INSTITUCIÓN EDUCATIVA MANUEL E. MENDOZA El Carmen de Bolívar - Colombia Prof. Lic. JORGE FERRER S....
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INSTITUCIÓN EDUCATIVA “MANUEL E. MENDOZA”
El Carmen de Bolívar - Colombia
Prof. Lic. JORGE FERRER S.Ferrermiprofe.worpress.com
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TRIGONOMETRÍA
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ÁNGULOS Y SISTEMAS DE MEDICIÓN
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Concepto de ángulo• Es la región del plano situada
entre dos semirrectas que tienen un origen común.
• Las dos semirrectas se llaman LADOS y el origen común se llama VERTICE.
• Un ángulo se genera (origina) por la rotación de uno de sus lados.
B
C O
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Lado inicial
Lado final
Vértice
B
C A
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Formas de nombrar un ángulo
• Utilizando tres letras mayúsculas:
una en un punto de cada lado y la otra en el vértice
B
C
A
Leemos “ ángulo A“
Se escribe < BAC
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•Escribiendo una letra griega entre los lados
β
Leemos: ángulo beta
Escribimos : < β
* Consultar las letras griegas con sus respectivos nombres
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•Colocando una letra mayúscula en el vértice
C
se escribe : < A ángulo A
se lee: “ángulo A” ángulo B
ángulo C
A A B
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Ángulos trigonométricos
Ángulos positivos: son aquellos que se generan haciendo la
rotación del lado inicial, en sentido contrario a la rotación de las manecillas de un reloj.
Lado inicial
Lado final
45º
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Ángulos negativos:
son aquellos que se generan haciendo la rotación del lado inicial, en el sentido de la rotación de las manecillas de un reloj.
Lado inicial
Lado final
- 45º
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Ángulos en Posición Normal
Un ángulo está en posición normal si su vértice coincide con el origen del plano cartesiano y el lado inicial con el semieje positivo de las x.
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Pueden ser: • Ángulos del primer (I) cuadrante • Ángulos del segundo (II) cuadrante • Ángulos del tercer (III) cuadrante • Ángulos del cuarto (IV) cuadrante
I II
III IV
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I II
III IV
(x , y) (- , +)
(x , y) (+ , +)
(x , y) (- , -)
(x , y) (+ , -)
x
y
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Ángulos del Primer Cuadrante
Un ángulo θ es del primer (I) cuadrante si es mayor que 0º y menor
que 90º, es decir, 0º < θ < 90º
60º
Ej. Θ = 60º I cuadrante
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Ángulos del segundo Cuadrante
Un ángulo θ es del segundo (II) cuadrante si es mayor que 90º y menor
que 180º, es decir, 90º < θ < 180º
130ºEj. Θ = 130º II cuadrante
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Ángulos del tercer Cuadrante
Un ángulo θ es del tercer (III) cuadrante si es mayor que 180º y menor que 270º,
es decir, 180º < θ < 270º
240ºEj. Θ = 240º III cuadrante
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Ángulos del cuarto Cuadrante
Un ángulo θ es del cuarto (IV)
cuadrante si es mayor que 270º y menor que 360º, es decir, 270º < θ < 360º
300ºEj. Θ = 300º IV cuadrante
x
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Ángulo Giro o Completo
Es aquel que se genera cuando el lado inicial hace una rotación de una vuelta o un solo giro. Su valor es de 360º.
x
Θ = 360º Θ
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Ángulos Complementarios
Dos ángulos A y B son complementarios, si la suma de ellos es igual a 90º.
Es decir, Si A y B son complementarios,
A + B = 90º
Ej: 30º y 60º ; 20º y 70º
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Ángulos Suplementarios
Dos ángulos A y B son suplementarios, si la suma de ellos es igual a 180º.
Es decir, Si A y B son suplementarios,
A + B = 180º
Ej: 120º y 60º ; 30º y 150º
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Ángulos Coterminales
Dos ángulos son coterminales si sus lados iniciales y terminales coinciden respectivamente.
100º y 460º 120º y - 240º
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Ángulo Central
Es aquel cuyo vértice es el centro de un círculo y los lados cortan a la
circunferencia en uno, o, en dos puntos
yx
AB
C
< BAC con arco ByC
< BAC con arco BxC
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SISTEMAS DE MEDIDAS DE ÁNGULOS
• Sistema Sexagesimal• Sistema Cíclico
• Sistema Centesimal
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Sistema Sexagesimal
Es aquel en el que las unidades varían de 60 en 60 unidades.
Unidades :Su unidad principal es el GRADO (º), que
se define como la trescientos sesenta ava parte del ángulo giro.
1º = (1/360) del ángulo giro
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OBSERVEMOS:
1 vuelta completa Ξ 1 ángulo giro = 360º
1 vuelta completa = 360º
1/2 Vuelta = 180º
1/4 de vuelta = 90º
3/4 de vuelta = 270º
0º
90º
180º
270º
360º
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OTRAS UNIDADES
El minuto (´) y el segundo (´´)
1º = 60´ 1´ = 60´´
Medida de una Circunferencia = 360º
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ACTIVIDADES
1. Expresar en grados, minutos y segundos
los siguientes ángulos:
A. 40,28º
B. 5259´´
C. 325,4´
D. 356´ 125´´
E. 36° 158´ 305´´
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Sistema Cíclico
Llamado también Sistema Circular; porque la medida de
los ángulos se hace con referencia al círculo.
La unidad de medida utilizada en éste sistema es el Radián.
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Radián
Es la medida del ángulo central que subtiende un arco de longitud igual al radio de la circunferencia.
r r
r0
B
A
Si AB = r, entonces, < O = 1 radián
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Medida en radianes de una Circunferencia
Longitud de la circunferencia
mC = --------------------------------------------
radio
2πr
mC = ------------ = 2 π
r
mC = 2 π rad
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Equivalencia entre el sistema sexagesimal y el
cíclico360° = 2 π rad
Equivale a decir,
180° = π rad
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Conversión de unidades
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De Grados a Radianes
1. Expresar en radianes un ángulo de
30°.
Solución:
Formamos una regla de tres simple, así : 180° π rad
30° x
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Luego, 1 3 0° ( π rad) 3 π x = ----------------------- = ----- rad 1 8 0° 18 6 π
Por lo tanto, 30° = ------- rad. 6
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Conclusión: Para expresar de grados a Radianes, multiplicamos la cantidad de grados , por el factor de conversión, π ------- y simplificar, si es posible. 180°
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Usemos este factor de conversión
2. Expresar en radianes, un ángulo de
150°.
Solución: π
150° = 1 5 0° ------- rad 1 8 0°
15 π 5 π 150° = -------- rad = ------- rad.
18 6
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Ahora, vamos a practicar
Expresar en radianes los siguientes ángulos1.45°2.60°3.120°4.210°5.330°
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De Radianes a Grados1. Expresar en grados un ángulo de
5 π
---------- rad.
4
Solución: Planteamos una regla de tres, similar a la anterior :
180° π rad
x 5 π / 4
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Entonces, 5 π 180° -------- 4 X = --------------------------- π
Cancelamos los π , y simplificamos a 180° con el 4 , nos queda,
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45° 90° 5 π 180° -------- 4 2 1 X = ------------------------ = 45° x 5 = 225° π Por lo tanto, 5 π / 4 rad = 225°.
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Conclusión:
Para expresar de radianes a grados, multiplicamos la cantidad de radianes, por el factor de conversión, 180° -------- , y simplificar, si es π posible.
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Usemos este factor de Conversión2. Expresar en grados un ángulo de
2 π
------ rad.
3
Solución: 60°
2 π 180°
2 π / 3 rad = --------- ------- = 2x60° =120°
3 π
1
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Ahora, vamos a practicar
Expresar en grados los siguientes ángulos
1.π /3 rad
2.4 π / 3 rad
3.5 π /12 rad
4.3 π / 2 rad
5.π / 4 rad