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M.H. Tabacniks, A. Suaide, E Madeira - LabFlex - IFUSP (2007)

Aula 14 - (Exp 3.3) -Oscilador magnético forçado amortecido

Manfredo H. TabacniksAlexandre Suaidenovembro 2007

Instituto de Física - USPFGE0213 - Laboratório de Física III - LabFlex


Aula passada - 3.2: Oscilador Harmônico (amortecido )

Determinamos B local usando uma bobina de Helmholtz perpendicular ao B local,

graficando (tgθ x i) .

Determinamos µ/I de uma bússola através de oscilações livres em campo Β uniforme.

Calculamos I e determinamos µ, o momento de dipolo de uma bússola. Com a bússola

calibrada medimos o campo magnético externo.

Oscilações magnéticas amortecidas

Aula 3.3 Oscilador Magnético Harmônico Amortecido

> Sintonizar a freqüência de oscilação (amortecida) da bússola num

campo Β1 uniforme, com um segundo campo externo B2 = Bo cos ωt.

> Estudar a dependência da freqüência de ressonância ω com B1.

> Estudar o fator de qualidade Q, do oscilador.


Uma bússola num campomagnético oscila com freqüência

constante.



B1 constante e“uniforme”

tBB ωcos02 =

perturbativo



B1 constante e “uniforme”Cuidado com o B local

tBB ωcos02 =


i

a

b

1Fr

2Fr

3Fr

4Fr

Br

i

1Fr

3Fr

b

nr

θ

Br

Frr

rr

×=τ

θττ senBiab

==221

θτ senBiab=

θτ senBabNiN =

( ) BnabiNr

rr

×=τ

Br

rr

×= µτpodemos escrever

Definindo o momento magnético:

nNiabrr

=µ

cuja energia potencial magnética vale

BUr

r

⋅−= µθ )(

Oscilações magnéticas livres


i

a

b

1Fr

2Fr

3Fr

4Fr

Br

i

1Fr

3Fr

b

nr

θ

Br

Br

rr

×= µτ

Definindo o momento magnético:

nNiabrr

=µ

Energia potencial magnética

BUr

r

⋅−= µθ )(

BBU µµ −=−= 0cos)0(

BBU µπµπ +=−= cos)(µr

µrDeslocar um momento

magnético de sua posiçãode equilíbrio cria torque

restaurador



Br

rr

×= µτ

Um imã (uma bússola) pode sermodelado como um momentomagnético (com momento de

inércia) num campo magnético

Energia potencial magnética

BUr

r

⋅−= µθ )(

Deslocar um momentomagnético de sua posiçãode equilíbrio cria torque

restaurador

µrθ

Br

τr

A bússola oscila em tornoda posição de equilíbrio θµτ ..B−≅

θθ ≅sen



Deslocar um momento magnético desua posição de equilíbrio cria torque

restaurador

µrθ

Br

τr

θµτ ..B−≅

2

2

dt

dIB

θθµ =−

momento de inérciada agulha da bússola

( )ϕωθθ += t00 cos

BI

= µω0


...mas existe atrito,a oscilação é amortecida!


� Existe atrito na bussola que faz com queo movimento seja amortecido◦ Atrito com o ar◦ Atrito da agulha com o pino de

suporte

� Se o coeficiente de atrito for pequenopodemos escrever que o torque éproporcional à velocidade angular

atrito

d

dtτ γ θ= −

NORTE

SUL

N

S

µ




momento de inérciada agulha da bússola

atrito“viscoso” torque restaurador

( )0( ) a i tt e ωθ θ +

=

Solução genérica

02

2

=++ θµθγθ Bdt

d

dt

dI


( )0

a i tde

d

d dt tωθ θ +

=( )

0( ) a i ta i e ωω θ += + ( )a iω θ= +

22

2( )

da i

dtθ ω θ= +


dt

dcalculando

θ

2

2

dt

dcalculando

θ

( )0( ) a i tt e ωθ θ +

=

Solução genérica


Oscilações magnéticas amortecidas ( )θωθia

dt

d+=

22

2( )

da i

dtθ ω θ= +

2a

I

γ= − 2

22

4B

I Iω µ γ

= −2 20 aω= −

2( ) ( ) 0I a i a i Bω θ γ ω θ µ θ+ + + + =

2( ) ( ) 0I a i a i Bω γ ω µ+ + + + =( )

0( ) a i tt e ωθ θ +=

Solução genérica

02

2

=++ θµθγθ Bdt

d

dt

dI


� Assim, o movimentooscilatório dabússola é

� Tomando a parte realda solução acima

NORTE

SUL

N

S

µ

0( ) at i tt e e ωθ θ=

( )20( ) cos

tIt e tγ

θ θ ω−

=

Oscilações da bússola amortecida( )

0( ) a i tt e ωθ θ +=

Solução genérica


Movimento de uma bMovimento de uma b úússola em um campo,ssola em um campo,considerando dissipaconsiderando dissipa çãçã oo

� O movimento éoscilatóriomodulado por umaexponencial

( )20 cos

tIe tγ

θ θ ω−

=

20

tIeγ

θ−


Movimento de uma bMovimento de uma b úússola em um campo,ssola em um campo,considerando dissipaconsiderando dissipa çãçã oo

� Qual a freqüência deoscilação?

� A freqüência é menor doque a obtida se nós nãoconsiderarmosdissipação.

◦ Incerteza teórica nomodelo da aula passada

◦ O nosso experimento temsensibilidade paraperceber estadiscrepância?

20

tIeγ

θ−

22 2

0 24I

γω ω= −


Movimento forMovimento for ççado e ressonado e resson âânciancia

� A bússola oscila comfreqüência natural dadapor:

� O que acontece seperturbarmos a bússolacom um campo transversaldado por:

22 2

0 24I

γω ω= −

NORTE

SUL

N

S

µ( )0( ) cosT T extB t B tω=

TB



� Apareceria um novotorque dado por

� A equação de movimentoseria agora

NORTE

SUL

N

S

µ

( )TB t

( )( )sin 90T TB tτ µ θ= − −

2

cos( ) 0ext

d dI B

d dF t

t tθ γ θ µ θ ω+ + + =

)()()( tBtFt Tµτ −==



� Devemos resolver a seguinte equação diferencial

� A solução pode ser obtida utilizando notaçãocomplexa

� Assim cos( ) Re exti textF t Fe ωω =

0( ) Re exti tt e ωθ θ =

2

cos( ) 0ext

d dI B

d dF t

t tθ γ θ µ θ ω+ + + =2



� Resolvendo a equação ( ver, por exemplo,Mecânica, K. R. Symon , Oscilador HarmônicoForçado )

� Com:

( )( )

0

1/2222 2 2

0 2

1( ) sin ext

ext ext

Kt t

I

Iθ

θ ω φγω ω ω

= + − + 1444442444443

20 B

I

µω =

Bµ



� A amplitude deoscilação depende dafreqüência do campoexterno

� E possui um valormáximo◦ Ressonância

( )0 1/22

22 2 20 2

1

ext ext

K

I

I

θγω ω ω

= − +

Bµ



� A freqüência demáximo de amplitude édada por

� E vale:

0 0ext

d

dθ

ω=

22 21 0 22I

γω ω= −

note que afreqüência deressonânciadepende de γ


� Fator de qualidade ( fator-Q) da ressonância

� Quanto maior adissipação ( γ),◦ menor a amplitude de

oscilação

◦ Maior a dispersão(largura) do pico deressonância



� O fator-Q é definidocomo:

� Onde ω1 é a largura dopico de ressonânciapara

◦ Nós vamos ver isto emdetalhes em Lab IV

1~fator Qω

ω−

∆

~2

MAXθθ ω∆


O que nO que n óós sabemos?s sabemos?

� A freqüência deressonância é dada por

� Ou seja, um gráfico dafreqüência ao quadradoem função do campomagnético dá uma reta

221 22

BI I

µ γω = −

2

22I

γ

ω2

B


O que nO que n óós sabemos?s sabemos?

� A largura do pico deressonância depende docoeficiente dedissipação◦ Fator de qualidade

1~fator Qω

ω−

∆

ω∆

~2

MAXθθCom ∆ω medidoquando


Oscilações magnéticas amortecidasUm exemplo

10.4 10.6 10.8 11.0 11.2 11.4 11.6-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Am

plitu

de (

divi

são)

frequência (Hz)

Bússola com agulha brilhanteBobina com 1000 espiras, I1 = 3AB2 em bobina de Helmholtz, 2V

∆f


Objetivos da semanaObjetivos da semana

� Estudar o efeito de ressonância magnética em umabússola

◦ Estudar como a freqüência de ressonância depende docampo magnético aplicado

� Gráfico de ω2 x B.

◦ Verificar a forma da curva de amplitude em função d afreqüência e determinar o fator de qualidade daressonância

� Gráfico de Amplitude x ω.

� Como?


Arranjo experimentalArranjo experimental

� Requerimentos para o arranjo

◦ Precisamos criar o campo principal B

� Campo constante e intenso

�Usar corrente contínua nas bobinas

�Usar bobinas de muitas espiras

�Utilizar bobinas de 1000 espiras APENAS!

◦ Precisamos criar o campo perturbador

� Campo oscilante no tempo de freqüência bem definida

�Usar corrente alternada .

�Não precisa ser intenso

�Usar bobina de Helmholtz por questões deacesso ao experimento


Arranjo experimentalArranjo experimental

� Alinhar bússola com campo local

� Montar as bobinas de 1000espiras em série para formarcampo uniforme na mesma direçãode B local .◦ Posicionar as bobinas o mais próximo

possível uma da outra para que o campogerado seja o mais intenso

◦ Ligar as bobinas na fonte DC

� Posicionar a Bonina deHelmholtz 90º em relação àsbobinas◦ Ligar a bonina no gerador de áudio

(fonte AC)

◦ Selecionar sinal senoidal comamplitude máxima

BLocal

AC

DC


Procedimento experimentalProcedimento experimental

� Ajuste a corrente DC nasboninas

� Meça o campo magnético com osensor Hall◦ Detalhe importante sobre o campo

� Variar lentamente a freqüênciada bobina de Helmholtz atéobter a ressonância◦ Detalhe importante sobre a medida de

freqüência

� Para a medida de Q, meça aamplitude em função dafreqüência em torno dafreqüência de ressonância.

BLocal

AC

DC


Sobre a medida do campoSobre a medida do campo

� O campo entre as bobinas não é constante◦ Lembre-se da experiência anterior

� O campo B é o valor médio ao longo da agulha da bús sola◦ E a incerteza em B pode ser estimada como metade da variação

� Para cada medida de campo com o sensor Hall, verifi car omáximo e mínimo de campo sobre a agulha, estimar a médiae incerteza


� Em geral, procuramos a freqüência de ressonância aumentandolentamente a freqüência no gerador de áudio.

� Este procedimento introduz erros sistemáticos pois sempre temos atendência de medir valores menores que a freqüência deressonância de fato

� Para eliminar estas incertezas sistemáticas, faça o seguinteprocedimento◦ Determinar a freqüência de ressonância pelo lado de baixas freqüências e altas

freqüências, SEM OLHAR PARA O GERADOR. OLHE APENAS PARA A BÚSSOLA

◦ A freqüência de ressonância é a média dos valores obtidos e a incerteza pode serestimada como o desvio entre os valores.

Sobre a medida de freqSobre a medida de freq üêüênciancia


AtividadesAtividades

� Fazer o gráfico de ω2 em função de B◦ Medir uns 5-7 pontos, variando a corrente nas bobin as entre 0,1 e 1,0 A.

◦ Isto faz com que as freqüências de ressonância fiqu em entre 2 e 25 Hz.

◦ Ajustar o modelo apropriado e determinar as constan tes da bússola

� Medir a curva de amplitude para uma dadaressonância◦ Ajustar o campo para uma freqüência de ressonância entre 8-10

Hz

◦ Medir a amplitude de oscilação da bússola em função da freqüência emtorno da ressonância

◦ Fazer o gráfico de amplitude em função da freqüênci a

◦ Ajustar o modelo adequado com os parâmetros obtidos no item anterior

◦ Determinar o valor do fator-Q.

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