidad de la unión de tres sucesos: Si A, B y C son sucesos cualesquiera, P A B C P A P B P C P A B P A C P B C P A B C( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

que si son sucesos disjuntos dos a dos se convierte en

P A B C P A P B P C( ) ( ) ( ) ( )

Probabilidad de la unión de n sucesos: si A1, ..., An son sucesos cualesquiera,

P A A P A P A A P A A A P A An ii

ni j

i j

ni j k

i j k

nn

n( ... ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ... )11

111

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Ejemplo: Las piezas producidas por una planta industrial pueden tener tres tipos de defectos: A, B y C. Se sabe que un 10% de las piezas producidas presentan el defecto A; un 8% el B; un 5% el C; un 2% A y B; un 0.5% A y C; un 1% B y C; y un 0.2% presentan los tres defectos. Se elige al azar una pieza. Calcular:

a) Probabilidad de que no tenga ningún defecto. b) Probabilidad de que tenga a lo sumo un defecto. c) Probabilidad de que tenga exactamente dos defectos.

Solución: La situación planteada se refleja en el siguiente diagrama de Venn.

A B

C

ABC

CBA CBA

CBA CBA

CBA

CBA

CBA

E

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Los datos que se dan en el enunciado del problema son: P(A)=0.1, P(B)=0.08, P(C)=0.05 P(AB)=0.02, P(AC)=0.005, P(BC)=0.01, P(ABC)=0.002 Aplicando las reglas de la adición, podemos probabilizar cada una de las ocho zonas disjuntas que se muestran en el gráfico y que son intersecciones de tres de los sucesos A, B, C o sus complementarios. Las probabilidades de estos sucesos son: P A B C

P A B C P A B C P A B C

( ) . ,

( ) . , ( ) . , ( ) .

0 002

0 008 0 003 0 018 P A B C P A B C P A B C

P A B C

( ) . , ( ) . , ( ) .

( ) .

0 037 0 077 0 052

0 803




A partir de aquí, cualquier suceso del espacio se probabiliza usando la Regla 3 (aditividad) de la probabilidad: a)

P A B C( ) . 0 803 b)

P A B C A B C A B C A B C( ) ( ) ( ) ( )

. . . . . .

0 077 0 052 0 037 0803 0 969 c)

P A B C A B C A B C( ) ( ) ( ) . . . . 0 008 0 003 0 018 0 029




PROBABILIDAD CONDICIONADA

Cuando tenemos información parcial sobre el resultado del experimento, en términos de que el resultado está dentro de un suceso B (Ejemplo: al lanzar dos dados, la suma es mayor que 5), lo razonable es incorporar esa información y reasignar probabilidades. Algunos sucesos que en principio podían ocurrir ahora son imposibles (ejemplo: doble 1) otros ahora se convierten en seguros (si con tienen a B), otros cambian sus posibilidades, etc… Esta reasignación la denotaremos por P(./B) (Probabilidad condicionada a B).

Ejemplo: siguiendo el gráfico, si sabemos que B ha ocurrido, la nueva asignación de probabilidades deberá cumplir, entre otras cosas, P A

B P CB P D

B P D etc 0 1, , ( ), . B debe pasar a ser el suceso seguro p(B/B)=1 Los sucesos elementales, {e}, que no están en B pasan a ser imposibles p({e}/B)=0 …y dentro de B se mantienen prob. proporcionales a las originales:

p({e}/B) = p({e})/p(B)

A

D B

C E

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Definición: Si E es un experimento aleatorio y A, B son sucesos cualesquiera con P(B)>0, se define la probabilidad de A condicionada a B como:

P AB

P A BP B

( )

( ).

1.- La probabilidad condicionada satisface las Reglas 1, 2 y 3 de la probabilidad.

2.- La probabilidad condicionada que acabamos de definir realmente incorpora al modelo la información de que B ha ocurrido. Ejemplo: En el ejemplo anterior sobre piezas producidas por una planta industrial que pueden tener tres tipos de defectos A, B y C. a) Hallar la probabilidad de que una pieza no tenga el defecto B, sabiendo que tiene el defecto A.

8.01.0

02.01)A(P

)BA(P1ABP1A

BP

b) Hallar la probabilidad de que una pieza que se sa be que no tiene ninguno de los defectos A y B, tenga el defecto C.

P CA B

P A B CP A B

P A B CP A B

P A B CP A B

( )( )

( )( )

( )( )

.. .

. .1

0 0371 01 0 08 002

0 044

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REGLAS DE LA MULTIPLICACIÓN Si A y B son sucesos de un espacio muestral E con P(A)>0, P(B)>0, entonces:

BAPBPBAPA

BPAPBAP )()(,)()( En general, salvo las indeterminaciones causadas por las divisiones por 0, se tiene:

INDEPENDENCIA Un suceso A es independiente de otro B, con p(B)>0 si la información de que ha ocurrido B no altera la probabilidad de A:

.......)()...(12121

3

1

2121

n

nn AAA

APAAAPA

APAPAAAP

( )AP P AB

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Una reescritura de la definición anterior permite incluir el caso p(B)=0, y ofrece una nueva regla de multiplicación, esta vez para sucesos independientes

Si A es independiente de B, B es independiente de A, por lo que en lo sucesivo hablaremos de “dos sucesos independientes, A y B”.

Ejercicio: Comprobar que si dos sucesos A y B s on independientes, también lo son sus complementarios y cada uno de ellos con el complementario del otro. Es importante notar que la independencia entre sucesos es una propiedad de la probabilidad y no de los sucesos. Por ello no podemos dar una caracterización de la independencia que se pueda representar mediante diagramas de Venn. El concepto de independencia se generaliza a n sucesos: A1, A2, ..., An son sucesos independientes si cumplen

nrnii

APAPAPAAAP

r

iiiiii rr

,...,3,2,,...2,1,...

,....)()...(

1

2121

.

).()()( BPAPBAP

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Ejemplo: Un depósito de agua tiene dos dispositivos de seguridad, A y B, que impiden la llegada de más agua cuando ésta alcanza cierto nivel. Ambos dispositivos funcionan independientemente (en paralelo), estimándose que el dispositivo A funciona el 90% de las ocasiones y el B el 70%. Calcular:

a) La seguridad del doble dispositivo en conjunto. b) Probabilidad de que sólo funcione uno de los dispositivos. Solución: Llamaremos A al suceo “salta el dispositivo A” y B a “salta el dispositivo B” a) La seguridad del dispositivo en conjunto es la probabilidad de que funcione alguno de los dos dispositivos (AB), es decir

97.063.07.09.0)B(P)A(P)B(P)A(P)BA(P)B(P)A(P)BA(P b) 34.063.07.063.09.0)BA(P)B(P)BA(P)A(P)BA()BA(P

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REGLA DE LAS PROBABILIDADES TOTALES

A1, A2, ..., An sucesos que forman una partición de E:

En determinados experimentos aleatorios pode mos distinguir “fases” o etapas sucesivas, de forma que el resultado de cada fase determina las probabilidades en la fase siguiente. Se conocen las probabilidades en cada fase: - P(Ai), i=1, 2, ... (probabilidades a priori en la fase 1) - P(B/Ai), i=1, 2, ... (probabilidades condicionadas en la fase 2 conocido el resultado 1))

Combinando las dos reglas anteriores, se pueden obtener a partir de ellas: - P(B) (probabilidad incondicional en la fase 2) - P(Ai/B), i=1, 2, ... (probabilidades a posteriori en la fase 1 conocida la fase 2).

A1 A2 A3 ... An

B E

.,1

jisiAAEA ji

n

ii

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Regla de las Probabilidades Totales:

Regla de Bayes:

Ejemplo: Tres máquinas (fase 1), A, B y C, fabrican la misma pieza con una producción aceptable (fase2) del 70%, 80% y 90% respectivamente. Del total de la producción, el 40% corresponde a la máquina A, el 45% a la B y el 15% a la C.

a) Hallar la probabilidad de que una pieza elegida al azar sea aceptable. b) Hallar la probabilidad de que una pieza defectuosa proceda de la máquina A.

Solución: Utilizaremos las notaciones siguientes para los sucesos: A=piezas producidas por la máquina A; B=piezas producidas por la máquina B C=piezas producidas por la máquina C y D=piezas defectuosas.

Datos: P(A)=0.4 P(B)=0.45 P(C)=0.15, P DA P D

B P DC

0 7 08 0 9. , . , . .

( )( ) .( ) ( )

iiii

jjj

jj

BP A P AP A BAP B P A B BP A P A

( ) ( ) ( )j jjj j

BP B P A B P A P A

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Fase 1: máquina de procedencia A, B o C conocemos p(A)=0.4 P(B)=0.45 P(C)=0.15 (probabilidades a priori 1)

Fase 2: Defectuosa o No Defectuosa D, D

Conocemos P DA P D

B P DC

0 7 08 0 9. , . , . . (probabilidades condicionadas 2/1)

a) Aplicando la regla de las Probabilidades Totales:

P D P A P DA P B P D

B P C P DC( ) ( ) ( ) ( ) . . . . . . .

0 4 0 7 0 45 0 8 015 0 9 0 775

(probabilidad incondicional fase 2) b) Aplicando la Regla de Bayes:

P AD

P A P DA

P A P DA P B P D

B P C P DC

( )

( ) ( ) ( ). .

. . . . . ..0 4 0 3

0 4 0 3 0 45 0 2 015 01053333

(probabilidad a posteriori fase 1 / fase 2) Análogamente, se tiene: 06666.0

225.0015.0,4.0

225.009.0

DCPD

BP



Tema 6. Variables aleatorias. 104

a1 a2 a3 ... A an ...

p1

p3 pn

P(A)

p2

TEMA 6.- VARIABLES ALEATORIAS

- Variables aleatorias discretas. - Variables aleatorias continuas. - Parámetros poblacionales. - Desigualdad de Chebychev, tipificación,

independencia, combinaciones lineales de variables aleatorias.

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VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS La característica esencial de las variables aleatorias (v.a.) discretas es el papel crucial que juegan los sucesos elementales o conjuntos unipuntuales en la construcción de los modelos probabilísticos asociados a las mismas. Si denotamos por X a la v.a.

.1,0,...,,...,2,1,)(

,...,...,)( 1

i

iiiii

n

ppniaXPaPpaaXSoporteE

Aai

Aai

Aai

iii

paPaPAPAXP )()(

- Existen infinitos modelos posibles para probabilizar cada v.a. discreta. - La determinación del verdadero modelo por el que se rige una v.a. discreta concreta es

competencia de la Estadística Inferencial.

- En Cálculo de Probabilidades nos es dado el modelo y trabajamos con él.

- Observar el paralelismo entre las distribuciones de probabilidades discretas y las distribuciones de frecuencias para variables cualitativas y variables numéricas discretas vistas en Est. Descript.

- El modelo probabilístico aparece como límite de la distribución de frecuencias.

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Ejemplo: Por información estadística de años anteriores, se conoce que en cierta ciudad y durante el mes de julio la variable aleatoria X = número de cortes parciales de suministro eléctrico por día sigue la distribución de probabilidades:

,...2,1,0,!10)(

10

kk

ekXPk

a) Obtener la probabilidad de que determinado día se produzcan más de 21 cortes.

.001.0999.01!10)21(

22

10

k

k

keXP

b) Obtener la probabilidad de que se hayan producido exactamente 10 cortes sabiendo que se han producido menos de 15.

.137.0917.0126.0

!10

!1010

)15()10()15

10(14

0

10

1010

k

k

ke

e

XPXP

XXP

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El modelo uniforme discreto. Las v.a. con soporte finito son un caso particular de las v.a. discretas. Si, además, los posibles valores de la v.a. son todos equiprobables, tenemos: - La Regla de Laplace resulta ser una aplicación inmediata del modelo discreto general. Ejemplo: Un lote de 100 artículos contiene 10 defectuosos y los demás aceptables. a) Se elige uno al azar, cuál es la probabilidad de que sea defectuoso. Sea el suceso Ai se obtiene un defectuoso en la i-ésima extracción, i=1, 2. Al realizar la extracción al azar, todos los artículos tienen la misma probabilidad de ser elegidos: b) Se eligen dos al azar y sin remplazamiento, cuál es la probabilidad de que ambos sean defectuosos.

niaPaXPpaaEXSop

niii

n

,...,2,1,)(,...,)(

11

posiblesCasos

favorablesCasosnAnaPaPAP

Aan

Aai

Aai

iii

)()( 1

1.010010)( 1 AP

009.0999

10010)()(

1

2121

A

APAPAAP

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VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

- Son las que toman valores de forma continua en un intervalo de la recta real.

- Aquí los puntos juegan un papel irrelevante, cediendo el protagonismo a los intervalos.

- En una v.a. continua, los puntos individuales son, en teoría, observables con probabilidad 0.

- La probabilización de las v.a. continuas se realiza por medio del área encerrada bajo curvas que representan la densidad o frecuencia de aparición de observaciones en cada región de la recta.

Función de densidad:

Función de distribución:

( ) ( ) ( )x

F x p X x f x dx

- En Probabilidad estudiamos características y propiedades de diferentes modelos.

- Observa el paralelismo entre las distribuciones de probabilidades continuas (fun. de densidad), y las distribuciones de frecuencias para variables continuas, representadas a través de los histogramas.

f x x

f x dx

( ) ,

( )

0

1P A f x dx

A( ) ( )

f(x)

Función de densidad

P(A)

A

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Ejemplo: Modelo uniforme. Se llama distribución uniforme continua a la ley de probabilidad dada por una densidad constante sobre un intervalo (a, b).

f xb a

x a b

x a b( )

( , )

( , )

1

0

Bajo este modelo la probabilidad de cada intervalo depende sólo de su amplitud, y no de su posición dentro de (a,b). Es la versión continua de la Regla de Laplace, ya que refleja la equiprobabilidad de las distintas regiones infinitesimales del intervalo (a, b):

f(x)

P(A)

a A b

1b a

dxabab

AlongitudElongitudAlongitud

posiblesCasosfavorablesCasosAP

A

1)()()()(

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PARÁMETROS POBLACIONALES - El comportamiento probabilístico de una v.a. está dado por su distribución de probabilidades. - Unas pocas medidas numéricas o parámetros poblacionales resumen los aspectos más importantes de dicha distribución de probabilidades: posición, dispersión, forma, etc. - Facilitan la comparación entre modelos (distribuciones). - El desarrollo de estos resúmenes numéricos es comp letamente paralelo al hecho en Est. Descriptiva, cambiando aquí la muestra por la población, i.e., cambiando frecuencias por probabilidades. Media o Esperanza Matemática. Se representa con =EX y es el promedio ponderado de los valores del soporte de la variable teniendo en cuenta la probabilidad o la densidad de aparición de cada uno de ellos. Corresponde a la idea de centro de gravedad de la distriucíon. Caso discreto Caso continuo Recorrido o soporte de X: x1x2...xn.... (a,b) intervalo de la recta real. Probabilidad o densidad: ,...2,1),( ixXPp ii f x( ) 0

Esperanza matemática: EX x pi ii

EX x f x dx( )

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Ejemplo: El número de llamadas que llegan diariamente a cierta centralita telefónica en el intervalo de tiempo de un minuto siguiente a las 10.00 horas es una v.a. X cuya ley de probabilidad esta dada por:

P X k ek

kk

( )!, , , ,... 3 3

0 1 2 (Distribución de Poisson). Entonces, el número medio de llamadas que llegan en dicho intervalo es:

EX kP X k ke

ke

ke

je e

k

k

k

k

k

j

j

( )

! ( )! !.

0

3

0

31

1

3

0

3 333

31

33

3 3

0 3 6 9 12 15

0

0.04

0.08

0.12

0.16

0.2

0.24

prob.

Distribucion de probabilidades discretaFuncion de probabilidad

=3

Número de llamadas en un minuto

-3 -1 1 3

f(x)


Distribución de probabilidades continua

Desviación del corte respecto al valor objetivo

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Esperanza matemática de una función de una v.a. Si X es una v.a. y h: una función, para calcular la esperanza matemática de la v.a. Y=h(X), Eh(X), no hace falta calcular la ley de probabilidades de Y:

Caso discreto Caso continuo Recorrido o soporte de X: x1x2...xn.... (a,b) intervalo de la recta real. Probabilidad o densidad: p P X x ii i ( ), , ,...1 2 f x( ) 0

Esperanza matemática: i

ii pxhXEh )()(

dxxfxhXEh )()()( Varianza y desviación típica: medidas de la dispersión de la distribución de probabilidades en torno a la media. Caso discreto Caso continuo Recorrido o soporte de X: x1x2...xn.... (a,b) intervalo de la recta real Probabilidad o densidad: ,...2,1),( ixXPp ii f x( ) 0 Varianza: Var X E X( ) ( ) 2 2

i

ii px 22 )( 2 2

( ) ( )x f x dx

Desviación típica: DT(X)= ( )x pi ii

2

( ) ( )x f x dx2

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- La varianza se mide en las unidades de la v.a. al cuadrado, la desviación típica en las de la variable.

- La siguiente expresión es útil en algunas ocasiones: Desigualdad de Chebyshev.

Si X es una v.a. con =EX y =DT(X), entonces para cada k>0, la versión poblacional es:

Ejemplo: En un proceso de fabricación de piezas, la longitud es una v. a. con =3 cm y =0.0015 cm. Los límites de especificación son LIE=2.99 cm, LSE=3.01 cm. ¿ Qué proporción de piezas como mínimo cumple las especificaciones?. Solución:

.9775.00225.011

110015.0

01.03)01.03

)01.0301.0()01.399.2(),(

201.0

0015.0

20015.0

01.0

XPXP

XPXPLSELIEXP

El 97.75% de las piezas están dentro de los límites de especificación.

222 )()( EXXE

.,1

1,11

2

2

2

2

22

kkXP

kkXP

kkXP

kkXP

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Tipificación o estandarización de variables

1)(,0:var)(,..

ZEZXZtipificadaiableXEXavX

Independencia de variables aleatorias

X1 y X2, son independientes si lo son cualesquiera dos sucesos relacionados con cada una de ellas:

),()()()( 2121 BXPAXPBXAXP

para cualesquiera A y B. De forma análoga, la definición se generaliza a n variables aleatorias.

Combinaciones lineales de variables aleatorias

Dadas las variables aleatorias X1, X2, ..., Xn, cualquier operación realizada con ellas es una nueva v.a. Nos interesan en particular las combinaciones lineales, y saber calcular sus medias y varianzas:

En el caso de la varianza, si X1, X2, ..., Xn son v.a. independientes, entonces:

n

iii

n

iii EXaaXaaE

10

10 )(

)()(1

2

10

n

iii

n

iii XVaraXaaVar

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Tema 7. La distribución normal. 115

TEMA 7.- LA DISTRIBUCIÓN NORMAL

- Introducción. - Características numéricas. - La normal estándar. - Combinaciones lineales de v.a.

normales. - Efecto límite central.

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INTRODUCCIÓN - Es la distribución continua más importante. Introducida por Gauss (1797). - Aparece, entre otras, asociado a variables que miden características de interés de productos fabricados en serie: El proceso de producción está programado para que la característica en cuestión de cada artículo tome un valor ideal , pero distintas causas no controlables (variaciones imperceptibles en la materia prima, en la tensión eléctrica, en las condiciones ambientales,...) hacen que el valor real de la característica no sea precisamente , sino un valor más o menos próximo. - La justificación teórica del uso del modelo normal es el denominado “efecto límite central”.

2.96 2.98 3.00 3.02 3.04

Longitud de piezas

0

20

40

60

80

100

frecuencia

Histograma de frecuencias ajustado por una densidad normal

Ejemplo: A la derecha se muestran mediante un histograma las longitudes de 500 piezas elegidas al azar de la población de piezas producidas en una planta metalúrgica. El valor ideal de la longitud es 3 cm (media de la población) y la desviación típica 0.01 cm. En el gráfico se incluye también el ajuste de los datos a una distribución normal.

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Definición: Se dice que una variable aleatoria X sigue la distribución normal de parámetros ( ), R, >0, y se representa, XN(), si la distribución de probabilidades de X está dada por la función de densidad

f x e xx

( ) ,

1

2

12

2

.

-5 -3 -1 1 3 5

X

0

0.1

0.2

0.3

0.4

Funciones de densidad de leyes normales con distintas medias y varianza común

N(0,1)

N(1,1)

N(2,1)

-10 -6 -2 2 6 10

X

0

0.1

0.2

0.3

0.4

Funciones de densidad de leyes normalescon media común y distintas varianzas

N(0,1)

N(0,2)

N(0,3)

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Características numéricas de la distribución normal. Media: EX=, Mediana = Moda = Desviación típica: DT(X) = , Varianza: Var(X) = 2. Coeficiente de Asimetría=0 (independiente de y de ). Coeficiente de apuntamiento o Kurtosis = 3 (independiente de y de ). Tipificación de variables normales: Normal típica o estándar es la distribución normal de media 0 y desviación típica 1, es decir N(0,1), cuya densidad es

f x e xx( ) , 12

12

2

.

Para calcular probabilidades bajo la curva normal estándar es de gran utilidad el manejo de la función de probabilidad acumulada (función de distribución), denotada habitualmente como (x):

xxNPdtexXPxx t ,))1,0(()()(

221

21

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Esta función está tabulada y permite de forma sencilla calcular la probabilidad de cualquier intervalo:

)()()()()( abaXpbXPbXaP

Nótese que la tabla sólo contiene los valores de (x) para x>0. Para x<0 basta tener en cuenta que la simetría de la ley normal implica que (-x) =(x).

f(x)


P(a,b)

a b

F(x)

Funcion de distribución

a b

P(a,b)= (b)- (a)

(a)

(b)

0

1

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- Si X es una v.a. N(0,1) entonces: Y = X, para R, >0, se distribuye YN()

- Recíprocamente, si Y es una v.a. con distribución N(), entonces se cumple que

Y -

N( , )0 1 . - Los resultados anteriores nos permiten calcular proba bilidades asociadas a cualquier normal a partir de las tablas de la ley normal estándar.

P( < < ) P- - - - -

a X ba X b b a

Ejemplo: Se sabe que la densidad X de ciertos ladrillos cuando se hornean a 125ºC es una variable aleatoria normal con media 3.85 gr/cm3 y desviación típica 0.05 gr/cm3. Si los límites de tolerancia son (3.75 gr/cm3 , 4.00 gr/cm3), hallar el porcentaje de ladrillos que se salen de dicho intervalo. Solución:

P( .75 < < ) P.75- .85 - - .85 - .85 .75- .85

3 43 3

0 054 3

0 054 3

0 053 3

0 053 2 0 9759X

X

. . . .( ) ( ) .

es decir, el 2.41% de la producción.

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Ejemplo: Se sabe que los diámetros X de ciertas bolas de acero siguen una ley normal. Se estima que el 5% de las bolas superan 5.01 mm y, por tanto, son defectuosas por ser demasiado grandes. Análogamente, se estima que el 2.5% de las bolas tienen un diámetro por debajo de 4.99 mm y son defectuosas por ser demasiado pequeñas. Obtener la media y la distribución de X. Solución: Por los datos del problema sabemos que:

P X P X

P X P X

( . ) . .

( . ) . .

501 501 0 05

4 99 4 99 0 025

A partir de las tablas de la distribución normal obtenemos las ecuaciones:

5 01 165

4 99 196

. .

. .

Resolviendo estas ecuaciones, obtenemos: =5.00086 mm y mm .

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ESTADÍSTICA GRADO EN INGENIERÍA MECÁNICA

GRADO EN INGENIERÍA QUÍMICA


Una simple comprobación nos proporciona las probabilidades de los siguientes intervalos de frecuente aparición en Cálculo de Probabilidades y en Estadística. Si X es una v.a. N(), se tiene: P X 0 6826. P X 2 2 0 9545. P X 165 165 0 90. . . P X 2 58 2 58 0 99. . . P X 196 196 0 95. . . P X 3 3 0 9973. Ejercicio: comparar con las acotaciones obtenidas a partir de la desigualdad de Chebyshev. Combinaciones lineales de variables normales. Una propiedad característica de la normalidad es las transformaciones lineales de normales independientes resultan normales:

Si X1, ..., Xn son v.a. independientes con distribuciones X Ni i i ( , ), i n 1,..., , y a a an0 1, ,..., son números reales cualesquiera, se tiene que

a a X a X Nn n0 1 1 ... ( , ) donde a a an n0 1 1 ... y 222

121

2221

21

2 ... nnnn aaaa Si X1, ..., Xn son v.a. dependientes, una combinación lineal puede no resultar Normal

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Tema 8. El proceso de Bernoulli y sus distribuciones asociadas 130

Distribución Binomial:

Es frecuente que nuestro interés se centre en conocer cuántos Éxitos han ocurrido en un número determinado de ensayos:

- Número de artículos defectuosos en una muestra de n artículos. - Número de clientes que adquieren un producto de entre los n que entraron en el establecimiento. - Número de siniestros entre los suscriptores de una póliza de seguro de vida.

El comportamiento probabilístico de todas estas variables es el de la variable

X= Número de Éxitos en n ensayos. Definición: Se dice que una variable aleatoria X sigue la distribución binomial de parámetros n y p, con n número natural y 0 < p < 1, y se representa si su distribución de probabilidades es:

....,,2,1,0,)1()( nkppkn

kXP knk

Notar que: a) La probabilidad de cualquier secuencia de n ensayos con k veces E y n-k veces F es, por la independencia de los ensayos, b) El número de secuencias distintas de E y F que se pueden formar con k E’s y n-k F’s es

. k)!-(nk!

n!=

kn

),( pnbX

knk qppppqpqEFEFEEP ...),...,,,,,(




En particular, si X 1, ..., Xn son v.a. independientes con distribución X Ni i i ( , ), i n 1,..., , se tiene:

X Nii

n

ii

n

ii

n

1 1

2

1 , ,

por lo que se dice que la ley normal es reproductiva respecto a los parámetros y . Si, además, X1, ..., Xn son v.a. independientes e igualmente distribuidas X Ni , , i n 1,..., :

X N n nii

n

1

2 , , o bien

X n

nN

ii

n

1 0 1

( , ) .

De especial interés en Estadística es el estudio de la distribución del promedio de variables normales independientes e igualmente distribuidas:

X X Nnn i

i

n

1

1

, , o bien n X N

( , )0 1 .

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Ejemplo: Una máquina automática llena cajas de detergente en polvo. El contenido envasado por caja es una v.a. con ley N(4 Kg, 0.0125 Kg), con independencia entre las distintas cajas. Las cajas se empaquetan en lotes de 4 cajas. Hallar la probabilidad de que un lote contenga menos de 15.950 Kg. Solución: Llamemos Xi al contenido de la caja i, i=1,...,4, e Y= X1+...+ X4 al contenido total del lote. Sabemos que la distribución de la v.a. Y es N(16 Kg, 0.025 Kg), De manera que

P( < P- -

YY

15.95)15.95 16

0 0252 1 2 0 02275

.

. .

El efecto límite central. Con el nombre de “efecto límite central” se cono ce el hecho de que cuando una variable X es el resultado de la contribución de muchas causas X i i n 1,..., , que actúan independientemente y que cada una de ellas tiene una contribución pequeña en el valor final de la variable, el modelo normal suele ser un patrón razonable para el comportamiento de dicha variable. La justificación matemática de este hecho se sustenta en el siguiente resultado que es uno de los más importantes del Cálculo de Probabilidades:

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Teorema Central del Límite (TCL): Explica porqué la Normal aparece tanto en la naturaleza. La idea es que si una variable es el resultado de muchos pequeños efectos aleatorios cualesquiera que se acumulan, su distribución se parece a una Normal; tanto más cuanto mayor es el nº de efectos. Ejemplo: errores de medida, talla de individuos, calibre de ejes … Existen muchas versiones del TCL. Una de las más sencillas es ésta: Si X1, ..., Xn son v.a. independientes con medias i y varianzas 2

i < M i n 1,..., , cuando n

X Nii

n

ii

n

ii

naprox

1 1

2

1

.

, .

En particular, si X1, ..., Xn son v.a.i.i.d. con media y varianza comunes , 2 :

X N n nii

n aprox

1

.

, ; escrito de otra forma: X n

nN

ii

n

aprox

1 0 1

.( , ) .

La calidad de la aproximación es función del número n de variables que sumamos, pero también de las distribuciones de los sum andos. Cuanto más próximas a la normal estén estas distribuciones, podremos justificar la aproximación con valores más pequeños de n. En particular, sabemos que si las distribuciones de los sumandos son normales, la normalidad se tiene de forma exacta para cualquier n.

El T.C.L se puede expresar también en términos de los promedios de las variables:

X X Nn n ii

n

n

aprox

1

1

.

, , o bien

X Nn

n

aprox

.( , )0 1 .

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Ejemplo: Un aparato electrónico funciona con la energía que le suministra una batería que cuando se agota es sustituida instantáneamente por otra idéntica y así sucesivamente. Las distintas baterías tienen un funcionamiento independiente unas de otras. Se desconoce la ley de vida de las baterías, pero se estima que la vida media es de 8 horas con una desviación típica de 2 horas. Obtener aproximadamente la probabilidad de que con 100 baterías se pueda mantener funcionando el aparato electrónico durante un mes (30 días o 720 horas). Solución: Llamemos Xi a la duración de la batería i, i=1,...,100, e Y= X1+...+ X100 a la duración total de las 100 baterías. Aplicando el TCL se tiene que

Y X Nii

aprox

1

100

800 2 100.

,

con lo que la probabilidad pedida es , aproximadamente,

P( > P- -

YY

720)720 800

4001 4 4 1

.

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TEMA 8.- EL PROCESO DE BERNOULLI Y SUS DISTRIBUCIONES ASOCIADAS

- Introducción. - Distribución de Bernoulli. - Distribución Binomial. - Distribución Geométrica. - Distribución de Pascal.

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INTRODUCCIÓN - Multitud de fenómenos aleatorios de interés están basados en la repetición sucesivas veces y en idénticas condiciones de un experimento aleatorio elemental con dos posibles resultados que se suelen llamar Éxito y Fracaso. Este modelo se conoce como Proceso de Bernoulli. - Sirve para modelar numerosas situaciones como, por ejemplo: Muestreo de piezas que salen de una cadena de producción y que se catalogan como Defect uosas o Aceptables. Llegadas de clientes a un establecimiento comercial que pueden Adquirir o No adquirir determinado producto o servicio. Tomadores de determinada póliza de seguro de vida que pueden Fallecer o No fallecer en un año. Lanzamiento de una moneda sucesivas veces. Definición: Un Proceso de Bernoulli es la realización sucesiva de un experimento aleatorio con las siguientes características: 1.-El experimento aleatorio, denominado ensayo de Bernoulli, tiene dos posibles resultados {E, F}. 2.-La probabilidad de Éxito p (y la de Fracaso 1-p = q) permanece constante a lo largo del proceso. 3.-Los ensayos son independientes unos de otros. Los resultados o trayectorias del proceso son sucesiones de Éxitos y Fracasos del tipo,

E, E, F, E, F, F, F, E, E,...

Nº Éxitos 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 Ensayos

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Distribución de Bernoulli:

La distribución de Bernoulli surge de asociar una variable X a cada ensayo de modo que

Xsi sale Esi sale F

10

Definición: Se dice que X sigue la distribución de Bernoulli de parámetro p (0 < p < 1) y se representa si su distribución de probabilidades es: . En otras palabras: Características numéricas de la Distribución de Bernoulli: Media: = EX = p. Varianza: 2 = Var(X) = p (1-p). Desviación Típica: = DT(X) = . Nótese que la varianza es máxima cuando p = q = 1/2.

)( pBX pXPpXP -1=)0=( ,=)1=(

1,0,)1()( 1 xppxXP xx

)1( pp

1,0,)1()( 1 xppxXP xx

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Distribución Binomial:

Es frecuente que nuestro interés se centre en conocer cuántos Éxitos han ocurrido en un número determinado de ensayos:

- Número de artículos defectuosos en una muestra de n artículos. - Número de clientes que adquieren un producto de entre los n que entraron en el establecimiento. - Número de siniestros entre los suscriptores de una póliza de seguro de vida.

El comportamiento probabilístico de todas estas variables es el de la variable

X= Número de Éxitos en n ensayos. Definición: Se dice que una variable aleatoria X sigue la distribución binomial de parámetros n y p, con n número natural y 0 < p < 1, y se representa si su distribución de probabilidades es:

....,,2,1,0,)1()( nkppkn

kXP knk

Notar que: a) La probabilidad de cualquier secuencia de n ensayos con k veces E y n-k veces F es, por la independencia de los ensayos, b) El número de secuencias distintas de E y F que se pueden formar con k E’s y n-k F’s es

. k)!-(nk!

n!=

kn

),( pnbX

knk qppppqpqEFEFEEP ...),...,,,,,(

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He aquí la distribución binomial para n=10 y varios valores de p.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0

0.1

0.2

0.3

0.4

pr.

b(10,0.2)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

pr.

b(10,0.5)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

pr.

b(10,0.7)

Características numéricas de la distribución binomial: Media: = EX = np. Varianza: 2 = Var(X) = np(1-p). Desviación Típica: = DT(X) = . Nótese que la varianza es máxima cuando p = q = 1/2. La distribución binomial es simétrica para p=0.5. Si p<0.5 presenta asimetría positiva y si p>0.5 presenta asimetría negativa.

)1( pnp

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Cálculo de Probabilidades:

Para valores pequeños de n (n = 1, 2,..., 10), haremos el cálculo directamente. Para valores grandes de n utilizaremos distintas aproximaciones que estudiaremos más adelante. Ejemplo: Supongamos que la probabilidad de que cierta secretaria cometa algún error de tipografía es 0.4 para cada página, y que hay independencia en la elaboración de páginas distintas. Se pide: a) Hallar la probabilidad de que un escrito de 5 páginas no contenga errores de tipografía. b) Hallar la probabilidad de que en dicho escrito haya al menos 3 páginas con errores. Solución: Recorrer página por página el escrito para ver si está o no libre de errores de tipografía, es un Proceso de Bernoulli con p = 0.4. Si definimos la variable aleatoria

X = número de páginas con errores en el escrito de 5 páginas, se tiene que Por consiguiente, las probabilidades pedidas son:

.0778.06.06.04.005

=0)=(X) 550

Pa

.3174.08260.6-1=6.04.025

-6.04.015

-6.04.005

-1=2)P(X-1=3)(X) 324150

Pb

. )4.0,5(=),( bpnbX

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Aproximación binomial-normal:

Para valores de n suficientemente grandes, las probabilidades binomiales se pueden aproximar por medio de la distribución normal. Esta aproximación consiste en lo siguiente: Si X es una v.a. con distribución binomial, Xb(n,p) y n es grande, (npq>5), entonces

X npnpq

Naprox

.( , )0 1

Esta aproximación se basa en que la distribución bi nomial se puede escribir como suma de variables de Bernoulli independientes. En efecto, si Xb(n,p) entonces se puede considerar que

)(........,,, 11

pBdiiavXXconXX n

n

ii

y aplicar el Teorema Central del Límite teniendo en cuenta

que EXi = p, (Xi) = pq Así, para obtener probabilidades acerca de la distribución binomial, utilizamos el razonamiento siguiente:

.-----P)<<P(

npqnpa

npqnpb

npqnpb

npqnpX

npqnpabXa

Para valores pequeños de p ó q será viable la utilización de otra aproximación (aproximación binomial-Poisson) que, de alguna manera, es complementaria de la aproximación binomial-normal.

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Corrección por continuidad:

Al aproximar una distribución discreta por una c ontinua obtenemos las mismas aproximaciones para probabilidades como P(a X b) y P(a < X < b) que pueden ser diferentes al ser X discreta y también obtendríamos P(X = a) = 0 para los elementos del espacio muestral. Para evitar estos problemas se emplea la denomin ada corrección por continuidad que consiste en asignar al valor entero a el intervalo (a - 0.5, a + 0.5). Como la distribución binomial asigna probabilidades positivas a los números enteros se trata de restar o sumar 0.5 a los extremos de los intervalos según que sean extremos abiertos o cerrados para que los valores enteros en el intervalo sean los mismos antes y después de hacer la corrección. Así, por ejemplo:

npqnpa

npqnpa

npqnpa

npqnpX

npqnpaPaXaPaXP 5.05.05.05.05.05.0)(

npqnpa

npqnpb

npqnpb

npqnpX

npqnpaPbXaPbXaP 5.05.05.05.05.05.0)(

npqnpa

npqnpb

npqnpb

npqnpX

npqnpaPbXaPbXaP 5.05.05.05.05.05.0)(

La corrección por continuidad mejora las aproximaci ones y es conveniente utilizarla, especialmente para valores de n no muy elevados.

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Ejemplo: La tasa de artículos defectuosos producidos por una cadena de producción es del 2%. a) Hallar la probabilidad de que en una muestra de 500 artículos extraídos al azar e independientemente haya más de 20 defectuosos. b) Hallar el tamaño que tiene que tener una muestra para que la probabilidad de que haya al menos 10 artículos defectuosos sea mayor que 0.95. Solución: El muestreo de artículos en la cadena de producción se puede asimilar a un Proceso de Bernoulli de parámetro p = 0.02. Por tanto, la variable aleatoria

X = Número de artículos defectuosos en una muestra de tamaño n sigue una distribución binomial, b(n,p), con p = 0.02. a) En este caso luego usando la aproximación binomial-normal

.0004.0)35.3(18.9

105.02018.9

105.020)5.020()20(

npqnpXPXPXP

b) El tamaño de la muestra, n, es la incógnita en esta ocasión y, por tanto, no sabemos de antemano si npq >5. La forma de proceder en estos casos es utilizar la aproximación, obtener el valor de n y ver posteriormente si estaba justificado o no el uso de dicha aproximación. Buscamos n tal que

95.00196.0

02.05.01010196.0

02.05.010)5.010()10(

nn

nn

npqnpXPXPXP

.05.00196.0

02.05.010

nn

58.9),02.0,500( npqbX

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Del interior de las tablas de la normal típica, obtenemos

.65.10196.0

02.05.010

n

n

Planteamos una ecuación con la igualdad, y con ello obtenemos el tamaño de muestra mínimo que garantiza la probabilidad 0.95 pedida. Con valores de n superiores también se supera, por supuesto, la probabilidad 0.95.

nn 0196.065.102.05.010 22

025.90433361.00004.0 2 nn

29.28111.802

0004.0225.900004.04433361.04333361.0 2

n .

Una simple comprobación nos muestra que la solución del problema es n>802.11, es decir, n803. La otra solución de la ecuación corresponde a la solución de la inecuación con el valor +1.65 en el lado derecho. Para finalizar debemos hacer la comprobación: npq = 15.7388 > 5, lo que valida la aproximación.

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Ejemplo: Un comerciante recibe artículos de un proveedor quien le anuncia que la tasa de artículos defectuosos es inferior al 3%, cantidad que, de ser cierta, el comerciante considera razonable. Para cerciorarse de la validez de la afirmación del proveedor, el comerciante somete a un control exhaustivo una muestra de 200 artículos elegidos al azar e independientemente y adopta la siguiente regla de decisión: Si aparecen 5 ó más artículos defectuosos en la muestra, cancela el pedido; en caso contrario confirma el pedido. a) Hallar la probabilidad de que un lote correcto (tasa<3%) sea rechazado por el control. b) Hallar la probabilidad de no rechazar un lote con un tasa del 4% de defectuosos. Solución: La inspección artículo por artículo es un proceso de Bernoulli con p = tasa de defectos. La variable aleatoria de interés es:

X = Número de artículos defectuosos entre 200 inspeccionados. Sabemos que su distribución de probabilidades es a) Pongámonos en el caso extremo p = 0.03. En caso de que p < 0.03, la probabilidad pedida será menor que la que obtengamos en el supuesto p = 0.03. Es decir, vamos a obtener el máximo de las probabilidades de rechazar el lote para los distintos valores de p que no cumplen las especificaciones del proveedor. Por tanto , y está justificado el uso de la aproximación binomial-normal para obtener la probabilidad pedida:

.73.0)6217.0(182.5

65.05182.5

65.05)5.05()5(

npqnpXPXPXP

).,200(),( pbpnbX

582.5),03.0,200(),( npqbpnbX

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Tachado




b) Supongamos ahora que la tasa de defectos fuese del 4%, entonces tenemos que

568.7),04.0,200(),( npqbpnbX y por tanto:

.104.0)26.1(68.7

85.0468.7

85.04)5.04()4(

npqnpXPXPXP

Este problema se puede enmarcar dentro de lo que llamaremos Contraste de Hipótesis que estudiaremos más adelante. Se han establecido dos hipótesis sobre el modelo de probabilidad desconocido para la población de artículos: Una es que se cumplen las especificaciones del fabricante (p0.03) y la otra alternativa es que no se cumplen (p>0.03). Para decidir sobre cuál de ellas es la válida se construye una regla de decisión basada en la información obtenida a partir de una muestra aleatoria de artículos de la población. En este caso, la regla de decisión es: Creemos las especificaciones del fabricante siempre que salgan menos de 5 artículos defectuosos en una muestra de 200; si, por el contrario, salen 5 o más, concluimos que el fabricante está equivocado. Lógicamente, cualquier regla de decisión de esta naturaleza, puede estar sujeta a dos tipos de errores: Creer las especificaciones del fabricante cuando no sean correctas (apartado b) y no creerlas cuando sean correctas (apartado a). La calidad de una regla de decisión estadística dependerá, lógicamente, de que las probabilidades de cometer estos errores sean lo más pequeñas que sea posible.

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Distribución Geométrica:

En ocasiones, nuestro interés en un Proceso de Bernoulli radica en conocer cuántos ensayos transcurren hasta que se produce el primer Éxito:

- Número de artículos inspeccionados hasta que aparece el primer Defectuoso. - Número de declaraciones auditadas por un inspector hasta que aparece la primera fraudulenta. - Número de clientes que se informan de determinado producto hasta que uno lo adquiere.

En general, se trata de estudiar la variable aleatoria

X = Número de ensayos realizados hasta que aparece el primer Éxito. Definición: Se dice que una variable aleatoria X sigue la distribución geométrica de parámetro p, con 0 < p < 1, y se representa si su distribución de probabilidades es:

,...2,1para,,,,,)( 1 kpqpqqqEFFFPkXP k La independencia entre los ensayos hace que también tengan distribución )( pg las variables

Y = Número de ensayos realizados desde el ensayo nº i hasta que aparece el primer E Z= Número de ensayos que transcurren desde el Éxito nº i hasta el nº i+1,

)( pgX

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Falta de memoria de la ley geométrica.

Definición: Se dice que una v.a. X tiene la propiedad de “falta de memoria” (o “pérdida de memoria”) si cumple

nXPkXnkXP

La ley geométrica tiene esta propiedad ya que

nXPq

qq

pq

pqkXP

nkXPkX

nkXP nk

nk

kii

nkii

11

11

Puede demostrarse además que es la única ley con espacio muestral k=1, 2,… que tiene esta propiedad. La interpretación es clara: La probabilidad de que transcurran n ensayos sin aparecer un Éxito no cambia con la información de que en los k ensayos precedentes tampoco había aparecido el Éxito. El motivo es, obviamente, la independencia entre los ensayos. Características numéricas de la Distribución geométrica:

Media: = EX = 1/p. Varianza: 2 = Var(X) = q/p2.

Desviación Típica: = DT(X) = .2pq Nótese que la media es inversamente proporcional a la probabilidad de Éxito.

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Distribución de Pascal:

Una generalización natural de la ley geométrica surge de estudiar cuántos ensayos transcurren hasta que se produce el Éxito número r:

- Número de artículos inspeccionados hasta que aparecen r Defectuosos. - Número de declaraciones de I.V.A. auditadas por un inspector hasta que aparecen r fraudulentas. - Nº de clientes que se informan de un producto hasta que se adquieren las r unidades disponibles.

En general, se trata de estudiar la variable aleatoria

X = Número de ensayos realizados hasta que aparece el r-ésimo Éxito. Definición: Se dice que una variable aleatoria X sigue la distribución de Pascal de parámetros r y p, con r entero positivo y 0 < p < 1, y se representa si su distribución de probabilidades es:

P X kkr

p p k r r rr k r( ) ( ) , , , , ...

11

1 1 2

La independencia entre los ensayos hace que también tengan distribución P(r, p) las variables

Y = Número de ensayos realizados desde el ensayo nº i hasta que aparece r-ésimo E Z= Número de ensayos que transcurren desde el Éxito nº i hasta el nº i+r.

Además obviamente g(p) es equivalente a P(1, p).

)(r, pPX

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Cálculo de Probabilidades: Las probabilidades de la distribución de Pascal no s on fáciles de obtener directamente pero se pueden obtener a partir de una distribución binomial como sigue: Supongamos que tenemos una v.a. X con distribución de Pascal, XP(r,p), es decir, X se puede representar en un proceso de Bernoulli como

X = Número de ensayos hasta el r-ésimo Éxito. Supongamos que deseamos obtener la probabilidad

.)1(11

)(1

nk

rkr pprk

nXP

Una forma alternativa a resolver dicho sumatorio es definir la variable aleatoria

Y = Número de Éxitos en n ensayos Que, como sabemos, tiene distribución binomial b(n,p). Como es equivalente decir que el Éxito número r tarda más de n ensayos en ocurrir, P(X > n), y que decir que en n ensayos ocurren como mucho r-1 Éxitos, P(Y r-1), tenemos que

P X n P Y rnk

p pk n k

k

r

( ) ( ) ( )

1 10

1

con lo que podemos utilizar todos los procedimientos disponibles para la distribución binomial a la hora de calcular probabilidades para la distribución de Pascal.

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Características numéricas de la Distribución de Pascal:

Media: = EX = r/p. Varianza: 2 = Var(X) = rq/p2.

Desviación Típica: = DT(X) = .2prq Media y varianza son el resultado de multiplicar por r la media y la varianza de la distribución geométrica. El número medio de ensayos hasta el éxito r es proporcional al número de éxitos buscado. Ejemplo: En cierta factoría de montaje en serie se estima que el 30% de los días de trabajo se produce algún paro parcial por averías menores y se supone que hay independencia entre lo que ocurre en días distintos. Cada vez que se acumulan tres días con paros parciales, la empresa decide hacer un paro total para poner a punto el sistema. Obtener la probabilidad de que transcurran más de 10 días sin producirse un paro total. Solución: Analizar día a día si se ha producido o no algún paro parcial es un Proceso de Bernoulli de parámetro p = 0.3. Si definimos la v.a. X = Número de días que transcurren hasta el tercero con paros parciales, tenemos que esta variable sigue la distribución de Pascal P(3,0.3). Si consideramos Y = Número de Éxitos en 10 ensayos, tenemos que Y sigue la ley b(10,0.3) y la probabilidad pedida es

.3828.07.03.010

)2()10(2

0

10

k

kk

kYPXP

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Tema 9. El proceso de Poisson y sus distribuciones asociadas 144

TEMA 9.- EL PROCESO DE POISSON Y SUS DISTRIBUCIONES ASOCIADAS

- El proceso de Poisson - Distribución de Poisson. - Distribución exponencial. - Distribución Gamma.

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El proceso de Poisson

El Proceso de Poisson se puede contemplar como una generalización por continuidad del Proceso de Bernoulli. Un Proceso de Bernoulli se puede entender como la aparición a lo largo del tiempo de sucesos (Éxitos) que pueden ocurrir solo en tiempos que son múltiplos de una cantidad fija. La generalización por continuidad consiste en permitir que los sucesos ocurran de manera continua a lo largo del tiempo.

Sucesos 4 3 2 1 0 x1 x2 x3 x4 ... Tiempo

Aunque el soporte más común del Proceso de Poisson es el tiempo, el modelo sirve en general para la aparición de sucesos sobre otros soportes continuos como la longitud, superficie, volumen... Ejemplos de fenómenos aleatorios que se pueden modelar como un proceso de Poisson:

- Llegada de llamadas a una centralita telefónica a lo largo de un periodo de tiempo. - Ocurrencia de accidentes de tráfico en un cruce de carreteras durante un periodo de tiempo. - Emisión de partículas a lo largo del tiempo por un cuerpo radiactivo. - Aparición de defectos de aislamiento en un cable eléctrico a lo largo de su longitud. - Aparición de agujeros en láminas metálicas de poco espesor a lo largo de su superficie. - Aparición de partículas en suspensión en una solución acuosa a lo largo de su volumen, etc.

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Definición: Un Proceso de Poisson es la aparición aleatoria de sucesos a lo largo del tiempo obedeciendo a las siguientes pautas: 1.- En un intervalo de tiempo de longitud diferencial t, t+t) sólo se puede producir a lo sumo un suceso. 2.- El número medio de sucesos por unidad de tiempo, , denominado tasa del proceso, se mantiene constante a lo largo del tiempo. 3.- El número de sucesos que ocurren en intervalos de tiempo disjuntos son variables aleatorias independientes. El Proceso de Poisson lleva asociadas diversas distribuciones de probabilidades correspondientes a diversas variables de interés: Número de sucesos ocurridos en un intervalo de tiempo, Tiempo de espera del primer suceso, Tiempo de espera del r-ésimo suceso.

Distribución de Poisson:

Definición: Se dice que una variable aleatoria X sigue la distribución de Poisson de parámetro > 0), y se representa

X ( ) si su distribución de probabilidades es:

P X k ek

kk

( )!

, , , , ,... 0 1 2 3

Para valores se dispone de una tabla con las probabilidades acumuladas.

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De este modo, X = Nº de sucesos ocurridos en un intervalo de tiempo de longitud t es una variable aleatoria con distribución de Poisson cuyo parámetro es la tasa del proceso por la longitud del intervalo:

X t( ) .

En un intervalo de tiempo de longitud unitaria, la distribución del número de sucesos ocurridos es de Poisson con parámetro igual a la tasa del proceso. Los gráficos siguientes muestran distintas distribuciones de Poisson para diferentes valores del parámetro .

0 5 10 15 20 25

0

0.03

0.06

0.09

0.12

0.15

0.18

pr.

Distribución de Poisson(5)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

pr.

Distribución de Poisson (0.1)

0 10 20 30 40 50

0

0.02

0.04

0.06

0.08

pr.

Distribución de Poisson (25)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0

0.1

0.2

0.3

0.4

pr.

Distribución de Poisson (1)

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Ejemplo: Las llamadas que llegan a cierta centralita telefónica en determinado periodo de tiempo siguen un Proceso de Poisson de tasa 180 llamadas a la hora. La capacidad de la central telefónica permite atender un máximo de 5 llamadas por minuto. Calcular: a) La probabilidad de que en un minuto se reciban más llamadas de las que se pueden atender. b) La probabilidad de que en dos minutos se produzcan exactamente 4 llamadas. c) El número medio de minutos por hora en que la centralita podrá atender todas las llamadas. d) La probabilidad de que no se produzca saturación en ningún minuto a lo largo de una hora.

Solución: En un proceso de Poisson el número de sucesos que se producen en un intervalo de tiempo sigue la ley de Poisson con parámetro igual a la tasa del proceso ( = 180 llamadas/hora = 3 llamadas/minuto) por la longitud del intervalo. a) X = Número de llamadas que se producen en un minuto. X(t) = (31)=(3).

P X P X ek

k

k( ) ( )

!. .

5 1 5 1 3 1 0 916 0 084

3

0

5

b) X = Número de llamadas en un intervalo de 2 minutos. X(t) = (32)=(6).

134.0!46)4(

46

eXP

c) Cada minuto, observamos si se produce saturación o no (E = No saturación, F = Saturación). Si X = Número de minutos de una hora en los que no se satura la centralita,

X b(n,p) = b(60,0.916) EX = np = 600.916 = 54.96.

d) Con la variable X anterior, P X( ) . . .

60

6060

0 916 0 084 0 00560 0 .

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Características numéricas de la Distribución de Poisson:

Media: = EX = . Varianza: 2 = Var(X) = . Desviación Típica: = DT(X) = . Aproximación binomial-Poisson

Las condiciones ideales de utilización de la apr oximación binomial-Poisson son, de alguna manera, complementarias a las que permiten utilizar la aproximación binomial-normal:

Si X es una v. a. con distribución binomial, Xb(n,p) con n grande, p pequeño (p < 0.1) y np “moderado” 1 < np < 10, entonces se tiene:

X b n p con np ( , ) ( ) .

La aproximación es igualmente aplicable para valores grandes de p (p > 0.9). Se trata simplemente de intercambiar el papel del Éxito y el Fracaso.

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Ejemplo: Un auditor sospecha que en un conjunto muy grande de facturas, aproximadamente el 5% son fraudulentas. a) Se extrae al azar una muestra de 50 facturas. Obtener la probabilidad de que haya más de 5 fraudulentas. b) Calcular de qué tamaño tiene que ser una muestra de facturas para que la probabilidad de contener al menos 3 facturas fraudulentas sea superior a 0.85.

Solución: Supongamos que se trata de un muestreo con reemplazamiento. Así pues, la inspección factura a factura es un Proceso de Bernoulli con probabilidad de Éxito p = 0.05.

a) Sea X = Número de facturas fraudulentas en una muestra de 50 facturas. Xb(50,0.05). Como n=50 es grande, p=0.05 < 0.1 y 1<np = 2.5<10, podemos aproximar por Poisson:

.042.0958.01!

5.2195.005.050

1)5(1)5(5

0

5.250

5

0

k

kkk

k ke

kXPXP

b) Sea X = Número de facturas fraudulentas en una muestra de n facturas.

Por las condiciones del problema, n deberá de ser un valor alto, lo cual hace pensar en utilizar de nuevo la aproximación binomial-Poisson. Ahora tenemos que utilizar las tablas a la inversa para obtener el valor de que hace que una variable aleatoria () satisfaga P(X3) 0.85. A partir de ahí, obtenemos la solución del problema utilizando que = np, es decir, n = /p. Buscaremos el menor valor de que satisface la condición pedida, lo cual nos proporciona el tamaño de muestra menor que hace que P(X3) 0.85, o, lo que es lo mismo, que P(X≤2)≤0.15.

Así, encontramos que para =5, X(5) satisface P(X≤2)=0.125. Por lo tanto n 5/0.05=100.

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Aproximación Poisson-normal

Para valores de suficientemente grandes, la distribución de Poisson se puede aproximar por medio de la distribución normal. Esta aproximación consiste en lo siguiente:

Si X es una v.a. con distribución de Poisson, X() y >5 (criterio orientativo) se tiene

X Naprox

.( , )0 1

Esta aproximación se basa en que la distribución de Poisson se puede escribir como suma de variables de Poisson independientes. En efecto, si X() entonces se puede considerar que

X X con X X v a i i dii

n

n n

11, , ..., . . . . . y aplicar el Teorema Central del Límite teniendo en

cuenta que EX Xi n i n , ( ) .

De este modo, para obtener probabilidades acerca de la distribución de Poisson, utilizamos el razonamiento siguiente:

λa-λΦ

λb-λΦ

λb-λ

λX-λ

λa-λPbXa )<<P( .

Análogamente a lo explicado en relación a la ap roximación binomial-normal, es conveniente también ahora utilizar la corrección por continuidad en los mismos términos que los descritos entonces.

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Cuadro resumen de aproximaciones

b(n,p)

n grande, p<0.1 (p>0.9) , 1<np<10

λ = np

Poisson(λ)

μ=np μ= λ npq>5 σ=(npq)1/2 σ=(λ)1/2 λ>5

N(μ, σ)

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Ejemplo: En la fabricación de determinado cable para redes eléctricas de media tensión se producen defectos de aislamiento según un proceso de Poisson de tasa = 0.5 defectos/Kilómetro. a) Obtener la probabilidad de que un rollo de cable de 5.83 Km de longitud no contenga defectos. b) Obtener la probabilidad de que una instalación de 200 Km de longitud contenga más de 75 defectos de aislamiento.

Solución:

a) Sea X = Nº de defectos en 5.83 Km de cable

X(tasa x longitud)=(0.5 x 5.83)=(2.915),

de donde

P X e e( ) .!

. ..

.

0 2 9150

0 005422 915 0

2 915 b) Sea X = Nº de defectos en 200 Km de cable

X(tasa • longitud)=(0.5 • 200)=(100),

lo que permite hacer uso de la aproximación normal:

P(X 75) P(X 75.5) PX 100100

75.5 100

100

1

75.5 10010

(2.45) 0.99286 .

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Distribución Exponencial:

En ocasiones, nuestro interés en un Proceso de Poisson radica en conocer el comportamiento probabilístico del tiempo transcurrido hasta que se produce el primer suceso: tiempo de espera hasta que se produce la primera llamada en una centralita telefónica, tiempo de espera hasta que llega un cliente a un banco, tiempo que tarda en producirse una avería en una máquina, longitud de carretera recorrida hasta que aparece un bache, superficie de un bosque recorrida hasta que se encuentra la primera planta de determinada especie, etc. En general, se trata de estudiar la variable aleatoria

X = Tiempo de espera hasta que aparece el primer suceso.

Esta variable aleatoria toma valores positivos, x > 0, y su distribución de probabilidades, denominada distribución exponencial, se define a continuación: Definición: Se dice que una variable aleatoria X sigu e la distribución exponencial de parámetro , con > 0, y se representa X e xp( ) si su distribución de probabilidades está dada por la densidad: f x e para xx( ) . 0

Es interesante notar que, si definimos las variables aleatorias:

Y = Tiempo de espera desde el instante t0 hasta el próximo suceso

Z= Tiempo de espera entre el suceso nº i y el nº i+1,

entonces Y exp y Z exp ( ) ( ) .

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Falta de memoria de la distribución exponencial

La ley exponencial es la única ley continua con valo res positivos que tiene la propiedad de “falta de memoria”. Veámoslo: si Xexp(), entonces se tiene:

.sXPλse

λte

s)λ(te

tdxλxλe

stdxλxλe

tXPstXP

tXstXP

La probabilidad de que transcurran s unidades de tiempo sin aparecer un suceso no se ve modificada por la información de que en las t unidades de tiempo precedentes no haya aparecido ningún suceso. Características numéricas de la Distribución exponencial:

Media: = EX = 1/ Varianza: 2 = Var(X) = 1/2 . Desviación Típica: = DT(X) =.1/ Nótese que la media es inversamente proporcional a la tasa de sucesos del proceso.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0

0.4

0.8

1.2

1.6

2

f(x)

Densidades exponenciales exp()

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Ejemplo: La duración de un cinescopio de televisión en horas es una v.a. X con función de densidad fX(t)=ce-ct para t0, siendo c un parámetro que depende del fabricante. a) Calcular la probabilidad de que un cinescopio dure al menos 200 horas. b) Sabiendo que un cinescopio ha durado 300 horas, calcular la probabilidad de que dure al menos 200 horas más. c) Hallar la vida media de un cinescopio y su desviación típica. d) El parámetro de cierto fabricante es c=1/10000. Obtener la duración del periodo de garantía (sustitución del cinescopio) que puede ofrecer a sus clientes si el margen de ganancias con que trabaja no le permite sustituir más del 10% de los aparatos vendidos.

Solución: Sea X v.a. la duración de un cinescopio.

a) cedttfXP 200

200

)(200

b) 200

300500

300500 200

300

500

XPeee

XPXP

XXP c

c

c

c) EX=1/c, Var(X)=1/c2, (X)=1/c.

d) Buscamos el tiempo t0 tal que 1.0 otXP :

.6.10539.0ln10000,1.01 010000/

00 horastetXP t

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Distribución Gamma (o de Erlang-r):

Una generalización natural de la ley exponencial surge de estudiar el tiempo que transcurre hasta que aparece el suceso número r: Tiempo de espera hasta que se producen r llamadas en una centralit a telefónica, tiempo de espera hasta que llegan r clientes a un banco, tiempo que tarda en producirse la r-ésima avería de una máquina, longitud de carretera recorrida hasta que aparecen r baches, superficie de un bosque recorrida hasta que se encuentra la r-ésima planta de determinada especie, etc. En general, se trata de estudiar la variable aleatoria

X = Tiempo de espera transcurrido hasta que aparece el r-ésimo suceso.

Esta variable aleatoria toma valores positivos, x > 0, según una función de densidad denominada gamma de parámetros (r,) y denotada (r,). Definición: Se dice que una variable aleatoria X sigue la distribución gamma de parámetros r, , con r un número natural positivo, y > 0, y se representa por

X r ( , ) si su distribución de probabilidades está dada por la densidad:

.0,!)1(

)( 1

xparaexrλxf xλr

r

0 3 6 9 12 15

0

0.1

0.2

0.3

0.4

f(x)

Densidades gamma con común(r,), =1

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Esta distribución de probabilidades aparece como modelo de numerosas variables aleatorias de interés en diversos campos. En particular, para valores de r naturales, la ley gamma es el modelo probabilístico del tiempo de espera del r-ésimo suceso en un Proceso de Poisson.

Análogamente a lo que ocurría con la distribución exponencial, si definimos las variables aleatorias:

Y = Tiempo de espera desde el instante t0 hasta que aparece el r-ésimo suceso posterior

Z= Tiempo de espera entre el suceso nº i y el suceso nº i+r,

se tiene que

Y r y Z r ( , ) ( , ).

Características numéricas de la Distribución gamma

Media: = EX = r/. Varianza: 2 = Var(X) = r/2 . Desviación Típica: = DT(X) = r / 2 .

Nótese que la media y la varianza son el resulta do de multiplicar por r, número de sucesos buscados, la media y la varianza de la distribución exponencial.

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Cálculo de probabilidades

Las probabilidades de la distribución gamma se pueden obtener como probabilidades de una distribución de Poisson utilizando el siguiente razonamiento: Sea X(r,), y supongamos que deseamos obtener la probabilidad

.!)1(

)( 1 dtetrλxXP

x

λtrr

.

X se puede representar como el tiempo que transcurre hasta que se produce el suceso nº r en un Proceso de Poisson de tasa . Una forma alternativa para resolver la integral anterior es definir la variable aleatoria

Y = Número de sucesos en el intervalo (0, x),

que sabemos Y (x), y que satisface P(X > x)=P(Y r-1),

pues que el suceso número r tarde más de x unidades de tiempo en ocurrir es equivalente a que en el intervalo de tiempo (0, x) ocurran como mucho r-1 sucesos. Así

P X x P Y r e xk

x k

k

r( ) ( ) ( )

!

1

0

1

Esta relación anterior presenta la ventaja de permitir la utilización de las Tablas de distribución de Poisson así como la aproximación de ésta por la ley normal.

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Ejemplo: Las averías de un dispositivo de seguridad se producen según un Proceso de Poisson de tasa 0.2 averías / día, sustituyéndose inmediatamente por otro idéntico. a) Obtener la probabilidad de que la 5ª avería tarde más de un mes en producirse. b) Si al comenzar un año se dispone de un total de 100 dispositivos, obtener la probabilidad de que sean suficientes para que el dispositivo de seguridad esté activo todo el año. Solución: a) Definimos las siguientes variables aleatorias: X = Tiempo de espera de la 5ª avería. X(r,)=(5,0.2) Y = Nº de averías en un mes. Y(t)=(0.230)=(6) Así, se tiene que

P(X>30)=P(Y4)=0.285 b) Definimos las siguientes variables aleatorias:

X = Tiempo de espera de la 100ª avería. X(r,)=(100,0.2) Y = Nº de averías en un año. Y(t)=(0.2365)=(73)

Por tanto, P(X>365)=P(Y99)=P(Y<99.5)=

PY -

99.5 - 73

73

99.5 - 73

73

(3.10) 0.9990

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