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Cálculo Vectorial 15.3 Integrales dobles sobre regiones más generales URL Departamento de Matem ´ aticas Universidad de los Andes, Bogot ´ a Integrales Dobles– p. 1/
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Cálculo Vectorial
15.3 Integrales dobles sobreregiones más generales
URL
Departamento de Matematicas
Universidad de los Andes, Bogota
Integrales Dobles– p. 1/7
Integral doble
• Integral doble:
∫∫
R
f(x, y)dA
Integrales Dobles– p. 2/7
Integral doble
• Integral doble:
∫∫
R
f(x, y)dA
• El diferencial de área:
dA ≈ ∆Ak = ∆xk∆yk
El punto (xk, yk) es cualquiera en elrectángulo k-ésimo.
Integrales Dobles– p. 2/7
Integral doble como sumas de Riemann
• Integral doble:
∫∫
R
f(x, y)dA
Integrales Dobles– p. 3/7
Integral doble como sumas de Riemann
• Integral doble:
∫∫
R
f(x, y)dA
• Si f(x, y) es positiva en la regiónde integración R, la integral doblerepresenta el volumen acotado porarriba por la superficie y por debajopor R.Geométricamente es sumarvolúmenes de prismas paraobtener el volumen deseado.
Integrales Dobles– p. 3/7
Integral iterada en orden dydx
•∫∫
R
f(x, y)dydx
R =
{
a ≤ x ≤ b
g1(x) ≤ y ≤ g2(x)
Integrales Dobles– p. 4/7
Integral iterada en orden dydx
•∫∫
R
f(x, y)dydx
R =
{
a ≤ x ≤ b
g1(x) ≤ y ≤ g2(x)
• Integral interna:
∫ g2(x)
g1(x)f(x, y)dy
Para a ≤ x ≤ b encontramos el áreaA(x), y variando x “barremos” todoel volumen.
Integrales Dobles– p. 4/7
Integral iterada en orden dxdy
•∫∫
R
f(x, y)dxdy
R =
{
c ≤ y ≤ d
h1(y) ≤ x ≤ h2(y)
Integrales Dobles– p. 5/7
Integral iterada en orden dxdy
•∫∫
R
f(x, y)dxdy
R =
{
c ≤ y ≤ d
h1(y) ≤ x ≤ h2(y)
• Integral interna:
∫ h2(y)
h1(y)f(x, y)dx
Para c ≤ y ≤ d encontramos el áreaA(y), y variando y “barremos” todoel volumen.
Integrales Dobles– p. 5/7
Ejemplo: Regiones de tipo I (orden dydx)
• Tipo I
R =
{
0 ≤ x ≤ 1
1 − x ≤ y ≤√
1 − x2)
Integrales Dobles– p. 6/7
Ejemplo: Regiones de tipo I (orden dydx)
• Tipo I
R =
{
0 ≤ x ≤ 1
1 − x ≤ y ≤√
1 − x2)
• Integral iterada:
∫ 1
0
∫
√
1−x2
1−x
f(x, y)dydx
Integrales Dobles– p. 6/7
Ejemplo: Regiones de tipo II (orden dxdy)
• Tipo II
R =
{
0 ≤ y ≤ 1
1 − y ≤ x ≤√
1 − y2)
Integrales Dobles– p. 7/7
Ejemplo: Regiones de tipo II (orden dxdy)
• Tipo II
R =
{
0 ≤ y ≤ 1
1 − y ≤ x ≤√
1 − y2)
• Integral iterada:
∫ 1
0
∫
√
1−y2
1−y
f(x, y)dxdy
Integrales Dobles– p. 7/7
