INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL -...

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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA

CONTROL DE UN PÉNDULO INVERTIDO UTILIZANDO LÓGICA DIFUSA

T E S I S

QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE INGENIERO EN COMUNICACIONES Y ELECTRÓNICA

P R E S E N T A N

ALARCÓN SÁNCHEZ ISRAEL ABRAHAM LUGO ORTIZ DIANA ISLET

MALDONADO ORDORICA RUBÉN ALEJANDRO

ASESOR TÉCNICO:

Dr. CARLOS ROMÁN MARIACA GASPAR

ASESOR METODOLÓGICO: ING. MARISOL SALINAS SALINAS

MÉXICO, D. F. 2011

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Índice

ÍNDICE

CAPÍTULO 1.- Introducción .............................................................................. 5

1.1.- Objetivos ................................................................................................................ 6

1.2.- Justificación del proyecto ....................................................................................... 7

1.3.- Planteamiento del problema ................................................................................... 8

CAPÍTULO 2.- Marco teórico ............................................................................. 9

2.1.- Lógica difusa .......................................................................................................... 9

2.2.- Control difuso ......................................................................................................... 9

2.3.- Funciones de membresía ..................................................................................... 10

2.4.- Conjuntos difusos ................................................................................................. 14

2.5.- Modulo de fusificación .......................................................................................... 14

2.6.- Base de conocimientos ........................................................................................ 16

2.7.- Motor de inferencia .............................................................................................. 17

2.8.- Módulo de defusificación ...................................................................................... 18

2.9.- Base de Reglas .................................................................................................... 19

2.10.- Modelo Mamdani ................................................................................................ 21

2.11.- Modelo Takagi-Sugeno-Kang (TSK) ................................................................... 23

2.12.- Control PID ........................................................................................................ 24

2.13.- Sistemas de control a lazo abierto ..................................................................... 26

2.14.- Sistemas de control a lazo cerrado ................................................................... 26

2.15.- Sistemas de control en lazo cerrado en comparación con los sistemas en lazo

abierto .......................................................................................................................... 27

2.16.- Matlab ................................................................................................................ 28

2.17.- Simulink ............................................................................................................. 28

2.18.- Puente H ........................................................................................................... 29

2.19.- Giroscopio .......................................................................................................... 29

2.20.- Tarjeta de Adquisición de Datos (DAC) .............................................................. 30

2.21.- Optoacoplador .................................................................................................... 30

2.22.- Operación y circuito NOT también llamado Inversor ........................................... 31

2.23.- Potenciómetro............................................................................................. 32

2.24.- Motor de Corriente Directa .......................................................................... 32

2.24.1.- Obtención del voltaje DC de salida de la espira rotatoria .................................. 32

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Índice

2.24.2.- Par inducido en la espira rotatoria......................................................................... 34

2.24.3.- Conmutación en una espira DC sencilla de cuatro espiras .............................. 35

2.24.4.- Desplazamiento de las escobillas ......................................................................... 36

2.24.5.- Ecuaciones de voltaje interno generado y par inducido en máquinas DC. .... 37

2.25.- Modelo matemático del péndulo invertido .......................................................... 38

2.25.1.- Análisis no lineal ...................................................................................................... 42

2.25.2- Análisis lineal ............................................................................................................. 42

CAPÍTULO 3- Desarrollo .................................................................................. 44

3.1.- Primera etapa: Diseño .......................................................................................... 44

3.1.1.- Diagrama de flujo ....................................................................................................... 52

3.2.- Segunda etapa: Simulaciones .............................................................................. 53

3.2.1.- Control PID .................................................................................................................. 53

3.2.2.- Control difuso .............................................................................................................. 57

3.3.- Tercera etapa: Implementación ............................................................................ 60

CAPÍTULO 4.- Pruebas y resultados .............................................................. 67

4.1 Modificaciones........................................................................................................ 72

BIBLIOGRAFÍA ................................................................................................. 77

GLOSARIO ........................................................................................................ 79

ANEXOS ............................................................................................................ 81

ANEXO 1.- Giroscopio LPY530AL ................................................................................ 81

ANEXO 2.- Puente H L293D ........................................................................................ 82

ANEXO 3.- Optoacoplador MOC2130 .......................................................................... 83

ANEXO 4.- Compuerta NOT 74LS04 ........................................................................... 84

ANEXO 5.- Regulador de voltaje LM317A .................................................................... 85

ANEXO 6.- DAC PH1018 ............................................................................................. 86

ANEXO 7.- Potenciómetro de precisión de 10 vueltas .................................................. 87

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Capítulo 1.- Introducción

CAPÍTULO 1.- Introducción

La aplicación de la teoría de control a problemas prácticos ha sido demostrada en

muchas ocasiones diseñando leyes de control para sistemas simples. Un ejemplo

típico de sistema inestable es el péndulo invertido.

El sistema a desarrollar es el péndulo invertido, en un principio se va a analizar su

comportamiento utilizando lógica difusa y a la vez compararlo con el diseño del

péndulo invertido con control PID de forma simulada, con ayuda de la herramienta

de Matlab „Simulink‟1. Posteriormente se podrá desarrollar el prototipo para

comparar los resultados reales y simulados, obteniendo un mejor enfoque y

comprensión del modelo difuso.

El péndulo invertido es uno de los sistemas más empleados en la educación de la

teoría de control moderna, se compone básicamente de un brazo articulado

montado en un carro, que puede moverse de forma horizontal; el brazo se mueve

libremente alrededor de la articulación en el carro, y el objetivo del control es llevar

el brazo al punto de equilibrio estable.

Sin ningún tipo de medidas de control en el carro y considerando que, si la barra

inicialmente está en posición vertical, hasta la más mínima perturbación externa

en el carro haría que la barra perdiera el equilibrio y por lo tanto que el sistema

sea inestable.

Una de las principales aplicaciones de éste sistema es en el diseño de robots,

principalmente piernas y extremidades, satélites, además de grúas.

1 Simulink.- Marca Registrada de Matlab

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1.1 .- Objetivos

a) General

Diseñar e implementar un controlador, utilizando técnicas avanzadas de

control para la estabilización de un péndulo invertido rotante, a partir de un

modelo existente del péndulo invertido.

b) Específicos

Obtener un modelo matemático lineal para el sistema del péndulo invertido

con control difuso.

Aplicar y comparar las simulaciones de los modelos matemáticos de control

clásico y control difuso.

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1.2 .- Justificación del proyecto

Actualmente nuestra institución no cuenta con equipo de apoyo a las materias

impartidas, dejando a estas en análisis matemático y simulación. Con lo cual el

prototipo del péndulo invertido servirá como apoyo a prácticas de laboratorio para

las materias de control inteligente, sistemas no lineales, control analógico,

servomecanismos, entre otras. Debido a que el péndulo invertido es el ejemplo

básico con el cual podemos entender las aplicaciones del desarrollo a nivel

industrial.

Este proyecto puede ser aplicado no solo a nivel educativo, debido a que, al contar

con técnicas de control moderno, podemos encontrar ejemplos en la industria, tal

es el caso de los novedosos segway2 que día a día siguen innovándose

exponencialmente, además de aplicarse en robots y satélites modernos.

Al realizar la comparación entre ambas técnicas de control (clásico y difuso) se

podrá observar cuál de estas tiene mejor desempeño de forma simulada y

quedara demostrado utilizando técnicas de lógica difusa de manera física con

nuestro prototipo del péndulo invertido.

2 Vehículo de transporte ligero giroscópico de dos ruedas, con auto balanceo controlado. Es producido por la

compañía Segway

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1.3.- Planteamiento del problema

El proyecto a desarrollar de manera física y simulada es un péndulo invertido

rotante utilizando técnicas de control moderno (Espacio de estados,

Servomecanismos, Lógica difusa); con las cuales se controlará el péndulo

tomando en cuenta las diversas características que afectan su equilibrio, tales

como las perturbaciones, longitud, velocidad, masa, fuerza, fricción y gravedad.

La lógica difusa ha surgido como un método importante para el control de

subsistemas y procesos industriales complejos, así como, también para la

electrónica de entretenimiento y hogar, sistemas de diagnóstico y otros sistemas

expertos.

Se desea implementar este estudio y proyecto para acrecentar el interés en la

comunidad politécnica, ya que es un ramo con mucho potencial a explotar, debido

a que no solo tiene términos académicos si no también puede ser utilizado para

investigación y lucro.

Los péndulos invertidos existentes, en su mayoría son utilizando PID, es decir

control proporcional integral derivativo, con el control difuso se puede lograr un

control más eficiente y con mejor ahorro de energía ya que utiliza un proceso más

complejo pero reducido en software comparado con el PID.

9

Capítulo 2.- Marco teórico

CAPÍTULO 2.- Marco teórico

2.1.- Lógica difusa

La lógica difusa es una extensión de la lógica clásica diseñada para permitir el

razonamiento sobre conceptos imprecisos. Así podremos formalizar proposiciones

como “la velocidad del motor es muy alta” o “el paciente tiene una fiebre

moderada”, que son difíciles de representar adecuadamente en la lógica clásica.

Básicamente, la lógica difusa es una lógica multivaluada que permite una

gradación continua en el valor de verdad de una proposición, al poder utilizar

cualquier valor en el intervalo {0,1}. [4]

Actualmente, la lógica difusa se aplica sobre todo al desarrollo de sistemas

expertos difusos. El uso de conceptos difusos permite definir reglas que formalicen

conocimiento impreciso de manera natural (por ejemplo, “si el paciente tiene fiebre

alta y es muy joven, entonces la dosis debe ser moderada”). En particular, el

número de aplicaciones en el área de ingeniería y control industrial es muy

elevado, ya que los sistemas difusos permiten, formulando reglas sencillas,

conseguir un “control suave” de los procesos.

2.2.- Control difuso

El control difuso es una clase de los sistemas basados en conocimiento KBS3.

Una definición muy general para un sistema KBS es la siguiente:

Un KBS para el control de lazo cerrado es un sistema de control que mejora el

funcionamiento, la confiabilidad y la solidez de control mediante la incorporación

de conocimiento que no puede ser incluido en el modelo analítico en el cual se

basa el diseño de un algoritmo de control, conocimiento que es usualmente

considerado por modos manuales de operación o por otros mecanismos lógicos

auxiliares. [3]

3 Del ingles Knowledge Based System

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Un sistema de control difuso es un sistema experto en tiempo real, que

implementa parte de la experiencia de los operadores, la cual por sí misma no se

puede expresar fácilmente, como los parámetros de un control PID o como

ecuaciones diferenciales (sean estas lineales o no lineales, continuas o discretas).

2.3.- Funciones de membresía

Los valores lingüísticos adoptados por las variables en la regla antecedente y

consecuente, y la representación simbólica de las normas son lo suficientemente

buenos para permitir un análisis cualitativo sobre la estabilidad del sistema de lazo

cerrado. Sin embargo, para las necesidades de la descripción cuantitativa del

comportamiento del sistema de lazo cerrado, con la participación del cálculo de la

salida de control cuantitativo, se necesita una interpretación cuantitativa del

significado de los valores lingüísticos. Permitiendo los dominios físicos de

respectivamente. Los elementos de estos dominios se

denotan por El significado o interpretación de un valor particular LX

lingüística de una variable x viene dada por conjuntos difusos o definido en

el dominio (el universo del discurso) X de x como:

Ahora suponiendo eso 4 los

términos del conjunto que contienen los valores lingüísticos de las tres variables

lingüísticas son iguales. En este caso tenemos que definir veintiún funciones de

pertenencia que representa el significado de cada valor lingüístico del plazo fijado

por encima de los respectivos dominios Para la eficiencia

computacional, el uso eficiente de la memoria, y las necesidades de análisis de

4 Conjunto de términos de reglas de errores en un dominio normalizado

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rendimiento, se requiere una representación uniforme de las funciones de

pertenencia. Esta representación uniforme se puede lograr mediante el empleo de

funciones de membresía de una forma uniforme y definición paramétrica y

funcional.

Fig. 2.3.1.- Mapeo del conjunto de términos de error normalizados en el dominio [-6,6]

Las opciones más populares para la forma de la función de membresía son

triangulares, trapezoidales, y las funciones en forma de campana. Estas tres

opciones se pueden explicar por el ápice que se puede obtener de una descripción

paramétrica y funcional de la función de pertenencia, almacenar la memoria ápice

uso mínimo, y manipulados de manera eficiente, en términos de requisitos de

tiempo real, por el motor de inferencia. Las figuras 2.3.2 a 2.3.4 representan las

tres opciones para las funciones de membresía. [3]

Fig. 2.3.2. Función de membresía triangular ,)

1

α β

12


Fig. 2.3.3. Función de membresía trapezoidal

Fig. 2.3.4. Función de membresía de forma campana

Es fácil ver que la descripción paramétrica y funcional de la función de membresía

de forma triangular es la que predomina en este tipo de funciones de membresía.

Una vez que la forma de la función de membresía se ha seleccionado, hay que

asignar cada elemento del conjunto de términos en el dominio de la variable

lingüística correspondiente.

En un conjunto bien definido, la pertenencia o no pertenencia de un elemente x a

un conjunto A se describe mediante la función característica como se

describe a continuación.

1

α β

1

-β

+β

13


Dicha función es llamada función de membresía de A, y está definida para todos

los elementos del universo, esta función hace un mapeo de todo el universo U a

su conjunto de evaluación de dos elementos {0,1}, esto se escribe como:

La asignación de los valores lingüísticos de una variable en su dominio puede

afectar al rendimiento de la FKBC de varias maneras.

Generalmente se aplican funciones de transferencia triangulares, cuando el

sistema difuso se emplea como estrategia de control, y gaussianas, cuando se

emplea el sistema difuso como aproximador universal, en los antecedentes y

pulsos unitarios en los consecuentes. Las funciones de membresía en las que el

ancho derecho e izquierdo coincide se denominan simétricas, en caso contrario

asimétricas. Al punto en el que se cortan dos funciones de membresía se le

denomina punto de cruce. El nivel de cruce es el grado de membresía que

adquiere el punto de cruce en cualquiera de las dos funciones de membresía. Al

número de puntos de cruce entre dos funciones de membresía se denomina

relación de punto de cruce. Las funciones de membresía de los antecedentes, con

respecto a estos últimos parámetros, suelen ser de tal forma que el nivel del punto

de cruce es distinto de cero.

El empleo de funciones de membresía gaussianas en los antecedentes, al usar los

sistemas difusos como aproximadores universales, se debe a que generan

funciones escalares de salida, en función de las entradas escalares, continuas y

derivables. Esto permite la aplicación de los algoritmos de propagación hacia atrás

de mínimos cuadrados recursivos para determinar la estructura difusa que mejor

aproxima una determinada superficie de entrada.

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2.4.- Conjuntos difusos

La lógica difusa trabaja con conjuntos a los cuales llamamos conjuntos difusos,

estos conjuntos están definidos por sus funciones de pertenencia, la cual expresa

la distribución de verdad de una variable.

Un conjunto difuso se puede definir matemáticamente al asignar a cada posible

individuo que existe en el universo, un valor que representa su grado de

membresía en el conjunto difuso. Este grado de membresía indica cuando el

elemento es similar o compatible con el concepto representado por el conjunto

difuso.

2.5.- Modulo de fusificación

La estructura principal de un FKBC se ilustra en la figura 2.5.1 y se conforma de

los siguientes componentes: [3]

El módulo de fusificación (FM) realiza las siguientes funciones:

FM-F1: realiza una transformación de escala (a la normalización de

entrada) que asigna los valores físicos de las variables de estado del actual

proceso de normalización (dominio normalizado). También asigna el valor

normalizado de la variable de control de salida sobre su dominio físico

(desnormalización de salida). Cuando un dominio normalizado no se utiliza,

entonces no hay necesidad de FM-F1

FM-F2: Realiza la llamada fusificación que convierte un point-wise, al valor

actual de una variable de estado del proceso en un conjunto difuso, con el

fin de hacerla compatible con la representación de conjuntos difusos de la

variable de estado del proceso en el antecedente de la regla.

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Elección de la estrategia de fusificación:

La elección es determinada por el tipo de motor de inferencia o de activación de la

regla empleada en el uso particular de un FKBC. Por lo tanto solo hay dos

opciones disponibles:

1.- Fusificación en el caso de que la inferencia este basada en la composición.

2.- Fusificación en el caso de que la inferencia este basada en la regla individual.

La etapa de fusificación se encarga de la transformación de las variables

controladas entregadas por el proceso, en variables de tipo lingüísticas, como

resultado de la fusificación se obtienen valores lingüísticos medidos.

Flujo computacional

Flujo de información

Traducción simbólica del significado

Fig. 2.5.1.- Estructura de un FKBC

Normalización

FM-F1

Desnormalización

DM-F1

Fusificación

FM-F2

Defusificación

DM-F2

Motor de

inferencia

Base de reglas

Sentido de la

representación

Base de datos

Base de reglas

Representación

simbólica

Estado del proceso nítido

Valores

Salida de control nítido

Valores

FM DM

Opcional

Obligatorio

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2.6.- Base de conocimientos

La base de conocimientos de un FKBC consiste en una base de datos y una base

de reglas.

Las funciones básicas de la base de datos es proporcionar la información

necesaria para el buen funcionamiento del módulo de fusificación, la base de

reglas, y para el módulo de defusificación. Esta información incluye: [3]

Conjuntos difusos (funciones de membresía) representa el significado de los

valores lingüísticos del estado del proceso y las variables de control de salida.

Dominios físicos y sus homólogos normalizados junto con la

normalización/desnormalización (ampliación) de sus factores.

Si el dominio del estado del proceso y las variables de control de salida se han

discretizado, la base de datos también contiene información sobre la cuantificación

(discretización). Para el caso predominante continuo y dominios normalizados los

parámetros de diseño de la base de datos incluyen:

Elección de las funciones de membresía

Elección de los factores de escalamiento

La función básica de la base de reglas es representar de una manera estructurada

la política de control de la experiencia del proceso de un operador en forma de un

conjunto de normas de producción, tales como:

Sí (proceso del estado) entonces (salida de control)

La parte „Si‟ de esta norma se llama antecedente de la regla y es la descripción de

un estado del proceso en términos de una combinación lógica de las

proposiciones atómicas difusas. La parte „entonces‟ de esta norma es llamada la

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consecuencia de la regla y es también una descripción de la salida de control en

términos de combinaciones lógicas de las proposiciones difusas.

2.7.- Motor de inferencia

Has dos tipos básicos de métodos empleados en el diseño del motor de inferencia

de un FKBC: [3]

1) Composición a base de inferencia (disparo)

2) Regla individual de inferencia de base (disparo)

En nuestro caso solo consideraremos el segundo tipo de inferencia, debido a su

uso predominante en las aplicaciones del FKBC. La función básica del motor de

inferencia del segundo tipo consiste en calcular el valor total de la variable de

salida de control basado en las contribuciones individuales de cada regla en la

base de reglas. La contribución de cada individuo representa los valores de las

variables de control de salida calculado por una sola regla. La salida del módulo

de fusificación, que representa los valores actuales, nítidos de las variables de

procesos de estado, se corresponde a cada antecedente de la regla y un grado de

satisfacción de la altura de cada regla establecida. El conjunto de todos los valores

de salida de las normas de control representan el valor total de salida de control,

en este contexto los parámetros de diseño para el motor de inferencia son los

siguientes:

Elección de representar el significado de una norma única de producción.

Elección de representar el significado del conjunto de normas.

Elección del motor de inferencia.

Probar el conjunto de reglas para consistencia e integridad.

En esta etapa se realiza la tarea de calcular las variables de salida a partir de las

variables entrada, mediante las reglas y la inferencia difusa, entregando conjuntos

difusos de salida.

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2.8.- Módulo de defusificación

Las funciones del modulo de defusificación (DM) son las siguientes: [3]

DM-F1: Realiza la llamada defusificación la cual convierte el conjunto de los

valores de las salidas modificadas en un solo valor del point-wise.

DM-F2: Realiza una salida desnormalizada a la cual se le asigna el valor

del point-wise de la salida de control, en su dimensión física. DM-F2 no es

necesaria si los dominios no normalizados se utilizan.

El parámetro de diseño del DM es:

Elección del operador de defusificación.

En aplicaciones de control, el conjunto difuso inferido como salida debe

convertirse a un valor escalar. El resultado de la inferencia difusa es retraducido

de un concepto lingüístico a una salida física gracias al proceso de defusificación.

Donde q es el número de niveles de cuantización de salida, Zj es la suma de las

salidas de control en el nivel de cuantización j y representa los valores de la

función de membresía en c. En otras palabras este método asigna el centro del

área de la salida difusa final al valor defusificados.

El centro de área también es llamado centro de gravedad o centroide.

Fig.2.8.1.- Método de defusificación de Centro de Área (COA)

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En la figura 2.8.2 se describen los pasos para poder realizar un sistema difuso,

esto es, si tenemos una entrada (valor numérico), se puede representar este valor

con una variable lingüística de un peso dado, después se realiza la evaluación de

las reglas que son las que gobiernan el sistema difuso, por último se vuelve a

pasar de una variable lingüística a un valor numérico.

Fig.2.8.2.- Máquina de inferencia difusa

2.9.- Base de Reglas

Los parámetros de diseño de la base de reglas incluyen: [8]

Elección del estado de proceso y las variables de control de salida.

Elección de los contenidos de la regla antecedente y de la regla

consecuente.

Elección de los conjuntos de términos (rangos de valores lingüísticos) para

el estado del proceso y las variables de control de salida.

Derivación de la serie de reglas.

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Las reglas usadas en un sistema de base de reglas son generalmente expresadas

en una forma tal como:

“Si x es A entonces y es B”

Donde A y B son conjuntos difusos, x esta en el dominio de A y y en el dominio de

B. Esto suena como una implicación, como “A implica B”. Hay muchas

generalizaciones de la operación de implicación lógica clásica a los conjuntos

difusos. Pero la mayoría de los mecanismos de inferencia usados en sistemas de

control lógico difusos no son generalizaciones de la implicación clásica.

El razonamiento aplicado en lógica difusa es a menudo descrito en términos

generalizados

Premisa 1 x es

Premisa 2 Si x es A entonces y es B

Conclusión y es

Donde , , , son conjuntos difusos que presentan conceptos difusos. El

cálculo de puede llevar a cabo a través de una norma básica de inferencia

llamado de composición, a saber, o donde R es una relación difusa que

representa la proposición de implicación o proposición condicional difusa “Premisa

2”. Este sistema de inferencia es a veces descrito como un problema de

interpolación. La interpolación se encuentra en el corazón de la utilidad de los

sistemas basados en reglas difusas, porque hace posible emplear un número

relativamente pequeño de reglas difusas para caracterizar una relación compleja

entre dos o más variables. Una serie de fórmulas se han propuesto para esta

implicación, la más común es la conjunción de composición.

Entonces se define como:

21


Describiremos dos métodos de inferencia (método de Mamdani y método de

Takagi-Sugeno-Kang) comúnmente usados para interpretar un conjunto de reglas.

Si x es Ai, entonces y es Bi, i=1,2,…,n

Aquí se contiene las reglas difusas que encierran el conocimiento necesario por la

solución del problema de control. Las reglas de control constan de regla si

<condiciones> entonces <acciones>.

2.10.- Modelo Mamdani

Dadas las reglas “Si x es Ai entonces y es Bi,” [8]

Donde:

Se combinan en el modelo Mamdani como:

Para cada k-tupla

Esto da un conjunto difuso Rx definido por:

22


Notar que para la expansión del conjunto de reglas

Ri : Si Ai1 y Ai2 y … y Aik entonces Bi, i=1,2,…,n

Se ve como:

En control difuso, el número es

llamado la fuerza de la regla Ri para la entrada x. El conjunto difuso

es llamado como la salida de control de la regla Ri para la entrada x,

y el conjunto difuso Rx(y) es la salida de control de agregados para la entrada x.

En la figura 2.10.1 se muestra el diagrama de bloques de un sistema de control

basado en el modelo Mamdani, dicho sistema consta de cuatro partes.

Fig. 2.10.1.- Estructura de un controlador difuso Mamdani.

Interface de

Fusificación

Base de

Reglas

Máquina

de

inferencia

Defusificación

Entrada

no difusa

Salida no

difusa

23


2.11.- Modelo Takagi-Sugeno-Kang (TSK)

Para el modelo TSK, las reglas están dadas de la forma: [8]

Ri : Si x1 es Ai1 y x2 es Ai2 y … y xik es Aik

Entonces:

O

Ri : Si x1 es Ai entonces:

Donde:

Son funciones:

Esas reglas son combinadas y obtenemos la siguiente función:

Por lo tanto, este modelo produce una función real valorada.

24


2.12.- Control PID

El principio básico del esquema de control PID es que actúa sobre la variable a ser

manipulada a través de una apropiada combinación de las tres acciones de

control: acción de control proporcional (donde la acción de control es proporcional

a la señal de error actuante, la cual es la diferencia entre la entrada y la señal de

realimentación); la acción de control integral (donde la acción de control es

proporcional a la integral de la señal de error actuante) y la acción de control

derivativa (donde la acción de control es proporcional a la derivada de la señal de

error actuante). [10]

En situaciones donde muchas plantas se controlan directamente mediante una

sola computadora digital, la mayoría de los lazos de control se pueden manipular

mediante esquemas de control PID.

La acción de control PID en controladores analógicos está dada por

Donde e(t) es la entrada al controlador (señal de error actuante), m(t) es la salida

del controlador (la señal manipulada), K es la ganancia proporcional, T, es el

tiempo integral (o tiempo de reajuste) y Td es el tiempo derivativo (o tiempo de

adelanto).

Para obtener la función de transferencia pulso del controlador PID digital, se

puede discretizar la ecuación anterior. Donde finalmente obtenemos la siguiente

ecuación:

O bien:

25


Donde, la ganancia proporcional es:

La ganancia integral es:

La ganancia derivativa es:

La función de transferencia pulso del controlador PID digital se convierte en:

El diagrama del controlador Proporcional Integral Derivativo se muestra en la

figura 2.12.1.

Fig. 2.12.1.- Controlador PID

PLANTA

KP

KDS

ENTRADA +

_

CONTROLADOR

PROPORCIONAL

INTEGRAL

DERIVATIVO

SALIDA +

+

+

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Las leyes de control lineales en la forma de acciones de control PID, tanto en la

forma posicional como en la velocidad, son básicas en controles digitales debido a

que con frecuencia dan soluciones satisfactorias a muchos problemas prácticos

de control, en particular a problemas de procesos. Estas leyes de control se

pueden implantar mediante software, y por lo tanto las restricciones de hardware

de los controladores PID se pueden ignorar por completo.

2.13.- Sistemas de control a lazo abierto

Los sistemas de control a lazo abierto son en los cuales la salida no afecta la

acción de control, en otras palabras, en un sistema de control en lazo abierto no

se mide la salida ni se realimenta para compararla con la entrada. En cualquier

sistema de control en lazo abierto, la salida no se compara con la entrada de

referencia. Por tanto, a cada entrada de referencia le corresponde una condición

operativa fija; como resultado, la precisión del sistema depende de la calibración.

Ante la presencia de perturbaciones, un sistema de control en lazo abierto no

realiza la tarea deseada. En la práctica, el control en lazo abierto sólo se usa si se

conoce la relación entre la entrada y la salida y si no hay perturbaciones internas

ni externas. Es evidente que estos sistemas no son de control realimentado.

Cualquier sistema de control que opere con una base de tiempo es en lazo

abierto. Por ejemplo, el control del tránsito mediante señales operadas con una

base de tiempo es otro ejemplo de control en lazo abierto. [9]

2.14.- Sistemas de control a lazo cerrado

Los sistemas de control a lazo cerrado son aquellos sistemas realimentados. En

un sistema de control en lazo cerrado, se alimenta al controlador la señal de error

de actuación, que es la diferencia entre la señal de entrada y la señal de

realimentación (que puede ser la señal de salida misma o una función de la señal

de salida y sus derivadas y/o integrales), a fin de reducir el error y llevar la salida

27


del sistema a un valor conveniente. El término control en lazo cerrado siempre

implica el uso de una acción de control realimentado para reducir el error del

sistema. [9]

2.15.- Sistemas de control en lazo cerrado en comparación con los sistemas

en lazo abierto

Una ventaja del sistema de control en lazo cerrado es que el uso de la

realimentación vuelve la respuesta del sistema relativamente insensible a las

perturbaciones externas y a las variaciones internas en los parámetros del

sistema. Por tanto, es posible usar componentes relativamente precisos y baratos

para obtener el control adecuado de una planta determinada, en tanto que hacer

eso es imposible en el caso de un sistema en lazo abierto. Desde el punto de vista

de la estabilidad, el sistema de control en lazo abierto es más fácil de desarrollar,

porque la estabilidad del sistema no es un problema importante. Por otra parte, la

estabilidad es una función principal en el sistema de control en lazo cerrado, lo

cual puede conducir a corregir en exceso errores que producen oscilaciones de

amplitud constante o cambiante.

Debe señalarse que, para los sistemas en los que se conocen con anticipación las

entradas y en los cuales no hay perturbaciones, es aconsejable emplear un control

en lazo abierto. Los sistemas de control en lazo cerrado sólo tienen ventajas

cuando se presentan perturbaciones impredecibles y/o variaciones impredecibles

en los componentes del sistema. Observe que la valoración de la energía de

salida determina en forma parcial el costo, el peso y el tamaño de un sistema de

control. La cantidad de componentes usados en un sistema de control en lazo

cerrado es mayor que la que se emplea para un sistema de control equivalente en

lazo abierto. Por tanto, el sistema de control en lazo cerrado suele tener costos y

potencias más grandes. Para disminuir la energía requerida de un sistema, se

emplea un control en lazo abierto cuando puede aplicarse. Por lo general, una

28


combinación adecuada de controles en lazo abierto y en lazo cerrado es menos

costosa y ofrecerá un desempeño satisfactorio del sistema general. [9]

2.16.- Matlab

Matlab es un potente lenguaje diseñado para la computación técnica. Matlab

puede ser utilizado en computación matemática, modelado y simulación, análisis y

procesamiento de datos, visualización y representación de gráficos, así como para

el desarrollo de algoritmos. [5]

Matlab es ampliamente conocido y utilizado en universidades e institutos para el

aprendizaje en cursos básicos y avanzados de matemáticas, ciencias y,

especialmente, ingeniería. El programa estándar de Matlab comprende una serie

de herramienta (funciones) que pueden ser utilizadas para resolver problemas

comunes, pero Matlab incorpora, además, otras librerías específicas llamadas

tollboxes, que son colecciones de funciones especializadas y diseñadas para

resolver problemas muy específicos.

2.17.- Simulink

Simulink es un entorno para simulación y diseño basado en modelos para

sistemas dinámicos y embebidos. Proporciona un entorno gráfico interactivo y

conjunto de bibliotecas de bloques que le permiten al usuario diseñar, simular,

implementar y probar una variedad de sistemas variables en el tiempo, con

aplicaciones en control, comunicaciones, procesamiento de señales, de video y de

imágenes. [12]

29


2.18.- Puente H

Un puente H es un dispositivo capaz de soportar el flujo bidireccional de corriente

invertida. En la figura 2.18.1 se muestra la configuración y función de un puente H.

Este circuito es básicamente un arreglo de cuatro interruptores acomodados como

se puede observar. Los interruptores (A, B, C y D) pueden ser de transistores

bipolares, mosfets, jfets, relevadores o cualquier combinación de elementos. Los

puentes H se utilizan para hacer funcionar el elemento central en ambos sentidos

sin tener que manejar voltajes negativos.

Si se cierran solamente los contactos A y D la corriente circulará en un sentido a

través del sistema al que esté conectado, y si se cierran solamente los contactos B

y C la corriente circulará en sentido contrario.

Fig. 2.18.1.- Puente H

Siempre se debe tener cuidado en no cerrar los contactos A y B o C y D al mismo

tiempo, porque se ocasionaría un corto circuito. Es recomendable colocar diodos

de protección para el motor, para asegurar que la corriente no regrese, debido al

efecto inductivo de sus bobinas.

2.19.- Giroscopio

El giroscopio está basado en un fenómeno físico: una rueda girando se resiste a

que se le cambie el plano de giro (o lo que es lo mismo, la dirección del eje de

30


rotación). Esto se debe a lo que en física se llama principio de conservación del

momento angular.

Si bien existe al menos un sensor giroscópico integrado cuyo funcionamiento

continúa basado en un elemento circular (un anillo, en el caso que conocemos), la

realidad es que la mayoría de los sensores actuales de pequeño tamaño, como los

que se utilizan en modelos de helicópteros y robots, están basados en integrados

cuya alma son pequeñas lengüetas vibratorias, construidas directamente sobre el

chip de silicio. Su detección se basa en que las piezas cerámicas en vibración son

sujetas a una distorsión que se produce por el efecto Coriolis (son cambios en la

velocidad angular).

2.20.- Tarjeta de Adquisición de Datos (DAC)

La utilización de las tarjetas de adquisición de datos ha conseguido una gran

aceptación en muchas aplicaciones. Se conectan directamente al bus del

ordenador y permiten adquirir y procesar datos en tiempo real. Cada modelo de

tarjeta presenta varias funcionalidades, lo que proporciona mucha flexibilidad y

operatividad para las necesidades de medida y de control. El Objetivo final de esta

flexibilidad es la posibilidad de poder adaptar la misma tarjeta a diferentes

aplicaciones. [7]

2.21.- Optoacoplador

En un optoacoplador se combinan una fuente de luz, normalmente un Led

infrarrojo de AsGa5 y un fotodetector de Si6, que puede ser desde un simple

fotodiodo hasta una combinación de éste con un circuito integrado que incluye un

5 Semiconductor que se encuentra formado por la combinación de Galio (Ga) y el Arsénico (As) utilizada

para obtener arseniuro de galio (AsGa). 6 Semiconductor de Silicio.

31


regulador de tensión y un circuito elemental para el procesamiento de la señal.

Aunque es posible formar un optoacoplador mediante componentes discretos, el

diseño con elementos integrados ofrece muchas ventajas. [11]

2.22.- Operación y circuito NOT también llamado Inversor

La operación NOT dice que si se somete una variable A a dicha operación, el

resultado x se puede expresar como: [14]

Donde la barra sobrepuesta representa la operación NOT. Esta expresión se lee “x

es igual a la negación de A”, o “x es igual al inverso de A”, o “x es igual al

complemento de A”.

A X =

0 1

1 0

Tabla 2.22.1.- Tabla de verdad

Fig. 2.22.1.- Símbolo

Este circuito lógico es más conocido como Inversor, solo tiene una entrada y su

salida es el inverso de dicha entrada.

A X=

32


2.23.- Potenciómetro

Un potenciómetro es un transductor electromecánico que convierte energía

mecánica en energía eléctrica. La entrada del dispositivo es una forma de

desplazamiento mecánico, ya sea lineal o de rotación. Cuando se aplica un voltaje

a través de las terminales fijas del potenciómetro, el voltaje de salida, que se mide

entre la terminal variable y tierra, es proporcional al desplazamiento de entrada, ya

sea linealmente o de acuerdo con alguna relación no lineal.

Los potenciómetros rotatorios están disponibles comercialmente en

presentaciones de una u varias revoluciones múltiples, con movimiento de rotación

limitado o no limitado. Comúnmente, los potenciómetros están hechos de alambre

o de material resistente plástico conductivo. [6]

2.24.- Motor de Corriente Directa

Los motores de corriente directa (CD) tienen características variables y se usan

mucho en propulsión con velocidad variable. Pueden proporcionar un alto par de

arranque, y también es posible obtener el control de velocidad dentro de márgenes

amplios. Los motores de CD juegan un papel importante en los sistemas de

propulsión industriales modernos. [13]

2.24.1.- Obtención del voltaje DC de salida de la espira rotatoria

La figura 2.24.1.1 corresponde a una gráfica del voltaje etot generado por la espira

rotatoria. Como se muestra, el voltaje de salida de la espira toma alternadamente

un valor positivo constante y un valor negativo constante. [1]

33


Fig. 2.24.1.1.- Voltaje de salida de la espira

Para poder hacer que esta máquina produzca un voltaje DC en lugar del voltaje

AC se muestra en la figura 2.24.1.2 aquí se adicionan al extremo de la espira dos

segmentos conductores semicirculares y se sitúan dos contactos fijos en un

ángulo tal que en el instante cuando el voltaje en la espira es cero, los contactos

cortocircuitan los dos segmentos. De este modo, cada vez que el voltaje de la

espira es cero, los contactos también cambian las conexiones, y la salida de los

contactos está siempre construida de la misma manera. Este proceso de cambio

de conexión se conoce como conmutación. Los segmentos semicirculares rotantes

se denominan segmentos de conmutación y los contactos fijos se llaman

escobillas.

Fig. 2.24.1.2 Producción de una salida DC de la máquina con colector y escobillas

34


2.24.2.- Par inducido en la espira rotatoria

Para determinar el par se observará a detalle la espira mostrada en la figura

2.24.2.1, el método que debe emplearse para determinar el par sobre la espira

consiste en tener por separado cada segmento de ésta y luego sumar los efectos

de los segmentos individuales. [1]

Fig. 2.24.2.1.- Deducción de una ecuación para el par inducido en la espira

La fuerza inducida sobre un segmento de la espira está dada por la siguiente

ecuación:

Y el par sobre el segmento está dado por:

Donde es el ángulo entre r y F, el par es cero en todos los puntos en los que la

espira está situada fuera de las caras polares.

El par inducido resultante total en la espira está dado por:

35


Dado que y , la expresión del par se puede reducir a:

Entonces, el par producido en la máquina es el producto del flujo y la corriente en

ella multiplicada por una cantidad que representa la construcción mecánica de la

máquina (el porcentaje del rotor cubierto por las caras polares). En general, el par

en cualquier máquina real dependerá de los mismos tres factores.

1.- El flujo en la máquina

2.- La corriente en la máquina

3.- Una constante que representa la construcción de la máquina

2.24.3.- Conmutación en una espira DC sencilla de cuatro espiras

La conmutación e el proceso de convertir los voltajes y corrientes ac producidos

en el rotor de una maquina DC en voltajes y corrientes d en sus terminales. La

figura 2.24.3.1 muestra una maquina sencilla de cuatro espiras y dos polos. [1]

Fig. 2.24.3.1.- Máquina DC de cuatro espiras y dos polos

36


Esta máquina tiene cuatros espiras completas incrustadas en ranuras labradas en

el acero laminado de este rotor. Las caras polares de la maquina son curvas para

proveer un ancho uniforme del entrehierro y dar una densidad de flujo uniforme en

todo punto situado bajo las caras.

Como en el caso de una espira rotacional sencilla, los segmentos rotantes a los

cuales están unidas las espiras se llaman segmentos del conmutador (o del

colector), y las piezas estacionarias que se montan en la parte superior de los

segmentos móviles se llaman escobillas. En las maquinas reales, los segmentos

del conmutador están hechos de barras de cobre. Las escobillas están hechas de

una mezcla que contiene grafito, de modo que causa un rozamiento muy pequeño

cuando tocan los segmentos de conmutación rotantes.

2.24.4.- Desplazamiento de las escobillas

Los intentos para mejorar el proceso de conmutación en las máquinas DC reales

se llevaron a cabo para detener el chispeo en las escobillas, causado por el

desplazamiento del plano neutro y los efectos de la bobina, el plano neutro se

mueve con cada cambio de carga y la dirección del desplazamiento se invierte

cuando la máquina pasa de operación de motor a operación de generador. El

desplazamiento de las escobillas puede detener el chisporroteo de la escobilla

pero agravaría el efecto de debilitamiento del flujo de la reacción del inducido en

la máquina; esto se demuestra por dos efectos: [1]

1.- La fuerza magnetomotriz del rotor tiene ahora una componente vectorial que se

opone a la fuerza magnetomotriz de los polos.

2.- El cambio en la distribución de la corriente del inducido se concentra aún más

en las partes saturadas de las caras polares.

37


En la actualidad el desplazamiento de escobillas se utiliza únicamente en

máquinas muy pequeñas que todavía giran como motores, debido a que las otras

soluciones mejores resultarían costosas en esos motores pequeños.

2.24.5.- Ecuaciones de voltaje interno generado y par inducido en máquinas

DC.

En toda máquina dc, el par depende de tres factores: [1]

1.- El flujo en la maquina

2.- La corriente de armadura (o rotor) IA en la maquina

3.- Una constante que depende de la construcción DC de la maquina

Para determinar el par en un solo conductor en el motor puede ser expresado

como:

Puesto que hay Z conductores, el par inducido total en el rotor de una maquina DC

real es:

El flujo por polo en esta máquina se puede expresar como:

En consecuencia, el par inducido total se puede expresar como:

38


2.25.- Modelo matemático del péndulo invertido

Partiendo del siguiente esquema del péndulo invertido [2]:

Fig. 2.25.1.- Esquema del péndulo invertido

Donde:

M: Masa del carro

u: Fuerza (variable de entrada)

x: Desplazamiento horizontal

θ: Ángulo del punto de apoyo

m: Masa del péndulo

g: Aceleración de la gravedad

l: Distancia del origen al punto

Tenemos entonces que:

M

mg

θ

x

u

l

39


Sustituyendo la ecuación (4) en la ecuación (1):

Sustituyendo la ecuación (5) en la ecuación (2):

Derivando la ecuación (6):

Derivando la ecuación (7):

40


De la ecuación (8) despejamos :

De la ecuación (9):

Igualando la ecuación (10) con la ecuación (11) y despejando :

Agrupando términos:


41



Igualamos las ecuaciones (13) y (14) y despejamos :

De las ecuaciones (14) y (15) obtenemos finalmente:

42


2.25.1.- Análisis no lineal

Definiendo las siguientes variables de estado:

Obtenemos las siguientes ecuaciones que representan el modelo de estado no

lineal:

2.25.2- Análisis lineal

Si se realiza una estructura de control que logra mantener al sistema funcionando

en torno al estado definido por , las ecuaciones (16), (17),

(18) y (19) pueden linealizarse en torno a dicho punto de funcionamiento,

obteniéndose el siguiente modelo lineal del sistema:

43


Si las variables de salida del sistema son θ(t) y x(t), se puede escribir la ecuación

de salida del modelo como:

Los puntos de equilibrio estable de este sistema se encuentran en:

Los puntos de equilibrio no estable de este sistema se encuentran en:

44

Capítulo 3.- Desarrollo

CAPÍTULO 3- Desarrollo

3.1.- Primera etapa: Diseño

El control que se emplea en este trabajo se desarrolla con ayuda del software

MATLAB, con el toolbox de lógica difusa que viene en este software. El sistema de

inferencia difuso que se utiliza se compone principalmente de tres partes como se

muestra en la figura 3.1.1.

Fig. 3.1.1.- Sistema de inferencia difuso

En la primera fase de nuestro sistema escogemos las variables lingüísticas y

creamos las funciones de membresía para cada una de las variables.

El modelo que se emplea es el de Mamdani, y el diagrama general de cómo se

muestra el editor del sistema de inferencia difuso se muestra en la figura 3.1.2.

Fig. 3.1.2.- Editor del Sistema de Inferencia Difuso

Entradas

Salidas

Editor de

reglas

45


Las variables lingüísticas que se tienen a la entrada del sistema difuso son cuatro:

ángulo, velocidad angular, error y velocidad-carro.

En la figura 3.1.3 se muestran las funciones de membresía que componen a la

primera variable de entrada ángulo.

Fig. 3.1.3.- Funciones de membresía de la variable “Ángulo”

Como se puede observar el universo de la variable es de -0.5° a 0.5°, siendo estos

el ángulo negativo y el ángulo positivo.

Los grados de pertenencia se calculan con las ecuaciones de las rectas y

asignando un valor máximo, en este caso es el “1”, por lo tanto las funciones

quedan de la siguiente manera.

=

46



segunda variable de entrada velocidad angular.

Fig. 3.1.4.- Funciones de membresía de la variable “Velocidad angular”

Como se puede observar el universo de la variable es de -1.5 a 1.5 , siendo

estos el ángulo negativo y el ángulo positivo.




=

47



tercera variable de entrada error.

Fig. 3.1.5.- Funciones de membresía de la variable “Error”

Como se puede observar el universo de la variable es de -17 a 17, siendo estos el

rango del error.




=

48



cuarta variable de entrada velocidad-carro.

Fig. 3.1.6.- Funciones de membresía de la variable “Velocidad-Carro”

Como se puede observar el universo de la variable es de -5 a 5, siendo estos el

rango de la velocidad del carro.




=

Una vez que el algorimo de fusificación ha sido desarrollado, el visualizador de

reglas que se observa en la figura 3.1.7 es una visión simplificada del sistema de

inferencia difusa.

49


Fig. 3.1.7.- Reglas

En la figura 3.1.7 se puede apreciar el comportamiento de las variables de entrada

que se desean manipular.

El controlador de lógica difusa se construye con las siguientes bases de reglas:

1.- Si ángulo es negativo y velocidad angular es negativo y error es negativo y

velocidad carro es negativo entonces control es NG.

2.- Si ángulo es negativo y velocidad angular es negativo y error es negativo y

velocidad carro es positivo entonces control es NM.

3.- Si ángulo es negativo y velocidad angular es negativo y error es positivo y

velocidad carro es negativo entonces control es CERO.

4.- Si ángulo es negativo y velocidad angular es negativo y error es positivo y

velocidad carro es positivo entonces control es PP.

5.- Si ángulo es negativo y velocidad angular es positivo y error es negativo y

velocidad carro es negativo entonces control es NM.

50


6.- Si ángulo es negativo y velocidad angular es positivo y error es negativo y

velocidad carro es positivo entonces control es NP.

7.- Si ángulo es negativo y velocidad angular es positivo y error es positivo y

velocidad carro es negativo entonces control es PP.

8.- Si ángulo es negativo y velocidad angular es positivo y error es positivo y

velocidad carro es positivo entonces control es PM.

9.- Si ángulo es positivo y velocidad angular es negativo y error es negativo y

velocidad carro es negativo entonces control es NM.

10.- Si ángulo es positivo y velocidad angular es negativo y error es negativo y

velocidad carro es positivo entonces control es NP.

11.- Si ángulo es positivo y velocidad angular es negativo y error es positivo y

velocidad carro es negativo entonces control es PP.

12.- Si ángulo es positivo y velocidad angular es negativo y error es positivo y

velocidad carro es positivo entonces control es PM.

13.- Si ángulo es positivo y velocidad angular es positivo y error es negativo y

velocidad carro es negativo entonces control es NP.

14.- Si ángulo es positivo y velocidad angular es positivo y error es negativo y

velocidad carro es positivo entonces control es CERO.

15.- Si ángulo es positivo y velocidad angular es positivo y error es positivo y

velocidad carro es negativo entonces control es PM.

16.- Si ángulo es positivo y velocidad angular es positivo y error es positivo y

velocidad carro es positivo entonces control es PG.

51


En la salida con el modelo Mamdani las funciones de membresía quedan como se

muestra en la figura 3.1.8.

Fig. 3.1.8.- Función de salida con el modelo Mamdani

Por otra parte el visualizador de superficie permite observar la relación entre las

variables de entrada y salida.

Fig. 3.1.9.- Visualizador de superficie para el control de la posición del péndulo

52


3.1.1.- Diagrama de flujo

Fig. 3.1.1.1.- Diagrama de flujo para el control de la posición del péndulo

Inicio

¿Velocidad angular

< umbral ?

¿Ángulo = ?

Var. Ref= extremo derecho

Generación de

comando de control

Var. Ref= referencia anterior

Fin

Var Ref= extremo izquierdo

NO

NO

SI

SI

53


3.2.- Segunda etapa: Simulaciones

Una vez que se obtuvo el modelo matemático lineal del péndulo invertido se

procede a realizar las simulaciones correspondientes de control clásico y control

difuso para observar el comportamiento de cada uno de éstos sistemas, con

ayuda de la herramienta de Matlab „Simulink‟.

La simulación del control se emplea en el desarrollo de un control en lazo cerrado,

aplicado a un sistema de control de posición.

3.2.1.- Control PID

El siguiente diagrama a bloques es el empleado en un control PID.

Fig. 3.2.1.1.- Diagrama a bloques del péndulo invertido utilizando control PID

Pendulo invertido con control clasico

4.2

Referencia

U

carro

pendulo

Pendulo

1

s

Integrador

-9.4

Ganancia Proporcional

7.12s

s+2

Ganancia Derivativa

-K-

Ganancia

Integral

Cart

PendulumX

Estimador de Estado Discreto

54


Donde las variables reales y utilizadas de nuestro prototipo son:

Masa del carro: 0.12 kg

Masa del péndulo: 0.05 kg

Distancia del péndulo: m

Aceleración de gravedad: 9.8

Las variables del control PID que se emplean son las siguientes, las cuales son

tomadas del ejemplo de péndulo invertido con PID incluido en los ejemplos con

animación del software Matlab.

La ganancia proporcional es:

La ganancia integral es:

La ganancia derivativa es:

55


Y se obtienen las siguientes gráficas:

Fig. 3.2.1.2.- Gráfica de la señal de control (U) utilizando control PID

Fig. 3.2.1.3.- Gráficas de la señal de entrada vs señal de salida utilizando control PID

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

-30

-20

-10

0

10

20

30

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

0

2

4

6

8

10

12

Señal de entrada

Señal de salida

56


Fig. 3.2.1.4.- Gráfica del error medio utilizando control PID

Fig. 3.2.1.5.- Gráfica del error instantáneo utilizando control PID

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-2

0

2

4

6

8

10

57


3.2.2.- Control difuso

Fig. 3.2.2.1.- Diagrama a bloques del péndulo invertido utilizando control difuso

Fig. 3.2.2.2.- Gráfica de la señal de control (U) utilizando control difuso

Pendulo invertido sobre móvil con controlador difuso

4.2

Reference

U

Péndulo

Vel ángulo

Carro

Vel carro

Péndulo

Mux

Controlador

Lógico Difuso con

Base de Reglas

0 50 100 150 200 250-30

-20

-10

0

10

20

30

58


Fig. 3.2.2.3.- Gráficas de la señal de entrada vs señal de salida utilizando control

difuso

Fig. 3.2.2.4.- Gráfica del error medio utilizando control difuso

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180-4

-2

0

2

4

6

8

Señal de entrada

Señal de salida

0 10 20 30 40 50 60 70 80 900

1

2

3

4

5

6

7

59


Fig. 3.2.2.5.- Gráfica del error instantáneo utilizando control difuso

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-4

-2

0

2

4

6

8

60


3.3.- Tercera etapa: Implementación

Aquí se lleva a cabo el armado del proyecto físico.

Lo primero es buscar un riel de impresora cuya función sea fungir de eje principal

sobre el cual se podrá montar el péndulo.

Fotografía 3.3.1.- Riel de la impresora a emplear

Para el péndulo se utilizó una barra metálica la cual se tuvo que rebajar con ayuda

de un torno para reducir el peso de nuestra barra y de esta forma se pueda

mantener en equilibrio.

Fotografía 3.3.2.- Barra metálica empleada como péndulo

61


Se procede a buscar una base que soporte el péndulo, considerando una altura

adecuada para que el péndulo sea capaz de girar libremente.

Fotografía 3.3.3.- Base a emplear para el péndulo invertido

Para poder tomar la lectura de voltaje correspondiente a la distancia que se

requiere mantener el carrito sobre el riel y conservar el equilibrio, se coloca un

potenciómetro de precisión que nos ayuda a tener una variable de referencia y

mantener la relación distancia-voltaje debido a que el riel tiene un límite.

Fotografía 3.3.4.- Potenciómetro de precisión empleado para la lectura de distancia-

voltaje

62


Al riel se le ponen unos topes para delimitar el rango de voltaje que nos muestra

nuestras lecturas.

Fotografía 3.3.5.- Riel con delimitación del rango

Finalmente nuestro prototipo del péndulo invertido queda de la siguiente manera.

Fotografía 3.3.6.- Prototipo ensamblado del péndulo invertido

63


Para poder medir los grados de libertad del péndulo se coloca un giroscopio

modelo LPY530AL.

Fotografía 3.3.7.- Placa del giroscopio, vista inferior

Fotografía 3.3.8.- Placa del giroscopio, vista superior

64


Se agregó un optoacoplador MOC3021 entre la DAC y el Puente H para evitar los

picos de voltaje que puedan dañar a la DAC y a la computadora, cuyo diagrama se

muestra en la figura 3.3.1 el cuál posteriormente va seguido del puente H. Se

emplea una compuerta lógica not 74LS04 para dar el cambio de dirección al carril

del péndulo.

Fig. 3.3.1.- Circuito del optoacoplador

Se emplea un puente H en un circuito integrado L293D, que también cuenta con

protección de diodos por si llegara a haber rebote de corrientes del motor, no

consume tanto voltaje y corriente, cuenta con una configuración de operacionales

y diodos que permiten el cambio de sentido al motor, es decir de izquierda a

derecha y viceversa, además de que resulta más económico que emplear

transistores y/o relevadores, por que los relevadores contienen bobinas y estas

generan ruido en las señales, afectando la señal del giroscopio en nuestra

adquisición de datos.

Fotografía 3.3.9.- Adaptación del MOC3021 entre la DAC y el Puente H

65


Debido a que se prefirió reducir el número de fuentes de alimentación a emplear,

se utilizo un regulador de voltaje y de esta manera poder regular el voltaje de 3.3

volts necesarios para alimentar el giroscopio, este circuito fue diseñado con ayuda

del circuito integrado LM317A, a este circuito se le agrega un divisor de voltaje

para el potenciómetro de precisión que indica la posición del carrito, el diseño final

de éste circuito se muestra en la figura 3.3.2.

Fig. 3.3.2.- Circuito del reductor de voltaje

El desarrollo se hace empleando como interfaz una Tarjeta de Adquisición de

Datos, por sus siglas en ingles DAC (Data Acquisition Card).

Fig. 3.3.3.- Esquema general del prototipo físico

66


Se limita el péndulo en un rango de 45° a 135° ya que el control realizado se hizo

en base a ese rango.

Fotografía 3.3.10.- Péndulo limitado entre 45° y 135°

Se modifica el control para su implementación utilizando la DAC.

Fig. 3.3.4.- Control implementado

67

Capítulo 4.- Pruebas y resultados

CAPÍTULO 4.- Pruebas y resultados

Realizando pruebas al giroscopio sin montarlo, se obtienen las siguientes gráficas.

Fig. 4.1.- Voltaje de referencia en estado estable del giroscopio

Fig. 4.2.- Voltaje de referencia en movimiento hacia el lado izquierdo

68


Fig. 4.3.- Voltaje de referencia en movimiento hacia el lado derecho

De igual manera se realizan las pruebas con la Tarjeta de Adquisición de Datos

PH1018 que se utiliza como interfaz entre la computadora y el péndulo.

Fotografía 4.1.- Prueba del puente H conectado al péndulo, utilizando como interfaz

entre la computadora y el péndulo la DAC PH1018

Desde la computadora, por medio de la DAC (interfaz) se manda una señal a una

de las salidas digitales donde está conectado el puente H (L293D) para hacerlo

girar a la izquierda, derecha o nada de la siguiente forma:

69


00 Nada

01 Izquierda

10 Derecha

Tabla. 4.1.- Combinaciones lógicas para hacer girar el sentido del carro

Nota: La combinación 11 no se toma en cuenta ya que el péndulo no puede ir en

ambas direcciones al mismo tiempo.

Obteniendo rango de la posición del carrito a lo largo de la barra utilizando la DAC.

Fig. 4.4.- Valor mínimo de la posición del carrito

Fig. 4.5.- Valor máximo de la posición del carrito

70


Se modifican los rangos del ángulo, velocidad angular, error y velocidad del carro.

Fig. 4.6.- Modificación del rango del ángulo

Fig. 4.7.- Modificación del rango de la velocidad angular

71


Fig. 4.8.- Modificación del rango del error

Fig. 4.9.- Modificación del rango de la velocidad del carro

72


4.1 Modificaciones

Se hace el cambio del giroscopio por un potenciómetro dado que la respuesta del

giroscopio es muy lenta a la necesaria para el control. Se utilizo un potenciómetro

al igual que en la posición del carrito con la diferencia que el utilizado en el giro no

es de precisión debido a que el péndulo está limitado y no es necesario que

realice más de una vuelta.

Fotografía 4.1.1.- Adaptación del potenciómetro al péndulo

Se le agrego una pieza diseñada para el potenciómetro de precisión que

determina la posición del carrito y se cambio el engrane del mismo ya que al hacer

los cambios rápidos de giro se empezó a barrer debido a que el engrane no era el

adecuado.

73


Fotografía 4.1.2.- Nuevo engrane implementado

Fotografía 4.1.3.- Pieza diseñada del potenciómetro de precisión

74


Se hacen las pruebas de control del péndulo con las modificaciones realizadas.

Fotografía 4.1.4.- Implementación del control

75


4.2.- Conclusiones

En el desarrollo de este trabajo se implemento un sistema mecánico simple, sin

embargo dicho sistema tiene una gran complejidad debido a que es de carácter

inestable y subactuado, que es una de las razones del porque es uno de los

sistemas más utilizados para la enseñanza.

Para que se logre el control de un sistema este debe de contar con sensores

precisos, que detecten el cambio de giro o posición de una manera rápida y

efectiva, ya que la obtención de éstos datos son esenciales para lograr la

estabilización del sistema.

Las técnicas clásicas necesitan modelar el sistema a controlar en términos

estrictamente precisos. Esto las dificulta para controlar sistemas complicados

donde no se pueda obtener un modelo matemático. Con lo que las limita a

controlar sistemas con incertidumbre.

Se diseño y comparo una ley de control difuso y un control PID, para poder

observar la respuesta de cada uno. Donde la lógica difusa sigue la respuesta del

control PID, con algunas modificaciones para lograr un mejor comportamiento no

lineal.

Una vez que se realizaron las simulaciones correspondientes con cada control en

el péndulo, se observan que las respuestas presentan una similitud con la señal

de entrada, sin embargo hay una diferencia en el tiempo en que esta se adecua a

ella, con lo que se demuestra que el control por lógica difusa tiene una respuesta

más rápida y optima que el control PID.

La lógica difusa es una teoría con fundamentos matemáticos sólidos, donde se

utiliza en concepto de verdad parcial, además de que su diseño es sencillo ya que

se basa en conocimiento de un operador de proceso, donde dicho control es el

control de lazos simples, normalmente controlados usando controladores PID. Sin

embargo realiza un ajuste mediante un proceso de prueba y error a base de

condiciones lógicas.

76


La lógica difusa ha dado la posibilidad de resolver soluciones complejas con

elementos de cómputo de bajo costo sin tener que recurrir al uso de hardware

para procesamiento difuso.

La lógica difusa proporciona un medio para enfrentar situaciones del mundo real,

situaciones complejas y dinámicas que son más fácilmente caracterizadas por

palabras que por matemáticas.

Sin embargo en la calibración del controlador difuso no se asegura un resultado

optimo inmediato, debido a esto no resulta sencillo introducir modificaciones al

controlador difuso, que es una de las principales desventajas al control clásico.

El control por lógica difusa es prácticamente nuevo en nuestro país, sin embargo

este fue innovado en los años 80´s, donde Japón es uno de los países donde se

ha implementado en la mayoría de su sector industrial, y sumando sus altas

normas de calidad, han hecho que sus productos sean de muy alto rendimiento.

Uno de los errores al suponer que el control difuso es mejor es afirmar que todo

proceso puede ser controlado de esta manera y obtener un desempeño superior al

de las técnicas de control convencional.

La vida real está llena de situaciones que requieren del razonamiento aproximado

para manipular información cualitativa más que cuantitativa.

Un sistema difuso puede resolver problemas tal como lo haría un ser humano.

77

Bibliografía

BIBLIOGRAFÍA

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Introduction to fuzzy control.

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Galipienso, Ma. Isabel., & Lozano, Ortega, Miguel Ángel. (2003) Inteligencia

Artificial. Modelos, Técnicas y Áreas de Aplicación.

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Reverté, ISBN 84-291-5035-8

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[10] Ogata, Katsuhiko., (1996), Sistemas de Control en Tiempo Discreto.

Prentice Hall, ISBN 0-13-034281-5

[11] Pallás, Areny Ramón. (1993). Adquisición y distribución de señales

Marcombo ediciones técnicas, ISBN 84-267-0918-4

[12] Quintero, M., Christian G., Oñate, López, José A., (2011). Control

automático aplicado: Prácticas de laboratorio.

Universidad del norte, ISBN 978-958-741-140-9

[13] Rashid, Muhammad H. (2004). Electrónica de potencia. Circuitos,

dispositivos y aplicaciones

Pearson Prentice Hall. ISBN 970-26-0532-6

[14] Tocci, Ronald J., Widmer, Neal, S., (2003). Sistemas Digitales.

Pearson Educación. ISBN: 970-26-029-1

l

79

Glosario

GLOSARIO Conjunto difuso: Se representa por medio de funciones de membresía definidas

en el universo del que se habla.

DAC: Tarjeta de Adquisición de datos.

Defusificación: Genera la actuación a partir de la variable lingüística de salida

inferida.

FKBS (Fuzzy Knowledge Based Controller): Controlador Basado en el

Conocimiento Difuso.

Función de membresía: Da el grado de membresía de cualquier elemento en el

conjunto, es decir mapea los elementos del universo en valores numéricos dentro

de un intervalo.

Función de pertenencia: Grado en el cual un elemento pertenece al valor

lingüístico asociado.

Fusificación: Asociación de cada entrada escalar a un grado de membresía

sobre un conjunto difuso.

Gradación: Serie ordenada gradualmente.

KBS (Knowledge Based Controller): Basado en el conocimiento del controlador.

Matlab: Es un lenguaje de alto nivel y un entorno interactivo que le permite al

usuario realizar tareas de análisis y procesamiento de datos, además de una

visualización y representación de gráficos.

Simulink: Simulink es una herramienta de Matlab que permite de una manera

gráfica, modelar, analizar y simular una gran variedad de sistemas físicos y

matemáticos.

PID: Proporcional-Integral-Derivativo.

80

Glosario

TSK: Takagi-Sugeno-Kang.

Toolbox de lógica difusa: Es una herramienta que tiene la capacidad de crear y

editar sistemas de inferencia difusa.

Universo: Es el intervalo de valores que pueden tomar los elementos que poseen

la propiedad enunciada en la variable lingüística.

81

Anexos

ANEXOS

ANEXO 1.- Giroscopio LPY530AL

Sensor: Dual axis pitch and yaw ±300°/s analog gyroscope.

3.3 V

82

Anexos

ANEXO 2.- Puente H L293D

L293D Quadruple half-h drivers.

Parte del L293D que se utilizo para el motor del carril en el péndulo invertido:

Supply voltage …………………………………………………………………..…... 36 V Output supply voltage, VCC2 ………………………........................................... 36 V Input voltage, VI ….………………………………………………………..………… 7 V Output voltage range, VO …………..………………………........ –3 V to VCC2 + 3 V

Peak output current, IO (nonrepetitive, t 5 ms): L293 ………….…………….. 2 A

Peak output current, IO (nonrepetitive, t 100 s): L293D ………………….. 1.2 A

Continuous output current, IO: L293 ……..……………………………………... 1 A

Continuous output current, IO: ………………………….……………………. 600mA

Continuous total dissipation at (or below) 25 C free-air temperature …... 2075 mW

Continuous total dissipation at 80 C case temperature ………….………. 5000 mW

Maximum junction temperature ……………………….…………………….. TJ 150 C

Storage temperature range, Tstg ………..…………………………… –65 C to 150 C

83

Anexos

ANEXO 3.- Optoacoplador MOC2130

84

Anexos

ANEXO 4.- Compuerta NOT 74LS04

85

Anexos

ANEXO 5.- Regulador de voltaje LM317A

86

Anexos

ANEXO 6.- DAC PH1018

87

Anexos

ANEXO 7.- Potenciómetro de precisión de 10 vueltas

88

Cobijados bajo la sombra de una institución de renombre, constituida por talento

mexicano forjadores de innovación e implementación tecnológica, nos enseñaste a

ser trabajadores agresivos en los campos laborales y nobles en el ámbito social, tu

gran madre institucional estaremos eternamente agradecidos por permitirnos ser

parte de tu familia de Ingenieros preocupados por el futuro de México, color guinda

es nuestra sangre y blanca nuestra alma, siempre orgullosos egresados del

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL con honor y esmero proclamaremos:

“LA TÉCNICA AL SERVICIO DE LA PATRIA”

Porque pensar es el deleite de los dioses y la virtud de los ingenieros.

Diana y Rubén.

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