INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CENTRO DE …a de Geom y trigo.pdf · R 0.008 6 5. 8 7 7 U y 6. 412...
Transcript of INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CENTRO DE …a de Geom y trigo.pdf · R 0.008 6 5. 8 7 7 U y 6. 412...
Prof. José del Carmen Vázquez Bernal
1
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CENTRO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y TECNOLÓGICOS
“CUAUHTÉMOC”
ACADEMIA DE MATEMÁTICAS GUÍA DE ESTUDIO GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA
LOGARÍTMOS Y EXPONENCIALES
1.- Expresa las siguientes formas exponenciales en forma logarítmica:
a) Nbx b) 1624 c) 9
13 2 d)
27
13 3
Sol. xNb log Sol. 416log2 Sol. 29
1log3 Sol. 3
27
1log3
2.- Expresa las siguientes formas logarítmicas en forma exponencial:
a) 236log6 b) 664log2 c) 481
1log3 d) 01log b , 0b
Sol. 3662 Sol. 6426 Sol. 81
13 4 Sol. 10 b
3.- Calcula el valor de los siguientes logaritmos:
a) 64log4x b) 81log3x c) 8log 2/1x d) 3 10logx
Sol. 3x Sol. 4x Sol. 3x Sol. 3
1x
4.- Sabiendo que 3010.02log , 4771.03log , 6990.05log y 8451.07log , calcular con cuatro
cifras decimales los logaritmos siguientes:
a) 105log b) 108log c) 3 72log d) 4.2log
Sol. 2.0212 Sol. 2.0333 Sol. 0.6190 Sol. 0.3807
5.- Expresa las siguientes operaciones con un solo logaritmo:
a) 5log6log4log Sol. 6
54log
b) 27log3
264log
3
125log
2
1 Sol.
3/1
3/22/1
64
2725log
c) 5log32log43log2 Sol. 3
42
5
23log
6.- Expresa las siguientes operaciones como una suma algebraica de logaritmos:
a) C
BAlog b)
z
yxlog c) 3log
z
xy
Sol. CBA logloglog Sol. zyx logloglog 2/12/1 Sol. 3
logloglog zyx
Prof. José del Carmen Vázquez Bernal
2
7.- Encuentra el conjunto solución de cada una de las ecuaciones exponenciales dadas:
1. 001.010 x Sol. 3 2. 33 255 xx Sol. 6
3.- 168 x Sol.
3
4 4. 161
4x Sol. 3
5. 643 12 x Sol. 39.2 6. 243
13 y Sol. 5
7. xx 22 Sol. 1,1 8, 51 42 x Sol. 11
9. 2
14 /1 x Sol. 2 10.
125
64
4
58.0
x
Sol.
4
15
11.
33
27
19
xx Sol. 3 12. xx 416 Sol. 2,2
8.- Encuentra el conjunto solución de cada una de las ecuaciones logarítmicas dadas:
1. x32
1log2 Sol. 5 2. 364log x Sol. 4
3. 3
29log x Sol. 27 4. x3.3
10 10log Sol. 3.3
5. x49 9log Sol. 4 6. 2256log x Sol. 16
7. 2log5 x Sol.
25
1 8. xx x
2log Sol. 2
9. 36log1log 22 xx Sol. 7 10. xx x 100log Sol.
100,10
1
11. 2122.0log1log xx Sol. 59.1 12. 3log1log x Sol. 30
13. 21log1log 2 xx Sol. 101 14 31log1log 22 xx Sol. 3,3
PROBLEMAS DE APLICACIÓN
1. INGENIERÍA. Un ingeniero electricista utiliza la fórmula:
010log10
S
SG para calcular la ganancia en un amplificador.
a) ¿Cuál es el valor de G cuando S es de 100 y oS es 10?
b) ¿Cuál es el valor de G cuando S es de 600 y oS es 6?
2. ADMINISTRACIÓN. Un asesor financiero utiliza la fórmula:
nI 05.01100 , para calcular el interés compuesto semestralmente.
a) ¿Cuál es el valor de I cuando 2n ?
b) ¿Cuál es el valor de I cuando 5.2n ?
3. ECOLOGÍA. El costo anual para remover un porcentaje x ,determinado, de los contaminantes
de una planta de energía, aumenta conforme el porcentaje se aproxima a 100%. La función racional
x
xxC
100
1000)( aproxima el costo de esta operación para una planta particular en México. Encuentra el
costo para remover 9.5 % de los contaminantes. Dibuja la gráfica de )(xC , para 1000 x .
Prof. José del Carmen Vázquez Bernal
3
4. BIOLOGÍA. El número de bacterias N en un cultivo está dado en términos del tiempo t , en
horas, por la fórmula tN 21000 .
a) ¿Cuántas bacterias están presentes al comenzar el experimento (cuando 0t )?
b) ¿Cuántas bacterias estarán presentes dentro de 5 horas?
c) ¿Cuántas bacterias estarán presentes dentro de 24 horas?
5. FÍSICA. La presión atmosférica P sobre un objeto, en libras por pulgada cuadrada, puede
aproximarse utilizando la fórmula: xP
2.07.27.14
, donde x es la altura del objeto sobre el nivel del
mar en millas. ¿Cuál es la presión del objeto a: a) 1 milla, b) 5 millas y c) 8.5 millas de altura?
6. QUÍMICA. Un isótopo radioactivo tiene una vida media de 4 años. Esto significa que en 4
años de edad, la cantidad determinada de isótopo se transformará en otra sustancia debido a la
desintegración radiactiva espontánea. Si se permite que 50 gramos de este isótopo se desintegren en un
reactor, la cantidad A que queda al final de t años está dada por
4/
2
150
t
A
. ¿Cuántos gramos
quedarán al final de a) 2 años. b) 10 años y c) 3.5 años?
Aplicando las propiedades de los logaritmos, encuentra el valor de cada una de la expresiones
siguientes:
1. 32 12017 P 2. 42009.05.0Q 3. 5/1
4.6S 4. 6/1008.0R
5. 8
77
U 6. 4
1512
193
V
7.
9
7
005.0
026.0
y 8.
004500000000
0022000000002
z
9. 4
3
36
25.0T 10. 3
5
15
RECTAS PARALELAS
En las siguientes gráficas hallar los valores de los ángulos X y Y:
CDAB //
Sol. 30 , 20 YX
CDAB //
Sol. 22 , 48 YX
Prof. José del Carmen Vázquez Bernal
4
CDAB //
Con los datos que se dan, hallar los ángulos:
m , j, i, k, h, q, x.
Sol. 122x
CDAB //
Con los datos que se dan, hallar los ángulos:
n, t, p, s, r, q
Sol. 112s
CDAB //
Calcular los valores de X y Y.
Sol 40 , 110 YX
DEACDFAB //y //
Hallar los ángulos X y Y.
Sol. 50X , 50Y
CDAB //
Calcular los valores para X y Y.
Sol. 14X , 78Y
ÁNGULOS
BCAC
Calcular los valores de X y Y.
Sol 150 , 90 YX
¿Cuánto vale X y Y ?
X es ángulo exterior del triágulo I
Sol. 140X , 125Y
ACBC //
Sol. 75,105,15 qpm
Prof. José del Carmen Vázquez Bernal
5
En los siguientes problemas calcular los valores para X y Y :
CDAB
Sol. 65,25 YX
CDAB //
Sol. 50X , 130Y
DEAB //
Sol. 50X , 95Y
ACAB y XI
Sol. 75,55 YX
BBD bisectriz CCD bisectriz
ACAB y ACBX
Sol. 130 ,50 YX
Sol. 15X 755,604,453 XXX
,,,Calcular yx
Sol. 139,34 yx 146,105
Sol. 18X
Prof. José del Carmen Vázquez Bernal
6
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
Razón de semejanza: '''''' CB
BC
CA
AC
BA
AB
En los siguientes problemas aplica la semejanza de triángulos para determinar el valor de x.
CBAD //
Sol. 15x
STQR //
Sol. 2
9x
TWRU //
Sol. 16x
RSPO //
Sol. 1x
HGDE //
Sol. 5x
CBDE //
Sol. 2x
Prof. José del Carmen Vázquez Bernal
7
PROS //
Sol. 3x
RSPO //
Sol. 10x
DHEGEHFG //y //
Sol. 30x
ADCCAB
Sol. 8x
BEACCEAB //y //
Sol. 4x
PROBLEMAS DE APLICACIÓN
1. Una regla de un metro de largo se coloca
verticalmente en el piso y se observa que proyecta
una sombra de 85 cm de largo. En ese momento el
poste de la luz proyecta una sombra de 4.80 m.
Calcular la altura del poste.
Sol. 5.64 m
2. Una escalera de 15 m de longitud está recargada en
un edificio a la altura de un anuncio; una plomada de
2 m de largo pende de la escalera y toca el piso a una
distancia de 250 cm del pie de la escalera. Calcular la
altura a que se encuentra el anuncio.
Sol. 9.37 m
Prof. José del Carmen Vázquez Bernal
8
3. Para medir el ancho AC de un río, un hombre tomó las
medidas indicadas en la figura siguiente. AC es
perpendicular AD y BD perpendicular a DE , si AB
mide 8 m, BD mide 6m y DE mide 12m, calcular la
anchura del río.
Sol. 16 m
4. Dos buitres acechan a un conejo en
su madriguera, parados en dos
árboles que se encuentran a una
distancia de 25m uno del otro. El
árbol del primer buitre mide 15m
de altura, y el del segundo 9m. Al
salir el conejo a tomar el sol,
ambos buitres se lanzan sobre él,
cogiéndolo al mismo tiempo entre
sus garras. ¿A qué distancia estaba
el conejo de ambos buitres?
Sol. 17.81 m
5. Supón que estás en el margen de un río en el que no
puedes pasar y, provisto de una cinta métrica, usas
una construcción semejante a la del problema 3 para
hallar el ancho AE del río. De acuerdo a los
segmentos proporcionados, ¿cuál es el ancho del río?
Sol. BD
DCBEAE
TEOREMA DE PITÁGORAS
Hallar la longitud del segmento x en las figuras siguientes:
BCAC
Sol. 17x
Sol. 24x
Sol. 8x
Prof. José del Carmen Vázquez Bernal
9
Sol. 17x
Sol. 12x
Sol. 4x
Sol. 26x
Sol. 15x
Sol. 97.33x
Sol. 31.17x
Sol. 72.41 , 29 yx
Sol. 13x
Prof. José del Carmen Vázquez Bernal
10
POLÍGONOS
Sea n el número de lados de un
polígono regular, entonces:
Ángulo Central
n
360
Ángulo interior
n
ni
2180
Ángulo Exterior
ne
360
Suma de los ángulos interiores
2180 niS
Número de diagonales desde un
sólo vértice
3 nd
1. ¿Cuánto vale el ángulo central de un pentágono
regular?
Sol. 72
2. ¿Cuánto suman los ángulos interiores de un
dodecágono regular?
Sol. 1800iS
3. ¿Cuánto suman los ángulos exteriores de un decágono
regular?
Sol. 360eS
4. ¿Cuánto vale cada ángulo exterior de un
pentadecágono regular?
Sol. 24e
5. ¿Cuál es el polígono cuya suma de los ángulos
interiores vale 1080 ?
Sol. 8n ; es el octágono.
6. ¿Si la suma de los ángulos interiores de un polígono
regular es de 1260 , cuál es ese polígono?
Sol. 9n ; es el eneágono.
7. ¿Cuál es el polígono regular cuyo ángulo interior es
de 135 ?
Sol. 8n ; es el octágono.
8. ¿Cuántas diagonales se pueden trazar desde un vértice
de un icoságono regular?
Sol. 17d diagonales
9. Determinar el número total de diagonales que pueden
trazarse en un endecágono regular.
Sol. 44D diagonales
10. ¿Cuál es el polígono en el cual se pueden trazar 9
diagonales desde uno de sus vértices?
Sol. 12n ; es el dodecágono
11. ¿Cuál es el polígono en el que se pueden trazar 20
diagonales en total?
Sol. 8n ; es el octágono
Prof. José del Carmen Vázquez Bernal
11
Número total de diagonales
2
3
nnD
Suma de los ángulos exteriores
360 fedcba
12. ¿Cuál es el polígono que tiene 12 diagonales más que
lados?
Sol. 8n ; es el octágono
13. ¿Cuántas diagonales tiene un polígono de 15 lados?
¿Y uno de 7 lados?
Sol. 90D y 14D diagonales
14. ¿Qué polígono tiene doble número de diagonales que
de lados?
Sol. 7n ; es el heptágono
15. ¿Qué polígono tiene 25 diagonales más que lados?
Sol. 10n ; es el decágono
16. De acuerdo con la figura que está a la izquierda,
hallar la longitud del lado s de un pentágono regular
si su perímetro es de 125 cm.
Sol. cm 26.21s
17. Hallar el apotema a de un pentágono regular, si el
radio de la circunferencia en la que está inscrito es de
21 unidades.
Sol. cm 16.98a
Prof. José del Carmen Vázquez Bernal
12
ARCOS Y ÁNGULOS
1.
i 75
Hallar
S AOC
ABC
Sol. 37.5ABC .
2.
50
70
Hallar
CD
AB
AWB
Sol. 60AWB
3.
78
30
Determinar
RS
TU
TVU
Sol. 24TVU
4.
15
25
Hallar
GH
x
EF
Sol. 65EF
5.
15
55
Determinar
BD
ABE
BCD
Sol. 47.5BCD
6.
220
40
Determinar
MP
O
MN
Sol. 140MN
7.
55 ; 30
Determinar
MN O
MP
Sol. 115MP
8.
200 ; 110
Determinar
MP NP
O
Sol. 75O
9.
120 ; 70
Determinar O
PN MN
Sol. 50O
Prof. José del Carmen Vázquez Bernal
13
ÁREAS
Calcular el área de la región sombreada
1.
Sol. 218.15
2.
Sol. 324.87
3.
Sol. 13.73
4.
Sol. 871.23
5.
Sol. 106.81
6.
Sol. 113.09
7.
Sol 100
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL PLANO CARTESIANO
Dada la función trigonométrica, calcula el ángulo y las demás funciones en los cuadrantes respectivos
15
8 .1 Cot
13
12 .2 Sen
12
5 .3 Cos
12
37 .4 Csc 1 .5 Tan 75.0 .6 Tan
Prof. José del Carmen Vázquez Bernal
14
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
Dada la función trigonométrica inversa, obtén un valor de dicho ángulo.
3
2 .1 Ang Sen
8103.41 Sol. 2 2. Ang Sec 120 Sol.
73201 3. .Ang Cot 30 Sol. 1 4. 1-Sen
2 Sol.
3
2 5. 1-Csc
120 Sol. 1 6. Arc Cos 180 Sol.
2 7. Ang Sec 135 Sol. 0 8. Ang Cos
2 Sol.
3
1 9. 1-Tan
150 Sol. πSec-1 10. 71.43 Sol.
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
1.- Si 0461 A y la hipotenusa m 371.4 , determinar los demás elementos y su superficie.
2.- Si 0235 B y la hipotenusa m 745 , resolver el triángulo y determinar su superficie.
3- Si los lados de un triángulo son m 7.52a y m 3.65b ; determinar los valores de los elementos
restantes y la superficie.
La solución de triángulos rectángulos también tiene mucha aplicación en la vida práctica.
Problema 4
A 87.5 m de la base de una torre, el ángulo
de elevación a su cúspide es de 0237 ;
calcular la altura h de la torre, si la altura del
aparato con que se midió el ángulo es de 1.50
m.
Sol. 68.23 m
Problema 5
A 200 m de la base de una antena, el ángulo
de elevación a su parte más alta es de 0234 ;
calcular la altura de esta torre si la altura del
aparato con que se midió el ángulo es de 1.5
m
Sol. 138.10 m
Prof. José del Carmen Vázquez Bernal
15
Problema 6
Calcular el ángulo de elevación del Sol, en el
momento en que un árbol de 32.5 m de altura proyecta
una sombra de 75 m.
Sol. 5223
Problema 7
¿Qué altura alcanza sobre un muro una escalera de 5 m de
largo, si forma con el piso un ángulo de 0165 .
Sol. 4.53 m
Problema 8. ¿Qué ángulo forma con el piso, el pie de una escalera de 7 m de largo si dista de la base de
un muro 2.5 m. Sol. 69.07 m
Problema 9
Desde lo alto de un faro de 150 m de altura se observa
una embarcación a un ángulo de depresión de 0323 ;
calcular la distancia d del faro a la embarcación.
Sol. 344.97 m
Problema 10. Calcular el lado de un decágono regular circunscrito a una circunferencia de 5 cm de
radio.
Sol. 3.09 cm.
Problema 11. ¿Cuál es el radio de una circunferencia inscrita en un pentadecágono regular de 2 cm de
lado?
Sol. 4.80 cm.
Problema 12. Calcular la longitud del lado de un pentágono regular inscrito en un círculo de diámetro
igual a 10 cm. Sol. 5.87 cm.
Problema 13. Calcular el perímetro y la superficie de un octágono regular inscrito en un círculo cuyo
diámetro es de 5 m. Sol. Perímetro = 15.30 m, Superficie = 20.65m2
Prof. José del Carmen Vázquez Bernal
16
Problema 14. Calcular el radio del círculo inscrito en un hexágono regular cuyo lado es de 0.75 m.
Sol. 0.75 m
Problema 15. Calcular el perímetro y la superficie de un rectángulo cuya diagonal mide 40 cm,
sabiendo que el ángulo que forma la diagonal con uno de sus lados es 0536 .
Sol. Perímetro = 111.96 cm, Superficie = 767.27 cm2
Problema 16. Los lados de un rectángulo miden 21.9 y 29.2 m, respectivamente. ¿Cuánto mide cada
uno de los ángulos que forma la diagonal con los lados del rectángulo? Sol. 2536 , 753
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
Verificar cada una de las siguientes identidades trigonométricas:
Sen xxCos x Tan 1. 11 2. 22 xTanxCos Csc Cot Sec 3. Sec Tan Csc 4.
xSecxCos
xCosxSen 2
2
22
5.
1
1
1
1 6.
xCot
xCot
xTan
xTan
2 1
1 7. xTanxSec
xSen
xSen
xCos
xSec
xCotxCsc 2
2
22
8.
xTan
xCosxSenxCot
xCosxSen 22
2
1 9.
xCosxSenxTan
xCos
xCot
xSen
1 11 10.
22
xCot
xCot
xCosxSen 2
2
22 1
11 11.
11-1 12. 22 xTanxSen
xTanxCotxTan
xTan 2
22
41 13.
Secx
xSen
xSen
xSen
x-Sen 2
1
1
1
1 14.
ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones trigonométricas en el intervalo 20 x , a menos
que se especifique otro intervalo. Las siguientes equivalencias pueden serte útiles: rad 01745.01
2957.57rad 1 .
03 2 1. xCos 330,30rad 5.759 rad, 523.0 Sol.
2
1 2. 2 xSen rad 497.5 ,925.3 ,356.2 ,785.0 Sol.
0 3. xSenxCos rad 4.712 3.141, 1.57, 0, Sol.
01 4. 2 xCsc Sol.
0 5. SenxCosx 3.926 ,785.0 Sol.
2 6. xCos Sol.
024.0 .7 2 xSenxSen 2.721 2.495, 0.646, 0.419, Sol.
0 .8 2 xTanxTan 3.926 3.141, 0.785, 0, Sol. 0 2 .9 xSenxSen 4.188 3.141, 2.094, 0, Sol.
Prof. José del Carmen Vázquez Bernal
17
013 .10 xTan 5.497 4.45, 3.403, 2.356, 1.308, 0.261, Sol.
01 .11 2 xCsc 4.712 1.57, Sol. 03 21 .12 xCosxSen 3.665 2.617, 1.57, Sol.
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
1. En los siguientes ejercicios, resuelve los triángulos dados con la ley de senos:
10,48,32 a) aBA 58.18 ,02.14 ,100 Sol. cbC
3,45,60 b) bBA 09.4 ,67.3 ,75 Sol. caC
50,8 ,10 c) Aca 13 ,632192 ,427437 Sol. bBC
25 ,30,122 d) abB 8 ,313 ,7544 Sol. cCA
61,43,48 e) cAB 34.45 ,01.41 ,89 Sol. baC
01130 ,0.10 ,0412 f) CbA 6.12 ,6.3 ,0137 Sol. caB
2. En los siguientes ejercicios, resuelve los triángulos dados con la ley de cosenos:
3.9 ,8.7 ,5.42 a) cbA 0381 ,56 ,4.6 Sol. CBa
0.20 ,0.12 ,0.9 b) cba 0.144 ,0420 ,0215 Sol. cBA
0.13 ,0.15 ,15 c) cba 0251 ,0264 ,0264 Sol. CBA 4.120 ,2.8 ,3.11 d) Bca
6.24 ,35 17, Sol. CAb
PROBLEMAS DE APLICACIÓN TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
1. Un rombo es un paralelogramo de cuatro lados de igual tamaño. Encuentra la longitud de las
diagonales de un rombo que tiene de lado 28.7a y un ángulo 55121 A 12.73y 7.07 Sol.
2. Dos puntos A y B están en lados opuestos de un edificio. Un agrimensor escoge un tercer punto C a
45 m de A y a 65 m de B, en donde 0352 ACB . ¿Qué distancia hay entre A y B? m. 52 Sol.
3. Una torre vertical de 500 pies de altura está en la cima de una colina, cuyo lado forma un ángulo de
12 con la horizontal. Un cable es amarrado a la punta de la torre y al piso a 600 pies colina abajo
desde la base de la torre. ¿Qué longitud necesita tener el cable? pies. 857 Sol.
4. La distancia del cojín del home al jardín central en un campo de beisbol es de 408 pies. Si el
diamante de beisbol es un cuadrado, y la distancia del home a la primera base es de 90 pies, ¿Qué
distancia hay entre la primera base y el jardín central? pies 350 Sol.
5. Una estación de rastreo observa un satélite sobre la superficie terrestre. Si el plato de rastreo apunta a
41 sobre el horizonte, y el satélite se encuentra a 123 millas de la estación, ¿Qué tan alto se encuentra
el satélite de la superficie de la tierra? Supóngase que el radio de la tierra es de 4000 millas.
millas 81.8 Sol.
Prof. José del Carmen Vázquez Bernal
18
LEYES DE LOS LOGARÍTMOS
Para cualquier par de números reales positivos se tiene:
1. BABA bbb log log log
2. BAB
Abbb log log log
3. AnA bn
b log log
4. n
AA bn
b log
log
FUNCIÓN EXPONENCIAL FUNCIÓN LOGARÍTMICA
Es decir, LNb log es equivalente a NbL ………………..1)
FORMA LOGARÍTMICA FORMA EXPONENCIAL EQUIVALENTE
29 log 3
-40001.0 log 10
3
24 log 8
932
0001.010-4
482/3
De 1) se deduce que 1log bb ; 01log b
PROPOSICIÓN 1. Si las bases son iguales, entonces los exponentes deben ser iguales. Esto es
Si 322 y
, entonces 3y
PROPOSICIÓN 2. Si los exponentes son iguales, entonces las bases deben ser iguales. Es decir
Si 33 2x , entonces 2x
Prof. José del Carmen Vázquez Bernal
19
FÓRMULAS DE TRIGONOMETRÍA IDENTIDADES FUNDAMENTALES
RECÍPROCAS:
ACscASen
1 1.
ASecACos
1 2.
ACotATan
1 3.
DE COCIENTE:
ACos
ASenATan
4.
ASen
ACosACot
5.
PITAGÓRICAS:
1 6. 22 ACosASen
ATanASec 22 1 7.
ACotACsc 22 1 8. SUMAS Y DIFERENCIAS DE ÁNGULOS:
SenBCosABCosASenBASen 9.
BSenASenBCosACosBACos 10.
BTanATan
BTanATanBATan
1
11.
SenBCosABCosASenBASen 12.
BSenASenBCosACosBACos 13.
BTanATan
BTanATanBATan
1
14.
ÁNGULO DOBLE
ACosASenASen 22 15.
1 22 16. 222 ACosASenACosACos
ATan
ATanATan
21
2 2 17.
ÁNGULO MEDIO:
2
1
2 18.
CosSen
2
1
2 19.
CosCos
Cos
CosTan
1
1
2 20.
PRODUCTOS, SUMAS Y DIFERENCIAS DE SENO Y COSENO:
BASenBASenBCosASen 2 21.
BACosBACosBCosACos 2 22.
BACosBACosBSenASen 2 23.
2
2 2 24.
BACos
BASenBSenASen
2
2 2 25.
BACos
BASenBSenASen
2
2 2 26.
BACos
BACosBCosACos
2
2 27.
BASen
BASenBCosACos
RAZONES EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO:
c
aSen ,
c
bCos
b
aTan ,
a
bCot
b
cSec ,
a
cCsc
TEOREMA DE PITÁGORAS:
222 bac
RAZONES EN LOS TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS:
LEY DE SENOS:
c
CSen
b
BSen
a
ASen
LEY DE LOS COSENOS:
ACoscbcba 2222
BCoscacab 2222
CCosbabac 2222