INICIO MATEMÁTICAS 1º Bachillerato Unidad 5: Vectores en...

INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD MATEMÁTICAS 1º BachilleratoUnidad 5: Vectores en el plano

ANTERIOR SALIR

7Vectores en el plano

INTERNET

LECTURA INICIAL

ESQUEMA

Los vectores nos dan información en situaciones como el sentido de avance de una barca o la dirección de un trayecto en bicicleta.

ACTIVIDAD

5


ANTERIOR SALIR

INICIO ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD

René Descartes

Busca en la web

Enlace a la biografía de René Descartes

El joven René Descartes y su ingenio se hicieron inmortales. Su idea fue transformar el lenguaje

geométrico a algebraico.

GPS

http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/mate/anecdotas/mate4c/mate4c.htm


http://concurso.cnice.mec.es/cnice2006/material121/unidad3/sat_gps.htm



ANTERIOR SALIR

Esquema de contenidos

Vectores

Vectores

Coordenadas de un vector

Operaciones

Suma

Resta

Multiplicación

Vectores paralelos

Vectores perpendiculares

Distancia entre puntos

Punto medio

Bases

Vectores l.i.

Bases

Sistema de referencia


ANTERIOR SALIR

Magnitudes escalares y vectoriales

Las magnitudes que quedan definidas mediante un único número se llaman escalares. En las magnitudes vectoriales no basta con dar un valor numérico para determinarlas, sino que necesitamos conocer su dirección y sentido.

SIGUIENTE

Son magnitudes vectoriales: la velocidad, la fuerza, la aceleración, el desplazamiento, el peso, intensidad del campo magnético, …Son magnitudes escalares: la masa, la distancia, el tiempo, la temperatura, la energía, la densidad, el calor, el volumen, la potencia, ...

Una magnitud cuya determinación exige el conocimiento de un valor numérico (módulo), una dirección y un sentido es un VECTOR


ANTERIOR SALIR

Vectores: definición

Mismo módulo

Misma dirección

Mismo sentido

Geométricamente un vector es un segmento orientado y queda determinado por dos puntos del plano, A y B, y el orden de estos. El primero de los puntos se llama origen y el segundo es el extremo, y se escribe:

SIGUIENTE

A

BAB

dirección

AB


ANTERIOR SALIR


Elementos:

Módulo: es la longitud del segmento AB. Se denota

A

BAB

dirección

Mismo módulo

Misma dirección

Mismo sentido

SIGUIENTE


AB

∣⃗AB∣ = d (A ,B )


ANTERIOR SALIR


Elementos:


Dirección: es la recta sobre la que está situado el vector. Dos vectores tienen la misma dirección si están situados sobre la misma recta o sobre rectas paralelas.

∣⃗AB∣ = d (A ,B )

A

BAB

dirección

Mismo módulo

Misma dirección

Mismo sentido

SIGUIENTE


AB


ANTERIOR SALIR


Elementos:


Dirección: es la recta sobre la que esta situado el vector. Dos vectores tienen la misma dirección si están situados sobre la misma recta o sobre rectas paralelas.

Sentido: es la forma de recorrer el vector, es decir, fijando cuál de los puntos es el origen y cuál es el extremo.

A

BAB

dirección

Mismo módulo

Misma dirección

Mismo sentido

SIGUIENTE

Dos vectores son equivalentes (equipolentes) cuando tienen el mismo módulo, dirección y sentido


AB

∣⃗AB∣ = d (A ,B )


ANTERIOR SALIR

Para sumar dos vectores, se toma el primero de ellos y con origen en su extremo ponemos un vector equivalente al segundo.

La suma es otro vector que tiene como origen el origen de y el extremo de .

Operaciones con vectores gráficamente: suma (método de la poligonal)

),( 21 uuu =

),( 21 vvv =

u

v

u

v

SIGUIENTE

uv

u

v


ANTERIOR SALIR

El método del paralelogramo permite sumar dos vectores de manera sencilla. Consiste en colocar los dos vectores en el origen, de manera que los dos vectores inicien en el mismo punto. Los dos vectores forman dos lados adyacentes del paralelogramo. Los otros lados se construyen trazando lineas paralelas a los vectores opuestos de igual longitud.

El vector suma resultante se representa mediante un segmento de recta dado por la diagonal del paralelogramo, partiendo del origen en el que se unen los vectores hasta la intersección de las paralelas trazadas.

Operaciones con vectores gráficamente : suma. (Método del paralelogramo)

SIGUIENTE

uv

u

v


ANTERIOR SALIR

Operaciones con vectores gráficamente : Multiplicación de un vector por un número

),( 21 uuu =

u

Para multiplicar un vector por un número real k se multiplica el módulo del vector por el número real, y se mantienen el origen y la dirección del vector. El sentido será igual si k es positivo, y de sentido contrario, si k es negativo.

u

k⋅u , k0

k⋅u , k0

u 2⋅u

u

u

u

−2⋅u⃗


ANTERIOR SALIR

Operaciones con vectores gráficamente: vector opuesto y vector nulo

El vector nulo , es un vector de módulo cero, sin dirección ni sentido.

Se cumple que : u−u=0

u−1⋅u , k=−1

−u

El opuesto de un vector otro vector la misma dirección y módulo, pero con sentido contrario.


ANTERIOR SALIR

Operaciones con vectores gráficamente: resta

),( 21 uuu =

),( 21 vvv =

Para restar dos vectores, se toman vectores equivalentes a ambos que tengan el mismo origen, siendo la diferencia el vector que tiene el origen en el extremo de y el extremo en el extremo de .u

v

SIGUIENTE

v

uu

v

−v

u−v=u−v

u−v


ANTERIOR SALIR

Operaciones con vectores gráficamente: resta

),( 21 uuu =

),( 21 vvv =


v

SIGUIENTE

v

uv

u

u−v


ANTERIOR SALIR

Combinación lineal de vectores (gráficamente)

➔Dos vectores con la misma dirección son l.d.

➔Si tienen distinta dirección, son l.i.

➔Cualquier vector del plano se puede poner como c.l. de dos vectores l.i.:

Dados dos vectores , llamamos combinación lineal de al vectoru y v u y v uv ,∈ℝ

Un vector es c.l. de otros dos vectores , si existen dos números reales, , tales que .u y vw y

w=uvUn conjunto de vectores son linealmente dependientes si alguno de ellos se puede expresar como c.l. de los demás. En caso contrario, decimos que son linealmente independientes.

u

v

u

v

O

w


ANTERIOR SALIR

Combinación lineal de dos vectores (Gráficamente)


ANTERIOR SALIR

Bases. Sistema de referencia. Coordenadas de un vector.

u y v

B={u ,v }

Dos vectores forman una base en el plano si son linealmente independientes, y cualquier vector se puede expresar como combinación lineal de los vectores de la base. Se representa por:

w⃗=O⃗P=a u⃗+b v⃗ a ,b∈ℝ

Un sistema de referencia en el plano , está formado por un punto fijo O

y una base B. Se representa: . R={O ,[u ,v ]}

u

v

a u

bv

O

w

i

j

Sistema de referencia cartesiano: a cada punto P se le asocia un vector OP.

P

OP

O

w= OP=5i3j a=5,b=3∈ℝ

R={O ,[i ,j ]}Es una base ortonormal porque sus vectores son perpendiculares, tienen módulo uno y cualquier vector se puede poner como combinación lineal de ellos

Los números a y b, → (a,b) son la coordenadas de respecto a la base B.w⃗


ANTERIOR SALIR

Coordenadas de un vector en un sistema de referencia cartesiano. Vectores paralelos.

∣AB∣=52−3 2=34=5, 83

En el sistema de referencia cartesiano, un vector, definido por dos puntos A y B, se puede identificar mediante un par de coordenadas y se calculan a partir de las coordenadas de los puntos A y B.

Las coordenadas del vector son las coordenadas del punto extremo menos las del punto origen.

A−1 ,1 B 4 ,−2 }AB=4−−1 ,−2−1 =5,−3

Dos vectores son paralelos cuando tienen la misma dirección. En coordenadas: u=u1,u2 y v=v1, v2 son paralelos si

u1

v1

=u2

v2

A⃗BA a1,a2 y B b1,b2 v=v1, v2=b1−a1,b2−a2

∣⃗AB∣=√(v1)2+(v2)

2

u 2⋅u


ANTERIOR SALIR

Para sumar dos vectores, se toma el primero de ellos y con origen en su extremo ponemos un vector equivalente al segundo.

La suma es el vector que tiene como origen el origen de y el extremo de .

Operaciones con coordenadas de vectores: suma (método de la poligonal)

En coordenadas el vector suma se calcula sumando coordenada a coordenada.

),( 21 uuu =

),( 21 vvv =

),(),(),( 22112121 vuvuvvuuvu ++=+=+

u

v

u

v

SIGUIENTE

uv

u

v


ANTERIOR SALIR

Operaciones con coordenadas de vectores: resta

),( 21 uuu =

),( 21 vvv =

),(),(),( 22112121 vuvuvvuuvu −−=−=−


v

SIGUIENTE

v

uu

v

−v

u−v=u−v

En coordenadas el vector resta se calcula restando coordenada a coordenada.

u−v


ANTERIOR SALIR

Operaciones con coordenadas de vectores: resta

),( 21 uuu =

),( 21 vvv =

),(),(),( 22112121 vuvuvvuuvu −−=−=−


v

SIGUIENTE

v

u

En coordenadas el vector resta se calcula restando coordenada a coordenada.

v

u

u−v


ANTERIOR SALIR

Operaciones con coordenadas de vectores: Multiplicación de un vector por un número

En coordenadas el producto de un número por un vector se calcula multiplicando cada coordenada por el número k.

),( 21 uuu =

k⋅u=k⋅u1 , u2 =k⋅u1 , k⋅u2

u

Para multiplicar un vector por un número real k se multiplica el módulo del vector por el número real, y se mantienen el origen y la dirección del vector. El sentido será igual si k es positivo, y de sentido contrario, si k es negativo.

u

k⋅u , k0

k⋅u , k0

u 2⋅u

u

u


ANTERIOR SALIR

Operaciones con coordenadas de vectores: vector opuesto y vector nulo

),( 21 uuu = −u=−1⋅u1 , u2 =−u1 ,−u2

El vector nulo , es un vector de módulo cero, sin dirección ni sentido.

Se cumple que : u−u=0

u−1⋅u , k=−1

−u

El opuesto de un vector es otro vector la misma dirección y módulo, pero con sentido contrario.

En coordenadas:


ANTERIOR SALIR

Operaciones con coordenadas

u⃗=(5,1) v⃗=(−1,4)

Dados los vectores:

w⃗=3 u⃗+2 v⃗=3⋅(5,1)+2⋅(−1,4)

Realiza la siguiente operación:

Aplicando las operaciones con coordenadas, multiplicación de un vector por un número y, suma de vectores:

w=3u2v

w=3u2v

w⃗=3⋅(5,1)+2⋅(−1,4)=(15,3)+(−2,8)

w⃗=(15,3)+(−2,8)=(13,11)

Gráficamente -------------->


ANTERIOR SALIR

Combinación lineal de vectores

u=5,1 v=−1,4 w=13,11

Calcula para que se verifique que: y

w=uv13,11=⋅5,1⋅−1,4

1º Expresamos la combinación lineal:

2º Igualamos las coordenadas y se obtiene un sistema de ecuaciones:

13=5−11=4 } 52=20−4

11= 4 }63=21=

6321=3

11=34=84=2

w=3u2v

w=uv , ,∈ℝ


ANTERIOR SALIR

Producto escalar

Se llama producto escalar de dos vectores , y se escribe , al número que resulta de multiplicar sus módulos por el coseno del ángulo que forman

u⋅v=∣u∣⋅∣v∣⋅cos

u y v u⋅v

u⋅v=u1⋅v1u2⋅v2

u⋅v=v⋅u

uv ⋅w=u⋅wv⋅w

Si u⋅v=0 cos=0=90ºu⊥v

1. El producto escalar de dos vectores no nulos es cero solo si los vectores son perpendiculares:

2.El producto escalar de un vector por sí mismo es el cuadrado de su módulo:

3.El producto escalar es conmutativo:

4.El producto escalar es distributivo:

5.Expresión en coordenadas del producto escalar:

6.El producto escalar de dos vectores es negativo cuando el ángulo que forman es obtuso.

u⋅v=∣u∣⋅∣v '∣= ∣u∣⋅ proyección de v sobre u

cos=∣v '∣∣v∣∣v '∣=∣v∣cos

u⃗⋅⃗u=∣⃗u∣⋅∣⃗u∣⋅cos0º=∣⃗u∣2

u⃗⋅⃗v=∣⃗u∣⋅∣⃗v∣⋅cos (̂⃗u , v⃗)<0


ANTERIOR SALIR

cos =u1

∣u∣sen =

u2

∣u∣

u⋅v=u1⋅v1u2⋅v2=∣u∣⋅cos ⋅v1∣u∣⋅sen⋅v2==∣u∣v1⋅cosv2⋅sen=

cos =v1

∣v∣ sen =v2

∣v∣

u⋅v=∣u∣∣v∣⋅cos⋅cos ∣v∣⋅sen ⋅sen =

u⋅v=∣u∣⋅∣v∣cos⋅cos sen ⋅sen =

u⋅v=∣u∣⋅∣v∣coscoscos −sen sen sen sen cos cos sen =

u⋅v=∣u∣⋅∣v∣ cos cos cos−cos sen sensen sen cossen cos sen =

u⋅v=∣u∣⋅∣v∣ cos2 cos−cos sen sensen sencos sen2

cos =

u⋅v=∣u∣⋅∣v∣ cos2 cossen2 cos =

u⋅v=∣u∣⋅∣v∣⋅cos cos2sen2

= u⋅v=∣u∣⋅∣v∣⋅cos

Demostración fórmulas producto escalar

1


ANTERIOR SALIR

Demostración fórmulas producto escalar

Expresamos los vectores en la base canónica B={i ,j }

u=u1,u2=u1⋅iu2⋅j

v=v1, v2=v1⋅iv2⋅j

u⋅v=u1⋅iu2⋅j ⋅v1⋅iv2⋅j

u⋅v=u1⋅v1⋅i⋅i1

u1⋅v2⋅ i⋅j0 pues i ⊥j

u2⋅v1⋅ j⋅i0 pues i ⊥j

u2⋅v2⋅j⋅j1

u⋅v=u1⋅v1u2⋅v2

i=1,0 j=0,1

i

j


ANTERIOR SALIR

Aplicaciones: Ángulo entre dos vectores. Vectores perpendiculares.

u⋅v=∣u∣⋅∣v∣⋅cos cos=u⋅v∣u∣⋅∣v∣

cos=u1⋅v1u2⋅v2

u12u2

2⋅v1

2v2

2

u

v

Considerando la expresión del producto escalar:

u

v

Un vector perpendicular a

u⋅v=a⋅−bb⋅a=−abba=0cos=0=90ºu⊥v

u=a ,b es v=−b ,a

Permutamos las Coordenadas y le

Cambiamos el signo a una

2. CÓMO SE CALCULA UN VECTOR PERPENDICULAR A UNO DADO

1. CÓMO SE CALCULA EL ÁNGULO QUE FORMAN DOS VECTORES, EXPRESADOS EN COORDENADAS:

Puede ocurrir que :{cosα>0→ángulo agudocosα<0→ángulo obtusocosα=0→ángulo recto

Ya podemos calcular el valor del ángulo con la calculadora ...


ANTERIOR SALIR


Dos vectores son perpendiculares cuando sus direcciones forman un ángulo recto (90º).

La condición para que dos vectores cualesquiera sean perpendiculares es que la suma de los cuadrados de sus módulos sea igual al cuadrado del módulo de sus diferencias.

222vuvu

−=+

Dado un vector , un vector perpendicular a él es:),( bau = ),( abv −=SIGUIENTE

v

u

u−v


ANTERIOR SALIR

Paralelos


Comprobamos si entre los vectores dados hay paralelos y perpendiculares.

)2,1(=u )4,2(=v )4,2(−=w

)3,4( −=t )2,4(−=q2

2

1

1

v

u

v

u =

222vuvu

−=+

Perpendiculares

SIGUIENTE


ANTERIOR SALIR

Ejemplo: Vectores perpendiculares

)2,1(=u )4,2(=v )4,2(−=w

)3,4( −=t )2,4(−=q

=→→

4

2

2

1paralelos y vu

Paralelos


2

2

1

1

v

u

v

u =

222vuvu

−=+

Perpendiculares

SIGUIENTE


ANTERIOR SALIR

Ejemplo: Vectores perpendiculares

)2,1(=u )4,2(=v )4,2(−=w

)3,4( −=t )2,4(−=q

=+=−

=+→=+−=→

=+=

→

25)0(5

52205 202)4( laresperpendicu

521

y

22

22

22

qu

q

u

qu

=→→

4

2

2

1paralelos y vu

Paralelos


2

2

1

1

v

u

v

u =

222vuvu

−=+

Perpendiculares


ANTERIOR SALIR

Vectores paralelos: condición

Dos vectores son paralelos cuando tienen la misma dirección.

2

2

1

12121

v

u

v

u )v ,(vv y )u ,(uu =→==

Si

SIGUIENTE

Por ejemplo (-2,8) es paralelo a (1,-4)

En coordenadas, dos vectores son paralelos cuando sus coordenadas son proporcionales.


ANTERIOR SALIR

Vectores paralelos: condición

Dos vectores son paralelos cuando tienen la misma dirección.

En coordenadas, dos vectores son paralelos cuando sus coordenadas son proporcionales.

Tres puntos están alineados cuando los

vectores que los determinan son paralelos:

A (a1, a2) , B (b1, b2) y

C (c1, c2) están alineados si

22

22

11

11

c

b

c

b

a

a

a

a

−−=

−−

2

2

1

12121

v

u

v

u )v ,(vv y )u ,(uu =→==

Si

SIGUIENTE


ANTERIOR SALIR

Aplicaciones: Distancia entre dos puntos

La distancia entre dos puntos del plano es la longitud del segmento que los une.

La distancia entre dos puntos del plano, A y B, es el módulo del vector que determinan.

ABBAd =),(

Es decir, si A( a1, a2) y B( b1, b2) son las coordenadas de los dos puntos, el vector es:

Y, por tanto, la distancia entre los puntos A y B se calcula:

AB= x2−x1 , y2− y1

d A ,B =∣AB∣= x2−x1 2 y2− y1

2

SIGUIENTE

A

BAB

x1, y1

x2, y2

3. CÓMO SE CALCULA LA DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS


ANTERIOR SALIR

Aplicaciones: Punto medio de un segmento

Vamos a calcular las coordenadas del punto medio de un segmento de extremos A y B.

Si A( a1, a2) y B( b1, b2) son las coordenadas de los dos puntos, el vector que determinan es:

Si M es el punto medio del vector anterior:

AB= x 2−x1 , y 2− y1

SIGUIENTE

A

BAB

x1, y1

x2, y2

M

AM=x−x1, y−y1 =12ABx−x1, y−y1 =

12x 2−x1, y2− y1

{ x−x1=12x2−x1

y− y1=12 y2−y 1

{2x−2x 1=x2−x1

2y−2y1=y 2− y1

{ x=x1x2

2

y=y 1y 2

2

x , y

4. CÓMO SE CALCULA EL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO


ANTERIOR SALIR

Aplicaciones: Punto simétrico a un punto

Vamos a calcular las coordenadas del punto simétrico de A respecto a P:

Sean A( x1,y1) y P(x2,y2)

El punto P es el punto medio de AA':

SIGUIENTE

A

A'A⃗A'

x1, y1

(x , y)

P

( x2, y2)=( x1+ x

2,y1+ y

2 )→{ x2=x1+x

2

y2=y1+ y

2

→ {x=2x2−x1

y=2y2− y1

(x 2, y2)

El punto simétrico del punto A respecto a un punto P es el punto A', que está alineado con AP y que dista de P lo mismo que P de A. El vector es el opuesto del vector .P⃗A' P⃗A

4. CÓMO SE CALCULA EL PUNTO SIMÉTRICO A UN PUNTO


ANTERIOR SALIR

Punto medio de un segmento (otro modo)

El punto medio del segmento AB, que llamamos M, es el punto del segmento que dista lo mismo de A que de B.

),(2

1),(),( BAdBMdMAd ==

AM=MB=12AB

M=A12AB

Las coordenadas de punto medio de un segmento se obtienen calculando la semisuma de las coordenadas de los extremos del segmento. Si A (x1, y1) y B (x2,y2), las coordenadas del punto medio M son:

A B

M

M x1x2

2,y1 y2

2 SIGUIENTE

por una traslación12AB el

punto A se transforma en M


ANTERIOR SALIR

Ejemplo: Ángulos y Perímetro de un triángulo dados los vértices A, B y C.

A⃗B=(−3,2)−(0,0)=(−3,2)→∣⃗AB∣=√13

A⃗C=(−2,−1)→∣⃗AC∣=√5

B⃗A=(3,−2)→∣⃗BA∣=√13

B⃗C=(1,−3)→∣⃗BC∣=√10

cosα=A⃗B⋅⃗AC∣⃗AB∣⋅∣⃗AC∣

=−3 ·(−2)+2 ·(−1)

√(−3)2+22⋅√(−2)2+(−1)2=

6−2

√13√5→α=60,26 º

cos =BA⋅BC∣BA∣⋅∣BC∣

=3 ·1−2 ·−3

32−22⋅12−3 2

=36

1310=37,87 º

=180º−−=81,87 º

PerímetroP=13510=9,00u


ANTERIOR SALIR

Ejemplo: Distancia entre dos puntos

Calcular el perímetro del pentágono de la figura.

)2,2( −A)2,3(B

)3,0(C

)2,3(−D

)2,2( −−E

SIGUIENTE


ANTERIOR SALIR


12,417))2(2()23(),( 22 ==−−+−== ABBAd

)2,2( −A

)3,0(C

)2,3(−D

)2,2( −−E


)2,3(B

SIGUIENTE


ANTERIOR SALIR


12,417))2(2()23(),( 22 ==−−+−== ABBAd

)2,2( −A

)3,0(C

)2,3(−D

)2,2( −−E

16,310)23()30(),( 22 ==−+−== BCCBd


)2,3(B

SIGUIENTE


ANTERIOR SALIR


12,417))2(2()23(),( 22 ==−−+−== ABBAd

)2,2( −A

)3,0(C

)2,3(−D

)2,2( −−E

16,310)23()30(),( 22 ==−+−== BCCBd

16,310)32()03(),( 22 ==−+−−== CDDCd


)2,3(B

SIGUIENTE


ANTERIOR SALIR


12,417))2(2()23(),( 22 ==−−+−== ABBAd

)2,2( −A

)3,0(C

)2,3(−D

)2,2( −−E

16,310)23()30(),( 22 ==−+−== BCCBd

16,310)32()03(),( 22 ==−+−−== CDDCd

12,417)22())3(2(),( 22 ==−−+−−−== DEEDd


)2,3(B

SIGUIENTE


ANTERIOR SALIR


12,417))2(2()23(),( 22 ==−−+−== ABBAd

)2,2( −A

)3,0(C

)2,3(−D

)2,2( −−E

16,310)23()30(),( 22 ==−+−== BCCBd

16,310)32()03(),( 22 ==−+−−== CDDCd

12,417)22())3(2(),( 22 ==−−+−−−== DEEDd

416))2(2()22(),( 22 ==−−−+−−== EAAEd

56,18=Perímetro


)2,3(B


ANTERIOR SALIR

Matemáticas divertidasMultitud de enlaces

Enlaces de interés

ANTERIOR SALIR

IR A ESTA WEB IR A ESTA WEB

http://www.aula21.net/primera/matematicas.htm

http://www.mathplayground.com/












ANTERIOR SALIR

Actividad: Los números triangulares

Dirección: http://www.santillana.cl/matematica/escenas/unidad3e.htm

En la sección chilena de la editorial Santillana, se puede visualizar una traslación en un sistema de ejes coordenados indicando el vector de traslación.

Para desarrollarla, sigue este enlace.

INICIO

http://www.santillana.cl/matematica/escenas/unidad3e.htm




INICIO MATEMÁTICAS 1º Bachillerato Unidad 5: Vectores en...

Documents

Transcript of INICIO MATEMÁTICAS 1º Bachillerato Unidad 5: Vectores en...